(2.1)-тэй адилтгах замаар (5.1) системийг дараахь ижил төстэй хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Энд g(x) нь вектор аргументын давтагдах вектор функц юм. Шугаман бус тэгшитгэлийн системүүд нь ихэвчлэн (5.2) хэлбэрээр шууд үүсдэг (жишээлбэл, дифференциал тэгшитгэлийн тоон схемд энэ тохиолдолд (5.1) тэгшитгэлийг (5.2) болгон хувиргахад нэмэлт хүчин чармайлт шаардагдахгүй); Хэрэв бид нэг тэгшитгэлийн энгийн давталтын аргын аналогийг үргэлжлүүлбэл тэгшитгэл (5.2) дээр суурилсан давталтын процессыг дараах байдлаар зохион байгуулж болно.

• 1) зарим анхны вектор x ((,) e 5 o (x 0, A)(х* e 5„(x 0, A));
• 2) дараагийн ойролцоо тооцоог томъёогоор тооцоолно

дараа нь давталтын процесс дууссан ба

Өмнөх шигээ ямар нөхцөлд байгааг олж тогтоох хэрэгтэй

Энгийн дүн шинжилгээ хийх замаар энэ асуудлыг ярилцъя. Эхлээд бид i-р ойролцооллын алдааг e(^ = x(i) - x* гэж танилцуулна. Дараа нь бид бичиж болно.

Эдгээр илэрхийллийг (5.3)-д орлуулж g(x* + e (/i))-г томруулъя. e(k>вектор аргументын функцээр x*-ийн ойролцоо (g(x) функцийн бүх хэсэгчилсэн деривативууд тасралтгүй байна гэж үзвэл). Мөн x* = g(x*) гэдгийг харгалзан үзвэл бид олж авна

эсвэл матриц хэлбэрээр

B = (бнм)= I (x*)1 - давталтын матриц.

Хэрэв алдааны түвшин ||е®|| хангалттай бага бол илэрхийллийн баруун талд байгаа хоёр дахь гишүүн (5.4)-ийг үл тоомсорлож болох бөгөөд дараа нь илэрхийлэл (2.16)-тай давхцаж болно. Улмаар яг шийдлийн ойролцоо давтагдах процесс (5.3) нийлэх нөхцөлийг теорем 3.1-д тайлбарлав.

Энгийн давталтын аргын нэгдэл. Давталтын үйл явцыг нэгтгэх шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл (5.3):

болон хангалттай нөхцөл:

Эдгээр нөхцлүүд нь бид x'-г мэдэхгүй тул практик гэхээсээ илүү онолын ач холбогдолтой юм. (1.11)-тэй адилтгах замаар бид ашигтай байж болох нөхцөлийг олж авдаг. x* e 5 o (x 0, A)болон g(x) функцийн Якобын матриц.

бүх x-д байдаг e S n (x 0, a) (C(x*) = B гэдгийг анхаарна уу). Хэрэв C(x) матрицын элементүүд тэгш бус байдлыг хангаж байвал

бүх x e 5„(x 0, A),тэгвэл аль ч матрицын нормын хувьд хангалттай нөхцөл (5.5) бас хангагдана.

Жишээ 5.1 (энгийн давталтын арга) Дараах тэгшитгэлийн системийг авч үзье.

Энэ системийг ижил төстэй хэлбэрээр (5.2) төлөөлөх нэг боломж бол илэрхийлэх явдал юм Xэхний тэгшитгэлээс ба x 2хоёр дахь тэгшитгэлээс:

Дараа нь давталтын схем нь хэлбэртэй байна

Яг шийдэл нь x* e 5„((2, 2), 1). Анхны векторыг сонгоё x (0) = (2,2) ба ? p = CT 5. Тооцооллын үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв. 5.1.

Хүснэгт 5.1

Эдгээр үр дүн нь нэгдмэл байдал нэлээд удаан байгааг харуулж байна. Конвергенцийн тоон шинж чанарыг олж авахын тулд бид x (1/) -ийг яг шийдэл гэж үзэн энгийн шинжилгээ хийдэг. Бидний давтагдах функцийн Якобын матриц C(x) нь хэлбэртэй байна

тэгвэл В матрицыг ойролцоогоор гэж тооцно

Нөхцөл (5.5) ч, (5.6) ч нөхцөл хангагдаагүй байгаа эсэхийг шалгахад хялбар боловч 5(B) ~ 0.8-аас хойш нэгдэл явагдана.

