Ижил суурьтай логарифмын хуваагдал. Логарифм: жишээ ба шийдэл

• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. болон бусад алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Ерөнхий боловсролын байгууллагын 10-11-р ангийн сурах бичиг.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага).

Бид логарифмийг үргэлжлүүлэн судалж байна. Энэ нийтлэлд бид ярих болно логарифмыг тооцоолох, энэ процесс гэж нэрлэгддэг логарифм. Эхлээд бид логарифмын тооцоог тодорхойлолтоор нь ойлгох болно. Дараа нь логарифмын утгыг тэдгээрийн шинж чанарыг ашиглан хэрхэн олохыг харцгаая. Үүний дараа бид бусад логарифмын анх заасан утгуудаар дамжуулан логарифмыг тооцоолоход анхаарлаа хандуулах болно. Эцэст нь логарифмын хүснэгтийг хэрхэн ашиглах талаар сурцгаая. Онолыг бүхэлд нь нарийвчилсан шийдэл бүхий жишээнүүдээр хангасан болно.

Хуудасны навигаци.

Тодорхойлолтоор логарифмыг тооцоолох

Хамгийн энгийн тохиолдолд маш хурдан бөгөөд амархан гүйцэтгэх боломжтой тодорхойлолтоор логарифм олох. Энэ үйл явц хэрхэн явагддагийг нарийвчлан авч үзье.

Үүний мөн чанар нь b тоог a c хэлбэрээр илэрхийлэх бөгөөд үүнээс логарифмын тодорхойлолтоор c тоо нь логарифмын утга юм. Өөрөөр хэлбэл, дараах тэгш байдлын хэлхээ нь логарифм олоход тохирно: log a b=log a a c =c.

Тиймээс логарифмыг тодорхойлолтоор нь тооцоолох нь a c = b байх c тоог олоход хүргэдэг бөгөөд c тоо нь өөрөө логарифмын хүссэн утга юм.

Өмнөх догол мөрөнд дурдсан мэдээллийг харгалзан логарифмын тэмдгийн доорх тоог логарифмын суурийн тодорхой хүчээр өгөхөд логарифм нь юутай тэнцүү болохыг шууд зааж өгч болно - энэ нь экспоненттай тэнцүү байна. Жишээнүүдийн шийдлүүдийг харуулъя.

Жишээ.

Лог 2 2 −3-ыг олж, мөн e 5,3 тооны натурал логарифмыг тооцоол.

Шийдэл.

Логарифмын тодорхойлолт нь log 2 2 −3 =−3 гэдгийг шууд хэлэх боломжийг олгодог. Үнэн хэрэгтээ, логарифмын тэмдгийн доорх тоо нь суурь 2-ын −3-ын зэрэгтэй тэнцүү байна.

Үүний нэгэн адил бид хоёр дахь логарифмийг олно: lne 5.3 =5.3.

Хариулт:

log 2 2 −3 =−3 ба lne 5,3 =5,3.

Хэрэв логарифмын тэмдгийн доорх b тоо нь логарифмын суурийн хүч гэж тодорхойлогдоогүй бол b тоог a c хэлбэрээр дүрслэх боломжтой эсэхийг сайтар судалж үзэх хэрэгтэй. Ихэнхдээ энэ дүрслэл нь маш тодорхой байдаг, ялангуяа логарифмын тэмдгийн доорх тоо нь 1, 2, 3, ... зэрэгтэй тэнцүү байх үед

Жишээ.

log 5 25 , болон логарифмуудыг тооцоол.

Шийдэл.

25=5 2 гэдгийг харахад хялбар бөгөөд энэ нь эхний логарифмийг тооцоолох боломжийг танд олгоно: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Хоёрдахь логарифмыг тооцоолохдоо үргэлжлүүлье. Энэ тоог 7-ын зэрэглэлээр илэрхийлж болно: (шаардлагатай бол үзнэ үү). Тиймээс, .

Гурав дахь логарифмыг дараах хэлбэрээр дахин бичье. Одоо та үүнийг харж болно , үүнээс бид ингэж дүгнэж байна . Тиймээс логарифмын тодорхойлолтоор .

Товчхондоо шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Хариулт:

log 5 25=2 , мөн .

Логарифмын тэмдгийн дор хангалттай том натурал тоо байгаа тохиолдолд түүнийг анхны хүчин зүйл болгон тооцоход гэмгүй. Энэ нь ихэвчлэн ийм тоог логарифмын суурийн зарим зэрэглэлээр илэрхийлэхэд тусалдаг тул энэ логарифмийг тодорхойлолтоор нь тооцдог.

Жишээ.

Логарифмын утгыг ол.

Шийдэл.

Логарифмын зарим шинж чанарууд нь логарифмын утгыг шууд зааж өгөх боломжийг олгодог. Эдгээр шинж чанаруудад нэгийн логарифмын шинж чанар, суурьтай тэнцүү тооны логарифмын шинж чанарууд багтана: log 1 1=log a a 0 =0, log a=log a a 1 =1. Өөрөөр хэлбэл, логарифмын тэмдгийн дор 1 тоо эсвэл логарифмын суурьтай тэнцүү a тоо байвал эдгээр тохиолдолд логарифмууд нь 0 ба 1-тэй тэнцүү байна.

Жишээ.

Логарифм ба лог10 хэдтэй тэнцүү вэ?

Шийдэл.

-ээс хойш логарифмын тодорхойлолтоос энэ нь дараах байдалтай байна .

Хоёр дахь жишээнд логарифмын тэмдгийн доорх 10 тоо нь суурьтай нь давхцаж байгаа тул аравтын бутархай логарифм нь нэгтэй тэнцүү буюу lg10=lg10 1 =1 байна.

Хариулт:

БА lg10=1 .

