5 тооны дисперс хэд вэ. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс

Энэ бол ялгаа юм математикийн хүлээлтсанамсаргүй хэмжигдэхүүний квадрат ба түүний хүлээлтийн түншийн квадрат.

D(X)=M(X^2)-M^2(X)

Тархалт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын хүлээгдэж буй утгатай харьцуулахад тархалтын түвшинг тодорхойлдог. Хэрэв бүх утгууд нь хүлээгдэж буй утгын эргэн тойронд нягт төвлөрч, хүлээгдэж буй утгаас хазайлт их байвал ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь бага тархалттай, хэрэв тархсан бөгөөд M-ээс их хазайх магадлал өндөр байвал санамсаргүй утга нь их хэмжээний тархалттай байдаг.

Үл хөдлөх хөрөнгө:

1. Вариац нь тогтмол 0 D(C)=0-тэй тэнцүү

2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийг тогтмол С-ээр тараах нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний X-ийн тархалтын квадрат D(CX)=C^2D(X) үржвэртэй тэнцүү байна.

3. Хэрэв X ба Y утга нь бие даасан байвал тэдгээрийн нийлбэрийн дисперс (ялгаа) нь дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

D(X Y)=D(X)+D(Y)

4. Хэрэв тогтмол утга нэмбэл кейсийн утгуудын тархалт өөрчлөгдөхгүй

Теорем:

n-д А үзэгдлийн тохиолдлын тоон тархалт бие даасан туршилтуудтус бүрт үйл явдал тохиолдох магадлал тогтмол ба p-тэй тэнцүү байх ба туршилтын тоог нэг туршилтанд тохиолдох магадлал болон тохиолдохгүй байх магадлалаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Стандарт хэлбэлзэл.

Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж квадрат хазайлтыг нэрлэнэ арифметик үндэсзөрүүтэй

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд. Магадлалын тархалтын функц ба түүний шинж чанарууд.

Утга нь тодорхой интервалыг дүүргэх санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг Үргэлжилсэн.

Интервалууд нь төгсгөлтэй, хагас төгсгөлгүй, хязгааргүй байж болно.

Түгээх функц St.

DSV-г тодорхойлох аргууд нь тасралтгүй үйл ажиллагаанд хамаарахгүй. Үүнтэй холбогдуулан магадлалын тархалтын функцийн тухай ойлголтыг оруулсан болно.

Түгээлтийн функц нь F(x) функц бөгөөд x утга тус бүрийн хувьд X утгын тохиолдол x-ээс бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл.

Чиг үүрэг DSV түгээлтүүд(x1,x2,x3) утгыг магадлалаар (p1,p2,p3) авах нь тодорхойлогддог.

Жишээлбэл, түгээлтийн функц бином тархалттомъёогоор тодорхойлно:

Санамсаргүй хувьсагчХэрэв тархалтын функц нь тасралтгүй дериватив бүхий тасралтгүй, хэсэгчлэн дифференциалагдах функц байвал тасралтгүй гэж нэрлэдэг.

Үл хөдлөх хөрөнгө:

1.функцийн утга хамаарна

2. тархалтын функц нь буурахгүй функц F(x2)

3. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн (α,β) интервалд агуулагдах утгыг авах магадлал нь P(α) интервал дээрх тархалтын функцийн өсөлттэй тэнцүү байна.

Үр дагавар. Кейс нэг утгыг авах магадлал 0 байна.

4. Хэрэв X утгын бүх боломжит утгууд (a,b)-д хамаарах бол x a-ийн хувьд F(x)=0, x b-ийн хувьд F(x)=1 байна.

5. X утгын тохиолдол х-ээс их утгыг авах магадлал нь нэгдэл ба тархалтын функцийн зөрүүтэй тэнцүү байна.

Шинэ мэдлэг, ур чадвар, чадварыг шилжүүлэх, эзэмших хичээл.

Сэдэв: Өөрчлөлт. Түүний шинж чанарууд.

Хичээлийн зорилго:

• Танин мэдэхүйн: 1) математикийн мэдлэг, чадвар, ур чадварын тодорхой тогтолцоог оюутнуудад шилжүүлэх; 2) сурагчдын ур чадварыг хөгжүүлэх
  магадлалын онолын үндсэн төрлийн асуудлуудыг шийдвэрлэх, онолыг тодорхой өөр нөхцөл байдалд ашиглах; 3) дээд математикийн санаа, аргын талаархи санаа бодлыг бий болгох; 4) дээд математикийн хичээлийн материалд үндэслэн оюутнуудын боловсрол, танин мэдэхүйн үйл ажиллагааны арга зүйг бүрдүүлэх.
• Хөгжүүлэх: 1) сэтгэлгээг хөгжүүлэх; 2) санах ойг хөгжүүлэх; 3) бүтээлч үйл ажиллагааны элементүүдийг сэтгэлгээний чанар болгон хөгжүүлэх; 4) математикийн нэр томъёо, тодорхойлолт, ойлголтыг бий болгох, тэдгээртэй ажиллах арга техникийг эзэмшихээс бүрдсэн ярианы хөгжил.
• Боловсролын: 1) оюутнуудад сонгосон мэргэжил, энэ хичээлийг хайрлах сэтгэлийг төлөвшүүлэх.

