Sąlyginiai skirstymo dėsniai. Regresija.
Apibrėžimas. Vieno iš dvimačio atsitiktinio dydžio (X, Y) vienmačio komponento sąlyginis pasiskirstymo dėsnis yra jo pasiskirstymo dėsnis, apskaičiuojamas su sąlyga, kad kitas komponentas įgavo tam tikrą reikšmę (arba pateko į kokį nors intervalą). Ankstesnėje paskaitoje nagrinėjome diskrečiųjų atsitiktinių dydžių sąlyginių skirstinių radimą. Ten taip pat pateiktos sąlyginių tikimybių formulės:
Ištisinių atsitiktinių dydžių atveju būtina nustatyti sąlyginių skirstinių j y (x) ir j X (y) tikimybių tankius. Tuo tikslu pateiktose formulėse įvykių tikimybes pakeičiame jų „tikimybės elementais“!
sumažinę dx ir dy gauname:
tie. dvimačio atsitiktinio dydžio vienos iš vienmačių dedamųjų sąlyginis tikimybės tankis yra lygus jo jungtinio tankio ir kitos dedamosios tikimybės tankio santykiui. Šie santykiai parašyti formoje
vadinami pasiskirstymo tankių dauginimo teorema (taisykle).
Sąlyginiai tankiai j y (x) ir j X (y). turi visas „besąlyginio“ tankio savybes.
Tiriant dvimačius atsitiktinius dydžius, atsižvelgiama į vienmačių komponentų X ir Y skaitines charakteristikas – matematinius lūkesčius ir dispersijas. Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui (X, Y) jie nustatomi pagal formules:
Kartu su jais nagrinėjamos ir skaitinės sąlyginių skirstinių charakteristikos: sąlyginiai matematiniai lūkesčiai M x (Y) ir M y (X) bei sąlyginės dispersijos D x (Y) ir D Y (X). Šios charakteristikos randamos naudojant įprastas matematinių lūkesčių ir dispersijos formules, kuriose vietoj įvykių tikimybių ar tikimybių tankių naudojamos sąlyginės tikimybės arba sąlyginių tikimybių tankiai.
Sąlyginis matematinis atsitiktinio dydžio Y lūkestis, kai X = x, t.y. M x (Y) yra x funkcija, vadinama regresijos funkcija arba tiesiog Y regresija X. Panašiai M Y (X) vadinama regresijos funkcija arba tiesiog X regresija nuo Y. Šių funkcijų grafikai yra vadinamos regresijos linijomis (arba regresijos kreivėmis) Y atitinkamai X arba X pagal Y.
Priklausomi ir nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai.
Apibrėžimas. Atsitiktiniai dydžiai X ir Y vadinami nepriklausomais, jei jų jungtinė skirstymo funkcija F(x,y) vaizduojama kaip šių atsitiktinių dydžių pasiskirstymo funkcijų F 1 (x) ir F 2 (y) sandauga, t.y.
Kitu atveju atsitiktiniai dydžiai X ir Y vadinami priklausomais.
Du kartus diferencijuodami lygybę argumentų x ir y atžvilgiu, gauname
tie. nepriklausomiems nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams X ir Y jų bendras tankis j(x,y) yra lygus šių atsitiktinių dydžių tikimybių tankių j 1 (x) ir j 2 (y) sandaugai.
Iki šiol susidurdavome su funkcinio ryšio tarp kintamųjų X ir Y samprata, kai kiekviena vieno kintamojo reikšmė x atitiko griežtai apibrėžtą kito reikšmę. Pavyzdžiui, ryšys tarp dviejų atsitiktinių dydžių – sugedusių įrenginių skaičiaus per tam tikrą laikotarpį ir jų kainos – yra funkcinis.
Apskritai jie susiduria su kitokio tipo priklausomybe, ne tokia stipria nei funkcinė.
