VIII төрлийн сургуульд сурагчдыг бутархайн дараах хувиргалтуудтай танилцана: бутархайг том бутархайгаар илэрхийлэх (6-р анги), буруу бутархайг бүхэлд нь буюу холимог тоогоор илэрхийлэх (6-р анги), бутархайг ижил бутархайгаар илэрхийлэх (7-р анги), холимог тоог буруу бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх (7-р анги).

Бутархай бутархайг бүхлээр илэрхийлэхэсвэл холимог тоо

I Энэ материалыг судлах нь даалгавараас эхлэх ёстой: 2 оёсон дугуйлан авч, тус бүрийг 4 тэнцүү хэсэгт хувааж, дөрөв дэх хувьцааны тоог тоол (Зураг 25). Дараа нь энэ хэмжигдэхүүнийг бутархай (t) болгон бичихийг санал болгож байна. Дараа нь дөрөв дэх хэсгүүдийг хооронд нь нэмж, үр дүн гарсан гэдэгт оюутнууд итгэлтэй байна

1-р тойрог. Тиймээс, -t= 1 . Дөрөвний дөрөвний нэгийг дараалан нэмдэг -Т,мөн оюутнууд бичнэ: t=1, -7=1 6 2 7 3 8 9

Багш нь оюутнуудын анхаарлыг авч үзсэн бүх тохиолдолд буруу бутархай авч, хувиргасны үр дүнд бүхэл эсвэл холимог тоог хүлээн авсан, өөрөөр хэлбэл буруу бутархайг бүхэлд нь илэрхийлдэг болохыг харуулж байна. эсвэл холимог тоо. Дараа нь бид энэ хувиргалтыг ямар арифметик үйлдлээр гүйцэтгэж болохыг оюутнууд бие даан тодорхойлохыг хичээх ёстой

4 .

8 0 5 .1 7 .3 „ Л " гэсэн асуултад: -2-=! ба t = 2.4" = 1t ба t T Ю.В : °D

руу

Бутархай бутархайг бүхэлд нь буюу холимог тоогоор илэрхийлэхийн тулд бутархайн хуваагчийг хуваагчаар хувааж, хуваагчийг бүхэл тоогоор бичиж, үлдэгдлийг тоонд бичиж, хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй. Дүрэм нь төвөгтэй тул оюутнууд үүнийг цээжээр сурах шаардлагагүй. Тэд өгөгдсөн өөрчлөлтийг гүйцэтгэхэд хамаарах алхмуудыг тууштай дамжуулах чадвартай байх ёстой.

Оюутнуудыг бүхэл буюу холимог тоогоор буруу бутархайг илэрхийлэхтэй танилцуулахаас өмнө бүхэл тоог үлдэгдэлтэй бүхэл тоонд хуваахыг тэдэнтэй хамт нягталж үзэхийг зөвлөж байна.

Оюутнуудад зориулсан шинэ өөрчлөлтийг нэгтгэх нь практик шинж чанартай асуудлыг шийдвэрлэх замаар хөнгөвчилдөг, жишээлбэл:

“Варанд жүржийн дөрөвний есөн хэсэг байдаг. Скол| Эдгээр хэсгүүдээс бүхэл жүрж хийж болох уу? Хэдэн улирал үлдэх вэ?

35-ыг 16 тэнцүү хэсэгт хуваасан. Оллоо -^. Хичнээн нь бүрэн бүтэн байна!

чи картон хуудсыг хайчилсан уу? Хэдэн арван зургаагийн зүсэлт вэ! дараагийн хэсгээс? гэх мэт.

