Skaičiaus 5 matematinio lūkesčio reikšmė. Diskretaus atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis

Matematinis lūkestis (vidutinė vertė) atsitiktinis kintamasis X pateiktas diskretiškai tikimybių erdvė, skaičius m =M[X]=∑x i p i vadinamas, jei eilutė absoliučiai konverguoja.

Paslaugos paskirtis. Naudodamiesi paslauga internetinis režimas yra skaičiuojami matematinis lūkestis, dispersija ir vidurkis standartinis nuokrypis (žr. pavyzdį). Be to, nubraižytas skirstinio funkcijos F(X) grafikas.

Atsitiktinio dydžio matematinio lūkesčio savybės

1. Laukimas pastovią vertę lygus sau pačiam: M[C]=C, C yra konstanta;
2. M=C M[X]
3. Atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai: M=M[X]+M[Y]
4. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai: M=M[X] M[Y] , jei X ir Y yra nepriklausomi.

Dispersijos savybės

1. Konstantos reikšmės dispersija lygi nuliui: D(c)=0.
2. Pastovų koeficientą galima ištraukti iš po dispersijos ženklo, padalijus jį kvadratu: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Jeigu atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi, tai sumos dispersija lygi dispersijų sumai: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Jei atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra priklausomi: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Sklaidai tinka ši skaičiavimo formulė:
   D(X) = M(X 2)-(M(X)) 2

Pavyzdys. Žinomi dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių X ir Y matematiniai lūkesčiai ir dispersijos: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Raskite atsitiktinio dydžio Z=9X-8Y+7 matematinę lūkestį ir dispersiją.
Sprendimas. Remiantis matematinio lūkesčio savybėmis: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Remiantis dispersijos savybėmis: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 – 64*6 = 345

Matematinės lūkesčių skaičiavimo algoritmas

1. Poras dauginame po vieną: x i iš p i .
2. Sudėkite kiekvienos poros sandaugą x i p i .
   Pavyzdžiui, jei n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

1 pavyzdys.

2 pavyzdys. Diskretus atsitiktinis kintamasis turi tokią pasiskirstymo eilutę:

Sprendimas. A reikšmė randama iš santykio: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 arba 0,24 = 3 a , iš kur a = 0,08

3 pavyzdys. Nustatykite diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį, jei žinoma jo dispersija, ir x 1 x 1 = 6; x 2 =9; x 3 =x; x 4 = 15
p 1 = 0,3; p 2 = 0,3; p 3 = 0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96

Sprendimas.
Čia reikia sukurti dispersijos d(x) nustatymo formulę:
d(x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m(x) 2
kur lūkestis m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Mūsų duomenims
m(x)=6*0,3+9*0,3+x3 *0,1+15*0,3=9+0,1x3
12,96 = 6 2 0,3 + 9 2 0,3 + x 3 2 0,1 + 15 2 0,3-(9 + 0,1 x 3) 2
arba -9/100 (x 2 -20x+96) = 0
Atitinkamai, turime rasti lygties šaknis, ir jų bus dvi.
x 3 = 8, x 3 = 12
Pasirinkite tą, kuris atitinka sąlygą x 1 x 3 = 12

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis
x 1 = 6; x 2 =9; x 3 = 12; x 4 = 15
p 1 = 0,3; p 2 = 0,3; p 3 = 0,1; p 4 =0,3

Tikimybių teorija – speciali matematikos šaka, kurią studijuoja tik aukštųjų mokyklų studentai. Ar jums patinka skaičiavimai ir formulės? Ar bijote perspektyvų pažinti normalųjį skirstinį, ansamblio entropiją, matematinius lūkesčius ir diskretiškojo atsitiktinio dydžio sklaidą? Tada ši tema jums bus labai įdomi. Susipažinkime su keliomis svarbiausiomis pagrindinėmis šios mokslo šakos sąvokomis.

Prisiminkime pagrindus

Net jei prisimenate paprasčiausias tikimybių teorijos sąvokas, nepamirškite pirmųjų straipsnio pastraipų. Esmė ta, kad be aiškaus pagrindų supratimo negalėsite dirbti su toliau aptartomis formulėmis.

Taigi, įvyksta koks nors atsitiktinis įvykis, koks nors eksperimentas. Dėl savo veiksmų galime sulaukti kelių rezultatų – vieni iš jų pasitaiko dažniau, kiti rečiau. Įvykio tikimybė – tai faktiškai gautų vieno tipo baigčių skaičiaus ir bendro galimų baigčių skaičiaus santykis. Tik žinodami klasikinį šios sąvokos apibrėžimą, galite pradėti tyrinėti nuolatinių atsitiktinių dydžių matematinius lūkesčius ir sklaidą.

Aritmetinis vidurkis

Dar mokykloje per matematikos pamokas pradėjai dirbti su aritmetiniu vidurkiu. Ši sąvoka plačiai naudojama tikimybių teorijoje, todėl jos negalima ignoruoti. Šiuo metu mums svarbiausia, kad su juo susidursime atsitiktinio dydžio matematinio lūkesčio ir sklaidos formulėse.

Turime skaičių seką ir norime rasti aritmetinį vidurkį. Viskas, ko mums reikia, yra susumuoti viską, kas turima, ir padalyti iš sekos elementų skaičiaus. Turėkime skaičius nuo 1 iki 9. Elementų suma bus lygi 45, o šią reikšmę padalinsime iš 9. Atsakymas: - 5.