Apibrėžimas. Ryšys tarp dviejų atsitiktinių dydžių vadinamas tikimybiniu (stochastiniu arba statistiniu), jei kiekviena vieno iš jų reikšmė atitinka tam tikrą (sąlyginį) kito pasiskirstymą.
Tikimybinės (stochastinės) priklausomybės atveju, žinant vieno iš jų reikšmę, tiksliai nustatyti kito reikšmę neįmanoma, tačiau galima tik nurodyti kito dydžio pasiskirstymą. Pavyzdžiui, įrangos gedimų skaičiaus ir jos prevencinio remonto kainos santykis, žmogaus svoris ir ūgis, laikas, kurį moksleivis praleidžia žiūrėdamas televizorių ir skaitydamas knygas ir kt. yra tikimybiniai (stochastiniai).
Fig. 5.10 paveiksle pateikti priklausomų ir nepriklausomų atsitiktinių dydžių X ir Y pavyzdžiai.
Tirdami atsitiktinių dydžių sistemas, visada turėtumėte atkreipti dėmesį į jų priklausomybės laipsnį ir pobūdį. Ši priklausomybė gali būti daugiau ar mažiau ryški, daugiau ar mažiau artima. Kai kuriais atvejais ryšys tarp atsitiktinių dydžių gali būti toks glaudus, kad žinodami vieno atsitiktinio dydžio reikšmę, galite tiksliai nurodyti kito reikšmę. Kitu kraštutiniu atveju priklausomybė tarp atsitiktinių dydžių yra tokia silpna ir tolima, kad juos praktiškai galima laikyti nepriklausomais.
Nepriklausomų atsitiktinių dydžių samprata yra viena iš svarbių tikimybių teorijos sąvokų.
Sakoma, kad atsitiktinis dydis nepriklauso nuo atsitiktinio dydžio, jei kintamojo pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo to, kokią reikšmę kintamasis įgyja.
Ištisinių atsitiktinių dydžių nepriklausomumo sąlyga gali būti parašyta taip:
bet kuriuo .
Priešingai, jei tai priklauso nuo , tada
.
Įrodykime, kad atsitiktinių dydžių priklausomybė arba nepriklausomybė visada yra abipusė: jei reikšmė nepriklauso nuo .
Iš tiesų, tegul tai nepriklauso nuo:
. (8.5.1)
Iš (8.4.4) ir (8.4.5) formulių turime:
iš kur, atsižvelgiant į (8.5.1), gauname:
Q.E.D.
Kadangi atsitiktinių dydžių priklausomybė ir nepriklausomybė visada yra abipusės, galime pateikti naują nepriklausomų atsitiktinių dydžių apibrėžimą.
Atsitiktiniai dydžiai vadinami nepriklausomais, jei kiekvieno iš jų pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo kito paimtos reikšmės. Kitu atveju kiekiai vadinami priklausomais.
Nepriklausomiems nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams pasiskirstymo dėsnių daugybos teorema yra tokia:
, (8.5.2)
tai nepriklausomų atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymo tankis yra lygus atskirų į sistemą įtrauktų kintamųjų pasiskirstymo tankių sandaugai.
Sąlyga (8.5.2) gali būti laikoma būtina ir pakankama atsitiktinių dydžių nepriklausomumo sąlyga.
Dažnai pagal pačią funkcijos formą galima daryti išvadą, kad atsitiktiniai dydžiai yra nepriklausomi, ty jei pasiskirstymo tankis suskaidomas į dviejų funkcijų sandaugą, kurių viena priklauso tik nuo, kita tik nuo, tada yra nepriklausomi.
Pavyzdys. Sistemos pasiskirstymo tankis turi tokią formą:
.
Nustatykite, ar atsitiktiniai dydžiai ir yra priklausomi ar nepriklausomi.
Sprendimas. Atsižvelgiant į vardiklį, turime:
.
