Du atsitiktiniai dydžiai $X$ ir $Y$ vadinami nepriklausomais, jei vieno atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis nesikeičia priklausomai nuo galimas vertes paėmė kitą atsitiktinį kintamąjį. Tai yra, bet kurių $x$ ir $y$ įvykiai $X=x$ ir $Y=y$ yra nepriklausomi. Kadangi įvykiai $X=x$ ir $Y=y$ yra nepriklausomi, tai pagal tikimybių teoremos sandaugą, priklausomi įvykiai$P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\right)\right)=P\left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.

1 pavyzdys . Atsitiktinis dydis $X$ išreiškia grynuosius laimėjimus iš vienos loterijos „Russian Lotto“ bilietų, o atsitiktinis dydis $Y$ – grynuosius laimėjimus iš kitos loterijos „Auksinis raktas“ bilietų. Akivaizdu, kad atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ bus nepriklausomi, nes vienos loterijos bilietų laimėjimai nepriklauso nuo laimėjimų paskirstymo iš kitos loterijos bilietų dėsnio. Tuo atveju, kai atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ išreikštų tos pačios loterijos laimėjimus, akivaizdu, kad šie atsitiktiniai dydžiai būtų priklausomi.

2 pavyzdys . Du darbuotojai dirba skirtinguose cechuose ir gamina įvairius gaminius, nesusijusius vienas su kitu gamybos technologijomis ir naudojamomis žaliavomis. Pirmojo darbuotojo per pamainą pagamintų nekokybiškų gaminių skaičiaus paskirstymo įstatymas yra tokia forma:

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
\ brokuotų \ gaminių skaičius \ x & 0 ir 1 \\
\hline
Tikimybė ir 0,8 ir 0,2 \\
\hline
\end(masyvas)$

Priklauso nuo antrojo darbuotojo per pamainą pagamintų nekokybiškų gaminių skaičiui vadovaujantis įstatymu paskirstymus.

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
\ brokuotų \ gaminių skaičius \ y & 0 ir 1 \\
\hline
Tikimybė ir 0,7 ir 0,3 \\
\hline
\end(masyvas)$

Raskime paskirstymo dėsnį sugedusių gaminių skaičiui, pagaminamų dviejų darbuotojų per pamainą.

Tegul atsitiktinis kintamasis $X$ yra sugedusių gaminių, pagamintų pirmojo darbuotojo per pamainą, skaičius, o $Y$ – gaminių su defektais, pagamintų antrojo darbuotojo per pamainą, skaičius. Pagal sąlygą atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ yra nepriklausomi.

Dviejų darbuotojų per pamainą pagamintų gaminių su defektais skaičius yra atsitiktinis dydis $X+Y$. Galimos jo vertės yra $0,\1$ ir $2$. Raskime tikimybes, su kuriomis atsitiktinis dydis $X+Y$ įgyja savo reikšmes.

$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right) =0.8\cdot 0.7=0.56.$

$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\Y=1\ or\X=1,\Y=0\right)=P\left(X=0\right) )P\kairė(Y=1\dešinė)+P\kairė(X=1\dešinė)P\kairė(Y=0\dešinė)=0,8\ctaškas 0,3+0,2\ctaškas 0,7 =0,38.$

$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right) =0.2\cdot 0.3=0.06.$

Tada sugedusių gaminių, pagamintų dviejų darbuotojų per pamainą, skaičiaus pasiskirstymo dėsnis:

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
\ brokuotų \ produktų skaičius & 0 & 1 ir 2 \\
\hline
Tikimybė ir 0,56 ir 0,38 ir 0,06\\
\hline
\end(masyvas)$

Ankstesniame pavyzdyje atlikome operaciją atsitiktiniai dydžiai$X,\ Y$, būtent jie rado savo sumą $X+Y$. Dabar pateikime griežtesnį atsitiktinių dydžių operacijų (sudėties, skirtumo, daugybos) apibrėžimą ir pateiksime sprendimų pavyzdžius.

1 apibrėžimas. Atsitiktinio kintamojo $X$ sandauga $kX$ iš pastovaus kintamojo $k$ yra atsitiktinis kintamasis, kuris įgyja reikšmes $kx_i$ su tokiomis pačiomis tikimybėmis $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \taškai ,\ n\ dešinė)$.

2 apibrėžimas. Atsitiktinių dydžių $X$ ir $Y$ suma (skirtumas arba sandauga) yra atsitiktinis dydis, kurio visos galimos formos $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ arba $x_i\cdot y_i$) , kur $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, su tikimybėmis $p_(ij)$, kad atsitiktinis kintamasis $X$ įgis $x_i$, o $Y$ – $y_j$:

$$p_(ij)=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right].$$

Kadangi atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ yra nepriklausomi, tai pagal tikimybių daugybos teoremą už nepriklausomi renginiai: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right)=p_i\cdot p_j$.

3 pavyzdys . Nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai $X,\ Y$ nurodomi jų tikimybių pasiskirstymo dėsniais.

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
x_i ir -8 ir 2 ir 3 \\
\hline
p_i ir 0,4 ir 0,1 ir 0,5 \\
\hline
\end(masyvas)$

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
y_i ir 2 ir 8 \\
\hline
p_i ir 0,3 ir 0,7 \\
\hline
\end(masyvas)$

Suformuluokime atsitiktinio dydžio $Z=2X+Y$ pasiskirstymo dėsnį. Atsitiktinių dydžių $X$ ir $Y$ suma, ty $X+Y$, yra atsitiktinis kintamasis, kurio visos galimos reikšmės yra $x_i+y_j$, kur $i=1,\ 2 ,\taškai ,\ n$ , su tikimybėmis $p_(ij)$, kad atsitiktinis kintamasis $X$ įgis $x_i$, o $Y$ - $y_j$: $p_(ij)=P\left [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. Kadangi atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ yra nepriklausomi, tai pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ dešinėje)= p_i\cdot p_j$.

Taigi, jis turi atsitiktinių dydžių $2X$ ir $Y$ pasiskirstymo dėsnius.