Sklaida

Moksliniu požiūriu dispersija yra vidutinis gautų charakteristikos verčių nuokrypių kvadratas nuo aritmetinio vidurkio. Jis žymimas viena didžiąja lotyniška raide D. Ko reikia norint ją apskaičiuoti? Kiekvienam sekos elementui apskaičiuojame skirtumą tarp esamo skaičiaus ir aritmetinio vidurkio ir jį kvadratu. Bus lygiai tiek daug vertybių, kiek gali būti renginio, kurį svarstome, rezultatų. Toliau viską susumuojame ir padalijame iš sekos elementų skaičiaus. Jei turime penkis galimus rezultatus, padalinkite iš penkių.

Dispersija taip pat turi savybių, kurias reikia atsiminti, kad ją būtų galima panaudoti sprendžiant problemas. Pavyzdžiui, kai atsitiktinis dydis padidėja X kartų, dispersija padidėja X kvadratu kartų (t. y. X*X). Jis niekada nėra mažesnis už nulį ir nepriklauso nuo verčių keitimo aukštyn arba žemyn vienodais kiekiais. Be to, nepriklausomų bandymų atveju sumos dispersija yra lygi dispersijų sumai.

Dabar neabejotinai turime apsvarstyti diskretinio atsitiktinio dydžio dispersijos ir matematinio lūkesčio pavyzdžius.

Tarkime, kad atlikome 21 eksperimentą ir gavome 7 skirtingus rezultatus. Kiekvieną iš jų stebėjome atitinkamai 1, 2, 2, 3, 4, 4 ir 5 kartus. Kam bus lygi dispersija?

Pirmiausia apskaičiuokime aritmetinį vidurkį: elementų suma, žinoma, yra 21. Padalinkite ją iš 7, gaudami 3. Dabar iš kiekvieno pradinės sekos skaičiaus atimkite 3, kiekvieną reikšmę padėkite kvadratu ir sudėkite rezultatus. Rezultatas yra 12. Dabar tereikia skaičių padalyti iš elementų skaičiaus, ir, atrodytų, viskas. Bet yra laimikis! Tai aptarkime.

Priklausomybė nuo eksperimentų skaičiaus

Pasirodo, skaičiuojant dispersiją, vardiklyje gali būti vienas iš dviejų skaičių: arba N, arba N-1. Čia N yra atliktų eksperimentų skaičius arba sekos elementų skaičius (kuris iš esmės yra tas pats). Nuo ko tai priklauso?

Jei testų skaičius matuojamas šimtais, į vardiklį turime įrašyti N, jei vienetais, tada N-1. Mokslininkai nusprendė nubrėžti ribą gana simboliškai: šiandien ji eina per skaičių 30. Jei atlikome mažiau nei 30 eksperimentų, tada sumą padalinsime iš N-1, o jei daugiau, tai iš N.

Užduotis

Grįžkime prie mūsų dispersijos ir matematinių lūkesčių problemos sprendimo pavyzdžio. Gavome tarpinį skaičių 12, kurį reikėjo padalyti iš N arba N-1. Kadangi atlikome 21 eksperimentą, tai yra mažiau nei 30, pasirinksime antrąjį variantą. Taigi atsakymas yra toks: dispersija yra 12/2 = 2.

Laukimas

Pereikime prie antrosios koncepcijos, kurią turime apsvarstyti šiame straipsnyje. Matematinis lūkestis yra visų galimų rezultatų, padaugintų iš atitinkamų tikimybių, rezultatas. Svarbu suprasti, kad gauta reikšmė, kaip ir dispersijos skaičiavimo rezultatas, visai problemai gaunamas tik vieną kartą, nesvarbu, kiek rezultatų joje atsižvelgiama.

Matematinio lūkesčio formulė gana paprasta: imame rezultatą, padauginame iš jo tikimybės, pridedame tą patį antram, trečiam rezultatui ir tt Viską, kas susiję su šia sąvoka, nesunku apskaičiuoti. Pavyzdžiui, numatomų verčių suma yra lygi numatomai sumos vertei. Tas pats pasakytina ir apie darbą. Ne kiekvienas dydis tikimybių teorijoje leidžia atlikti tokias paprastas operacijas. Paimkime problemą ir apskaičiuokime dviejų sąvokų, kurias iš karto nagrinėjome, reikšmę. Be to, mus blaškė teorija – laikas praktikuotis.

Kitas pavyzdys

Atlikome 50 bandymų ir gavome 10 rūšių rezultatų – skaičių nuo 0 iki 9 – skirtingu procentais. Tai yra atitinkamai: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Prisiminkite, kad norint gauti tikimybes, reikia padalyti procentines reikšmes iš 100. Taigi gauname 0,02; 0,1 ir kt. Pateiksime atsitiktinio dydžio dispersijos ir matematinio lūkesčio uždavinio sprendimo pavyzdį.

Aritmetinį vidurkį apskaičiuojame pagal formulę, kurią prisimename iš pradinės mokyklos: 50/10 = 5.

Dabar paverskime tikimybes į rezultatų skaičių „gabalais“, kad būtų lengviau skaičiuoti. Gauname 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ir 9. Iš kiekvienos gautos reikšmės atimame aritmetinį vidurkį, po kurio kiekvieną gautą rezultatą padalome kvadratu. Pažiūrėkite, kaip tai padaryti naudojant pirmąjį elementą kaip pavyzdį: 1 - 5 = (-4). Kitas: (-4) * (-4) = 16. Jei norite naudoti kitas reikšmes, atlikite šiuos veiksmus patys. Jei viską padarėte teisingai, sudėję juos visus gausite 90.

