Тооны эсрэг 1. Тооны эсрэг

Харилцан - эсвэл харилцан бие биенээ - үржүүлснээр 1-ийг өгдөг хос тоо юм. Хамгийн ерөнхий хэлбэрээр харилцан тоонууд нь тоо юм. Харилцан тоонуудын онцлог шинж чанар нь хос юм. Урвуу тоонууд нь тоонууд юм; .

Тооны эсрэг тоог хэрхэн олох вэ

Дүрэм: та 1 (нэг)-ийг өгөгдсөн тоонд хуваах хэрэгтэй.

Жишээ №1.

8-ын тоог өгөгдсөн бөгөөд түүний урвуу нь 1: 8 буюу (энэ тэмдэглэгээ нь математикийн хувьд илүү зөв байдаг тул хоёр дахь сонголтыг илүүд үздэг).

Энгийн бутархайн эсрэг тоог хайхдаа 1-д хуваах нь тийм ч тохиромжтой биш, учир нь бичлэг нь төвөгтэй юм. Энэ тохиолдолд зүйлийг өөрөөр хийх нь илүү хялбар байдаг: бутархайг зүгээр л эргүүлж, тоологч ба хуваагчийг солино. Хэрэв зохих бутархай өгөгдсөн бол түүнийг эргүүлсний дараа үүссэн бутархай нь буруу байна, өөрөөр хэлбэл. бүхэл бүтэн хэсгийг нь тусгаарлаж болох нэг. Үүнийг хийх үү, үгүй юу гэдгийг тус тусад нь шийдэх ёстой. Тиймээс, хэрэв та үүссэн урвуу бутархай (жишээлбэл, үржүүлэх эсвэл хуваах) зарим үйлдлийг хийх шаардлагатай бол бүх хэсгийг сонгох ёсгүй. Хэрэв үүссэн фракц нь эцсийн үр дүн юм бол бүхэл бүтэн хэсгийг тусгаарлах нь зүйтэй болов уу.

Жишээ №2.

Бутархай өгөгдсөн. Үүний эсрэгээр: .

Хэрэв та аравтын бутархайн эсрэг тоог олох шаардлагатай бол эхний дүрмийг (1-ийг тоонд хуваах) ашиглах хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд та 2 аргын аль нэгээр ажиллаж болно. Эхнийх нь 1-ийг тухайн тоонд хуваах явдал юм. Хоёр дахь нь хуваагч дахь 1-ээс бутархай, хуваагч дахь аравтын бутархайг үүсгэж, дараа нь 10, 100, эсвэл 1, хэдэн тэгээс бүрдэх өөр тоогоор үржүүлж, тооноос ангижрах явдал юм. хуваагч дахь аравтын бутархай. Үр дүн нь энгийн бутархай байх бөгөөд энэ нь үр дүн юм. Шаардлагатай бол та үүнийг богиносгож, бүхэл бүтэн хэсгийг сонгох эсвэл аравтын хэлбэрт хөрвүүлэх хэрэгтэй.

Жишээ №3.

Өгөгдсөн тоо 0.82 байна. Харилцан тоо нь: . Одоо бутархайг багасгаж, бүхэл хэсгийг сонгоцгооё: .

Хоёр тоо харилцан адилгүй эсэхийг хэрхэн шалгах вэ

Баталгаажуулах зарчим нь харилцан тоог тодорхойлоход суурилдаг. Өөрөөр хэлбэл, тоонууд бие биенийхээ эсрэг байгаа эсэхийг шалгахын тулд тэдгээрийг үржүүлэх хэрэгтэй. Хэрэв үр дүн нь нэг бол тоонууд хоорондоо урвуу байна.

Жишээ № 4.

Өгөгдсөн тоонууд 0.125 ба 8. Тэд харилцан хамааралтай юу?

Шалгалт. 0.125 ба 8-ын үржвэрийг олох шаардлагатай. Тодорхой болгохын тулд эдгээр тоог энгийн бутархай хэлбэрээр үзүүлье: (1-р бутархайг 125-аар бууруул). Дүгнэлт: 0.125 ба 8 тоо нь харилцан хамааралтай.

Харилцан тоонуудын шинж чанарууд

Өмч No1

0-ээс бусад тоонд харилцан адилгүй байдаг.

Энэ хязгаарлалт нь та 0-д хуваагдаж чадахгүй байгаатай холбоотой бөгөөд тэгийн эсрэг тоог тодорхойлохдоо үүнийг хуваагч руу шилжүүлэх шаардлагатай болно, өөрөөр хэлбэл. үнэндээ түүгээр нь хуваана.

Өмч No2

Хос хос тооны нийлбэр нь үргэлж 2-оос багагүй байна.

Математикийн хувьд энэ шинж чанарыг тэгш бус байдлаар илэрхийлж болно: .

Өмч No3

Тоог хоёр эсрэг тоогоор үржүүлэх нь нэгээр үржүүлэхтэй тэнцэнэ. Энэ шинж чанарыг математикийн аргаар илэрхийлье: .

Жишээ №5.

Илэрхийллийн утгыг ол: 3.4·0.125·8. 0.125 ба 8-ын тоо нь харилцан хамааралтай (Жишээ No4-ийг үз) тул 3.4-ийг 0.125-аар үржүүлж, дараа нь 8-аар үржүүлэх шаардлагагүй. Тэгэхээр энд хариулт 3.4 байх болно.

Үржвэр нь нэгтэй тэнцүү хос тоог нэрлэдэг харилцан урвуу.

