Ижил илэрхийлэл гэж юу вэ? Биеийн өөрчлөлтүүд

§ 2. Ижил илэрхийлэл, өвөрмөц байдал. Илэрхийллийн ижил хувиргалт. Биеийн баримтыг нотлох баримтууд

x хувьсагчийн өгөгдсөн утгуудын хувьд 2(x - 1) 2x - 2 илэрхийллийн утгыг олъё. Үр дүнг хүснэгтэд бичье.

x хувьсагчийн өгөгдсөн утга бүрийн хувьд 2(x - 1) 2x - 2 илэрхийллийн утгууд хоорондоо тэнцүү байна гэсэн дүгнэлтэд хүрч болно. Хасах үйлдэлтэй харьцуулахад үржүүлэхийн тархалтын шинж чанарын дагуу 2(x - 1) = 2x - 2. Иймд x хувьсагчийн бусад утгын хувьд 2(x - 1) 2x - 2 илэрхийллийн утга мөн адил байна. бие биетэйгээ тэнцүү. Ийм илэрхийллийг ижил тэнцүү гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, 2x + 3x ба 5x илэрхийлэл нь ижил утгатай, учир нь x хувьсагчийн утга тус бүрийн хувьд эдгээр илэрхийллүүд ижил утгыг олж авдаг (энэ нь 2x + 3x = 5x тул нэмэхтэй харьцуулахад үржүүлэх хуваарилах шинж чанараас хамаарна).

Одоо 3x + 2y ба 5xy илэрхийллүүдийг авч үзье. Хэрэв x = 1 ба b = 1 бол эдгээр илэрхийллийн харгалзах утга нь хоорондоо тэнцүү байна.

3x + 2y =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Гэсэн хэдий ч та эдгээр илэрхийллийн утга нь хоорондоо тэнцүү биш байх x ба y утгыг зааж өгч болно. Жишээлбэл, хэрэв x = 2; y = 0, тэгвэл

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Үүний үр дүнд 3x + 2y ба 5xy илэрхийллийн харгалзах утга нь хоорондоо тэнцүү биш хувьсагчдын утгууд байдаг. Тиймээс 3x + 2y ба 5xy илэрхийллүүд нь ижил тэнцүү биш юм.

Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн ижил төстэй байдал нь 2(x - 1) = 2x - 2 ба 2x + 3x = 5x гэсэн тэгшитгэлүүд юм.

Тоон дээрх үйлдлүүдийн мэдэгдэж буй шинж чанарыг тодорхойлсон тэгш байдал бүрийг таних тэмдэг гэнэ. Жишээлбэл,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = bа; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Тодорхойлолт нь дараахь тэгш байдлыг агуулдаг.

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Хэрэв бид -5x + 2x - 9 илэрхийлэлд ижил төстэй нэр томъёог нэгтгэвэл бид 5x + 2x - 9 = 7x - 9 болно. Энэ тохиолдолд 5x + 2x - 9 илэрхийллийг 7x - гэсэн ижил илэрхийллээр сольсон гэж тэд хэлдэг. 9.

Хувьсагчтай илэрхийллийн ижил хувиргалтыг тоон дээрх үйлдлийн шинж чанарыг ашиглан гүйцэтгэдэг. Ялангуяа хаалт нээх, ижил төстэй нэр томъёог бүтээх гэх мэт ижил төстэй хувиргалтууд.

Илэрхийллийг хялбарчлах, өөрөөр хэлбэл тодорхой илэрхийллийг ижил тэнцүү илэрхийллээр солих үед ижил хувиргалтыг хийх шаардлагатай бөгөөд энэ нь тэмдэглэгээг богино болгох ёстой.

Жишээ 1. Илэрхийллийг хялбарчлах:

1) -0.3 м ∙ 5n;

2) 2(3х - 4) + 3(-4х + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 м ∙ 5н = -0,3 ∙ 5мн = -1,5 мин;

2) 2(3х4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5а - А + 2 б + 3 б - А= 3a + 5b + 2.

Тэгш байдал нь ижил төстэй байдал гэдгийг батлахын тулд (өөрөөр хэлбэл, ижил төстэй байдлыг батлахын тулд илэрхийллийн ижил хувиргалтыг ашигладаг.