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
x_i ir -16 ir 4 ir 6 \\
\hline
p_i ir 0,4 ir 0,1 ir 0,5 \\
\hline
\end(masyvas)$

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
y_i ir 2 ir 8 \\
\hline
p_i ir 0,3 ir 0,7 \\
\hline
\end(masyvas)$

Kad būtų patogiau rasti visas sumos $Z=2X+Y$ reikšmes ir jų tikimybes, sudarysime pagalbinę lentelę, kurios kiekviename langelyje kairiajame kampe patalpinsime sumos $ reikšmes. Z=2X+Y$, o dešiniajame kampe – šių reikšmių tikimybės, gautos kaip rezultatas, padauginus atitinkamų atsitiktinių dydžių $2X$ ir $Y$ reikšmių tikimybes.

Dėl to gauname paskirstymą $Z=2X+Y$:

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
z_i ir -14 ir -8 ir 6 ir 12 ir 10 ir 16 \\
\hline
p_i ir 0,12 ir 0,28 ir 0,03 ir 0,07 ir 0,15 ir 0,35 \\
\hline
\end(masyvas)$

Atsitiktinis dydis yra tikroji funkcija, kurios reikšmė nustatoma pagal savavališko eksperimento rezultatą. Kitaip tariant, atsitiktinis dydis kiekvienam imties erdvės taškui priskiria realią reikšmę. Ankstesnėje dalyje nustatėme baigtinių įvykių populiacijų tikimybes, apskaičiuodami santykinį kiekvieno įvykio pasireiškimo dažnį. Norint nustatyti nuolatinių atsitiktinių dydžių, apibrėžtų begalinėse įvykių aibėse, tikimybių tankį ir pasiskirstymo funkciją, naudojamas perėjimas prie ribos. Tolesniam pristatymui svarbios bus tikimybės laikui bėgant ir tikimybės per ansamblį sąvokos, kurios tiesiogiai lemia atsitiktinio proceso apibrėžimą kaip pavyzdinę erdvę, susidedančią iš įvykių, kurie yra laiko funkcijos. Taigi atsitiktinis procesas gali būti pavaizduotas kaip laiko funkcijų rinkinys. Sk. 3 pateiks teorijos apžvalgą atsitiktiniai procesai. Šiame skyriuje apsiribosime tik atsitiktiniais dydžiais.

Kai mėginio vieta skirta atsitiktinis eksperimentas susideda iš ištisinės, taigi begalinės, reikšmių aibės, tikimybė gauti vieną konkrečią aibės reikšmę arba elementą lygi nuliui. Tačiau suma (tikimybės per begalinį elementų skaičių visoje imties erdvėje turi būti lygi vienetui. Tokiais atvejais tikimybių skirstinio funkciją patogu apibrėžti taip:

kur yra tikimybė, kad yra mažesnė arba lygi . Norėdami tai susieti su anksčiau gautu diskretiška tikimybė, reikėtų tik pažymėti, kad įvykį tiesiog apibrėžiame kaip tokį, arba, griežčiau tariant, kad įvykis yra rezultatų rinkinys, priklausantis imties erdvei, toks, kad, t.y.

Jei tai įvykis

tada, naudodami (2.16) formulę, gauname, kad įvykio tikimybė

Jei , tai iš ankstesnės išraiškos randame

(2.19)

Riba formulėje (2.19) ties , jei ji egzistuoja, vadinama tikimybės tankio funkcija:

Iš apibrėžimo pagal (2.18) ir įvykio pagal (2.17) išplaukia, kad

Taigi tikimybė, kad įvykis yra didesnis nei , bet mažesnis arba lygus, yra lygi tikimybės tankio funkcijai, padaugintai iš . Iš (2.20) lygties matyti, kad tikimybių pasiskirstymo funkciją galima gauti integravus tikimybių tankio funkciją

. (2.22)

Toliau pateikiamos kai kurios tikimybių tankio ir pasiskirstymo funkcijų savybės, į kurias turėtumėte atkreipti dėmesį:

visiems (2,23v)

Visiems (2,23g)

(2,23 d.)

Štai keletas dažniausiai naudojamų pavyzdžių nuolatiniai paskirstymai(visais atvejais žemiau):

Uniforma:

Eksponentinis:

Pulsas:

Releyevskoe:

Gauso (normalus):

Čia yra delta funkcija; - vieneto žingsnio funkcija pradedant nuo ; - integralas su lentelėmis

.

Aukščiau pateiktų funkcijų grafikai pavaizduoti 2.1 pav. Impulsų pasiskirstymas rodo, kad diskretūs skirstiniai gali būti pavaizduoti kaip ištisiniai su tankiais kaip delta funkcijos. Normalus pasiskirstymas yra labai svarbus, kaip pamatysime vėliau.

2.1 pav. Nepertraukiamų tikimybių skirstinių pavyzdžiai: a) vienodas; b) eksponentinis; c) impulsinis; d) Rayleigh; e) Gauso

Jei yra du atsitiktiniai dydžiai ir , galime apibrėžti dvimatę tikimybių pasiskirstymo funkciją:

kuri reiškia tikimybę, mažesnę arba lygią ir mažesnę arba lygią . Norėdami susieti šią funkciją su dvimačiu diskreti funkcija tikimybių pasiskirstymas, reikia tik pažymėti, kaip ir vienmačiu atveju, kad įvykį apibrėžiame kaip įvykį, kuriame , ; kitaip tariant

(2.25)

Dabar apibrėžkime įvykį taip:

tada įvykio tikimybė

kur įvykiai , ir apibrėžiami kaip

Abi formulės (2.25) dalys gali būti padalytos ir parašytos paskirstymo funkcijomis:

Peržengę ribą, gauname

Jei dabar nustatysime ribą ties , gausime tokį svarbų rezultatą:

. (2.31)

Išraiška yra dviejų atsitiktinių dydžių bendra tikimybės tankio funkcija. Iš įvykio apibrėžimo aišku, kad

Ši išraiška yra dar vienas dviejų atsitiktinių dydžių tikimybės tankio apibrėžimas. Tikimybė, kad ir yra stačiakampėje srityje, kurią sudaro prieaugiai, yra lygi tikimybės tankio funkcijos vertei, padaugintai iš stačiakampio, kurį sudaro prieaugiai, ploto.

