Конусын эзэлхүүнийг пирамидын эзэлхүүнтэй ижил томъёогоор илэрхийлнэ: V = 1/3 S h,

V нь конусын эзэлхүүн, S нь конусын суурийн талбай, h- түүний өндөр.

Эцэст нь V = 1/3 πR 2 h, энд R нь конусын суурийн радиус юм.

Конусын эзэлхүүний томъёог олж авахыг дараах үндэслэлээр тайлбарлаж болно.

Конусыг өгье (зураг). Түүнд ердийн пирамид бичье, өөрөөр хэлбэл бид конус дотор орой нь конусын оройтой давхцах пирамид барина, суурь нь конусын суурь дээр бичээстэй ердийн олон өнцөгт байна.

Энэ пирамидын эзэлхүүнийг V’ = 1/3 S’ томъёогоор илэрхийлнэ. h, V нь пирамидын эзэлхүүн,

S' нь түүний суурийн талбай, h- пирамидын өндөр.

Хэрэв бид маш олон талтай олон өнцөгтийг пирамидын суурь болгон авбал пирамидын суурийн талбай нь тойргийн талбайгаас маш бага ялгаатай байх ба пирамидын эзэлхүүн конусын эзэлхүүнээс маш бага ялгаатай. Хэрэв бид эдгээр хэмжээтэй ялгааг үл тоомсорловол конусын эзэлхүүнийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

V=1/3S h, V нь конусын эзэлхүүн, S нь конусын суурийн талбай, h- конусын өндөр.

S-ийг πR 2-оор сольж, R нь тойргийн радиус бөгөөд бид томъёог авна: V = 1/3 πR 2 h, конусын эзэлхүүнийг илэрхийлэх.

Анхаарна уу.Томъёонд V = 1/3 S hОйролцоо биш, яг ижил тэгш байдлын шинж тэмдэг тавигдсан боловч хийсэн үндэслэлд үндэслэн бид үүнийг ойролцоо гэж үзэж болох боловч ахлах сургуульд тэгш байдал нотлогдсон.

V=1/3S hяг, ойролцоо биш.

Дурын конусын эзэлхүүн

Теорем. Дурын конусын эзэлхүүн нь суурийн талбай ба өндрийн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна. тэдгээр.

V = 1/3 QH, (1)

Энд Q нь суурийн талбай, H нь конусын өндөр юм.

S оройтой, Ф суурьтай конусыг авч үзье (Зураг).

Суурийн талбайг Φ Q, конусын өндөр нь H-тэй тэнцүү байг. Дараа нь олон өнцөгтүүдийн дараалал Φ байна. nболон F' n Q талбайтай nболон Q' nтиймэрхүү

Ф n⊂ Ф n⊂ Ф' nба \(\lim_(n \баруун сум \infty)\) Q’ n= \(\lim_(n \баруун сум \infty)\) А n= Q.

Дээд тал нь S, суурь нь F'-тэй пирамид гэдэг нь ойлгомжтой. nнь өгөгдсөн конус, S оройтой, Ф суурьтай пирамид бичээстэй байх болно n- конусын эргэн тойронд дүрслэгдсэн.

Эдгээр пирамидын эзэлхүүн нь тэнцүү байна

В n= 1/3 Q n H, V' n= 1/3 Q' nХ

\(\lim_(n \баруун сум \infty)\) V n= \(\lim_(n \баруун сум \infty)\) V’ n= 1/3 QH

Дараа нь томъёо (1) батлагдсан болно.

Үр дагавар. Суурь нь a ба b хагас тэнхлэг бүхий эллипс болох конусын эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолно.

V = 1/3π ab H (2)

Ялангуяа, Суурь нь радиустай тойрог болох конусын эзэлхүүн R, томъёогоор тооцоолно

V = 1/3 π R 2 H (3)

Энд H нь конусын өндөр.

Мэдэгдэж байгаагаар хагас тэнхлэг бүхий эллипсийн талбай АТэгээд бπ-тэй тэнцүү ab, тиймээс (2) томъёог (1) -ээс Q = π-ээр авна ab. Хэрэв a = b= R, дараа нь (3) томъёог авна.

Баруун дугуй конусын эзэлхүүн

Теорем 1. Өндөр H ба суурийн радиус R зөв дугуй конусын эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолно

V = 1/3 π R 2 H

Энэ конусыг тэнхлэгийн эргэн тойронд O(0; 0), B(H; 0), A(H; R) цэгүүдэд оройтой гурвалжинг эргүүлснээр олж авсан бие гэж үзэж болно. Өө(будаа.).

Гурвалжин OAB нь функцэд тохирох муруй шугаман трапец юм

y = R / H X, X∈ . Тиймээс бид сайн мэддэг томъёог ашиглан олж авдаг

$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R)(H)x)^2dx=\\=\frac(\pi R^2)(H^2)\cdot\frac (x^3)(3)\left|\begin(массив)(c)H\\\\ 0\end(массив)\баруун.=\\=\frac(1)(3)\pi R^2H $$

Үр дагавар. Зөв дугуй конусын эзэлхүүн нь суурийн талбай ба өндрийн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна. өөрөөр хэлбэл

хаана Q - суурь талбай, ба H - конусын өндөр.

