Энэ нийтлэлийн тухай юм энгийн бутархай. Энд бид бүхэл бутархай гэсэн ойлголтыг танилцуулах бөгөөд энэ нь биднийг энгийн бутархайн тодорхойлолтод хүргэх болно. Дараа нь бид ердийн бутархайн хувьд хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээн дээр анхаарлаа хандуулж, бутархайн жишээг өгье, бутархайн хуваагч ба хуваагчийг хэлье. Үүний дараа бид зөв ба буруу, эерэг ба сөрөг бутархайн тодорхойлолтыг өгч, координатын туяа дээрх бутархай тоонуудын байрлалыг авч үзэх болно. Дүгнэж хэлэхэд бид үндсэн үйлдлүүдийг бутархайгаар жагсаав.
Хуудасны навигаци.
Бүхэл бүтэн хувьцаа
Эхлээд бид танилцуулъя хувьцааны тухай ойлголт.
Бидэнд хэд хэдэн туйлын ижил (өөрөөр хэлбэл тэнцүү) хэсгүүдээс бүрдсэн объект байна гэж бодъё. Тодорхой болгохын тулд, жишээ нь, алимыг хэд хэдэн тэнцүү хэсгүүдэд хуваасан, эсвэл хэд хэдэн тэнцүү зүсмэлүүдээс бүрдсэн жүржийг төсөөлж болно. Бүхэл бүтэн объектыг бүрдүүлдэг эдгээр тэнцүү хэсэг бүрийг нэрлэдэг бүхэл бүтэн хэсгүүдэсвэл зүгээр л хувьцаа.
Хувьцаа өөр гэдгийг анхаарна уу. Үүнийг тайлбарлая. Хоёр алим авцгаая. Эхний алимыг хоёр тэнцүү хэсэг болгон, хоёр дахь алимыг 6 тэнцүү хэсэг болгон хайчилж ав. Эхний алимны эзлэх хувь хоёр дахь алимныхоос өөр байх нь ойлгомжтой.
Бүхэл бүтэн объектыг бүрдүүлдэг хувьцааны тооноос хамааран эдгээр хувьцаанууд нь өөрийн гэсэн нэртэй байдаг. Үүнийг цэгцэлье цохилтын нэрс. Хэрэв объект хоёр хэсгээс бүрдэх бол тэдгээрийн аль нэгийг нь бүхэл зүйлийн хоёр дахь хэсэг гэж нэрлэдэг; хэрэв объект гурван хэсгээс бүрдэх бол тэдгээрийн аль нэгийг нь гуравны нэг хэсэг гэх гэх мэт.
Нэг секундын хувьцаа тусгай нэртэй байна - хагас. Гуравны нэг нь гэж нэрлэдэг гурав дахь, мөн дөрөвний нэг хэсэг - дөрөвний нэг.
Товчхон байх үүднээс дараахь зүйлийг танилцуулав. тэмдэг цохих. Хоёр дахь хувьцааны нэг нь буюу 1/2, гуравны нэг нь буюу 1/3; дөрөвний нэгийг хуваалцах - дуртай эсвэл 1/4 гэх мэт. Хэвтээ баар бүхий тэмдэглэгээг илүү олон удаа ашигладаг болохыг анхаарна уу. Материалыг бататгахын тулд өөр нэг жишээ хэлье: оруулга нь бүхэл бүтэн нэг зуун жаран долооны хэсгийг илэрхийлнэ.
Хувьцаа гэдэг ойлголт нь объектоос хэмжигдэхүүн хүртэл үргэлжилдэг. Жишээлбэл, уртын хэмжүүрүүдийн нэг нь метр юм. Нэг метрээс богино уртыг хэмжихийн тулд метрийн фракцыг ашиглаж болно. Тиймээс та жишээ нь хагас метр эсвэл метрийн аравны нэг буюу мянганы нэгийг ашиглаж болно. Бусад хэмжээний хувьцааг мөн адил хэрэглэнэ.
Энгийн бутархай, тодорхойлолт, бутархайн жишээ
Бидний ашигладаг хувьцааны тоог тодорхойлохын тулд энгийн бутархай. Энгийн бутархайн тодорхойлолтод ойртох боломжийг олгох жишээг өгье.
Жүржийг 12 хэсгээс бүрдүүлээрэй. Энэ тохиолдолд хувьцаа бүр бүхэл жүржийн арван хоёрны нэгийг төлөөлдөг, өөрөөр хэлбэл, . Бид хоёр цохилтыг , гурван цохилтыг гэж, гэх мэтээр, 12 цохилтыг бид гэж тэмдэглэнэ. Өгөгдсөн бичилт бүрийг энгийн бутархай гэж нэрлэдэг.
Одоо нэг генерал өгье энгийн бутархайн тодорхойлолт.
Энгийн бутархайн дуут тодорхойлолт нь бидэнд өгөх боломжийг олгодог энгийн бутархайн жишээ: 5/10, , 21/1, 9/4, . Мөн энд бичлэгүүд байна 
энгийн бутархайн тодорхойлолтод тохирохгүй, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь энгийн бутархай биш юм.
Тоолуур ба хуваагч
Тохиромжтой болгохын тулд энгийн фракцуудыг ялгадаг тоологч ба хуваагч.
Тодорхойлолт.
Тоологчэнгийн бутархай (m/n) нь натурал тоо m.
Тодорхойлолт.
Хуваагчэнгийн бутархай (m/n) нь натурал тоо n.
Тиймээс, тоологч нь бутархай шугамын дээр (ташуу зураасны зүүн талд), хуваагч нь бутархай шугамын доор (ташуу зураасны баруун талд) байрлана. Жишээ нь 17/29 энгийн бутархайг авч үзье, энэ бутархайн хуваагч нь 17, хуваагч нь 29 гэсэн тоо юм.