Tikimybių skirstinio funkciją galima parašyti integruojant išraišką (2.31):

. (2.33)

Toliau pateikiamos kai kurios dvimačio tankio ir pasiskirstymo funkcijų savybės, į kurias turėtumėte atkreipti dėmesį:

(2.34b)

Visiems ; (2,34v)

Visiems ; (2,34 g)

(2,34 d.)

(2,34e)

visiems ir (2,34 f)

(2,34z)

Jei yra daugiau nei du atsitiktiniai dydžiai, iki šiol naudotas žymėjimas tampa sudėtingas. Daug pelningiau naudoti vektorinį žymėjimą. Todėl patogu apibrėžti -dimensijos stulpelio vektorių kaip

(2.35)

kur simbolis reiškia transponuoti. Mums taip pat reikės -dimensinio vektoriaus prieaugio, kurį apibrėžsime kaip

(2.36)

Čia yra skaliarinis elementas. Turėtumėte būti atsargūs, kad atskirtumėte jį nuo diferencialinio vektoriaus, kurį apibūdinsime kaip

(2.37)

Patogumui sakysime, kad vienas vektorius yra mažesnis už kitą, kai kiekvienas pirmojo komponentas yra mažesnis už atitinkamą antrojo komponentą. Taigi šie įrašai yra lygiaverčiai:

Vektorine forma:

(2.40)

(2.41)

kur integralas su vektoriaus ribomis yra -matmenų integralas. Galime pakartotinai įsitikinti, kad atsitiktinių dydžių vektorinį atvaizdavimą daug lengviau suprasti ir su jais valdyti, nei lygiavertį skaliarinį atvaizdavimą.

Dažnai įdomu gauti tik vieno kiekio pasiskirstymą arba tankį bendras paskirstymas arba tankis. Dviejų atsitiktinių dydžių atveju iš f-l (2.33) ir (2.34d) seka

(2.43)

Taigi, individualus tikimybės tankis

(2.44)

-Dimmens atveju – vienos reikšmės individualios tikimybės tankis ( vektoriaus komponentas ) gali būti lengvai išreikštas, jei apibrėžiame -dimensinį vektorių kaip pradinį vektorių, kuriame th komponentas yra neįtrauktas, t.y.

Kadangi atsitiktinio vektoriaus tikimybės tankio funkcija yra funkcija sąnario tankis, tada individualios tikimybės tankis gali būti pavaizduotas kaip

(2.46)

Šis rezultatas lengvai taikomas tuo atveju, kai norima gauti daugiau nei vieno atsitiktinio dydžio jungties tankį iš atsitiktinių dydžių jungties tankio.

Daugeliu atvejų, norint nustatyti nuolatinius atsitiktinius dydžius, reikia žinoti sąlyginio pasiskirstymo ir tankio funkcijas. Pradėkime nuo dviejų atsitiktinių dydžių skaliariniai dydžiai ir , tada išplėskite rezultatą iki vektorinių atsitiktinių dydžių ir

Apibrėžkime du įvykius ir:

, (2.47)

Tada, pagal (2.10), tikimybė, kuri yra didesnė už , bet mažesnė arba lygi, su sąlyga, kad reikšmė yra intervale nuo iki , yra lygi. Jei įdėsime (2,65)

Daugeliu atvejų įvertinimo teorijoje ir ją taikant komunikacijose bei valdyme būtina apskaičiuoti atsitiktinių dydžių funkcijos tikimybių tankį. Dabar atkreipkime dėmesį į šią svarbią užduotį.

Dvimatis vadinamas atsitiktiniu dydžiu ( X; Y), kurių galimos reikšmės yra skaičių poros ( x; y).

Atsitiktiniai kintamieji X Ir Y, nagrinėjant kartu, sudaro dviejų atsitiktinių dydžių sistemą. Kiekvienas kiekis X Ir Y paskambino komponentas(komponentas).

Bendra dvimačio atsitiktinio dydžio charakteristika yra tikimybių pasiskirstymo funkcija, kuri parodo įvykio tikimybę ( X < x, Y < y); F(x,y) = P(X < x, Y < y).

Yra diskretieji (šių dydžių komponentai yra diskretūs) ir tolydieji (šių dydžių komponentai yra tęstiniai) dvimačiai atsitiktiniai dydžiai.

Diskretinio dvimačio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis paskambino galimų šio kiekio verčių sąrašas (ty skaičių poros) (x i ; y i) ir jų tikimybės p(x i ; y j) (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m).

Galima nurodyti dvimačio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį dvigubo įrašo lentelės, kurioje yra galimos reikšmės ir jų tikimybės, pavidalu, taip pat analitiškai, pavyzdžiui, paskirstymo funkcijos pavidalu.

Žinant dvimačio diskrečiojo dydžio pasiskirstymo dėsnį, galima rasti kiekvieno komponento pasiskirstymo dėsnius.

Pavyzdžiui, įvykiai ( X = x 1 , Y = y 1), (X = x 1 , Y = y 2), …, (X = x 1 , Y = = y m) yra nesuderinami

Taigi tikimybė, kad X paims vertę x i, yra lygi stulpelio tikimybių sumai x i. Panašiai pridedant eilutės tikimybes y j, gauname tikimybę P(Y = y j).

3.1 pavyzdys. Raskite dvimačio atsitiktinio dydžio komponentų pasiskirstymo dėsnius, nurodytus pasiskirstymo dėsniu šios lentelės pavidalu:

Sprendimas. Sudėjus tikimybes stulpeliuose, gauname galimų verčių tikimybes X: P(x 1) = 0,16; P(x 2) = 0,48; P(x 3) = 0,36.

Užrašykime komponento pasiskirstymo dėsnį X lentelės pavidalu:

Patikrinkite: 0,60 + 0,40 = 1.

