Pamokos planas.

1. Organizacinis momentas.

2. Medžiagos pristatymas.

3. Namų darbai.

4. Pamokos apibendrinimas.

Pamokos eiga

I. Organizacinis momentas.

II. Medžiagos pristatymas.

Motyvacija.

Realiųjų skaičių aibės išplėtimas susideda iš naujų skaičių (įsivaizduojamųjų) pridėjimo prie realių skaičių. Šie skaičiai įvedami dėl to, kad realiųjų skaičių aibėje neįmanoma išskirti neigiamo skaičiaus šaknies.

Įvadas į kompleksinio skaičiaus sąvoką.

Įsivaizduojami skaičiai, kuriais papildome realiuosius skaičius, rašomi forma bi, Kur i yra įsivaizduojamas vienetas ir i 2 = - 1.

Remdamiesi tuo, gauname tokį kompleksinio skaičiaus apibrėžimą.

Apibrėžimas. Kompleksinis skaičius yra formos išraiška a+bi, Kur a Ir b- realūs skaičiai. Šiuo atveju tenkinamos šios sąlygos:

a) Du kompleksiniai skaičiai a 1 + b 1 i Ir a 2 + b 2 i lygus tada ir tik tada a 1 = a 2, b 1 = b 2.

b) Kompleksinių skaičių sudėjimas nustatomas pagal taisyklę:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Kompleksinių skaičių daugyba nustatoma pagal taisyklę:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Algebrinė kompleksinio skaičiaus forma.

Kompleksinio skaičiaus rašymas formoje a+bi vadinama kompleksinio skaičiaus algebrine forma, kur A- tikroji dalis, bi yra įsivaizduojama dalis ir b– tikrasis skaičius.

Sudėtingas skaičius a+bi laikomas lygiu nuliui, jei jo tikroji ir menamoji dalys yra lygios nuliui: a = b = 0

Sudėtingas skaičius a+bi adresu b = 0 laikomas tokiu pat skaičiumi kaip tikrasis skaičius a: a + 0i = a.

Sudėtingas skaičius a+bi adresu a = 0 vadinamas grynai įsivaizduojamu ir žymimas bi: 0 + bi = bi.

Du kompleksiniai skaičiai z = a + bi Ir = a – bi, besiskiriantys tik įsivaizduojamos dalies ženklu, vadinami konjuguotais.

Veiksmai su kompleksiniais skaičiais algebrine forma.

Su kompleksiniais skaičiais galite atlikti šias operacijas algebrine forma.

1) Papildymas.

Apibrėžimas. Kompleksinių skaičių suma z 1 = a 1 + b 1 i Ir z 2 = a 2 + b 2 i vadinamas kompleksiniu skaičiumi z, kurio tikroji dalis lygi realiųjų dalių sumai z 1 Ir z 2, o menamoji dalis yra įsivaizduojamų skaičių dalių suma z 1 Ir z 2, tai yra z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Skaičiai z 1 Ir z 2 vadinami terminais.

Kompleksinių skaičių sudėjimas turi šias savybes:

1º. Komutatyvumas: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Asociatyvumas: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Sudėtingas skaičius –a –bi vadinamas kompleksinio skaičiaus priešingybe z = a + bi. Kompleksinis skaičius, priešingas kompleksiniam skaičiui z, pažymėta -z. Kompleksinių skaičių suma z Ir -z lygus nuliui: z + (-z) = 0

1 pavyzdys: atlikite pridėjimą (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Atimtis.

Apibrėžimas. Atimti iš kompleksinio skaičiaus z 1 kompleksinis skaičius z 2 z, Ką z + z 2 = z 1.

Teorema. Skirtumas tarp kompleksinių skaičių egzistuoja ir yra unikalus.

2 pavyzdys: atlikite atimtį (4 – 2i) – (-3 + 2i).

(4 – 2i) – (-3 + 2i) = (4 – (-3)) + (-2 – 2) i = 7 – 4i.

3) Daugyba.