Та дараах аргуудын аль нэгээр хэн болохыг баталж болно.

• зүүн талдаа ижил төстэй хувиргалтыг хийж, улмаар баруун талын хэлбэрт оруулах;
• баруун талдаа ижил төстэй хувиргалтыг хийж, улмаар зүүн талын хэлбэрт оруулах;
• түүний хоёр хэсэгт ижил хувиргалт хийж, ингэснээр хоёр хэсгийг ижил илэрхийлэл болгон өсгөнө.

Жишээ 2. Тодорхойлолтыг нотлох:

1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16;

2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);

3) 2(3х - 8) + 4(5х - 7) = 13(2х - 5) + 21.

Р а с и з а н и.

1) Энэ тэгш байдлын зүүн талыг өөрчил:

2х - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Баримтлалыг хувиргах замаар тэгш байдлын зүүн талын илэрхийлэлийг баруун талын хэлбэр болгон бууруулж, улмаар энэ тэгш байдал нь ижил төстэй байдал гэдгийг нотолсон.

2) Энэ тэгш байдлын баруун талыг өөрчил:

5(2а - 3б) - 7(2а - 5б) = 10а - 15 б - 14а + 35 б= 20b - 4a.

Баримтлалыг өөрчлөх замаар тэгш байдлын баруун талыг зүүн талын хэлбэрт оруулж, улмаар энэ тэгш байдал нь ижил төстэй байдал гэдгийг нотолсон.

3) Энэ тохиолдолд тэгш байдлын зүүн ба баруун талыг хоёуланг нь хялбарчилж, үр дүнг харьцуулах нь тохиромжтой.

2(3х - 8) + 4(5х - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 = 26x - 44;

13(2х - 5) + 21 = 26х - 65 + 21 = 26х - 44.

Ижил өөрчлөлтүүдээр тэгш байдлын зүүн ба баруун талыг ижил хэлбэрт оруулав: 26x - 44. Тиймээс энэ тэгш байдал нь ижил төстэй байдал юм.

Ямар илэрхийллийг ижил төстэй гэж нэрлэдэг вэ? Ижил илэрхийллийн жишээг өг. Ямар тэгш байдлыг ижилсэл гэж нэрлэдэг вэ? Бие даасан байдлын жишээг өг. Илэрхийллийн таних өөрчлөлтийг юу гэж нэрлэдэг вэ? Биеэ яаж батлах вэ?

1. (Амаар) Эсвэл ижил тэнцүү илэрхийллүүд байдаг:

1) 2a + a ба 3a;

2) 7x + 6 ба 6 + 7x;

3) x + x + x ба x 3 ;

4) 2(x - 2) ба 2x - 4;

5) m - n ба n - m;

6) 2a ∙ p ба 2p ∙ a?

1. Илэрхийлэл нь ижил тэнцүү байна уу:

1) 7x - 2x ба 5x;

2) 5a - 4 ба 4 - 5a;

3) 4м + n ба n + 4м;

4) a + a ба 2;

5) 3(а - 4) ба 3а - 12;

6) 5м ∙ n ба 5м + n?

1. (амаар) нь Ли таних тэгш байдал юм:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7р - 1 = -1 + 7р;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

1. Хаалтуудыг өргөжүүлэх:

1. Хаалтуудыг өргөжүүлэх:

1. Ижил төстэй нэр томъёог нэгтгэх:

1. 2a + 3a илэрхийлэлтэй ижил хэд хэдэн хэллэгийг нэрлэ.
2. Үржүүлэхийн орлуулах болон холбох шинж чанарыг ашиглан илэрхийллийг хялбарчлах:

1) -2.5 x ∙ 4;

2) 4р ∙ (-1.5);

3) 0.2 x ∙ (0.3 гр);

4)- x ∙<-7у).

1. Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

1) -2р ∙ 3.5;

2) 7a ∙ (-1.2);

3) 0.2 x ∙ (-3у);

4) - 1 м ∙ (-3n).

1. (Аман) Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

1. Ижил төстэй нэр томъёог нэгтгэх:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1.8 a + 1.9 b + 2.8 a - 2.9 b;

4) 5 - 7 секунд + 1,9 г + 6,9 секунд - 1,7 г.