Бүхэл тоо ба холимог тоог илэрхийлэхбуруу бутархай

Оюутнуудад энэхүү шинэ өөрчлөлтийг танилцуулахаас өмнө асуудлыг шийдэх хэрэгтэй, жишээлбэл:

“Дөрвөлжин хэлбэртэй ижил урттай 2 ширхэг даавуу. > 4 тэнцүү хэсэгт хуваасан. Ийм хэсэг бүрээс ороолт оёсон. Та хэдэн ороолт авсан бэ? I Бичлэг: 2= - 1 4^-, 2= -% ]

чи дарс авсан уу? Бичнэ үү: 1 * тойрог байсан, одоо * тойрог байна гэсэн үг

Тиймээс, харааны болон практик үндэслэл дээр үндэслэн бид хэд хэдэн жишээг авч үзэх болно. Харж буй жишээнүүдэд оюутнуудаас анхны тоо (холимог эсвэл бүхэл тоо) болон хувиргасны дараа олж авсан тоог (буруу бутархай) харьцуулахыг хүсч байна.

Оюутнуудад бүхэл тоо ба холимог тоог буруу бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх дүрмийг танилцуулахын тулд холимог тоо ба буруу бутархайг харьцуулах, мөн тоологчийг хэрхэн яаж олж авах зэрэгт анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй. :

1 2"=?, 1 = 2", мөн ^, нийт ^ 3 ^=?, 3=-^-, мөн ^, нийт

-^- байх болно. Үүний үр дүнд дүрмийг томъёолсон: ингэснээр холимог тоо

Бутархай бутархайгаар илэрхийлэхийн тулд хуваагчийг бүхэл тоогоор үржүүлээд, үржвэрт хуваагчийг нэмж, нийлбэрийг хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй.

Эхлээд та оюутнуудад нэгийг нь буруу бутархай, дараа нь хуваагчийг харуулсан бусад бүхэл тоо, дараа нь холимог тоогоор илэрхийлэхэд сургах хэрэгтэй.

Бутархайн үндсэн шинж чанар 1

[бутархайн өсөлтийн үед өөрчлөгдөхгүй байдлын тухай ойлголт

Түүний гишүүдийн 1 цөөрөлт, өөрөөр хэлбэл тоо, хуваагчийг VIII төрлийн сургуулийн сурагчид маш их бэрхшээлтэй эзэмшинэ. Энэхүү ойлголтыг харааны болон дидактик материалыг ашиглан нэвтрүүлэх ёстой.

"Оюутнууд зөвхөн багшийн үйл ажиллагааг ажиглахаас гадна дидактик материалтай идэвхтэй ажиллаж, ажиглалт, практик үйл ажиллагаанд үндэслэн тодорхой дүгнэлт, ерөнхий дүгнэлтэд хүрэх нь чухал юм.

Жишээлбэл, багш бүхэл манжинг авч, 2 тэнцүү хэсэгт хувааж, "Бүтэн манжинг хуваахад та юу авсан бэ?

хагаст уу? (2 хагас.) * манжин үзүүл. Хасацгаая (хуваацгаая)

манжингийн хагасыг өөр 2 тэнцүү хэсэг болгон хуваана. Бид юу авах вэ? -y. Ингээд бичье:

tt=-t- Эдгээр бутархайн тоо болон хуваагчийг харьцуулж үзье. Хэдэн цагт

тоологч хэд дахин нэмэгдсэн бэ? Хугацаа хэд дахин нэмэгдсэн бэ? Тоолуур ба хуваагч хоёулаа хэд дахин нэмэгдсэн бэ? Бутархай өөрчлөгдсөн үү? Яагаад өөрчлөгдөөгүй юм бэ? Хувьцаа хэрхэн томорсон бэ, жижиг үү? Тоо нэмэгдсэн үү, буурсан уу

Дараа нь бүх сурагчид тойргийг 2 тэнцүү хэсэгт хувааж, хагас бүрийг 2 тэнцүү хэсэгт, улирал бүрийг өөр хэсэгт хуваана.

2 тэнцүү хэсэг гэх мэтийг бичээд: "o^A^tr^tgg ба m - L- Дараа нь бутархайн хуваагч ба хуваагч хэдэн удаа өссөн, бутархай өөрчлөгдсөн эсэхийг тогтооно. Дараа нь хэрчим зураад 3 , 6, 12 тэнцүү хэсэгт дараалан хувааж бичнэ.