Даалгавар: санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийн шинж чанарыг тодорхойлох, түүнийг тооцоолох томъёог гаргах явдал юм.

Хичээлийн үеэр.

1. Зохион байгуулах цаг.
2. Хуучин материалыг давтаж, шинэ материалыг сурах.
3. Шинэ материалыг нэгтгэх.
4. Гэрийн даалгавар.

1. Хичээлд оролцсон сурагчдыг шалгах.

2. Математик бол бүх шинжлэх ухааны хатан хаан!
Түүнгүйгээр хөлөг онгоц нисч чадахгүй,
Үүнгүйгээр та нэг акр газрыг хувааж чадахгүй,
Та талх ч авч чадахгүй, рубль тоолж ч чадахгүй,
Чиний мэдэхгүй зүйл, нэгэнт мэдсэнээр та ойлгохгүй!

Багш аа: "Тиймээс математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүрэн тодорхойлдоггүй"

Сурагч 1: "Өө, би яасан юм бэ?"

Оюутан 2: "Тийм ээ, чиний зөв, чи үнэн хэлж байна."

Сурагч 1: "Гэхдээ хэн ч намайг гэнэт орлох болно, учир нь миний жор хүн бүрт хэрэгтэй."

Оюутан 2: "Тийм ээ, эхлээд бүх зүйлийг өөртөө санаарай."

Оюутан 1: "Асуудалгүй, эдгээр томъёог хүн бүр мэддэг. Хэрэв утгуудын багц хязгааргүй бол хүлээлт нь цуваа, эс тэгвээс түүний нийлбэр хэлбэрээр олддог.

Хэрэв хэмжигдэхүүн гэнэт тасралтгүй байвал бид хязгаарлагдмал тохиолдлыг авч үзэх эрхтэй бөгөөд эцэст нь дараахь зүйлийг олж авна.

Сурагч 2: “Гэхдээ энэ бүхэн инээдтэй, учир нь ямар ч хүлээлт байхгүй. Тэр энд алга!".

Сурагч 1: "Үгүй ээ, интеграл ба нийлбэр хоёулаа туйлын нийлсэн үед хүлээлт бий болно."

Сурагч 2: "Гэхдээ би нэг зүйлийг хэлье, бид хүлээх шаардлагагүй."

1-р сурагч: “Өө, энэ яаж байж болох вэ? Тийм ээ, энэ бол энгийн."

Багш: "Зогс, зогсоо, маргаанаа дуусгая. Үзэг, дэвтэр аваад, зам дээр бид маргааныг шийдвэрлэх болно. Гэхдээ эхлэхээсээ өмнө математикийн хүлээлтээс хазайх нь юутай тэнцэх вэ гэдгийг нэг л зүйлийг санацгаая."

Сурагч 3: "Өө, би үүнийг санаж байна."

Багш: "Гуйя, шохой, самбар байна."

Сурагч 4: “X – M(X) ялгааг X санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт M(X)-аас хазайлт гэнэ. Энэ хазайлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь тогтмол хэмжигдэхүүн бөгөөд тогтмол хэмжигдэхүүний математик хүлээлт үүнтэй тэнцүү байдаг.

тогтмол, дараа нь M(X – M(X)) = M(X) – M(M(X)) = M (X) – M(X) = 0. t, e, M(X – M(X)) ) =0."

Багш: "Тийм ээ, бүх зүйл зөв, гэхдээ найзууд аа, энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик утгаас хазайх тархалтын хэмжүүр гэж үзэх боломжгүй юм. Үүнээс үзэхэд модуль эсвэл квадрат хазайлтыг авч үзэх болно. Одоо тодорхойлолтыг сонсоорой: санамсаргүй хэмжигдэхүүний X - тархалт эсвэл сарнилт нь түүний хазайлтын квадратын математик хүлээлт юм. Үүнийг D(X) гэж тэмдэглэсэн бөгөөд томъёо нь: D(X) = М((Х – М(Х)) 2). (1) Одоо бид хэмжигдэхүүнд ямар тэмдэг өгөхөө тодорхойлъё?"