Apibrėžimas. Kompleksinių skaičių sandauga z 1 =a 1 +b 1 i Ir z 2 =a 2 +b 2 i vadinamas kompleksiniu skaičiumi z, apibrėžta lygybe: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Skaičiai z 1 Ir z 2 vadinami veiksniais.

Kompleksinių skaičių dauginimas turi šias savybes:

1º. Komutatyvumas: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asociatyvumas: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Daugybos pasiskirstymas, palyginti su pridėjimu:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2- tikrasis skaičius.

Praktiškai kompleksiniai skaičiai dauginami pagal taisyklę, kad suma dauginama iš sumos ir atskiriama tikroji ir menama dalis.

Toliau pateiktame pavyzdyje apsvarstysime, kaip sudėtingus skaičius padauginti dviem būdais: pagal taisyklę ir padauginus sumą iš sumos.

3 pavyzdys: atlikite dauginimą (2 + 3i) (5–7i).

1 būdas. (2 + 3i) (5 - 7i) = (2 × 5 - 3 × (- 7)) + (2 × (- 7) + 3 × 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.

2 būdas. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2 × 5 + 2 × (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Padalijimas.

Apibrėžimas. Padalinkite kompleksinį skaičių z 1 iki kompleksinio skaičiaus z 2, reiškia rasti tokį kompleksinį skaičių z, Ką z · z 2 = z 1.

Teorema. Kompleksinių skaičių dalinys egzistuoja ir yra unikalus, jei z 2 ≠ 0 + 0i.

Praktiškai kompleksinių skaičių koeficientas randamas skaitiklį ir vardiklį padauginus iš vardiklio konjugato.

Leiskite z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Tada

.

Toliau pateiktame pavyzdyje mes atliksime padalijimą naudodami formulę ir daugybos iš skaičiaus, susieto su vardikliu, taisyklę.

4 pavyzdys. Raskite koeficientą .

5) Pakėlimas į teigiamą visumos galią.

a) Menamo vieneto galios.

Pasinaudojus lygybe i 2 = -1, nesunku apibrėžti bet kokią teigiamą sveikąjį įsivaizduojamo vieneto galią. Turime:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 ir tt

Tai rodo, kad laipsnio reikšmės aš n, Kur n– teigiamas sveikasis skaičius, periodiškai kartojamas, kai rodiklis didėja 4 .

Todėl norėdami padidinti skaičių i iki teigiamos visumos laipsnio, turime padalyti rodiklį iš 4 ir statyti i laipsniui, kurio rodiklis yra lygus dalybos likusiai daliai.

5 pavyzdys: Apskaičiuokite: (i 36 + i 17) ir 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

b) Kompleksinio skaičiaus didinimas iki teigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio atliekamas pagal dvinario didinimo iki atitinkamos laipsnio taisyklę, nes tai yra ypatingas identiškų kompleksinių veiksnių dauginimo atvejis.

6 pavyzdys: Apskaičiuokite: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

Kompleksiniai skaičiai yra realiųjų skaičių aibės išplėtimas, paprastai žymimas . Bet koks kompleksinis skaičius gali būti pavaizduotas kaip formali suma , kur ir yra realieji skaičiai ir yra įsivaizduojamas vienetas.

Kompleksinio skaičiaus užrašymas forma , vadinamas kompleksinio skaičiaus algebrine forma.

Kompleksinių skaičių savybės. Geometrinė kompleksinio skaičiaus interpretacija.

Veiksmai su kompleksiniais skaičiais, pateiktais algebrine forma:

Panagrinėkime taisykles, pagal kurias atliekamos aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais.

Jei pateikti du kompleksiniai skaičiai α = a + bi ir β = c + di, tai

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (11)

Tai išplaukia iš dviejų tvarkingų realiųjų skaičių porų sudėjimo ir atėmimo operacijų apibrėžimo (žr. (1) ir (3) formules. Gavome kompleksinių skaičių sudėjimo ir atėmimo taisykles: norėdami sudėti du kompleksinius skaičius, turime atskirai sudėti jų realiąsias dalis ir atitinkamai menamas dalis; Norint iš vieno kompleksinio skaičiaus atimti kitą, reikia atitinkamai atimti realiąją ir menamąją dalis.