Жишээ нь: 5 ба 1/5, −6/7 ба −7/6, мөн

Тэгтэй тэнцүү биш аль ч тооны хувьд урвуу 1/a байна.

Тэгийн эсрэг тал нь хязгааргүй юм.

Урвуу бутархай- эдгээр нь үржвэр нь 1-тэй тэнцүү хоёр бутархай юм. Жишээлбэл, 3/7 ба 7/3; 5/8 ба 8/5 гэх мэт.

Мөн үзнэ үү

Викимедиа сан.

2010 он.

Бусад толь бичигт "Урвуу тоо" гэж юу болохыг харна уу: Өгөгдсөн тооны үржвэр нь нэгтэй тэнцүү тоо. Ийм хоёр тоог харилцан тоо гэж нэрлэдэг. Эдгээр нь жишээлбэл 5 ба 1/5, 2/3 ба 3/2 гэх мэт...

Том нэвтэрхий толь бичигхарилцан тоо - - [А.С.Голдберг. Англи-Орос эрчим хүчний толь бичиг. 2006] Эрчим хүчний ерөнхий сэдвүүд EN урвуу тоо харилцан тоо ...

Техникийн орчуулагчийн гарын авлага Өгөгдсөн тооны үржвэр нь нэгтэй тэнцүү тоо. Ийм хоёр тоог харилцан тоо гэж нэрлэдэг. Эдгээр нь жишээлбэл, 5 ба 1/5, 2/3 ба 3/2 гэх мэт. * * * УРВУУ ТОО, өгөгдсөн тооны үржвэр нь ... ...-тэй тэнцүү тоо.

Нэвтэрхий толь бичиг Өгөгдсөн тоотой үржвэр нь нэгтэй тэнцэх тоо. Ийм хоёр тоог харилцан тоо гэж нэрлэдэг. Эдгээр нь жишээлбэл, 5 ба а, тэгтэй тэнцүү биш, урвуу ...

Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг Өгөгдсөн тооны үржвэр нь нэгтэй тэнцүү тоо. Ийм хоёр дугаарыг дууддаг. харилцан урвуу. Эдгээр нь жишээлбэл, 5 ба 1/5 юм. 2/3 ба 3/2 гэх мэт...

Энэ нэр томъёо нь өөр утгатай, Тоо (утга) хэсгийг үзнэ үү. Тоо гэдэг нь объектыг тоолох, харьцуулах, тоолоход ашигладаг математикийн үндсэн ойлголт юм. Анхан шатны нийгэмд хэрэгцээ шаардлагаас үүссэн ... ... Википедиа

Мөн үзнэ үү: Тоо (хэл шинжлэл) Тоо гэдэг нь объектын тоон шинж чанарыг тодорхойлоход хэрэглэгддэг хийсвэрлэл юм. Анхан шатны нийгэмд тоолох хэрэгцээ шаардлагаас үүссэн тооны тухай ойлголт өөрчлөгдөж, баяжиж хамгийн чухал математикийн... Wikipedia

Ус зайлуулах үед усны урвуу эргэлдэх нь угаалтуур эсвэл ванны ус зайлуулах нүх рүү урсах үед үүсдэг усны эргүүлэг дэх усны хөдөлгөөнд Кориолис эффектийг буруу хэрэглэснээс үүдэлтэй псевдо-шинжлэх ухааны домог юм. Үлгэр домгийн мөн чанар нь ус ... ... Википедиа

ИРРАЦИОН ТООН Бутархайгаар илэрхийлэх боломжгүй тоо. Жишээ нь T2 ба p дугаар орно. Иймээс иррационал тоонууд нь хязгааргүй тооны (үе үе бус) аравтын бутархайтай тоо юм. (Гэхдээ эсрэгээрээ үнэн биш ... ... Шинжлэх ухаан, техникийн нэвтэрхий толь бичиг

Лапласын хувиргалт нь нийлмэл хувьсагчийн функцийг (зураг) бодит хувьсагчийн функцтэй (эх) холбодог салшгүй хувиргалт юм. Түүний тусламжтайгаар динамик системийн шинж чанарыг судалж, дифференциал болон ... Википедиа шийддэг

Номууд

Аз жаргалтай эхнэрүүдийн клуб, Уивер фон. Дэлхийн өнцөг булан бүрээс ирсэн, бие биенээ мэдэхгүй, өөр өөр хувь тавилантай 27 эмэгтэй. Тэдэнд нэг зүйлээс өөр нийтлэг зүйл байхгүй - тэд 25 гаруй жилийн турш гэрлэсэндээ гайхалтай аз жаргалтай байдаг, учир нь тэд нууцыг мэддэг ... Хэзээ...

Википедиагийн материал - үнэгүй нэвтэрхий толь

Урвуу тоо(харилцан үнэ цэнэ, харилцан үнэ цэнэ) өгөгдсөн тоонд xнь үржүүлэх нь тоо юм x, нэгийг өгдөг. Зөвшөөрөгдсөн бүртгэл: $\frac(1)x$ эсвэл $x^(-1)$ . Үржвэр нь нэгтэй тэнцүү хоёр тоог дуудна харилцан урвуу. Тооны эсрэг заалтыг функцийн эсрэг хариу үйлдэлтэй андуурч болохгүй. Жишээлбэл, $\frac(1)(\cos(x))$ косинустай урвуу функцийн утгаас ялгаатай - нуман косинус, үүнийг тэмдэглэсэн $\cos^(-1)x$ эсвэл $\arccos x$ .