Tęskime dispersijos ir numatomos vertės skaičiavimą, 90 padalydami iš N. Kodėl mes pasirenkame N, o ne N-1? Teisingai, nes atliktų eksperimentų skaičius viršija 30. Taigi: 90/10 = 9. Gavome dispersiją. Jei gausite kitą numerį, nenusiminkite. Greičiausiai padarėte paprastą klaidą skaičiavimuose. Dar kartą patikrinkite, ką parašėte, ir tikriausiai viskas atsistos į savo vietas.

Galiausiai prisiminkite matematinio lūkesčio formulę. Visų skaičiavimų nepateiksime, tik parašysime atsakymą, kuriuo galėsite pasitikrinti atlikę visas reikalingas procedūras. Numatoma vertė bus 5,48. Prisiminkime tik, kaip atlikti operacijas, kaip pavyzdį naudodami pirmuosius elementus: 0*0.02 + 1*0.1... ir pan. Kaip matote, mes tiesiog padauginame rezultato vertę iš jos tikimybės.

Nukrypimas

Kita sąvoka, glaudžiai susijusi su sklaida ir matematiniais lūkesčiais, yra standartinis nuokrypis. Jis žymimas arba lotyniškomis raidėmis sd, arba graikiškomis mažosiomis raidėmis „sigma“. Ši koncepcija parodo, kiek vidutiniškai reikšmės nukrypsta nuo pagrindinės funkcijos. Norėdami sužinoti jo reikšmę, turite apskaičiuoti dispersijos kvadratinę šaknį.

Jei nubraižote normalaus pasiskirstymo grafiką ir norite tiesiogiai jame matyti kvadratinį nuokrypį, tai galima padaryti keliais etapais. Paimkite pusę vaizdo į kairę arba į dešinę nuo režimo (centrinė reikšmė), nubrėžkite statmeną horizontaliai ašiai, kad gautų figūrų plotai būtų lygūs. Atkarpos tarp pasiskirstymo vidurio ir gautos projekcijos į horizontaliąją ašį dydis parodys standartinį nuokrypį.

Programinė įranga

Kaip matyti iš formulių aprašymų ir pateiktų pavyzdžių, dispersijos ir matematinės lūkesčių skaičiavimas aritmetiniu požiūriu nėra pati paprasčiausia procedūra. Norint nešvaistyti laiko, prasminga naudoti aukštosiose mokyklose naudojamą programą - ji vadinama „R“. Jame yra funkcijų, leidžiančių apskaičiuoti daugelio sąvokų reikšmes iš statistikos ir tikimybių teorijos.

Pavyzdžiui, nurodote reikšmių vektorių. Tai daroma taip: vektorius<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Apibendrinant

Sklaida ir matematinis lūkestis yra be kurių sunku ką nors apskaičiuoti ateityje. Pagrindiniame paskaitų kurse universitetuose jos aptariamos jau pirmaisiais dalyko studijų mėnesiais. Būtent dėl ​​šių paprastų sąvokų nesuvokimo ir nesugebėjimo jų apskaičiuoti daugelis studentų iš karto pradeda atsilikti nuo programos, o vėliau sesijos pabaigoje gauna blogus pažymius, o tai atima stipendijas.

Praktikuokite bent vieną savaitę, pusvalandį per dieną, spręsdami užduotis, panašias į pateiktas šiame straipsnyje. Tada atlikdami bet kurį tikimybių teorijos testą galėsite susidoroti su pavyzdžiais be pašalinių patarimų ir sukčiavimo lapų.

Diskrečiųjų ir nuolatinių atsitiktinių dydžių pagrindinės skaitinės charakteristikos: matematinė tikėtis, dispersija ir standartinis nuokrypis. Jų savybės ir pavyzdžiai.

Pasiskirstymo dėsnis (paskirstymo funkcija ir pasiskirstymo eilutė arba tikimybių tankis) visiškai apibūdina atsitiktinio dydžio elgesį. Tačiau daugelyje problemų pakanka žinoti kai kurias skaitines tiriamos vertės charakteristikas (pavyzdžiui, jos vidutinę vertę ir galimą nuokrypį nuo jos), kad būtų galima atsakyti į pateiktą klausimą. Panagrinėkime pagrindines skaitines diskrečiųjų atsitiktinių dydžių charakteristikas.

Apibrėžimas 7.1.Matematinis lūkestis Diskretusis atsitiktinis dydis yra jo galimų reikšmių sandaugų ir atitinkamų tikimybių suma:

M(X) = X 1 r 1 + X 2 r 2 + … + x p p p.(7.1)

Jei atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius yra begalinis, tada, jei gauta eilutė absoliučiai suartėja.

1 pastaba. Matematinis lūkestis kartais vadinamas svertinis vidurkis, nes jis yra apytiksliai lygus daugelio eksperimentų metu stebimų atsitiktinio dydžio verčių aritmetiniam vidurkiui.

2 pastaba. Iš matematinio lūkesčio apibrėžimo išplaukia, kad jo reikšmė yra ne mažesnė už mažiausią įmanomą atsitiktinio dydžio reikšmę ir ne didesnė už didžiausią.

3 pastaba. Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis yra neatsitiktinis(nuolatinis. Vėliau pamatysime, kad tas pats pasakytina ir apie nuolatinius atsitiktinius dydžius.