Iš to, kad funkcija skyla į dviejų funkcijų sandaugą, iš kurių viena priklauso tik nuo , o kita tik nuo , darome išvadą, kad dydžiai ir turi būti nepriklausomi. Iš tiesų, taikydami (8.4.2) ir (8.4.3) formules, turime:
;
panašiai
,
kaip galime tuo įsitikinti
ir todėl kiekiai ir yra nepriklausomi.
Aukščiau pateiktas atsitiktinių dydžių priklausomybės ar nepriklausomumo vertinimo kriterijus remiasi prielaida, kad sistemos pasiskirstymo dėsnis mums yra žinomas. Praktikoje dažniau būna atvirkščiai: nežinomas sistemos skirstymo dėsnis; Žinomi tik atskirų į sistemą įtrauktų dydžių pasiskirstymo dėsniai, ir yra pagrindo manyti, kad dydžiai yra nepriklausomi. Tada sistemos pasiskirstymo tankį galime užrašyti kaip atskirų į sistemą įtrauktų dydžių pasiskirstymo tankių sandaugą.
Išsamiai pakalbėkime apie svarbias atsitiktinių dydžių „priklausomybės“ ir „nepriklausomybės“ sąvokas.
Atsitiktinių dydžių „nepriklausomybės“ sąvoka, kurią naudojame tikimybių teorijoje, šiek tiek skiriasi nuo įprastos kintamųjų „priklausomybės“ sąvokos, kurią naudojame matematikoje. Iš tiesų, paprastai dydžių „priklausomybe“ turime omenyje tik vienos rūšies priklausomybę - visišką, standžią, vadinamąją funkcinę priklausomybę. Du dydžiai vadinami funkciškai priklausomais, jei, žinodami vieno iš jų vertę, galite tiksliai nurodyti kito vertę.
Tikimybių teorijoje susiduriame su kitu, bendresniu, priklausomybės tipu – tikimybine arba „stochastine“ priklausomybe. Jei dydis yra susietas su dydžiu tikimybine priklausomybe, tai žinant reikšmę, tikslios reikšmės nurodyti neįmanoma, tačiau galima nurodyti tik jo pasiskirstymo dėsnį, kuris priklauso nuo to, kokią reikšmę įgavo dydis.
Tikimybinis ryšys gali būti daugiau ar mažiau artimas; Didėjant tikimybinės priklausomybės artumui, ji tampa vis artimesnė funkcinei. Taigi funkcinė priklausomybė gali būti laikoma kraštutiniu, ribojančiu artimiausios tikimybinės priklausomybės atveju. Kitas kraštutinis atvejis yra visiška atsitiktinių dydžių nepriklausomybė. Tarp šių dviejų kraštutinių atvejų yra visos tikimybinės priklausomybės gradacijos – nuo stipriausios iki silpniausios. Tie fizikiniai dydžiai, kuriuos praktikoje laikome funkciškai priklausomais, iš tikrųjų yra susiję labai artima tikimybine priklausomybe: esant tam tikrai vieno iš šių dydžių vertei, kitas svyruoja tokiose siaurose ribose, kad praktiškai gali būti laikomas gana apibrėžta. Kita vertus, tie dydžiai, kuriuos mes laikome nepriklausomais praktikoje ir realybėje, dažnai yra tam tikroje tarpusavio priklausomybėje, tačiau ši priklausomybė yra tokia silpna, kad praktiniais tikslais jos gali būti nepaisoma.
Tikimybinė priklausomybė tarp atsitiktinių dydžių praktikoje yra labai paplitusi. Jei atsitiktiniai dydžiai yra tikimybinėje priklausomybėje, tai nereiškia, kad pasikeitus reikšmei reikšmė keičiasi labai apibrėžtu būdu; tai tiesiog reiškia, kad keičiantis dydžiui, dydis taip pat turi tendenciją keistis (pavyzdžiui, didėja arba mažėja, kai didėja). Ši tendencija pastebima tik „vidutiniškai“, bendrais bruožais ir kiekvienu atskiru atveju galimi nukrypimai nuo jos.
