Metų laikai

Pradžia

rusų literatūra 

Taigi, atsisėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui: Galite rašyti bet kokius skaičius, o jų gali būti tiek, kiek norite (mūsų atveju jų yra). Kad ir kiek skaičių berašytume, visada galime atskirti, kuris pirmas, kuris antras ir taip iki paskutinio, tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys:

Skaičių seka

yra skaičių rinkinys, kiekvienam iš kurių galima priskirti unikalų numerį.

Pavyzdžiui, mūsų seka:

Priskirtas numeris būdingas tik vienam sekos numeriui. Kitaip tariant, sekoje nėra trijų sekundžių skaičių. Antrasis skaičius (kaip ir antrasis) visada yra tas pats.

Skaičius su skaičiumi vadinamas n-tuoju sekos nariu.

Paprastai visą seką vadiname kokia nors raide (pvz.,), ir kiekvienas šios sekos narys yra ta pati raidė, kurios indeksas yra lygus šio nario skaičiui: . Mūsų atveju:.

Labiausiai paplitę progresijos tipai yra aritmetiniai ir geometriniai. Šioje temoje kalbėsime apie antrąjį tipą -

geometrinė progresija

Šiuo metu gyvenimo praktikoje geometrinė progresija pasireiškia investuojant pinigus į banką, kai už praėjusį laikotarpį sąskaitoje sukauptos sumos priskaičiuojamos palūkanos. Kitaip tariant, jei į taupyklę dedate pinigus į terminuotąjį indėlį, tai po metų indėlis padidės pradine suma, t.y. nauja suma bus lygi įnašui, padaugintam iš. Kitais metais ši suma padidės, t.y. tuo metu gauta suma vėl bus padauginta iš ir pan. Panaši situacija aprašyta vadinamųjų skaičiavimo uždaviniuose sudėtines palūkanas– procentas kiekvieną kartą imamas nuo sumos, kuri yra sąskaitoje, atsižvelgiant į ankstesnes palūkanas. Apie šias užduotis pakalbėsime šiek tiek vėliau.

Yra daug daugiau paprastų atvejų, kai taikoma geometrinė progresija. Pavyzdžiui, gripo plitimas: vienas žmogus užkrėtė kitą žmogų, jis savo ruožtu užkrėtė kitą žmogų, taigi antroji užsikrėtimo banga yra žmogus, o jie savo ruožtu užkrėtė kitą... ir taip toliau. .

Beje, finansinė piramidė, ta pati MMM, yra paprastas ir sausas skaičiavimas, pagrįstas geometrinės progresijos savybėmis. Įdomu? Išsiaiškinkime.

Geometrinė progresija.

Tarkime, kad turime skaičių seką:

Iš karto atsakysite, kad tai lengva ir tokios sekos pavadinimas yra su jos narių skirtumu. Kaip apie tai:

Jei atimsite ankstesnį skaičių iš paskesnio skaičiaus, pamatysite, kad kiekvieną kartą gausite naują skirtumą (ir taip toliau), tačiau seka tikrai egzistuoja ir ją nesunku pastebėti – kiekvienas paskesnis skaičius yra kelis kartus didesnis nei ankstesnis!

Tokio tipo skaičių seka vadinama geometrinė progresija ir yra paskirtas.

Geometrinė progresija () yra skaitinė seka, kurios pirmasis narys skiriasi nuo nulio, o kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam, padaugintam iš to paties skaičiaus. Šis skaičius vadinamas geometrinės progresijos vardikliu.

Apribojimai, kad pirmasis narys ( ) nėra lygus ir nėra atsitiktiniai. Tarkime, kad jų nėra, o pirmasis narys vis tiek lygus, o q lygus, hmm.. tegul būna, tada išeina:

Sutikite, kad tai nebėra progresas.

Kaip suprantate, gausime tuos pačius rezultatus, jei yra bet koks skaičius, išskyrus nulį, a. Tokiais atvejais tiesiog nebus progresavimo, nes visa skaičių serija bus arba visi nuliai, arba vienas skaičius, o visos likusios yra nuliai.

Dabar pakalbėkime išsamiau apie geometrinės progresijos vardiklį, tai yra, o.

Pakartokime: – tai skaičius kiek kartų keičiasi kiekvienas paskesnis terminas? geometrinė progresija.

Kaip manote, kas tai galėtų būti? Tai tiesa, teigiama ir neigiama, bet ne nulis (apie tai kalbėjome šiek tiek aukščiau).

Tarkime, kad mūsų požiūris yra teigiamas. Tegul mūsų atveju a. Kokia antrojo termino vertė ir? Galite lengvai atsakyti į tai:

tai tiesa. Atitinkamai, jei, tada visi tolesni progresavimo terminai turi tą patį ženklą - jie yra teigiami.

O jei tai neigiama? Pavyzdžiui, a. Kokia antrojo termino vertė ir?

Tai visiškai kitokia istorija

Pabandykite suskaičiuoti šios progresijos sąlygas. Kiek gavai? turiu. Taigi, jei, tada geometrinės progresijos narių ženklai pakaitomis. Tai yra, jei matote progresą su kintamaisiais jos narių ženklais, tada jo vardiklis yra neigiamas. Šios žinios gali padėti išbandyti save sprendžiant problemas šia tema.

Dabar šiek tiek pasitreniruokime: pabandykite nustatyti, kurios skaičių sekos yra geometrinė, o kurios – aritmetinė:

Supratai? Palyginkime savo atsakymus:

• Geometrinė progresija – 3, 6.
• Aritmetinė progresija – 2, 4.
• Tai nėra nei aritmetinė, nei geometrinė progresija – 1, 5, 7.

Grįžkime prie paskutinės progresijos ir pabandykime surasti jos narį, kaip ir aritmetikoje. Kaip jau spėjote, yra du būdai jį rasti.

Kiekvieną terminą paeiliui padauginame iš.

Taigi aprašytos geometrinės progresijos asis narys yra lygus.

Kaip jau atspėjote, dabar jūs patys sukursite formulę, kuri padės rasti bet kurį geometrinės progresijos narį. O gal jau sukūrėte jį sau, aprašydami, kaip žingsnis po žingsnio rasti narį? Jei taip, patikrinkite savo samprotavimų teisingumą.

Iliustruojame tai pavyzdžiu, kaip rasti šios progresijos d.

Kitaip tariant:

Pats raskite duotosios geometrinės progresijos nario reikšmę.

Ar pavyko? Palyginkime savo atsakymus:

Atkreipkite dėmesį, kad gavote lygiai tokį patį skaičių kaip ir ankstesniame metode, kai padauginome iš kiekvieno ankstesnio geometrinės progresijos nario.
Pabandykime „nuasmeninti“ šią formulę – pateikime ją bendra forma ir gaukime:

Išvestinė formulė tinka visoms reikšmėms - tiek teigiamoms, tiek neigiamoms. Patikrinkite tai patys, apskaičiuodami geometrinės progresijos sąlygas tokiomis sąlygomis: , a.

Ar skaičiavai? Palyginkime rezultatus:

Sutikite, kad progresijos terminą būtų galima rasti taip pat kaip ir terminą, tačiau yra galimybė neteisingai apskaičiuoti. Ir jei jau radome geometrinės progresijos narį, tai kas gali būti paprasčiau, nei naudoti „sutrumpintą“ formulės dalį.

Be galo mažėjanti geometrinė progresija.

Visai neseniai kalbėjome apie tai, kad jis gali būti didesnis arba mažesnis už nulį, tačiau yra specialių verčių, kurioms vadinama geometrinė progresija. be galo mažėja.

Kaip manote, kodėl toks vardas suteiktas?
Pirmiausia užsirašykime geometrinę progresiją, kurią sudaro terminai.
Tarkime, tada:

Matome, kad kiekvienas paskesnis narys yra mažesnis už ankstesnį koeficientą, bet ar bus koks nors skaičius? Iš karto atsakysite „ne“. Štai kodėl ji be galo mažėja – mažėja ir mažėja, bet niekada netampa nuliu.

Norėdami aiškiai suprasti, kaip tai atrodo vizualiai, pabandykime nubraižyti savo progreso grafiką. Taigi mūsų atveju formulė yra tokia:

Grafikuose esame įpratę braižyti priklausomybę nuo:

Išraiškos esmė nepasikeitė: pirmajame įraše parodėme geometrinės progresijos nario reikšmės priklausomybę nuo eilės skaičiaus, o antrame įraše tiesiog paėmėme geometrinės progresijos nario reikšmę kaip , o eilės numerį nurodė ne kaip, o kaip. Viskas, ką reikia padaryti, yra sukurti grafiką.
Pažiūrėkime, ką gavai. Štai diagrama, kurią sugalvojau:

ar matai? Funkcija mažėja, linkusi į nulį, bet niekada jos nekerta, todėl be galo mažėja. Pažymėkime savo taškus grafike ir tuo pačiu ką koordinatė ir reiškia:

Pabandykite schematiškai pavaizduoti geometrinės progresijos grafiką, jei jo pirmasis narys taip pat lygus. Išanalizuokite, kuo skiriasi mūsų ankstesnė diagrama?

Ar susitvarkei? Štai diagrama, kurią sugalvojau:

Dabar, kai visiškai supratote geometrinės progresijos temos pagrindus: žinote, kas tai yra, žinote, kaip rasti jos terminą, taip pat žinote, kas yra be galo mažėjanti geometrinė progresija, pereikime prie pagrindinės jos savybės.

Geometrinės progresijos savybė.

Ar prisimenate aritmetinės progresijos terminų savybę? Taip, taip, kaip rasti tam tikro progresijos skaičiaus reikšmę, kai yra ankstesnės ir vėlesnės šios progresijos sąlygų reikšmės. Ar prisimeni? Štai jis:

Dabar susiduriame su lygiai tuo pačiu klausimu dėl geometrinės progresijos sąlygų. Norėdami išvesti tokią formulę, pradėkime piešti ir samprotauti. Pamatysi, tai labai lengva, o jei pamirši, galėsi pats išsisukti.

Paimkime dar vieną paprastą geometrinę progresiją, kurioje žinome ir. Kaip rasti? Su aritmetine progresija lengva ir paprasta, bet kaip čia? Tiesą sakant, geometrijoje taip pat nėra nieko sudėtingo – tereikia kiekvieną mums pateiktą reikšmę užrašyti pagal formulę.

Galite paklausti, ką dabar turėtume su tuo daryti? Taip, labai paprasta. Pirmiausia pavaizduokime šias formules paveikslėlyje ir pabandykime su jomis atlikti įvairias manipuliacijas, kad gautume vertę.

Atsiribokime nuo mums pateiktų skaičių, susitelkime tik į jų išraišką formule. Turime rasti oranžine spalva paryškintą reikšmę, žinant šalia esančius terminus. Pabandykime su jais atlikti įvairius veiksmus, kurių pasekoje galime gauti.