Pavyzdys 1. Raskite atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą X- standartinių dalių skaičius tarp trijų, parinktų iš 10 dalių partijos, įskaitant 2 su defektais. Sukurkime paskirstymo seriją X. Iš probleminių sąlygų matyti, kad X gali įgauti reikšmes 1, 2, 3. Tada

2 pavyzdys. Nustatykite atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius X– monetų metimų skaičius prieš pirmą kartą pasirodžius herbui. Šis dydis gali įgyti begalinį skaičių reikšmių (galimų reikšmių rinkinys yra natūraliųjų skaičių rinkinys). Jo platinimo serija yra tokia:

+ (skaičiuojant du kartus naudota be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumos formulė: , iš kur ).

Matematinės lūkesčių savybės.

1) Matematinis konstantos lūkestis yra lygus pačiai konstantai:

M(SU) = SU.(7.2)

Įrodymas. Jei svarstysime SU kaip diskrečiųjų atsitiktinių dydžių, turinčių tik vieną reikšmę SU su tikimybe r= 1, tada M(SU) = SU?1 = SU.

2) Pastovus koeficientas gali būti paimtas iš matematinio lūkesčio ženklo:

M(CX) = CM(X). (7.3)

Įrodymas. Jei atsitiktinis dydis X pateikta paskirstymo serijomis

Tada M(CX) = Cx 1 r 1 + Cx 2 r 2 + … + Cx p p p = SU(X 1 r 1 + X 2 r 2 + … + x p r p) = CM(X).

Apibrėžimas 7.2. Vadinami du atsitiktiniai dydžiai nepriklausomas, jei vieno iš jų paskirstymo dėsnis nepriklauso nuo to, kokias reikšmes įgavo kitas. Kitu atveju atsitiktiniai dydžiai priklausomas.

Apibrėžimas 7.3. Paskambinkime nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandauga X Ir Y atsitiktinis kintamasis XY, kurių galimos reikšmės yra lygios visų galimų verčių sandaugoms X visoms įmanomoms vertybėms Y, o atitinkamos tikimybės lygios veiksnių tikimybių sandaugoms.

3) Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai:

M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)

Įrodymas. Norėdami supaprastinti skaičiavimus, apsiribojame tuo atveju, kai X Ir Y paimkite tik dvi galimas reikšmes:

Vadinasi, M(XY) = x 1 y 1 ?p 1 g 1 + x 2 y 1 ?p 2 g 1 + x 1 y 2 ?p 1 g 2 + x 2 y 2 ?p 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 p 1 + x 2 p 2) + + y 2 g 2 (x 1 p 1 + x 2 p 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 p 1 + x 2 p 2) = M(X)?M(Y).

1 pastaba. Panašiai galite įrodyti šią savybę didesniam skaičiui galimų veiksnių verčių.

2 pastaba. 3 savybė galioja bet kokio nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugai, kuri įrodoma matematine indukcija.

Apibrėžimas 7.4. Apibrėžkime atsitiktinių dydžių suma X Ir Y kaip atsitiktinis dydis X+Y, kurių galimos reikšmės yra lygios kiekvienos galimos reikšmės sumoms X su visomis įmanomomis vertybėmis Y; tokių sumų tikimybės yra lygios terminų tikimybių sandaugoms (priklausomiems atsitiktiniams dydžiams - vieno nario tikimybės sandaugai su sąlygine antrojo tikimybe).

4) Dviejų atsitiktinių dydžių (priklausomų arba nepriklausomų) sumos matematinė lūkestis yra lygi terminų matematinių lūkesčių sumai:

M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)

Įrodymas.

Dar kartą panagrinėkime atsitiktinius dydžius, apibrėžtus skirstinio eilutėmis, pateiktomis 3 savybės įrodyme. Tada galimos reikšmės X+Y yra X 1 + adresu 1 , X 1 + adresu 2 , X 2 + adresu 1 , X 2 + adresu 2. Jų tikimybes pažymėkime atitinkamai kaip r 11 , r 12 , r 21 ir r 22. Mes rasime M(X+Y) = (x 1 + y 1)p 11 + (x 1 + y 2)p 12 + (x 2 + y 1)p 21 + (x 2 + y 2)p 22 =

= x 1 (p 11 + p 12) + x 2 (p 21 + p 22) + y 1 (p 11 + p 21) + y 2 (p 12 + p 22).

Įrodykime tai r 11 + r 22 = r 1. Iš tiesų, įvykis, kuris X+Y imsis vertybių X 1 + adresu 1 arba X 1 + adresu 2 ir kurio tikimybė yra r 11 + r 22 sutampa su įvykiu, kuris X = X 1 (jo tikimybė yra r 1). Panašiai įrodyta, kad p 21 + p 22 = r 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2. Reiškia,

M(X+Y) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).

komentuoti. Iš 4 savybės išplaukia, kad bet kokio atsitiktinių dydžių skaičiaus suma yra lygi terminų matematinių lūkesčių sumai.

Pavyzdys. Raskite taškų, gautų metant penkis kauliukus, sumos matematinį lūkestį.

Raskime matematinį taškų skaičiaus tikėjimą metant vieną kauliuką:

M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Tas pats skaičius yra lygus matematiniam bet kurio kauliuko išmestų taškų skaičiaus lūkesčiui. Todėl pagal 4 turtą M(X)=

Sklaida.

Norint susidaryti idėją apie atsitiktinio dydžio elgesį, neužtenka žinoti tik jo matematinius lūkesčius. Panagrinėkime du atsitiktinius kintamuosius: X Ir Y, nurodyta formos paskirstymo serijomis

Mes rasime M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Kaip matote, abiejų dydžių matematiniai lūkesčiai yra vienodi, bet jei HM(X) gerai apibūdina atsitiktinio dydžio elgesį, nes jis yra labiausiai tikėtina jo reikšmė (o likusios reikšmės mažai skiriasi nuo 50), tada reikšmės Yžymiai pašalintas iš M(Y). Todėl kartu su matematiniu lūkesčiu pageidautina žinoti, kiek atsitiktinio dydžio reikšmės nuo jo nukrypsta. Šiam rodikliui apibūdinti naudojama dispersija.