3.1. Diskretinio dvimačio atsitiktinio dydžio komponentų tikimybių pasiskirstymo sąlyginiai dėsniai

Sąlyginis komponento paskirstymas X adresu Y = y j vadinama sąlyginių tikimybių aibe P(x 1 y j), P(x 2  y j), …, P(x n  y j), apskaičiuotas darant prielaidą, kad įvykis Y = y j (j turi tą pačią reikšmę visoms galimoms vertybėms X) jau atvyko.

Panašiai nustatomas ir sąlyginis komponento pasiskirstymas Y.

Sąlyginio platinimo dėsnis X darant prielaidą, kad įvykis Y = y 1 jau įvyko, galima rasti naudojant šią formulę:

. (77)

Bendruoju atveju sąlyginiai komponento dėsniai X gali būti pavaizduotas formulės forma

. (78)

Dėl komponento Y sąlyginiai dėsniai nustatomi pagal formulę

. (79)

3.2 pavyzdys. Raskite komponento sąlyginio pasiskirstymo dėsnį X su sąlyga, kad komponentas Yįgavo prasmę y 1 ir dvimatis atsitiktinis dydis ( X, Y) pateikiama pagal lentelę:

Sprendimas. Naudojant formulę

,

Kur P(y 1) = 0,10 + 0,30 + 0,20 = 0,60, randame:

;

;

.

2 skyrius. Atsitiktiniai dydžiai

Yra klasė atsitiktiniai įvykiai turintys skaitines reikšmes. Pavyzdžiui, atliekant eksperimentą su kauliukai galimi metimo rezultatai apibūdinami skaičiais 1, 2, 3, 4, 5, 6. Paprastai sakoma, kad m. panašių eksperimentų stebimi atsitiktiniai dydžiai, o ne atsitiktiniai įvykiai. Atsitiktinių įvykių vaidmenį atlieka galimos atsitiktinio dydžio reikšmės. Atsitiktiniai kintamieji yra dydžiai, kurie dėl testavimo gali įgyti tam tikras anksčiau nežinomas galimas reikšmes su tam tikra tikimybe. Priklausomai nuo atsitiktinio dydžio galimų dydžių aibės galios, išskiriami diskretieji ir tęstiniai atsitiktiniai dydžiai.

Diskretus yra atsitiktinis kintamasis, kuris su tam tikromis tikimybėmis įgauna atskiras, izoliuotas galimas reikšmes. Diskretaus atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius gali būti baigtinis.

Nepertraukiamas yra atsitiktinis kintamasis, kuris gali paimti visas reikšmes iš kokio nors baigtinio ar begalinio intervalo. Galimų verčių skaičius yra begalinis. Aprašant ištisinį atsitiktinį dydį, iš esmės neįmanoma užrašyti ir sunumeruoti visų galimų jo reikšmių, net ir priklausančių gana mažam intervalui. Šios vertybės susidaro begalinis rinkinys, kuris vadinamas kontinuumu.

Atsitiktinių dydžių teorija tiria tikimybinius reiškinius statikoje, laikydama juos kai kuriais užfiksuotais testo rezultatais. Apibūdinti procesus, kurie vystosi laikui bėgant, t. y. dinamiški atsitiktiniai reiškiniai, naudojami atsitiktinių procesų teorijos metodai, kurie taip pat gali būti diskretūs ir tęstiniai.

2.1. Diskretieji atsitiktiniai dydžiai

Nurodomas diskretinis atsitiktinis dydis. Norint nurodyti diskrečiųjį atsitiktinį kintamąjį, neužtenka išvardyti jo galimas reikšmes, reikia nurodyti ir šių reikšmių tikimybes.

Diskretaus atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra galimų diskrečiųjų atsitiktinių dydžių verčių ir jų tikimybių atitikimas. Jis gali būti nurodytas lentelėje arba analitiškai.

Pavyzdžiui, lentelė, apibūdinanti kauliuko generuojamą atsitiktinį kintamąjį

kur yra galimos atsitiktinio dydžio reikšmės ir yra šių reikšmių atsiradimo tikimybė. Kuriame .

Toliau atsitiktiniai dydžiai, priešingai nei galimos jų reikšmės, bus žymimi dideliais su lotyniškomis raidėmis.

Iliustracijai analitinė užduotis Diskretaus atsitiktinio dydžio pasiskirstymas, mes naudojame sąlygas, kurioms buvo gauta Bernoulli formulė, atsižvelgiant į įvykio atvejų skaičių šiuose testuose. Norint rasti pasiskirstymo dėsnį, būtina nustatyti galimas reikšmes ir jų tikimybes. Akivaizdu, kad įvykis bandymuose gali nepasirodyti arba pasirodyti 1 kartą arba 2 kartus. . . , arba kartus. Taigi galimos reikšmės yra: .

Šių galimų verčių tikimybes galima apskaičiuoti naudojant Bernulio formulę , Kur . Ši formulė yra analitinė norimo pasiskirstymo dėsnio išraiška. Šis skirstinys, apibrėžtas Bernoulli formule, vadinamas dvejetainiu. Pavadinimas paaiškinamas tuo, kad dešinioji pusėši formulė gali būti laikoma bendras narys Niutono dvinario išplėtimas:

Pirmasis išplėtimo terminas nustato tikimybę, kad atitinkamas įvykis įvyks kartą per metus nepriklausomi testai, antrą kartą, paskutinę kadenciją – įvykis testuose nepasirodys net vieną kartą.

Naudodami panašius samprotavimus galime gauti analitinė išraiška Puasono skirstiniui, kur .

Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos. Pasiskirstymo dėsnis visiškai apibūdina atsitiktinį kintamąjį. Tačiau dažnai paskirstymo dėsnis nežinomas ir tenka apsiriboti mažiau Išsamus aprašymas kaip skaitinės charakteristikos atsitiktiniai dydžiai.

Svarbiausios atsitiktinių dydžių skaitmeninės charakteristikos apima tikėtina vertė .

Matematinis diskretiškojo atsitiktinio dydžio lūkestis yra visų jo galimų reikšmių ir jų tikimybių sandaugų suma, t.y.