Papildymas.
Pabandykime pridėti dvi išraiškas ir gausime:

Iš šios išraiškos, kaip matote, jokiu būdu negalime išreikšti, todėl bandysime kitą variantą - atimtį.

Atimtis.

Kaip matote, mes to irgi negalime išreikšti, todėl pabandykime šias išraiškas padauginti vieną iš kitos.

Daugyba.

Dabar atidžiai pažiūrėkite, ką turime, padaugindami mums pateiktos geometrinės progresijos terminus, palyginti su tuo, ką reikia rasti:

Atspėk apie ką aš kalbu? Teisingai, norėdami rasti, turime paimti kvadratinę šaknį iš geometrinės progresijos skaičių, esančių šalia pageidaujamo skaičiaus, padaugintų vieną iš kito:

Štai jums. Jūs pats išvedėte geometrinės progresijos savybę. Pabandykite parašyti šią formulę bendra forma. Ar pavyko?

Pamiršote sąlygą? Pagalvokite, kodėl tai svarbu, pavyzdžiui, pabandykite tai apskaičiuoti patys. Kas bus šiuo atveju? Teisingai, visiška nesąmonė, nes formulė atrodo taip:

Todėl nepamirškite šio apribojimo.

Dabar paskaičiuokime, kam jis lygus

Teisingas atsakymas yra! Jei skaičiuodami nepamiršote antros galimos reikšmės, tada esate puikūs ir galite iškart pereiti prie treniruočių, o jei pamiršote, perskaitykite, kas aptarta žemiau ir atkreipkite dėmesį, kodėl abi šaknys turi būti užrašytos atsakyti.

Nubraižykime abi mūsų geometrines progresijas – vieną su reikšme, o kitą su reikšme ir patikrinkime, ar abi turi teisę egzistuoti:

Norint patikrinti, ar tokia geometrinė progresija egzistuoja, ar ne, reikia išsiaiškinti, ar visi jos pateikti terminai yra vienodi? Apskaičiuokite q pirmajam ir antrajam atvejui.

Sužinok, kodėl turime parašyti du atsakymus? Nes ieškomo termino ženklas priklauso nuo to, ar jis teigiamas, ar neigiamas! Ir kadangi mes nežinome, kas tai yra, turime rašyti abu atsakymus su pliusu ir minusu.

Dabar, kai įsisavinote pagrindinius dalykus ir išvedėte geometrinės progresijos savybės formulę, suraskite, žinokite ir

Palyginkite savo atsakymus su teisingais:

Ką manote, o jei mums būtų pateiktos ne geometrinės progresijos terminų reikšmės, esančios šalia norimo skaičiaus, o vienodai nutolusios nuo jo. Pavyzdžiui, mums reikia rasti, ir duota ir. Ar šiuo atveju galime naudoti formulę, kurią išvedėme? Pabandykite patvirtinti arba paneigti šią galimybę tuo pačiu būdu, apibūdindami, iš ko susideda kiekviena reikšmė, kaip ir tada, kai iš pradžių išvedėte formulę, at.
ką gavai?

Dabar dar kartą atidžiai pažiūrėkite.
ir atitinkamai:

Iš to galime daryti išvadą, kad formulė veikia ne tik su kaimynais su norimais geometrinės progresijos nariais, bet ir su vienodu atstumu iš ko nariai ieško.

Taigi mūsų pradinė formulė yra tokia:

Tai yra, jei pirmuoju atveju mes taip sakėme, dabar sakome, kad jis gali būti lygus bet kuriam natūraliam skaičiui, kuris yra mažesnis. Svarbiausia, kad jis būtų vienodas abiem duotiesiems skaičiams.

Praktikuokite su konkrečiais pavyzdžiais, tik būkite labai atsargūs!

1. , . Rasti.
2. , . Rasti.
3. , . Rasti.

Nusprendė? Tikiuosi, buvote labai dėmesingi ir pastebėjote nedidelį laimikį.

Palyginkime rezultatus.

Pirmaisiais dviem atvejais ramiai taikome aukščiau pateiktą formulę ir gauname šias reikšmes:

Trečiuoju atveju, atidžiai ištyrę mums duotų numerių eilės numerius, suprantame, kad jie nėra vienodu atstumu nuo mūsų ieškomo numerio: tai yra ankstesnis numeris, bet yra pašalintas tam tikroje vietoje, todėl yra formulės pritaikyti neįmanoma.

Kaip tai išspręsti? Iš tikrųjų tai nėra taip sunku, kaip atrodo! Užsirašykime, iš ko susideda kiekvienas mums duotas skaičius ir skaičius, kurio ieškome.

Taigi mes turime ir. Pažiūrėkime, ką galime su jais padaryti? Siūlau padalinti iš. Mes gauname:

Mes pakeičiame savo duomenis į formulę:

Kitas žingsnis, kurį galime rasti, yra - tam turime paimti gauto skaičiaus kubo šaknį.

Dabar dar kartą pažiūrėkime, ką turime. Mes jį turime, bet turime jį rasti, o jis, savo ruožtu, yra lygus:

Radome visus skaičiavimui reikalingus duomenis. Pakeiskite formulę:

Mūsų atsakymas: .

Pabandykite patys išspręsti kitą panašią problemą:
Duota: ,
Rasti:

Kiek gavai? Aš turiu -.

Kaip matote, iš esmės jums reikia prisimink tik vieną formulę- . Visa kita galite bet kada be jokių sunkumų atsiimti patys. Norėdami tai padaryti, tiesiog užrašykite paprasčiausią geometrinę progresiją ant popieriaus lapo ir pagal aukščiau aprašytą formulę užrašykite, kam yra lygus kiekvienas jos skaičius.

Geometrinės progresijos narių suma.

Dabar pažvelkime į formules, kurios leidžia greitai apskaičiuoti geometrinės progresijos terminų sumą tam tikrame intervale:

Norėdami gauti baigtinės geometrinės progresijos narių sumos formulę, visas aukščiau pateiktos lygties dalis padauginkite iš. Mes gauname:

Atidžiai pažiūrėkite: ką bendro turi paskutinės dvi formulės? Tai tiesa, pavyzdžiui, bendrieji nariai ir pan., išskyrus pirmąjį ir paskutinįjį narį. Pabandykime atimti 1-ąjį iš 2-osios lygties. ką gavai?

Dabar formule išreikškite geometrinės progresijos terminą ir gautą išraišką pakeiskite paskutine formule:

Grupuokite išraišką. Turėtumėte gauti:

Viskas, ką reikia padaryti, tai išreikšti:

Atitinkamai, šiuo atveju.

o jeigu? Kokia formulė tada veikia? Įsivaizduokite geometrinę progresiją ties. kokia ji tokia? Identiškų skaičių serija yra teisinga, todėl formulė atrodys taip:

Yra daug legendų apie aritmetinę ir geometrinę progresiją. Viena jų – legenda apie Setą, šachmatų kūrėją.

Daugelis žmonių žino, kad šachmatų žaidimas buvo išrastas Indijoje. Kai induistų karalius ją sutiko, jis džiaugėsi jos sąmoju ir galimų joje pozicijų įvairove. Sužinojęs, kad jį sugalvojo vienas iš jo pavaldinių, karalius nusprendė jam asmeniškai atlyginti. Jis pasikvietė išradėją pas save ir liepė jo paprašyti visko, ko tik nori, pažadėdamas išpildyti net įmantriausią norą.

Seta paprašė laiko pagalvoti, o kai kitą dieną Seta pasirodė karaliui, jis nustebino karalių precedento neturinčiu prašymo kuklumu. Prašė duoti kviečio grūdą už pirmą šachmatų lentos langelį, kviečio grūdą už antrą, kviečio grūdą už trečią, ketvirtą ir t.t.

Karalius supyko ir išvijo Setą, sakydamas, kad tarno prašymas nevertas karaliaus dosnumo, bet pažadėjo, kad tarnas gaus savo grūdus už visus lentos kvadratus.

O dabar klausimas: naudodamiesi geometrinės progresijos narių sumos formule apskaičiuokite, kiek grūdelių turėtų gauti Setas?

Pradėkime samprotauti. Kadangi pagal sąlygą Setas prašė kviečio grūdo pirmam šachmatų lentos kvadratui, antram, trečiam, ketvirtam ir t.t., tai matome, kad problema susijusi su geometrine progresija. Kas šiuo atveju prilygsta?
Teisingai.

Iš viso šachmatų lentos kvadratų. Atitinkamai,. Turime visus duomenis, belieka įkišti į formulę ir paskaičiuoti.

Norėdami įsivaizduoti bent apytiksliai tam tikro skaičiaus „mastą“, transformuojame naudodami laipsnio savybes:

Žinoma, jei norite, galite paimti skaičiuotuvą ir paskaičiuoti, kokiu skaičiumi atsidursite, o jei ne, turėsite pritarti mano žodžiui: galutinė išraiškos reikšmė bus.
Tai yra:

kvintilijonas kvadrilijonas trilijonas milijardų milijonų tūkstančių tūkstančių.

Phew) Jei norite įsivaizduoti šio skaičiaus milžinišką dydį, įvertinkite, kokio dydžio tvartas būtų reikalingas visam grūdų kiekiui.
Jei tvartas yra m aukščio ir m pločio, jo ilgis turėtų tęstis km, t.y. du kartus toliau nei nuo Žemės iki Saulės.

Jei karalius būtų buvęs stiprus matematikoje, jis būtų galėjęs pakviesti patį mokslininką skaičiuoti grūdus, nes norint suskaičiuoti milijoną grūdų, jam prireiktų bent dienos nenuilstamo skaičiavimo, o atsižvelgiant į tai, kad reikia skaičiuoti kvintilijonus, grūdus tektų skaičiuoti visą gyvenimą.

Dabar išspręskime paprastą uždavinį, susijusį su geometrinės progresijos narių suma.
5A klasės mokinys Vasya susirgo gripu, bet toliau lanko mokyklą. Kasdien Vasja užkrečia du žmones, kurie savo ruožtu užkrečia dar du žmones ir pan. Klasėje yra tik žmonės. Po kiek dienų visa klasė susirgs gripu?

Taigi pirmasis geometrinės progresijos terminas yra Vasya, tai yra žmogus. Geometrinės progresijos terminas yra du žmonės, kuriuos jis užkrėtė pirmąją atvykimo dieną. Bendra pažangos terminų suma lygi 5A mokinių skaičiui. Atitinkamai, mes kalbame apie progresą, kuriame:

Pakeiskime savo duomenis į geometrinės progresijos terminų sumos formulę:

Visa klasė susirgs per kelias dienas. Netikite formulėmis ir skaičiais? Pabandykite patys pavaizduoti mokinių „užsikrėtimą“. Ar pavyko? Pažiūrėk, kaip man atrodo:

Patys paskaičiuokite, kiek dienų mokiniai susirgtų gripu, jei kiekvienas užkrėstų žmogų, o klasėje būtų tik vienas žmogus.