Бодит тоо руу буцаана

Цогцолбор тооны хэлбэрүүд	Тоо $(z)$	Урвуу $\left (\frac(1)(z) \баруун)$
Алгебрийн	$x+iy$	$\frac(x)(x^2+y^2)-i \frac(y)(x^2+y^2)$
Тригонометр	$r(\cos\varphi+i \sin\varphi)$	$\frac(1)(r)(\cos\varphi-i \sin\varphi)$
Заалт	$re^(i\varphi)$	$\frac(1)(r)e^(-i \varphi)$

Нотолгоо:
Алгебрийн болон тригонометрийн хэлбэрүүдийн хувьд бид бутархайн үндсэн шинж чанарыг ашиглаж, тоо ба хуваагчийг цогц коньюгатаар үржүүлдэг.

Алгебрийн хэлбэр:

$\frac(1)(z)= \frac(1)(x+iy)= \frac(x-iy)((x+iy)(x-iy))= \frac(x-iy)(x^ 2+y^2)= \frac(x)(x^2+y^2)-i \frac(y)(x^2+y^2)$

Тригонометрийн хэлбэр:

$\frac(1)(z) = \frac(1)(r(\cos\varphi+i \sin\varphi)) = \frac(1)(r) \frac(\cos\varphi-i \sin\ varphi)((\cos\varphi+i \sin\varphi)(\cos\varphi-i \sin\varphi)) = \frac(1)(r) \frac(\cos\varphi-i \sin\varphi) )(\cos^2\varphi+ \sin^2\varphi) = \frac(1)(r)(\cos\varphi-i \sin\varphi)$

Үзүүлэн харуулах хэлбэр:

$\frac(1)(z) = \frac(1)(re^(i \varphi)) = \frac(1)(r)e^(-i \varphi)$

Тиймээс комплекс тооны урвуу тоог олохдоо түүний экспоненциал хэлбэрийг ашиглах нь илүү тохиромжтой.

Жишээ:

Цогцолбор тооны хэлбэрүүд	Тоо $(z)$	Урвуу $\left (\frac(1)(z) \баруун)$
Алгебрийн	$1+i\sqrt(3)$	$\frac(1)(4)- \frac(\sqrt(3))(4)i$
Тригонометр	$2 \left (\cos\frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) \баруун)$ эсвэл $2 \left (\frac(1)(2)+i\frac(\sqrt(3))(2) \баруун)$	$\frac(1)(2) \left (\cos\frac(\pi)(3)-i\sin\frac(\pi)(3) \баруун)$ эсвэл $\frac(1)(2) \left (\frac(1)(2)-i\frac(\sqrt(3))(2) \баруун)$
Заалт	$2 e^(i \frac(\pi)(3))$	$\frac(1)(2) e^(-i \frac(\pi)(3))$