Теорем 2. Суурийн радиус r ба R, H өндөртэй таслагдсан конусын эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолно.

V = 1/3 πH( r 2 + R 2 + r R).

Таслагдсан конусыг тэнхлэгийг тойрон эргүүлэх замаар олж авч болно Өөтрапец O ABC (зураг).

AB шулуун шугам нь цэгүүдийг дайран өнгөрдөг (0; r) ба (H; R) тул тэгшитгэлтэй байна

$$ y=\frac(R-r)(H)x + r $$

бид авдаг

$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R-r)(H)x + r)^2dx $$

Интегралыг тооцоолохын тулд бид орлуулалтыг хийдэг

$$ u=\frac(R-r)(H)x + r, du=\frac(R-r)(H)dx $$

Хэзээ нь ойлгомжтой X 0-ээс H хооронд хэлбэлздэг, хувьсагч Тэгээд-аас ялгаатай r R руу, тиймээс

$$ V=\pi\int_(r)^(R)u^2\frac(H)(R-r)du=\\=\frac(\pi H)(R-r)\cdot\frac(u^3) (3)\left|\begin(массив)(c)R\\\\ r\end(массив)\баруун.=\\=\frac(\pi H)(3(R-r))(R^3- r^3)=\\=\frac(1)(3)\pi H(R^2 + r^2 + Rr) $$

Геометр нь шинжлэх ухааны хувьд Эртний Египтэд үүсч, хөгжлийн өндөр түвшинд хүрсэн. Алдарт философич Платон Академийг үүсгэн байгуулж, тэнд байгаа мэдлэгийг системчлэх ажилд ихээхэн анхаарал хандуулсан. Конусыг геометрийн дүрсүүдийн нэг гэж анх Евклидийн алдарт "Элементүүд" зохиолд дурдсан байдаг. Евклид Платоны бүтээлүүдийг мэддэг байсан. Грек хэлнээс орчуулсан "конус" гэдэг үг нь "нарсны боргоцой" гэсэн утгатай гэдгийг өнөө үед цөөхөн хүн мэддэг. Александрид амьдарч байсан Грекийн математикч Евклид нь геометрийн алгебрыг үндэслэгч гэж зүй ёсоор тооцогддог. Эртний Грекчүүд зөвхөн египетчүүдийн мэдлэгийг залгамжлагч болсон төдийгүй онолыг ихээхэн өргөжүүлсэн.

Конусын тодорхойлолтын түүх

Геометр нь шинжлэх ухааны хувьд барилгын практик шаардлага, байгалийн ажиглалтаас үүссэн. Аажмаар туршилтын мэдлэгийг нэгтгэн дүгнэж, зарим биений шинж чанарыг бусдаар дамжуулан нотолсон. Эртний Грекчүүд аксиом, нотолгоо гэсэн ойлголтыг нэвтрүүлсэн. Аксиом бол практик арга хэрэгслээр олж авсан мэдэгдэл бөгөөд нотлох баримт шаарддаггүй.

Евклид номондоо конус гэдэг нь тэгш өнцөгт гурвалжинг түүний нэг хөлийг тойруулан эргүүлснээр олж авсан дүрс гэж тодорхойлсон байдаг. Тэрээр мөн конусын эзэлхүүнийг тодорхойлдог гол теоремыг эзэмшдэг. Энэ теоремыг эртний Грекийн математикч Евдокс Книдусын нотолсон.

Эртний Грекийн өөр нэг математикч, Евклидийн шавь байсан Пергийн Аполлониус номондоо конус гадаргуугийн онолыг боловсруулж, тайлбарласан байдаг. Тэрээр конус гадаргуугийн тодорхойлолтыг эзэмшдэг бөгөөд түүн рүү чиглүүлдэг. Өнөөдөр сургуулийн сурагчид эрт дээр үеэс үндсэн теорем, тодорхойлолтыг хадгалсан Евклидийн геометрийг судалж байна.

Үндсэн тодорхойлолтууд

Нэг хөлийг тойруулан тэгш өнцөгт гурвалжинг эргүүлснээр зөв дугуй конус үүсдэг. Таны харж байгаагаар конус гэдэг ойлголт Евклидийн үеэс өөрчлөгдөөгүй.

AOS тэгш өнцөгт гурвалжны AS гипотенуз нь OS хөлийг тойрон эргэх үед конусын хажуугийн гадаргууг үүсгэдэг тул үүнийг генератор гэж нэрлэдэг. Гурвалжингийн хөлний OS нь конус ба түүний тэнхлэгийн өндөрт нэгэн зэрэг эргэдэг. S цэг нь конусын орой болно. Тойрог (суурь) дүрсэлсэн AO хөл нь конусын радиус болж хувирав.

Хэрэв бид конусын орой ба тэнхлэгээр дээрээс хавтгайг зурах юм бол үүссэн тэнхлэгийн хэсэг нь тэнхлэг нь гурвалжны өндөртэй ижил өнцөгт гурвалжин болохыг харж болно.