Kokią vertę gavai? Paaiškėjo, kad po paros visi pradėjo sirgti.

Kaip matote, tokia užduotis ir jai skirtas piešinys primena piramidę, į kurią kiekviena sekanti „atveda“ naujų žmonių. Tačiau anksčiau ar vėliau ateina momentas, kai pastarasis negali nieko patraukti. Mūsų atveju, jei įsivaizduojame, kad klasė yra izoliuota, asmuo iš uždaro grandinę (). Taigi, jei asmuo būtų įtrauktas į finansinę piramidę, kurioje pinigai buvo duodami, jei atsineštumėte dar du dalyvius, tada asmuo (ar apskritai) niekam neatsivestų, atitinkamai prarastų viską, ką investavo į šią finansinę aferą.

Viskas, kas buvo pasakyta aukščiau, reiškia mažėjančią arba didėjančią geometrinę progresiją, tačiau, kaip prisimenate, turime specialų tipą – be galo mažėjančią geometrinę progresiją. Kaip apskaičiuoti jos narių sumą? Ir kodėl tokio tipo progresas turi tam tikrų savybių? Išsiaiškinkime tai kartu.

Taigi, pirmiausia, dar kartą pažvelkime į šį be galo mažėjančios geometrinės progresijos brėžinį iš mūsų pavyzdžio:

Dabar pažvelkime į geometrinės progresijos sumos formulę, gautą šiek tiek anksčiau:
arba

Ko mes siekiame? Tiesa, diagrama rodo, kad ji linkusi į nulį. Tai yra, at, bus beveik lygus, atitinkamai, skaičiuodami išraišką gausime beveik. Šiuo atžvilgiu manome, kad skaičiuojant be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumą, į šį skliaustą galima nepaisyti, nes jis bus lygus.

- formulė yra be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių suma.

SVARBU! Be galo mažėjančios geometrinės progresijos terminų sumos formulę naudojame tik tuo atveju, jei sąlyga aiškiai nurodo, kad reikia rasti sumą begalinis narių skaičius.

Jei nurodytas konkretus skaičius n, tai naudojame formulę n narių sumai, net jei arba.

Dabar praktikuokime.

1. Raskite pirmųjų geometrinės progresijos narių sumą su ir.
2. Raskite be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių sumą su ir.

Tikiuosi, buvote labai atsargūs. Palyginkime savo atsakymus:

Dabar jūs žinote viską apie geometrinę progresiją ir laikas pereiti nuo teorijos prie praktikos. Dažniausios geometrinės progresijos problemos, su kuriomis susiduriama per egzaminą, yra sudėtingų palūkanų skaičiavimo problemos. Tai yra tie, apie kuriuos mes kalbėsime.

Sudėtinių palūkanų skaičiavimo problemos.

Tikriausiai esate girdėję apie vadinamąją sudėtinių palūkanų formulę. Ar supranti, ką tai reiškia? Jei ne, išsiaiškinkime, nes supratę patį procesą iš karto suprasite, ką geometrinė progresija turi su juo.

Visi einame į banką ir žinome, kad indėlių sąlygos yra skirtingos: tai ir terminas, ir papildomos paslaugos, ir palūkanos su dviem skirtingais jų apskaičiavimo būdais – paprastu ir sudėtingu.

SU paprastas palūkanas viskas daugmaž aišku: palūkanos skaičiuojamos vieną kartą pasibaigus indėlio terminui. Tai yra, jei sakysime, kad įnešame 100 rublių metams, tai jie bus įskaityti tik metų pabaigoje. Atitinkamai, iki indėlio pabaigos gausime rublių.

Sudėtinės palūkanos- tai yra variantas, kuriame taip atsitinka palūkanų kapitalizacija, t.y. jų pridėjimas prie indėlio sumos ir vėlesnis pajamų skaičiavimas ne nuo pradinės, o nuo sukauptos indėlio sumos. Didžiosios raidės rašomos ne nuolat, o tam tikru dažnumu. Paprastai tokie laikotarpiai yra vienodi ir dažniausiai bankai naudoja mėnesį, ketvirtį ar metus.

Tarkime, kad kasmet įnešame tuos pačius rublius, bet kas mėnesį kapitalizuojant indėlį. Ką mes darome?

Ar tu čia viską supranti? Jei ne, išsiaiškinkime tai žingsnis po žingsnio.

Į banką atnešėme rublių. Iki mėnesio pabaigos sąskaitoje turėtų būti suma, kurią sudaro mūsų rubliai ir jų palūkanos, tai yra:

Sutinku?

Mes galime jį išimti iš skliaustų ir tada gauname:

Sutikite, ši formulė jau panašesnė į tai, ką rašėme pradžioje. Belieka išsiaiškinti procentus

Problemos pareiškime mums pasakyta apie metinius tarifus. Kaip žinote, mes nedauginame iš - konvertuojame procentus į dešimtaines trupmenas, tai yra:

Tiesa? Dabar galite paklausti, iš kur atsirado šis skaičius? Labai paprasta!
Kartoju: problemos teiginys sako apie METINIS susikaupusių palūkanų MĖNESIO. Kaip žinote, per metus mėnesių, atitinkamai, bankas iš mūsų priskaičiuos dalį metinių palūkanų per mėnesį:

Suprato? Dabar pabandykite parašyti, kaip atrodys ši formulės dalis, jei pasakysiu, kad palūkanos skaičiuojamos kasdien.
Ar susitvarkei? Palyginkime rezultatus:

Gerai padaryta! Grįžkime prie savo užduoties: parašykite, kiek bus įskaityta į mūsų sąskaitą antrą mėnesį, atsižvelgiant į tai, kad nuo sukauptos indėlio sumos skaičiuojamos palūkanos.
Štai ką aš gavau:

Arba, kitaip tariant:

Manau, kad jūs jau pastebėjote modelį ir matėte geometrinę progresiją visame tame. Parašykite, kam bus lygus jo narys, arba, kitaip tariant, kokią pinigų sumą gausime mėnesio pabaigoje.
Padarė? Patikrinkim!

Kaip matote, metams įdėję pinigus į banką su paprastomis palūkanomis, gausite rublius, o jei su sudėtinėmis, gausite rublius. Nauda nedidelė, bet tai atsitinka tik per metus, tačiau ilgesniam laikotarpiui kapitalizacija yra daug pelningesnė:

Pažvelkime į kitą problemą, susijusią su sudėtinėmis palūkanomis. Po to, ką išsiaiškinsi, tau bus elementaru. Taigi, užduotis:

„Zvezda“ įmonė pradėjo investuoti į pramonę 2000 m., turėdama kapitalą doleriais. Nuo 2001 metų kasmet gaudavo pelną, prilygstantį praėjusių metų kapitalui. Kiek pelno Zvezda gaus 2003 m. pabaigoje, jei pelnas nebus išimtas iš apyvartos?

Įmonės „Zvezda“ kapitalas 2000 m.
- Zvezda bendrovės kapitalas 2001 m.
- Zvezda bendrovės kapitalas 2002 m.
- Zvezda bendrovės kapitalas 2003 m.

Arba galime trumpai parašyti:

Mūsų atveju:

2000, 2001, 2002 ir 2003 m.

Atitinkamai:
rublių
Atkreipkite dėmesį, kad šioje užduotyje mes neturime padalijimo nei pagal, nei pagal, nes procentas pateikiamas METAIS ir skaičiuojamas KASmet. Tai yra, skaitydami sudėtinių palūkanų problemą, atkreipkite dėmesį į tai, koks procentas pateikiamas ir kokiu laikotarpiu jis skaičiuojamas, ir tik tada pereikite prie skaičiavimų.
Dabar jūs žinote viską apie geometrinę progresiją.

Treniruotės.

1. Raskite geometrinės progresijos terminą, jei žinoma, kad ir
2. Raskite pirmųjų geometrinės progresijos narių sumą, jei žinoma, kad ir
3. MDM Capital bendrovė pradėjo investuoti į pramonę 2003 m., turėdama kapitalą doleriais. Nuo 2004 metų kasmet gaudavo pelną, prilygstantį praėjusių metų kapitalui. MSK Cash Flows bendrovė pradėjo investuoti į pramonę 2005 m. už 10 000 USD, o 2006 m. pradėjo nešti pelną. Kiek dolerių vienos įmonės kapitalas didesnis už kitos 2007 m. pabaigoje, jei pelnas nebūtų išimtas iš apyvartos?

Atsakymai:

1. Kadangi problemos teiginyje nesakoma, kad progresija yra begalinė, o reikia rasti konkretaus jos narių skaičiaus sumą, skaičiavimas atliekamas pagal formulę:
2. 
   MDM kapitalo įmonė:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007 m.
   - padidėja 100%, tai yra 2 kartus.
   Atitinkamai:
   rublių
   MSK pinigų srautų įmonė:

   2005, 2006, 2007 m.
   - padidėja, tai yra, kartus.
   Atitinkamai:
   rublių
   rublių

Apibendrinkime.

1) Geometrinė progresija ( ) yra skaitinė seka, kurios pirmasis narys skiriasi nuo nulio, o kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus. Šis skaičius vadinamas geometrinės progresijos vardikliu.

2) Geometrinės progresijos narių lygtis yra .

3) gali turėti bet kokias reikšmes, išskyrus ir.

• jei, tai visi tolesni progresavimo terminai turi tą patį ženklą – jie yra teigiami;
• jei, tai visi tolesni progresavimo terminai alternatyvūs ženklai;
• kai – progresija vadinama be galo mažėjančia.

4) , at – geometrinės progresijos savybė (gretimi terminai)

arba
, esant (vienodo atstumo terminai)

Kai surasi, nepamiršk turėtų būti du atsakymai.

Pavyzdžiui,

5) Geometrinės progresijos narių suma apskaičiuojama pagal formulę:
arba

arba

SVARBU! Be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių sumos formulę naudojame tik tuo atveju, jei sąlyga aiškiai nurodo, kad reikia rasti begalinio skaičiaus narių sumą.

6) Sudėtinių palūkanų problemos taip pat apskaičiuojamos naudojant geometrinės progresijos n-ojo nario formulę, jei lėšos nebuvo išimtos iš apyvartos:

GEOMETRINĖ PROGRESIJA. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Geometrinė progresija( ) yra skaitinė seka, kurios pirmasis narys skiriasi nuo nulio, o kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus. Šis numeris vadinamas geometrinės progresijos vardiklis.

Geometrinės progresijos vardiklis gali būti bet kokia reikšmė, išskyrus ir.