Тооцооллын процессыг бага зэрэг өөрчилснөөр энгийн давталтын аргын нэгдлийг хурдасгах боломжтой байдаг. Энэхүү өөрчлөлтийн санаа нь маш энгийн: тооцоолох n th вектор бүрэлдэхүүн хэсгүүд x (A+1)зөвхөн хэрэглэж болохгүй (t = n,..., Н), мөн дараагийн ойртсон векторын аль хэдийн тооцоолсон бүрэлдэхүүн хэсгүүд х к^ (/= 1,p - 1). Тиймээс өөрчлөгдсөн энгийн давталтын аргыг дараах давталтын схемээр төлөөлж болно.

Хэрэв давтагдах үйл явц (5.3) -аар үүсгэгдсэн ойролцоо тоонууд нийлдэг бол мэдээллийг илүү бүрэн ашигласан тул давтагдах процесс (5.8) илүү хурдан нийлэх хандлагатай байдаг.

Жишээ 5.2 (өөрчлөгдсөн энгийн давталтын арга) Системийн (5.7) өөрчлөгдсөн энгийн давталт нь дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

Өмнөх шиг бид анхны векторыг сонгоно x (0) = (2, 2) ба g r = = 10 -5. Тооцооллын үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв. 5.2.

Хүснэгт 5.2

I Тооцооллын дарааллын томоохон өөрчлөлт нь давталтын тоог хоёр дахин, улмаар үйлдлүүдийн тоог хоёр дахин багасгахад хүргэсэн.

1. f(x) = 0 тэгшитгэлийн нэг язгуурыг агуулсан хэрчмийг мэдэгдэж байг. f функц нь энэ сегмент дээрх тасралтгүй дифференциалагдах функц (f(x)ОC 1 ). Эдгээр нөхцөл хангагдсан тохиолдолд энгийн давталтын аргыг ашиглаж болно.

2. f(x) функцийг ашиглан j(x) гэсэн гурван нөхцөлийг хангасан функцийг байгуулав: энэ нь тасралтгүй дифференциалагдах (j(x)ОC 1 ) байх ёстой, тэгснээр x тэгшитгэл үүснэ. = j(x) нь f(x)=0 тэгшитгэлтэй тэнцүү; бас байх ёстой сегментийг орчуулах өөртөө.

j функц гэж бид хэлэх болно ( x ) сегментийг орчуулдаг [а , б ] өөртөө, хэрэв хэн нэгний хувьд x Î [ а , б ], y = j ( x ) мөн харьяалагддаг[ а , б ] ( y Î [ а , б ]).

Гурав дахь нөхцөл нь j(x) функцэд тавигдсан:

Аргын томъёо: x n +1 = j(xn).

3. Хэрэв эдгээр гурван нөхцөл хангагдсан бол аливаа анхны ойролцоолсон х 0 О давталтын дараалал x n +1 = j(x n) тэгшитгэлийн язгуурт нийлдэг: x = j(x) () сегмент дээр.

Дүрмээр бол x 0 байна төгсгөлүүдийн аль нэгийг сонгосон.

,

Энд e нь заасан нарийвчлал

x n +1 тоо давтагдах үйл явцыг зогсоох нөхцөл хангагдсан үед энэ нь тэгшитгэлийн язгуурын ойролцоо утгасегмент дээр f(x) = 0, энгийн давталтын аргаар нарийвчлалтайгаар олсонд .

Тэгшитгэлийн язгуурыг тодруулах алгоритмыг байгуулна: x 3 + 5x – 1 = 0 сегмент дээр энгийн давталтын аргыг нарийвчлалтайгаар e. .

1. f(x) = функц x 3 +5x-1 тэгшитгэлийн нэг язгуур агуулсан интервал дээр тасралтгүй дифференциал болно.

2. Энгийн давталтын аргын хамгийн том бэрхшээл бол бүх нөхцөлийг хангасан j(x) функцийг бүтээх явдал юм.

Үүнд: .

Тэгшитгэл x = j 1 (x) f(x) = 0 тэгшитгэлтэй тэнцүү боловч j 1 (x) функц интервал дээр тасралтгүй дифференциалагдах боломжгүй.