Iš apibrėžimo matyti, kad matematinis diskretiškojo atsitiktinio dydžio lūkestis yra neatsitiktinė pastovi reikšmė.

Tikimybinė matematinio lūkesčio reikšmė yra ta, kad ji yra apytikslė (kuo tikslesnė didesnis skaičius testai) yra lygus atsitiktinio dydžio stebimų verčių aritmetiniam vidurkiui.

Matematinės lūkesčių savybės:

a) matematinis lūkestis pastovią vertę lygus pastoviausiam ;

b) pastovųjį veiksnį galima išimti iš matematinio lūkesčio ženklo;

c) kelių tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinė lūkestis yra lygi jų matematinių lūkesčių sandaugai;

d) kelių atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai. Ši savybė galioja ir nepriklausomiems, ir priklausomiems atsitiktiniams dydžiams;

e) įvykio įvykių skaičiaus matematinis lūkestis A V n nepriklausomų bandymų yra lygus bandymų skaičiaus sandaugai n apie tikimybę pįvykio įvykis kiekviename bandyme, t. y. matematinis binominio skirstinio tikėjimasis.

Praktikoje dažnai reikia įvertinti galimų atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidą aplink jo vidutinę vertę. Nuokrypis yra skirtumas tarp atsitiktinio dydžio ir jo matematinio lūkesčio, t.y., bet kadangi matematinis nuokrypio lūkestis lygus nuliui, t.y. , tuomet jų nuokrypius patartina pakeisti kvadratais. Rezultatas yra tokia atsitiktinio dydžio skaitinė charakteristika, vadinama dispersija ir nustatoma pagal formulę:

Taigi, diskretinio atsitiktinio dydžio dispersija yra atsitiktinio dydžio kvadratinio nuokrypio nuo jo matematinio lūkesčio matematinis lūkestis.

Paskirstymo dėsniu duotų diskrečiųjų atsitiktinių dydžių

Ir tada pagal apibrėžimą dispersija yra lygi

Tačiau juo patogiau naudotis tokią formulę.

Dispersijos savybės:

a) pastovios reikšmės sklaida lygi nuliui;

b) pastovųjį koeficientą galima paimti iš dispersijos ženklo jį padalijus kvadratu ;

c) kelių tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija lygi šių kintamųjų dispersijų sumai;

d) dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių skirtumo dispersija lygi jų dispersijų sumai;

e) įvykio atvejų skaičiaus sklaida nepriklausomuose bandymuose, kurių kiekviename įvykio tikimybė yra pastovi, yra lygi bandymų skaičiaus sandaugai iš įvykio tikimybės ir tikimybės, kad įvykis neatsiras. įvykio įvykis viename bandyme, t. y. binominio skirstinio sklaida;

f) Puasono skirstinio dispersija;

ir) Kvadratinė šaknis nuo atsitiktinio dydžio dispersijos X vadinamas standartiniu atsitiktinio dydžio nuokrypiu X .

Atsitiktinio dydžio standartinio nuokrypio savybės:

a) pastovios reikšmės standartinis nuokrypis lygus nuliui;

b) kai atsitiktinis dydis dauginamas iš konstantos, jo standartinis nuokrypis dauginamas iš tos pačios konstantos;

c) sumos standartinis nuokrypis baigtinis skaičius porų nepriklausomų atsitiktinių dydžių yra lygus šių kintamųjų standartinių nuokrypių kvadratų sumos kvadratinei šaknis .

Daugiamačiai diskretieji atsitiktiniai dydžiai

Iki šiol mes svarstėme atsitiktinius dydžius, kurių galimas reikšmes lėmė vienas skaičius. Tokie atsitiktiniai dydžiai vadinami vienmatis. Jei galimos atsitiktinių dydžių reikšmės nustatomos dviem, trimis, . . . n skaičiai, tada jie vadinami dvimačiais, trimačiais, . . . n- matmenų atsitiktiniai dydžiai.

Diskretinio dvimačio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis (X, Y) iškvieskite galimų šio dydžio verčių sąrašą, t. y. skaičių poras (x i , y j) ir jų tikimybės p(x i , y j). Paskirstymo dėsnį galima nurodyti lentelės pavidalu.

Nuo įvykių (X = x i , Y = y i) adresu i=1,2, . . .,n Ir j = 1,2, . . . , m forma pilna grupėįvykių, tada visų lentelės langelių tikimybių suma lygi 1. Tikimybė, kad X paims vertę x i lygi tikimybių sumai in i stulpelis. Taip pat tikimybė, kad Y paims vertę y j lygi tikimybių sumai in j eilutę.

Siekiant apibūdinti priklausomybę tarp dvimačio atsitiktinio dydžio komponentų, įvedama sąlyginio skirstinio sąvoka. Sąlyginis paskirstymas, pavyzdžiui, komponentas X adresu Y=yj vadinama sąlyginių tikimybių rinkiniu, apskaičiuotu darant prielaidą, kad įvykis Y=yj jau atvyko.

Svarbiausia savybė sąlyginis skirstymas yra sąlyginis matematinis lūkestis. Sąlyginis matematinis lūkestis diskrečiųjų atsitiktinių dydžių X adresu Y=y, Kur y– tam tikra galima vertė Y, vadinamas galimų verčių sandauga X apie jų sąlygines tikimybes

.

Dviejų atsitiktinių dydžių sistemai apibūdinti, be matematinių lūkesčių ir komponentų dispersijų, naudojamos kitos charakteristikos, kurios, visų pirma, apima koreliacijos momentas ir koreliacijos koeficientas.

Koreliacijos momentas m xy atsitiktiniai dydžiai X Ir Y yra šių dydžių nuokrypių sandaugos matematinis lūkestis

Norėdami apskaičiuoti koreliacijos momentą, galite naudoti formulę: .

Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių koreliacijos momentas X Ir Y lygus 0.

Koreliacijos koeficientas atsitiktiniai dydžiai X Ir Y vadinamas koreliacinio momento ir šių dydžių standartinių nuokrypių sandauga.