• Jei, tada visi tolesni progresavimo terminai turi tą patį ženklą - jie yra teigiami;
• jei, tada visi paskesni progresavimo nariai keičia ženklus;
• kai – progresija vadinama be galo mažėjančia.

Geometrinės progresijos narių lygtis - .

Geometrinės progresijos narių suma apskaičiuojamas pagal formulę:
arba

Jei progresas be galo mažėja, tada:

LIKUSIEJI 2/3 STRAIPSNIŲ PRIEINAMI TIK YOUCLEVER STUDENTIAMS!

Tapk YouClever studentu,

Pasiruoškite vieningam valstybiniam arba vieningam matematikos valstybiniam egzaminui už „puodelį kavos per mėnesį“,

Taip pat gausite neribotą prieigą prie „YouClever“ vadovėlio, „100gia“ paruošimo programos (sprendėjų knygos), neriboto bandomojo Vieningo valstybinio egzamino ir Vieningo valstybinio egzamino, 6000 problemų su sprendimų analizės ir kitų YouClever ir 100gia paslaugų.

Jau Senovės Egipte jie žinojo ne tik aritmetinę, bet ir geometrinę progresiją. Štai, pavyzdžiui, problema iš Rhindo papiruso: „Septyni veidai turi septynias kates; Kiekviena katė suėda septynias peles, kiekviena pelė suėda septynias kukurūzų varpas, o kiekviena miežių varpa gali užauginti septynis miežių matus. Kokie yra šios serijos skaičiai ir jų suma?

Ryžiai. 1. Senovės Egipto geometrinės progresijos problema

Ši užduotis buvo kartojama daug kartų su skirtingais variantais tarp kitų tautų kitu metu. Pavyzdžiui, rašytuose XIII a. Leonardo iš Pizos (Fibonačio) „Abako knyga“ turi problemą, kai pakeliui į Romą pasirodo 7 senos moterys (akivaizdu, kad piligrimai), kurių kiekviena turi po 7 mulus, kurių kiekvienas turi po 7 krepšius. yra 7 kepalai, kurių kiekviename yra 7 peiliai, kurių kiekvienas turi 7 apvalkalus. Problema klausia, kiek yra objektų.

Geometrinės progresijos S n = b 1 pirmųjų n narių suma (q n – 1) / (q – 1) . Šią formulę galima įrodyti, pavyzdžiui, taip: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

Pridėkite skaičių b 1 q n prie S n ir gaukite:

Iš čia S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), ir gauname reikiamą formulę.

Jau ant vienos iš Senovės Babilono molinių lentelių, datuojamų VI a. pr. Kr e., yra suma 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Tiesa, kaip ir daugeliu kitų atvejų, mes nežinome, kaip šis faktas buvo žinomas babiloniečiams .

Spartus geometrinės progresijos augimas daugelyje kultūrų, ypač Indijos, ne kartą naudojamas kaip vizualus visatos platybės simbolis. Garsioje legendoje apie šachmatų atsiradimą valdovas suteikia galimybę jų išradėjui pačiam pasirinkti atlygį ir klausia, kiek kviečių grūdų gausite, jei vieną padėsite į pirmą šachmatų lentos langelį, du antrasis, keturi trečioje, aštuonios ketvirtoje ir tt kiekvieną kartą skaičius padvigubėja. Vladyka manė, kad daugiausia kalbame apie kelis maišus, bet jis apsiskaičiavo. Nesunku pastebėti, kad už visus 64 šachmatų lentos langelius išradėjas turėtų gauti (2 64 – 1) grūdelius, kurie išreiškiami 20 skaitmenų skaičiumi; net jei būtų apsėtas visas Žemės paviršius, surinkti reikiamą grūdų kiekį prireiktų mažiausiai 8 metų. Ši legenda kartais interpretuojama kaip nurodanti praktiškai neribotas šachmatų žaidime slypinčias galimybes.

Nesunku suprasti, kad šis skaičius iš tikrųjų yra 20 skaitmenų:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (tiksliau apskaičiavus gaunama 1,84∙10 19). Bet įdomu, ar galite sužinoti, kokiu skaitmeniu baigiasi šis skaičius?

Geometrinė progresija gali didėti, jei vardiklis yra didesnis nei 1, arba mažėti, jei jis yra mažesnis už vieną. Pastaruoju atveju skaičius q n, esant pakankamai dideliam n, gali tapti savavališkai mažas. Didėjanti geometrinė progresija netikėtai greitai didėja, mažėjanti geometrinė progresija taip pat greitai mažėja.

Kuo didesnis n, tuo skaičius q n skiriasi nuo nulio ir tuo geometrinės progresijos S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) n narių suma artimesnė skaičiui S = b 1 / ( 1 – q). (Pavyzdžiui, F. Vietas taip samprotavo). Skaičius S vadinamas be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma. Tačiau daugelį amžių matematikams nebuvo pakankamai aiškus klausimas, ką reiškia sumuoti VISĄ geometrinę progresiją su begaliniu terminų skaičiumi.

Mažėjanti geometrinė progresija matoma, pavyzdžiui, Zenono aporijose „Pusė padalijimas“ ir „Achilas ir vėžlys“. Pirmuoju atveju aiškiai parodyta, kad visas kelias (darant prielaidą, kad ilgis yra 1) yra begalinio skaičiaus atkarpų 1/2, 1/4, 1/8 ir tt suma. Taip, žinoma, yra idėjų apie baigtinę sumą begalinės geometrinės progresijos požiūriu. Ir vis dėlto – kaip tai gali būti?

Aporijoje apie Achilą situacija kiek sudėtingesnė, nes čia progresijos vardiklis yra ne 1/2, o koks nors kitas skaičius. Tegu, pavyzdžiui, Achilas bėga greičiu v, vėžlys juda greičiu u, o pradinis atstumas tarp jų yra l. Achilas įveiks šį atstumą per laiką l/v, o per tą laiką vėžlys pajudės atstumą lu/v. Kai Achilas nubėgs šią atkarpą, atstumas tarp jo ir vėžlio taps lygus l (u /v) 2 ir tt Pasirodo, kad pasivyti vėžlį reiškia rasti be galo mažėjančios geometrinės progresijos su pirmuoju nariu sumą. l ir vardiklis u /v. Ši suma – atkarpa, kurią Achilas galiausiai nubėgs į susitikimo vietą su vėžliuku – yra lygi l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Tačiau vėlgi, kaip šis rezultatas turėtų būti interpretuojamas ir kodėl jis apskritai turi prasmę, ilgą laiką nebuvo labai aišku.

Archimedas naudojo geometrinės progresijos sumą, kad nustatytų parabolės segmento plotą. Tegul šią parabolės atkarpą riboja styga AB, o parabolės taško D liestinė yra lygiagreti AB. Tegu C yra AB vidurio taškas, E - AC, F - CB vidurio taškas. Per taškus A, E, F, B nubrėžkime tieses, lygiagrečias DC; Tegul taške D nubrėžta liestinė kerta šias tieses taškuose K, L, M, N. Taip pat nubrėžkime segmentus AD ir DB. Tegul tiesė EL kerta tiesę AD taške G, o parabolė – taške H; tiesė FM kerta tiesę DB taške Q, o parabolę taške R. Pagal bendrąją kūginių pjūvių teoriją DC yra parabolės (tai yra atkarpos, lygiagrečios jos ašiai) skersmuo; ji ir liestinė taške D gali tarnauti kaip koordinačių ašys x ir y, kuriose parabolės lygtis parašyta kaip y 2 = 2px (x yra atstumas nuo D iki bet kurio tam tikro skersmens taško, y yra atkarpa, lygiagreti duotajai liestine nuo šio skersmens taško iki tam tikro taško pačioje parabolėje).

Pagal parabolės lygtį DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, o kadangi DK = 2DL, tai KA = 4LH. Kadangi KA = 2LG, LH = HG. Parabolės atkarpos ADB plotas lygus trikampio ΔADB plotui ir atkarpų AHD ir DRB plotams kartu. Savo ruožtu segmento AHD plotas yra panašus į trikampio AHD plotą ir likusius segmentus AH ir HD, su kiekvienu iš jų galite atlikti tą pačią operaciją - padalinti į trikampį (Δ) ir du likę segmentai () ir tt:

Trikampio ΔAHD plotas lygus pusei trikampio ΔALD ploto (jie turi bendrą pagrindą AD, o aukščiai skiriasi 2 kartus), o tai, savo ruožtu, yra lygi pusei trikampio ΔALD ploto. trikampis ΔAKD, taigi pusė trikampio ΔACD ploto. Taigi, trikampio ΔAHD plotas yra lygus ketvirtadaliui trikampio ΔACD ploto. Taip pat trikampio ΔDRB plotas yra lygus ketvirtadaliui trikampio ΔDFB ploto. Taigi, trikampių ΔAHD ir ΔDRB plotai, paimti kartu, yra lygūs ketvirtadaliui trikampio ΔADB ploto. Pakartojus šią operaciją, kai ji taikoma atkarpoms AH, HD, DR ir RB, iš jų bus pasirinkti trikampiai, kurių plotas kartu bus 4 kartus mažesnis už trikampių ΔAHD ir ΔDRB plotą kartu paėmus ir todėl 16 kartų mažiau nei trikampio ΔADB plotas. Ir taip toliau:

Taigi Archimedas įrodė, kad „kiekvienas segmentas, esantis tarp tiesės ir parabolės, sudaro keturis trečdalius trikampio, turinčio tą patį pagrindą ir vienodą aukštį“.

Aritmetinė ir geometrinė progresija

Teorinė informacija

	Aritmetinė progresija	Geometrinė progresija
Apibrėžimas	Aritmetinė progresija a n yra seka, kurioje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, pridėtam prie to paties skaičiaus d (d- progresavimo skirtumas)	Geometrinė progresija b n yra ne nulis skaičių seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, padaugintam iš to paties skaičiaus q (q- progreso vardiklis)
Pasikartojimo formulė	Bet kokiam natūraliam n a n + 1 = a n + d	Bet kokiam natūraliam n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formulės n-asis terminas	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Būdinga savybė
Pirmųjų n narių suma

Užduočių pavyzdžiai su komentarais

1 užduotis

Aritmetine progresija ( a n) a 1 = -6, a 2

Pagal n-ojo nario formulę:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d

Pagal sąlygą:

a 1= -6, tada a 22= -6 + 21 d.

Būtina rasti progresavimo skirtumą:

d = a 2-a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Atsakymas : a 22 = -48.

2 užduotis

Raskite penktąjį geometrinės progresijos narį: -3; 6;...

1-as metodas (naudojant n termino formulę)

Pagal geometrinės progresijos n-ojo nario formulę:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Nes b 1 = -3,

2-as metodas (naudojant pasikartojančią formulę)

Kadangi progresijos vardiklis yra -2 (q = -2), tada:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Atsakymas : b 5 = -48.