Хаана C- суурийн тойрог, л- конус үүсгэгчийн урт; Р- суурийн радиус.

Конусын эзэлхүүнийг тооцоолох томъёо

Конусын эзэлхүүнийг тооцоолохын тулд дараахь томъёог ашиглана.

Энд S нь конусын суурийн талбай юм. Суурь нь тойрог тул түүний талбайг дараах байдлаар тооцоолно.

Үүнээс үүдэн:

энд V нь конусын эзэлхүүн;

n нь 3.14-тэй тэнцүү тоо;

R нь 1-р зураг дээрх AO сегментэд тохирох суурийн радиус;

H нь OS сегменттэй тэнцүү өндөр юм.

Таслагдсан конус, эзэлхүүн

Шулуун дугуй конус байдаг. Хэрэв та дээд хэсгийг өндөрт перпендикуляр хавтгайгаар таславал таслагдсан конусыг авна. Түүний хоёр суурь нь R1 ба R2 радиустай тойрог хэлбэртэй байна.

Хэрэв тэгш өнцөгт гурвалжинг эргүүлснээр зөв конус үүссэн бол тэгш өнцөгт трапецийг шулуун талыг тойруулан эргүүлснээр таслагдсан конус үүсдэг.

Таслагдсан конусын эзэлхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Конус ба түүний хэсэг нь онгоцоор

Эртний Грекийн математикч Пергийн Аполлониус конус хэсгүүдийн онолын бүтээлийг бичсэн. Түүний геометрийн ажлын ачаар муруйн тодорхойлолтууд гарч ирэв: парабол, эллипс, гипербол. Конус нь үүнтэй ямар холбоотой болохыг харцгаая.

Шулуун дугуй конусыг авцгаая. Хэрэв онгоц нь тэнхлэгт перпендикуляр огтлолцох юм бол энэ хэсэгт тойрог үүснэ. Секант нь конусыг тэнхлэгийнхээ өнцгөөр огтлолцох үед тухайн хэсэгт эллипс үүснэ.

Суурьтай перпендикуляр ба конусын тэнхлэгтэй параллель огтлох хавтгай нь гадаргуу дээр гипербол үүсгэдэг. Конусыг суурийн өнцөгт, конус руу шүргэгчтэй параллель зүсэж байгаа онгоц нь гадаргуу дээр муруй үүсгэдэг бөгөөд үүнийг парабол гэж нэрлэдэг.

Асуудлын шийдэл

Тодорхой хэмжээний хувин хийх энгийн ажил ч гэсэн мэдлэг шаарддаг. Жишээлбэл, 10 литр эзэлхүүнтэй байхын тулд хувингийн хэмжээг тооцоолох хэрэгтэй.

V=10 л=10 дм 3 ;

Конусын хөгжил нь 3-р зурагт схемийн дагуу үзүүлсэн хэлбэртэй байна.

L нь конусын үүсгэгч юм.

Дараах томъёогоор тооцоолсон хувингийн гадаргуугийн талбайг олохын тулд:

S=n*(R 1 +R 2)*L,

генераторыг тооцоолох шаардлагатай. V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3 эзлэхүүний утгаас бид үүнийг олно.

Эндээс H=3V/n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2).

Таслагдсан конус нь тэгш өнцөгт трапецийг эргүүлэх замаар үүсдэг бөгөөд түүний тал нь конусын генатрикс юм.

L 2 =(R 2- R 1) 2 +H 2.

Одоо бид хувингийн зургийг бүтээх бүх өгөгдөлтэй байна.

Галын хувин яагаад конус хэлбэртэй байдаг вэ?

Галын хувин яагаад хачирхалтай мэт конус хэлбэртэй байдаг талаар хэн гайхаж байсан бэ? Мөн энэ нь зүгээр л тийм биш юм. Галыг унтраахдаа конус хэлбэрийн хувин нь ердийн хувингаас олон давуу талтай бөгөөд тайрсан конус хэлбэртэй байдаг.

Нэгдүгээрт, галын хувин усаар илүү хурдан дүүрч, зөөвөрлөхдөө асгардаггүй. Ердийн хувингаас том хэмжээтэй конус нь нэг удаад илүү их ус дамжуулах боломжийг олгодог.

Хоёрдугаарт, түүнээс усыг ердийн хувингаас илүү хол зайд хаяж болно.

Гуравдугаарт, хэрэв конус хувин таны гараас унаж, галд унавал бүх усыг галын эх үүсвэр рүү хийнэ.

Эдгээр бүх хүчин зүйлүүд нь цаг хугацаа хэмнэдэг - галыг унтраах гол хүчин зүйл.

Практик хэрэглээ

Сургуулийн хүүхдүүдэд янз бүрийн геометрийн биетүүдийн эзэлхүүнийг, түүний дотор конусыг хэрхэн тооцоолох талаар яагаад сурах хэрэгтэй вэ гэсэн асуулт байнга гардаг.