Сурагч 5: “Математикийн хүлээлтийн шинж чанар, тодорхойлолтоос бид зөвхөн нэг л зүйлийг олж авах боломжтой, хэмжигдэхүүн нь дисперс нь сөрөг бус D(X) > 0” (2).

Багш: "Нэг тэгш байдлыг харгалзан бид дисперсийг олох томъёог олж авна: D(X) = M(X 2) – (M(X)) 2. Үүнийг хэн нэгэн нотлох байх."

Сурагч 6: “Би оролдоод үзье. D(X)=M((X – M(X)) 2) = M(X 2 - 2ХМ(Х)+(М(Х)) 2)= М(Х 2) – 2М(ХМ(Х)+ М((М(Х)) 2)=М(Х 2) – 2М(Х)М(Х)+(М(Х)) 2 =М(Х 2) – (М(Х)) 2 “( 3 )

Багш: "Санамсаргүй хэмжигдэхүүний шинж чанарыг авч үзье.

1. Dispersion C – тогтмол утга нь тэгтэй тэнцүү байх тул: D(C) - 0 (C – const). (4)

2. Тогтмол коэффициентийг квадрат болгож дисперсийн тэмдгээс гаргаж болно: D(CX)=C 2 D(X). (5)

3. Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна: D(X+Y) = D(X) + D(Y). (6)

4. Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний зөрүүний дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна: D(X – Y) = D(X) + D(Y). (7)

Хүлээлтийн шинж чанарыг харгалзан эдгээр шинж чанаруудыг баталцгаая.

D(C) = М((С – М(С)) 2) = М((С – С 2)) = М(0) = 0. Нэгдүгээр шинж чанар нь нотлогдсон нь тогтмол утга нь үгүй ​​гэсэн үг; ижил утгатай тул тараах.

Одоо хоёр дахь шинж чанарыг баталъя: D(CX) – М((СХ – М(СХ)) 2) = М((СХ)

CM(X)) 2) = M(C 2 (X – M(X)) 2) = C 2 M((X – M(X)) 2) = C 2 D(X).

Гурав дахь шинж чанарыг батлахын тулд бид гурав дахь томьёог ашиглана:

D(X+Y) = M((X+Y) 2) – (M(X+Y)) 2 = M(X 2 +2XY+Y 2) – (M(X)+M(Y)) 2 = M(X 2)+M(2XY)+M(Y 2) – ((M(X)) 2 +2M(X)M(Y)+(M(Y)) 2) = M(X 2) +2М(Х)М(Ү)+М(Ү 2) – (М(Х)) 2 – 2М(Х)М(Ү) – (М(Ү)) 2 = М(Х 2) - (М( X)) 2 +M(Y 2) – (M(Y)) 2 = D(X) – D(Y).

Гурав дахь шинж чанар нь дурын тооны хос бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнд хамаарна.

Дөрөв дэх шинж чанарын нотолгоо нь (5) ба (6) томъёоноос хамаарна.

D(X – Y) = D(X +(- Y)) – D(X) +D(– Y)=D(X)+(-l) 2 D(Y) = D(X)+D( Y).

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X бол дискрет бөгөөд түүний тархалтын хууль P(X=x k) = p k (k= 1,2,3,n) өгөгдсөн.

Ийнхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүн (X - M(X)) 2 нь дараах тархалтын хуультай байна: (k=1,2,3,n), =l.

Математикийн хүлээлтийн тодорхойлолт дээр үндэслэн бид томъёог олж авдаг

Бүх боломжит утгууд нь [a, b] сегментэд хамаарах тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн дисперсийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

D(X)=(x-M(X)) 2 p(x)dx (8)

Энд р(х) нь энэ хэмжигдэхүүний тархалтын нягт юм. Зөрчлийг дараах томъёогоор тооцоолж болно.

"4" ба "5" үнэлгээтэй оюутнуудын хувьд (9) томъёог гэртээ нотлох шаардлагатай.

3. Туршилтын ажлын хэлбэрээр шинэ материалыг нэгтгэх.

1) "Таралт ба түүний шинж чанарууд" сэдвээр хийсэн туршилтын ажил.

1. Тодорхойлолтыг үргэлжлүүлнэ үү: дисперс нь.

2. Вариацийг тооцоолох зөв томъёог сонгоно уу:

a) D(X)=D(X) 2 – (D(X)) 2;
b) D(X)=M(X – D(X 2));
c)D(X)=M((X-M(X)) 2);
d) D(X)=M(X) 2 – (M(X)) 2;

Статистикийн тархалтшинж чанарын хувь хүний ​​утгын квадратаас олно. Анхны өгөгдлөөс хамааран энгийн ба жинлэсэн дисперсийн томъёог ашиглан тодорхойлно.