Apibrėžimas 7.5.Sklaida (išsklaidymas) Atsitiktinio kintamojo matematinis tikėjimasis kvadrato nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio:

D(X) = M (X-M(X))². (7.6)

Raskime atsitiktinio dydžio dispersiją X(standartinių dalių skaičius tarp pasirinktų) šios paskaitos 1 pavyzdyje. Apskaičiuokime kiekvienos galimos reikšmės nuokrypį nuo matematinio lūkesčio kvadratu:

(1–2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Vadinasi,

1 pastaba. Nustatant sklaidą, vertinamas ne pats nuokrypis nuo vidurkio, o jo kvadratas. Tai daroma taip, kad skirtingų ženklų nukrypimai nepanaikintų vienas kito.

2 pastaba. Iš dispersijos apibrėžimo matyti, kad šis dydis turi tik neneigiamas reikšmes.

3 pastaba. Yra patogesnė skaičiavimams dispersijos skaičiavimo formulė, kurios pagrįstumas įrodomas šioje teoremoje:

7.1 teorema.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Įrodymas.

Naudojant ką M(X) yra pastovi reikšmė, o matematinės lūkesčių savybės, formulę (7.6) transformuojame į formą:

D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) – 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) – 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), ką reikėjo įrodyti.

Pavyzdys. Apskaičiuokime atsitiktinių dydžių dispersijas X Ir Y aptarta šio skyriaus pradžioje. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(Y) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Taigi antrojo atsitiktinio dydžio dispersija kelis tūkstančius kartų didesnė už pirmojo. Taigi, net ir nežinodami šių dydžių pasiskirstymo dėsnių, remdamiesi žinomomis sklaidos reikšmėmis galime teigti, kad X mažai nukrypsta nuo savo matematinių lūkesčių, o už Yšis nukrypimas yra gana reikšmingas.

Sklaidos savybės.

1) Pastovios reikšmės dispersija SU lygus nuliui:

D (C) = 0. (7.8)

Įrodymas. D(C) = M((C-M(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.

2) Pastovus koeficientas gali būti paimtas iš dispersijos ženklo padalijus jį kvadratu:

D(CX) = C² D(X). (7.9)

Įrodymas. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =

= C² D(X).

3) Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija yra lygi jų dispersijų sumai:

D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)

Įrodymas. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +

+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).

1 išvada. Kelių tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija yra lygi jų dispersijų sumai.

2 išvada. Konstantos ir atsitiktinio dydžio sumos dispersija lygi atsitiktinio dydžio dispersijai.

4) Skirtumo tarp dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių dispersija yra lygi jų dispersijų sumai:

D(X-Y) = D(X) + D(Y). (7.11)

Įrodymas. D(X-Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).

Dispersija suteikia atsitiktinio dydžio kvadratinio nuokrypio nuo vidurkio vidutinę reikšmę; pačiam nuokrypiui įvertinti naudojama reikšmė, vadinama standartiniu nuokrypiu.

Apibrėžimas 7.6.Standartinis nuokrypisσ atsitiktinis dydis X vadinama dispersijos kvadratine šaknimi:

Pavyzdys. Ankstesniame pavyzdyje standartiniai nuokrypiai X Ir Y yra atitinkamai vienodi

Lūkesčiai ir dispersija yra dažniausiai naudojamos atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos. Jie apibūdina svarbiausius pasiskirstymo požymius: jo padėtį ir sklaidos laipsnį. Daugelyje praktinių uždavinių pilna, išsami atsitiktinio dydžio charakteristika – pasiskirstymo dėsnis – arba išvis negali būti gauta, arba visai nereikalinga. Tokiais atvejais apsiribojama apytiksliu atsitiktinio dydžio aprašymu, naudojant skaitines charakteristikas.

Tikėtina vertė dažnai vadinama tiesiog vidutine atsitiktinio dydžio verte. Atsitiktinio dydžio sklaida yra dispersijos charakteristika, atsitiktinio dydžio sklaida aplink jo matematinį lūkestį.

Diskretaus atsitiktinio dydžio lūkestis

Priartėkime prie matematinio lūkesčio sampratos, pirmiausia remdamiesi mechaniniu diskretiškojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo aiškinimu. Tegul masės vienetas pasiskirsto tarp x ašies taškų x1 , x 2 , ..., x n, ir kiekvienas materialus taškas turi atitinkamą masę p1 , p 2 , ..., p n. Būtina pasirinkti vieną tašką abscisių ašyje, apibūdinantį visos materialių taškų sistemos padėtį, atsižvelgiant į jų mases. Natūralu tokiu tašku laikyti materialių taškų sistemos masės centrą. Tai yra atsitiktinio dydžio svertinis vidurkis X, prie kurios kiekvieno taško abscisė xiįeina su „svoriu“, lygiu atitinkamai tikimybei. Tokiu būdu gauta vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė X vadinamas jo matematiniu lūkesčiu.

Matematinė diskretiškojo atsitiktinio dydžio viltis yra visų jo galimų reikšmių sandaugų ir šių reikšmių tikimybių suma:

1 pavyzdys. Surengta loterija, kuriai laimi. Yra 1000 laimėjimų, iš kurių 400 yra 10 rublių. 300-20 rublių kiekvienas. 200-100 rublių kiekvienas. ir po 100-200 rublių. Koks yra vidutinis laimėjimas perkant vieną bilietą?