Энгийн бутархайн тоо болон хуваагчд агуулагдах утгыг хэлэлцэх л үлдлээ. Бутархайн хуваагч нь нэг объект хэдэн хэсгээс бүрдэхийг, харин тоологч нь эргээд ийм хэсгүүдийн тоог заадаг. Жишээлбэл, 12/5 бутархайн 5 хуваагч нь нэг объект таван хувьцаанаас бүрддэг, 12 тоологч нь 12 ийм хувьцаа авсан гэсэн үг юм.
Натурал тоог хуваагч 1-тэй бутархай
Энгийн бутархайн хуваагч нь нэгтэй тэнцүү байж болно. Энэ тохиолдолд объект нь хуваагдашгүй, өөрөөр хэлбэл энэ нь бүхэл бүтэн зүйлийг илэрхийлдэг гэж үзэж болно. Ийм бутархайн тоо нь хичнээн бүхэл объект авсныг заана. Иймд m/1 хэлбэрийн энгийн бутархай нь натурал m тооны утгатай байна. m/1=m тэгш байдлын үнэн зөвийг ингэж нотолсон.
Сүүлийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичье: m=m/1. Энэ тэгш байдал нь ямар ч натурал m тоог энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог. Жишээлбэл, 4 тоо нь 4/1 бутархай, 103,498 тоо нь 103,498/1 бутархайтай тэнцүү байна.
Тэгэхээр, дурын натурал тоо m-ийг 1 хуваарьтай энгийн бутархайгаар m/1 гэж дүрсэлж болох ба m/1 хэлбэрийн дурын энгийн бутархайг натурал m тоогоор сольж болно..
Бутархайн талбарыг хуваах тэмдэг болгон
Анхны объектыг n ширхэг хувьцаа хэлбэрээр илэрхийлэх нь n тэнцүү хэсэгт хуваагдахаас өөр зүйл биш юм. Нэг зүйлийг n ширхэг хувьцаанд хуваасны дараа бид үүнийг n хүнд тэнцүү хувааж болно - тус бүр нэг хувьцаа авах болно.
Хэрэв бид эхлээд m ижил объекттой бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь n ширхэг хуваагддаг бол бид эдгээр m объектыг n хүнд тэнцүү хувааж, хүн бүрт m объект тус бүрээс нэг хувийг өгч чадна. Энэ тохиолдолд хүн бүр 1/n-ийн m хувьцаатай байх ба 1/n-ийн m хувьцаа нь m/n энгийн бутархайг өгнө. Иймд m/n энгийн бутархайг n хүний хооронд m зүйлийг хуваахыг тэмдэглэж болно.
Ингэж бид энгийн бутархай ба хуваалтын хооронд тодорхой холболтыг олж авсан (натурал тоог хуваах ерөнхий санааг үзнэ үү). Энэ холболтыг дараах байдлаар илэрхийлнэ. бутархай шугамыг хуваах тэмдэг гэж ойлгож болно, өөрөөр хэлбэл m/n=m:n.
Энгийн бутархай ашиглан бүхэл хуваах боломжгүй хоёр натурал тоог хуваах үр дүнг бичиж болно. Жишээлбэл, 5 алимыг 8 хүнд хуваасны үр дүнг 5/8 гэж бичиж болно, өөрөөр хэлбэл хүн бүр алимны наймны тавыг авах болно: 5:8 = 5/8.
Тэгш ба тэгш бус бутархай, бутархайн харьцуулалт
Энэ нь нэлээд байгалийн үйл ажиллагаа юм бутархайг харьцуулах, учир нь жүржийн 1/12 нь 5/12-оос ялгаатай, алимны 1/6 нь энэ алимны 1/6-тай ижил байх нь ойлгомжтой.
Хоёр энгийн бутархайг харьцуулсны үр дүнд үр дүнгийн нэг нь гарна: бутархай нь тэнцүү эсвэл тэгш бус байна. Эхний тохиолдолд бидэнд байна тэнцүү энгийн бутархай, хоёрдугаарт - тэгш бус энгийн бутархай. Тэнцүү ба тэгш бус энгийн бутархайн тодорхойлолтыг өгье.
Тодорхойлолт.
тэнцүү, хэрэв a·d=b·c тэгшитгэл үнэн бол.
Тодорхойлолт.
a/b ба c/d хоёр энгийн бутархай тэнцүү биш, хэрэв a·d=b·c тэгшитгэл биелэхгүй бол.
Тэнцүү бутархайн зарим жишээ энд байна. Жишээлбэл, 1·4=2·2 (шаардлагатай бол натурал тоог үржүүлэх дүрэм, жишээг үзнэ үү) тул 1/2 энгийн бутархай нь 2/4-тэй тэнцүү байна. Тодорхой болгохын тулд та хоёр ижил алимыг төсөөлж болно, эхнийх нь хагас, хоёр дахь нь 4 хэсэгт хуваагдана. Алимны дөрөвний хоёр нь 1/2 хувьтай тэнцэх нь ойлгомжтой. Тэнцүү энгийн бутархайн бусад жишээ бол 4/7 ба 36/63 бутархай, 81/50 ба 1620/1000 бутархай хосууд юм.
Харин 4·14=56, 13·5=65, өөрөөр хэлбэл 4·14≠13·5 учраас 4/13 ба 5/14 энгийн бутархай тэнцүү биш байна. Тэгш бус энгийн бутархайн бусад жишээ бол 17/7 ба 6/4 бутархай юм.
Хэрэв хоёр энгийн бутархайг харьцуулж үзвэл тэдгээр нь тэнцүү биш бол та эдгээр энгийн бутархайн аль нь болохыг олж мэдэх хэрэгтэй. багаөөр, аль нь - илүү. Үүнийг олж мэдэхийн тулд жирийн бутархайг харьцуулах дүрмийг ашигладаг бөгөөд үүний мөн чанар нь харьцуулсан бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчирч, дараа нь тоологчдыг харьцуулах явдал юм. Энэ сэдвийн талаархи дэлгэрэнгүй мэдээллийг бутархай харьцуулах өгүүллээр цуглуулсан: дүрэм, жишээ, шийдэл.