1. (бүлэгдээгүй өгөгдлийн хувьд) дараах томъёогоор тооцоолно.

2. Жинлэсэн дисперс (вариацын цувралын хувьд):

Энд n нь давтамж (Х хүчин зүйлийн давтагдах чадвар)

Вариацийг олох жишээ

Энэ хуудас нь вариацийг олох стандарт жишээг тайлбарласан бөгөөд та үүнийг олох бусад асуудлуудыг харж болно

Жишээ 1. Дараах өгөгдөл нь захидал харилцааны 20 оюутны бүлгийн хувьд боломжтой. Шинж чанарын тархалтын интервалын цувааг барьж, шинж чанарын дундаж утгыг тооцоолж, түүний тархалтыг судлах шаардлагатай.

Интервалын бүлэглэл байгуулъя. Интервалын мужийг томъёогоор тодорхойлъё.

Энд X max нь бүлэглэх шинж чанарын хамгийн их утга;
X мин – бүлэглэх шинж чанарын хамгийн бага утга;
n - интервалын тоо:

Бид n=5 гэж хүлээн зөвшөөрнө. Алхам нь: h = (192 - 159)/ 5 = 6.6

Интервалын бүлэглэл үүсгэцгээе

Цаашдын тооцооллын хувьд бид туслах хүснэгтийг байгуулна.

X'i нь интервалын дунд хэсэг юм. (жишээ нь 159 – 165.6 = 162.3 интервалын дунд)

Бид жигнэсэн арифметик дундаж томъёог ашиглан сурагчдын дундаж өндрийг тодорхойлно.

Дараах томъёог ашиглан дисперсийг тодорхойлъё.

Тархалтын томъёог дараах байдлаар өөрчилж болно.

Энэ томъёоноос ийм зүйл гарч ирнэ хэлбэлзэл нь тэнцүү байна сонголтуудын квадратуудын дундаж болон квадрат ба дундаж хоорондын зөрүү.

Вариацын цуваа дахь дисперсмоментийн аргыг ашиглан тэнцүү интервалтайгаар тархалтын хоёр дахь шинж чанарыг (бүх сонголтыг интервалын утгад хуваах) ашиглан дараах аргаар тооцоолж болно. Ялгааг тодорхойлох, моментийн аргыг ашиглан дараах томъёог ашиглан тооцоолсон нь бага хөдөлмөр шаарддаг.

энд i нь интервалын утга;
A нь ердийн тэг бөгөөд хамгийн их давтамжтай интервалын дундыг ашиглахад тохиромжтой;
m1 нь эхний эрэмбийн моментийн квадрат;
м2 - хоёр дахь эрэмбийн момент

(хэрэв статистикийн популяцид шинж чанар нь зөвхөн хоёр бие биенээ үгүйсгэдэг сонголттойгоор өөрчлөгдвөл ийм хувьсагчийг альтернатив гэж нэрлэдэг) томъёог ашиглан тооцоолж болно.

Энэхүү тархалтын томъёонд q = 1- p-г орлуулснаар бид дараахийг олж авна.

Янз бүрийн төрлүүд

Нийт зөрүүЭнэ өөрчлөлтийг үүсгэгч бүх хүчин зүйлийн нөлөөгөөр нийт хүн амын дундах шинж чанарын өөрчлөлтийг хэмждэг. Энэ нь x-ийн нийт дундаж утгаас шинж чанарын бие даасан утгуудын хазайлтын дундаж квадраттай тэнцүү бөгөөд энгийн дисперс эсвэл жигнэсэн дисперс гэж тодорхойлж болно.

санамсаргүй өөрчлөлтийг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл. тооцоогүй хүчин зүйлийн нөлөөллөөс шалтгаалсан өөрчлөлтийн нэг хэсэг бөгөөд тухайн бүлгийн үндсийг бүрдүүлдэг хүчин зүйл-шинж чанараас хамаардаггүй. Ийм тархалт нь бүлгийн арифметик дунджаас X бүлгийн шинж чанарын бие даасан утгуудын хазайлтын дундаж квадраттай тэнцүү бөгөөд энгийн дисперс эсвэл жигнэсэн дисперс гэж тооцож болно.

Тиймээс, бүлэг доторх хэлбэлзлийн хэмжүүрБүлэг доторх шинж чанарын өөрчлөлтийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

энд xi нь бүлгийн дундаж;
ni нь бүлгийн нэгжийн тоо юм.