1) 4(5х - 7) + 3х + 13;

2) 2(7 - 9а) - (4 - 18а);

3) 3(2р - 7) - 2(r - 3);

4) -(3м - 5) + 2(3м - 7).

1. Хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог нэгтгэнэ үү:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2(3p - 1);

3) 2(3х - 8) - 5(2х + 7);

4) 3(5м - 7) - (15м - 2).

1) 0.6 x + 0.4(x - 20), хэрэв x = 2.4;

2) 1.3(2a - 1) - 16.4, хэрэв a = 10;

3) 1.2(м - 5) - 1.8(10 - м), хэрэв m = -3.7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y, хэрэв x = -1 бол у = 1.

1. Илэрхийлэлийг хялбарчилж, утгыг нь олоорой:

1) 0.7 x + 0.3(x - 4), хэрэв x = -0.7;

2) 1.7(y - 11) - 16.3, хэрэв b = 20;

3) 0.6(2a - 14) - 0.4(5a - 1), хэрэв a = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n, хэрэв m = 1.8; n = -0.9.

1. Хэн болохыг нотлох:

1) -(2x - y)=y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) c - 2 = 5(c + 2) - 4(c + 3).

1. Хэн болохыг нотлох:

1) -(m - 3n) = 3n - м;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(м - 3) + 3(м + 3) = 7м - 3.

1. Гурвалжны нэг талын урт нь см, нөгөө хоёр талынх нь урт нь түүнээс 2 см их байна. Гурвалжны периметрийг илэрхийлэл болгон бичиж, илэрхийллийг хялбарчлаарай.
2. Тэгш өнцөгтийн өргөн нь х см, урт нь өргөнөөсөө 3 см их байна. Тэгш өнцөгтийн периметрийг илэрхийлэл болгон бичиж, илэрхийллийг хялбарчлаарай.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5м - ((n - м) + 3n);

3) 4р - (3р - (2р - (r + 1)));

4) 5х - (2х - ((y - x) - 2y));

5) (6а - б) - (4 а - 33б);

6) - (2.7 м - 1.5 н) + (2н - 0.48 м).

1. Хашилтыг нээж, илэрхийллийг хялбаршуулна уу:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12м - ((а - м) + 12а);

3) 5 нас - (6 нас - (7 нас - (8 нас - 1)));

6) (2.1 a - 2.8 b) - (1a - 1b).

1. Хэн болохыг нотлох:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) -(- 3p) - (-(8 - 5p)) = 2(4 - r);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

1. Хэн болохыг нотлох:

1) 12a - ((8a - 16)) = -4(4 - 5а);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. Илэрхийллийн утгыг нотлох

1.8(м - 2) + 1.4(2 - м) + 0.2(1.7 - 2м) нь хувьсагчийн утгаас хамаарахгүй.

1. Хувьсагчийн дурын утгын хувьд илэрхийллийн утга болохыг батал

a - (a - (5a + 2)) - 5(a - 8)

ижил тоо.

1. Дараалсан гурван тэгш тооны нийлбэр нь 6-д хуваагддаг болохыг батал.
2. Хэрэв n нь натурал тоо бол -2(2.5 n - 7) + 2 (3n - 6) илэрхийллийн утга тэгш тоо болохыг батал.

Дахин давтах дасгалууд

1. 1.6 кг жинтэй хайлш нь 15% зэс агуулдаг. Энэ хайлшанд хэдэн кг зэс агуулагдах вэ?
2. 20-ийн тоо хэдэн хувь вэ?

1) дөрвөлжин;

1. Жуулчин 2 цаг алхаж, 3 цаг дугуй унасан байна. Жуулчин нийтдээ 56 км замыг туулсан. Жуулчны унадаг дугуй унаж байсан хурд нь түүний явж байсан хурдаас 12 км/цаг-аар их бол түүнийг ол.

Залхуу оюутнуудад зориулсан сонирхолтой даалгавар

1. Хотын хөлбөмбөгийн аварга шалгаруулах тэмцээнд 11 баг оролцож байна. Баг бүр нэг тоглолтыг нөгөөтэй нь тоглодог. Тэмцээний аль ч мөчид тухайн үед тэгш тооны тоглолт хийсэн эсвэл хараахан тоглож амжаагүй баг байгаа гэдгийг батал.