Skaičius – α = – a – bi vadinamas priešingu skaičiui α = a + bi. Šių dviejų skaičių suma lygi nuliui: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

Norėdami gauti kompleksinių skaičių dauginimo taisyklę, naudojame formulę (6), ty faktą, kad i2 = -1. Atsižvelgdami į šį ryšį, randame (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, t.y.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Ši formulė atitinka formulę (2), kuri nustatė tvarkingų realiųjų skaičių porų dauginimą.

Atkreipkite dėmesį, kad dviejų kompleksinių konjuguotų skaičių suma ir sandauga yra tikrieji skaičiai. Iš tiesų, jei α = a + bi, = a – bi, tai α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2, α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a, t.y.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

Dalijant du kompleksinius skaičius algebrine forma, reikia tikėtis, kad koeficientas taip pat išreiškiamas to paties tipo skaičiumi, ty α/β = u + vi, kur u, v R. Išveskime kompleksinių skaičių padalijimo taisyklę . Tegu pateikiami skaičiai α = a + bi, β = c + di, o β ≠ 0, t.y. c2 + d2 ≠ 0. Paskutinė nelygybė reiškia, kad c ir d vienu metu neišnyksta (atvejis neįtraukiamas, kai c = 0 , d = 0). Taikydami formulę (12) ir antrąją lygybę (13), randame:

Todėl dviejų kompleksinių skaičių koeficientas nustatomas pagal formulę:

atitinkantys (4) formulę.

Naudodami gautą skaičiaus β = c + di formulę, galite rasti atvirkštinį jo skaičių β-1 = 1/β. Darydami prielaidą, kad (14) formulėje a = 1, b = 0, gauname

Ši formulė nustato duoto kompleksinio skaičiaus atvirkštinę vertę, išskyrus nulį; šis skaičius taip pat sudėtingas.

Pavyzdžiui: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Veiksmai su kompleksiniais skaičiais algebrine forma.

55. Kompleksinio skaičiaus argumentas. Trigonometrinė kompleksinio skaičiaus rašymo forma (išvestis).

Arg.com.numeriai. – tarp tikrosios X ašies teigiamos krypties ir duotą skaičių reprezentuojančio vektoriaus.

Trigono formulė. Skaičiai: ,

14.3 Taškas begalybėje kaip kompleksinio kintamojo funkcijos vienaskaitos taškas

Pratarmė

Teisingai paskirstyti laiką ir pastangas ruošiantis teorinei ir praktinei egzamino ar modulio atestavimo dalims yra gana sunku, juolab kad sesijos metu laiko visada neužtenka. Ir kaip rodo praktika, ne visi gali su tuo susidoroti. Dėl to per egzaminą vieni mokiniai teisingai sprendžia uždavinius, tačiau sunkiai atsako į paprasčiausius teorinius klausimus, kiti gali suformuluoti teoremą, bet nemoka jos pritaikyti.

Šios pasirengimo egzaminui kurso „Sudėtingo kintamojo funkcijų teorija“ (TFCP) gairės yra bandymas išspręsti šį prieštaravimą ir užtikrinti vienu metu kurso teorinės ir praktinės medžiagos kartojimą. Vadovaujantis principu „Teorija be praktikos yra mirusi, praktika be teorijos akla“, juose pateikiamos tiek teorinės kurso nuostatos apibrėžimų ir formuluočių lygmeniu, tiek pavyzdžiai, iliustruojantys kiekvienos teorinės pozicijos taikymą ir taip palengvinantys. jos įsiminimas ir supratimas.