Цагаан будаа. 2.4. j 2 функцийн график (x)

Нөгөөтэйгүүр, тиймээс . Эндээс: тасралтгүй дифференциалагдах функц байна. Тэгшитгэл: x = j 2 (x) нь f(x) = 0 тэгшитгэлтэй тэнцүү гэдгийг анхаарна уу. . Графикаас (Зураг 2.4) j 2 (x) функц нь хэрчмийг өөртөө хувиргах нь тодорхой байна.

j(x) функц нь сегментийг өөртөө авах нөхцөлийг дараах байдлаар дахин томъёолж болно: j(x) функцийн тодорхойлолтын муж, j(x) функцийн өөрчлөлтийн муж гэж үзье.

, .

j(x) функцийн бүх нөхцөл хангагдсан.

Давтагдах процессын томъёо: x n +1 = j 2(xn).

3. Анхны ойролцоо тооцоолол: x 0 = 0.

4. Давтагдах үйл явцыг зогсоох нөхцөл:

Цагаан будаа. 2.5. Энгийн давталтын аргын геометрийн утга

.

Хэрэв энэ нөхцөл хангагдсан бол x n +1 - сегмент дээрх язгуурын ойролцоо утга, нарийвчлалтай энгийн давталтаар олно д. Зураг дээр. 2.5. Энгийн давталтын аргын хэрэглээг зурагт үзүүлэв.

Конвергенцийн теорем ба алдааны тооцоо

Сегментийг зөвшөөр тэгшитгэлийн нэг язгуурыг агуулна x = j(x), функц j(x ) интервал дээр тасралтгүй ялгарах боломжтой , сегментийг орчуулдаг өөртөө орж, нөхцөл хангагдсан байна:

.

Дараа нь аливаа анхны ойролцоо тооцоололд x 0 О дэд дараалал тэгшитгэлийн язгуурт нийлдэг y = j(x ) сегмент дээр мөн алдааны тооцоо нь шударга байна:

.

Энгийн давталтын аргын тогтвортой байдал. Нэгдэх теоремын нөхцөл хангагдсан тохиолдолд энгийн давталтын аргын алгоритм тогтвортой байна.

Энгийн давталтын аргын нарийн төвөгтэй байдал. Энгийн давталтын аргыг хэрэгжүүлэхэд шаардагдах компьютерийн санах ойн хэмжээ бага байна. Алхам бүрт та x n-ийг хадгалах хэрэгтэй , x n +1 , q Тэгээд д.

Энгийн давталтын аргыг хэрэгжүүлэхэд шаардагдах арифметик үйлдлийн тоог тооцоолъё. n 0 = n 0 (e) тоонуудын тооцооллыг бүх n ³ n 0 хувьд тэгш бус байдал хангана гэж бичье.

Энэ тооцооноос үзэхэд q нь нэгд ойртох тусам арга нь удаан нийлдэг.

Сэтгэгдэл. Нэгдэх теоремын бүх нөхцөл хангагдахаар f(x)-аас j(x)-ийг байгуулах ерөнхий дүрэм байхгүй. Дараах аргыг ихэвчлэн ашигладаг: j(x) = x + k× f(x) функцийг j функцээр сонгосон бөгөөд k энд k – тогтмол.

Энгийн давталтын аргыг програмчлахдаа давтагдах үйл явцыг зогсоох нь ихэвчлэн хоёр нөхцлийг нэгэн зэрэг биелүүлэхийг шаарддаг.

Мөн .

Бидний авч үзэх бусад бүх давталтын аргууд нь энгийн давталтын аргын онцгой тохиолдлууд юм. Жишээлбэл, хэзээ Ньютоны арга нь энгийн давталтын аргын онцгой тохиолдол юм.

Давталтын аргууд

Давталтын аргуудад дараах гурван үе шатыг авч үздэг: яг шийдэлд ойртох давталтын процессын дараалсан ойролцоо тооцоог тооцоолох бүтээн байгуулалт (жишээ нь, яг шийдэлд нийлэх векторуудын дарааллыг барих). ; шаардлагатай нарийвчлалд хүрэх мөчийг тодорхойлох боломжийг олгодог энэхүү үйл явцын нэгдэх шалгуурыг тодорхойлох; шаардлагатай нарийвчлалд хүрэхийн тулд шаардлагатай үйлдлүүдийн тоог багасгахын тулд давтагдах үйл явцыг оновчтой болгох, нэгтгэх хурдыг судлах.