Тодорхойлолтоор логарифмыг тооцоолохдоо (үүнийг бид өмнөх догол мөрөнд авч үзсэн) логарифмын шинж чанаруудын нэг болох log a a p =p тэгш байдлыг ашиглахыг хэлнэ гэдгийг анхаарна уу.

Практикт логарифмын тэмдгийн доорх тоо болон логарифмын суурь нь тодорхой тооны зэрэглэлээр хялбархан дүрслэгдэх үед томъёог ашиглах нь маш тохиромжтой. , энэ нь логарифмын шинж чанаруудын аль нэгэнд тохирно. Энэ томьёоны хэрэглээг харуулсан логарифмыг олох жишээг авч үзье.

Жишээ.

Логарифмыг тооцоол.

Шийдэл.

Хариулт:

.

Дээр дурдаагүй логарифмын шинж чанаруудыг тооцоололд ашигладаг боловч бид дараагийн догол мөрөнд энэ тухай ярих болно.

Бусад мэдэгдэж буй логарифмуудаар дамжуулан логарифм олох

Энэ догол мөр дэх мэдээлэл нь логарифмын шинж чанарыг тооцоолохдоо ашиглах сэдвийг үргэлжлүүлнэ. Гэхдээ энд гол ялгаа нь логарифмын шинж чанарыг утга нь мэдэгдэж байгаа өөр логарифмын хувьд анхны логарифмыг илэрхийлэхэд ашигладаг. Тодорхой болгох үүднээс жишээ хэлье. Бид log 2 3≈1.584963 гэдгийг мэдэж байгаа гэж бодъё, тэгвэл бид логарифмын шинж чанарыг ашиглан бага зэрэг хувиргах замаар жишээ нь log 2 6-г олж болно: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Дээрх жишээнд бид бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг ашиглахад хангалттай байсан. Гэсэн хэдий ч өгөгдсөн логарифмыг өгөгдсөнөөр нь тооцоолохын тулд логарифмын шинж чанаруудын илүү өргөн хүрээг ашиглах шаардлагатай болдог.

Жишээ.

Хэрэв та log 60 2=a, log 60 5=b гэдгийг мэдэж байгаа бол 27-ийн логарифмыг 60 суурьтай тооцоол.

Шийдэл.

Тиймээс бид лог 60 27-г олох хэрэгтэй. 27 = 3 3 , чадлын логарифмын шинж чанараас шалтгаалан анхны логарифмыг 3·log 60 3 гэж дахин бичиж болохыг харахад хялбар байдаг.

Одоо лог 60 3-ыг мэдэгдэж буй логарифмуудаар хэрхэн илэрхийлэхийг харцгаая. Суурьтай тэнцүү тооны логарифмын шинж чанар нь тэгш байдлын лог 60 60=1 гэж бичих боломжийг бидэнд олгоно. Нөгөө талаас log 60 60=log60(2 2 3 5)= лог 60 2 2 +лог 60 3+лог 60 5= 2·лог 60 2+лог 60 3+лог 60 5 . Тиймээс, 2 лог 60 2+лог 60 3+лог 60 5=1. Тиймээс, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Эцэст нь бид анхны логарифмыг тооцоолно: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Хариулт:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Маягтын логарифмын шинэ суурь руу шилжих томъёоны утгыг тусад нь дурдах нь зүйтэй. Энэ нь ямар ч суурьтай логарифмуудаас тодорхой суурьтай, утгууд нь мэдэгдэж байгаа эсвэл тэдгээрийг олох боломжтой логарифм руу шилжих боломжийг олгодог. Ихэвчлэн анхны логарифмаас шилжилтийн томьёог ашиглан 2, e эсвэл 10 суурийн аль нэгэнд логарифм руу шилждэг, учир нь эдгээр суурийн хувьд тэдгээрийн утгыг тодорхой хэмжээгээр тооцоолох боломжийг олгодог логарифмын хүснэгтүүд байдаг. нарийвчлал. Дараагийн догол мөрөнд бид үүнийг хэрхэн хийхийг харуулах болно.

Логарифмын хүснэгт ба тэдгээрийн хэрэглээ

Логарифмын утгыг ойролцоогоор тооцоолохын тулд ашиглаж болно логарифмын хүснэгтүүд. Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг суурь 2 логарифмын хүснэгт, натурал логарифмын хүснэгт, аравтын логарифмын хүснэгт. Аравтын тооллын системд ажиллахдаа аравтын суурь дээр суурилсан логарифмын хүснэгтийг ашиглах нь тохиромжтой. Үүний тусламжтайгаар бид логарифмын утгыг олж сурах болно.

Үзүүлсэн хүснэгт нь 1000-аас 9999 хүртэлх тооны аравтын бутархай логарифмын утгыг (аравтын бутархай гурван оронтой) арав мянгатын нэгийн нарийвчлалтайгаар олох боломжийг олгоно. Бид тодорхой жишээн дээр аравтын логарифмын хүснэгтийг ашиглан логарифмын утгыг олох зарчмыг шинжлэх болно - энэ нь илүү ойлгомжтой болно. Лог1.256-г олъё.

Аравтын бутархай логарифмын хүснэгтийн зүүн баганад бид 1.256 тооны эхний хоёр цифрийг олно, өөрөөр хэлбэл 1.2-ыг олно (тодорхой байхын тулд энэ тоог цэнхэр өнгөөр ​​дугуйлсан). 1.256 тооны гурав дахь орон (5 цифр) нь давхар шугамын зүүн талд байгаа эхний буюу сүүлчийн мөрөнд байрлана (энэ тоог улаанаар дугуйлсан). Анхны 1.256 дугаарын дөрөв дэх орон (6 цифр) давхар шугамын баруун талд байгаа эхний буюу сүүлчийн мөрөнд байна (энэ тоог ногоон шугамаар дугуйлсан). Одоо бид логарифмын хүснэгтийн нүднүүдийг тэмдэглэсэн мөр ба тэмдэглэгдсэн баганын огтлолцол дээр олдог (эдгээр тоонуудыг улбар шараар тодруулсан). Тэмдэглэгдсэн тоонуудын нийлбэр нь аравтын бутархайн логарифмын хүссэн утгыг аравтын дөрөв дэх орон хүртэл нарийвчлалтай өгдөг, өөрөөр хэлбэл, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Дээрх хүснэгтийг ашиглан аравтын бутархайн дараа гурваас дээш оронтой тоонуудын аравтын бутархай логарифмын утгыг, мөн 1-ээс 9.999 хүртэлх мужаас давсан тоог олох боломжтой юу? Тийм ээ, чи чадна. Үүнийг хэрхэн яаж хийхийг жишээгээр харуулъя.