Бутархай тоо
Бутархай бүр нь тэмдэглэгээ юм бутархай тоо. Өөрөөр хэлбэл, бутархай нь бутархай тооны "бүрхүүл", түүний гадаад төрх байдал бөгөөд бүх семантик ачаалал нь бутархай тоонд агуулагддаг. Гэхдээ товч бөгөөд хялбар байх үүднээс бутархай ба бутархай тоо гэсэн ойлголтуудыг нэгтгэж, зүгээр л бутархай гэж нэрлэдэг. Энд нэгэн алдартай хэллэгийг тайлбарлах нь зүйтэй: бид бутархай гэж хэлдэг - бид бутархай тоог хэлдэг, бутархай тоог хэлдэг - бид бутархай гэсэн үг юм.
Координатын туяа дээрх бутархай
Энгийн бутархайтай харгалзах бүх бутархай тоонууд нь өөрийн гэсэн өвөрмөц газартай байдаг, өөрөөр хэлбэл бутархай ба координатын цацрагийн цэгүүдийн хооронд нэгээс нэг харгалзах явдал байдаг.
Координатын туяа дээрх m/n бутархайд тохирох цэгт хүрэхийн тулд эх үүсвэрээс эерэг чиглэлд m хэрчмийг тусгаарлах шаардлагатай бөгөөд урт нь нэгж сегментийн 1/n хэсэгтэй тэнцүү байна. Ийм сегментийг нэгж сегментийг n тэнцүү хэсэгт хуваах замаар олж авах боломжтой бөгөөд үүнийг үргэлж луужин болон захирагч ашиглан хийж болно.
Жишээлбэл, координатын туяа дээр 14/10 бутархайтай тохирох M цэгийг үзүүлье. Жижиг зураасаар тэмдэглэгдсэн О цэг дээр төгсгөлтэй сегментийн урт нь нэгж сегментийн 1/10 байна. 14/10 координаттай цэгийг 14 сегментийн зайд гарал үүслээр нь арилгана.
Тэнцүү бутархай нь ижил бутархай тоотой тохирч байна, өөрөөр хэлбэл тэнцүү бутархай нь координатын туяа дээрх ижил цэгийн координат юм. Жишээлбэл, 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 координатууд нь координатын цацрагийн нэг цэгтэй тохирч байна, учир нь бүх бичигдсэн бутархайнууд тэнцүү байна (энэ нь байрлуулсан нэгжийн хагасын зайд байрладаг). гарал үүслээс эерэг чиглэлд).
Хэвтээ ба баруун тийш чиглэсэн координатын цацраг дээр координат нь том бутархай цэг нь координат нь жижиг бутархай цэгийн баруун талд байрлана. Үүний нэгэн адил жижиг координаттай цэг нь том координаттай цэгийн зүүн талд байрладаг.
Зөв ба буруу бутархай, тодорхойлолт, жишээ
Энгийн фракцуудын дунд байдаг зөв ба буруу бутархай. Энэ хуваалт нь тоологч ба хуваагч хоёрын харьцуулалт дээр суурилдаг.
Зөв ба буруу жирийн бутархайг тодорхойлъё.
Тодорхойлолт.
Зөв бутархайнь хуваагчаас бага энгийн бутархай, өөрөөр хэлбэл m Тодорхойлолт.
Буруу бутархайнь хуваагчаас их буюу тэнцүү байх энгийн бутархай, өөрөөр хэлбэл m≥n бол энгийн бутархай буруу байна. Зөв бутархайн зарим жишээ энд байна: 1/4, , 32,765/909,003. Үнэн хэрэгтээ, бичигдсэн энгийн бутархай бүрийн тоо нь хуваагчаас бага байдаг (шаардлагатай бол натурал тоог харьцуулах өгүүллийг үзнэ үү), тиймээс тэдгээр нь тодорхойлолтоор зөв юм. Бутархай бутархайн жишээ энд байна: 9/9, 23/4, . Үнэн хэрэгтээ, бичигдсэн энгийн бутархайн эхнийх нь хуваагчтай тэнцүү, үлдсэн бутархайн хувьд хуваагч нь хуваагчаас их байна. Бутархайг нэгтэй харьцуулах үндсэн дээр зөв ба буруу бутархайн тодорхойлолтууд байдаг. Тодорхойлолт. зөв, хэрэв нэгээс бага бол. Тодорхойлолт. Энгийн бутархай гэж нэрлэдэг буруу, хэрэв энэ нь нэгтэй тэнцүү эсвэл 1-ээс их бол. Тэгэхээр 7/11 энгийн бутархай 7/11 зөв байна<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1 ба 27/27=1. Хуваарилагчаас их буюу тэнцүү тоологчтой энгийн бутархайнууд "зохисгүй" гэсэн нэрийг хэрхэн авах ёстойг бодоцгооё. Жишээлбэл, 9/9 буруу бутархайг авъя. Энэ бутархай нь есөн хэсгээс бүрдэх объектын есөн хэсгийг авдаг гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл, байгаа есөн хэсгээс бид бүхэл бүтэн объектыг бүрдүүлж чадна. Өөрөөр хэлбэл, 9/9-ийн буруу бутархай нь үндсэндээ бүхэл бүтэн объектыг өгдөг, өөрөөр хэлбэл 9/9 = 1. Ерөнхийдөө, хуваагчтай тэнцүү тоологчтой буруу бутархай нь нэг бүхэл объектыг илэрхийлэх бөгөөд ийм бутархайг натурал 1-ээр сольж болно. Одоо 7/3 ба 12/4 буруу бутархайг авч үзье. Эдгээр долоон гурав дахь хэсгээс бид хоёр бүхэл объектыг (нэг бүхэл бүтэн объект 3 хэсгээс бүрддэг, дараа нь хоёр бүхэл объектыг бүтээхэд 3 + 3 = 6 хэсэг хэрэгтэй болно) гуравны нэг хэсэг үлдэх нь тодорхой байна. . Өөрөөр хэлбэл, 7/3 буруу бутархай нь үндсэндээ 2 объект, мөн ийм объектын 1/3 гэсэн үг юм. Мөн дөрөвний арван хоёр хэсгээс бид гурван бүхэл