Төсөөллийн нэгжээс урвуу

$\frac(1)(i)=\frac(1 \cdot i)(i \cdot i)=\frac(i)(i^2)=\frac(i)(-1)=-i$

Тиймээс бид авдаг

$\frac(1)(i)=-i$ __ эсвэл__ $i^(-1)=-i$

Үүний нэгэн адил $-и$ : __ $- \frac(1)(i)=i$ __ эсвэл __ $-i^(-1)=i$

"Урвуу дугаар" нийтлэлийн талаар сэтгэгдэл бичээрэй

Тэмдэглэл

Мөн үзнэ үү

Урвуу тоог тодорхойлсон ишлэл

Түүхүүдэд ингэж хэлдэг бөгөөд энэ бүхэн нь туйлын шударга бус бөгөөд асуудлын мөн чанарыг судлахыг хүссэн хэн бүхэн амархан харж болно.
Оросууд илүү сайн байр суурийг олж чадаагүй; Харин эсрэгээрээ тэд ухрахдаа Бородинооос илүү олон байрлалыг давсан. Тэд эдгээр байр суурийн аль нэг дээр тогтсонгүй: Кутузов түүний сонгоогүй байр суурийг хүлээн зөвшөөрөхийг хүсээгүй, ард түмний тулалдаанд оролцох хүсэлтийг хангалттай илэрхийлээгүй, Милорадович хараахан ойртож амжаагүй байсан тул аль аль нь цагдаа нартай, мөн түүнчлэн тоо томшгүй олон шалтгааны улмаас. Баримт нь өмнөх байр суурь нь илүү хүчтэй байсан бөгөөд Бородиногийн байр суурь (тулалдаанд тулалдаж байсан) тийм ч хүчтэй биш, гэхдээ зарим шалтгааны улмаас Оросын эзэнт гүрний бусад газраас огт өөр байр суурь эзэлдэггүй. , Хэрэв та таамаглаж байсан бол газрын зураг дээрх зүүгээр зааж болно.
Оросууд Бородино талбайн зүүн талын байрлалыг замын баруун өнцгөөр (өөрөөр хэлбэл тулалдаан болсон газар) бэхжүүлээгүй төдийгүй 1812 оны 8-р сарын 25-наас өмнө тулалдаан авч болно гэж хэзээ ч бодож байгаагүй. энэ газарт байрлуул. Энэ нь нэгдүгээрт, 25-нд энэ газарт бэхлэлт хийгдээгүй төдийгүй 25-ны өдрөөс эхлэн 26-ны өдөр ч дуусаагүй байсан нь нотлогддог; хоёрдугаарт, нотолгоо нь Шевардины редобын байр суурь юм: тулалдааны шийдвэрлэсэн байр сууринаас өмнөх Шевардины редот нь ямар ч утгагүй юм. Яагаад энэ далан нь бусад бүх цэгүүдээс илүү хүчтэй бэхлэгдсэн бэ? Тэгээд яагаад 24-ний өдөр шөнө дөл болтол хамгаалаад хамаг хүчээ шавхаж, зургаан мянган хүнээ алдсан юм бэ? Дайсныг ажиглахын тулд казакуудын эргүүл хангалттай байв. Гуравдугаарт, тулалдаан болсон байрлалыг урьдчилан тооцоолоогүй бөгөөд Шевардины довтолгоо нь энэ байрлалын урагшлах цэг биш гэдгийг нотлох баримт нь Барклай де Толли, Багратион нар 25-ны өдрийг хүртэл Шевардины редоб нь зүүн жигүүр гэдэгт итгэлтэй байсан явдал юм. Албан тушаалын тухай, Кутузов өөрөө тулалдааны дараах халуун агшинд бичсэн илтгэлдээ Шевардинскийн редутийг байрлалын зүүн жигүүр гэж нэрлэжээ. Хэсэг хугацааны дараа Бородиногийн тулалдааны тухай мэдээллүүд ил тод бичигдэж байх үед (магадгүй ерөнхий командлагчийн алдааг зөвтгөхийн тулд байж магадгүй) Шевардинскийн редут гэж шударга бус, хачирхалтай гэрчлэл зохион бүтээжээ. урд талын шуудангийн үүрэг гүйцэтгэсэн (энэ нь зөвхөн зүүн жигүүрийн бэхлэгдсэн цэг байсан) бөгөөд Бородиногийн тулалдааныг бид бэхэлсэн, урьдчилан сонгосон байрлалд хүлээн авсан мэт, харин огт санаанд оромгүй, бараг бэхлээгүй газар болсон юм. .
Энэ нь мэдээжийн хэрэг иймэрхүү байсан: гол замыг зөв өнцгөөр биш, харин хурц өнцгөөр дайран өнгөрдөг Колоча голын дагуу байрлалыг сонгосон бөгөөд ингэснээр зүүн жигүүр нь Шевардин тосгоны баруун талд байрладаг. Новый ба Бородино дахь төв, Колоча ба Во голын бэлчирт yn. Смоленскийн замаар Москва руу нүүж буй дайсныг зогсоох зорилготой армийн хувьд Колоча голын нөмөр нөмөрсөн энэ байр суурь тулалдаанд хэрхэн өрнөснийг мартсан Бородино талбай руу харсан хэн бүхэнд илт харагдаж байна.
Наполеон 24-нд Валуев руу явахдаа Утицагаас Бородин хүртэлх оросуудын байр суурийг хараагүй (түүх энэ байр суурийг хараагүй, учир нь энэ байхгүй байсан) мөн довтлогчийг хараагүй. Оросын армийн пост байсан боловч Оросын байрлалын зүүн жигүүр, Шевардинскийн редотут руу хөөцөлдөж Оросын арын хамгаалалтад бүдэрч, Оросуудын хувьд гэнэтийн байдлаар Колочагаар дамжуулан цэргээ шилжүүлэв. Оросууд ерөнхий тулалдаанд оролцож амжаагүй тул зүүн жигүүрээрээ эзлэхээр төлөвлөж байсан байрнаасаа ухарч, урьдчилан тооцоолоогүй, бэхлээгүй шинэ байр суурийг эзэлэв. Колочагийн зүүн талд, замын зүүн талд шилжиж, Наполеон ирээдүйн тулалдааныг бүхэлд нь баруунаас зүүн тийш (Оросын талаас) шилжүүлж, Утица, Семеновский, Бородин хоёрын хоорондох талбай руу шилжүүлэв (энэ талбарт). Энэ албан тушаалын хувьд Оросын аль ч талбараас илүү давуу талтай зүйл байхгүй) бөгөөд энэ талбарт бүх тулаан 26-нд болсон. Бүдүүлэг хэлбэрээр, санал болгож буй тулалдааны төлөвлөгөө болон болсон тулалдааны төлөвлөгөө дараах байдалтай байна.