lg102.76332-ыг тооцоолъё. Эхлээд та бичих хэрэгтэй стандарт хэлбэрээр дугаар: 102.76332=1.0276332·10 2. Үүний дараа мантиса нь гурав дахь аравтын бутархай хүртэл дугуйрсан байх ёстой 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, анхны аравтын бутархай логарифм нь ойролцоогоор гарсан тооны логарифмтай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл бид log102.76332≈lg1.028·10 2-ыг авна. Одоо бид логарифмын шинж чанаруудыг ашиглана: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Эцэст нь аравтын бутархай логарифмын lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 хүснэгтээс lg1.028 логарифмын утгыг олно. Үүний үр дүнд логарифмыг тооцоолох бүх үйл явц дараах байдалтай байна. log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Эцэст нь хэлэхэд аравтын бутархай логарифмын хүснэгтийг ашиглан ямар ч логарифмын ойролцоо утгыг тооцоолж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүнийг хийхийн тулд шилжилтийн томьёог ашиглан аравтын бутархай логарифм руу очиж, хүснэгтээс утгыг нь олж, үлдсэн тооцоог хийхэд хангалттай.

Жишээлбэл, лог 2 3-ыг тооцоолъё. Логарифмын шинэ суурь руу шилжих томъёоны дагуу бид . Аравтын логарифмын хүснэгтээс log3≈0.4771 ба log2≈0.3010 тоог олно. Тиймээс, .

Лавлагаа.

• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. болон бусад алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Ерөнхий боловсролын байгууллагын 10-11-р ангийн сурах бичиг.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага).

Логарифмын зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ (APV).

Одоо хязгаарлалтын талаар ярилцъя (ODZ - хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ).

Жишээлбэл, квадрат язгуурыг сөрөг тооноос авах боломжгүй гэдгийг бид санаж байна; эсвэл бид бутархайтай бол хуваагч нь тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. Логарифмууд ижил төстэй хязгаарлалттай байдаг:

Өөрөөр хэлбэл, аргумент болон суурь хоёулаа тэгээс их байх ёстой, гэхдээ суурь нь тэнцүү байж чадахгүй.

Яагаад ийм байна вэ?

Энгийн зүйлээс эхэлье: үүнийг хэлье. Дараа нь, жишээ нь, тоо байхгүй, учир нь бид ямар ч хүчийг өсгөсөн бай үргэлж гарч ирдэг. Түүнээс гадна энэ нь хэнд ч байхгүй. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн энэ нь ямар ч зүйлтэй тэнцүү байж болно (ижил шалтгаанаар - энэ нь ямар ч зэрэгтэй тэнцүү). Тиймээс объект нь ямар ч сонирхолгүй бөгөөд энэ нь зүгээр л математикаас хаягдсан юм.

Бидэнд ийм асуудал тулгардаг: энэ нь ямар ч эерэг хүчинд байдаг, гэхдээ үүнийг сөрөг хүчин болгон нэмэгдүүлэх боломжгүй, учир нь тэгээр хуваагдах болно (үүнийг танд сануулъя).

Бид бутархай хүчийг өсгөх асуудалтай тулгарсан үед (энэ нь язгуураар илэрхийлэгддэг: . Жишээ нь, (энэ нь), гэхдээ энэ нь байхгүй.

Тиймээс сөрөг шалтгааныг хаях нь тэдэнтэй харьцахаас илүү хялбар байдаг.

Манай а суурь нь зөвхөн эерэг байж болох тул бид үүнийг ямар ч хүчинд өсгөхөөс үл хамааран бид үргэлж эерэг тоо авах болно. Тиймээс аргумент эерэг байх ёстой. Жишээлбэл, энэ нь байхгүй, учир нь энэ нь ямар ч хэмжээгээр сөрөг тоо биш (эсвэл бүр тэг, тиймээс энэ нь бас байхгүй).

Логарифмын асуудалд хамгийн түрүүнд хийх ёстой зүйл бол ODZ-г бичих явдал юм. Би танд жишээ хэлье:

Тэгшитгэлээ шийдье.

Тодорхойлолтыг санацгаая: логарифм нь аргументыг олж авахын тулд суурийг өсгөх ёстой хүч юм. Мөн нөхцөлийн дагуу энэ зэрэг нь: .

Бид ердийн квадрат тэгшитгэлийг авна: . Үүнийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдье: язгууруудын нийлбэр тэнцүү ба үржвэр. Авахад хялбар, эдгээр нь тоонууд ба.

Харин хариуд нь энэ хоёр тоог шууд аваад бичвэл бодлогод 0 оноо авах боломжтой. Яагаад? Хэрэв бид эдгээр язгуурыг эхний тэгшитгэлд орлуулбал юу болох талаар бодож үзье.

Суурь нь сөрөг байж болохгүй, өөрөөр хэлбэл үндэс нь "гуравдагч этгээд" учраас энэ нь илт буруу юм.

Ийм таагүй бэрхшээлээс зайлсхийхийн тулд та тэгшитгэлийг шийдэж эхлэхээсээ өмнө ODZ-ийг бичих хэрэгтэй.

Дараа нь үндсийг нь хүлээн авсны дараа бид тэр даруй үндсийг нь хаяж, зөв ​​хариултыг бичнэ.