Siūlomų metodinių rekomendacijų tikslas – padėti studentui pasiruošti egzaminui pagrindiniu lygiu. Kitaip tariant, buvo sudarytas išplėstinis darbo vadovas, kuriame yra pagrindiniai dalykai, naudojami TFKP kurso pamokose ir reikalingi atliekant namų darbus bei ruošiantis testams. Be savarankiško studentų darbo, šis elektroninis edukacinis leidinys gali būti naudojamas vedant užsiėmimus interaktyvia forma naudojant elektroninę lentą arba stojantis į nuotolinio mokymosi sistemą.

Atkreipkite dėmesį, kad šis darbas nepakeičia nei vadovėlių, nei paskaitų konspektų. Norint išsamiai ištirti medžiagą, rekomenduojama remtis atitinkamomis MSTU paskelbtomis dalimis. N.E. Baumano pagrindinis vadovėlis.

Vadovo pabaigoje yra rekomenduojamos literatūros sąrašas ir dalykinė rodyklė, kurioje yra viskas, kas paryškinta tekste paryškintas kursyvas terminai. Indeksą sudaro hipersaitai į skyrius, kuriuose šie terminai yra griežtai apibrėžti arba aprašyti ir kuriuose pateikiami jų naudojimą iliustruojantys pavyzdžiai.

Vadovas skirtas visų MSTU fakultetų II kurso studentams. N.E. Baumanas.

1. Algebrinė kompleksinio skaičiaus rašymo forma

Formos z = x + iy žymėjimas, kur x,y yra realieji skaičiai, i yra įsivaizduojamas vienetas (ty i 2 = − 1)

vadinama kompleksinio skaičiaus z užrašymo algebrine forma. Šiuo atveju x vadinamas realiąja kompleksinio skaičiaus dalimi ir žymimas Re z (x = Re z), y vadinamas įsivaizduojama kompleksinio skaičiaus dalimi ir žymimas Im z (y = Im z).

Pavyzdys. Kompleksinis skaičius z = 4− 3i turi realiąją dalį Rez = 4 ir įsivaizduojamą dalį Imz = − 3.

2. Kompleksinių skaičių plokštuma

IN nagrinėjamos kompleksinio kintamojo funkcijų teorijoskompleksinių skaičių plokštuma, kuris žymimas arba naudojant raides, žyminčias kompleksinius skaičius z, w ir kt.

Horizontalioji kompleksinės plokštumos ašis vadinama tikroji ašis, ant jo dedami tikrieji skaičiai z = x + 0i = x.

Vertikali kompleksinės plokštumos ašis vadinama įsivaizduojama ašimi;

3. Sudėtiniai konjuguoti skaičiai

Vadinami skaičiai z = x + iy ir z = x − iy kompleksinis konjugatas. Sudėtingoje plokštumoje jie atitinka taškus, kurie yra simetriški tikrosios ašies atžvilgiu.

4. Veiksmai su kompleksiniais skaičiais algebrine forma

4.1 Kompleksinių skaičių sudėjimas

Taigi kompleksinių skaičių dauginimo operacija yra panaši į algebrinių dvinarių dauginimo operaciją, atsižvelgiant į tai, kad i 2 = − 1.

2 puslapis iš 3

Algebrinė kompleksinio skaičiaus forma.
Kompleksinių skaičių sudėtis, atimtis, daugyba ir dalyba.

Mes jau susipažinome su kompleksinio skaičiaus algebrine forma - tai yra kompleksinio skaičiaus algebrinė forma. Kodėl mes kalbame apie formą? Faktas yra tas, kad taip pat yra trigonometrinių ir eksponentinių kompleksinių skaičių formų, kurios bus aptartos kitoje pastraipoje.

Veiksmai su kompleksiniais skaičiais nėra ypač sunkūs ir mažai kuo skiriasi nuo įprastos algebros.

Kompleksinių skaičių sudėjimas

1 pavyzdys

Pridėkite du kompleksinius skaičius,

Norėdami pridėti du kompleksinius skaičius, turite pridėti jų tikrąją ir įsivaizduojamą dalis:

Paprasta, ar ne? Veiksmas toks akivaizdus, ​​kad papildomų komentarų nereikalauja.