Жишээлбэл, цехийн хөдөлмөрийн бүтээмжийн түвшинд ажилчдын мэргэшлийн нөлөөллийг судлах даалгаварт тодорхойлох шаардлагатай бүлэг доторх ялгаа нь бүх боломжит хүчин зүйлээс (тоног төхөөрөмжийн техникийн байдал, бэлэн байдал) үүссэн бүлэг тус бүрийн гарцын өөрчлөлтийг харуулдаг. багаж хэрэгсэл, материал, ажилчдын нас, хөдөлмөрийн эрч хүч гэх мэт.), мэргэшлийн ангиллын ялгааг эс тооцвол (бүлэг дотор бүх ажилчид ижил мэргэжилтэй).

Бүлэг доторх хэлбэлзлийн дундаж нь санамсаргүй байдлаар, өөрөөр хэлбэл бүлэглэх хүчин зүйлээс бусад бүх хүчин зүйлийн нөлөөн дор үүссэн өөрчлөлтийн хэсгийг тусгадаг. Үүнийг дараах томъёогоор тооцоолно.

Бүлгийн үндэс болсон хүчин зүйлийн шинж тэмдгийн нөлөөгөөр үүссэн шинж чанарын системчилсэн өөрчлөлтийг тодорхойлдог. Энэ нь бүлгийн дундаж утгуудын нийт дунджаас хазайсан дундаж квадраттай тэнцүү байна. Бүлэг хоорондын зөрүүг дараах томъёогоор тооцоолно.

Статистикийн зөрүүг нэмэх дүрэм

дагуу хэлбэлзлийг нэмэх дүрэмнийт дисперс нь бүлэг доторх болон бүлэг хоорондын дисперсийн дундаж нийлбэртэй тэнцүү байна:

Энэ дүрмийн утга учирбүх хүчин зүйлийн нөлөөгөөр үүсэх нийт дисперс нь бусад бүх хүчин зүйлийн нөлөөгөөр үүсэх дисперсийн нийлбэр ба бүлэглэх хүчин зүйлийн нөлөөгөөр үүссэн дисперстэй тэнцүү байна.

Вариацийг нэмэх томъёог ашиглан та мэдэгдэж буй хоёр дисперсээс гурав дахь үл мэдэгдэх дисперсийг тодорхойлж, мөн бүлэглэлийн шинж чанарын нөлөөллийн хүчийг шүүж болно.

Тархалтын шинж чанарууд

1. Хэрэв шинж чанарын бүх утгыг ижил тогтмол хэмжээгээр бууруулж (нэмэгдүүлбэл) тархалт өөрчлөгдөхгүй.
2. Хэрэв шинж чанарын бүх утгыг ижил тооны n дахин бууруулсан (өсгөх) бол дисперс нь n ^ 2 дахин багасна (өснө).

Дискрет магадлалын орон зайд өгөгдсөн Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт (дундаж утга) нь цуваа үнэмлэхүй нийлдэг бол m =M[X]=∑x i p i тоо байна.

Үйлчилгээний зорилго. Онлайн үйлчилгээг ашиглах математикийн хүлээлт, дисперс болон стандарт хазайлтыг тооцдог(жишээг үзнэ үү). Түүнчлэн F(X) тархалтын функцийн графикийг зурсан.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн шинж чанарууд

1. Тогтмол утгын математик хүлээлт нь өөртэй нь тэнцүү байна: M[C]=C, C – тогтмол;
2. M=C M[X]
3. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна: M=M[X]+M[Y]
4. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна: X ба Y нь бие даасан байвал M=M[X] M[Y] .

Тархалтын шинж чанарууд

1. Тогтмол утгын дисперс нь тэг: D(c)=0.
2. Тогтмол хүчин зүйлийг дисперсийн тэмдгийн доор квадрат болгож авч болно: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Хэрэв X ба Ү санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байвал нийлбэрийн дисперс нь дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай бол: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Дараах тооцооны томъёо нь тархалтын хувьд хүчинтэй байна.
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Жишээ. X ба Y бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперсүүд мэдэгдэж байна: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Z=9X-8Y+7 санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг ол.
Шийдэл. Математикийн хүлээлтийн шинж чанарт үндэслэн: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Дисперсийн шинж чанарт үндэслэн: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Математикийн хүлээлтийг тооцоолох алгоритм

1. Бид хосуудыг нэг нэгээр нь үржүүлдэг: x i-ээр p i .
2. Хос бүрийн үржвэрийг нэмнэ x i p i .
   Жишээлбэл, n = 4-ийн хувьд: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Жишээ №1.

Жишээ №2. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дараах тархалтын цуваатай байна.