Жишээ 1(өөрөө шийдэхийг хичээ) :

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол. Хэрэв хэд хэдэн үндэс байгаа бол хариултдаа хамгийн жижигийг нь зааж өгнө үү.

Шийдэл:

Юуны өмнө ODZ-г бичье:

Одоо логарифм гэж юу болохыг санацгаая: аргументыг олж авахын тулд суурийг ямар хүчээр өсгөх хэрэгтэй вэ? Хоёр дахь руу. Энэ нь:

Жижиг үндэс нь тэнцүү юм шиг санагдаж байна. Гэхдээ энэ нь тийм биш юм: ODZ-ийн дагуу үндэс нь гаднах, өөрөөр хэлбэл энэ тэгшитгэлийн үндэс нь огт биш юм. Тиймээс тэгшитгэл нь зөвхөн нэг үндэстэй байна: .

Хариулт: .

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Логарифмын тодорхойлолтыг ерөнхий хэлбэрээр эргэн санацгаая.

Логарифмыг хоёр дахь тэгшитгэлд орлъё:

Энэ тэгш байдлыг гэж нэрлэдэг үндсэн логарифмын ижилсэл. Хэдийгээр энэ нь үндсэндээ тэгш байдал юм - зүгээр л өөрөөр бичсэн логарифмын тодорхойлолт:

Энэ бол таны авахын тулд өсгөх ёстой хүч юм.

Жишээ нь:

Дараах жишээнүүдийг шийднэ үү.

Жишээ 2.

Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл:

Хэсэг дэх дүрмийг санацгаая: өөрөөр хэлбэл хүчийг хүчирхэг болгон өсгөхөд илтгэгчийг үржүүлнэ. Үүнийг хэрэгжүүлье:

Жишээ 3.

Үүнийг нотол.

Шийдэл:

Логарифмын шинж чанарууд

Харамсалтай нь даалгаврууд нь үргэлж тийм ч энгийн байдаггүй - ихэнхдээ та эхлээд илэрхийлэлийг хялбарчилж, ердийн хэлбэрт оруулах хэрэгтэй бөгөөд зөвхөн дараа нь утгыг тооцоолох боломжтой болно. Хэрэв та мэддэг бол үүнийг хийх нь хамгийн хялбар юм логарифмын шинж чанарууд. Тиймээс логарифмын үндсэн шинж чанаруудыг сурцгаая. Би тэдгээрийг тус бүрээр нь батлах болно, учир нь хэрэв та хаанаас ирснийг мэдэж байвал аливаа дүрмийг санах нь илүү хялбар байдаг.

Эдгээр бүх шинж чанаруудыг санаж байх ёстой, тэдэнгүйгээр логарифмын ихэнх асуудлыг шийдэж чадахгүй.

Одоо логарифмын бүх шинж чанаруудын талаар илүү дэлгэрэнгүй.

Өмч 1:

Нотолгоо:

Тэгээд байг.

Бидэнд:, гэх мэт.

2-р шинж чанар: Логарифмын нийлбэр

Ижил суурьтай логарифмын нийлбэр нь бүтээгдэхүүний логарифмтай тэнцүү байна. .

Нотолгоо:

Тэгвэл байг. Тэгвэл байг.

Жишээ:Илэрхийллийн утгыг ол: .

Шийдэл: .

Таны дөнгөж сурсан томьёо нь ялгааг бус логарифмын нийлбэрийг хялбарчлахад тусалдаг тул эдгээр логарифмуудыг шууд нэгтгэх боломжгүй юм. Гэхдээ та эсрэгээр нь хийж болно - эхний логарифмыг хоёр болгон "хуваах": Энд амласан хялбарчлал байна:
.
Энэ яагаад хэрэгтэй вэ? За, жишээ нь: энэ нь юутай тэнцэх вэ?

Одоо энэ нь тодорхой боллоо.

Одоо Үүнийг өөрөө хялбарчлах:

Даалгаварууд:

Хариултууд:

3-р шинж чанар: Логарифмын ялгаа:

Нотолгоо:

Бүх зүйл 2-р зүйлтэй яг ижил байна:

Тэгээд байг.

Тэгээд байг. Бидэнд:

Өмнөх догол мөрний жишээ одоо бүр хялбар болсон:

Илүү төвөгтэй жишээ: . Та өөрөө яаж шийдэхээ бодож чадах уу?

Энд бид логарифмын квадратын талаархи ганц томьёо байхгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ бол илэрхийлэлтэй төстэй зүйл бөгөөд үүнийг шууд хялбарчлах боломжгүй юм.

Тиймээс логарифмын тухай томьёосоо түр завсарлаж, математикт ямар томьёог ихэвчлэн ашигладаг талаар бодож үзье? 7-р ангиасаа хойш!

Энэ -. Тэд хаа сайгүй байдаг гэдэгт та дасах хэрэгтэй! Эдгээр нь экспоненциал, тригонометрийн болон иррациональ бодлогод тохиолддог. Тиймээс тэдгээрийг санаж байх ёстой.

Хэрэв та эхний хоёр нэр томъёог сайтар ажиглавал энэ нь тодорхой болно квадратуудын ялгаа:

Шалгах хариулт:

Үүнийг өөрөө хялбарчлаарай.

Жишээ

Хариултууд.

4-р шинж чанар: Логарифмын аргументаас илтгэгчийг авах:

Нотолгоо:Энд бид логарифмын тодорхойлолтыг ашигладаг: let, тэгвэл. Бидэнд:, гэх мэт.

Энэ дүрмийг дараах байдлаар ойлгож болно.

Өөрөөр хэлбэл аргументийн зэрэг нь логарифмын өмнө коэффициент болгон шилждэг.

Жишээ:Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл: .

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Жишээ нь:

Хариултууд:

5-р шинж чанар: Логарифмын суурийн илтгэгчийг авах:

Нотолгоо:Тэгээд байг.