Šiuo paprastu būdu galite rasti bet kokio skaičiaus terminų sumą: susumuokite tikrąsias dalis ir susukite įsivaizduojamas dalis.

Kompleksiniams skaičiams galioja pirmosios klasės taisyklė: – terminų pertvarkymas nekeičia sumos.

Kompleksinių skaičių atėmimas

2 pavyzdys

Raskite skirtumus tarp kompleksinių skaičių ir , jei ,

Veiksmas panašus į pridėjimą, vienintelis ypatumas yra tas, kad poskyrį reikia dėti į skliaustus, o tada skliaustus reikia atidaryti standartiniu būdu pakeitus ženklą:

Rezultatas neturėtų būti klaidinantis, gautą skaičių sudaro dvi, o ne trys dalys. Tiesiog tikroji dalis yra junginys: . Aiškumo dėlei atsakymą galima perrašyti taip: .

Apskaičiuokime antrąjį skirtumą:

Čia tikroji dalis taip pat yra sudėtinė:

Kad būtų išvengta sumenkinimo, pateiksiu trumpą pavyzdį su „bloga“ įsivaizduojama dalimi: . Čia jau nebegalima be skliaustų.

Kompleksinių skaičių dauginimas

Atėjo laikas supažindinti jus su garsiąja lygybe:

3 pavyzdys

Raskite kompleksinių skaičių sandaugą,

Akivaizdu, kad darbas turėtų būti parašytas taip:

Ką tai rodo? Prašo atverti skliaustus pagal daugianario daugybos taisyklę. Štai ką jums reikia padaryti! Visos algebrinės operacijos jums žinomos, svarbiausia tai atsiminti ir būk atsargus.

Pakartokime, omg, mokyklos polinomų dauginimo taisyklę: Norėdami padauginti daugianarį iš daugianario, turite padauginti kiekvieną vieno daugianario narį iš kiekvieno kito daugianario.

Aš parašysiu išsamiai:

Tikiuosi, kad visiems tai buvo aišku

Dėmesio, ir vėl dėmesys, dažniausiai klaidos daromos ženkluose.

Kaip ir suma, kompleksinių skaičių sandauga yra keičiama, tai yra, lygybė yra teisinga: .

Mokomojoje literatūroje ir internete nesunku rasti specialią formulę kompleksinių skaičių sandaugai apskaičiuoti. Naudokite, jei norite, bet man atrodo, kad požiūris su daugianario dauginimu yra universalesnis ir aiškesnis. Aš nepateiksiu formulės, manau, kad šiuo atveju tai užpildo galvą pjuvenomis.

Kompleksinių skaičių dalyba

4 pavyzdys

Duoti kompleksiniai skaičiai , . Raskite koeficientą.

Padarykime koeficientą:

Atliekamas skaičių padalijimas vardiklį ir skaitiklį padauginus iš vardiklio konjuguotos išraiškos.

Prisiminkime barzdoto formulę ir pažvelkime į mūsų vardiklį: . Vardiklis jau turi , todėl konjuguota išraiška šiuo atveju yra , tai yra

Pagal taisyklę vardiklis turi būti dauginamas iš , o kad niekas nepasikeistų, skaitiklis turi būti padaugintas iš to paties skaičiaus:

Aš parašysiu išsamiai:

Pasirinkau „gerą“ pavyzdį: jei paimsite du skaičius „nuo nulio“, tada padaliję beveik visada gausite trupmenas, panašiai kaip .

Kai kuriais atvejais, prieš dalijant trupmeną, patartina ją supaprastinti, pavyzdžiui, atsižvelgti į skaičių koeficientą: . Prieš dalindami atsikratome nereikalingų minusų: skaitiklyje ir vardiklyje išimame minusus iš skliaustų ir sumažiname šiuos minusus: . Tiems, kurie mėgsta spręsti problemas, yra teisingas atsakymas:

Retai, bet įvyksta tokia užduotis:

5 pavyzdys

Pateikiamas kompleksinis skaičius. Įrašykite šį skaičių algebrine forma (t. y. formoje).