3 užduotis

Aritmetine progresija ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. Raskite septyniasdešimt penktąjį šios progresijos narį.

Aritmetinei progresijai būdinga savybė turi formą .

Iš to išplaukia:

.

Pakeiskime duomenis į formulę:

Atsakymas: 95.

4 užduotis

Aritmetine progresija ( a n ) a n= 3n - 4. Raskite pirmųjų septyniolikos narių sumą.

Norint rasti pirmųjų n aritmetinės progresijos narių sumą, naudojamos dvi formulės:

.

Kurį iš jų šiuo atveju patogiau naudoti?

Pagal sąlygą yra žinoma pradinės progresijos n-ojo nario formulė ( a n) a n= 3n - 4. Galite iš karto rasti ir a 1, Ir a 16 neradus d. Todėl naudosime pirmąją formulę.

Atsakymas: 368.

5 užduotis

Aritmetine progresija ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Raskite dvidešimt antrąjį progresavimo terminą.

Pagal n-ojo nario formulę:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.

Pagal sąlygą, jei a 1= -6, tada a 22= -6 + 21d. Būtina rasti progresavimo skirtumą:

d = a 2-a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Atsakymas : a 22 = -48.

6 užduotis

Parašyti keli iš eilės geometrinės progresijos nariai:

Raskite progresijos terminą, pažymėtą x.

Spręsdami naudosime n-ojo nario formulę b n = b 1 ∙ q n - 1 geometrinei progresijai. Pirmasis progresavimo terminas. Norėdami rasti progresijos q vardiklį, turite paimti bet kurį iš pateiktų progresijos narių ir padalyti iš ankstesnio. Mūsų pavyzdyje galime imti ir padalyti iš. Gauname, kad q = 3. Vietoj n formulėje pakeičiame 3, nes reikia rasti trečiąjį duotosios geometrinės progresijos narį.

Pakeitę rastas reikšmes į formulę, gauname:

.

Atsakymas:.

7 užduotis

Iš aritmetinių progresijų, pateiktų pagal n-ojo nario formulę, pasirinkite tą, kurios sąlyga tenkinama a 27 > 9:

Kadangi pateikta sąlyga turi būti įvykdyta 27 progresijos nariui, kiekvienoje iš keturių progresijų vietoj n pakeičiame 27. 4-oje pakopoje gauname:

.

Atsakymas: 4.

8 užduotis

Aritmetine progresija a 1= 3, d = -1,5. Nurodykite didžiausią n reikšmę, kuriai galioja nelygybė a n > -6.

Geometrinė progresija yra skaitinė seka, kurios pirmasis narys yra ne nulis, o kiekvienas paskesnis narys yra lygus ankstesniam nariui, padaugintam iš to paties skaičiaus, kuris skiriasi nuo nulio.

Pažymima geometrinė progresija b1,b2,b3, …, bn, … .

Bet kurio geometrinės klaidos nario santykis su ankstesniu jos nariu yra lygus tam pačiam skaičiui, ty b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Tai tiesiogiai išplaukia iš aritmetinės progresijos apibrėžimo. Šis skaičius vadinamas geometrinės progresijos vardikliu. Dažniausiai geometrinės progresijos vardiklis žymimas raide q.

Monotoniška ir pastovi seka

Vienas iš būdų nurodyti geometrinę progresiją – nurodyti pirmąjį jos narį b1 ir geometrinės paklaidos q vardiklį. Pavyzdžiui, b1=4, q=-2. Šios dvi sąlygos apibrėžia geometrinę progresiją 4, -8, 16, -32, ….

Jei q>0 (q nelygu 1), tai progresija yra monotoniška seka. Pavyzdžiui, seka, 2, 4,8,16,32, ... yra monotoniškai didėjanti seka (b1=2, q=2).

Jei geometrinės paklaidos vardiklis yra q=1, tai visi geometrinės progresijos nariai bus lygūs vienas kitam. Tokiais atvejais jie sako, kad progresas yra pastovi seka.

Geometrinės progresijos n-ojo nario formulė

Kad skaičių seka (bn) būtų geometrinė progresija, būtina, kad kiekvienas jos narys, pradedant nuo antrojo, būtų gretimų narių geometrinis vidurkis. Tai yra, būtina įvykdyti šią lygtį
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), esant bet kuriam n>0, kur n priklauso natūraliųjų skaičių aibei N.

Geometrinės progresijos n-ojo nario formulė yra tokia:

bn=b1*q^(n-1),

kur n priklauso natūraliųjų skaičių aibei N.

Geometrinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulė

Pirmųjų n geometrinės progresijos narių sumos formulė yra tokia:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1), kur q nėra lygus 1.

Pažvelkime į paprastą pavyzdį:

Geometrinėje progresijoje b1=6, q=3, n=8 raskite Sn.

Norėdami rasti S8, naudojame geometrinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulę.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19 680.

Geometrinė progresija yra naujo tipo skaičių seka, su kuria mes susipažinsime. Kad pasimatymai būtų sėkmingi, nekenkia bent jau žinoti ir suprasti. Tada nebus jokių problemų dėl geometrinės progresijos.)

Kas yra geometrinė progresija? Geometrinės progresijos samprata.

Ekskursiją, kaip įprasta, pradedame nuo pagrindų. Rašau nebaigtą skaičių seką:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Ar galite pastebėti modelį ir pasakyti, kurie skaičiai bus toliau? Pipiras skaidrus, tada bus skaičiai 100 000, 1 000 000 ir pan. Net ir be didelių protinių pastangų viskas aišku, tiesa?)

Gerai. Kitas pavyzdys. Rašau tokią seką:

1, 2, 4, 8, 16, …

Ar galite pasakyti, kurie skaičiai bus toliau, po skaičiumi 16 ir vardu aštuntas sekos narys? Jei supratote, kad tai bus skaičius 128, tada labai gerai. Taigi, pusė mūšio yra supratimas jausmas Ir pagrindiniai punktai geometrinė progresija jau atlikta. Galite augti toliau.)

O dabar nuo pojūčių vėl pereiname prie griežtos matematikos.

Pagrindiniai geometrinės progresijos taškai.

Pagrindinis punktas #1

Geometrinė progresija yra skaičių seka. Taip pat ir progresas. Nieko įmantraus. Sutvarkyta tik ši seka kitaip. Taigi, žinoma, jis turi kitą pavadinimą, taip...

Pagrindinis punktas #2

Dėl antrojo pagrindinio punkto klausimas bus sudėtingesnis. Grįžkime šiek tiek atgal ir prisiminkime pagrindinę aritmetinės progresijos savybę. Štai jis: kiekvienas narys skiriasi nuo ankstesnio ta pačia suma.

Ar įmanoma suformuluoti panašią pagrindinę geometrinės progresijos savybę? Šiek tiek pagalvokite... Atidžiau pažvelkite į pateiktus pavyzdžius. Ar atspėjote? Taip! Geometrine progresija (bet kokia!) kiekvienas jos narys skiriasi nuo ankstesnio tiek pat kartų. Visada!

Pirmajame pavyzdyje šis skaičius yra dešimt. Kad ir kurį sekos narį imtumėte, jis didesnis nei ankstesnis dešimt kartų.

Antrame pavyzdyje tai yra du: kiekvienas terminas yra didesnis nei ankstesnis du kartus.

Būtent šiuo esminiu momentu geometrinė progresija skiriasi nuo aritmetinės progresijos. Aritmetinėje progresijoje gaunamas kiekvienas paskesnis narys pridedant ta pati vertė ankstesniam terminui. Ir čia - daugyba ankstesnę kadenciją ta pačia suma. Tai yra visas skirtumas.)

Pagrindinis punktas #3

Šis pagrindinis taškas yra visiškai identiškas aritmetinės progresijos taškui. Būtent: Kiekvienas geometrinės progresijos narys stovi savo vietoje. Viskas lygiai taip pat kaip ir aritmetinėje progresijoje ir komentarai, manau, nereikalingi. Yra pirmas terminas, yra šimtas pirmas ir pan. Sukeiskime bent du terminus – raštas (o kartu ir geometrinė progresija) išnyks. Liks tik skaičių seka be jokios logikos.

Tai viskas. Tai yra visa geometrinės progresijos esmė.

Terminai ir pavadinimai.

Tačiau dabar, supratę geometrinės progresijos prasmę ir pagrindinius taškus, galime pereiti prie teorijos. Priešingu atveju, kas yra teorija nesuvokiant prasmės, tiesa?

Kaip žymėti geometrinę progresiją?

Kaip geometrinė progresija rašoma bendra forma? Jokių problemų! Kiekvienas progreso terminas taip pat rašomas kaip raidė. Tik aritmetinei progresijai dažniausiai naudojama raidė "A", geometrinėms – raidė "b". Nario numeris, kaip įprasta, yra nurodyta rodyklė apačioje dešinėje. Tiesiog išvardijame pačius progresijos narius, atskirtus kableliais arba kabliataškiais.

kaip tai:

b 1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Trumpai ši progresija parašyta taip: (b n) .

Arba taip, jei norite baigtinio progreso:

b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.

b 1, b 2, …, b 29, b 30.

Arba trumpai:

(b n), n=30 .

Tiesą sakant, tai yra visas pavadinimas. Viskas tas pats, tik raidė skiriasi, taip.) O dabar pereiname tiesiai prie apibrėžimo.

Geometrinės progresijos apibrėžimas.

Geometrinė progresija yra skaičių seka, kurios pirmasis narys yra ne nulis, o kiekvienas paskesnis narys yra lygus ankstesniam nariui, padaugintam iš to paties nulinio skaičiaus.

Tai yra visas apibrėžimas. Dauguma žodžių ir frazių jums yra aiškūs ir žinomi. Jei, žinoma, suprantate geometrinės progresijos reikšmę „ant pirštų“ ir apskritai. Tačiau yra ir keletas naujų frazių, į kurias norėčiau atkreipti ypatingą dėmesį.

Pirma, žodžiai: “ kurio pirmasis narys ne nulis".

Šis pirmosios kadencijos apribojimas nebuvo įvestas atsitiktinai. Kaip manote, kas atsitiks, jei pirmasis narys b 1 bus lygus nuliui? Kam bus lygus antrasis narys, jei kiekvienas narys yra didesnis už ankstesnį? tiek pat kartų? Sakykim tris kartus? Pažiūrėkime... Pirmąjį narį (t.y. 0) padauginkite iš 3 ir gaukite... nulį! O kaip su trečiuoju nariu? Taip pat nulis! Ir ketvirtas terminas taip pat yra nulis! Ir taip toliau…

Mes tiesiog gauname maišelį beigelių, nulių seką:

0, 0, 0, 0, …

Žinoma, tokia seka turi teisę į gyvybę, bet tai nėra praktinio intereso. Viskas aišku. Bet kuris jo narys yra nulis. Bet kokio skaičiaus terminų suma taip pat lygi nuliui... Ką įdomaus galite su juo nuveikti? Nieko…

Šie raktiniai žodžiai: "padaugintas iš to paties skaičiaus, kuris skiriasi nuo nulio".