Бидэнд:, гэх мэт.
Санаж байна уу: -аас үндэслэлзэрэг нь дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ эсрэгээрээөмнөх тохиолдлоос ялгаатай нь тоо!

6-р шинж чанар: Логарифмын суурь ба аргументаас илтгэгчийг хасах:

Эсвэл зэрэг нь ижил байвал: .

Өмч 7: Шинэ суурь руу шилжих:

Нотолгоо:Тэгээд байг.

Бидэнд:, гэх мэт.

8-р шинж чанар: Логарифмын суурь ба аргументыг соль.

Нотолгоо:Энэ бол 7-р томьёоны онцгой тохиолдол: хэрэв бид орлуулбал: гэх мэтийг авна.

Өөр хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 4.

Илэрхийллийн утгыг ол.

Бид 2-р логарифмын өмчийг ашигладаг - ижил суурьтай логарифмын нийлбэр нь бүтээгдэхүүний логарифмтай тэнцүү байна.

Жишээ 5.

Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл:

Бид 3 ба 4-р логарифмын шинж чанарыг ашигладаг.

Жишээ 6.

Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл:

7-р өмчийг ашиглацгаая - 2-р суурь руу шилжинэ:

Жишээ 7.

Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл:

Нийтлэл танд хэр таалагдаж байна вэ?

Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол нийтлэлийг бүхэлд нь уншсан гэсэн үг.

Энэ бол дажгүй!

Одоо энэ нийтлэл танд хэр таалагдаж байгааг хэлээч?

Та логарифмыг хэрхэн шийдэж сурсан уу? Хэрэв тийм биш бол ямар асуудал байна вэ?

Доорх сэтгэгдэл дээр бидэнд бичээрэй.

Тийм ээ, шалгалтанд тань амжилт хүсье.

Улсын нэгдсэн шалгалт ба улсын нэгдсэн шалгалтын тухай, ерөнхийдөө амьдрал дээр

үндсэн шинж чанарууд.

1. логакс + логай = лога(х у);
2. логакс − логай = лога (x: y).

ижил үндэслэлүүд

Log6 4 + log6 9.

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье.

Логарифмыг шийдвэрлэх жишээ

Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x >

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Мөн үзнэ үү:

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7-той тэнцүү бөгөөд Лео Николаевич Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Энэ дүрмийг мэдсэнээр та экспонентийн яг тодорхой утга, Лев Толстойн төрсөн он сар өдрийг хоёуланг нь мэдэх болно.

Логарифмын жишээ

Логарифмын илэрхийллүүд

Жишээ 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 шинж чанарыг ашиглан бид тооцоолно

2.

3.

Жишээ 2. Хэрэв x-г ол

Жишээ 3. Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифмууд нь яг энгийн тоо биш тул энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.

Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - тэдгээргүйгээр логарифмын ноцтой асуудлыг шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. логакс + логай = лога(х у);
2. логакс − логай = лога (x: y).

Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!

Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Логарифм нь ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлүүдийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөлтгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооны хэмжээг эрс багасгах болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур. , өөрөөр хэлбэл Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваагч нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг хүчирхэг байх болно: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:

Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг.

Логарифмын томъёо. Логарифмын шийдлийн жишээ.

Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний хариу нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тохируулбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг болохыг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:

Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёонууд бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: .

Үнэн хэрэгтээ, b тоог ийм зэрэгт аваачвал, энэ түвшний b тоо нь а тоог өгдөг бол юу болох вэ? Энэ нь зөв: үр дүн нь ижил тоо юм. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн үүнд гацдаг.

Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log25 64 = log5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ нь Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.

1. logaa = 1 байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
2. лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Мөн үзнэ үү:

a суурийн b-ийн логарифм нь илэрхийллийг илэрхийлнэ. Логарифмыг тооцоолох гэдэг нь тэгш байдал хангагдах x () хүчийг олох гэсэн үг юм

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмтай холбоотой бараг бүх асуудал, жишээг тэдгээрийн үндсэн дээр шийддэг тул дээрх шинж чанаруудыг мэдэх шаардлагатай. Үлдсэн чамин шинж чанаруудыг эдгээр томъёогоор математикийн аргаар гаргаж авах боломжтой

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Логарифмын нийлбэр ба зөрүүний томъёог (3.4) тооцоолохдоо та маш олон удаа тааралддаг. Үлдсэн хэсэг нь зарим талаараа төвөгтэй боловч хэд хэдэн даалгаварт нарийн төвөгтэй илэрхийллийг хялбарчлах, тэдгээрийн утгыг тооцоолоход зайлшгүй шаардлагатай байдаг.

Логарифмын нийтлэг тохиолдлууд

Зарим нийтлэг логарифмууд нь суурь нь бүр арав, экспоненциал эсвэл хоёр байдаг.
Аравтын суурийн логарифмыг ихэвчлэн аравтын бутархай логарифм гэж нэрлэдэг бөгөөд энгийнээр lg(x) гэж тэмдэглэдэг.

Бичлэгт үндсэн зүйл бичигдээгүй нь бичлэгээс тодорхой харагдаж байна. Жишээ нь

Натурал логарифм нь суурь нь илтгэгч (ln(x)-ээр тэмдэглэгдсэн) логарифм юм.

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7-той тэнцүү бөгөөд Лео Николаевич Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна. Энэ дүрмийг мэдсэнээр та экспонентийн яг тодорхой утга, Лев Толстойн төрсөн он сар өдрийг хоёуланг нь мэдэх болно.

Хоёр дахь суурийг тавих өөр нэг чухал логарифмыг дараах байдлаар тэмдэглэв

Функцийн логарифмын дериватив нь хувьсагчид хуваагдсантай тэнцүү байна

Интеграл эсвэл эсрэг дериватив логарифм нь хамаарлаар тодорхойлогддог

Өгөгдсөн материал нь логарифм, логарифмтай холбоотой өргөн хүрээний асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм. Материалыг ойлгоход тань туслахын тулд би сургуулийн сургалтын хөтөлбөр болон их дээд сургуулиудаас цөөн хэдэн нийтлэг жишээ хэлье.