Хэрэв Наполеон 24-ний орой Колоча руу явалгүй, орой нь тэр даруй редопт руу довтлох тушаал өгөөгүй, харин маргааш өглөө нь дайралт хийсэн бол Шевардинскийн редукт үнэхээр байсан гэдэгт хэн ч эргэлзэхгүй байх байсан. бидний байрлалын зүүн жигүүр; тулалдаан бидний бодож байсанчлан болно. Энэ тохиолдолд бид зүүн жигүүр болох Шевардинскийн редубтыг илүү их зөрүүдлэн хамгаалах болно; Наполеон голд нь юм уу баруун талаас нь довтлох байсан ба 24-нд бэхлэгдсэн, урьдчилан таамагласан байрлалд ерөнхий тулаан болох байсан. Гэвч манай зүүн жигүүрт довтолгоо орой болж, манай арын хамгаалагчид ухарсны дараа, өөрөөр хэлбэл Гридневагийн тулалдааны дараа шууд явагдсан тул Оросын цэргийн удирдагчид ерөнхий тулаан эхлүүлэхийг хүсээгүй эсвэл цаг завгүй байсан тул 24-ний орой Бородинскийн анхны бөгөөд гол үйл ажиллагаа нь 24-нд тулалдаанд ялагдаж, 26-нд тулалдсан нэгнээ алдахад хүргэсэн нь ойлгомжтой.
Шевардинскийн довтолгоог алдсаны дараа 25-ны өглөө бид зүүн жигүүрт байрлалгүй болсон тул зүүн жигүүрээ бөхийлгөж, хаана ч байсан яаран бэхжүүлэхээс өөр аргагүй болсон.
Гэхдээ 8-р сарын 26-нд Оросын цэргүүд сул, дуусаагүй бэхлэлтийг хамгаалж зогсохгүй, Оросын цэргийн удирдагчид бүрэн гүйцэтгэсэн баримтыг (байр сууриа алдсан) хүлээн зөвшөөрөөгүйгээс болж энэ нөхцөл байдлын сул тал нэмэгдэв. зүүн жигүүр болон ирээдүйн тулалдааны талбарыг бүхэлд нь баруунаас зүүн тийш шилжүүлэх ) Новый тосгоноос Утица хүртэл өргөтгөсөн байрлалдаа үлдсэн бөгөөд үүний үр дүнд тулалдааны үеэр цэргүүдээ баруунаас зүүн тийш шилжүүлэх шаардлагатай болжээ. Ийнхүү тулалдааны туршид оросууд манай зүүн жигүүрт чиглүүлсэн Францын бүх армийн эсрэг хоёр дахин сул хүчээ авав. (Пониатовский Францын баруун жигүүрт Утица, Уваров нарын эсрэг хийсэн үйлдэл нь тулалдааны явцаас тусдаа үйлдэл байв.)
Тиймээс Бородиногийн тулалдаан тэдний тайлбарлаж байгаа шиг огт болоогүй (манай цэргийн удирдагчдын алдааг нуухыг оролдож, үүний үр дүнд Оросын арми, ард түмний алдар нэрийг бууруулсан). Бородиногийн тулалдаан нь Оросын талаас арай сул байсан хүчнүүдийн хамт сонгосон, бэхэлсэн байрлалд явагдаагүй боловч Шевардинскийн редобыг алдсаны улмаас Бородиногийн тулалдааныг оросууд нээлттэй, бараг л хүлээж авав. францчуудын эсрэг хоёр дахин сул хүч бүхий бэхлэлтгүй газар, өөрөөр хэлбэл арван цаг тулалдаж, тулалдааныг шийдэмгий болгох нь санаанд багтамгүй байсан төдийгүй армийг бүрэн ялагдал, гурван жилийн турш зугтахаас хамгаалах боломжгүй байсан. цаг.

25-ны өглөө Пьер Можайскаас гарав. Пьер хотоос гарч буй асар том эгц, тахир уулнаас бууж, баруун талд нь уулан дээр зогсож байсан сүм хийдийн дэргэдүүр өнгөрч, мөргөл үйлдэж, сайн мэдээг тунхаглаж байсан Пьер тэрэгнээс бууж, цааш явав. хөл. Түүний ард дуучидтай морин цэргийн дэглэм уул өөд бууж байв. Өчигдрийн хэргийн улмаас шархадсан тэргэнцэр түүн рүү чиглэн ирж байв. Тариачин жолооч нар морь руу хашгирч, ташуураар цохиж, нэг талаас нөгөө тийш гүйв. Гурав дөрвөн шархадсан цэрэг хэвтээд сууж байсан тэргэнцэрүүд эгц энгэр дээр засмал хэлбэрээр шидсэн чулуун дээгүүр харайв. Шархадсан, өөдөсөөр боосон, цонхийсон, уруул нь зангидсан, хөмсөг зангидсан, ор дэрээ барьсаар үсэрч, тэрэг рүү түлхэв. Бүгд Пьерийн цагаан малгай, ногоон фрак руу бараг гэнэн хүүхдийн сониуч зангаар харав.

Агуулга:

Бүх төрлийн алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд харилцан үйлчлэл хэрэгтэй. Жишээлбэл, хэрэв та нэг бутархай тоог нөгөөд хуваах шаардлагатай бол эхний тоог хоёр дахь тоогоор үржүүлнэ. Нэмж дурдахад шулуун шугамын тэгшитгэлийг олоход харилцан тоонуудыг ашигладаг.

Алхам

1 Бутархай буюу бүхэл тооны эсрэг тоог олох

1 Бутархайн эсрэг тоог урвуугаар нь ол."Харилцан тоо" гэдэг нь маш энгийнээр тодорхойлогддог. Үүнийг тооцоолохын тулд "1 ÷ (анхны тоо)" илэрхийллийн утгыг тооцоолоход хангалттай. Бутархай тооны хувьд бутархайн эсрэг тал нь бутархайг "урвуу" байдлаар (тоо ба хуваагчийн байрыг солих) энгийн байдлаар тооцоолж болох өөр бутархай тоо юм.
- Жишээлбэл, 3/4 бутархайн эсрэг тал нь 4 / 3 .
2 Бүхэл тооны эсрэг талыг бутархай хэлбэрээр бич.Мөн энэ тохиолдолд харилцан тоог 1 ÷ (анхны тоо) гэж тооцдог. Бүхэл тооны хувьд эсрэг тоог бутархайгаар бич, та математикийг хийж, аравтын бутархай хэлбэрээр бичих шаардлагагүй;
- Жишээлбэл, 2-ын эсрэг тал нь 1 ÷ 2 = байна 1 / 2 .