Tas pats numeris taip pat turi savo specialų pavadinimą - geometrinės progresijos vardiklis. Pradėkime susipažinti.)

Geometrinės progresijos vardiklis.

Viskas taip paprasta, kaip kriaušių gliaudyti.

Geometrinės progresijos vardiklis yra ne nulis skaičius (arba kiekis), rodantis kiek kartųkiekvienas progresavimo terminas daugiau nei ankstesnis.

Vėlgi, panašiai kaip aritmetinėje progresijoje, pagrindinis žodis, kurio reikia ieškoti šiame apibrėžime, yra žodis "daugiau". Tai reiškia, kad gaunamas kiekvienas geometrinės progresijos narys daugyba iki šio vardiklio ankstesnis narys.

Leisk man paaiškinti.

Norėdami apskaičiuoti, tarkime antra penis, reikia imti pirma narys ir padauginti tai į vardiklį. Skaičiavimui dešimtas penis, reikia imti devintas narys ir padauginti tai į vardiklį.

Pačios geometrinės progresijos vardiklis gali būti bet koks. Visiškai bet kas! Visa, trupmeninė, teigiama, neigiama, neracionalu – viskas. Išskyrus nulį. Štai ką mums sako apibrėžime esantis žodis „ne nulis“. Kam čia reikalingas šis žodis – apie tai vėliau.

Geometrinės progresijos vardiklis dažniausiai nurodomas laiškas q.

Kaip jį rasti q? Jokio klausimo! Turime priimti bet kurį progresavimo terminą ir padalinti iš ankstesnio termino. Skyrius yra trupmena. Iš čia ir kilo pavadinimas – „progresavimo vardiklis“. Vardiklis, jis dažniausiai sėdi trupmenoje, taip...) Nors, logiškai mąstant, vertė q reikėtų skambinti privatus geometrinė progresija, panaši į skirtumas aritmetinei progresijai. Bet sutarėme paskambinti vardiklis. Ir dviračio taip pat neišradinėsime iš naujo.)

Apibrėžkime, pavyzdžiui, kiekį qšiai geometrinei progresijai:

2, 6, 18, 54, …

Viskas elementaru. Paimkim bet koks eilės numeris. Imame ką norime. Išskyrus patį pirmąjį. Pavyzdžiui, 18. Ir padalinti iš ankstesnis numeris. Tai yra, 6 val.

Mes gauname:

q = 18/6 = 3

Tai viskas. Tai teisingas atsakymas. Šios geometrinės progresijos vardiklis yra trys.

Dabar suraskime vardiklį q kitai geometrinei progresijai. Pavyzdžiui, šis:

1, -2, 4, -8, 16, …

Viskas taip pat. Kad ir kokius ženklus turėtų patys nariai, vis tiek imamės bet koks sekos numerį (pavyzdžiui, 16) ir padalykite iš ankstesnis numeris(t.y. -8).

Mes gauname:

d = 16/(-8) = -2

Ir viskas.) Šį kartą progresijos vardiklis pasirodė neigiamas. Minus du. Atsitinka.)

Paimkime šią eigą:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

Ir vėlgi, nepriklausomai nuo skaičių tipo sekoje (ar sveikieji skaičiai, lyginės trupmenos, net neigiami, net neracionalūs), imame bet kurį skaičių (pavyzdžiui, 1/9) ir padalijame iš ankstesnio skaičiaus (1/3). Žinoma, pagal darbo su trupmenomis taisykles.

Mes gauname:

Tai viskas.) Čia vardiklis pasirodė trupmeninis: q = 1/3.

Ką manote apie šį "progresavimą"?

3, 3, 3, 3, 3, …

Aišku čia q = 1 . Formaliai tai irgi geometrinė progresija, tik su identiški nariai.) Tačiau tokia pažanga nėra įdomi studijoms ir praktiniam pritaikymui. Tas pats, kas progresija su vientisaisiais nuliais. Todėl mes jų nenagrinėsime.

Kaip matote, progresijos vardiklis gali būti bet kas – sveikasis skaičius, trupmena, teigiamas, neigiamas – bet kas! Tai negali būti tik nulis. Negalite atspėti kodėl?

Na, naudokime konkretų pavyzdį, kad pamatytume, kas atsitiks, jei vardiklį imsime q nulis.) Pavyzdžiui, turėkime b 1 = 2 , A q = 0 . Kam tada bus lygus antrasis terminas?

Mes skaičiuojame:

b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0

O kaip su trečiuoju nariu?

b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0

Geometrinių progresijų tipai ir elgsena.

Viskas buvo daugmaž aišku: jei progresijos skirtumas d yra teigiamas, tada progresija didėja. Jei skirtumas yra neigiamas, progresija mažėja. Yra tik du variantai. Trečio varianto nėra.)

Tačiau naudojant geometrinę progresiją viskas bus daug įdomiau ir įvairesnė!)

Nesvarbu, kaip čia elgiasi terminai: jie didėja, mažėja ir neribotai artėja prie nulio ir netgi keičia ženklus, pakaitomis mesdami į „pliusą“, o paskui į „minusą“! Ir visą šią įvairovę reikia mokėti gerai suprasti, taip...

Išsiaiškinkime?) Pradėkime nuo paprasčiausio atvejo.

Vardiklis yra teigiamas ( q >0)

Turint teigiamą vardiklį, pirma, galima įvesti geometrinės progresijos sąlygas plius begalybė(t. y. didinti neribotai) ir gali eiti į minus begalybė(t. y. mažinti neribotai). Mes jau pripratome prie tokio progresavimo elgesio.

Pavyzdžiui:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Čia viskas paprasta. Gaunamas kiekvienas progresavimo terminas daugiau nei ankstesnis. Be to, kiekvienas terminas pasirodo daugyba ankstesnis narys įjungtas teigiamas skaičius +2 (t.y. q = 2 ). Tokios progresijos elgesys akivaizdus: visi progresijos nariai auga be apribojimų, eidami į erdvę. Plius begalybė...

O dabar štai progresas:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

Čia taip pat gaunamas kiekvienas progresijos narys daugyba ankstesnis narys įjungtas teigiamas numeris +2. Tačiau tokios progresijos elgesys yra visiškai priešingas: gaunamas kiekvienas progresijos narys mažiau nei ankstesnis, ir visi jo terminai mažėja be apribojimų, eidami į minus begalybę.

Dabar pagalvokime: ką bendro turi šios dvi pažangos? Teisingai, vardiklis! Ir ten ir ten q = +2 . Teigiamas skaičius. Du. Bet elgesįŠios dvi pažangos iš esmės skiriasi! Negalite atspėti kodėl? Taip! Viskas apie tai pirmasis narys! Tai jis, kaip sakoma, vadina melodiją.) Pažiūrėkite patys.

Pirmuoju atveju pirmasis progresavimo terminas teigiamas(+1), taigi ir visi tolesni terminai, gauti padauginus iš teigiamas vardiklis q = +2 , taip pat bus teigiamas.

Bet antruoju atveju – pirmasis terminas neigiamas(-1). Todėl visi tolesni progresavimo terminai, gauti padauginus iš teigiamas q = +2 , taip pat bus gauta neigiamas. Nes nuo „minuso“ iki „pliuso“ visada suteikia „minusą“, taip.)

Kaip matote, skirtingai nei aritmetinė progresija, geometrinė progresija gali elgtis visiškai skirtingai ne tik priklausomai nuo nuo vardiklioq, bet ir priklausomai nuo nuo pirmojo nario, taip.)

Atminkite: geometrinės progresijos elgesį vienareikšmiškai lemia pirmasis jos narys b 1 ir vardiklisq .

O dabar pradedame analizuoti mažiau pažįstamus, bet daug įdomesnius atvejus!

Paimkime, pavyzdžiui, šią seką:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Ši seka taip pat yra geometrinė progresija! Kiekvienas šios progresijos terminas taip pat pasirodo daugyba ankstesnis narys, tuo pačiu numeriu. Tai tik skaičius - trupmeninis: q = +1/2 . Arba +0,5 . Be to (svarbu!) skaičius mažiau nei vienas:q = 1/2<1.

Kodėl ši geometrinė progresija įdomi? Kur juda jos nariai? Pažiūrėkime:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Ką čia įdomaus galima pastebėti? Pirma, iš karto pastebimas progresavimo sumažėjimas: kiekvienas jo narys mažiau tiksliai ankstesnįjį 2 kartus. Arba, pagal geometrinės progresijos apibrėžimą, kiekvienas terminas daugiau ankstesnis 1/2 karto, nes progresijos vardiklis q = 1/2 . O padauginus iš teigiamo skaičiaus, mažesnio už vienetą, rezultatas dažniausiai sumažėja, taip...

Ką daugiau galima pastebėti šios progresijos elgesyje? Ar jos narių mažėja? neribotas, eiti į minus begalybę? Ne! Jie išnyksta ypatingu būdu. Iš pradžių jie mažėja gana greitai, o vėliau vis lėčiau. Ir likdamas visą laiką teigiamas. Nors labai, labai mažas. O ko jie patys siekia? Ar neatspėjai? Taip! Jie siekia nulio!) Be to, atkreipkite dėmesį, mūsų progreso nariai yra nuo nulio niekada nepasieksi! Tik tik artėdamas prie jo be galo arti. Tai labai svarbu.)

Panaši situacija susiklostys tokia progresija:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Čia b 1 = -1 , A q = 1/2 . Viskas taip pat, tik dabar terminai priartės prie nulio iš kitos pusės, iš apačios. Visą laiką buvimas neigiamas.)

Tokia geometrinė progresija, kurios sąlygos priartėti prie nulio be apribojimų(nesvarbu iš teigiamos ar neigiamos pusės), matematikoje turi specialų pavadinimą - be galo mažėjanti geometrinė progresija.Ši pažanga tokia įdomi ir neįprasta, kad apie ją net bus kalbama atskira pamoka .)

Taigi, mes apsvarstėme viską, kas įmanoma teigiamas vardikliai yra ir dideli, ir mažesni. Paties vieneto nelaikome vardikliu dėl pirmiau nurodytų priežasčių (prisiminkite pavyzdį su trynukų seka...)

Apibendrinkime:

teigiamasIr daugiau nei vienas (q>1), tada progreso sąlygos:

a) didinti neribotai (jeib 1 >0);

b) mažinti neribotai (jeib 1 <0).

Jei geometrinės progresijos vardiklis teigiamas Ir mažiau nei vienas (0< q<1), то члены прогрессии:

a) be galo artimas nuliui aukščiau(Jeib 1 >0);

b) be galo artimas nuliui iš apačios(Jeib 1 <0).