Логарифмын жишээ

Логарифмын илэрхийллүүд

Жишээ 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 шинж чанарыг ашиглан бид тооцоолно

2.
Логарифмын ялгаварын шинж чанараар бид байна

3.
3.5 шинж чанарыг ашиглан бид олдог

Нарийн төвөгтэй мэт санагдах илэрхийлэлийг хэд хэдэн дүрмийг ашиглан хялбаршуулж хэлбэржүүлдэг

Логарифмын утгыг олох

Жишээ 2. Хэрэв x-г ол

Шийдэл. Тооцооллын хувьд бид сүүлийн үеийн 5 ба 13 шинж чанаруудыг хэрэглэнэ

Бид үүнийг бичлэгт оруулж, эмгэнэл илэрхийлдэг

Суурь нь тэнцүү тул бид илэрхийллүүдийг тэгшитгэдэг

Логарифм. Элсэлтийн түвшин.

Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Шийдэл: Хувьсагчийн логарифмыг авч, түүний нөхцлийн нийлбэрээр логарифмыг бичье.

Энэ бол бидний логарифм ба тэдгээрийн шинж чанаруудтай танилцах эхлэл юм. Тооцоолол хийж, практик ур чадвараа баяжуулаарай - логарифм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд олж авсан мэдлэг тань удахгүй хэрэг болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх үндсэн аргуудыг судалсны дараа бид таны мэдлэгийг өөр нэг чухал сэдэв болох логарифмын тэгш бус байдлын талаар өргөжүүлэх болно.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифмууд нь яг энгийн тоо биш тул энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.

Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - тэдгээргүйгээр логарифмын ноцтой асуудлыг шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. логакс + логай = лога(х у);
2. логакс − логай = лога (x: y).

Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!

Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log6 4 + log6 9.

Логарифм нь ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлүүдийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөлтгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооны хэмжээг эрс багасгах болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур. , өөрөөр хэлбэл Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно.

Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ

Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваагч нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг хүчирхэг байх болно: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:

Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний хариу нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тохируулбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг болохыг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:

Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёонууд бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: .

Үнэн хэрэгтээ, b тоог ийм зэрэгт аваачвал, энэ түвшний b тоо нь а тоог өгдөг бол юу болох вэ? Энэ нь зөв: үр дүн нь ижил тоо юм. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн үүнд гацдаг.

Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log25 64 = log5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ нь Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.

1. logaa = 1 байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
2. лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Та бүхний мэдэж байгаагаар илэрхийлэлийг зэрэглэлээр үржүүлэхэд тэдгээрийн илтгэгч нь үргэлж нэмэгддэг (a b *a c = a b+c). Энэхүү математикийн хуулийг Архимед гаргаж авсан бөгөөд хожим 8-р зуунд математикч Вирасен бүхэл тоон үзүүлэлтийн хүснэгтийг бүтээжээ. Тэд л логарифмын цаашдын нээлтэд үйлчилсэн хүмүүс юм. Энэ функцийг ашиглах жишээг энгийн нэмэх замаар үржүүлгийг хялбарчлах шаардлагатай бараг бүх газраас олж болно. Хэрэв та энэ нийтлэлийг уншихад 10 минут зарцуулбал бид логарифм гэж юу болох, түүнтэй хэрхэн ажиллах талаар тайлбарлах болно. Энгийн бөгөөд хүртээмжтэй хэлээр.

Математик дахь тодорхойлолт

Логарифм нь дараах хэлбэрийн илэрхийлэл юм: log a b=c, өөрөөр хэлбэл аливаа сөрөг бус тооны (өөрөөр хэлбэл аливаа эерэг) "b"-ийн логарифмыг түүний "a" суурьтай харьцуулсан логарифмыг "c" гэж үзнэ. ” эцэст нь "b" утгыг авахын тулд "a" суурийг өсгөх ёстой. Логарифмд жишээн дээр дүн шинжилгээ хийцгээе, илэрхийлэл байна гэж бодъё лог 2 8. Хариултыг хэрхэн олох вэ? Энэ нь маш энгийн, та 2-оос шаардагдах хүч хүртэл 8-ыг авах хүчийг олох хэрэгтэй. Толгойдоо хэд хэдэн тооцоо хийсний дараа бид 3-ын тоог авна! Энэ нь үнэн, учир нь 2-ыг 3-ын зэрэглэлд 8 гэж хариулах болно.

Логарифмын төрлүүд

Олон сурагч, оюутнуудын хувьд энэ сэдэв нь төвөгтэй, ойлгомжгүй мэт санагддаг, гэхдээ үнэндээ логарифм нь тийм ч аймшигтай биш бөгөөд гол зүйл бол тэдгээрийн ерөнхий утгыг ойлгож, шинж чанар, зарим дүрмийг санах явдал юм. Гурван төрлийн логарифмын илэрхийлэл байдаг:

1. Натурал логарифм ln a, суурь нь Эйлерийн тоо (e = 2.7).
2. Аравтын тоо a, суурь нь 10.
3. a>1 суурьтай дурын b тооны логарифм.

Тэдгээр нь тус бүрийг логарифмын теоремуудыг ашиглан хялбаршуулах, багасгах, дараа нь нэг логарифм болгон бууруулах зэрэг стандарт аргаар шийдэгддэг. Логарифмын зөв утгыг олж авахын тулд тэдгээрийг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийн шинж чанар, үйлдлийн дарааллыг санах хэрэгтэй.