1 21 4 -^ ба -^, -^ ба -^ бутархайг харьцуулахдаа

tg бутархайн хүртэгч ба хуваагч ижил тоогоор нэмэгдэх ба бутархай нь үүнээс өөрчлөгдөхгүй.

Хэд хэдэн жишээг авч үзсэний дараа оюутнуудаас "Хэрэв тоологч нь "Энгийн бутархай" сэдвийн талаархи зарим мэдлэгийг VIII хэлбэрийн засан хүмүүжүүлэх сургуулиудад математикийн сургалтын хөтөлбөрөөс хассан тохиолдолд бутархай өөрчлөгдөх үү? Сэтгэцийн хомсдолтой хүүхдүүдэд зориулсан сургуулийн сурагчдад, математик сурахад бэрхшээлтэй хүүхдүүдэд зориулсан түвшин тогтоох ангид. Энэхүү сурах бичигт энэ материалыг судлах арга зүйг заасан догол мөрүүд байдаг.

одоор (*) тэмдэглэгдсэн байна.

Тоолуур ба хуваагчийг ижил тоогоор (тоо ба хуваагчийг ижил тоогоор хуваана) багасгах талаар авч үзэх үед ижил төстэй жишээг өгсөн болно. Жишээлбэл, cr>"

( 4 \ 8 тэнцүү хэсэгт хуваагдсан, тойргийн наймны 4-ийг авна I -o- ]

Хувьцаагаа томруулчихаад дөрөв дэхийг нь авчихдаг, томруулаад 2 ширхэг болно

4 2 1 секунд авна. Тэдгээрийн 1 нь байх болно : ~th = -d--%-Дагагчийг харьцуулах!I

Эдгээр бутархайн тоологч ба хуваагч, асуултанд хариулахдаа: "Д<>Тоолуур ба хуваагч хэдэн удаа буурах вэ? Бутархай өөрчлөгдөх үү?

Сайн хөтөч нь 12, 6, 3 тэнцүү хэсэгт хуваагдсан судал юм (Зураг 26).

Н

12 6 3 Зураг. 26

Бутархай

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Ахлах сургуульд бутархай тоо тийм ч их төвөг учруулдаггүй. Одоохондоо. Рационал илтгэгч болон логарифм бүхий хүчнүүдтэй таарах хүртэл. Мөн тэнд... Та тооцоолуур дээр дараад дарахад энэ нь зарим тооны бүтэн дэлгэцийг харуулна. Гуравдугаар анги шиг толгойгоо бодох хэрэгтэй.

Эцэст нь бутархайг олж мэдье! За, чи тэдэнтэй хэр зэрэг андуурч чадах вэ!? Түүнээс гадна энэ бүхэн энгийн бөгөөд логик юм. Тэгэхээр, бутархайн төрлүүд юу вэ?

Бутархайн төрлүүд. Өөрчлөлтүүд.

Гурван төрлийн бутархай байдаг.

1. Энгийн бутархай , Жишээлбэл:

Заримдаа хэвтээ шугамын оронд ташуу зураас тавьдаг: 1/2, 3/4, 19/5, худаг гэх мэт. Энд бид ихэвчлэн энэ зөв бичгийн дүрмийг ашиглах болно. Дээд дугаарыг дуудаж байна тоологч, доод - хуваагч.Хэрэв та эдгээр нэрийг байнга андуурч байвал (энэ нь тохиолддог ...) өөртөө хэлээрэй: " Zzzzzсанаж байна уу! Zzzzzхуваагч - харах zzzzӨө!" Хараач, бүх зүйл санаж байх болно.)

Зураас нь хэвтээ эсвэл налуу гэсэн утгатай хэлтэсдээд тоо (тоо) доод тал руу (хуваагч). Тэгээд л болоо! Зураасны оронд хуваах тэмдэг тавих бүрэн боломжтой - хоёр цэг.