Du atsitiktiniai dydžiai X Ir Y vadinami nekoreliuojamais, jei jų koreliacijos momentas yra 0. Taip pat priklauso du koreliuoti dydžiai. Ne visada galioja atvirkščiai, ty jei du atsitiktiniai dydžiai X Ir Y priklausomi, jie gali būti koreliuojami arba nekoreliuojami. Taigi iš dviejų atsitiktinių dydžių koreliacijos išplaukia jų priklausomybė, tačiau priklausomybė dar nereiškia koreliacijos. Iš dviejų atsitiktinių dydžių nepriklausomumo išplaukia, kad jie nekoreliuoja, tačiau iš nekoreliacijos vis tiek neįmanoma padaryti išvados apie šių kintamųjų nepriklausomumą.

2.2. Nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai

Nurodant nuolatinį atsitiktinį dydį. Diskretus atsitiktinis dydis nurodomas visų galimų jo reikšmių ir jų tikimybių sąrašu. Šis metodas nėra įprastas. Pagal apibrėžimą jis netaikomas nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams.

Šiuo atžvilgiu patartina duoti bendras metodas bet kokių (įskaitant atskirų) atsitiktinių dydžių tipų priskyrimus. Šiuo tikslu įvedama paskirstymo funkcijos sąvoka.

Pasiskirstymo funkcija arba kaupiamoji pasiskirstymo funkcija yra funkcija, kuri nustato tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis X bus mažesnė nei vertė x, kiekvienai vertei x, t.y.

.

Ši funkcija turi šias savybes.

1. Paskirstymo funkcijos reikšmės priklauso segmentui, t.y., kuris išplaukia iš apibrėžimo.

2. – nemažėjanti funkcija, t.y. Jeigu .

3. Tikimybė, kad atsitiktinis dydis X paims intervale esančią reikšmę (a, b), yra lygus pasiskirstymo funkcijos prieaugiui šiame intervale, t.y. .

4. Tikimybė, kad nuolatinis atsitiktinis dydis X ims vieną konkrečią reikšmę, lygią 0, t.y. prasminga atsižvelgti į smūgio tikimybę X ne iki taško, o iki intervalo, kad ir mažo.

5. Jei įmanoma, atsitiktinio dydžio reikšmės priklauso intervalui (a, b), Tai. Jei galimos atsitiktinio dydžio reikšmės yra išilgai visos ašies x, tada galioja šie ribiniai ryšiai; .

Funkcija dvinario dėsnis tikimybių skirstiniai , Kur , A x– atsitiktinis kintamasis, kurio sveikųjų skaičių reikšmės yra diapazone nuo 1 prieš n.

Binominis tikimybių skirstinys transformuojasi į Puasono skirstinį. Puasono tikimybių pasiskirstymo funkcija , Kur x- atsitiktinis kintamasis, kurio sveikųjų skaičių reikšmės yra diapazone nuo 1 prieš n.

Atsitiktiniais, anksčiau nežinomais laiko momentais įvykusių įvykių seka vadinama įvykių srautu. Pagrindinės įvykių tėkmę apibūdinančios savybės apima stacionarumo, poveikio nebuvimą ir įprastumą.

Įvykių srauto stacionarumo savybė pasireiškia tuo, kad įvykių atsiradimo bet kuriuo laiko periodu tikimybė priklauso tik nuo įvykių skaičiaus ir nuo laiko intervalo trukmės ir nepriklauso nuo įvykių pradžios. jo skaičiavimas, jei skirtingi laiko intervalai yra nesusiję.

Įvykių srauto pasekmių nebuvimo savybė pasireiškia tuo, kad įvykių tikimybė, įvyks bet kuriuo laikotarpiu, nepriklauso nuo to, ar įvykiai įvyko, ar neįvyko laiko momentu, buvusiu prieš laiko pradžią. nagrinėjamas laikotarpis. Taigi, jei įvykių srautas turi savybę neturėti pasekmių, tai bet kokio skaičiaus įvykių įvykis skirtingais nepersidengiančiais laikotarpiais yra laikomas nepriklausomu.

Įprasto įvykių srauto savybė pasireiškia tuo, kad dviejų ar daugiau įvykių per trumpą laiką įvykti praktiškai neįmanoma. Taigi, jei įvykių srautas turi įprastumo savybę, tai per be galo trumpą laiko tarpą gali atsirasti ne daugiau kaip vienas įvykis.

Įvykių srautas, turintis stacionarumo, poveikio nebuvimo ir įprastumo savybių, vadinamas paprasčiausiu arba Puasono srautu. Atsiradimo tikimybė k tam tikro laikotarpio paprasčiausio srauto įvykiai t galima apskaičiuoti naudojant Puasono formulę kur yra vidutinis įvykių, įvykusių per laiko vienetą, skaičius, vadinamas srauto intensyvumu.

Ištisinis atsitiktinis dydis gali būti nurodytas ne tik naudojant integrali funkcija pasiskirstymą, bet ir naudojant diferencinio tikimybių pasiskirstymo funkciją, dar vadinamą tikimybių tankio funkcija. Diferencinė funkcija netaikomas diskretiškojo atsitiktinio dydžio tikimybių skirstiniui nurodyti.

Tikimybių tankio funkcija apibrėžiama kaip pirmoji pasiskirstymo funkcijos išvestinė, t.y.

Ryšium su šiuo tikimybės tankio funkcijos apibrėžimu, galima teigti, kad tikimybė, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis X ims intervalui priklausančią reikšmę (a, b), yra lygus .

Žinodami tikimybių tankio funkciją, galite rasti pasiskirstymo funkciją .

Tikimybių tankio funkcijos savybės

1. Tikimybių tankio funkcija yra neneigiama, t.y.

2. Tikimybių tankio funkcijos integralas intervale nuo –µ iki +µ lygus 1, t.y.

Taigi, tikimybių tankio funkcija nustato kiekvieno taško tikimybių pasiskirstymo tankį x, t.y. tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis įgis intervalui priklausančią reikšmę, yra apytiksliai lygi (iki be galo mažų skaičių aukštesnė tvarka link Dx) tikimybės tankio sandauga taške x pagal intervalo ilgį Dx, t.y. .