Technika ta pati – vardiklį ir skaitiklį padauginame iš išraiškos konjugato su vardikliu. Dar kartą pažiūrėkime į formulę. Vardiklyje jau yra , todėl vardiklis ir skaitiklis turi būti padauginti iš konjuguotos išraiškos, ty iš:

Praktiškai jie gali lengvai pasiūlyti sudėtingą pavyzdį, kai reikia atlikti daug operacijų su kompleksiniais skaičiais. Jokios panikos: būk atsargus, laikykitės algebros taisyklių, įprastos algebrinės procedūros, ir atsiminkite, kad .

Trigonometrinė ir eksponentinė kompleksinio skaičiaus forma

Šiame skyriuje daugiau kalbėsime apie kompleksinio skaičiaus trigonometrinę formą. Praktinėse užduotyse parodomoji forma sutinkama daug rečiau. Rekomenduoju atsisiųsti ir, esant galimybei, atsispausdinti trigonometrines lenteles, kurią rasite puslapyje; Matematinės formulės ir lentelės. Be staliukų toli nenueisi.

Bet koks kompleksinis skaičius (išskyrus nulį) gali būti parašytas trigonometrine forma:
, kur tai yra kompleksinio skaičiaus modulis, A - kompleksinio skaičiaus argumentas. Nebėgkime, viskas paprasčiau nei atrodo.

Pavaizduokime skaičių kompleksinėje plokštumoje. Dėl aiškinimo apibrėžtumo ir paprastumo įdėsime į pirmąjį koordinačių kvadrantą, t.y. mes tikime, kad:

Kompleksinio skaičiaus modulis yra atstumas nuo pradžios iki atitinkamo taško kompleksinėje plokštumoje. Paprasčiau tariant, modulis yra ilgis spindulio vektorius, kuris brėžinyje pažymėtas raudonai.

Kompleksinio skaičiaus modulis paprastai žymimas: arba

Naudojant Pitagoro teoremą, nesunku išvesti formulę kompleksinio skaičiaus moduliui rasti: . Ši formulė yra teisinga bet kokiam reiškia „a“ ir „būti“.

Pastaba: Kompleksinio skaičiaus modulis yra sąvokos apibendrinimas tikrojo skaičiaus modulis, kaip atstumas nuo taško iki pradžios.

Kompleksinio skaičiaus argumentas paskambino kampe tarp teigiama pusiau ašis tikroji ašis ir spindulio vektorius, nubrėžtas nuo pradžios iki atitinkamo taško. Argumentas neapibrėžtas vienaskaitoje: .

Aptariamas principas iš tikrųjų panašus į poliarines koordinates, kur poliarinis spindulys ir poliarinis kampas vienareikšmiškai apibrėžia tašką.

Kompleksinio skaičiaus argumentas standartiškai žymimas: arba

Remdamiesi geometriniais svarstymais, gauname tokią formulę argumentui rasti:
. Dėmesio!Ši formulė veikia tik dešinėje pusiau plokštumoje! Jei kompleksinis skaičius nėra 1 arba 4 koordinačių kvadrante, formulė šiek tiek skirsis. Mes taip pat analizuosime šiuos atvejus.

Tačiau pirmiausia pažvelkime į paprasčiausius pavyzdžius, kai kompleksiniai skaičiai yra koordinačių ašyse.

7 pavyzdys

Padarykime piešinį:

Tiesą sakant, užduotis yra žodinė. Aiškumo dėlei perrašysiu kompleksinio skaičiaus trigonometrinę formą:

Prisiminkime tvirtai, modulis – ilgio(kuris visada yra ne neigiamas), argumentas yra kampe.

1) Pavaizduokime skaičių trigonometrine forma. Raskime jo modulį ir argumentą. Akivaizdu, kad. Formalus skaičiavimas naudojant formulę: .
Akivaizdu, kad (skaičius yra tiesiai ant tikrosios teigiamos pusiau ašies). Taigi skaičius trigonometrine forma yra: .