Давталтын аргууд нь аргын нэгдэл нь батлагдсан тохиолдолд урьдчилан тодорхойлсон нарийвчлалтай шийдлийг олж авах боломжийг олгодог. Давталтын аргууд нь векторуудын дарааллын хязгаарт хүрдэг тул нарийн нарийвчлалтай шийдлийг өгдөггүй. Шууд арга нь ерөнхийдөө яг шийдлийг өгдөг боловч бүх компьютерт тохиолддог дугуйралтын алдааны улмаас үүнийг хийх боломжгүй бөгөөд априориЭнэ шийдэл нь яг нэгээс хэр их ялгаатай болохыг үнэлэхэд хэцүү байдаг. Дээрхтэй холбогдуулан давталтын аргууд нь заримдаа шууд шийдлээс илүү нарийвчлалтай шийдлийг олж авах боломжийг олгодог.

Шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэд хэдэн давтагдах аргыг авч үзье.

Энгийн давталтын арга

Энгийн давталтын аргад шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем (2.1). Сүх = бхэлбэрийн эквивалент систем болгон бууруулна

Системийн (2.9) шийдэл, улмаар анхны системийн (2.1) шийдлийг дараах векторуудын дарааллын хязгаар гэж хайна.

k = 0, 1, 2,…,(2.10)

уусмалын векторын анхны ойролцоолсон утга хаана байна.

Энгийн давталтын аргын нийлэх хангалттай нөхцөлийг дараах теоремоор тодорхойлно.

ТЕОРЕМ 1. Хэрэв авч үзэж буй векторын нормтой нийцсэн матрицын аль нэг норм нь нэгээс бага () байвал энгийн давталтын аргын дараалал (2.9) системийн яг шийдэлд багагүй хурдаар нийлдэг. ямар ч анхны ойролцоолсон хуваарьтай геометр прогрессийн хурдаас .

БАТАЛГАА. Теоремыг батлахын тулд бид алдаа гаргадаг. (2.10) хамаарлаас тэгш байдлыг хасвал бид . Норматив руу шилжихэд бид ийм байна

тэгш бус байдал гэдгийг анхаарна уу өмнөх илэрхийллээс нь матриц ба векторын норм нийцтэй байх нөхцөл юм. Хэрэв , дараа нь ямар ч анхны алдааны векторын хувьд (эсвэл аливаа анхны векторын хувьд) алдааны норм нь хуваагчтай геометрийн прогрессоос багагүй удаашрах хандлагатай тэг болно.

Хэрэв бид нормыг матрицын нормоор сонговол эсвэл Дараа нь энгийн давталтын аргын нэгдэх асуудлыг шийдэхийн тулд та теорем 1-ийн үр дүнг ашиглаж болно: матрицын хувьд дараах нөхцлүүдийн аль нэг нь хангагдсан тохиолдолд энгийн давталтын арга нь нийлдэг.

, i =1,2, …, n,

, j = 1, 2, …, n.(2.11)

Системийг авчрах хамгийн энгийн бөгөөд түгээмэл арга Сүх=б(2.9) хэлбэр нь давталт хийхэд тохиромжтой, диагональ элементүүдийг тус бүрээр нь сонгох явдал юм i-р-ын хувьд тэгшитгэлийг шийддэг i-рүл мэдэгдэх:

, i = 1, 2, …, n, (2.12)

энгийн давталтын аргыг гэж бичнэ

Дараа нь матриц иймэрхүү харагдаж байна

.

Энэ матрицын элементийг дараах байдлаар бичиж болно Кронекерийн тэмдэг хаана байна. Энэ тохиолдолд энгийн давталтын аргын нийлэх хангалттай нөхцөлийг матрицын диагональ элементүүд давамгайлах нөхцөл гэж томъёолж болно. А, энэ нь (2.11) ба матрицын тэмдэглэгээ, i.e.

i = 1, 2, …, n.