Дүрэм ба зарим хязгаарлалт

Математикийн хувьд аксиом гэж хүлээн зөвшөөрөгдсөн хэд хэдэн дүрэм-хязгаарлалтууд байдаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг хэлэлцэх боломжгүй бөгөөд үнэн юм. Жишээлбэл, тоонуудыг тэг болгон хуваах боломжгүй, сөрөг тооны тэгш язгуурыг гаргаж авах боломжгүй юм. Логарифмууд нь өөрийн гэсэн дүрмүүдтэй байдаг бөгөөд үүнийг дагаснаар та урт, багтаамжтай логарифмын илэрхийлэлтэй ч хялбархан ажиллаж сурах боломжтой.

• "a" суурь нь үргэлж тэгээс их байх ёстой бөгөөд 1-тэй тэнцүү биш байх ёстой, эс тэгвээс илэрхийлэл утгаа алдах болно, учир нь "1" ба "0" нь ямар ч хэмжээгээр тэдгээрийн утгатай тэнцүү байна;
• хэрэв a > 0 бол a b >0 бол "c" нь тэгээс их байх ёстой.

Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ?

Жишээлбэл, 10 x = 100 тэгшитгэлийн хариултыг олох даалгавар өгөгдсөн. Энэ нь маш амархан, та бидний 100 авах аравын тоог өсгөх замаар хүчийг сонгох хэрэгтэй. Энэ нь мэдээжийн хэрэг 10 2 = юм. 100.

Одоо энэ илэрхийлэлийг логарифм хэлбэрээр илэрхийлье. Бид лог 10 100 = 2-ыг авдаг. Логарифмыг шийдвэрлэхдээ өгөгдсөн тоог гаргахын тулд логарифмын суурийг оруулахад шаардлагатай хүчийг олохын тулд бүх үйлдлүүд практикт нийлдэг.

Үл мэдэгдэх зэргийн утгыг үнэн зөв тодорхойлохын тулд та градусын хүснэгттэй хэрхэн ажиллах талаар сурах хэрэгтэй. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

Таны харж байгаагаар, хэрэв та үржүүлэх хүснэгтийн талаар техникийн мэдлэгтэй, мэдлэгтэй бол зарим илтгэгчийг зөн совингоор таах боломжтой. Гэсэн хэдий ч илүү том утгуудын хувьд танд цахилгаан ширээ хэрэгтэй болно. Үүнийг математикийн нарийн төвөгтэй сэдвүүдийн талаар огт мэддэггүй хүмүүс ч ашиглаж болно. Зүүн баганад тоонууд (суурь a), тоонуудын дээд эгнээ нь а тоог өсгөсөн c чадлын утга юм. Уулзвар дээрх нүднүүдэд хариулт болох тоон утгуудыг агуулна (a c =b). Жишээлбэл, 10 тоотой хамгийн эхний нүдийг аваад квадрат болгоод бид хоёр нүдний уулзварт заасан 100 утгыг авна. Бүх зүйл маш энгийн бөгөөд хялбар байдаг тул хамгийн жинхэнэ хүмүүнлэгч хүртэл ойлгох болно!

Тэгшитгэл ба тэгш бус байдал

Тодорхой нөхцөлд экспонент нь логарифм болдог. Тиймээс аливаа математикийн тоон илэрхийллийг логарифмын тэгшитгэл гэж бичиж болно. Жишээлбэл, 3 4 =81-ийг 81-ийн суурь 3 логарифм гэж дөрөвтэй тэнцүү (лог 3 81 = 4) бичиж болно. Сөрөг хүчнүүдийн хувьд дүрэм нь адилхан: 2 -5 = 1/32 бид үүнийг логарифм хэлбэрээр бичвэл лог 2 (1/32) = -5 болно. Математикийн хамгийн сонирхолтой хэсгүүдийн нэг бол "логарифм" сэдэв юм. Бид тэдгээрийн шинж чанарыг судалсны дараа доорх тэгшитгэлийн жишээ, шийдлүүдийг авч үзэх болно. Одоо тэгш бус байдал ямар харагддаг, тэдгээрийг тэгшитгэлээс хэрхэн ялгах талаар авч үзье.

Дараах илэрхийлэл өгөгдсөн: log 2 (x-1) > 3 - үл мэдэгдэх "x" утга нь логарифмын тэмдгийн доор байгаа тул энэ нь логарифмын тэгш бус байдал юм. Мөн илэрхийлэлд хоёр хэмжигдэхүүнийг харьцуулсан болно: хоёрыг суурь болгохыг хүссэн тооны логарифм нь гурван тооноос их байна.

Логарифм тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын хоорондох хамгийн чухал ялгаа нь логарифм бүхий тэгшитгэлүүд (жишээлбэл, 2 x = √9 логарифм) хариултанд нэг буюу хэд хэдэн тодорхой тоон утгыг илэрхийлдэг бол тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ хүлээн зөвшөөрөгдөх мужууд хоёулаа байдаг. Энэ функцийг зөрчихөд утгууд ба цэгүүдийг тодорхойлно. Үүний үр дүнд хариулт нь тэгшитгэлийн хариулт шиг бие даасан тоонуудын энгийн багц биш, харин тасралтгүй цуваа эсвэл тооны багц юм.

Логарифмын тухай үндсэн теоремууд

Логарифмын утгыг олох энгийн даалгавруудыг шийдвэрлэхдээ түүний шинж чанарыг мэдэхгүй байж болно. Гэхдээ логарифмын тэгшитгэл буюу тэгш бус байдлын тухай ярихад юуны өмнө логарифмын бүх үндсэн шинж чанарыг тодорхой ойлгож, практикт хэрэглэх шаардлагатай. Бид дараа нь тэгшитгэлийн жишээг авч үзэх болно, эхлээд шинж чанар бүрийг нарийвчлан авч үзье.