бүтэн объект (тус бүр нь дөрвөн хэсэгтэй гурван объект) хийж болно. Өөрөөр хэлбэл, 12/4 гэсэн хэсэг нь үндсэндээ 3 бүхэл объект гэсэн үг юм. Үзсэн жишээнүүд нь биднийг дараахь дүгнэлтэд хүргэж байна: буруу бутархайг натурал тоогоор, тоологчийг хуваагчаар (жишээлбэл, 9/9 = 1 ба 12/4 = 3) тэнцүү хуваасан үед эсвэл нийлбэрээр сольж болно. натурал тоо ба зохих бутархай, хуваагч нь хуваагчдаа жигд хуваагддаггүй үед (жишээ нь: 7/3=2+1/3). Магадгүй энэ нь зөв бус фракцуудад "тогтмол бус" гэсэн нэрийг олж авсан зүйл юм. Бутархай бутархайг натурал тоо ба зөв бутархайн (7/3=2+1/3) нийлбэрээр дүрслэх нь онцгой анхаарал татаж байна. Энэ процессыг бүхэл бүтэн хэсгийг буруу бутархайгаас салгах гэж нэрлэдэг бөгөөд тусад нь, илүү анхааралтай авч үзэх шаардлагатай. Бутархай бутархай болон холимог тоонуудын хооронд маш нягт холбоо байдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энгийн бутархай бүр эерэг бутархай тоотой тохирч байна (эерэг ба сөрөг тоонуудын тухай өгүүллийг үзнэ үү). Энэ нь энгийн бутархайнууд юм эерэг бутархай. Жишээлбэл, энгийн бутархай 1/5, 56/18, 35/144 эерэг бутархай байна. Бутархайн эерэг талыг тодруулах шаардлагатай бол урд нь нэмэх тэмдэг тавьдаг, жишээ нь +3/4, +72/34. Хэрэв та энгийн бутархайн өмнө хасах тэмдэг тавьсан бол энэ оруулга нь сөрөг бутархай тоотой тохирно. Энэ тохиолдолд бид ярьж болно сөрөг бутархай. Сөрөг бутархайн зарим жишээ энд байна: −6/10, −65/13, −1/18. Эерэг ба сөрөг бутархай m/n ба −m/n нь эсрэг тоонууд юм. Жишээлбэл, 5/7 ба -5/7 бутархай нь эсрэг талын бутархай юм. Эерэг бутархай, ерөнхийдөө эерэг тоонууд нь нэмэлт, орлого, аливаа үнэ цэнийн өсөлт гэх мэтийг илэрхийлдэг. Сөрөг бутархай нь зардал, өр эсвэл аливаа тоо хэмжээ буурахтай тохирч байна. Жишээлбэл, −3/4 сөрөг хэсгийг 3/4-тэй тэнцэх өр гэж ойлгож болно. Хэвтээ ба баруун чиглэлд сөрөг фракцууд эхийн зүүн талд байрлана. Координатууд нь эерэг бутархай m/n ба сөрөг −m/n хэсэг болох координатын шугамын цэгүүд нь эх цэгээс ижил зайд, харин О цэгийн эсрэг талд байрлана. Энд 0/n хэлбэрийн бутархай хэсгүүдийг дурдах нь зүйтэй. Эдгээр бутархайнууд нь тэг тоотой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл 0/n=0. Эерэг бутархай, сөрөг бутархай, 0/n бутархайнууд нийлж рационал тоог үүсгэдэг. Бид энгийн бутархайтай нэг үйлдлийг - бутархайг харьцуулах талаар дээр дурдсан. Өөр дөрвөн арифметик функцийг тодорхойлсон бутархайтай үйлдлүүд– бутархайг нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах. Тэдгээрийг тус бүрээр нь харцгаая. Бутархайтай үйлдлийн ерөнхий мөн чанар нь натурал тоонуудтай харгалзах үйлдлүүдийн мөн чанартай төстэй юм. Нэг зүйрлэл хийцгээе. Бутархайг үржүүлэхбутархайгаас бутархайг олох үйлдэл гэж үзэж болно. Үүнийг тодруулахын тулд жишээ татъя. Бид алимны 1/6-ийг авъя, бид 2/3-ыг нь авах хэрэгтэй. Бидэнд хэрэгтэй хэсэг нь 1/6 ба 2/3 бутархайг үржүүлсний үр дүн юм. Хоёр энгийн бутархайг үржүүлсний үр дүн нь энгийн бутархай (тусгай тохиолдолд энэ нь натурал тоотой тэнцүү) юм. Дараа нь бид бутархайг үржүүлэх - Дүрэм, жишээ, шийдэл гэсэн нийтлэл дэх мэдээллийг судлахыг зөвлөж байна. Ном зүй. § 1 Аравтын бутархай Энэ хичээлээр та аравтын бутархайн тухай ойлголттой танилцах, түүний түүхтэй танилцах, аравтын бутархайг уншиж бичих, 10, 100, 1000 хуваарьтай энгийн бутархайг хөрвүүлэх гэх мэт сурах болно. аравтын бутархай болон эсрэгээр. Тэгэхээр аравтын бутархай гэж юу вэ? Энэ нь хуваагч нь 10, 100, 1000, 10000 гэх мэт энгийн бутархай бичих хэлбэр болох нь харагдаж байна. 1 нь хэд хэдэн тэгтэй. Эхлээд бүхэл хэсгийг, дараа нь бутархай хэсгийн дугаарыг бичиж, бүхэл хэсгийг бутархайгаас таслалаар тусгаарлана. Жишээлбэл, 12 цэг 7-г 12.7 гэж бичнэ. Өөр нэг жишээ: 8 цэг 156 мянганы нэг нь 8.156. Гэхдээ бүхэл бүтэн хэсэг байхгүй бол яах вэ? Энэ нь бутархай зөв үү? Дараа нь бүх хэсгийг 0 гэж бичнэ! Жишээлбэл, 17 зуу = 0.17. § 2 10, 100, 1000 гэх мэт хуваагчтай энгийн бутархайн орчуулга. аравтын бутархай болон эсрэгээр Анхаар! Аравтын бутархайг зөв бичихийн тулд бутархайн хуваагч нь тэгтэй тэнцүү тооны цифртэй байх ёстой. Тиймээс бутархай Өөр нэг жишээ: 3 сая дахь бутархайг аравтын тэмдэглэгээгээр хэрхэн бичих вэ? Аравтын бутархайг зөв уншихын тулд бутархай хэсэгт байгаа цифр бүрийн нэрийг санах хэрэгтэй. Аравтын тоог аравтын бутархайн дараа эхний ээлжинд, хоёрдугаарт зуут, дараа нь мянгат, дараа нь арван мянга, дараа нь зуун мянга гэх мэтийг бичнэ. Жишээлбэл, энэ тоог (1234.5678) дараах байдлаар уншина: 1234 цэг 5678 арван мянга. Одоо та бутархайг аравтын бутархай руу хэрхэн хөрвүүлэхээ мэддэг болсон. Харин эсрэгээрээ яах вэ? Бас маш энгийн! Жишээлбэл, бид аравтын бутархай 1.5-ыг нэг цэг тав гэж уншаад дараах байдлаар бичиж болно. 