Давталтын аргын хувьд нийлэх нөхцлийн авч үзсэн хэлбэрүүд нь хангалттай гэдгийг дахин нэг удаа онцолж хэлье. Тэдгээрийн биелэлт нь аргын нэгдмэл байдлыг баталгаажуулдаг боловч ерөнхий тохиолдолд бүтэлгүйтсэн нь энгийн давталтын арга нь ялгаатай гэсэн үг биш юм. Энгийн давталтын аргын нийлэх зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл нь бүхэл хэсэг байх нөхцөл (энэ нь матрицын хамгийн их модулийн хувийн утга юм) А); Энэ нөхцлийг тооцоолох практикт бараг ашигладаггүй.

Шийдлийн алдааг тооцоолох асуулт руу шилжье. Шийдлийн алдааг тооцоолох хоёр харилцаа сонирхол татаж байна: эхнийх нь алдааны нормыг дараалсан хоёр ойролцоолсон зөрүүний нормтой холбодог бөгөөд зөвхөн тооцооллын явцад алдааг тооцоолоход ашиглаж болно; хоёр дахь нь алдааны нормыг систем дэх (2.9) анхны ойролцоолох вектор ба чөлөөт гишүүний векторын нормтой холбодог. Шаардлагатай хамаарлыг дараах хоёр теоремоор өгөгдсөн.

ТЕОРЕМ 2. Хэрэв матрицын аль нэг норм нь авч үзэж буй векторын нормтой нийцэж байвал X

. (2.13)

БАТАЛГАА. Тэгш байдлаас (2.10) тэгш байдлыг хасъя:

Ойролцоо утгыг хоёр талаас нь хасаад бид энэ харьцааг хэлбэрт шилжүүлнэ

Норматив руу шилжихэд бид авдаг

Учир нь теоремын нөхцлийн дагуу, тэгвэл

Үүнийг дагасан хамаарлыг ашиглан Бид эцэст нь:

ТЕОРЕМ 3. Матрицын аль нэг норм нь авч үзэж буй векторын нормтой нийцэж байвал X, нэгээс бага () байвал дараах алдааны тооцоо хийгдэнэ.

Хоёр тайлбар хийцгээе. Эхлээд (2.13) хамаарлыг маягтаар бичиж болно

Эхний хоёр давталтын үр дүнд үндэслэн алдааны тооцоог олж авах боломжийг бидэнд олгодог. Нэгдүгээрт, давталтын аргыг ашиглахдаа тооцооллын алдааны тооцоололд дараалсан хоёр ойролцоолсон зөрүүний нормыг ашиглахыг зөвлөж байна. Алдааны харьцаанаас харахад ерөнхий тохиолдолд энэ нь үнэн биш юм. Хэрэв норм нь нэгдмэл байдалтай ойролцоо байвал коэффициент нь нэлээд том байж болно.

Дараалсан давталтын алдаанууд нь хамааралтай холбоотой байдаг

тэдгээр. алдаа нь алхамын явцад шугаман байдлаар өөрчлөгддөг. Аргатай гэж байгаа шугаман конвергенцэсвэл нийлэх эхний дараалал. Гэсэн хэдий ч шаардлагатай нарийвчлалд хүрэхийн тулд давталтын тоо нь үнэ цэнэ болон анхны ойролцооллоос хамаарна.

Тиймээс энгийн давталтын аргыг жишээ болгон ашигласнаар давталтын аргын гурван үе шатыг үзүүлэв: (1.10) томъёогоор үүсгэгдсэн векторуудын дарааллыг барих; 1-р теоремыг ашиглан нэгдэх нөхцөлийг тодорхойлох, 2 ба 3-р теоремуудыг ашиглан нэгдэх хурдыг тооцоолох.

Зайделийн арга

Энгийн давталтын арга нь давталтын үйл явцын нэгдмэл байдлыг сайжруулах илэрхий боломжийг ашигладаггүй - шинээр тооцоолсон вектор бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тооцоололд нэн даруй нэвтрүүлэх. Энэ функцийг давтагдах Зайделийн аргад ашигладаг. (2.9) системийн давтагдах процесс нь хамаарлын дагуу биелнэ

i = 1, 2, …, n (2.14)

эсвэл системийн хувьд (1.1)

Зайделийн давталтын арга нь энгийн давталтын аргаас илүү хурдан нийлэхэд хүргэдэг гэдгийг бид дэлгэрэнгүй тайлбарлахгүйгээр тэмдэглэж байна. Гэсэн хэдий ч, Зайделийн давталтын арга нь энгийн давталтын аргаас илүү удаан нийлдэг, тэр ч байтугай энгийн давталтын арга нь нийлдэг, гэхдээ Зайделийн давталтын арга нь зөрөөтэй тохиолдол байдаг.