Шийдэл. a-ийн утгыг Σp i = 1 гэсэн хамаарлаас олно
Σp i = a + 0.32 + 2 a + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 эсвэл 0.24=3 a , эндээс a = 0.08

Жишээ №3. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний диссертаци нь мэдэгдэж байгаа бол түүний тархалтын хуулийг тодорхойл, x 1 x 1 =6; x 2 =9; x 3 =x; x 4 =15
p 1 =0.3; p 2 =0.3; p 3 =0.1; p 4 =0.3
d(x)=12.96

Шийдэл.
Энд та d(x) дисперсийг олох томъёог үүсгэх хэрэгтэй:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
Энд хүлээлт m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Бидний мэдээллийн хувьд
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
эсвэл -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Үүний дагуу бид тэгшитгэлийн үндсийг олох хэрэгтэй бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь байх болно.
x 3 =8, x 3 =12
x 1 нөхцөлийг хангасаныг сонгоно уу x 3 =12

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0.3; p 2 =0.3; p 3 =0.1; p 4 =0.3

Магадлалын онол бол зөвхөн дээд боловсролын сургуулийн оюутнууд судалдаг математикийн тусгай салбар юм. Та тооцоолол, томъёонд дуртай юу? Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэвийн тархалт, ансамблийн энтропи, математикийн хүлээлт, дисперстэй танилцах хэтийн төлөв таныг айхгүй байна уу? Тэгвэл энэ сэдэв танд маш сонирхолтой байх болно. Энэхүү шинжлэх ухааны салбарын хамгийн чухал хэд хэдэн үндсэн ойлголттой танилцацгаая.

Үндсэн зүйлийг санацгаая

Хэдийгээр та магадлалын онолын хамгийн энгийн ойлголтуудыг санаж байсан ч өгүүллийн эхний догол мөрийг үл тоомсорлож болохгүй. Гол нь та үндсэн ойлголтуудыг тодорхой ойлгохгүй бол доор авч үзсэн томьёотой ажиллах боломжгүй болно.

Тиймээс зарим нэг санамсаргүй үйл явдал, зарим туршилтууд тохиолддог. Бидний хийсэн үйлдлүүдийн үр дүнд бид хэд хэдэн үр дүнд хүрч чадна - тэдгээрийн зарим нь илүү олон удаа тохиолддог, зарим нь бага тохиолддог. Үйл явдлын магадлал гэдэг нь нэг төрлийн бодит үр дүнгийн тоог боломжит үр дүнгийн нийт тоонд харьцуулсан харьцаа юм. Зөвхөн энэ ойлголтын сонгодог тодорхойлолтыг мэдсэнээр та тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба тархалтыг судалж эхлэх боломжтой.

Дундаж

Сургуульд байхдаа математикийн хичээл дээр та арифметик дундажтай ажиллаж эхэлсэн. Энэ ойлголт магадлалын онолд өргөн хэрэглэгддэг тул үүнийг үл тоомсорлож болохгүй. Одоогийн байдлаар бидний хувьд хамгийн гол зүйл бол санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба тархалтын томъёонд бид үүнийг тааралдах явдал юм.

Бидэнд тоонуудын дараалал байгаа бөгөөд арифметик дундажийг олохыг хүсч байна. Биднээс шаардагдах бүх зүйл бол боломжтой бүх зүйлийг нэгтгэн дүгнэж, дарааллын элементүүдийн тоогоор хуваах явдал юм. 1-ээс 9 хүртэлх тоонууд байцгаая. Элементүүдийн нийлбэр нь 45-тай тэнцүү байх ба бид энэ утгыг 9-д хуваана. Хариулт: - 5.

Тархалт

Шинжлэх ухааны үүднээс авч үзвэл тархалт гэдэг нь арифметик дунджаас шинж чанарын олж авсан утгын хазайлтын дундаж квадрат юм. Үүнийг нэг том латин үсгээр тэмдэглэсэн D. Үүнийг тооцоолоход юу хэрэгтэй вэ? Дарааллын элемент бүрийн хувьд бид одоо байгаа тоо болон арифметик дундаж хоёрын зөрүүг тооцоод квадрат болгоно. Бидний авч үзэж буй үйл явдлын үр дүн байж болохуйц олон үнэт зүйлс байх болно. Дараа нь бид хүлээн авсан бүх зүйлийг нэгтгэж, дарааллын элементүүдийн тоогоор хуваана. Хэрэв бидэнд таван боломжит үр дүн байгаа бол таваар хуваа.

Тархалт нь асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглахын тулд санаж байх ёстой шинж чанаруудтай. Жишээлбэл, санамсаргүй хэмжигдэхүүн X дахин нэмэгдэхэд дисперс нь X квадрат дахин нэмэгддэг (өөрөөр хэлбэл X*X). Энэ нь хэзээ ч тэгээс багагүй бөгөөд утгыг тэнцүү хэмжээгээр дээш эсвэл доош шилжүүлэхээс хамаардаггүй. Нэмж дурдахад, бие даасан туршилтуудын хувьд нийлбэрийн хэлбэлзэл нь хэлбэлзлийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Одоо бид салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс болон математикийн хүлээлтийн жишээг авч үзэх нь гарцаагүй.