Sprendimas. Vidutinį laimėjimą rasime, jei bendrą laimėjimų sumą, kuri yra 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 rublių, padalinsime iš 1000 (bendra laimėjimų suma). Tada gauname 50000/1000 = 50 rublių. Tačiau vidutinio laimėjimo apskaičiavimo išraiška gali būti pateikta tokia forma:

Kita vertus, tokiomis sąlygomis laimėjimo dydis yra atsitiktinis dydis, kurio reikšmės gali būti 10, 20, 100 ir 200 rublių. su tikimybėmis, atitinkamai lygiomis 0,4; 0,3; 0,2; 0.1. Todėl numatomas vidutinis laimėjimas yra lygus laimėjimų dydžio ir tikimybės juos gauti sandaugų sumai.

2 pavyzdys. Leidykla nusprendė išleisti naują knygą. Knygą jis planuoja parduoti už 280 rublių, iš kurių 200 gaus pats, 50 – knygynui ir 30 – autoriui. Lentelėje pateikiama informacija apie knygos išleidimo kaštus ir tikimybę parduoti tam tikrą knygos egzempliorių skaičių.

Raskite numatomą leidėjo pelną.

Sprendimas. Atsitiktinis dydis „pelnas“ yra lygus skirtumui tarp pardavimo pajamų ir išlaidų sąnaudų. Pavyzdžiui, jei parduodama 500 knygos egzempliorių, tada pardavimo pajamos yra 200 * 500 = 100 000, o išleidimo kaina - 225 000 rublių. Taigi leidėjui gresia 125 000 rublių nuostolis. Šioje lentelėje apibendrinamos tikėtinos atsitiktinio dydžio – pelno – reikšmės:

Taigi gauname matematinius leidėjo pelno lūkesčius:

.

3 pavyzdys. Tikimybė pataikyti vienu šūviu p= 0,2. Nustatykite sviedinių sunaudojimą, kuris matematiškai tikisi, kad smūgių skaičius lygus 5.

Sprendimas. Iš tos pačios matematinės lūkesčių formulės, kurią naudojome iki šiol, išreiškiame x- apvalkalo suvartojimas:

.

4 pavyzdys. Nustatykite atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą x smūgių skaičius trimis šūviais, jei kiekvieno šūvio pataikymo tikimybė p = 0,4 .

Patarimas: raskite atsitiktinių kintamųjų reikšmių tikimybę pagal Bernulio formulė .

Matematinės lūkesčių savybės

Panagrinėkime matematinio lūkesčio savybes.

1 nuosavybė. Matematinis pastovios vertės lūkestis yra lygus šiai konstantai:

2 nuosavybė. Pastovų koeficientą galima išimti iš matematinio lūkesčio ženklo:

3 nuosavybė. Atsitiktinių dydžių sumos (skirtumo) matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai (skirtumui):

4 nuosavybė. Atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai:

5 nuosavybė. Jei visos atsitiktinio dydžio reikšmės X sumažinti (padidėti) tuo pačiu skaičiumi SU, tada jo matematinis lūkestis sumažės (padidės) tokiu pat skaičiumi:

Kai negali apsiriboti vien matematiniais lūkesčiais

Daugeliu atvejų tik matematinis lūkestis negali pakankamai apibūdinti atsitiktinio kintamojo.

Tegul atsitiktiniai dydžiai X Ir Y pateikiami šiais platinimo dėsniais:

Šių dydžių matematiniai lūkesčiai yra vienodi – lygūs nuliui:

Tačiau jų paskirstymo modeliai skiriasi. Atsitiktinis kintamasis X gali imti tik reikšmes, kurios mažai skiriasi nuo matematinio lūkesčio, ir atsitiktinį kintamąjį Y gali priimti vertes, kurios labai skiriasi nuo matematinio lūkesčio. Panašus pavyzdys: vidutinis darbo užmokestis neleidžia spręsti apie daug ir mažai apmokamų darbuotojų dalį. Kitaip tariant, iš matematinio lūkesčio negalima spręsti, kokie nukrypimai nuo jo, bent jau vidutiniškai, galimi. Norėdami tai padaryti, turite rasti atsitiktinio dydžio dispersiją.

Diskretinio atsitiktinio dydžio dispersija

Dispersija diskrečiųjų atsitiktinių dydžių X vadinamas jo nuokrypio nuo matematinio lūkesčio kvadrato matematiniu lūkesčiu:

Atsitiktinio dydžio standartinis nuokrypis X jos dispersijos kvadratinės šaknies aritmetinė reikšmė vadinama:

.

5 pavyzdys. Apskaičiuokite atsitiktinių dydžių dispersijas ir standartinius nuokrypius X Ir Y, kurių paskirstymo dėsniai pateikti aukščiau esančiose lentelėse.

Sprendimas. Atsitiktinių dydžių matematiniai lūkesčiai X Ir Y, kaip nurodyta aukščiau, yra lygūs nuliui. Pagal dispersijos formulę at E(X)=E(y)=0 gauname:

Tada atsitiktinių dydžių standartiniai nuokrypiai X Ir Y grimuoti

.

Taigi su tais pačiais matematiniais lūkesčiais atsitiktinio dydžio dispersija X labai mažas, bet atsitiktinis dydis Y- reikšmingas. Tai yra jų pasiskirstymo skirtumų pasekmė.