1. Үндсэн таних тэмдэг нь дараах байдалтай байна: a logaB =B. Энэ нь зөвхөн a нь 0-ээс их, нэгтэй тэнцүү биш, В нь тэгээс их байх үед л хамаарна.
2. Бүтээгдэхүүний логарифмыг дараах томъёогоор илэрхийлж болно: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Энэ тохиолдолд заавал байх нөхцөл нь: d, s 1 ба s 2 > 0; a≠1. Та энэ логарифмын томъёоны нотолгоог жишээ болон шийдлээр өгч болно. log a s 1 = f 1 ба log a s 2 = f 2, дараа нь a f1 = s 1, a f2 = s 2 гэж бичье. Бид s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 гэдгийг олж авна. градус ), дараа нь тодорхойлолтоор: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, үүнийг батлах шаардлагатай.
3. Хэсгийн логарифм дараах байдалтай байна: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Томъёо хэлбэртэй теорем нь дараах хэлбэртэй байна: log a q b n = n/q log a b.

Энэ томьёог "логарифмын зэрэглэлийн шинж чанар" гэж нэрлэдэг. Энэ нь ердийн зэрэглэлийн шинж чанаруудтай төстэй бөгөөд бүх математик нь байгалийн постулат дээр суурилдаг тул энэ нь гайхмаар зүйл биш юм. Нотлох баримтыг харцгаая.

Лог a b = t гэж үзье, энэ нь a t =b болно. Хэрэв бид хоёр хэсгийг хоёуланг нь m хүртэл өсгөвөл: a tn = b n ;

гэхдээ a tn = (a q) nt/q = b n тул log a q b n = (n*t)/t, дараа нь log a q b n = n/q log a b. Теорем нь батлагдсан.

Асуудал ба тэгш бус байдлын жишээ

Логарифмын хамгийн түгээмэл төрлийн бодлого бол тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын жишээ юм. Эдгээр нь бараг бүх асуудлын номонд байдаг бөгөөд математикийн шалгалтын заавал байх ёстой хэсэг юм. Их сургуульд элсэх эсвэл математикийн элсэлтийн шалгалт өгөхийн тулд та ийм даалгаврыг хэрхэн зөв шийдвэрлэхээ мэдэх хэрэгтэй.

Харамсалтай нь логарифмын үл мэдэгдэх утгыг шийдвэрлэх, тодорхойлох нэг төлөвлөгөө, схем байхгүй ч математик тэгш бус байдал эсвэл логарифмын тэгшитгэл бүрт тодорхой дүрмийг хэрэглэж болно. Юуны өмнө та илэрхийллийг хялбаршуулж эсвэл ерөнхий хэлбэр болгон бууруулж болох эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэй. Хэрэв та тэдгээрийн шинж чанарыг зөв ашиглавал урт логарифмын илэрхийлэлийг хялбарчилж болно. Тэдэнтэй хурдан танилцацгаая.

Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бид ямар төрлийн логарифм байгааг тодорхойлох ёстой: жишээ илэрхийлэл нь натурал логарифм эсвэл аравтын нэгийг агуулж болно.

Энд ln100, ln1026 жишээнүүд байна. Тэдний шийдэл нь суурь 10 нь 100 ба 1026-тай тэнцүү байх хүчийг тодорхойлох шаардлагатай болдог. Байгалийн логарифмыг шийдэхийн тулд та логарифмын ижилсэл эсвэл тэдгээрийн шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй. Янз бүрийн төрлийн логарифмын асуудлыг шийдвэрлэх жишээг авч үзье.

Логарифмын томьёог хэрхэн ашиглах вэ: жишээ ба шийдэлтэй

Тиймээс, логарифмын талаархи үндсэн теоремуудыг ашиглах жишээг авч үзье.

1. Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг b тооны том утгыг энгийн хүчин зүйл болгон задлах шаардлагатай ажлуудад ашиглаж болно. Жишээлбэл, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Хариулт нь 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - Таны харж байгаачлан логарифмын чадлын дөрөв дэх шинж чанарыг ашиглан бид ээдрээтэй бөгөөд шийдвэрлэх боломжгүй мэт санагдах илэрхийлэлийг шийдэж чадсан. Та зөвхөн суурийг хүчин зүйлээр тооцож, дараа нь логарифмын тэмдгээс экспонентын утгыг авах хэрэгтэй.

Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар

Логарифмыг элсэлтийн шалгалтанд ихэвчлэн олдог, ялангуяа Улсын нэгдсэн шалгалтын олон логарифмын асуудлууд (бүх сургуулийн төгсөгчдийн улсын шалгалт). Ерөнхийдөө эдгээр даалгаврууд нь зөвхөн А хэсэгт (шалгалтын хамгийн хялбар туршилтын хэсэг) төдийгүй С хэсэгт (хамгийн төвөгтэй, том даалгавар) байдаг. Шалгалт нь "Байгалийн логарифм" сэдвийн талаар үнэн зөв, төгс мэдлэг шаарддаг.

Асуудлын жишээ, шийдлийг Улсын нэгдсэн шалгалтын албан ёсны хувилбаруудаас авсан болно. Ийм ажлууд хэрхэн шийдэгдэж байгааг харцгаая.

Өгөгдсөн лог 2 (2x-1) = 4. Шийдэл:
лог 2 (2x-1) = 2 2-ыг бага зэрэг хялбарчилж, илэрхийллийг дахин бичье, логарифмын тодорхойлолтоор бид 2x-1 = 2 4, тиймээс 2x = 17 болно; x = 8.5.

• Шийдэл нь төвөгтэй, төөрөгдөл биш байхын тулд бүх логарифмуудыг нэг суурь болгон багасгах нь хамгийн сайн арга юм.
• Логарифмын тэмдгийн дор байгаа бүх илэрхийлэл нь эерэг гэж тэмдэглэгдсэн тул логарифмын тэмдгийн доор байрлах илэрхийллийн илтгэгчийг үржүүлэгч болгон авах үед логарифмын доор үлдсэн илэрхийлэл эерэг байх ёстой.