Apsvarstykite, pavyzdžiui, du tokius atsitiktinius dydžius: - atsitiktinai paimto žmogaus ūgį, - jo svorį. Akivaizdu, kad kiekiai ir yra tam tikru tikimybiniu ryšiu; tai išreiškiama tuo, kad apskritai didesnio ūgio žmonės turi daugiau svorio. Jūs netgi galite sukurti empirinę formulę, kuri apytiksliai pakeistų šią tikimybinę priklausomybę funkcine. Tai, pavyzdžiui, gerai žinoma formulė, kuri apytiksliai išreiškia ūgio ir svorio santykį.
Du atsitiktiniai dydžiai $X$ ir $Y$ vadinami nepriklausomais, jei vieno atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis nesikeičia priklausomai nuo to, kokias galimas reikšmes įgyja kitas atsitiktinis kintamasis. Tai yra, bet kurių $x$ ir $y$ įvykiai $X=x$ ir $Y=y$ yra nepriklausomi. Kadangi įvykiai $X=x$ ir $Y=y$ yra nepriklausomi, tai pagal nepriklausomų įvykių tikimybių sandaugos teoremą $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ dešinė)\right)=P \left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.
1 pavyzdys . Atsitiktinis dydis $X$ išreiškia grynuosius laimėjimus iš vienos loterijos „Russian Lotto“ bilietų, o atsitiktinis dydis $Y$ – grynuosius laimėjimus iš kitos loterijos „Auksinis raktas“ bilietų. Akivaizdu, kad atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ bus nepriklausomi, nes vienos loterijos bilietų laimėjimai nepriklauso nuo laimėjimų paskirstymo iš kitos loterijos bilietų dėsnio. Tuo atveju, kai atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ išreikštų tos pačios loterijos laimėjimus, akivaizdu, kad šie atsitiktiniai dydžiai būtų priklausomi.
2 pavyzdys . Du darbuotojai dirba skirtinguose cechuose ir gamina įvairius gaminius, nesusijusius vienas su kitu gamybos technologijomis ir naudojamomis žaliavomis. Pirmojo darbuotojo per pamainą pagamintų nekokybiškų gaminių skaičiaus paskirstymo įstatymas yra tokia forma:
$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
\ brokuotų \ gaminių skaičius \ x & 0 ir 1 \\
\hline
Tikimybė ir 0,8 ir 0,2 \\
\hline
\end(masyvas)$
Sugedusių gaminių skaičius, kurį per pamainą pagamina antrasis darbuotojas, atitinka šį paskirstymo dėsnį.
$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
\ brokuotų \ gaminių skaičius \ y & 0 ir 1 \\
\hline
Tikimybė ir 0,7 ir 0,3 \\
\hline
\end(masyvas)$
Raskime paskirstymo dėsnį sugedusių gaminių skaičiui, pagaminamų dviejų darbuotojų per pamainą.
Tegul atsitiktinis kintamasis $X$ yra sugedusių gaminių, pagamintų pirmojo darbuotojo per pamainą, skaičius, o $Y$ – gaminių su trūkumais, pagamintų antrojo darbuotojo per pamainą, skaičius. Pagal sąlygą atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ yra nepriklausomi.
Dviejų darbuotojų per pamainą pagamintų gaminių su defektais skaičius yra atsitiktinis dydis $X+Y$. Galimos jo vertės yra $0,\1$ ir $2$. Raskime tikimybes, su kuriomis atsitiktinis kintamasis $X+Y$ įgauna savo reikšmes.