2 Холимог бутархайн эсрэг тоог олох

1 "Холимог бутархай" гэж юу вэ?Холимог бутархай нь бүхэл тоо болон энгийн бутархай хэлбэрээр бичигдсэн тоо юм, жишээлбэл, 2 4/5. Холимог бутархайн эсрэг талыг олох нь доор тайлбарласан хоёр үе шаттайгаар явагдана.
2 Холимог бутархайг буруу бутархай хэлбэрээр бич.Мэдээжийн хэрэг, нэгжийг (тоо)/(ижил тоо) гэж бичиж, ижил хуваагчтай бутархайг (мөрний доорх тоо) хооронд нь нэмж болно гэдгийг санаарай. 2 4/5 фракцын хувьд үүнийг хэрхэн хийх талаар эндээс үзнэ үү.
- 2 4 / 5
- = 1 + 1 + 4 / 5
- = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
- = (5+5+4) / 5
- = 14 / 5 .
3 Бутархайг эргүүл.Холимог бутархайг буруу бутархай гэж бичихэд бид тоологч болон хуваагчийг солих замаар л хариуг хялбархан олох боломжтой.
- Дээрх жишээний хувьд харилцан тоо нь 14/5 байх болно - 5 / 14 .

3 Аравтын бутархайн эсрэг тоог олох

1 Боломжтой бол аравтын бутархайг бутархайгаар илэрхийл.Олон аравтын бутархайг хялбархан бутархай болгон хувиргах боломжтой гэдгийг та мэдэх хэрэгтэй. Жишээлбэл, 0.5 = 1/2, 0.25 = 1/4. Та тоог энгийн бутархай хэлбэрээр бичсэнийхээ дараа бутархайг эргүүлснээр түүний хариуг хялбархан олох боломжтой.
- Жишээлбэл, 0.5-ийн эсрэг утга нь 2/1 = 2 байна.
2 Хуваах аргыг ашиглан асуудлыг шийд.Хэрэв та аравтын бутархайг бутархай болгон бичиж чадахгүй бол асуудлыг 1 ÷ (аравтын бутархай) болгон хувааж, эсрэг тоог тооцоол. Үүнийг шийдэхийн тулд та тооцоолуур ашиглаж болно, эсвэл утгыг гараар тооцоолохыг хүсвэл дараагийн алхам руу шилжиж болно.
- Жишээлбэл, 0.4-ийн эсрэг заалтыг 1 ÷ 0.4 гэж тооцдог.
3 Бүхэл тоотой ажиллахын тулд илэрхийллийг өөрчил.Аравтын бутархайг хуваах эхний алхам бол илэрхийлэл дэх бүх тоо бүхэл тоо болтол аравтын бутархайг зөөх явдал юм. Хэрэв та аравтын бутархайг ногдол ашиг болон хуваагчийн аль алинд нь ижил тооны орон руу шилжүүлснээр зөв хариултыг авна.
4 Жишээлбэл, та 1 ÷ 0.4 илэрхийллийг аваад 10 ÷ 4 гэж бичнэ.Энэ тохиолдолд та аравтын бутархайг нэг газар баруун тийш шилжүүлсэн бөгөөд энэ нь тоо бүрийг араваар үржүүлсэнтэй адил юм.
5 Тоонуудыг баганад хуваах замаар асуудлыг шийд.Урт хуваах замаар та харилцан тоог тооцоолж болно. Хэрэв та 10-ыг 4-т хуваавал 2.5-ыг авах ёстой бөгөөд энэ нь 0.4-ийн эсрэг утгатай болно.

Сөрөг сөрөг тооны утга нь эсрэг талын тоог -1-ээр үржүүлсэнтэй тэнцүү байх болно. Жишээлбэл, 3/4-ийн сөрөг хариу нь - 4/3 байна.
Тооны эсрэг тоог заримдаа "харилцан" эсвэл "харилцан" гэж нэрлэдэг.
1 ÷ 1 = 1 тул 1-ийн тоо нь өөрөө харилцан хамааралтай байдаг.
1 ÷ 0 илэрхийлэлд шийдэл байхгүй тул тэг нь харилцан хамааралгүй.

Тодорхойлолт өгч, харилцан тоонуудын жишээг өгье. Натурал тооны урвуу ба энгийн бутархайн урвуу тоог хэрхэн олохыг харцгаая. Үүнээс гадна бид харилцан тоонуудын нийлбэрийн шинж чанарыг тусгасан тэгш бус байдлыг бичиж, нотолж байна.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Харилцан тоо. Тодорхойлолт

Тодорхойлолт. Харилцан тоо

Харилцан тоонууд нь үржвэр нь нэгтэй тэнцэх тоо юм.

Хэрэв a · b = 1 бол b тоо нь а тооны урвуу тоотой адил а тоог b тооны урвуу гэж хэлж болно.

Харилцан тоонуудын хамгийн энгийн жишээ бол хоёр нэгж юм. Үнэхээр 1 · 1 = 1, тиймээс a = 1 ба b = 1 нь харилцан урвуу тоонууд юм. Өөр нэг жишээ бол 3 ба 1 3, - 2 3 ба - 3 2, 6 13 ба 13 6, лог 3 17, лог 17 3 гэсэн тоонууд юм. Дээрх дурын хос тооны үржвэр нь нэгтэй тэнцүү байна. Хэрэв энэ нөхцөл хангагдаагүй бол жишээлбэл 2 ба 2 3 тоонуудын хувьд тоонууд нь эсрэгээрээ биш юм.