Бид ижил төстэй байдлын тухай ойлголтыг авч үзсэний дараа ижил төстэй илэрхийллүүдийг судлах руу шилжиж болно. Энэ нийтлэлийн зорилго нь энэ нь юу болохыг тайлбарлаж, ямар илэрхийлэл нь бусадтай адилхан болохыг жишээгээр харуулах явдал юм.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ижил тэнцүү илэрхийллүүд: тодорхойлолт

Ижил тэгш илэрхийллийн тухай ойлголтыг ихэвчлэн сургуулийн алгебрийн хичээлийн нэг хэсэг болгон таних тухай ойлголттой хамт судалдаг. Нэг сурах бичгээс авсан үндсэн тодорхойлолтыг энд оруулав.

Тодорхойлолт 1

Яг адилхан тэнцүүБие биедээ ийм илэрхийллүүд байх бөгөөд тэдгээрийн утга нь тэдгээрийн бүрэлдэхүүнд багтсан хувьсагчдын боломжит утгуудын хувьд ижил байх болно.

Мөн ижил утгатай тохирох тоон илэрхийллүүдийг ижил тэнцүү гэж үзнэ.

Энэ нь хувьсагчийн утга өөрчлөгдөхөд утга нь өөрчлөгддөггүй бүхэл тоон илэрхийлэлд үнэн байх нэлээд өргөн тодорхойлолт юм. Гэсэн хэдий ч дараа нь энэ тодорхойлолтыг тодруулах шаардлагатай болж байна, учир нь бүхэл тооноос гадна тодорхой хувьсагчтай утга учиргүй өөр төрлийн илэрхийлэл байдаг. Энэ нь тодорхой хувьсах утгыг хүлээн зөвшөөрөх ба хүлээн зөвшөөрөхгүй байх тухай ойлголтыг бий болгож, зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээг тодорхойлох хэрэгцээг бий болгодог. Нарийвчилсан тодорхойлолтыг томъёолъё.

Тодорхойлолт 2

Адилхан тэнцүү илэрхийллүүд- эдгээр нь тэдгээрийн бүрэлдэхүүнд багтсан хувьсагчдын зөвшөөрөгдөх утгуудын утгууд нь хоорондоо тэнцүү илэрхийллүүд юм. Утга нь ижил байх тохиолдолд тоон илэрхийлэл нь хоорондоо ижил тэнцүү байх болно.

"Хувьсагчийн хүчинтэй утгуудын хувьд" гэсэн хэллэг нь хоёр илэрхийлэл нь утга учиртай байх хувьсагчийн бүх утгыг илэрхийлнэ. Бид дараа нь ижил тэнцүү илэрхийллийн жишээг өгөхдөө энэ санааг тайлбарлах болно.

Та мөн дараахь тодорхойлолтыг өгч болно.

Тодорхойлолт 3

Ижил тэнцүү илэрхийллүүд нь зүүн ба баруун талд ижил төстэй байдлаар байрласан илэрхийллүүд юм.

Бие биетэйгээ ижил төстэй илэрхийллийн жишээ

Дээр өгөгдсөн тодорхойлолтуудыг ашиглан ийм илэрхийллийн цөөн хэдэн жишээг авч үзье.

Тоон илэрхийллүүдээс эхэлцгээе.

Жишээ 1

Тиймээс 2 + 4 ба 4 + 2 нь хоорондоо ижил тэнцүү байх болно, учир нь үр дүн нь тэнцүү байх болно (6 ба 6).

Жишээ 2

Үүнтэй адилаар 3 ба 30 илэрхийлэл нь ижил тэнцүү байна: 10, (2 2) 3 ба 2 6 (сүүлийн илэрхийллийн утгыг тооцоолохын тулд та зэрэглэлийн шинж чанарыг мэдэх хэрэгтэй).

Жишээ 3

Гэхдээ 4 - 2 ба 9 - 1 илэрхийллүүд нь утга нь өөр тул тэнцүү биш байх болно.

Шууд үгийн жишээнүүд рүү шилжье. a + b ба b + a нь ижил тэнцүү байх бөгөөд энэ нь хувьсагчийн утгаас хамаарахгүй (энэ тохиолдолд илэрхийллийн тэгш байдлыг нэмэхийн солих шинж чанараар тодорхойлно).