$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right) =0.8\cdot 0.7=0.56.$
$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\Y=1\ or\X=1,\Y=0\right)=P\left(X=0\right) )P\kairė(Y=1\dešinė)+P\kairė(X=1\dešinė)P\kairė(Y=0\dešinė)=0,8\ctaškas 0,3+0,2\ctaškas 0,7 =0,38.$
$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right) =0.2\cdot 0.3=0.06.$
Tada sugedusių gaminių, pagamintų dviejų darbuotojų per pamainą, skaičiaus pasiskirstymo dėsnis:
$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
\ brokuotų \ produktų skaičius & 0 & 1 ir 2 \\
\hline
Tikimybė ir 0,56 ir 0,38 ir 0,06\\
\hline
\end(masyvas)$
Ankstesniame pavyzdyje atlikome operaciją su atsitiktiniais dydžiais $X,\Y$, būtent, radome jų sumą $X+Y$. Dabar pateikime griežtesnį atsitiktinių dydžių operacijų (sudėties, skirtumo, daugybos) apibrėžimą ir pateiksime sprendimų pavyzdžius.
1 apibrėžimas. Atsitiktinio kintamojo $X$ sandauga $kX$ iš pastovaus kintamojo $k$ yra atsitiktinis kintamasis, kuris įgyja reikšmes $kx_i$ su tokiomis pačiomis tikimybėmis $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \taškai ,\ n\ dešinė)$.
2 apibrėžimas. Atsitiktinių dydžių $X$ ir $Y$ suma (skirtumas arba sandauga) yra atsitiktinis dydis, kurio visos galimos formos $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ arba $x_i\cdot y_i$) , kur $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, su tikimybėmis $p_(ij)$, kad atsitiktinis kintamasis $X$ įgis $x_i$, o $Y$ – $y_j$:
$$p_(ij)=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right].$$
Kadangi atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ yra nepriklausomi, tai pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ dešinėje)= p_i\cdot p_j$.
3 pavyzdys . Nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai $X,\ Y$ nurodomi jų tikimybių skirstymo dėsniais.
$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
x_i ir -8 ir 2 ir 3 \\
\hline
p_i ir 0,4 ir 0,1 ir 0,5 \\
\hline
\end(masyvas)$
$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
y_i ir 2 ir 8 \\
\hline
p_i ir 0,3 ir 0,7 \\
\hline
\end(masyvas)$
Suformuluokime atsitiktinio dydžio $Z=2X+Y$ pasiskirstymo dėsnį. Atsitiktinių dydžių $X$ ir $Y$ suma, ty $X+Y$, yra atsitiktinis kintamasis, kurio visos galimos reikšmės yra $x_i+y_j$, kur $i=1,\ 2 ,\taškai ,\ n$ , su tikimybėmis $p_(ij)$, kad atsitiktinis kintamasis $X$ įgis $x_i$, o $Y$ - $y_j$: $p_(ij)=P\left [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. Kadangi atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ yra nepriklausomi, tai pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ dešinėje)= p_i\cdot p_j$.
Taigi, jis turi atsitiktinių dydžių $2X$ ir $Y$ pasiskirstymo dėsnius.
$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
x_i ir -16 ir 4 ir 6 \\
\hline
p_i ir 0,4 ir 0,1 ir 0,5 \\
\hline
\end(masyvas)$
$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
y_i ir 2 ir 8 \\
\hline
p_i ir 0,3 ir 0,7 \\
\hline
\end(masyvas)$
Kad būtų patogiau rasti visas sumos $Z=2X+Y$ reikšmes ir jų tikimybes, sudarysime pagalbinę lentelę, kurios kiekviename langelyje kairiajame kampe patalpinsime sumos $ reikšmes. Z=2X+Y$, o dešiniajame kampe – šių reikšmių tikimybės, gautos kaip rezultatas, padauginus atitinkamų atsitiktinių dydžių $2X$ ir $Y$ reikšmių tikimybes.
Dėl to gauname paskirstymą $Z=2X+Y$:
$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
z_i ir -14 ir -8 ir 6 ir 12 ir 10 ir 16 \\
\hline
p_i ir 0,12 ir 0,28 ir 0,03 ir 0,07 ir 0,15 ir 0,35 \\
\hline
\end(masyvas)$