Бид 21 туршилт хийж, 7 өөр үр дүнд хүрсэн гэж бодъё. Бид тус бүрийг 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5 удаа ажигласан. Зөрчил нь ямар тэнцүү байх вэ?

Эхлээд арифметик дундажийг тооцоод үзье: элементүүдийн нийлбэр нь мэдээж 21. Үүнийг 7-д хувааж 3-ыг авна. Одоо анхны дарааллын тоо бүрээс 3-ыг хасч, утга тус бүрийг квадрат болгож, үр дүнг нэгтгэнэ. Үр дүн нь 12. Одоо бидний хийх ёстой зүйл бол тоог элементийн тоонд хуваах явдал юм, тэгээд л болоо. Гэхдээ барих зүйл байна! Үүнийг хэлэлцье.

Туршилтын тооноос хамаарна

Эндээс харахад дисперсийг тооцоолохдоо хуваагч нь N эсвэл N-1 гэсэн хоёр тооны аль нэгийг агуулж болно. Энд N нь гүйцэтгэсэн туршилтын тоо эсвэл дарааллын элементийн тоо (энэ нь үндсэндээ ижил зүйл юм). Энэ юунаас хамаардаг вэ?

Хэрэв тестийн тоог хэдэн зуугаар хэмжсэн бол хуваагчдаа N-г оруулах ёстой. Эрдэмтэд хил хязгаарыг нэлээд бэлгэдлээр зурахаар шийдсэн: өнөөдөр энэ нь 30-ын тоогоор дамждаг. Хэрэв бид 30-аас бага туршилт хийсэн бол N-1, түүнээс дээш бол N-ээр хуваана.

Даалгавар

Дисперс ба математикийн хүлээлтийн асуудлыг шийдэх жишээндээ эргэн оръё. Бид завсрын дугаар 12-ыг авсан бөгөөд үүнийг N эсвэл N-1-д хуваах шаардлагатай байв. Бид 21 туршилт хийсэн бөгөөд энэ нь 30 хүрэхгүй байгаа тул бид хоёр дахь хувилбарыг сонгох болно. Тиймээс хариулт нь: дисперс нь 12/2 = 2 байна.

Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ

Энэ нийтлэлд авч үзэх ёстой хоёр дахь үзэл баримтлал руу шилжье. Математикийн хүлээлт нь боломжит бүх үр дүнг харгалзах магадлалаар үржүүлсний үр дүн юм. Хүлээн авсан утга, түүнчлэн хэлбэлзлийг тооцоолох үр дүн нь хэчнээн үр дүнг авч үзсэнээс үл хамааран бүх асуудлын хувьд зөвхөн нэг удаа л гардаг гэдгийг ойлгох нь чухал юм.

Математикийн хүлээлтийн томъёо нь маш энгийн: бид үр дүнг авч, магадлалаар нь үржүүлж, хоёр дахь, гурав дахь үр дүнгийн хувьд адилхан нэмдэг гэх мэт. Энэ үзэл баримтлалтай холбоотой бүх зүйлийг тооцоолоход хэцүү биш юм. Жишээлбэл, хүлээгдэж буй утгуудын нийлбэр нь нийлбэрийн хүлээгдэж буй утгатай тэнцүү байна. Ажлын хувьд ч мөн адил. Магадлалын онолын хэмжигдэхүүн бүр ийм энгийн үйлдлүүдийг хийх боломжийг олгодоггүй. Асуудлыг аваад нэг дор судалсан хоёр ойлголтын утгыг тооцоод үзье. Үүнээс гадна, бид онолд сатаарсан - одоо дадлага хийх цаг болжээ.

Бас нэг жишээ

Бид 50 туршилт явуулж, 0-ээс 9 хүртэлх 10 төрлийн үр дүнг өөр өөр хувиар авсан. Үүнд: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Магадлалыг олж авахын тулд та хувийн утгыг 100-д ​​хуваах хэрэгтэй гэдгийг санаарай. Тиймээс бид 0.02 болно; 0.1 гэх мэт. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба математикийн хүлээлтийн дисперсийн асуудлыг шийдэх жишээг үзүүлье.

Бид бага сургуулиас санаж байсан томъёогоор арифметик дундажийг тооцдог: 50/10 = 5.