Жишээ 4

Жишээлбэл, хэрэв a нь 4, b нь 5-тай тэнцүү бол үр дүн нь хэвээр байх болно.

Үсэгтэй ижил тэнцүү илэрхийллийн өөр нэг жишээ бол 0 · x · y · z ба 0 юм. Энэ тохиолдолд хувьсагчдын утга ямар ч байсан, 0-ээр үржүүлснээр 0-ийг өгнө. Тэгш бус илэрхийллүүд нь 6 · x ба 8 · x байна, учир нь тэдгээр нь ямар ч x-ийн хувьд тэнцүү байх болно.

Хувьсагчдын зөвшөөрөгдөх утгын талбарууд давхцаж байгаа тохиолдолд жишээлбэл, a + 6 ба 6 + a эсвэл a · b · 0 ба 0, эсвэл x 4 ба x гэсэн илэрхийлэлд, мөн утгууд нь давхцаж байвал. Аливаа хувьсагчийн хувьд илэрхийлэл нь тэнцүү байвал ийм илэрхийллийг ижил тэнцүү гэж үзнэ. Тэгэхээр a-ийн дурын утгын хувьд a + 8 = 8 + a, мөн a · b · 0 = 0 байна, учир нь дурын тоог 0-ээр үржүүлэхэд 0 гарна. [ 0 , + ∞) интервалаас аль ч х-д x 4 ба x илэрхийллүүд ижил тэнцүү байх болно.

Гэхдээ нэг илэрхийлэл дэх хүчинтэй утгын хүрээ нь нөгөөгийнхээс өөр байж болно.

Жишээ 5

Жишээлбэл, x − 1 ба x - 1 · x x гэсэн хоёр илэрхийлэл авъя. Тэдгээрийн эхнийх нь х-ийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ нь бүхэл бүтэн бодит тоонуудын багц байх ба хоёр дахь нь - тэгээс бусад бүх бодит тоонуудын багц, учир нь бид 0-ийг авах болно. хуваагч, ийм хуваагдал тодорхойлогдоогүй байна. Эдгээр хоёр илэрхийлэл нь хоёр тусдаа мужуудын огтлолцолоос үүссэн нийтлэг утгын мужтай байдаг. x - 1 · x x ба x - 1 илэрхийлэл нь 0-ээс бусад хувьсагчийн бодит утгын хувьд утга учиртай болно гэж бид дүгнэж болно.

Бутархайн үндсэн шинж чанар нь 0 биш дурын x-ийн хувьд x - 1 x x ба x - 1 нь тэнцүү байна гэж дүгнэх боломжийг олгодог. Энэ нь зөвшөөрөгдөх утгуудын ерөнхий мужид эдгээр илэрхийлэл нь бие биетэйгээ ижил тэнцүү байх болно гэсэн үг юм, гэхдээ ямар ч бодит x-ийн хувьд бид ижил тэгш байдлын талаар ярьж чадахгүй.

Хэрэв бид нэг илэрхийлэлийг үүнтэй адил тэнцүү өөр илэрхийллээр орлуулж байвал энэ үйл явцыг таних өөрчлөлт гэж нэрлэдэг. Энэ үзэл баримтлал нь маш чухал бөгөөд бид энэ талаар тусдаа материалаар дэлгэрэнгүй ярих болно.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Баримтлалын талаархи ойлголттой болсны дараа танилцах руу шилжих нь логик юм. Энэ өгүүлэлд бид ижил төстэй илэрхийлэл гэж юу вэ гэсэн асуултанд хариулж, аль илэрхийлэл нь ижил, аль нь тэнцүү биш болохыг жишээгээр ойлгох болно.

Хуудасны навигаци.

Ижил тэнцүү илэрхийлэл гэж юу вэ?

Ижил тэнцүү илэрхийллийн тодорхойлолтыг ижил төстэй байдлын тодорхойлолттой зэрэгцүүлэн өгсөн болно. Энэ нь 7-р ангийн алгебрийн хичээлд тохиолддог. Зохиолч Ю.Н.Макарычевын 7-р ангийн алгебрийн сурах бичигт дараахь томъёоллыг өгсөн болно.

Тодорхойлолт.