1.05 бутархайг нэг цэг тав гэж уншаад дараах байдлаар бичнэ: 1 ба 1.005 бутархайг нэг цэгийн таван мянгад хуваах ба дараах байдлаар бичнэ. § 3 Аравтын бутархай үүссэн түүх Эртний Хятадад тэд аравтын тооллын системийг ашиглаж, уртын хэмжигдэхүүнийг ашиглан бутархайг үгээр тэмдэглэдэг байсан нь тогтоогджээ: чи, цуни, бутархай, дараалал, үс, нарийн ширхэгтэй, аалзны тор. 2.135436 хэлбэрийн нэг хэсэг нь дараах байдалтай байв: 2 хи, 1 кун, 3 дэлбээ, 5 энгийн, 4 үс, 3 хамгийн нарийн, 6 аалзны тор. Хоёр зууны турш бутархайг ингэж бичсээр ирсэн. Дараа нь 15-р зуунд тухайн үеийн томоохон эрдэмтэн Жамшид Гияседдин аль-Каши аравтын бутархайн тухай сургаалыг анх тайлбарлаж, бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг нэг мөрөнд бичиж, салгах шинэ тэмдэглэгээг нэвтрүүлсэн; бие биенээсээ босоо шугамаар эсвэл өөр өөр өнгийн бэхээр . Ойролцоогоор Европын математикчид аравтын бутархайн тэмдэглэгээг олохыг хичээж байв. Ашигласан уран зохиолын жагсаалт: Энгийн бутархайн тодорхойлолт Тодорхойлолт 1 Хэсгийн тоог тодорхойлоход энгийн бутархайг ашигладаг. Энгийн бутархайг тодорхойлоход ашиглаж болох жишээг авч үзье. Алимыг 8 долларын хувьцаанд хуваасан. Энэ тохиолдолд хувьцаа бүр нь бүхэл бүтэн алимны наймны нэгийг төлөөлдөг, өөрөөр хэлбэл $\frac(1)(8)$. Хоёр хувьцааг $\frac(2)(8)$, гурван хувьцааг $\frac(3)(8)$ гэх мэтээр, 8$-ыг $\frac(8)(8)$ гэж тэмдэглэнэ. Оруулсан бичлэг бүрийг дуудна энгийн бутархай. Энгийн бутархайн ерөнхий тодорхойлолтыг өгье. Тодорхойлолт 2 Энгийн бутархай$\frac(m)(n)$ хэлбэрийн тэмдэглэгээ гэж нэрлэгддэг ба $m$ ба $n$ нь дурын натурал тоо юм. Та энгийн бутархайн дараах тэмдэглэгээг ихэвчлэн олж болно: $m/n$. Жишээ 1 Энгийн бутархайн жишээ: \[(3)/(4), \frac(101)(345),\ \ (23)/(5), \frac(15)(15), (111)/(81).\] Тайлбар 1 Тоонууд $\frac(\sqrt(2))(3)$, $-\frac(13)(37)$, $\frac(4)(\frac(2)(7))$, $\frac( 2,4)(8,3)$ нь энгийн бутархай биш, учир нь дээрх тодорхойлолтод тохирохгүй байна. Энгийн бутархай нь тоологч ба хуваагчаас бүрдэнэ. Тодорхойлолт 3 ТоологчЭнгийн бутархай $\frac(m)(n)$ нь натурал тоо $m$ бөгөөд нэг бүхэлээс авсан тэнцүү хэсгүүдийн тоог харуулдаг. Тодорхойлолт 4 ХуваагчЭнгийн бутархай $\frac(m)(n)$ нь бүхэл бүтэн хэдэн тэнцүү хэсэгт хуваагдаж байгааг харуулдаг $n$ натурал тоо юм. Зураг 1. Тоолуур нь бутархай шугамаас дээш, хуваагч нь бутархай шугамын доор байрлана. Жишээлбэл, $\frac(5)(17)$ энгийн бутархайн хуваагч нь $5$, хуваагч нь $17$ байна. Хуваагч нь тухайн зүйлийг 17$-ын хувьцаанд хуваасан, тоологч нь 5$-ын ийм хувьцааг авч байгааг харуулж байна. Энгийн бутархайн хуваагч нь нэг байж болно. Энэ тохиолдолд объектыг хуваагдашгүй гэж үздэг, i.e. нэг цогцыг илэрхийлдэг. Ийм бутархайн тоологч нь хичнээн бүхэл объект авсныг харуулдаг. $\frac(m)(1)$ хэлбэрийн энгийн бутархай нь $m$ натурал тооны утгатай байна. Тиймээс бид $\frac(m)(1)=m$ үндэслэлтэй тэгш байдлыг олж авна. Хэрэв бид тэгш байдлыг $m=\frac(m)(1)$ хэлбэрээр дахин бичвэл ямар ч натурал $m$ тоог энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжтой болно. Жишээлбэл, $5$ тоог $\frac(5)(1)$ бутархай, $123\456$ тоог $\frac(123\456)(1)$ бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Иймд дурын натурал тоо $m$-ийг $1$ хуваагчтай энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болох ба $\frac(m)(1)$ хэлбэрийн дурын энгийн бутархайг $m$ натурал тоогоор сольж болно. Объектыг $n$ хэсэг хэлбэрээр дүрслэх нь $n$ тэнцүү хэсгүүдэд хуваагдана. Нэг зүйлийг $n$-д хуваасны дараа үүнийг $n$ хүмүүсийн хооронд тэнцүү