Мөн дизайны инженерүүд машины эд ангиудын конус хэлбэрийн эзэлхүүнийг тооцоолох хэрэгцээтэй байнга тулгардаг. Эдгээр нь өрмийн зөвлөмж, токарийн болон тээрэмдэх машины эд анги юм. Конус хэлбэр нь өрөмдлөгийг тусгай хэрэгслээр анхны тэмдэглэгээ хийх шаардлагагүйгээр материалд хялбархан оруулах боломжийг олгоно.

Конусын эзэлхүүн нь газарт асгасан элс эсвэл шороон овоолго юм. Шаардлагатай бол энгийн хэмжилт хийснээр та түүний эзлэхүүнийг тооцоолж болно. Овоолсон элсний радиус, өндрийг хэрхэн олж мэдэх вэ гэсэн асуултанд зарим нь төөрөлдөж магадгүй юм. Туузан хэмжүүрээр зэвсэглэсэн бид довны тойргийг хэмждэг C. R=C/2n томьёог ашиглан бид радиусыг олно. Оройн дээгүүр олс (соронзон хальс) шидэж, бид generatrix-ийн уртыг олдог. Пифагорын теорем ба эзэлхүүнийг ашиглан өндрийг тооцоолох нь тийм ч хэцүү биш юм. Мэдээжийн хэрэг, энэ тооцоо нь ойролцоо боловч шоо дөрвөлжин биш тонн элс авчирч хууртагдсан эсэхийг тодорхойлох боломжийг олгодог.

Зарим барилга нь таслагдсан конус хэлбэртэй байдаг. Жишээлбэл, Останкино телевизийн цамхаг конус хэлбэртэй ойртож байна. Энэ нь бие биенийхээ дээр байрлуулсан хоёр боргоцойноос бүрдэнэ гэж төсөөлж болно. Эртний цайз, сүм хийдийн бөмбөгөр нь конус хэлбэртэй бөгөөд түүний эзэлхүүнийг эртний архитекторууд гайхалтай нарийвчлалтайгаар тооцоолжээ.

Хэрэв та эргэн тойрон дахь объектуудыг анхааралтай ажиглавал тэдгээрийн ихэнх нь боргоцой юм.

• шингэнийг цутгах зориулалттай юүлүүр;
• дуут чанга яригч;
• зогсоолын конус;
• шалны чийдэнгийн чийдэн;
• ердийн зул сарын гацуур мод;
• үлээвэр хөгжмийн зэмсэг.

Өгөгдсөн жишээнүүдээс харахад конусын эзэлхүүн ба түүний гадаргуугийн талбайг тооцоолох чадвар нь мэргэжлийн болон өдөр тутмын амьдралд зайлшгүй шаардлагатай байдаг. Нийтлэл танд туслах болно гэж найдаж байна.

Сургуульд судлагдсан эргэлтийн биетүүд нь цилиндр, конус, бөмбөг юм.

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын асуудалд конус эсвэл бөмбөрцгийн талбайн хэмжээг тооцоолох шаардлагатай бол өөрийгөө азтай гэж бодоорой.

Цилиндр, конус, бөмбөрцгийн эзэлхүүн ба гадаргуугийн томъёог ашиглана. Тэд бүгдээрээ манай хүснэгтэд байдаг. Зүрх сэтгэлээрээ сур. Эндээс л стереоометрийн мэдлэг эхэлдэг.

Заримдаа дээрээс нь харах нь сайн байдаг. Эсвэл энэ асуудлын нэгэн адил доороос.

2. Ердийн дөрвөлжин пирамидын эргэн тойронд хүрээлэгдсэн конусын эзэлхүүн нь энэ пирамид дотор бичигдсэн конусын эзэлхүүнээс хэд дахин их вэ?

Энэ нь энгийн зүйл - доороос харагдах байдлыг зур. Том тойргийн радиус нь жижиг тойргийн радиусаас хэд дахин их байгааг бид харж байна. Хоёр конусын өндөр ижил байна. Тиймээс том конусын хэмжээ хоёр дахин их байх болно.

Өөр нэг чухал цэг. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын В хэсгийн бодлогод хариултыг бүхэл тоо эсвэл эцсийн аравтын бутархай хэлбэрээр бичсэнийг бид санаж байна. Иймд таны хариултад В хэсэгт ямар ч юмуу гэж байх ёсгүй. Мөн тооны ойролцоо утгыг орлуулах шаардлагагүй! Энэ нь мэдээж багасах ёстой! Энэ зорилгоор зарим асуудалд даалгаврыг, жишээлбэл, "Цилиндрийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг хуваасан хэсгийг ол" гэж томъёолсон болно.

Хувьсгалын биетүүдийн эзэлхүүн ба гадаргуугийн томъёог өөр хаана ашигладаг вэ? Мэдээжийн хэрэг, C2 (16) асуудалд. Энэ талаар бид бас танд хэлэх болно.

1. Кубын эзэлхүүний тооцоо

а- шоогийн тал

Кубын эзэлхүүний томъёо, ( В ):

2. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн эзэлхүүнийг томъёогоор ол

a, b, c- параллелепипедийн талууд

Заримдаа параллелепипедийн талыг ирмэг гэж нэрлэдэг.

Параллелепипедийн эзэлхүүний томъёо, ( В):

3. Бөмбөлөг, бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг тооцоолох томъёо

Р — бөмбөгний радиус

Томьёог ашиглан радиусыг өгвөл бөмбөгний эзэлхүүнийг олж болно, ( В):

4. Цилиндрийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ?

h- цилиндрийн өндөр

r- суурь радиус

Томъёог ашиглан цилиндрийн суурийн радиус ба өндөр нь мэдэгдэж байгаа бол түүний эзэлхүүнийг ол. В):

5. Конусын эзэлхүүнийг хэрхэн олох вэ?

R-суурь радиус

H-конусын өндөр

Хэрэв радиус ба өндөр нь мэдэгдэж байгаа бол конусын эзэлхүүний томъёо ( В):

7. Таслагдсан конусын эзэлхүүний томъёо

r -дээд суурийн радиус

R-доод радиус

h -конусын өндөр

Таслагдсан конусын эзэлхүүний томъёо, хэрэв мэдэгдэж байгаа бол - доод суурийн радиус, дээд суурийн радиус ба конусын өндөр ( В):

8. Ердийн тетраэдрийн эзэлхүүн

Энгийн тетраэдр бол бүх нүүр нь тэгш талт гурвалжин хэлбэртэй пирамид юм.

А- тетраэдрийн ирмэг

Ердийн тетраэдрийн эзэлхүүнийг тооцоолох томъёо ( В):

9. Энгийн дөрвөлжин пирамидын эзэлхүүн

Дөрвөлжин суурьтай, ижил тэгш өнцөгт гурвалжны талуудтай пирамидыг ердийн дөрвөлжин пирамид гэнэ.

а- суурь тал

h- пирамидын өндөр

Ердийн дөрвөлжин пирамидын эзлэхүүнийг тооцоолох томъёо, ( В):

10. Энгийн гурвалжин пирамидын эзэлхүүн

Суурь нь тэгш талт гурвалжин, талууд нь тэнцүү, тэгш өнцөгт гурвалжныг ердийн гурвалжин пирамид гэнэ.

а- суурь тал

h- пирамидын өндөр

Суурийн өндөр ба талыг харгалзан ердийн гурвалжин пирамидын эзэлхүүний томъёо ( В):

11. Энгийн пирамидын эзэлхүүнийг ол

Энгийн олон өнцөгт, суурь дээрээ тэнцүү гурвалжин бүхий пирамидыг тогтмол гэж нэрлэдэг.

h- пирамидын өндөр

а- пирамидын суурийн тал

n- суурь дээрх олон өнцөгтийн талуудын тоо

Суурийн өндөр, тал, эдгээр талуудын тоог мэддэг ердийн пирамидын эзэлхүүний томъёо ( В):

Геометрийн биеийн эзэлхүүний бүх томьёо
Геометр, Алгебр, Физик

Эзлэхүүний томъёо

Геометрийн дүрсийн эзлэхүүн- бие, бодис эзэлсэн орон зайн тоон шинж чанар. Хамгийн энгийн тохиолдолд эзлэхүүнийг биед багтах нэгж шоо, өөрөөр хэлбэл нэгж урттай тэнцүү ирмэг бүхий шоогаар хэмждэг. Биеийн эзэлхүүн эсвэл савны багтаамжийг түүний хэлбэр, шугаман хэмжээсээр тодорхойлно.

Кубын эзэлхүүний томъёо

1) Кубын эзэлхүүн нь түүний ирмэгийн шоотой тэнцүү байна.

В- кубын эзэлхүүн

Х- кубын ирмэгийн өндөр

Пирамидын эзэлхүүний томъёо

1) Пирамидын эзэлхүүн нь суурийн талбай S (ABCD) ба өндөр h (OS) -ийн үржвэрийн гуравны нэгтэй тэнцүү байна.

В- пирамидын эзэлхүүн

С- пирамидын суурийн талбай

h- пирамидын өндөр

Конусын эзэлхүүний томъёо

1) Конусын эзэлхүүн нь суурийн талбай ба өндрийн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна.

2) Конусын эзэлхүүн нь суурийн радиус ба өндрийн квадратаар pi (3.1415) үржвэрийн гуравны нэгтэй тэнцүү байна.

В- конусын эзэлхүүн

С- конусын суурийн талбай

h- конусын өндөр

π - pi тоо (3.1415)

r- конусын радиус

Цилиндрийн эзэлхүүний томъёо

1) Цилиндрийн эзэлхүүн нь суурийн талбай ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна.

2) Цилиндрийн эзэлхүүн нь суурийн радиус ба өндрийн квадратаар pi (3.1415) үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

В- цилиндрийн хэмжээ

С- цилиндрийн суурийн талбай

h- цилиндрийн өндөр

π - pi тоо (3.1415)

r- цилиндрийн радиус

Бөмбөгний эзэлхүүний томъёо

1) Бөмбөгний эзэлхүүнийг доорх томъёогоор тооцоолно.

В- бөмбөгний хэмжээ

π - pi тоо (3.1415)

Р- бөмбөгний радиус

Тетраэдрийн эзэлхүүний томъёо

1) Тетраэдрийн эзэлхүүн нь хоёрын квадрат язгуурыг тетраэдрийн ирмэгийн уртын шоо, хуваарьт арван хоёроор үржүүлсэн хуваарь дахь бутархайтай тэнцүү байна.

Эзлэхүүний томъёо
Эзлэхүүний томъёо, эзлэхүүнийг тооцоолох онлайн програмууд

Эзлэхүүний томъёо.

Эзлэхүүний томъёогеометрийн дүрсийн параметр, шинж чанарыг тооцоолоход шаардлагатай.

Зургийн хэмжээнь бие махбодь буюу бодисын эзэлсэн орон зайн тоон шинж чанар юм. Хамгийн энгийн тохиолдолд эзлэхүүнийг биед багтах нэгж шоо, өөрөөр хэлбэл нэгж урттай тэнцүү ирмэг бүхий шоогаар хэмждэг. Биеийн эзэлхүүн эсвэл савны багтаамжийг түүний хэлбэр, шугаман хэмжээсээр тодорхойлно.

Параллелепипед.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн эзэлхүүн нь суурийн талбай ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Цилиндр.

Цилиндрийн эзэлхүүн нь суурийн талбай ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Цилиндрийн эзэлхүүн нь суурийн радиус ба өндрийн квадратын pi (3.1415) үржвэртэй тэнцүү байна.

Пирамид.

Пирамидын эзэлхүүн нь суурь S (ABCDE) ба өндөр h (OS) талбайн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна.

Зөв пирамид- энэ бол пирамид бөгөөд түүний суурь дээр ердийн олон өнцөгт байрладаг бөгөөд өндөр нь суурь дээр бичээстэй тойргийн төвөөр дамжин өнгөрдөг.

Ердийн гурвалжин пирамидЭнэ нь пирамид бөгөөд түүний суурь нь тэгш талт гурвалжин бөгөөд талууд нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм.

Ердийн дөрвөлжин пирамидЭнэ нь пирамид бөгөөд түүний суурь нь дөрвөлжин, талууд нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм.

Тетраэдрбүх нүүр нь тэгш талт гурвалжин хэлбэртэй пирамид юм.

Таслагдсан пирамид.

Таслагдсан пирамидын эзэлхүүн нь дээд суурийн S 1 (abcde), таслагдсан пирамидын доод суурийн S 2 (ABCDE) талбайн нийлбэрээр h (OS) өндрийн үржвэрийн гуравны нэгтэй тэнцүү байна. тэдгээрийн хоорондох дундаж пропорциональ.

Кубын эзлэхүүнийг тооцоолоход хялбар байдаг - та урт, өргөн, өндрийг үржүүлэх хэрэгтэй. Шоо нь өргөнтэйгээ тэнцүү урттай, өндөртэй нь тэнцүү тул шооны эзэлхүүн нь s 3-тай тэнцүү байна.

Конуснь нэг цэгээс (конусын орой) гарч буй бүх туяаг нэгтгэж, тэгш гадаргуугаар дамждаг Евклидийн орон зай дахь бие юм.

тайрсан конусХэрэв та конус дээр суурьтай зэрэгцээ зүсэлт зурвал энэ нь ажиллах болно.

V = 1/3 πц (R 2 + Rr + r 2)

Бөмбөрцгийн эзэлхүүн нь түүнийг тойрон хүрээлэгдсэн цилиндрийн эзэлхүүнээс нэг хагас дахин бага байна.

Призм.

Призмийн эзэлхүүн нь призмийн суурийн талбай ба түүний өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Бөмбөгний салбар.

Бөмбөрцөг хэлбэрийн секторын эзэлхүүн нь пирамидын эзэлхүүнтэй тэнцүү бөгөөд суурь нь бөмбөрцөг гадаргуугийн сектороор таслагдсан хэсэгтэй ижил талбайтай, өндөр нь бөмбөгний радиустай тэнцүү байна.

Бөмбөг давхарга- энэ бол хоёр огтлолцсон зэрэгцээ хавтгайн хооронд бэхлэгдсэн бөмбөгний хэсэг юм.

Бөмбөг сегмент- бөмбөгний энэ хэсгийг ямар нэгэн хавтгайгаар таслуулж, бөмбөрцөг эсвэл бөмбөрцөг сегмент гэж нэрлэдэг

Эзлэхүүний томъёо
Шоо, бөмбөрцөг, пирамид, параллелограмм, цилиндр, тетраэдр, конус, призм болон бусад геометрийн хэлбэрийн эзэлхүүний томъёо.

Стереометрийн хичээлийн гол асуултуудын нэг бол тодорхой геометрийн биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох явдал юм. Энэ бүхэн энгийн параллелепипедээр эхэлж, бөмбөгөөр төгсдөг.

Амьдралд ч гэсэн та үүнтэй төстэй асуудалтай байнга тулгардаг. Жишээлбэл, хувин эсвэл торхонд тохирох усны хэмжээг тооцоолох.

Бие бүрийн эзлэхүүнд хүчинтэй шинж чанарууд

1. Энэ утга нь үргэлж эерэг тоо байдаг.
2. Хэрэв биеийг огтлолцолгүй хэсгүүдэд хувааж чадвал нийт эзэлхүүн нь хэсгүүдийн эзлэхүүний нийлбэртэй тэнцүү болно.
3. Ижил биетүүд ижил эзэлхүүнтэй байна.
4. Хэрэв жижиг бие нь том биед бүрэн агуулагддаг бол эхнийх нь эзэлхүүн нь хоёр дахьхоос бага байна.

Бүх байгууллагын ерөнхий тэмдэглэгээ

Тэд тус бүр нь ирмэг, суурьтай бөгөөд тэдгээрийн дотор өндөр нь баригдсан байдаг. Тиймээс ийм элементүүдийг тэдэнд адилхан зориулдаг. Томъёонд яг ингэж бичсэн байдаг. Бид бие бүрийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох, шинэ ур чадварыг практикт хэрхэн ашиглах талаар сурах болно.

Зарим томьёо нь өөр хэмжигдэхүүнтэй байдаг. Ийм хэрэгцээ гарсан үед тэдний томилгоог хэлэлцэх болно.

Призм, параллелепипед (шулуун ба налуу) ба шоо

Эдгээр биеүүд нь хоорондоо маш төстэй харагддаг тул нэгтгэсэн бөгөөд эзлэхүүнийг хэрхэн тооцоолох томъёо нь ижил байна:

V = S * цаг.

Зөвхөн S ялгаатай байх болно. Параллелепипедийн хувьд тэгш өнцөгт эсвэл дөрвөлжин хэлбэртэйгээр тооцоолно. Призмийн суурь нь гурвалжин, параллелограмм, дурын дөрвөн өнцөгт эсвэл өөр олон өнцөгт байж болно.

Шоо дөрвөлжингийн хувьд бүх хэмжээсүүд нь тэнцүү тул томъёог ихээхэн хялбаршуулсан болно.

V = a 3.

Пирамид, тетраэдр, таслагдсан пирамид

Эдгээр биетүүдийн эхнийх нь эзлэхүүнийг тооцоолох томъёо байдаг.

V = 1/3 * S * n.

Тетраэдр бол гурвалжин пирамидын онцгой тохиолдол юм. Үүний бүх ирмэгүүд тэнцүү байна. Тиймээс бид дахин хялбаршуулсан томъёог авна.

V = (a 3 * √2) / 12, эсвэл V = 1/ 3 S h

Пирамид нь дээд хэсгийг нь таслахад тайрдаг. Тиймээс түүний эзэлхүүн нь хоёр пирамидын зөрүүтэй тэнцүү байна: нэг нь бүрэн бүтэн байх байсан ба дээд хэсэг нь арилгасан. Хэрэв ийм пирамидын суурийг хоёуланг нь олж мэдэх боломжтой бол (S 1 - том, S 2 - жижиг байх тусмаа) эзлэхүүнийг тооцоолохдоо энэ томъёог ашиглах нь тохиромжтой.

Цилиндр, конус ба таслагдсан конус

V =π * r 2 * цаг.

Конустай холбоотой нөхцөл байдал арай илүү төвөгтэй байдаг. Үүний томъёо байдаг:

V = 1/3 π * r 2 * цаг.Энэ нь цилиндрт заасантай маш төстэй бөгөөд зөвхөн утгыг гурав дахин бууруулдаг.

Таслагдсан пирамидтай адил хоёр суурьтай конусын хувьд нөхцөл байдал тийм ч хялбар биш юм. Таслагдсан конусын эзэлхүүнийг тооцоолох томъёо дараах байдалтай байна.

V = 1/3 π * h * (r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2).Энд r 1 нь доод суурийн радиус, r 2 нь дээд талын (бага) радиус юм.

Бөмбөг, бөмбөгний сегмент ба сектор

Эдгээр нь санахад хамгийн хэцүү томъёо юм. Бөмбөгний эзэлхүүний хувьд дараах байдалтай байна.

V = 4/3 π *r 3 .

Асуудлын үед бөмбөрцөг сегментийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох талаар асуулт гарч ирдэг - бөмбөрцгийн хэсэг нь диаметртэй параллель зүсэгдсэн мэт. Энэ тохиолдолд дараах томъёо нь аврах ажилд ирнэ.

V = π h 2 * (r - h/3).Үүнд h-ийг сегментийн өндөр, өөрөөр хэлбэл бөмбөгний радиусын дагуух хэсгийг авна.

Салбар нь конус ба бөмбөрцөг сегмент гэсэн хоёр хэсэгт хуваагддаг. Тиймээс түүний эзлэхүүнийг эдгээр биетүүдийн нийлбэрээр тодорхойлно. Өөрчлөлтийн дараах томъёо дараах байдалтай байна.

V = 2/3 πr 2 * цаг.Энд h нь сегментийн өндөр юм.

Жишээ асуудлууд

Цилиндр, бөмбөрцөг, конусын эзэлхүүний тухай

Нөхцөл:цилиндрийн диаметр (1-р бие) нь түүний өндөртэй тэнцүү, бөмбөгний диаметр (2-р бие) ба конусын өндөр (3-р бие), эзлэхүүний пропорциональ байдлыг шалгана уу V 1: V 2: V 3 = 3: 2: 1

Шийдэл.Эхлээд та эзлэхүүний гурван томьёог бичих хэрэгтэй. Дараа нь радиус нь хагас диаметртэй гэдгийг анхаарч үзээрэй. Энэ нь өндөр нь хоёр радиустай тэнцүү байх болно: h = 2r. Энгийн орлуулалт хийснээр эзлэхүүний томъёо дараах байдлаар харагдах болно.

V 1 = 2 π r 3, V 3 = 2/3 π r 3. Бөмбөгний эзэлхүүний томьёо өөрчлөгддөггүй, учир нь бөмбөгөнд өндөр харагдахгүй байна.

Одоо эзлэхүүний харьцааг бичиж, 2π ба r 3-ийн бууралтыг гүйцэтгэхэд үлдлээ. V 1: V 2: V 3 = 1: 2/3: 1/3 байна. Эдгээр тоог 3:2:1 гэж хялбархан бичиж болно.

Бөмбөгний эзэлхүүний тухай

Нөхцөл: 15 ба 20 см-ийн радиустай хоёр тарвас байдаг бөгөөд тэдгээрийг идэх нь илүү ашигтай байдаг: эхнийх нь дөрвөн хүнтэй эсвэл хоёр дахь нь найман хүнтэй юу?

Шийдэл.Энэ асуултад хариулахын тулд та тарвас бүрээс гарах хэсгүүдийн эзлэхүүний харьцааг олох хэрэгтэй. Тэдгээр нь бөмбөрцөг гэдгийг харгалзан бид эзлэхүүний хоёр томьёог бичих хэрэгтэй. Дараа нь эхнийхээс хүн бүр дөрөв дэх хэсгийг, хоёр дахь нь найм дахь хэсгийг л авна гэдгийг анхаарч үзээрэй.

Хэсгийн эзлэхүүний харьцааг бичихэд л үлддэг. Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

(V 1: 4) / (V 2: 8) = (1/3 π r 1 3) / (1/6 π r 2 3). Өөрчлөлтийн дараа зөвхөн фракц үлдэнэ: (2 r 1 3) / r 2 3. Утгыг орлуулж, тооцоолсны дараа 6750/8000 фракцыг авна. Үүнээс эхний тарвасны хэсэг нь хоёр дахь тарвасаас бага байх нь тодорхой байна.

Хариулах. 20 см-ийн радиустай тарвасны наймны нэгийг идэх нь илүү ашигтай байдаг.

Пирамид ба кубын эзлэхүүний тухай

Нөхцөл: 8Х9 см тэгш өнцөгт суурьтай, 9 см өндөртэй шавраар хийсэн пирамид байдаг, ижил шавраар шоо хийсэн, түүний ирмэг нь хэд вэ?

Шийдэл.Хэрэв бид тэгш өнцөгтийн талыг b ба c үсгээр тэмдэглэвэл пирамидын суурийн талбайг тэдгээрийн үржвэр гэж тооцно. Дараа нь түүний эзлэхүүний томъёо нь:

Кубын эзэлхүүний томъёог дээрх нийтлэлд бичсэн болно. Эдгээр хоёр утга тэнцүү байна: V 1 = V 2. Үлдсэн зүйл бол томъёоны баруун талыг тэнцүүлж, шаардлагатай тооцоог хийх явдал юм. Шооны ирмэг нь 6 см-тэй тэнцүү байх болно.

Параллелепипедийн эзлэхүүний тухай

Нөхцөл:та 0.96 м3 багтаамжтай хайрцаг хийх хэрэгтэй, түүний өргөн, урт нь мэдэгдэж байгаа - 1.2 ба 0.8 метр, өндөр нь ямар байх ёстой вэ?

Шийдэл.Параллелепипедийн суурь нь тэгш өнцөгт тул түүний талбайг урт (a) ба өргөн (b) -ийн үржвэрээр тодорхойлно. Тиймээс эзлэхүүний томъёо дараах байдалтай байна.

Үүнээс эзлэхүүнийг талбайд хуваах замаар өндрийг тодорхойлоход хялбар байдаг. Эндээс харахад өндөр нь 1 м байх ёстой.

Хариулах.Хайрцагны өндөр нь нэг метр юм.

Төрөл бүрийн геометрийн биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ?
Стереометрийн хичээлийн гол ажлуудын нэг бол тодорхой геометрийн биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох явдал юм. Энэ бүхэн энгийн параллелепипедээр эхэлж, бөмбөгөөр төгсдөг.