Харилцан тоонуудын тодорхойлолт нь натурал, бүхэл тоо, бодит, төвөгтэй аль ч тоонд хүчинтэй.

Өгөгдсөн тооны урвуу тоог хэрхэн олох вэ

Ерөнхий тохиолдлыг авч үзье. Хэрэв анхны тоо нь a-тай тэнцүү бол түүний урвуу тоог 1 a, эсвэл a - 1 гэж бичнэ. Үнэн хэрэгтээ, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

Натурал тоо ба энгийн бутархайн хувьд тооны эсрэг тоог олох нь маш энгийн. Бүр ойлгомжтой гэж хэлж болно. Хэрэв та иррационал буюу нийлмэл тооны урвуу тоог олвол хэд хэдэн тооцоолол хийх хэрэгтэй болно.

Практикт харилцан тоог олох хамгийн түгээмэл тохиолдлуудыг авч үзье.

Энгийн бутархайн эсрэг

Энгийн бутархай a b-ийн эсрэг тал нь b a бутархай байх нь ойлгомжтой. Тиймээс бутархайн урвууг олохын тулд бутархайг эргүүлэхэд л хангалттай. Өөрөөр хэлбэл, тоологч ба хуваагчийг солино.

Энэ дүрмийн дагуу та ямар ч энгийн бутархайн хариуг бараг тэр даруй бичиж болно. Тиймээс 28 57 бутархайн хувьд эсрэг тоо нь 57 28 бутархай, 789 256 бутархайн хувьд 256 789 тоо байх болно.

Натурал тооны эсрэг тоо

Бутархайн урвуу тоог олохын нэгэн адил аль ч натурал тооны урвуу тоог олох боломжтой. Натурал a тоог энгийн бутархай a 1 хэлбэрээр илэрхийлэхэд хангалттай. Дараа нь түүний урвуу тоо нь 1 a тоо болно. Натурал 3 тооны хувьд түүний эсрэг тал нь 1 3 бутархай, 666 тооны хувьд эсрэг тал нь 1,666 гэх мэт.

Нэгд нь онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй, учир нь энэ нь харилцан бие биетэйгээ тэнцүү цорын ганц тоо юм.

Хоёр бүрэлдэхүүн хэсэг нь тэнцүү байх өөр хос хос тоо байхгүй.

Холимог тооны эсрэг

Холимог тоо нь a b c хэлбэртэй байна. Үүний урвуу тоог олохын тулд та холимог тоог буруу бутархай хэлбэрээр төлөөлж, дараа нь үүссэн бутархайн урвуу тоог сонгох хэрэгтэй.

Жишээлбэл, 7 2 5-ын эсрэг тоог олъё. Эхлээд 7 2 5-ыг буруу бутархай гэж төсөөлье: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5.

Буруу бутархай 37 5-ын хувьд эсрэг тал нь 5 37 байна.

Аравтын бутархайн эсрэг

Аравтын бутархайг мөн бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Аравтын тооны эсрэг тоог олох нь аравтын бутархайг бутархай болгон төлөөлж, түүний эсрэг тоог олоход хүргэдэг.

Жишээлбэл, 5, 128 гэсэн бутархай байдаг. Үүний урвуу тоог олцгооё. Эхлээд аравтын бутархайг энгийн бутархай болгон хувирга: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Үүссэн бутархайн хувьд эсрэг тоо нь 125 641 бутархай болно.

Өөр нэг жишээг харцгаая.

Жишээ. Аравтын бутархайн эсрэг тоог олох

Үе үе аравтын бутархай 2, (18)-ын эсрэг тоог олцгооё.

Аравтын бутархайг энгийн бутархай руу хөрвүүлэх:

2, 18 = 2 + 18 10 - 2 + 18 10 - 4 +. . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Орчуулсны дараа бид 24 11 бутархайн эсрэг тоог хялбархан бичиж болно. Энэ тоо 11 24 байх нь ойлгомжтой.

Хязгааргүй ба үечилсэн бус аравтын бутархайн хувьд эсрэг тоо нь хуваарьт нэгжтэй, бутархай нь хуваарьт байгаа бутархай хэлбэрээр бичигдэнэ. Жишээлбэл, 3-р хязгааргүй бутархайн хувьд 6025635789. . . эсрэг тоо нь 1 3, 6025635789 болно. . . .

Үүний нэгэн адил, үечилсэн бус хязгааргүй бутархайд харгалзах иррационал тоонуудын хувьд эсрэг тоонуудыг бутархай илэрхийлэл хэлбэрээр бичдэг.

Жишээлбэл, π + 3 3 80-ийн эсрэг тал нь 80 π + 3 3 байх ба 8 + e 2 + e тооны хувьд эсрэг тал нь 1 8 + e 2 + e бутархай байх болно.

Үндэстэй харилцан тоо

Хэрэв хоёр тооны төрөл нь a ба 1 a-аас ялгаатай бол эдгээр тоонууд харилцан хамааралтай эсэхийг тодорхойлох нь үргэлж хялбар байдаггүй. Энэ нь ялангуяа тэмдэглэгээнд язгуур тэмдэгтэй тоонуудын хувьд үнэн юм, учир нь хуваагч дахь язгуурыг арилгах нь ихэвчлэн заншилтай байдаг.

Дасгал руу орцгооё.

Асуултанд хариулъя: 4 - 2 3 ба 1 + 3 2 тоонууд харилцан хамааралтай юу?