Одоо тоолоход хялбар болгохын тулд магадлалыг үр дүнгийн тоо болгон "хэсэг болгон" хөрвүүлцгээе. Бид 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5, 9-ийг авдаг. Олж авсан утга бүрээс бид арифметик дундажийг хасч, дараа нь олж авсан үр дүнгийн квадратыг авна. Жишээ болгон эхний элементийг ашиглан үүнийг хэрхэн хийхийг харна уу: 1 - 5 = (-4). Дараа нь: (-4) * (-4) = 16. Бусад утгуудын хувьд эдгээр үйлдлийг өөрөө хий. Хэрэв та бүгдийг зөв хийсэн бол бүгдийг нь нэмсний дараа та 90 авах болно.

90-ийг N-д хувааж дисперс болон хүлээгдэж буй утгыг үргэлжлүүлэн тооцоолъё. Яагаад бид N-1-ээс илүү N-г сонгосон бэ? Зөв, учир нь хийсэн туршилтын тоо 30-аас хэтэрсэн. Тэгэхээр: 90/10 = 9. Бид дисперсийг авсан. Хэрэв та өөр дугаар авсан бол цөхрөл бүү зов. Та тооцоололд энгийн алдаа гаргасан байх магадлалтай. Бичсэн зүйлээ дахин шалгаад бүх зүйл байрандаа орох байх.

Эцэст нь, математикийн хүлээлтийн томъёог санаарай. Бид бүх тооцоог өгөхгүй, зөвхөн шаардлагатай бүх процедурыг дуусгасны дараа шалгах боломжтой хариултыг бичих болно. Хүлээгдэж буй утга нь 5.48 байх болно. Эхний элементүүдийг жишээ болгон ашиглан үйлдлүүдийг хэрхэн гүйцэтгэхийг л эргэн санацгаая: 0*0.02 + 1*0.1... гэх мэт. Таны харж байгаагаар бид үр дүнгийн утгыг магадлалаар нь үржүүлдэг.

Хазайлт

Тархалт ба математикийн хүлээлттэй нягт холбоотой өөр нэг ойлголт бол стандарт хазайлт юм. Үүнийг Латин үсгээр sd эсвэл Грекийн жижиг үсгээр "сигма" гэж тэмдэглэдэг. Энэхүү үзэл баримтлал нь утгууд нь төв шинж чанараас дунджаар хэр их хазайж байгааг харуулж байна. Үүний утгыг олохын тулд та дисперсийн квадрат язгуурыг тооцоолох хэрэгтэй.

Хэрэв та ердийн тархалтын графикийг зурж, түүн дээр квадрат хазайлтыг шууд харахыг хүсвэл үүнийг хэд хэдэн үе шаттайгаар хийж болно. Зургийн хагасыг горимын зүүн эсвэл баруун талд (төв утга) авч, хэвтээ тэнхлэгт перпендикуляр зурж, үүссэн зургуудын талбайнууд тэнцүү байна. Тархалтын дунд хэсэг ба хэвтээ тэнхлэгт гарах проекцын хоорондох сегментийн хэмжээ нь стандарт хазайлтыг илэрхийлнэ.

Програм хангамж

Томьёоны тайлбар болон танилцуулсан жишээнүүдээс харахад дисперс болон математикийн хүлээлтийг тооцоолох нь арифметикийн үүднээс авч үзвэл хамгийн энгийн журам биш юм. Цагийг дэмий үрэхгүйн тулд дээд боловсролын байгууллагуудад ашигладаг программыг "R" гэж нэрлэдэг. Энэ нь статистик болон магадлалын онолоос олон ойлголтын утгыг тооцоолох боломжийг олгодог функцуудтай.

Жишээлбэл, та утгын векторыг зааж өгнө. Үүнийг дараах байдлаар хийнэ: вектор<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Эцэст нь

Тархалт ба математикийн хүлээлт нь үүнгүйгээр ирээдүйд ямар нэгэн зүйлийг тооцоолоход хэцүү байдаг. Их дээд сургуулиудын лекцийн үндсэн хичээл дээр энэ сэдвийг судалж эхэлсэн эхний саруудад аль хэдийн хэлэлцдэг. Чухамдаа эдгээр энгийн ойлголтуудын талаар ойлголт дутмаг, тэдгээрийг тооцоолох чадваргүйгээс болж олон оюутнууд хөтөлбөрөөс шууд хоцорч, дараа нь хичээлийн төгсгөлд муу дүн авдаг бөгөөд энэ нь тэднийг тэтгэлэггүй болгодог.

Доод тал нь нэг долоо хоног, өдөрт хагас цаг дадлага хийж, энэ өгүүлэлд дурдсантай төстэй ажлуудыг шийдвэрлэх. Дараа нь магадлалын онолын аливаа тест дээр та гадны зөвлөмж, хуурамч хуудасгүйгээр жишээнүүдийг даван туулах боломжтой болно.