Sprendžiant praktikoje iškylančias problemas, susiduriama su įvairiais nuolatinių atsitiktinių dydžių skirstiniais.

1. Vienodas paskirstymas. Pasiskirstymas vadinamas vienodu, jei intervale, kuriam priklauso visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės, tikimybės tankio funkcija turi pastovią vertę, t.y. analitiškai tai galima parašyti

2. Normalus arba Gauso skirstinys. Normalusis arba Gauso skirstinys yra nuolatinio atsitiktinio dydžio skirstinys, apibūdinamas tikimybių tankio funkcija

.

Šią funkciją nurodo du parametrai a Ir s. Parametras ašiuo atveju suprantamas kaip matematinis lūkestis ir parametras s– kaip standartinis nuokrypis normalus skirstinys.

Šios funkcijos grafikas vadinamas normaliąja kreive arba Gauso kreive. Jo savybės:

A) šią funkciją apibrėžta visoje ašyje x;

b) normalioji kreivė yra virš ašies x, nes visoms vertybėms x funkcija užima teigiamas vertes;

c) funkcijos riba su neribotu padidėjimu x yra lygus nuliui, ty ašiai x tarnauja horizontalioji asimptote grafika;

d) funkcija pasiekia maksimumą, lygią , at x=a;

e) funkcijos grafikas yra simetriškas tiesės atžvilgiu x=a;

Parametrų keitimas a, ty matematinis lūkestis, nekeičia normalios kreivės formos, bet lemia jos poslinkį išilgai abscisių ašies. Kai didėja a kreivė pasislenka į dešinę, o mažėjant – į kairę.

Kai parametras didėja s normalios kreivės maksimali ordinatė mažėja, o pati kreivė tampa plokštesnė, tai yra susitraukia link abscisių ašies. Kai parametras s mažėja, normalioji kreivė tampa smailesnė ir tęsiasi teigiama ordinačių ašies kryptimi. Figūros plotas, apribotas normalios kreivės ir x ašies, bet kurioms parametrų reikšmėms a Ir s lygus vienam. Jei normalusis skirstinys pateikiamas pagal matematinius lūkesčius, lygus nuliui ir standartinis nuokrypis, lygus vienam, tada normalioji kreivė vadinama normalizuota kreive.

Jei nuolatinis atsitiktinis dydis paklūsta normaliojo skirstinio dėsniui, tada absoliučioji vertė jo nuokrypis nuo matematinio lūkesčio neviršija trigubo standartinio nuokrypio. Šis teiginys žinomas kaip trijų sigmų taisykle.

Jei atsitiktinis dydis X pasiskirsto pagal normalųjį dėsnį, tada pagal apibrėžimą tikimybė, kad X ims reikšmę, priklausančią intervalui, lygiam . Naudojimui patogiau šią formulę transformuoti įvedant naują kintamąjį, kuris leidžia sumažinti jį iki žinomo stalo funkcija Laplasas ir gauti patogesnę išraišką:

Ištisinio atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos. Išplėskime diskrečiojo atsitiktinio dydžio skaitinių charakteristikų apibrėžimus iki nuolatinio atsitiktinio dydžio.

Tikėtina vertė nuolatinis atsitiktinis dydis X, kurių galimos reikšmės priklauso intervalui (a, b), yra apibrėžiamas kaip

.

Jei galimos reikšmės priklauso visai ašiai, tada .

Visų pirma, matematiniai lūkesčiai vienodas paskirstymas, bet normaliai.

Dispersija nuolatinis atsitiktinis dydis X vadinamas jo nuokrypio kvadrato matematiniu lūkesčiu arba .

Visų pirma, vienodo pasiskirstymo dispersija , bet normaliai.

Standartinis nuokrypis nenutrūkstamas atsitiktinis dydis apibrėžiamas kaip ir diskrečias.

Daugiamačiai nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai

Pagal analogiją su vienmačiu atveju paskirstymo funkcija (X, Y) iškviesti funkciją W(x,y), apibrėžiantis kiekvienai skaičių porai x Ir y tikimybė, kad X bus mažesnė nei vertė x, ir kur Y bus mažesnė nei vertė y, t.y.

Tikimybių tankio funkcija dvimatis nuolatinis atsitiktinis dydis (X, Y) yra apibrėžiamas kaip ir todėl .

Funkciją galima laikyti pataikymo tikimybės santykio riba atsitiktinis taškasį stačiakampį su šonais Dx Ir Dyį šio stačiakampio plotą, kai abi stačiakampio kraštinės linkusios į nulį.

Kad atsitiktiniai dydžiai X Ir Y buvo nepriklausomi, būtina ir pakanka, kad sistemos paskirstymo funkcija (X, Y) buvo lygus komponentų pasiskirstymo funkcijų sandaugai. Tas pats pasakytina ir apie tikimybės tankio funkciją.

Kaip ir dvimačiams diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams, taip ir dvimačiam nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui nustatoma koreliacijos momentas ir koreliacijos koeficientas.

Išlieka tie patys ryšiai tarp nepriklausomybės ir nekoreliacijos sąvokų. Galima padaryti reikšmingą papildymą gerai dvimačio atsitiktinio dydžio paskirstytieji komponentai. Šiuo atveju nepriklausomumo ir nekoreliacijos sąvokos yra lygiaverčiai.

Apibendrinant tai, kas buvo pasakyta apie nuolatinius atsitiktinius dydžius, galime padaryti išvadą:

1. Pagrindinės nuolatinių atsitiktinių dydžių charakteristikos yra pasiskirstymo funkcija ir tikimybių tankio funkcija.

2. Skaitiniai parametrai, apibūdinantys nuolatinį atsitiktinį kintamąjį, yra matematinės lūkesčiai ir dispersija.

3. Statistiniai ryšiai tarp daugiamačio atsitiktinio dydžio atskirų komponentų apibūdinami koreliacijos momentu.

4. Nekoreliuoti Gauso dydžiai yra statistiškai nepriklausomi.

Kontroliniai klausimai 17 paskaitai

17-1. Kokie įvykiai vadinami patikimais?