Dabar belieka išnagrinėti bylą neigiamas vardiklis.

Vardiklis yra neigiamas ( q <0)

Pavyzdžiu toli nenueisime. Kodėl būtent gauruota močiutė?!) Tegul, pavyzdžiui, pirmasis progresavimo terminas b 1 = 1 , ir paimkime vardiklį q = -2.

Gauname tokią seką:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

Ir taip toliau.) Kiekvienas progresijos narys gaunamas daugyba ankstesnis narys įjungtas neigiamas skaičius-2. Tokiu atveju bus visi nariai, stovintys nelyginėse vietose (pirmoje, trečioje, penktoje ir kt.). teigiamas, o lygiose vietose (antra, ketvirta ir kt.) – neigiamas.Ženklai griežtai keičiasi. Pliusas-minusas-pliusas-minusas... Ši geometrinė progresija vadinama - didėjantis ženklas kaitaliojamas.

Kur juda jos nariai? Bet niekur.) Taip, absoliučia verte (ty modulo) mūsų progreso narių daugėja neribotai (iš čia ir pavadinimas „didėja“). Bet tuo pačiu metu kiekvienas progreso narys pakaitomis meta jus į karštį, paskui į šaltį. Arba „pliusas“ arba „minusas“. Mūsų progresas svyruoja... Be to, su kiekvienu žingsniu svyravimų apimtis sparčiai auga, taip.) Todėl progreso narių siekiai kažkur eina. konkrečiaiČia Nr. Nei į pliusinę begalybę, nei iki minus begalybės, nei iki nulio – niekur.

Dabar panagrinėkime trupmeninį vardiklį tarp nulio ir minus vieno.

Pavyzdžiui, tegul būna b 1 = 1 , A q = -1/2.

Tada gauname progresą:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

Ir vėl turime ženklų kaitą! Tačiau, skirtingai nei ankstesniame pavyzdyje, čia jau yra aiški tendencija, kad terminai artėja prie nulio.) Tik šį kartą mūsų terminai artėja prie nulio ne griežtai iš viršaus ar apačios, o vėlgi. dvejodama. Pakaitomis imkite teigiamas ir neigiamas vertes. Bet tuo pačiu jie moduliai vis labiau artėja prie branginamo nulio.)

Ši geometrinė progresija vadinama be galo mažėjantis ženklas, kintantis.

Kodėl šie du pavyzdžiai yra įdomūs? Ir tai, kad abiem atvejais vyksta ženklų kaitaliojimas!Šis triukas būdingas tik progresijoms su neigiamu vardikliu, taip.) Todėl jei kurioje nors užduotyje pamatysite geometrinę progresiją su besikeičiančiais nariais, jau tikrai žinosite, kad jos vardiklis yra 100% neigiamas ir nesuklysite ženkle.)

Beje, esant neigiamam vardikliui, pirmojo nario ženklas visiškai neįtakoja pačios progresijos elgesio. Nepriklausomai nuo pirmojo progresijos termino ženklo, bet kuriuo atveju terminų ženklo bus laikomasi. Vienintelis klausimas yra, kokiose vietose(lyginis ar nelyginis) bus nariai su konkrečiais ženklais.

Prisiminkite:

Jei geometrinės progresijos vardiklis neigiamas , tada progresijos terminų ženklai visada yra pakaitinis.

Tuo pačiu metu patys nariai:

a) didinti neribotaimodulo, Jeiq<-1;

b) artintis prie nulio be galo, jei -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Tai viskas. Visi tipiniai atvejai buvo išanalizuoti.)

Analizuodamas įvairius geometrinių progresijų pavyzdžius, aš periodiškai vartodavau žodžius: "linkęs į nulį", "linkęs į plius begalybę", "linkęs į minus begalybę"... Viskas gerai.) Šios kalbos figūros (ir konkretūs pavyzdžiai) yra tik pradinė įžanga elgesįįvairių skaičių sekų. Naudojant geometrinės progresijos pavyzdį.

Kodėl mums net reikia žinoti progresavimo elgesį? Koks skirtumas, kur ji eina? Nulio link, plius begalybės, minus begalybės... Ką tai daro mums?

Reikalas tas, kad jau universitete, aukštosios matematikos kurse, reikės gebėjimo dirbti su įvairiausiomis skaitinėmis sekomis (su bet kokiomis, ne tik progresijomis!) ir gebėjimo tiksliai įsivaizduoti, kaip ta ar kita seka. elgiasi - ar didėja, ar mažėja neribotai, ar linksta į konkretų skaičių (ir nebūtinai iki nulio), ar net visai į nieką nelinksta... Šiai temai matematikos eigoje yra skirta visa skiltis analizė - ribų teorija. Ir šiek tiek konkrečiau – koncepcija skaičių sekos riba. Labai įdomi tema! Prasminga eiti į koledžą ir išsiaiškinti.)

Kai kurie pavyzdžiai iš šio skyriaus (sekos turinčios apribojimą) ir ypač be galo mažėjanti geometrinė progresija Jie pradeda priprasti prie to mokykloje. Mes pripratome.)

Be to, gebėjimas gerai ištirti sekų elgesį bus labai naudingas ateityje ir bus labai naudingas funkcijų tyrimas. Patys įvairiausi. Tačiau gebėjimas kompetentingai dirbti su funkcijomis (skaičiuoti išvestis, jas išstudijuoti iki galo, sudaryti jų grafikus) jau labai padidina jūsų matematinį lygį! Ar turite kokių nors abejonių? Nereikia. Taip pat atsiminkite mano žodžius.)

Pažiūrėkime į geometrinę progresą gyvenime?

Gyvenime aplink mus labai, labai dažnai susiduriame su geometrine progresija. Net to nežinodamas.)

Pavyzdžiui, įvairūs mikroorganizmai, kurie mus supa visur didžiuliais kiekiais ir kurių net nematome be mikroskopo, dauginasi tiksliai geometrine progresija.

Tarkime, viena bakterija dauginasi dalindamasi per pusę, suteikdama palikuonių 2 bakterijoms. Savo ruožtu kiekvienas iš jų, daugindamasis, taip pat dalijasi per pusę, iš viso duodamas 4 bakterijų palikuonis. Kita karta gamins 8 bakterijas, tada 16 bakterijų, 32, 64 ir pan. Su kiekviena sekančia karta bakterijų skaičius padvigubėja. Tipiškas geometrinės progresijos pavyzdys.)

Kai kurie vabzdžiai, pavyzdžiui, amarai ir musės, taip pat dauginasi eksponentiškai. Ir kartais, beje, triušiai.)

Kitas geometrinės progresijos pavyzdys, artimesnis kasdieniam gyvenimui, yra vadinamasis sudėtines palūkanas.Šis įdomus reiškinys dažnai aptinkamas bankų indėliuose ir vadinamas palūkanų kapitalizacija. kas tai?

Jūs pats, žinoma, dar jaunas. Mokate mokykloje, neinate į bankus. Bet tavo tėvai jau suaugę ir savarankiški žmonės. Jie eina į darbą, užsidirba pinigų kasdienei duonai, o dalį pinigų deda į banką, taupydami.)

Tarkime, jūsų tėtis nori sutaupyti tam tikrą pinigų sumą šeimos atostogoms Turkijoje ir trejiems metams įneša į banką 50 000 rublių su 10% per metus. su metine palūkanų kapitalizacija. Be to, per visą šį laikotarpį su užstatu nieko negalima daryti. Negalite nei papildyti indėlio, nei išsiimti pinigų iš sąskaitos. Kiek jis uždirbs po šių trejų metų?

Na, pirmiausia turime išsiaiškinti, kas yra 10% per metus. Tai reiškia, kad per metus Prie pradinės indėlio sumos bankas pridės 10 proc. Nuo ko? Žinoma, nuo pradinė indėlio suma.

Sąskaitos dydį apskaičiuojame po metų. Jei pradinė indėlio suma buvo 50 000 rublių (t. y. 100%), tai po metų kiek bus sąskaitos palūkanos? Teisingai, 110%! Nuo 50 000 rublių.

Taigi mes apskaičiuojame 110% iš 50 000 rublių:

50000·1,1 = 55000 rublių.

Tikiuosi, suprantate, kad 110% vertės radimas reiškia, kad tą reikšmę reikia padauginti iš skaičiaus 1,1? Jei nesuprantate, kodėl taip yra, prisiminkite penktą ir šeštą klases. Būtent – ryšys tarp procentų ir trupmenų bei dalių.)

Taigi, pirmųjų metų padidėjimas bus 5000 rublių.

Kiek pinigų bus sąskaitoje per dvejus metus? 60 000 rublių? Deja (tiksliau, laimei), viskas nėra taip paprasta. Visa palūkanų kapitalizavimo gudrybė yra ta, kad su kiekvienu nauju palūkanų kaupimu į tas pačias palūkanas jau bus atsižvelgta nuo naujos sumos! Nuo to, kuris jau yra sąskaitoje šiuo metu. O už praėjusį laikotarpį sukauptos palūkanos pridedamos prie pradinės indėlio sumos ir tokiu būdu pati dalyvauja skaičiuojant naujas palūkanas! Tai yra, jie tampa visa bendros sąskaitos dalimi. Arba bendras kapitalo. Iš čia ir pavadinimas - palūkanų kapitalizacija.

Tai ekonomikoje. O matematikoje tokie procentai vadinami sudėtines palūkanas. Arba palūkanų procentas.) Jų gudrybė ta, kad skaičiuojant nuosekliai, procentai skaičiuojami kiekvieną kartą nuo naujos vertės. Ir ne iš originalo...

Todėl, norėdami apskaičiuoti sumą per dveji metai, turime apskaičiuoti 110% sumos, kuri bus sąskaitoje per metus. Tai yra, jau nuo 55 000 rublių.

Mes skaičiuojame 110% nuo 55 000 rublių:

55000·1,1 = 60500 rublių.

Tai reiškia, kad antrus metus procentinis padidėjimas bus 5500 rublių, o dvejus metus – 10 500 rublių.

Dabar jau galite spėti, kad po trejų metų suma sąskaitoje bus 110% 60 500 rublių. Tai vėlgi 110 proc. iš ankstesnio (pernai) sumos.

Čia mes galvojame:

60500·1,1 = 66550 rublių.

Dabar mes išdėstome savo pinigines sumas pagal metus iš eilės:

50000;

55 000 = 50 000 1,1;

60500 = 55000 1,1 = (50000 1,1) 1,1;

66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1

Taigi kaip? Kodėl gi ne geometrinė progresija? Pirmasis narys b 1 = 50000 , ir vardiklis q = 1,1 . Kiekvienas terminas yra griežtai 1,1 karto didesnis nei ankstesnis. Viskas griežtai atitinka apibrėžimą.)