хувааж болно - тус бүр нэг хувьцаа авах болно. $n$ хэсгүүдэд хуваагдсан $m$ ижил объектууд байг. Эдгээр $m$ зүйлсийг $m$ зүйл тус бүрээс нэг хүнд өгөх замаар $n$ хүмүүсийн дунд тэнцүү хувааж болно. Энэ тохиолдолд хүн бүр $\frac(1)(n)$-ийн $m$ хувьцаа авах бөгөөд энэ нь $\frac(m)(n)$ энгийн бутархайг өгдөг. Бид $\frac(m)(n)$ энгийн бутархайг $n$ хүмүүсийн хооронд $m$ зүйлийг хуваахыг тэмдэглэхэд ашиглаж болохыг олж мэдсэн. Энгийн бутархай ба хуваагдлын хоорондох холбоо нь бутархайн самбарыг хуваах тэмдэг гэж ойлгож болно, өөрөөр хэлбэл. $\фрак(м)(n)=m:n$. Энгийн бутархай нь бүхэл хуваагдал хийгдээгүй хоёр натурал тоог хуваах үр дүнг бичих боломжтой болгодог. Жишээ 2 Жишээлбэл, $7$ алимыг $9$ хүмүүст хуваах үр дүнг $\frac(7)(9)$ гэж бичиж болно, i.e. Хүн бүр алимны есийн долоог авах болно: $7:9=\frac(7)(9)$. Хоёр энгийн бутархайг харьцуулсны үр дүн нь тэдгээрийн тэгш байдал эсвэл тэгш бус байдал байж болно. Энгийн бутархайг тэнцүү гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл энгийн бутархайг тэгш бус гэж нэрлэдэг. тэнцүү, хэрэв $a\cdot d=b\cdot c$ тэгшитгэл үнэн бол. $\frac(a)(b)$ ба $\frac(c)(d)$ энгийн бутархайг нэрлэдэг. тэгш бус, хэрэв $a\cdot d=b\cdot c$ тэгшитгэл биелэхгүй бол. Жишээ 3 $\frac(1)(3)$ ба $\frac(2)(6)$ бутархайнууд тэнцүү эсэхийг олоорой. Тэгш байдал хангагдсан бөгөөд энэ нь $\frac(1)(3)$ ба $\frac(2)(6)$ бутархай тэнцүү байна: $\frac(1)(3)=\frac(2)( 6) доллар. Энэ жишээг алим ашиглан авч үзэж болно: хоёр ижил алимны нэг нь гурван тэнцүү хувьцаанд, хоёр дахь нь 6 долларын хувьцаанд хуваагдана. Алимны зургааны хоёр нь $\frac(1)(3)$-ын хувийг бүрдүүлдэг болохыг харж болно. Жишээ 4 $\frac(3)(17)$ ба $\frac(4)(13)$ энгийн бутархайнууд тэнцүү эсэхийг шалгана уу. $a\cdot d=b\cdot c$ тэгш байдал хангагдсан эсэхийг шалгая:
\ \ Тэгш байдал хангагдахгүй бөгөөд энэ нь $\frac(3)(17)$ ба $\frac(4)(13)$ бутархайнууд тэнцүү биш гэсэн үг: $\frac(3)(17)\ne \frac( 4)(13) доллар. Хоёр энгийн бутархайг харьцуулж, тэнцүү биш болохыг олж мэдснээр аль нь нөгөөгөөсөө том, аль нь жижиг болохыг олж мэдэх боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд энгийн бутархайг харьцуулах дүрмийг ашиглана: та бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчирч, дараа нь тэдгээрийн тоог харьцуулах хэрэгтэй. Аль бутархай нь илүү том тоологчтой байна, тэр бутархай нь том байх болно. Энгийн бутархайтай тохирох бүх бутархай тоог координатын туяа дээр харуулж болно. Координатын туяа дээрх $\frac(m)(n)$ бутархайтай тохирох цэгийг тэмдэглэхийн тулд координатын гарал үүслээс эерэг чиглэлд $m$ сегментүүдийг зурах шаардлагатай бөгөөд тэдгээрийн урт нь $\ байна. frac(1)(n)$ нэгж сегментийн бутархай . Ийм сегментийг нэгж сегментийг $n$ тэнцүү хэсгүүдэд хуваах замаар олж авдаг. Координатын цацраг дээр бутархай тоог харуулахын тулд нэгж сегментийг хэсэг болгон хуваах хэрэгтэй. Зураг 2. Тэнцүү бутархайг ижил бутархай тоогоор дүрсэлсэн, i.e. тэнцүү бутархай нь координатын туяа дээрх ижил цэгийн координатыг илэрхийлнэ. Жишээлбэл, $\frac(1)(3)$, $\frac(2)(6)$, $\frac(3)(9)$, $\frac(4)(12)$ координатууд Бүх бичигдсэн бутархайнууд тэнцүү тул координатын туяа дээрх ижил цэгтэй байна. Хэрэв цэгийг том бутархай координатаар дүрсэлсэн бол координат нь жижиг бутархай цэгээс баруун тийш чиглэсэн хэвтээ координатын туяа дээр баруун талд байрлана. Жишээлбэл, учир нь $\frac(5)(6)$ бутархай нь $\frac(2)(6)$ бутархайгаас их бол $\frac(5)(6)$ координаттай цэг нь баруун талд байрлана. $\frac(2) (6)$ координаттай цэг. Үүний нэгэн адил жижиг координаттай цэг нь том координаттай цэгийн зүүн талд байх болно. Нэгжийн бутархай ба хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ \frac(a)(b). Бутархайн тоологч (a)- бутархай шугамын дээр байрлах тоо, нэгж хуваагдсан хувьцааны тоог харуулсан тоо. Бутархай хуваагч (б)- бутархай шугамын доор байрлах тоо, нэгж хэдэн хэсэгт хуваагдаж байгааг харуулсан тоо. Нэвтрүүлгийг нуух