17-2. Kokie įvykiai vadinami neįmanomais?

17-3. Kokie įvykiai vadinami atsitiktiniais?

17-4. Kokie įvykiai vadinami nesuderinamais?

17-5. Kokie įvykiai vadinami vieninteliais įmanomais?

17-6. Kas yra visa renginių grupė?

17-7. Kokie įvykiai vadinami vienodai tikėtinais?

17-8. Kokie įvykiai vadinami priešingais?

17-9. Kokia įvykių suma?

17-10. Kas yra įvykių produktas?

17-11. Kokia įvykio tikimybė?

17-12. Kokia yra suderinamų įvykių sumos tikimybė?

17-13. Kokia yra sumos tikimybė nesuderinami įvykiai?

17-14. Kokia yra įvykių, kurie sudaro visą grupę, tikimybių suma?

17-15. Kas vadinama sąlyginė tikimybė?

17-16. Kokie įvykiai vadinami nepriklausomais?

17-17. Kokia yra dviejų atsitiktinių priklausomų įvykių atsiradimo tikimybė?

17-18. Kokia yra dviejų atsitiktinių nepriklausomų įvykių tikimybė?

17-19. Kokia yra įvykio, kuris gali įvykti tik tada, kai įvyksta vienas iš nesuderinamų įvykių, tikimybė? , sudaro visą grupę?

17-20. Kam naudojama Bayes formulė?

17-21. Kam naudojama Bernulio formulė?

17-22. Kam jis naudojamas? lokali teorema Laplasas?

17-23. Kam jis naudojamas? integralinė teorema Laplasas?

17-24. Kam naudojama Puasono formulė?

17-25. Koks atsitiktinis kintamasis vadinamas diskrečiu?

17-26. Koks atsitiktinis kintamasis vadinamas nuolatiniu?

17-27. Kaip vadinamas diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnis?

17-28. Kokiais būdais galima nurodyti diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį?

17-29. Koks diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis vadinamas dvejetainiu?

17-30. Kokie yra diskretinio atsitiktinio dydžio matematinės lūkesčiai?

17-31. Kokia tikimybinė matematinio lūkesčio prasmė?

17-32. Koks matematinis pastovios vertės lūkestis?

17-33. Koks matematinis pastovaus kintamojo ir atsitiktinio dydžio sandaugos lūkestis?

17-34. Kokia matematinė kelių tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandauga?

17-35. Koks yra kelių atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis?

17-36. Kokia yra dvinario skirstinio matematinė lūkestis?

17-37. Kokia yra diskretinio atsitiktinio dydžio dispersija?

17-38. Kokia yra pastovios reikšmės dispersija?

17-39. Kokia yra pastovaus ir atsitiktinio dydžio sandaugos dispersija?

17-40. Kokia yra kelių tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija?

17-41. Kokia yra dviejų tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių skirtumo dispersija?

17-42. Kokia yra dvinario skirstinio dispersija?

17-43. Kokia yra Puasono skirstinio dispersija?

17-44. Kaip vadinama atsitiktinio dydžio dispersijos kvadratinė šaknis?

17-45. Koks yra pastovios vertės standartinis nuokrypis?

17-46. Kokie diskretieji atsitiktiniai dydžiai vadinami daugiamačiais?

17-47. Koks yra diskretinio dvimačio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis?

17-48. Kas vadinama sąlyginis paskirstymas dvimatis atsitiktinis dydis?

17-49. Koks yra sąlyginis matematinis dvimačio atsitiktinio dydžio lūkestis?

17-50. Koks yra dviejų atsitiktinių dydžių sistemos koreliacijos momentas?

17-51. Koks yra dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių koreliacijos momentas?

17-52. Koks yra dviejų atsitiktinių dydžių sistemos koreliacijos koeficientas?

17-53. Kaip vadinama nuolatinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija?

17-54. Išvardykite nuolatinio atsitiktinio dydžio skirstinio funkcijos savybes?

17-55. Kas yra įvykių srautas?

17-56. Kokia yra įvykių srauto stacionari savybė?

17-57. Kokia yra įvykių srauto pasekmių nebuvimo savybė?

17-58. Kokia yra įprasto įvykių srauto savybė?

17-59. Koks įvykių srautas vadinamas Puasonu?

17-60. Koks yra Puasono įvykių srauto intensyvumas?

17-61. Kaip vadinama tikimybės tankio funkcija?

17-62. Išvardykite tikimybių tankio funkcijos savybes.

17-63. Koks pasiskirstymas vadinamas vienodu?

17-64. Koks pasiskirstymas vadinamas normaliu?

17-65. Išvardykite normalios kreivės savybes.

17-66. Kaip matematinio lūkesčio vertės pokytis veikia normaliosios kreivės formą?

17-67. Kaip normaliojo skirstinio standartinio nuokrypio reikšmės pokytis įtakoja normaliosios kreivės formą?

17-68. Kaip nustatomas nuolatinio atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis?

17-69. Kaip nustatomas tolydžio atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis su vienodu pasiskirstymo dėsniu?

17-70. Kaip yra matematinis nenutrūkstamo atsitiktinio dydžio lūkestis su normalus įstatymas paskirstymas?

17-71. Kaip nustatoma nuolatinio atsitiktinio dydžio dispersija?

17-72. Kaip nustatoma nuolatinio atsitiktinio dydžio, turinčio vienodą pasiskirstymo dėsnį, dispersija?

17-73. Kaip nustatoma nuolatinio atsitiktinio dydžio normaliojo skirstinio dispersija?

17-74. Kaip, naudojant geometrinė interpretacija, ar galime atsižvelgti į dvimačio nuolatinio atsitiktinio dydžio tikimybės tankio funkciją?

17-75. Kam turi būti lygi sistemos skirstymo funkcija? (X, Y) kad atsitiktiniai dydžiai X Ir Y buvai nepriklausomas?