Үүнийг анхаарна уу Зайделийн арга нэгдэж байнахэрэв матриц Аэерэг тодорхой ба тэгш хэмтэй.

Зайделийн давталтын арга нь тусгайлан бүтээгдсэн матриц ба вектор (2.10) хамаарал бүхий энгийн давталтын аргатай дүйцэхүйц гэдгийг харуулъя. Үүнийг хийхийн тулд (2.14) системийг F нь матрицын коэффициентүүдийн дээд гурвалжин матриц, E нь таних матриц байх хэлбэрээр системийг дахин бичнэ. Матриц (E-N)- нэгтэй тэнцүү диагональ элементүүдтэй доод гурвалжин матриц. Иймээс энэ матрицын тодорхойлогч нь тэг биш (нэгтэй тэнцүү) бөгөөд урвуу матрицтай байна. Дараа нь

Энэхүү хамаарлыг (2.10) шийдэлтэй харьцуулж үзвэл бид Сейделийн давталтын арга нь энгийн давталтын аргатай үнэхээр дүйцэхүйц байна гэж дүгнэж болно, учир нь бид Сейделийн давталтын аргын нийлэх нөхцөл, шалгуурыг тогтоохын тулд теоремуудыг ашиглаж болно. Хэрэв бид тавих юм бол энгийн давталтын аргын хувьд өгөгдсөн Системийн (2.12) давталтын процессыг мөн илүү ерөнхий хэлбэрээр бичсэн болно, тухайлбал

Энгийн давталтын арга нь анхны тэгшитгэлийг ижил тэгшитгэлээр солиход суурилдаг.

Үндэст анхны ойролцоолсон утгыг мэддэг байг x = x 0. Үүнийг тэгшитгэлийн баруун талд (2.7) орлуулснаар бид шинэ ойролцоо утгыг олж авна , дараа нь бид ижил төстэй байдлаар авна гэх мэт:

. (2.8)

Бүх нөхцөлд давтагдах процесс нь тэгшитгэлийн үндэс рүү нийлдэггүй X. Энэ үйл явцыг нарийвчлан авч үзье. Зураг 2.6-д нэг талын конвергент ба дивергент процессын график тайлбарыг үзүүлэв. Зураг 2.7-д хоёр талын конвергент ба дивергент процессуудыг харуулав. Дивергент үйл явц нь аргумент ба функцийн утгын хурдацтай өсөлт, холбогдох програмыг хэвийн бус дуусгавар болгох замаар тодорхойлогддог.

Хоёр талын процессоор дугуй унах боломжтой, өөрөөр хэлбэл ижил функц, аргументуудын утгыг эцэс төгсгөлгүй давтах боломжтой. Гогцоо нь дивергент процессыг нэгдэх процессоос тусгаарладаг.

Нэг талт болон хоёр талт үйл явцын аль алинд нь үндэс рүү ойртох нь язгуурын ойролцоох муруйн налуугаар тодорхойлогддог нь графикуудаас тодорхой харагдаж байна. Налуу нь бага байх тусам нэгдэх нь сайн. Мэдэгдэж байгаагаар муруйн налуугийн тангенс нь тухайн цэг дээрх муруйны деривативтай тэнцүү байна.

Тиймээс үндэсийн ойролцоо тоо бага байх тусам процесс хурдан нийлдэг.

Давталтын процесс нийлэхийн тулд язгуурын ойролцоо дараахь тэгш бус байдлыг хангасан байх ёстой.

(2.1) тэгшитгэлээс (2.7) тэгшитгэл рүү шилжих шилжилтийг функцийн төрлөөс хамааран янз бүрийн аргаар хийж болно. f(x).Ийм шилжилтийн үед нийлэх нөхцөл (2.9) хангагдахын тулд функцийг байгуулах шаардлагатай.

(2.1) тэгшитгэлээс (2.7) тэгшитгэл рүү шилжих ерөнхий алгоритмуудын нэгийг авч үзье.