Бүрэн хуваах боломжтой бол үүнийг хийх ёстой. Тиймээс "32/8" бутархайн оронд "4" тоог бичих нь илүү таатай байна. Тэдгээр. 32-ыг 8-д хуваана.

32/8 = 32: 8 = 4

Би "4/1" фракцын тухай ч ярихгүй байна. Энэ нь бас зүгээр л "4" юм. Хэрэв энэ нь бүрэн хуваагдахгүй бол бид үүнийг бутархай хэлбэрээр үлдээнэ. Заримдаа та эсрэг үйлдэл хийх хэрэгтэй болдог. Бүхэл тоог бутархай болгон хувирга. Гэхдээ энэ талаар дараа дэлгэрэнгүй.

2. Аравтын тоо , Жишээлбэл:

Энэ маягт дээр та "B" даалгаврын хариултыг бичих хэрэгтэй болно.

3. Холимог тоо , Жишээлбэл:

Ахлах сургуульд холимог тоо бараг ашиглагддаггүй. Тэдэнтэй ажиллахын тулд тэдгээрийг энгийн бутархай болгон хувиргах ёстой. Гэхдээ та үүнийг хийх чадвартай байх нь гарцаагүй! Тэгэхгүй бол асуудал дээр ийм дугаартай тааралдаад хөлдөх нь... Хаанаас ч юм. Гэхдээ бид энэ журмыг санах болно! Жаахан доогуур.

Хамгийн уян хатан энгийн бутархай. Тэднээс эхэлцгээе. Дашрамд хэлэхэд, хэрэв бутархай нь бүх төрлийн логарифм, синус болон бусад үсгүүдийг агуулж байвал энэ нь юу ч өөрчлөгдөхгүй. Бүх зүйл гэсэн утгаараа бутархай илэрхийлэлтэй үйлдэл нь энгийн бутархайтай үйлдлээс ялгаатай биш юм!

Бутархайн үндсэн шинж чанар.

За, явцгаая! Эхлээд би чамайг гайхшруулах болно. Бүх төрлийн бутархай хувиргалтыг нэг өмчөөр хангадаг! Үүнийг ингэж нэрлэдэг бутархайн үндсэн шинж чанар. Санаж байна уу: Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг ижил тоогоор үржүүлэх (хуваах) тохиолдолд бутархай өөрчлөгдөхгүй.Эдгээр нь:

Та нүүрээ хөхрөх хүртэл бичсээр байх нь ойлгомжтой. Синус болон логарифмууд таныг төөрөгдүүлэхийг бүү зөвшөөр, бид тэдгээрийг цаашид авч үзэх болно. Хамгийн гол нь эдгээр бүх янз бүрийн илэрхийлэл гэдгийг ойлгох явдал юм ижил бутархай . 2/3.

Энэ бүх өөрчлөлтүүд бидэнд хэрэгтэй юу? Мөн хэрхэн! Одоо та өөрөө харах болно. Эхлэхийн тулд бутархайн үндсэн шинж чанарыг ашиглая бутархай хэсгүүдийг багасгах. Энэ нь энгийн зүйл мэт санагдах болно. Тоолуур ба хуваагчийг ижил тоогоор хуваавал ингээд л болоо! Алдаа гаргах боломжгүй! Гэхдээ... хүн бол бүтээлч амьтан. Та хаана ч алдаа гаргаж болно! Ялангуяа 5/10 гэх мэт бутархай биш, харин бүх төрлийн үсэг бүхий бутархай илэрхийллийг багасгах шаардлагатай бол.

Нэмэлт ажил хийлгүйгээр бутархайг хэрхэн зөв, хурдан багасгах талаар 555-р тусгай хэсгээс уншиж болно.