- эдгээр нь тэдгээрт багтсан хувьсагчдын аль ч утгуудын утгууд нь тэнцүү илэрхийллүүд юм. Ижил утгатай тоон хэллэгийг ижил тэнцүү гэж нэрлэдэг.

Энэхүү тодорхойлолтыг 8-р анги хүртэл ашигладаг бөгөөд энэ нь бүхэл тоон илэрхийлэлд хүчинтэй, учир нь тэдгээрт орсон хувьсагчдын аль ч утгыг ойлгох болно. Мөн 8-р ангид ижил тэнцүү илэрхийллийн тодорхойлолтыг тодруулсан. Энэ нь юутай холбоотой болохыг тайлбарлая.

8-р ангид бусад төрлийн илэрхийллийн судалгаа эхэлдэг бөгөөд энэ нь бүхэл илэрхийллээс ялгаатай нь хувьсагчийн зарим утгыг ойлгохгүй байж магадгүй юм. Энэ нь хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх ба хүлээн зөвшөөрөгдөөгүй утгуудын тодорхойлолт, хувьсах хэмжигдэхүүний зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг танилцуулж, үүний үр дүнд ижил төстэй илэрхийллийн тодорхойлолтыг тодруулахыг шаарддаг.

Тодорхойлолт.

Үүнд багтсан хувьсагчдын бүх зөвшөөрөгдөх утгуудын утгууд нь тэнцүү хоёр илэрхийлэл гэж нэрлэгддэг. ижил тэнцүү илэрхийллүүд. Ижил утгатай хоёр тоон илэрхийллийг мөн адил тэнцүү гэж нэрлэдэг.

Ижил төстэй илэрхийллийн энэхүү тодорхойлолтод "тэдгээрт орсон хувьсагчдын зөвшөөрөгдөх бүх утгын хувьд" гэсэн хэллэгийн утгыг тодруулах нь зүйтэй. Энэ нь ижил тэнцүү илэрхийлэл нь нэгэн зэрэг утга учиртай хувьсагчийн бүх утгыг илэрхийлдэг. Энэ санааг бид дараагийн догол мөрөнд жишээнүүдийг үзэх замаар тайлбарлах болно.

А.Г.Мордковичийн сурах бичигт ижил тэнцүү илэрхийллийн тодорхойлолтыг арай өөрөөр өгсөн болно.

Тодорхойлолт.

Адилхан тэнцүү илэрхийллүүд– эдгээр нь таних тэмдгийн зүүн ба баруун талд байгаа илэрхийлэл юм.

Энэ болон өмнөх тодорхойлолтуудын утга нь давхцаж байна.

Ижил тэнцүү илэрхийллийн жишээ

Өмнөх догол мөрөнд оруулсан тодорхойлолтууд нь бидэнд өгөх боломжийг олгодог ижил тэнцүү илэрхийллийн жишээ.

Ижил тэнцүү тоон илэрхийллүүдээс эхэлцгээе. 1+2 ба 2+1 тоон илэрхийлэл нь 3 ба 3-ын тэнцүү утгатай тохирч байгаа тул ижил тэнцүү байна. 5 ба 30:6 илэрхийллүүд нь (2 2) 3 ба 2 6 илэрхийллүүдтэй адил тэнцүү байна (сүүлийн илэрхийллүүдийн утга нь -ийн ачаар тэнцүү байна). Гэхдээ 3+2 ба 3−2 тоон илэрхийлэл нь 5 ба 1 утгатай тохирч байгаа тул ижил тэнцүү биш байна.

Одоо хувьсагчтай ижил тэнцүү илэрхийллийн жишээг өгье. Эдгээр нь a+b ба b+a илэрхийлэл юм. Үнэн хэрэгтээ a ба b хувьсагчийн аливаа утгын хувьд бичсэн илэрхийллүүд нь ижил утгыг авдаг (тооноос дараах байдлаар). Жишээ нь, a=1 ба b=2 байвал a+b=1+2=3 ба b+a=2+1=3 байна. a ба b хувьсагчийн бусад утгуудын хувьд бид эдгээр илэрхийллийн ижил утгыг авах болно. 0·x·y·z ба 0 илэрхийллүүд нь x, y, z хувьсагчдын аль ч утгын хувьд ижил тэнцүү байна. Гэхдээ 2 x ба 3 x илэрхийлэл нь ижил тэнцүү биш, учир нь жишээлбэл, x=1 үед тэдгээрийн утга тэнцүү биш байна. Үнэхээр x=1-ийн хувьд 2·x илэрхийлэл 2·1=2, 3·x илэрхийлэл нь 3·1=3-тэй тэнцүү байна.