Хэрэв ad=bc бол хоёр бутархай болно \frac(a)(b)Тэгээд \frac(c)(d)тэнцүү гэж үздэг. Жишээлбэл, бутархайнууд тэнцүү байх болно \frac35Тэгээд \frac(9)(15), учир нь 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9, \frac(12)(7)Тэгээд \frac(24)(14), учир нь 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 . Бутархайн тэгш байдлын тодорхойлолтоос харахад бутархайнууд тэнцүү байх болно \frac(a)(b)Тэгээд \frac(am)(bm), учир нь a(bm)=b(am) нь натурал тоог үржүүлэхийн ассоциатив болон солигдох шинж чанаруудыг үйлдэл дээр ашиглах тод жишээ юм. гэсэн үг \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна бутархайн үндсэн шинж чанар. Өөрөөр хэлбэл, анхны бутархайн хуваагч ба хуваагчийг ижил натурал тоогоор үржүүлэх буюу хуваах замаар өгөгдсөнтэй тэнцэх бутархай авна. Бутархай хэсгийг багасгахгэдэг нь шинэ бутархай нь анхныхтай тэнцүү, гэхдээ бага тоо болон хуваагчтай бутархайг солих үйл явц юм. Бутархайн үндсэн шинж чанарт үндэслэн бутархайг багасгах нь заншилтай байдаг. Жишээлбэл, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(тоологч ба хуваагчийг 3 тоогоор хуваана); үүссэн бутархайг 5-д хуваах замаар дахин багасгаж болно, өөрөөр хэлбэл \frac(15)(20)=\frac 34. Буурах боломжгүй бутархайхэлбэрийн нэг хэсэг юм \frac 34, энд тоологч ба хуваагч нь харилцан анхны тоонууд байна. Бутархайг багасгах гол зорилго нь бутархайг багасгах боломжгүй болгох явдал юм. Хоёр бутархайг жишээ болгон авч үзье. \frac(2)(3)Тэгээд \frac(5)(8) 3 ба 8 өөр хуваагчтай. Эдгээр бутархайг нийтлэг хуваагчтай болгохын тулд эхлээд бутархайн хуваагч ба хуваагчийг үржүүлнэ. \frac(2)(3) 8 гэхэд. Бид дараах үр дүнг авна. \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Дараа нь бид бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг үржүүлнэ \frac(5)(8) 3-аар. Үүний үр дүнд бид: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Тиймээс анхны бутархайг нийтлэг хуваагч 24 болгон бууруулна. a) Хэрэв хуваагч ижил байвал эхний бутархайг хоёр дахь бутархайн хуваагч дээр нэмж, хуваагчийг хэвээр үлдээнэ. Та жишээн дээр харж болно: \frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b); б) Өөр өөр хуваагчийн хувьд бутархайг эхлээд нийтлэг хуваагч болгон бууруулж, дараа нь а дүрмийн дагуу тоологчдыг нэмнэ: \frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12). a) Хэрэв хуваагч ижил байвал эхний бутархайн хуваагчаас хоёр дахь бутархайг хасч, хуваагчийг ижил хэвээр үлдээнэ. \frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b); б) Хэрэв бутархайн хуваагч өөр байвал эхлээд бутархайг нийтлэг хуваагч руу аваачиж, дараа нь а) цэгийн адил үйлдлийг давтана. Бутархайг үржүүлэх нь дараах дүрмийг баримтална. \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d), өөрөөр хэлбэл, тоологч ба хуваагчийг тус тусад нь үржүүлдэг. Жишээлбэл: \frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40). Бутархайг дараахь байдлаар хуваана. \frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc), өөрөөр хэлбэл бутархай \frac(a)(b)бутархайгаар үржүүлсэн \frac(d)(c). Жишээ: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2). Хэрэв ab=1 бол b тоо байна харилцан тоо a дугаарын хувьд. Жишээ нь: 9-ийн тооны хувьд харилцан адилгүй \frac(1)(9), учир нь 9\cdot\frac(1)(9)=1, 5 дугаарын хувьд - \frac(1)(5), учир нь 5\cdot\frac(1)(5)=1. Аравтынхуваагч нь 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n байх зөв бутархай гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл: \frac(6)(10)=0.6;\enspace \frac(44)(1000)=0.044. 10^n хуваарьтай жигд бус тоо эсвэл холимог тоонуудыг мөн адил бичнэ. Жишээлбэл: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63. 10-ын тодорхой зэрэгт хуваагч хуваагчтай аливаа энгийн бутархайг аравтын бутархайгаар илэрхийлнэ. Жишээ: 5 нь 100-ын хуваагч тул бутархай болно \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0.2. Хоёр аравтын бутархай нэмэхийн тулд та тэдгээрийг бие биенийхээ доор ижил цифрүүд, таслал дор таслал байхаар цэгцэлж, энгийн тоонуудын адил бутархайг нэмэх хэрэгтэй. Үүнийг нэмэхтэй ижил аргаар гүйцэтгэдэг. Аравтын бутархай тоог үржүүлэхдээ таслалыг анхаарч үзэхгүй (натурал тоо гэх мэт) өгөгдсөн тоог үржүүлэхэд хангалттай бөгөөд үр дүнд нь баруун талд байгаа таслал нь хоёр хүчин зүйлийн аравтын бутархайн араас хэдэн цифрийг тусгаарлана. нийтдээ. 