(2.1) тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг дурын тогтмолоор үржүүлье. бмөн хоёр хэсэгт үл мэдэгдэхийг нэмнэ X.Энэ тохиолдолд анхны тэгшитгэлийн үндэс өөрчлөгдөхгүй:

Тэмдэглэгээг танилцуулъя (2.10) хамаарлаас тэгшитгэл (2.8) руу шилжье.

Тогтмолыг дур зоргоороо сонгох бнийлэх нөхцөл (2.9) биелэлтийг хангана. Давталтын процессыг дуусгах шалгуур нь нөхцөл (2.2) байх болно. Зураг 2.8-д тайлбарласан дүрслэлийн аргыг ашиглан энгийн давталт хийх аргын график тайлбарыг үзүүлэв (X ба Y тэнхлэгийн дагуух масштабууд өөр байна).

Хэрэв функцийг хэлбэрээр сонгосон бол энэ функцийн дериватив нь . Нэгдэх хамгийн дээд хурд нь -д байх болно мөн давталтын томъёо (2.11) нь Ньютоны томъёонд ордог. Тиймээс Ньютоны арга нь бүх давтагдах үйл явцын хамгийн дээд зэрэгтэй нийлдэг.

Энгийн давталтын аргын програм хангамжийн хэрэгжилт нь дэд программын процедур хэлбэрээр хийгддэг Давталт(ХӨТӨЛБӨР 2.1).

Процедур нь бүхэлдээ нэг давтагдах үйл явцыг зогсоох нөхцөлийг харгалзан (2.11) томъёог хэрэгжүүлэх (томъёо (2.2)) -аас бүрддэг.

Уг процедур нь Niter хувьсагчийг ашиглан гогцоонуудын тоог тоолох замаар давталтын хамгаалалттай байдаг. Практик хичээл дээр та коэффициентийн сонголт хэрхэн нөлөөлж байгааг програмыг ажиллуулах замаар шалгах хэрэгтэй бба үндсийг хайх явцад анхны ойролцоолсон. Коэффицентийг өөрчлөх үед бсудалж буй функцийн давталтын үйл явцын шинж чанар өөрчлөгдөнө. Энэ нь эхлээд хоёр талт болж, дараа нь гогцоо (Зураг 2.9). Тэнхлэгийн масштаб XТэгээд Юялгаатай. Модулийн b-ийн илүү их утга нь ялгаатай процесст хүргэдэг.

Тэгшитгэлийг ойролцоогоор шийдвэрлэх аргуудын харьцуулалт

Тэгшитгэлийн тоон шийдлийн дээр дурдсан аргуудын харьцуулалтыг компьютерийн дэлгэц дээр график хэлбэрээр үндсийг олох үйл явцыг ажиглах боломжийг олгодог програмыг ашиглан гүйцэтгэсэн. Энэхүү хөтөлбөрт багтсан журам, харьцуулсан аргуудыг доор өгөв (ХӨТӨЛБӨР 2.1).

Цагаан будаа. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 нь давталтын процессын төгсгөлд PC дэлгэцийн хуулбар юм.

Бүх тохиолдолд x 2 -x-6 = 0 квадрат тэгшитгэлийг судалж буй функц болгон авч, аналитик шийдэл нь x 1 = -2 ба x 2 = 3 байна. Алдаа болон анхны ойролцооллыг бүх аргын хувьд тэнцүү гэж үзсэн. Root хайлтын үр дүн x=Зурагт үзүүлсэн 3 нь дараах байдалтай байна. Дихотомийн арга нь хамгийн удаан - 22 давталтыг нэгтгэдэг, хамгийн хурдан нь b = -0.2 - 5 давталттай энгийн давталтын арга юм. Энд Ньютоны арга хамгийн хурдан гэсэн үгтэй зөрчилдөхгүй.

Тухайн цэг дээр судалж буй функцийн дериватив X= 3 нь -0.2-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл энэ тохиолдолд тооцооллыг тэгшитгэлийн язгуур цэг дээрх деривативын утгыг Ньютоны аргаар практикт гүйцэтгэсэн. Коэффицентийг өөрчлөх үед бнийлэх хурд буурч, аажмаар нийлэх үйл явц эхлээд мөчлөгт орж, дараа нь дивергент болдог.