Atvirkštinio patikrinimo veiksmas aiškus kaip diena:

2) Pavaizduokime skaičių trigonometrine forma. Raskime jo modulį ir argumentą. Akivaizdu, kad. Formalus skaičiavimas naudojant formulę: .
Akivaizdu (arba 90 laipsnių). Brėžinyje kampas pažymėtas raudonai. Taigi skaičius trigonometrine forma yra: .

Naudojant trigonometrinių funkcijų verčių lentelę, nesunku susigrąžinti algebrinę skaičiaus formą (taip pat atliekant patikrinimą):

3) Pavaizduokime skaičių trigonometrine forma. Raskime jo modulį ir argumentą. Akivaizdu, kad. Formalus skaičiavimas naudojant formulę: .
Akivaizdu (arba 180 laipsnių). Brėžinyje kampas pažymėtas mėlyna spalva. Taigi skaičius trigonometrine forma yra: .

Egzaminas:

4) Ir ketvirtas įdomus atvejis. Pavaizduokime skaičių trigonometrine forma. Raskime jo modulį ir argumentą. Akivaizdu, kad. Formalus skaičiavimas naudojant formulę: .

Argumentą galima parašyti dviem būdais: Pirmasis būdas: (270 laipsnių) ir atitinkamai: . Egzaminas:

Tačiau ši taisyklė yra labiau standartinė: Jei kampas didesnis nei 180 laipsnių, tada rašoma minuso ženklu ir priešinga kampo orientacija („slinkimas“): (minus 90 laipsnių), brėžinyje kampas pažymėtas žaliai. Tai lengva pastebėti ir yra to paties kampo.

Taigi įrašas yra tokia forma:

Dėmesio! Jokiu būdu nenaudokite kosinuso pariteto, sinuso nelygybės ir dar labiau „supaprastinkite“ žymėjimą:

Beje, naudinga atsiminti trigonometrinių ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų išvaizdą ir savybes, yra paskutinėse puslapio pastraipose Pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Ir sudėtingus skaičius išmoksite daug lengviau!

Paprasčiausių pavyzdžių dizaine reikėtų rašyti: „akivaizdu, kad modulis lygus... akivaizdu, kad argumentas lygus...“. Tai tikrai akivaizdu ir lengvai išsprendžiama žodžiu.

Pereikime prie įprastesnių atvejų. Kaip jau pastebėjau, su moduliu nėra jokių problemų, visada turėtumėte naudoti formulę. Tačiau argumento radimo formulės bus skirtingos, tai priklauso nuo to, kuriame koordinačių ketvirtyje yra skaičius. Šiuo atveju galimi trys variantai (naudinga juos nukopijuoti į užrašų knygelę):

1) Jei (1 ir 4 koordinačių ketvirčiai arba dešinioji pusplokštuma), tada argumentą reikia rasti naudojant formulę.

2) Jei (2 koordinačių ketvirtis), tada argumentą reikia rasti naudojant formulę .

3) Jei (3 koordinačių ketvirtis), tada argumentą reikia rasti naudojant formulę .

8 pavyzdys

Kompleksinius skaičius pavaizduokite trigonometrine forma: , , , .

Kadangi yra paruoštų formulių, brėžinio pildyti nebūtina. Tačiau yra vienas dalykas: kai jūsų prašoma pavaizduoti skaičių trigonometrine forma, tada Bet kokiu atveju geriau piešti. Faktas yra tai, kad mokytojai dažnai atmeta sprendimą be piešinio, nes tai yra rimta minuso ir nesėkmės priežastis.

Ech, šimtą metų nieko nepiešiu ranka, štai:

Kaip visada, pasirodė šiek tiek purvinas =)

Pateiksiu skaičius ir kompleksine forma, pirmas ir trečias skaičiai bus skirti savarankiškam sprendimui.

Pavaizduokime skaičių trigonometrine forma. Raskime jo modulį ir argumentą.