Илэрхийлэл дэх хувьсагчдын зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ давхцаж байвал жишээ нь a+1 ба 1+a, эсвэл a·b·0 ба 0, эсвэл болон, эдгээр илэрхийллийн утгууд зэрэг болно. Эдгээр хэсгүүдийн хувьсагчийн бүх утгуудын хувьд тэнцүү байна, тэгвэл энд бүх зүйл тодорхой байна - эдгээр илэрхийлэл нь тэдгээрт багтсан хувьсагчдын бүх зөвшөөрөгдөх утгуудын хувьд ижил байна. Тэгэхээр a+1≡1+a аль ч a хувьд a·b·0 ба 0 илэрхийллүүд нь a ба b хувьсагчийн аль ч утгуудын хувьд ижил тэнцүү бөгөөд илэрхийллүүд нь бүх x -ийн хувьд ижил тэнцүү байна; засварласан С.А.Теляковский. - 17 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 240 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Алгебр судалж байхдаа бид олон гишүүнт (жишээлбэл ($y-x$,$\ 2x^2-2x$ гэх мэт)) болон алгебрийн бутархай (жишээлбэл $\frac(x+5)(x)$) гэсэн ойлголттой танилцсан. , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ гэх мэт) Эдгээр ойлголтуудын ижил төстэй байдал нь олон гишүүнт болон алгебрийн бутархай хоёулаа хувьсагч болон тоон утгыг агуулж байдагт оршино. , мөн арифметик үйлдлүүд хийгдэнэ: нэмэх, хасах, үржүүлэх, экспонентацлах үйлдлүүд нь олон гишүүнтэд хувьсагчаар хуваагдах үйлдлийг гүйцэтгэдэггүй, харин алгебрийн бутархайд хувьсагчаар хуваах боломжтой байдаг.

Олон гишүүнт ба алгебрийн бутархайг хоёуланг нь математикт алгебрийн рационал илэрхийлэл гэж нэрлэдэг. Гэхдээ олон гишүүнт нь бүхэл бүтэн рационал илэрхийлэл, алгебрийн бутархай нь бутархай рационал илэрхийлэл юм.

Хувцасны хувиргалтыг ашиглан бутархай-рационал илэрхийллээс бүхэл бүтэн алгебрийн илэрхийлэлийг олж авах боломжтой бөгөөд энэ тохиолдолд бутархайн үндсэн шинж чанар болох бутархайн бууралт болно. Үүнийг практик дээр шалгаж үзье:

Жишээ 1

Хөрвүүлэх:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Шийдэл:Энэхүү бутархай оновчтой тэгшитгэлийг бутархай бууралтын үндсэн шинж чанарыг ашиглан өөрчилж болно, өөрөөр хэлбэл. тоологч ба хуваагчийг $0$-с өөр ижил тоо эсвэл илэрхийллээр хуваах.

Энэ бутархайг нэн даруй багасгах боломжгүй;

Бутархайн тоологч дахь илэрхийллийг хувиргая, үүний тулд бид ялгааны квадратын томъёог ашиглана: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Бутархай нь иймэрхүү харагдаж байна

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\зүүн(x-2\баруун)(x-2))(x-2)\]

Одоо бид тоологч ба хуваарьт нийтлэг хүчин зүйл байгааг харж байна - энэ бол $ x-2 $ илэрхийлэл бөгөөд үүгээр бид бутархайг багасгах болно.

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\зүүн(x-2\баруун)(x-2))(x-2)=x-2\]

Бутарсны дараа бид анхны бутархай рационал илэрхийлэл $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ олон гишүүнт $x-2$ болсныг олж мэдсэн, өөрөөр хэлбэл. бүхэлдээ оновчтой.