2.7-г 1.3-аар үржүүлье. Бидэнд 27 \cdot 13=351 байна. Бид баруун талд байгаа хоёр цифрийг таслалаар тусгаарладаг (эхний болон хоёр дахь тоо нь аравтын бутархайн дараа нэг оронтой; 1+1=2). Үүний үр дүнд бид 2.7 \cdot 1.3=3.51 болно. Хэрэв үр дүн нь таслалаар тусгаарлах шаардлагатай хэмжээнээс цөөн цифр агуулсан байвал дутуу тэгийг урд нь бичнэ, жишээлбэл: 10, 100, 1000-аар үржүүлэхийн тулд аравтын бутархай 1, 2, 3 цифрийг баруун тийш шилжүүлэх шаардлагатай (шаардлагатай бол баруун талд тодорхой тооны тэг онооно). Жишээ нь: 1.47\cdot 10\,000 = 14,700. Аравтын бутархайг натурал тоонд хуваах нь натурал тоог натурал тоонд хуваахтай ижил аргаар хийгддэг. Бүхэл хэсгийг хувааж дууссаны дараа таслалыг байрлуулна. Хэрэв ногдол ашгийн бүхэл хэсэг нь хуваагчаас бага бол хариулт нь тэг бүхэл тоо болно, жишээлбэл: Аравтын бутархайг аравтын бутархайд хуваахыг харцгаая. 2.576-г 1.12-т хуваах хэрэгтэй гэж бодъё. Юуны өмнө бутархайн ногдол ашиг ба хуваагчийг 100-аар үржүүлье, өөрөөр хэлбэл, бутархайн бутархайн аравтын бутархайн аравтын бутархайн аравтын бутархайн аравтын бутархай, хуваагч дахь аравтын бутархайг баруун тийш шилжүүлье (энэ жишээнд). , хоёр). Дараа нь та 257.6 бутархайг натурал тоо 112-т хуваах хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл асуудлыг аль хэдийн авч үзсэн тохиолдолд багасгасан болно. Нэг тоог нөгөө тоогоор хуваахад эцсийн аравтын бутархай үргэлж байдаггүй. Үр дүн нь төгсгөлгүй аравтын бутархай юм. Ийм тохиолдолд бид энгийн бутархай руу шилждэг. 2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9). Бутархай- математикт тоог илэрхийлэх хэлбэр. Бутархай мөр нь хуваах үйлдлийг илэрхийлнэ. Тоологчбутархайг ногдол ашиг гэж нэрлэдэг ба хуваагч- хуваагч. Жишээлбэл, бутархайн тоологч нь 5, хуваагч нь 7 байна. ЗөвТоолуурын модуль нь хуваагчийн модулиас их байвал бутархай гэж нэрлэдэг. Хэрэв бутархай зөв бол түүний утгын модуль үргэлж 1-ээс бага байна. Бусад бүх бутархай нь буруу. бутархай гэж нэрлэдэг холимог, хэрэв бүхэл тоо болон бутархай хэлбэрээр бичигдсэн бол. Энэ нь энэ тоо ба бутархайн нийлбэртэй ижил байна: Хэрэв бутархайн хуваагч ба хуваагчийг ижил тоогоор үржүүлбэл бутархайн утга өөрчлөгдөхгүй, жишээлбэл, Хоёр бутархайг нийтлэг хуваагч руу оруулахын тулд танд дараахь зүйл хэрэгтэй болно. Нэмэлт.Хоёр бутархай нэмэхийн тулд танд хэрэгтэй Жишээ: Хасах.Нэг бутархайг нөгөө хэсгээс хасахын тулд танд хэрэгтэй Жишээ: Үржүүлэх.Нэг бутархайг нөгөө бутархайгаар үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн тоо болон хуваагчийг үржүүлнэ. Хэлтэс.Нэг бутархайг нөгөөд хуваахын тулд эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайгаар үржүүлж, эхний бутархайг хоёр дахь бутархайгаар үржүүлнэ.Эерэг ба сөрөг бутархай
Бутархайтай үйлдлүүд
Францын математикч Франсуа Вьет “Математикийн канон” номондоо аравтын бутархай бичихдээ бутархай хэсгийг доогуур зурж, тооны бүхэл хэсгийн шугамын дээгүүр бичжээ. Орос улсад аравтын бутархайн тухай анхны системчилсэн мэдээллийг Магнитскийн арифметикээс олж болно. Бутархайн тэмдэглэгээнд таслалыг анх 1592 онд, 1617 онд хэрэглэж байжээ. Шотландын математикч Жон Непьер аравтын бутархайг бүхэл тооноос таслал эсвэл цэгээр тусгаарлахыг санал болгов. Аравтын бутархай Johannes Kepler бутархайн орчин үеийн тэмдэглэгээ, i.e. Иоханнес Кеплерийн санал болгосон бутархай таслалаас бүхэл тооны хэсгийг тусгаарлах. Тэд англиар ярьдаг улс орнуудад таслалын оронд цэг бичдэг.Тоолуур ба хуваагч
Натурал тоог хуваагч 1-тэй бутархай
Хуваах тэмдэг болгон бутархай бар
Тэгш ба тэгш бус бутархай, бутархайн харьцуулалт
Координатын туяа дээрх бутархай
Бутархайн үндсэн шинж чанар
Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах
Энгийн бутархай дээрх арифметик үйлдлүүд
Энгийн бутархайн нэмэх
Бутархайг хасах
Энгийн бутархайг үржүүлэх
Бутархайг хуваах
Харилцан тоо
Аравтын тоо
Аравтын бутархай дээрх арифметик үйлдлүүд
Аравтын тоо нэмэх
Аравтын тоог хасах
Аравтын тоог үржүүлэх
Аравтын хуваагдал
.png)
.png)
Бутархайн үндсэн шинж чанар
Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах
Бутархайтай үйлдлүүд