Тоонууд харилцан хамааралтай эсэхийг мэдэхийн тулд тэдгээрийн үржвэрийг тооцоолъё.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Бүтээгдэхүүн нь нэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь тоонууд нь харилцан хамааралтай гэсэн үг юм.

Өөр нэг жишээг харцгаая.

Жишээ. Үндэстэй харилцан тоо

5 3 + 1-ийн хариуг бич.

Бид нэн даруй эсрэг тоо нь 1 5 3 + 1 бутархайтай тэнцүү гэж бичиж болно. Гэсэн хэдий ч бид өмнө нь хэлсэнчлэн, хуваагч дахь язгуурыг арилгах нь заншилтай байдаг. Үүнийг хийхийн тулд тоологч ба хуваагчийг 25 3 - 5 3 + 1-ээр үржүүлнэ. Бид авах:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Эрх мэдэл бүхий харилцан тоо

a тооны зарим зэрэгтэй тэнцүү тоо байна гэж бодъё. Өөрөөр хэлбэл, a тоог n зэрэглэлд хүргэнэ. a n тооны эсрэг тал нь a - n тоо юм. Үүнийг шалгаж үзье. Үнэн хэрэгтээ: a n · a - n = a n 1 · 1 a n = 1 .

Жишээ. Эрх мэдэл бүхий харилцан тоо

5 - 3 + 4-ийн эсрэг тоог олцгооё.

Дээр бичсэний дагуу шаардлагатай тоо нь 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4 байна.

Логарифм бүхий харилцан тоо

b суурьтай тооны логарифмын хувьд урвуу нь b суурьтай а логарифмтай тэнцүү тоо юм.

log a b ба log b a нь харилцан урвуу тоо юм.

Үүнийг шалгаж үзье. Логарифмын шинж чанаруудаас log a b = 1 log b a гэсэн утгатай бөгөөд энэ нь log a b · log b a гэсэн үг юм.

Жишээ. Логарифм бүхий харилцан тоо

Лог 3 5 - 2 3-ын хариуг ол.

3-ын суурь 3-ын 5 - 2-ын логарифмын эсрэг тал нь 3-ын суурьтай 3 5 - 2-ын логарифм юм.

Комплекс тооны урвуу тоо

Өмнө дурьдсанчлан, харилцан тоонуудын тодорхойлолт нь зөвхөн бодит тоонуудад төдийгүй нарийн төвөгтэй тоонуудад ч хүчинтэй байдаг.

Цогцолбор тоог ихэвчлэн z = x + i y алгебрийн хэлбэрээр илэрхийлдэг. Өгөгдсөн тооны эсрэг тал нь бутархай юм

1 x + i y . Тохиромжтой болгохын тулд та энэ илэрхийллийг тоологч ба хуваагчийг x - i y-ээр үржүүлж богиносгож болно.

Жишээ. Комплекс тооны урвуу тоо

z = 4 + i цогц тоо байг. Үүний урвуу талыг олъё.

z = 4 + i-ийн эсрэг тал нь 1 4 + i-тэй тэнцүү байх болно.

Тоолуур ба хуваагчийг 4 - i-ээр үржүүлээд:

1 4 + i = 4 - би 4 + би 4 - би = 4 - би 4 2 - би 2 = 4 - би 16 - (- 1) = 4 - i 17 .

Алгебрийн хэлбэрээс гадна нийлмэл тоог тригонометр эсвэл экспоненциал хэлбэрээр дараах байдлаар илэрхийлж болно.

z = r cos φ + i sin φ

z = r e i φ

Үүний дагуу урвуу тоо нь дараах байдлаар харагдах болно.

1 r cos (- φ) + i нүгэл (- φ)

Үүнд итгэлтэй байцгаая:

r cos φ + i sin φ 1 r cos (- φ) + i sin (- φ) = r r cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r e i φ 1 r e i (- φ) = r r e 0 = 1

Комплекс тоог тригонометрийн болон экспоненциал хэлбэрээр дүрсэлсэн жишээг авч үзье.

2 3 cos π 6 + i · sin π 6-ийн урвуу тоог олъё.

r = 2 3, φ = π 6 гэж үзвэл бид урвуу тоог бичнэ.

3 2 cos - π 6 + i sin - π 6

Жишээ. Комплекс тооны урвуу тоог ол

2 · e i · - 2 π 5 -ын эсрэг тоо ямар байх вэ.

Хариулт: 1 2 e i 2 π 5

Харилцан тоонуудын нийлбэр. Тэгш бус байдал

Хоёр урвуу тооны нийлбэрийн тухай теорем байдаг.

Харилцан тоонуудын нийлбэр

Хоёр эерэг ба эсрэг тоонуудын нийлбэр нь үргэлж 2-оос их буюу тэнцүү байна.

Теоремын баталгааг өгье. Мэдэгдэж байгаагаар аливаа эерэг тоонуудын хувьд арифметик дундаж нь геометрийн дунджаас их буюу тэнцүү байна. Үүнийг тэгш бус байдлаар бичиж болно:

a + b 2 ≥ a b

Хэрэв b тооны оронд а-ын урвуу тоог авбал тэгш бус байдал дараах хэлбэртэй болно.

a + 1 a 2 ≥ a 1 a a + 1 a ≥ 2

Q.E.D.

Энэ өмчийг харуулсан практик жишээг өгье.

Жишээ. Харилцан тоонуудын нийлбэрийг ол

2 3 ба түүний урвуу тоонуудын нийлбэрийг бодъё.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Теоремд дурдсанчлан үр дүнгийн тоо хоёроос их байна.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу