Бидний хувьд хамгийн чухал зүйл бол биетийн шилжилтийг тооцоолох чадвартай байх явдал юм, учир нь шилжилтийг мэдэж байгаа тул биеийн координатыг бас олох боломжтой бөгөөд энэ нь механикийн гол ажил юм. Нэг жигд хурдасгасан хөдөлгөөний үед шилжилтийг хэрхэн тооцоолох вэ?
Шилжилтийг тодорхойлох томъёог олж авах хамгийн хялбар арга бол график аргыг ашиглах явдал юм.
§ 9-д бид шулуун шугаман жигд хөдөлгөөнтэй үед биеийн шилжилт нь хурдны график дор байрлах зургийн (тэгш өнцөгт) талбайтай тоон хувьд тэнцүү болохыг олж харсан. Энэ нь жигд хурдасгасан хөдөлгөөний хувьд үнэн үү?
Х координатын тэнхлэгийн дагуу жигд хурдассан биеийн хөдөлгөөний хурд нь цаг хугацааны явцад тогтмол биш, харин дараах томъёоны дагуу өөрчлөгддөг.
Иймд хурдны графикууд нь 40-р зурагт үзүүлсэн хэлбэртэй байна. Энэ зургийн 1-р мөрөнд "эерэг" хурдатгалтай хөдөлгөөн (хурд нэмэгддэг), 2-р мөр нь "сөрөг" хурдатгалтай (хурд буурдаг) хөдөлгөөнтэй тохирч байна. Хоёр график нь тухайн үед бие нь хурдтай байсан тохиолдлыг илэрхийлдэг
Нэг жигд хурдасгасан хөдөлгөөний хурдны график дээр жижиг хэсгийг сонгоод тэнхлэгт перпендикулярууд болон тэнхлэг дээрх сегментийн урт нь тухайн үеийн жижиг хугацаатай тоогоор тэнцүү байна хурд нь а цэгийн утгаас цэгийн утга болгон өөрчлөгдсөн хэсгийн доор график нь нарийн зурвас болж хувирав.
Хэрэв сегменттэй тоогоор тэнцүү байх хугацаа хангалттай бага бол энэ хугацаанд хурдны өөрчлөлт бас бага байна. Энэ хугацаанд хөдөлгөөнийг жигд гэж үзэж болох бөгөөд дараа нь тууз нь тэгш өнцөгтөөс бага зэрэг ялгаатай байх болно. Тиймээс туузны талбай нь сегменттэй тохирох хугацааны туршид биеийн шилжилт хөдөлгөөнтэй тоогоор тэнцүү байна.
Гэхдээ хурдны график дор байрлах зургийн талбайг бүхэлд нь ийм нарийн тууз болгон хувааж болно. Үүний үр дүнд бүх хугацааны туршид нүүлгэн шилжүүлэлт нь трапецын талбайтай тэнцүү байна, геометрээс мэдэгдэж байгаагаар трапецын талбай нь түүний суурь ба өндрийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна. Манай тохиолдолд трапецын суурийн аль нэгнийх нь урт нь нөгөөгийнхөө урттай тоогоор тэнцүү байна - V. Түүний өндөр нь тоон хувьд тэнцүү байна.
Энэ томъёонд (1а) илэрхийллийг орлуулъя
Тоолуурыг хуваагч гишүүнээр хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.
(16) илэрхийлэлийг (2) томъёонд орлуулснаар бид олж авна (42-р зургийг үз):
Формула (2а) нь хурдатгалын векторыг координатын тэнхлэгтэй ижил чиглүүлсэн тохиолдолд, хурдатгалын векторын чиглэл нь энэ тэнхлэгийн чиглэлийн эсрэг байх үед (26) томъёог ашиглана.
Хэрэв анхны хурд нь тэг (Зураг 43) бөгөөд хурдатгалын вектор нь координатын тэнхлэгийн дагуу чиглүүлсэн бол (2a) томъёоноос дараахь зүйлийг гаргана.
Хэрэв хурдатгалын векторын чиглэл нь координатын тэнхлэгийн чиглэлийн эсрэг байвал (26) томъёоноос дараахь зүйлийг гаргана.
(энд "-" тэмдэг нь шилжилтийн вектор, түүнчлэн хурдатгалын вектор нь сонгосон координатын тэнхлэгийн эсрэг чиглэсэн гэсэн үг юм).
(2a) ба (26) томъёонд хэмжигдэхүүн нь эерэг ба сөрөг аль аль нь байж болно гэдгийг санацгаая - эдгээр нь векторуудын төсөөлөл ба
Одоо бид шилжилтийг тооцоолох томъёог олж авсан тул биеийн координатыг тооцоолох томъёог олж авахад хялбар боллоо. Хэзээ нэгэн цагт биеийн координатыг олохын тулд координатын тэнхлэг дээрх биеийн шилжилтийн векторын проекцийг анхны координат дээр нэмэх шаардлагатайг бид олж харсан (§ 8-ыг үзнэ үү).
(Хэрэв) хурдатгалын вектор координатын тэнхлэгтэй адил чиглүүлсэн бол, ба
хурдатгалын векторын чиглэл нь координатын тэнхлэгийн чиглэлийн эсрэг байвал.
Эдгээр нь шулуун шугаман жигд хурдасгасан хөдөлгөөний үед ямар ч үед биеийн байрлалыг олох боломжийг олгодог томъёо юм. Үүнийг хийхийн тулд биеийн анхны координат, түүний анхны хурд, хурдатгалыг мэдэх хэрэгтэй.
Бодлого 1. 72 км/цагийн хурдтай явж байсан машины жолооч гэрлэн дохионы улаан асахыг хараад тоормос дарав. Үүний дараа машин хурдацтай хөдөлж, удааширч эхлэв
Тоормослож эхэлснээс хойш хэдэн секундын дотор машин хэр хол явах вэ? Бүрэн зогсохоос өмнө машин хэр хол явах вэ?
Шийдэл. Координатын гарал үүслийн хувьд бид машин удааширч эхэлсэн зам дээрх цэгийг сонгодог. Бид координатын тэнхлэгийг машины хөдөлгөөний чиглэлд чиглүүлэх болно (Зураг 44), бид цаг тоолох эхлэлийг жолооч тоормос дарах мөч рүү чиглүүлнэ. Машины хурд нь X тэнхлэгтэй ижил чиглэлд, хурдатгал нь тухайн тэнхлэгийн чиглэлийн эсрэг байна. Иймд X тэнхлэг дээрх хурдны проекц эерэг, хурдатгалын проекц нь сөрөг байх ба машины координатыг (36) томъёогоор олох ёстой.
Энэ томъёонд утгыг орлуулах
Одоо машин бүрэн зогсохоос өмнө хэр хол явахыг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд бид хөдөлгөөний цагийг мэдэх хэрэгтэй. Үүнийг томъёог ашиглан олж болно
Машин зогсох тэр мөчид түүний хурд тэг болж байна
Машин бүрэн зогсохоос өмнө туулах зай нь тухайн үеийн машины координаттай тэнцүү байна.
Даалгавар 2. Хурдны графикийг Зураг 45-т үзүүлсэн биеийн шилжилтийг тодорхойл.Биеийн хурдатгал нь a-тай тэнцүү.
Шийдэл. Эхэндээ биеийн хурдны модуль цаг хугацаа өнгөрөх тусам буурдаг тул хурдатгалын вектор чиглэлийн эсрэг чиглэнэ. Шилжилтийг тооцоолохын тулд бид томъёог ашиглаж болно
Графикаас харахад хөдөлгөөний цаг нь дараах байдалтай байна.
Хүлээн авсан хариултаас харахад 45-р зурагт үзүүлсэн график нь биеийн хөдөлгөөнтэй эхлээд нэг чиглэлд, дараа нь эсрэг чиглэлд ижил зайд нийцэж байгаа бөгөөд үүний үр дүнд бие нь эхлэх цэг дээр дуусдаг. Ийм график нь жишээлбэл, босоо дээш шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөнтэй холбоотой байж болно.
Бодлого 3. Бие хурдатгалтай жигд хурдассан шулуун шугамын дагуу хөдөлдөг a. Биеийн дараалсан хоёр тэнцүү хугацаанд туулсан зайны зөрүүг ол, жишээлбэл.
Шийдэл. Биеийн хөдөлгөөнийг X тэнхлэгийн дагуу авч үзье. Хэрэв А цэг дээр (Зураг 46) биеийн хурд тэнцүү байсан бол түүний цаг хугацааны шилжилт нь тэнцүү байна.
В цэгт бие нь хурдтай байсан бөгөөд түүний дараагийн хугацааны шилжилт нь дараахтай тэнцүү байна.
2. 47-р зурагт гурван биеийн хөдөлгөөний хурдны графикийг үзүүлэв? Эдгээр биетүүдийн хөдөлгөөний мөн чанар юу вэ? А ба В цэгүүдэд тохирсон цаг хугацааны момент дахь биеийн хөдөлгөөний хурдны талаар юу хэлж болох вэ? Эдгээр биеийн хурдатгалыг тодорхойлж, хөдөлгөөний тэгшитгэлийг (хурд ба шилжилтийн томъёо) бич.
3. Зураг 48-д үзүүлсэн гурван биеийн хурдны графикийг ашиглан дараах даалгавруудыг гүйцэтгэнэ үү: a) Эдгээр биеийн хурдатгалыг тодорхойлох; б) нөхөх
Бие бүрийн хурд нь цаг хугацаанаас хамаарах томьёо: в) 2 ба 3-р графиктай харгалзах хөдөлгөөнүүд ямар байдлаар ижил, ялгаатай вэ?
4. Зураг 49-д гурван биеийн хөдөлгөөний хурдны графикуудыг үзүүлэв. Эдгээр графикуудыг ашиглан: a) координатын тэнхлэгт OA, OB, OS сегментүүд юутай тохирч байгааг тодорхойлох; 6) биеүүдийн хөдөлж буй хурдатгалуудыг ол: в) бие бүрийн хөдөлгөөний тэгшитгэлийг бич.
5. Онгоц хөөрөхдөө 15 секундын дотор хөөрөх зурвасыг өнгөрч, газраас хөөрөх мөчид 100 м/сек хурдтай байна. Онгоц хэр хурдан хөдөлж, хөөрөх зурвасын урт хэд байсан бэ?
6. Машин гэрлэн дохион дээр зогссон. Ногоон дохио ассаны дараа хурдатгалаар хөдөлж, хурд нь 16 м/сек болтол хөдөлж, дараа нь тогтмол хурдтайгаар хөдөлнө. Ногоон дохио гарч ирснээс хойш 15 секундын дараа машин гэрлэн дохионоос ямар зайд байх вэ?
7. 1000 м/сек хурдтай сум ухах нүхний ханыг нэвт нэвтлэх ба түүнээс хойш 200 м/сек хурдтай байна. Хананы зузаан дахь сумны хөдөлгөөн жигд хурдассан гэж үзвэл хананы зузааныг ол.
8. Пуужин хурдатгалтайгаар хөдөлж, тодорхой хугацааны дараа 900 м/сек хурдтай байдаг. Тэр дараа нь ямар замаар явах вэ?
9. Хэрэв сансрын хөлөг тогтмол хурдатгалтай шулуун шугамаар хөдөлж байвал хөөрснөөс хойш 30 минутын дараа дэлхийгээс ямар зайд байх вэ?
Нэг төрлийн хөдөлгөөн– энэ нь тогтмол хурдтай хөдөлгөөн, өөрөөр хэлбэл хурд өөрчлөгдөхгүй (v = const), хурдатгал эсвэл удаашрал үүсэхгүй (a = 0).
Шулуун шугамын хөдөлгөөн- энэ бол шулуун шугамын хөдөлгөөн, өөрөөр хэлбэл шулуун шугамын хөдөлгөөний замнал нь шулуун шугам юм.
- энэ нь бие махбодь цаг хугацааны аль ч тэнцүү интервалд ижил хөдөлгөөн хийх хөдөлгөөн юм. Жишээлбэл, хэрэв бид тодорхой хугацааны интервалыг нэг секундын интервалд хуваах юм бол жигд хөдөлгөөнөөр бие эдгээр хугацааны интервал тус бүрт ижил зайд шилжих болно.
Нэг жигд шулуун хөдөлгөөний хурд нь цаг хугацаанаас хамаардаггүй бөгөөд траекторийн цэг бүрт биеийн хөдөлгөөний нэгэн адил чиглүүлдэг. Өөрөөр хэлбэл, шилжилтийн вектор нь хурдны вектортой чиглэлтэй давхцдаг. Энэ тохиолдолд ямар ч хугацааны дундаж хурд нь агшин зуурын хурдтай тэнцүү байна.
Нэг жигд шулуун хөдөлгөөний хурдЭнэ нь биеийн аль ч хугацаанд хөдөлгөөнийг t интервалын утгатай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү физик вектор хэмжигдэхүүн юм.
V(вектор) = s(вектор) / t
Ийнхүү жигд шулуун хөдөлгөөний хурд нь тухайн материалын цэг нэгж хугацаанд хэр их хөдөлгөөн хийхийг харуулдаг.
Хөдөлж байнажигд шугаман хөдөлгөөнийг дараах томъёогоор тодорхойлно.
s(вектор) = V(вектор) t
Аялсан зайшугаман хөдөлгөөнд шилжилтийн модультай тэнцүү байна. Хэрэв OX тэнхлэгийн эерэг чиглэл нь хөдөлгөөний чиглэлтэй давхцаж байвал OX тэнхлэг дээрх хурдны проекц нь хурдны хэмжээтэй тэнцүү бөгөөд эерэг байна.
v x = v, энэ нь v > 0 байна
OX тэнхлэг дээрх шилжилтийн проекц нь дараахтай тэнцүү байна.
s = vt = x – x 0
Энд x 0 нь биеийн анхны координат, x нь биеийн эцсийн координат (эсвэл аль ч үед биеийн координат) юм.
Хөдөлгөөний тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл биеийн координатуудын x = x(t) хугацаанаас хамаарах хамаарал нь дараах хэлбэртэй байна.
Хэрэв OX тэнхлэгийн эерэг чиглэл нь биеийн хөдөлгөөний чиглэлийн эсрэг байвал биеийн хурдны OX тэнхлэг рүү чиглэсэн проекц сөрөг, хурд нь тэгээс бага байна (v).< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:
4. Адилхан ээлжлэн солигдох хөдөлгөөн.
Нэг төрлийн шугаман хөдөлгөөн- Энэ бол жигд бус хөдөлгөөний онцгой тохиолдол юм.
Тэгш бус хөдөлгөөн- энэ нь бие (материалын цэг) ижил хугацаанд тэгш бус хөдөлгөөн хийх хөдөлгөөн юм. Жишээлбэл, хотын автобус жигд бус хөдөлдөг, учир нь түүний хөдөлгөөн нь ихэвчлэн хурдатгал, удаашралаас бүрддэг.
Адилхан ээлжлэн солигдох хөдөлгөөн- энэ нь биеийн хурд (материалын цэг) ямар ч тэнцүү хугацаанд адил тэнцүү өөрчлөгддөг хөдөлгөөн юм.
Нэг жигд хөдөлгөөний үед биеийн хурдатгалхэмжээ болон чиглэлд тогтмол хэвээр байна (a = const).
Нэг жигд хөдөлгөөнийг жигд хурдасгаж эсвэл жигд удаашруулж болно.
Нэг жигд хурдасгасан хөдөлгөөн- энэ бол эерэг хурдатгалтай биеийн хөдөлгөөн (материал цэг), өөрөөр хэлбэл ийм хөдөлгөөнөөр бие тогтмол хурдатгалтайгаар хурдасдаг. Хөдөлгөөн жигд хурдассан тохиолдолд биеийн хурдны модуль цаг хугацааны явцад нэмэгдэж, хурдатгалын чиглэл нь хөдөлгөөний хурдны чиглэлтэй давхцдаг.
Тэнцүү удаан хөдөлгөөн- энэ бол сөрөг хурдатгалтай биеийн хөдөлгөөн (материал цэг), өөрөөр хэлбэл ийм хөдөлгөөнөөр бие жигд удааширдаг. Нэг жигд удаашралтай хөдөлгөөнд хурд ба хурдатгалын векторууд эсрэгээрээ байх ба хурдны модуль цаг хугацааны явцад буурдаг.
Механикийн хувьд аливаа шулуун шугамын хөдөлгөөн хурдасдаг тул удаан хөдөлгөөн нь хурдатгалын векторын координатын системийн сонгосон тэнхлэгт проекцын тэмдгээр л хурдасгасан хөдөлгөөнөөс ялгаатай байдаг.
Дундаж хувьсах хурдбиеийн хөдөлгөөнийг энэ хөдөлгөөн хийгдсэн хугацаанд хуваах замаар тодорхойлно. Дундаж хурдны нэгж нь м/с байна.
Агшин зуурын хурдЭнэ нь тухайн цаг хугацааны агшинд буюу траекторийн өгөгдсөн цэг дэх биеийн (материалын цэг) хурд, өөрөөр хэлбэл Δt хугацааны интервалын хязгааргүй бууралтаар дундаж хурдыг чиглүүлэх хязгаар юм.
V=lim(^t-0) ^s/^t
Агшин зуурын хурдны векторжигд хувьсах хөдөлгөөнийг цаг хугацааны хувьд шилжилтийн векторын анхны дериватив гэж үзэж болно.
V(вектор) = s’(вектор)
Хурдны векторын проекц OX тэнхлэг дээр:
энэ нь цаг хугацааны хувьд координатын дериватив юм (бусад координатын тэнхлэгүүд дээрх хурдны векторын проекцийг ижил аргаар олж авсан).
ХурдатгалЭнэ нь биеийн хурдны өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог хэмжигдэхүүн, өөрөөр хэлбэл Δt хугацааны хязгааргүй бууралтаар хурдны өөрчлөлтийн хандлагатай хязгаар юм.
a(вектор) = lim(t-0) ^v(вектор)/^t
Нэг жигд хувьсах хөдөлгөөний хурдатгалын векторЦаг хугацааны хувьд хурдны векторын эхний дериватив эсвэл цаг хугацааны хувьд шилжилтийн векторын хоёр дахь дериватив байдлаар олж болно.
a(вектор) = v(вектор)" = s(вектор)"
0 нь цаг хугацааны анхны агшин дахь биеийн хурд (эхний хурд), өгөгдсөн агшин дахь биеийн хурд (эцсийн хурд) гэдгийг харгалзан үзвэл t нь хурдны өөрчлөлт гарсан цаг хугацаа юм. , хурдатгалын томъёодараах байдалтай байх болно.
a(вектор) = v(вектор)-v0(вектор)/t
Эндээс жигд хурдны томъёохүссэн цагт:
v(вектор) = v 0 (вектор) + a(вектор) t
Хэрэв бие нь шулуун декартын координатын системийн OX тэнхлэгийн дагуу шулуун шугамаар хөдөлж, биеийн траекторийн чиглэлтэй давхцаж байвал хурдны векторын энэ тэнхлэг дээрх проекцийг дараахь томъёогоор тодорхойлно.
v x = v 0x ± a x t
Хурдатгалын векторын проекцын өмнөх "-" (хасах) тэмдэг нь жигд удаашралтай хөдөлгөөнийг илэрхийлнэ. Бусад координатын тэнхлэгүүд дээрх хурдны векторын проекцын тэгшитгэлийг ижил төстэй байдлаар бичнэ.
Нэг жигд хөдөлгөөнд хурдатгал тогтмол (a = const) байдаг тул хурдатгалын график нь 0t тэнхлэгтэй параллель шулуун шулуун байна (цаг хугацааны тэнхлэг, Зураг 1.15).
Цагаан будаа. 1.15. Биеийн хурдатгалын цаг хугацааны хамаарал.
Хурдны цаг хугацааны хамааралнь шугаман функц бөгөөд график нь шулуун шугам юм (Зураг 1.16).
Цагаан будаа. 1.16. Биеийн хурдны цаг хугацаанаас хамаарах байдал.
Хурд ба цаг хугацааны график(Зураг 1.16) харуулж байна
Энэ тохиолдолд шилжилт нь тоон хувьд 0abc зургийн талбайтай тэнцүү байна (Зураг 1.16).
Трапецын талбай нь түүний суурийн урт ба өндрийн нийлбэрийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна. 0abc трапецын суурь нь тоон хувьд тэнцүү байна.
Трапецын өндөр нь t. Тиймээс трапецын талбай, улмаар OX тэнхлэгт шилжих проекц нь дараахь хэмжээтэй тэнцүү байна.
Нэг жигд удаашралтай үед хурдатгалын төсөөлөл сөрөг байх ба шилжилтийн төсөөллийн томъёонд хурдатгалын өмнө “-” (хасах) тэмдгийг байрлуулна.
Шилжилтийн төсөөллийг тодорхойлох ерөнхий томъёо:
Төрөл бүрийн хурдатгалын үед биеийн хурдыг цаг хугацаатай харьцуулах графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 1.17. v0 = 0-ийн шилжилт хөдөлгөөний графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 1.18.
Цагаан будаа. 1.17. Янз бүрийн хурдатгалын утгуудын хувьд биеийн хурдны цаг хугацаанаас хамаарах байдал.
Цагаан будаа. 1.18. Биеийн хөдөлгөөний цаг хугацааны хамаарал.
Өгөгдсөн t 1 үеийн биеийн хурд нь графикт шүргэгч ба цаг хугацааны тэнхлэгийн хоорондох хазайлтын өнцгийн тангенстай тэнцүү байна v = tg α, шилжилтийг дараах томъёогоор тодорхойлно.
Хэрэв биеийн хөдөлгөөний цаг тодорхойгүй бол та хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдэж өөр нүүлгэн шилжүүлэх томъёог ашиглаж болно.
Квадрат зөрүүг товчилсон үржүүлэх томъёонүүлгэн шилжүүлэлтийн проекцын томъёог гаргахад бидэнд туслах болно:
Цаг хугацааны аль ч агшинд биеийн координат нь анхны координат ба шилжилтийн проекцын нийлбэрээр тодорхойлогддог тул биеийн хөдөлгөөний тэгшитгэлиймэрхүү харагдах болно:
x(t) координатын график нь мөн парабол (шилжилтийн график гэх мэт) боловч ерөнхий тохиолдолд параболын орой нь эхтэй давхцдаггүй. Хэзээ x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).
Замын чиглэл(Хожуу Латин хэлнээс - хөдөлгөөнтэй холбоотой) нь бие (материалын цэг) хөдөлдөг шугам юм. Хөдөлгөөний зам нь шулуун (бие нь нэг чиглэлд хөдөлдөг) ба муруй, өөрөөр хэлбэл механик хөдөлгөөн нь шулуун ба муруй хэлбэртэй байж болно.
Шулуун шугамын замналЭнэ координатын системд энэ нь шулуун шугам юм. Жишээлбэл, эргэлтгүй тэгш замд байгаа машины зам шулуун байна гэж бид үзэж болно.
Муруйн хөдөлгөөнтойрог, эллипс, парабол эсвэл гипербол дахь биеийн хөдөлгөөн юм. Муруйн хөдөлгөөний жишээ бол хөдөлж буй машины дугуйн дээрх цэгийн хөдөлгөөн эсвэл машины эргэлтийн хөдөлгөөн юм.
Хөдөлгөөн нь хэцүү байж болно. Жишээлбэл, биеийн аяллын эхэн дэх зам нь шулуун, дараа нь муруй хэлбэртэй байж болно. Жишээлбэл, аяллын эхэнд машин шулуун замаар хөдөлж, дараа нь зам "салхи" болж, машин муруй чиглэлд хөдөлж эхэлдэг.
Зам
Замнь траекторийн урт юм. Зам нь скаляр хэмжигдэхүүн бөгөөд SI системд метрээр (м) хэмжигддэг. Замын тооцоог физикийн олон асуудалд хийдэг. Зарим жишээг энэ заавар дээр дараа авч үзэх болно.
Вектор шилжүүлэх
Векторыг шилжүүлэх(эсвэл зүгээр л хөдөлж байна) нь биеийн анхны байрлалыг дараагийн байрлалтай холбосон чиглэсэн шулуун шугамын сегмент юм (Зураг 1.1). Шилжилт нь вектор хэмжигдэхүүн юм. Шилжилтийн вектор нь хөдөлгөөний эхлэлээс төгсгөлийн цэг хүртэл чиглэнэ.
Хөдөлгөөний вектор модуль(өөрөөр хэлбэл, хөдөлгөөний эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүдийг холбосон сегментийн урт) нь явсан зайтай тэнцүү эсвэл явсан зайнаас бага байж болно. Гэхдээ шилжилтийн векторын хэмжээ нь явсан зайнаас хэзээ ч их байж болохгүй.
Нүүлгэн шилжүүлэх векторын хэмжээ нь зам нь траекторийн чиглэлтэй давхцах үед туулсан зайтай тэнцүү байна (хэсгүүдийг харна уу), жишээлбэл, машин шулуун замаар А цэгээс В цэг хүртэл хөдөлж байвал. Шилжилтийн векторын хэмжээ нь материаллаг цэг муруй замаар шилжих үед туулсан зайнаас бага байна (Зураг 1.1).
Цагаан будаа. 1.1. Шилжилтийн вектор ба туулсан зай.
Зураг дээр. 1.1:
Өөр нэг жишээ. Хэрэв машин нэг удаа тойрог замаар явбал хөдөлгөөн эхлэх цэг нь хөдөлгөөн дуусах цэгтэй давхцах бөгөөд дараа нь шилжилтийн вектор тэгтэй тэнцүү байх ба туулсан зай нь тэнцүү байх болно. тойргийн урт. Тиймээс зам, хөдөлгөөн нь юм хоёр өөр ойлголт.
Вектор нэмэх дүрэм
Шилжилтийн векторуудыг вектор нэмэх дүрмийн дагуу геометрийн аргаар нэмнэ (гурвалжингийн дүрэм эсвэл параллелограммын дүрэм, 1.2-р зургийг үз).
Цагаан будаа. 1.2. Шилжилтийн векторуудын нэмэгдэл.
Зураг 1.2-т S1 ба S2 векторуудыг нэмэх дүрмийг харуулав.
a) Гурвалжны дүрмийн дагуу нэмэх
b) Параллелограммын дүрмийн дагуу нэмэх
Хөдөлгөөний векторын төсөөлөл
Физикийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ координатын тэнхлэгт шилжих векторын проекцийг ихэвчлэн ашигладаг. Нүүлгэн шилжүүлэх векторын координатын тэнхлэгүүд дээрх төсөөллийг түүний төгсгөл ба эхлэлийн координатын зөрүүгээр илэрхийлж болно. Жишээлбэл, материаллаг цэг нь А цэгээс В цэг рүү шилждэг бол шилжилтийн вектор (1.3-р зургийг үз).
Вектор нь энэ тэнхлэгтэй нэг хавтгайд байхаар OX тэнхлэгийг сонгоцгооё. Перпендикуляруудыг A ба B цэгээс (шилжилтийн векторын эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүдээс) OX тэнхлэгтэй огтлолцох хүртэл буулгая. Тиймээс бид A ба B цэгүүдийн X тэнхлэг дээрх проекцуудыг олж авъя. OX тэнхлэг дээрх A x B x сегментийн урт нь байна шилжилтийн векторын проекц OX тэнхлэг дээр, өөрөөр хэлбэл
S x = A x B x
ЧУХАЛ!
Математикийг сайн мэдэхгүй хүмүүст би танд сануулж байна: векторыг аль ч тэнхлэгт (жишээ нь, S x) векторын проекцтой андуурч болохгүй. Векторыг үргэлж үсэг эсвэл хэд хэдэн үсгээр заадаг бөгөөд дээр нь сум байдаг. Зарим цахим баримт бичигт сумыг байрлуулаагүй, учир нь энэ нь цахим баримт бичиг үүсгэхэд хүндрэл учруулж болзошгүй юм. Ийм тохиолдолд "вектор" гэсэн үгийг үсгийн хажууд бичсэн эсвэл өөр аргаар энэ нь зөвхөн сегмент биш вектор гэдгийг илтгэх нийтлэлийн агуулгыг анхаарч үзээрэй.
Цагаан будаа. 1.3. Шилжилтийн векторын проекц.
OX тэнхлэг дээрх шилжилтийн векторын проекц нь векторын төгсгөл ба эхлэлийн координатын зөрүүтэй тэнцүү байна.
S x = x – x 0
OY ба OZ тэнхлэг дээрх шилжилтийн векторын проекцийг ижил төстэй байдлаар тодорхойлж бичнэ.
S y = y – y 0 S z = z – z 0
Энд x 0 , y 0 , z 0 нь анхны координатууд буюу биеийн анхны байрлалын координатууд (материалын цэг); x, y, z - эцсийн координат буюу биеийн дараагийн байрлалын координат (материалын цэг).
Хэрэв векторын чиглэл ба координатын тэнхлэгийн чиглэл давхцаж байвал шилжилтийн векторын проекцийг эерэг гэж үзнэ (Зураг 1.3). Хэрэв векторын чиглэл ба координатын тэнхлэгийн чиглэл давхцахгүй бол (эсрэг) векторын проекц сөрөг байна (Зураг 1.4).
Хэрэв шилжилтийн вектор тэнхлэгтэй параллель байвал түүний проекцын модуль нь Векторын модультай тэнцүү байна. Хэрэв шилжилтийн вектор тэнхлэгт перпендикуляр байвал түүний проекцын модуль тэгтэй тэнцүү байна (Зураг 1.4).
Цагаан будаа. 1.4. Хөдөлгөөний векторын проекцын модулиуд.
Зарим хэмжигдэхүүний дараагийн ба анхны утгуудын хоорондох зөрүүг энэ хэмжигдэхүүн дэх өөрчлөлт гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, координатын тэнхлэгт шилжих векторын проекц нь харгалзах координатын өөрчлөлттэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, бие нь X тэнхлэгт перпендикуляр хөдөлдөг тохиолдолд (Зураг 1.4) бие нь X тэнхлэгтэй харьцуулахад ХӨДӨЛГӨХГҮЙ БАЙНА. Энэ нь X тэнхлэгийн дагуух биеийн хөдөлгөөн тэг байна.
Хавтгай дээрх биеийн хөдөлгөөний жишээг авч үзье. Биеийн анхны байрлал нь x 0 ба y 0 координаттай А цэг, өөрөөр хэлбэл A(x 0, y 0). Биеийн эцсийн байрлал нь x ба y координаттай В цэг, өөрөөр хэлбэл B(x, y). Биеийн шилжилтийн модулийг олъё.
А ба В цэгүүдээс бид OX ба OY координатын тэнхлэгт перпендикулярыг буулгана (Зураг 1.5).
Цагаан будаа. 1.5. Биеийн онгоцон дээрх хөдөлгөөн.
OX ба OY тэнхлэг дээрх шилжилтийн векторын проекцийг тодорхойлъё.
S x = x – x 0 S y = y – y 0
Зураг дээр. 1.5 ABC гурвалжин нь тэгш өнцөгт гурвалжин болох нь тодорхой байна. Үүнээс үзэхэд асуудлыг шийдэхдээ ашиглаж болно Пифагорын теорем, үүний тусламжтайгаар та шилжилтийн векторын модулийг олох боломжтой
AC = s x CB = s y
Пифагорын теоремын дагуу
S 2 = S x 2 + S y 2
Шилжилтийн векторын модулийг, өөрөөр хэлбэл А цэгээс В цэг хүртэлх биеийн замын уртыг хаанаас олох вэ?
Эцэст нь би танд мэдлэгээ нэгтгэж, өөрийн үзэмжээр хэдэн жишээг тооцоолохыг санал болгож байна. Үүнийг хийхийн тулд координатын талбарт хэд хэдэн тоог оруулаад CACLULATE товчийг дарна уу. Таны хөтөч JavaScript скриптүүдийн гүйцэтгэлийг дэмжих ёстой бөгөөд скриптийн гүйцэтгэлийг хөтөчийн тохиргоонд идэвхжүүлсэн байх ёстой, эс тэгвээс тооцоо хийхгүй. Бодит тоонуудын хувьд бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг цэгээр тусгаарлах ёстой, жишээлбэл, 10.5.
Тоормосны зайг мэдэхийн тулд машины анхны хурдыг хэрхэн тодорхойлж, анхны хурд, хурдатгал, цаг хугацаа гэх мэт хөдөлгөөний шинж чанарыг мэдэж, машины хөдөлгөөнийг хэрхэн тодорхойлох вэ? Бид өнөөдрийн хичээлийн сэдэвтэй танилцсаны дараа хариултыг авах болно: "Нэг жигд хурдатгалтай хөдөлгөөний үеийн хөдөлгөөн, жигд хурдатгалтай хөдөлгөөний үед координатын хугацаанаас хамаарах хамаарал"
Хөдөлгөөний жигд хурдатгалын хувьд график нь дээшээ чиглэсэн шулуун шугам шиг харагдана, учир нь түүний хурдатгалын төсөөлөл 0-ээс их байна.
Нэг жигд шулуун хөдөлгөөнтэй бол талбай нь биеийн хөдөлгөөний проекцын модультай тоогоор тэнцүү байх болно. Энэ баримтыг зөвхөн жигд хөдөлгөөнд төдийгүй аливаа хөдөлгөөний хувьд ерөнхийд нь авч үзэх боломжтой, өөрөөр хэлбэл график доорх талбай нь нүүлгэн шилжүүлэлтийн проекцын модультай тоогоор тэнцүү болохыг харуулж болно. Үүнийг математикийн аргаар хийдэг, гэхдээ бид график аргыг ашиглах болно.
Цагаан будаа. 2. Нэг жигд хурдасгасан хөдөлгөөний цаг хугацаатай харьцуулахад хурдны график ()
Нэг жигд хурдасгасан хөдөлгөөний хурд ба цаг хугацааны проекцын графикийг жижиг Δt хугацааны интервалд хуваая. Тэдгээр нь маш жижиг тул хурд нь уртаараа бараг өөрчлөгдөөгүй гэж үзье, өөрөөр хэлбэл бид зураг дээрх шугаман хамаарлын графикийг шат болгон хувиргах болно. Алхам бүрт хурд нь бараг өөрчлөгдөөгүй гэдэгт бид итгэдэг. Δt хугацааны интервалыг хязгааргүй жижиг болголоо гэж төсөөлье. Математикийн хувьд тэд хэлэхдээ: бид хязгаар руу шилждэг. Энэ тохиолдолд ийм шатны талбай нь V x (t) графикаар хязгаарлагдах трапецын талбайтай тодорхойгүй хугацаанд давхцах болно. Энэ нь жигд хурдасгасан хөдөлгөөний хувьд шилжилтийн проекцын модуль нь V x (t) графикаар хязгаарлагдсан талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна гэж хэлж болно: абсцисса ба ординатын тэнхлэгүүд ба абсцисс руу доошлуулсан перпендикуляр. Энэ бол 2-р зурагт бидний харж буй трапец хэлбэрийн OABC-ийн талбай юм.
Асуудал нь физикээс математикийн асуудал болж хувирдаг - трапецын талбайг олох. Энэ бол физикчид тодорхой үзэгдлийг дүрсэлсэн загвар бүтээж, дараа нь математик гарч ирэн, энэ загварыг тэгшитгэл, хуулиудаар баяжуулж, загварыг онол болгон хувиргадаг стандарт нөхцөл юм.
Бид трапецын талбайг олдог: трапец нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй, тэнхлэгүүдийн хоорондох өнцөг нь 90 0 тул бид трапецийг тэгш өнцөгт ба гурвалжин гэсэн хоёр дүрс болгон хуваадаг. Мэдээжийн хэрэг, нийт талбай нь эдгээр тоонуудын талбайн нийлбэртэй тэнцүү байх болно (Зураг 3). Тэдний талбайг олцгооё: тэгш өнцөгтийн талбай нь талуудын үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл V 0x t, тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь хөлний бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байх болно - 1/2AD. BD, проекцуудын утгыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна: 1/2t (V x - V 0x), жигд хурдасгасан хөдөлгөөний үед цаг хугацааны явцад хурд өөрчлөгдөх хуулийг санаж: V x (t) = V 0x + a x t, хурдны төсөөллийн зөрүү нь t хугацааны a x хурдатгалын проекцын үржвэртэй тэнцүү байх нь тодорхой байна, өөрөөр хэлбэл V x - V 0x = a x t.
Цагаан будаа. 3. Трапецын талбайг тодорхойлох ( Эх сурвалж)
Трапецын талбай нь нүүлгэн шилжүүлэлтийн проекцын модультай тоон хувьд тэнцүү байгааг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.
S x(t) = V 0 x t + a x t 2 /2
Скаляр хэлбэрээр жигд хурдассан хөдөлгөөний үед нүүлгэн шилжүүлэлтийн проекцын цаг хугацааны хамаарлын хуулийг бид вектор хэлбэрээр олж авлаа.
(t) = t + t 2/2
Цагийг хувьсагч болгон оруулахгүй шилжилтийн проекцын өөр томьёог гаргаж авцгаая. Тэгшитгэлийн системийг түүнээс цагийг хасаад шийдье.
S x (t) = V 0 x + a x t 2 /2
V x (t) = V 0 x + a x t
Цаг хугацаа бидэнд үл мэдэгдэх гэж төсөөлөөд үз дээ, тэгвэл бид хоёр дахь тэгшитгэлээс цаг хугацааг илэрхийлэх болно.
t = V x - V 0x / a x
Гарсан утгыг эхний тэгшитгэлд орлъё:
Энэ төвөгтэй илэрхийлэлийг олж аваад квадрат болгож, ижил төстэй илэрхийлэлүүдийг өгье.
Хөдөлгөөний цагийг мэдэхгүй тохиолдолд бид хөдөлгөөний хэтийн төлөвийн хувьд маш тохиромжтой илэрхийлэлийг олж авсан.
Тоормослох үед бидний машины анхны хурдыг V 0 = 72 км/цаг, эцсийн хурд V = 0, хурдатгал a = 4 м/с 2 байна. Тоормосны зайны уртыг олоорой. Километрийг метр болгон хөрвүүлж, томьёоны утгыг орлуулснаар тоормосны зай дараах байдалтай байна.
S x = 0 - 400(м/с) 2 / -2 · 4 м/с 2 = 50 м
Дараах томъёонд дүн шинжилгээ хийцгээе.
S x = (V 0 x + V x) / 2 т
Шилжилтийн төсөөлөл нь эхний болон эцсийн хурдны проекцын хагасын нийлбэрийг хөдөлгөөний хугацаанд үржүүлсэн байна. Дундаж хурдны нүүлгэн шилжүүлэх томъёог эргэн санацгаая
S x = V av · t
Хөдөлгөөн жигд хурдассан тохиолдолд дундаж хурд нь:
V av = (V 0 + V k) / 2
Бид жигд хурдасгасан хөдөлгөөний механикийн гол асуудлыг шийдвэрлэхэд ойртлоо, өөрөөр хэлбэл координат нь цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөг хуулийг олж авах болно.
x(t) = x 0 + V 0 x t + a x t 2 /2
Энэ хуулийг хэрхэн ашиглах талаар сурахын тулд ердийн нэг асуудалд дүн шинжилгээ хийцгээе.
Амралтаас хөдөлж буй машин 2 м/с 2 хурдатгал авдаг. Машин 3 секунд, гурав дахь секундэд туулсан зайг ол.
Өгөгдсөн: V 0 x = 0
Цаг хугацаа өнгөрөх тусам шилжилт өөрчлөгдөх хуулийг бичье
жигд хурдасгасан хөдөлгөөн: S x = V 0 x t + a x t 2 /2. 2 с< Δt 2 < 3.
Өгөгдлийг оруулснаар бид асуудлын эхний асуултанд хариулж чадна:
t 1 = 3 c S 1x = a x t 2 /2 = 2 3 2 / 2 = 9 (м) - энэ нь туулсан зам юм.
c машин 3 секундын дотор.
Түүнийг 2 секундэд хэр хол туулсаныг олж мэдье.
S x (2 с) = a x t 2 /2 = 2 2 2 / 2 = 4 (м)
Тэгэхээр хоёр секундын дотор машин 4 метр явсан гэдгийг та бид мэднэ.
Одоо бид эдгээр хоёр зайг мэдсэнээр түүний туулсан замыг гурав дахь секундэд олж болно.
S 2x = S 1x + S x (2 с) = 9 - 4 = 5 (м)
Сурах бичиг, сургалтын хэрэглэгдэхүүнд (жишээлбэл) анхны хурдыг проекц хийх үед хурдны графикийн тодорхой жишээг ашиглан шулуун шугаман жигд хурдасгасан хөдөлгөөний (RUM) проекцын томъёог гаргаж авдаг. v x> 0 ба хурдатгал а х> 0 байх ба X тэнхлэгийн чиглэл нь хөдөлгөөний чиглэлтэй давхцаж байна. Энэ тохиолдолд шилжилтийн төсөөллийн хэмжээг трапецын талбайтай тэнцүү гэж үзнэ. Гэсэн хэдий ч, жишээ нь, хэзээ гэдгийг тооцдоггүй v x> 0 ба а х < 0 получается не трапеция, а два треугольника, расположенных по разные стороны оси времени.
PRUD-ийн үед нүүлгэн шилжүүлэх проекцын хувьд олж авсан томъёонууд нь вектор хэлбэрт хувирдаггүй. Энэ нь ямар ч (шулуун шугам байх албагүй) түлхэлтийн хөшүүргийн хувьд хүчинтэй томъёололд хүргэнэ гэдгийг зохиогчид ойлгож байгаа бололтой. Нүүлгэн шилжүүлэх томъёоны гарал үүслийг түлхэгчтэй холбосноор түлхэгчийг хурдатгалд тохирохгүй анхны хурдаар шинжлэхэд хөдөлгөөнийг жигд, шулуун шугаман жигд хурдасгах болгон задлах шаардлагатай болдог (жишээлбэл, таталцлын нөлөөгөөр биеийн муруйн хөдөлгөөнийг шинжлэх үед нэгэн төрлийн цахилгаан орон дахь цэнэгийн муруйн хөдөлгөөн).
Нийтлэлийг Родные Берега орон сууцны цогцолборын дэмжлэгтэйгээр бэлтгэсэн. Хэрэв та өндөр чанартай, найдвартай орон сууц худалдаж авахаар шийдсэн бол хамгийн сайн шийдэл бол "Родные Берег" орон сууцны хорооллын вэбсайтад зочлох явдал юм. "Санкт-Петербург дахь орон сууцны цогцолбор" холбоос дээр дарснаар та дэлгэцийн дэлгэцээс гаралгүйгээр мөрөөдлийнхөө орон сууцыг таатай үнээр сонгох боломжтой. Үнэ болон урамшууллын талаарх дэлгэрэнгүй мэдээллийг www.berega.spb.ru вэбсайтаас авах боломжтой.
Үүнээс зайлсхийхийн тулд бид дурын (зөвхөн шулуун шугам биш) тохируулагч дээр хөдөлгөөн хийхэд хүчинтэй вектор томъёог гаргаж авахыг санал болгож байна. Биеийг анхны хурдтайгаар жигд хурдасгасан хөдөлгөөнийг хийцгээе υ 0 ба хурдатгал а . Энэ хөдөлгөөнийг хурдтай жигд хөдөлгөөнөөс бүрдсэн гэж үзэж болно υ 0 ба анхны хурдтай жигд хурдассан хөдөлгөөн υ 0 = 0 ба хурдатгал а .
Хөдөлж байна с цаг хугацааны явцад жигд хөдөлгөөнтэй ттэнцүү байна υ 0 т. Анхны хурдыг тэглэсэн тохируулагчийн удирдлага дахь хөдөлгөөн нь зөвхөн хурдатгалаас хамаарна а ба цаг хугацаа т, өөрөөр хэлбэл зарим функц юм f( а,t). Тиймээс, эдгээр хоёр хөдөлгөөний нийлбэрийн хувьд бид дараахь зүйлийг бичиж болно.
с = υ 0 т + f( а,t). (1)
үед тбие нь хурдтай болно υ = υ 0 + ат.
Функцийг тодорхойлох f( а,t), хөдөлгөөнийг хальсанд буулгаж, урвуу дарааллаар харуулсан гэж үзье. Энэ тохиолдолд ижил хугацаанд биеийн зураг тмөн ижил хурдатгалтай а хөдөлгөөн хийх болно с arr = - с анхны хурдтай υ arr = - υ = –(υ 0 + ат).
Формула (1) жишээ: с arr = υ арр. т + f( а,t), мөн төлөөх илэрхийллийг харгалзан үзнэ с арр. υ Арр:
–с = –(υ 0 + ат)т + f( а,t) ⇒ с = υ 0 т + ат 2 – f( а,t). (2)
(1) ба (2) илэрхийллийн баруун талыг ижил хэмжигдэхүүнээр тэгшитгэе с : υ 0 т + f( а,t) =υ 0 т + ат 2 – f( а,t).
Энэ тэгшитгэлийг шийдэж, бид олж авна f( а,t)= 2/2.
Одоо жигд хурдассан хөдөлгөөний томъёог (1) дараах байдлаар бичиж болно. с = υ 0 т + ат 2 /2.
Уран зохиол
- Кикоин И.К., Кикоин А.К.Физик-9. – М.: Боловсрол, 1999 он.
- Кабардин О.Ф.Физик. – М.: AST-Press School, 2009 он.