O kiek papildomų palūkanų premijų „sukaups“ jūsų tėtis, kol jo banko sąskaitoje trejus metus gulės 50 000 rublių?

Mes skaičiuojame:

66550 – 50000 = 16550 rublių

Nedaug, žinoma. Bet taip yra, jei pradinė indėlio suma yra maža. O jei yra daugiau? Tarkime, ne 50, o 200 tūkstančių rublių? Tada per trejus metus padidėjimas bus 66 200 rublių (jei atliksite matematiką). Kas jau yra labai gerai.) O jeigu indėlis dar didesnis? tai tiek...

Išvada: kuo didesnis pradinis indėlis, tuo pelningesnė tampa palūkanų kapitalizacija. Būtent todėl indėlius su palūkanų kapitalizacija bankai teikia ilgam laikui. Tarkime, penkeriems metams.

Be to, eksponentiškai mėgsta plisti visokios blogos ligos, tokios kaip gripas, tymai ir dar baisesnės ligos (tas pats SARS 2000-ųjų pradžioje ar maras viduramžiais). Iš čia ir epidemijų mastai, taip...) Ir viskas dėl to, kad geometrinė progresija su visas teigiamas vardiklis (q>1) – dalykas, kuris auga labai greitai! Prisiminkite bakterijų dauginimąsi: iš vienos bakterijos gaunamos dvi, iš dviejų – keturios, iš keturių – aštuonios ir t.t... Taip yra ir plintant bet kokiai infekcijai.)

Paprasčiausi geometrinės progresijos uždaviniai.

Pradėkime, kaip visada, nuo paprastos problemos. Tik tam, kad suprastum prasmę.

1. Žinoma, kad antrasis geometrinės progresijos narys lygus 6, o vardiklis lygus -0,5. Raskite pirmą, trečią ir ketvirtą terminus.

Taigi mums duota begalinis geometrinė progresija, bet žinoma antra kadencijaši progresija:

b 2 = 6

Be to, mes taip pat žinome progresijos vardiklis:

q = -0,5

Ir reikia surasti pirmas, trečias Ir ketvirtašios progresijos nariai.

Taigi elgiamės. Užrašome seką pagal uždavinio sąlygas. Tiesiogiai bendra forma, kai antrasis terminas yra šeši:

b 1, 6,b 3 , b 4 , …

Dabar pradėkime ieškoti. Pradedame, kaip visada, nuo paprasčiausio. Galite apskaičiuoti, pavyzdžiui, trečiąjį terminą b 3? Gali! Jūs ir aš jau žinome (tiesiogiai geometrinės progresijos prasme), kad trečiasis terminas (b 3) daugiau nei antrasis (b 2 ) V "q" vieną kartą!

Taigi rašome:

b 3 =b 2 · q

Vietoj šios išraiškos pakeičiame šešis b 2 ir vietoj -0,5 q ir skaičiuojame. Ir, žinoma, neignoruojame ir minuso...

b 3 = 6·(-0,5) = -3

kaip tai. Trečioji kadencija pasirodė neigiama. Nenuostabu: mūsų vardiklis q– neigiamas. Ir padauginus pliusą iš minuso, žinoma, bus minusas.)

Dabar skaičiuojame kitą, ketvirtą progreso narį:

b 4 =b 3 · q

b 4 = -3·(-0,5) = 1,5

Ketvirtasis terminas vėl su pliusu. Penktasis terminas vėl bus minusas, šeštas – pliusas ir t.t. Ženklai keičiasi!

Taigi, buvo rasti trečia ir ketvirta terminai. Rezultatas yra tokia seka:

b 1; 6; -3; 1,5; ...

Dabar belieka surasti pirmąjį terminą b 1 pagal gerai žinomą antrąjį. Norėdami tai padaryti, žengiame kita kryptimi, į kairę. Tai reiškia, kad šiuo atveju nereikia dauginti antrojo progresijos nario iš vardiklio, o padalinti.

Padalijame ir gauname:

Tai viskas.) Atsakymas į problemą bus toks:

-12; 6; -3; 1,5; …

Kaip matote, sprendimo principas yra toks pat kaip ir . Mes žinome bet koks narys ir vardiklis geometrinė progresija – galime rasti bet kurį kitą jos narį. Rasime norimą.) Skirtumas tik tas, kad sudėjimas/atimtis pakeičiamas daugyba/dalyba.

Atminkite: jei žinome bent vieną geometrinės progresijos narį ir vardiklį, visada galime rasti bet kurį kitą šios progresijos narį.

Ši problema, remiantis tradicija, yra iš tikros OGE versijos:

2.

...; 150; X; 6; 1,2; ...

Taigi kaip? Šį kartą nėra pirmojo termino, vardiklio q, tiesiog pateikiama skaičių seka... Kažkas jau pažįstamo, tiesa? Taip! Panaši problema jau buvo išspręsta aritmetinėje progresijoje!

Taigi mes nebijome. Viskas taip pat. Apsisukime ant galvos ir prisiminkime elementarią geometrinės progresijos reikšmę. Atidžiai žiūrime į savo seką ir išsiaiškiname, kurie trijų pagrindinių geometrinės progresijos parametrai (pirmasis narys, vardiklis, termino numeris) yra paslėpti joje.

Narių numeriai? Narystės numerių nėra, taip... Bet yra keturi iš eilės skaičių. Šiame etape nematau prasmės aiškinti, ką šis žodis reiškia.) Ar yra du kaimyniniai žinomi numeriai? Valgyk! Tai yra 6 ir 1,2. Taigi galime rasti progresijos vardiklis. Taigi paimame skaičių 1,2 ir padalijame į ankstesnį numerį. Iki šešių.

Mes gauname:

Mes gauname:

x= 150 · 0,2 = 30

Atsakymas: x = 30 .

Kaip matote, viskas yra gana paprasta. Pagrindinis sunkumas yra tik skaičiavimuose. Tai ypač sudėtinga, kai yra neigiami ir trupmeniniai vardikliai. Taigi tie, kurie turi problemų, pakartokite aritmetiką! Kaip dirbti su trupmenomis, kaip dirbti su neigiamais skaičiais ir taip toliau... Kitaip čia negailestingai sulėtinsi tempą.

Dabar šiek tiek pakeiskime problemą. Dabar bus įdomu! Išimkime iš jo paskutinį skaičių 1.2. Dabar išspręskime šią problemą:

3. Išrašomi keli iš eilės geometrinės progresijos nariai:

...; 150; X; 6; ...

Raskite raide x pažymėtą progresijos terminą.

Viskas tas pats, tik du gretimi garsus Dabar progresijos narių neturime. Tai yra pagrindinė problema. Kadangi dydis q per du gretimus terminus galime nesunkiai nustatyti mes negalime. Ar turime galimybę susidoroti su užduotimi? tikrai!

Užrašykime nežinomą terminą " x"tiesiogiai geometrinės progresijos prasme! Apskritai.

Taip, taip! Teisingai su nežinomu vardikliu!

Viena vertus, X galime parašyti tokį santykį:

x= 150·q

Kita vertus, mes turime visas teises apibūdinti tą patį X per kitas narys, per šešis! Padalinkite šešis iš vardiklio.

kaip tai:

x = 6/ q

Akivaizdu, kad dabar galime sulyginti abu šiuos santykius. Kadangi mes išreiškiame ta pati dydis (x), bet du įvairiais būdais.

Gauname lygtį:

Viską padauginus iš q, supaprastindami ir sutrumpindami, gauname lygtį:

q2 = 1/25

Mes išsprendžiame ir gauname:

q = ±1/5 = ±0,2

Oi! Vardiklis pasirodė dvigubas! +0,2 ir -0,2. Ir kurį pasirinkti? Aklavietė?

Ramiai! Taip, problema tikrai yra du sprendimai! Nėra nieko blogo. Taip atsitinka.) Nenustebate, kai, pavyzdžiui, spręsdami įprastą problemą gaunate dvi šaknis? Čia ta pati istorija.)

Už q = +0,2 mes gausime:

X = 150 0,2 = 30

Ir už q = -0,2 bus:

X = 150·(-0,2) = -30

Gauname dvigubą atsakymą: x = 30; x = -30.

Ką reiškia šis įdomus faktas? Ir kas egzistuoja dvi progresijos, atitinkantis problemos sąlygas!

Štai jie:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Abu tinka.) Kodėl, jūsų nuomone, mūsų atsakymai išsiskyrė? Vien dėl konkretaus progresijos nario pašalinimo (1,2), ateinančio po šešių. O žinodami tik ankstesnį (n-1) ir paskesnį (n+1) geometrinės progresijos narį, apie tarp jų stovintį n-ąjį narį jau nieko vienareikšmiškai pasakyti negalime. Yra du variantai – su pliusu ir su minusu.

Bet jokių problemų. Paprastai geometrinės progresijos užduotyse yra papildomos informacijos, kuri suteikia nedviprasmišką atsakymą. Tarkime žodžius: "kintama progresija" arba "progresas su teigiamu vardikliu" ir taip toliau... Būtent šie žodžiai turėtų pasitarnauti kaip užuomina, kurį ženklą, pliusą ar minusą, reikėtų pasirinkti rengiant galutinį atsakymą. Jei tokios informacijos nėra, tada taip, užduotis turės du sprendimai.)

Dabar sprendžiame patys.

4. Nustatykite, ar skaičius 20 yra geometrinės progresijos narys:

4 ; 6; 9; …

5. Duotas kintamos geometrinės progresijos ženklas:

…; 5; x ; 45; …

Raskite raide nurodytą progresijos terminą x .

6. Raskite ketvirtąjį teigiamą geometrinės progresijos narį:

625; -250; 100; …

7. Geometrinės progresijos antrasis narys lygus -360, o penktasis – 23,04. Raskite pirmąjį šios progresijos terminą.

Atsakymai (netvarkoje): -15; 900; Ne; 2.56.

Sveikiname, jei viskas pavyko!

Kažkas netinka? Kažkur buvo dvigubas atsakymas? Atidžiai perskaitykite užduoties sąlygas!

Paskutinė problema neišsprendžiama? Ten nėra nieko sudėtingo.) Dirbame tiesiogiai pagal geometrinės progresijos reikšmę. Na, jūs galite piešti paveikslėlį. Tai padeda.)

Kaip matote, viskas yra elementaru. Jei progresas trumpas. O jei ilgas? O gal reikiamo nario skaičius labai didelis? Norėčiau pagal analogiją su aritmetine progresija kaip nors gauti patogią formulę, kurią būtų lengva rasti bet koks bet kurios geometrinės progresijos terminas pagal jo numerį. Daug daug kartų nedauginant iš q. Ir yra tokia formulė!) Išsamią informaciją rasite kitoje pamokoje.