6 pavyzdys. Investuotojas turi 4 alternatyvius investicinius projektus. Lentelėje su atitinkama tikimybe apibendrinamas šių projektų numatomas pelnas.

Raskite kiekvienos alternatyvos matematinį lūkestį, dispersiją ir standartinį nuokrypį.

Sprendimas. Parodykime, kaip šios vertės apskaičiuojamos trečiajai alternatyvai:

Lentelėje apibendrinamos rastos visų alternatyvų reikšmės.

Visos alternatyvos turi tuos pačius matematinius lūkesčius. Tai reiškia, kad ilgainiui visi turi vienodas pajamas. Standartinis nuokrypis gali būti interpretuojamas kaip rizikos matas – kuo jis didesnis, tuo didesnė investicijos rizika. Investuotojas, nenorintis didelės rizikos, rinksis 1 projektą, nes jo standartinis nuokrypis yra mažiausias (0). Jei investuotojas teikia pirmenybę rizikai ir didelei grąžai per trumpą laikotarpį, jis rinksis projektą su didžiausiu standartiniu nuokrypiu – 4 projektą.

Dispersijos savybės

Pateiksime dispersijos savybes.

1 nuosavybė. Pastovios vertės dispersija lygi nuliui:

2 nuosavybė. Pastovųjį koeficientą galima išimti iš dispersijos ženklo, padalijus jį kvadratu:

.

3 nuosavybė. Atsitiktinio dydžio dispersija yra lygi šios reikšmės kvadrato matematiniam lūkesčiui, iš kurio atimamas pačios reikšmės matematinio lūkesčio kvadratas:

,

Kur .

4 nuosavybė. Atsitiktinių dydžių sumos (skirtumo) dispersija yra lygi jų dispersijų sumai (skirtumui):

7 pavyzdys. Yra žinoma, kad diskretinis atsitiktinis dydis X ima tik dvi reikšmes: −3 ir 7. Be to, žinomas matematinis lūkestis: E(X) = 4. Raskite diskretinio atsitiktinio dydžio dispersiją.

Sprendimas. Pažymėkime pagal p tikimybė, su kuria atsitiktinis kintamasis įgyja reikšmę x1 = −3 . Tada vertės tikimybė x2 = 7 bus 1 − p. Išveskime matematinio lūkesčio lygtį:

E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,

kur gauname tikimybes: p= 0,3 ir 1 − p = 0,7 .

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis:

Šio atsitiktinio dydžio dispersiją apskaičiuojame pagal formulę iš 3 dispersijos savybės:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Pats raskite matematinį atsitiktinio kintamojo lūkestį ir pažiūrėkite į sprendimą

8 pavyzdys. Diskretus atsitiktinis dydis X ima tik dvi vertes. Ji priima didesnę iš reikšmių 3 su tikimybe 0,4. Be to, žinoma atsitiktinio dydžio dispersija D(X) = 6 . Raskite atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą.

9 pavyzdys. Urnoje yra 6 balti ir 4 juodi rutuliai. Iš urnos ištraukiami 3 rutuliai. Baltų rutulių skaičius tarp ištrauktų rutulių yra diskretusis atsitiktinis dydis X. Raskite šio atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius ir dispersiją.

Sprendimas. Atsitiktinis kintamasis X gali gauti reikšmes 0, 1, 2, 3. Atitinkamas tikimybes galima apskaičiuoti iš tikimybių daugybos taisyklė. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis:

Taigi matematinės šio atsitiktinio kintamojo lūkesčiai:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Tam tikro atsitiktinio dydžio dispersija yra tokia:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Ištisinio atsitiktinio dydžio lūkestis ir dispersija

Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui mechaninis matematinio lūkesčio aiškinimas išliks ta pati reikšmė: masės centras masės vienetui, nuolat paskirstytam x ašyje su tankiu. f(x). Skirtingai nuo diskretinio atsitiktinio dydžio, kurio funkcijos argumentas xi staigiai keičiasi nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui, argumentas keičiasi nuolat. Tačiau matematinis nenutrūkstamo atsitiktinio dydžio lūkestis taip pat yra susijęs su jo vidutine verte.

Norėdami rasti ištisinio atsitiktinio dydžio matematinį lūkestį ir dispersiją, turite rasti apibrėžtuosius integralus . Jei pateikiama nuolatinio atsitiktinio dydžio tankio funkcija, tada jis tiesiogiai patenka į integrandą. Jei pateikiama tikimybių skirstinio funkcija, tada ją diferencijuojant reikia rasti tankio funkciją.

Visų galimų nuolatinio atsitiktinio dydžio verčių aritmetinis vidurkis vadinamas jo matematinis lūkestis, žymimas arba .

2. Tikimybių teorijos pagrindai

Laukimas

Apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį su skaitinėmis reikšmėmis. Dažnai naudinga skaičių susieti su šia funkcija - jo „vidutinė vertė“ arba, kaip sakoma, „vidutinė vertė“, „centrinės tendencijos indeksas“. Dėl daugelio priežasčių, kai kurios iš jų paaiškės vėliau, matematinis lūkestis paprastai naudojamas kaip „vidutinė vertė“.

3 apibrėžimas. Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis X skambino numeriu

tie. matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis yra svertinė atsitiktinio dydžio reikšmių suma, kurios svoriai yra lygūs atitinkamų elementarių įvykių tikimybei.