Одоо $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ ба $x-2\ $ илэрхийллүүдийг хувьсагчийн бүх утгын хувьд ижил биш гэж үзэж болохыг анхаарна уу. учир нь Бутархай рационал илэрхийлэл оршин тогтнохын тулд $x-2$ олон гишүүнтээр бууруулах боломжтой байхын тулд бутархайн хуваагч нь $0$-тай тэнцүү байх ёсгүй (мөн бидний багасгаж буй хүчин зүйл. Үүнд. Жишээ нь, хуваагч ба хүчин зүйл нь ижил боловч энэ нь үргэлж тохиолддоггүй).

Алгебрийн бутархай байх хувьсагчийн утгыг хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утга гэж нэрлэдэг.

Бутархайн хуваагч дээр нөхцөл тавъя: $x-2≠0$, дараа нь $x≠2$.

Энэ нь $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ болон $x-2$ илэрхийллүүд нь $2$-оос бусад хувьсагчийн бүх утгуудад ижил байна гэсэн үг юм.

Тодорхойлолт 1

Яг адилхан тэнцүүилэрхийлэл нь хувьсагчийн бүх хүчинтэй утгуудын хувьд тэнцүү байна.

Ижил хувиргалт гэдэг нь анхны илэрхийлэлийг ижил тэнцүү хэллэгээр солих явдал юм: нэмэх, хасах, үржүүлэх, нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд оруулах, алгебрийн бутархайг багасгах, ижил төстэй зүйлийг авчрах үйлдлүүд орно. нөхцөл гэх мэт. Ижил нэр томъёог багасгах, багасгах зэрэг хэд хэдэн хувиргалт нь хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгыг өөрчлөх боломжтой гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Баримтлалыг батлах арга техник

Баримт бичгийн хувиргалтыг ашиглан таних тэмдгийн зүүн талыг баруун тийш эсвэл эсрэгээр нь авчир

Ижил хувиргалтыг ашиглан хоёр талыг ижил илэрхийлэл болгон бууруул

Илэрхийллийн нэг хэсэг дэх илэрхийллүүдийг нөгөө рүү шилжүүлж, үр дүнгийн зөрүү нь $0$-тэй тэнцүү болохыг батал

Өгөгдсөн таних тэмдгийг батлахын тулд дээрх аргуудын алийг нь ашиглах нь анхны таних тэмдэгээс хамаарна.

Жишээ 2

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$ гэдгийг батлах

Шийдэл:Үүнийг батлахын тулд бид дээрх аргуудын эхнийхийг ашиглах болно, тухайлбал бид таних тэмдгийн зүүн талыг баруун талтай тэнцүү болтол хувиргана.

Тодорхойлолтын зүүн талыг авч үзье: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$ - энэ нь хоёр олон гишүүнтийн ялгааг илэрхийлнэ. Энэ тохиолдолд эхний олон гишүүнт нь гурван гишүүний нийлбэрийн квадрат юм.

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Үүнийг хийхийн тулд бид олон гишүүнт тоог үржүүлэх хэрэгтэй. Үүний тулд бид хаалтанд байгаа олон гишүүнтийн гишүүн бүрээр хаалтанд байгаа нийтлэг хүчин зүйлийг үржүүлэх хэрэгтэй гэдгийг санаарай.

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Одоо анхны олон гишүүнт рүү буцъя, энэ нь дараах хэлбэртэй болно.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Хаалтны өмнө "-" тэмдэг байгаа бөгөөд энэ нь хаалт нээгдэх үед хаалтанд байсан бүх тэмдгүүд эсрэгээр өөрчлөгддөг болохыг анхаарна уу.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Ижил төстэй нэр томъёог танилцуулъя, тэгвэл $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ ба $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ мономиалууд бие биенээ үгүйсгэдэг, өөрөөр хэлбэл. Тэдний нийлбэр $0$ байна.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Энэ нь ижил төстэй хувиргалтын тусламжтайгаар бид анхны таних тэмдгийн зүүн талд ижил илэрхийлэлийг олж авсан гэсэн үг юм.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Үүссэн илэрхийлэл нь анхны таних тэмдэг нь үнэн болохыг харуулж байгааг анхаарна уу.

Анхны таних тэмдэгт хувьсагчийн бүх утгыг зөвшөөрдөг гэдгийг анхаарна уу, энэ нь бид таних тэмдгийн хувиргалтыг ашиглан танихыг баталсан гэсэн үг бөгөөд энэ нь хувьсагчийн бүх боломжит утгуудын хувьд үнэн юм.