6 pavyzdys. Apskaičiuokime matematinį skaičių, kuris rodomas kauliuko viršuje. Iš 3 apibrėžimo tiesiogiai išplaukia, kad

2 teiginys. Tegul atsitiktinis dydis X paima vertybes x 1, x 2,…, xm. Tada lygybė yra tiesa

(5)

tie. Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis yra svertinė atsitiktinio dydžio reikšmių suma, kurios svoriai yra lygūs tikimybei, kad atsitiktinis dydis įgis tam tikras reikšmes.

Skirtingai nuo (4), kai sumavimas atliekamas tiesiogiai per elementarius įvykius, atsitiktinis įvykis gali būti sudarytas iš kelių elementarių įvykių.

Kartais santykis (5) laikomas matematinio lūkesčio apibrėžimu. Tačiau naudojant 3 apibrėžimą, kaip parodyta toliau, lengviau nustatyti matematinių lūkesčių savybes, būtinas realių reiškinių tikimybiniams modeliams sudaryti, nei naudojant ryšį (5).

Norėdami įrodyti ryšį (5), suskirstome į (4) terminus su identiškomis atsitiktinio dydžio reikšmėmis:

Kadangi pastovųjį koeficientą galima išimti iš sumos ženklo, tada

Nustatant įvykio tikimybę

Naudodami paskutinius du ryšius gauname reikalingą:

Matematinio lūkesčio samprata tikimybinėje-statistinėje teorijoje atitinka svorio centro sampratą mechanikoje. Sudėkime tai į taškus x 1, x 2,…, xm masės skaičiaus ašyje P(X= x 1 ), P(X= x 2 ),…, P(X= x m) atitinkamai. Tada lygybė (5) parodo, kad šios materialių taškų sistemos svorio centras sutampa su matematiniu lūkesčiu, kuris parodo 3 apibrėžimo natūralumą.

3 teiginys. Leiskite X- atsitiktinis dydis, M(X)– jo matematinis lūkestis, A– tam tikras skaičius. Tada

1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3) M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 .

Norėdami tai įrodyti, pirmiausia panagrinėkime atsitiktinį dydį, kuris yra pastovus, t.y. funkcija elementarių įvykių erdvę atvaizduoja į vieną tašką A. Kadangi pastovųjį koeficientą galima išimti už sumos ženklo, tada

Jei kiekvienas sumos narys yra padalintas į du narius, tada visa suma padalijama į dvi sumas, iš kurių pirmąją sudaro pirmieji nariai, o antrąją sudaro antrasis. Todėl matematinis dviejų atsitiktinių dydžių sumos lūkestis X+Y, apibrėžtas toje pačioje elementariųjų įvykių erdvėje, yra lygus matematinių lūkesčių sumai M(X) Ir M(U)šie atsitiktiniai kintamieji:

M(X+Y) = M(X) + M(Y).

Ir todėl M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Kaip parodyta aukščiau, M(M(X)) = M(X). Vadinasi, M(X-M(X)) = M(X) – M(X) = 0.

Kadangi (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - a)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - a) + (M(X) – a) 2 , Tai M[(X - a) 2 ] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - a)} + M[(M(X) – a) 2 ]. Supaprastinkime paskutinę lygybę. Kaip parodyta 3 teiginio įrodymo pradžioje, matematinis konstantos lūkestis yra pati konstanta, todėl M[(M(X) – a) 2 ] = (M(X) – a) 2 . Kadangi pastovųjį daugiklį galima paimti už sumos ženklo, tada M{2(X - M(X))(M(X) - a)} = 2(M(X) - a)M(X - M(X)). Paskutinės lygybės dešinioji pusė yra 0, nes, kaip parodyta aukščiau, M(X-M(X))=0. Vadinasi, M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 , ką ir reikėjo įrodyti.

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, išplaukia, kad M[(X- a) 2 ] pasiekia minimumą A, lygus M[(X- M(X)) 2 ], adresu a = M(X), kadangi 3) lygybės antrasis narys visada yra neneigiamas ir lygus 0 tik nurodytai reikšmei A.

4 teiginys. Tegul atsitiktinis kintamasis X paima vertybes x 1, x 2,…, xm, o f yra tam tikra skaitinio argumento funkcija. Tada

Norėdami tai įrodyti, dešinėje lygybės (4) pusėje, kuri apibrėžia matematinį lūkestį, sugrupuokime terminus su tomis pačiomis reikšmėmis:

Naudodami faktą, kad pastovųjį veiksnį galima išimti iš sumos ženklo, ir atsitiktinio įvykio tikimybės apibrėžimą (2), gauname

Q.E.D.

5 teiginys. Leiskite X Ir U– atsitiktiniai dydžiai, apibrėžti toje pačioje elementariųjų įvykių erdvėje, A Ir b- kai kurie skaičiai. Tada M(aX+ pateikė Y)= aM(X)+ bM(Y).

Naudodami matematinio lūkesčio apibrėžimą ir sumavimo simbolio savybes, gauname lygybių grandinę:

Reikalingas pasitvirtino.

Aukščiau parodyta, kaip matematinis lūkestis priklauso nuo perėjimo į kitą atskaitos tašką ir kitą matavimo vienetą (perėjimas Y=aX+b), taip pat atsitiktinių dydžių funkcijoms. Gauti rezultatai nuolat naudojami atliekant techninę ir ekonominę analizę, vertinant įmonės finansinę ir ūkinę veiklą, pereinant nuo vienos valiutos prie kitos užsienio ekonominiuose skaičiavimuose, norminėje ir techninėje dokumentacijoje ir kt. tų pačių skaičiavimo formulių naudojimas įvairiems parametrų skalei ir poslinkiui.