Энгийн оюутан тоологч болон хуваагчийг ижил тоогоор (эсвэл илэрхийлэл) хуваахад төвөг учруулдаггүй! Тэр зүгээр л дээр доор байгаа бүх зүйлийг зурж хаядаг! Энд ердийн алдаа, бүдүүлэг алдаа нуугдаж байдаг.

Жишээлбэл, та илэрхийллийг хялбарчлах хэрэгтэй:

Энд бодох зүйл алга, дээр нь "а" үсэг, доод талд нь "2" үсэг зур! Бид авах:

Бүх зүйл зөв. Гэхдээ та үнэхээр хуваагдсан бүгд тоологч ба бүгд хуваагч нь "a". Хэрэв та зүгээр л зурж зурж байсан бол яаран сандран дээрх "а" тэмдгийг зурж болно

тэгээд дахиад аваарай

Энэ нь огт худал байх болно. Учир нь энд бүгд"a" дээрх тоологч аль хэдийн байна хуваалцдаггүй! Энэ хэсгийг багасгах боломжгүй. Дашрамд хэлэхэд, ийм бууралт нь ... багшийн хувьд ноцтой сорилт юм. Үүнийг өршөөхгүй! Чи санаж байна уу? Бууруулахдаа хуваах хэрэгтэй бүгд тоологч ба бүгд хуваагч!

Бутархай тоог багасгах нь амьдралыг илүү хялбар болгодог. Та хаа нэгтээ бутархай авах болно, жишээ нь 375/1000. Би одоо яаж түүнтэй үргэлжлүүлэн ажиллах вэ? Тооны машингүй юу? Үржүүлэх, хэлэх, нэмэх, квадрат!? Хэрэв та хэтэрхий залхуу биш бол болгоомжтойгоор таваар, дахин таваар, бүр ... богиносгож байхад нь багасга. 3/8-ыг авцгаая! Илүү сайхан, тийм үү?

Бутархайн үндсэн шинж чанар нь энгийн бутархайг аравтын бутархай болгон хувиргах боломжийг олгодог тооцоолуургүйгээр! Улсын нэгдсэн шалгалтад энэ чухал шүү дээ?

Бутархайг нэг төрлөөс нөгөөд хэрхэн хөрвүүлэх вэ.

Аравтын бутархайн хувьд бүх зүйл энгийн байдаг. Сонссон шигээ л бичигддэг! 0.25 гэж бодъё. Энэ бол тэг цэгийн хорин таван зуу. Тиймээс бид бичнэ: 25/100. Бид багасгаж (бид тоологч ба хуваагчийг 25-аар хуваадаг), бид ердийн бутархайг авдаг: 1/4. Бүгд. Энэ нь тохиолддог, юу ч багасдаггүй. 0.3 шиг. Энэ нь аравны гурав, өөрөөр хэлбэл. 3/10.

Хэрэв бүхэл тоо нь тэг биш бол яах вэ? Зүгээр дээ. Бид бүхэл бутархайг бичнэ ямар ч таслалгүйтоологч, хуваарьт - юу сонсогдож байна. Жишээ нь: 3.17. Энэ нь гурван цэг арван долоон зуун юм. Бид 317 гэж хуваагчдаа 100 гэж бичвэл 317/100 болно. Юу ч буураагүй, энэ нь бүх зүйл гэсэн үг юм. Энэ бол хариулт юм. Бага ангийн Ватсон! Хэлсэн бүх зүйлээс ашигтай дүгнэлт: ямар ч аравтын бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргаж болно .

Гэхдээ зарим хүмүүс энгийнээс аравтын бутархай руу урвуу хувиргалтыг тооцоолуургүйгээр хийж чадахгүй. Мөн энэ нь зайлшгүй шаардлагатай! Улсын нэгдсэн шалгалтын хариуг яаж бичих вэ!? Үүнийг анхааралтай уншиж, энэ үйл явцыг эзэмшээрэй.

Аравтын бутархайн шинж чанар юу вэ? Түүний хуваагч нь Үргэлжзардал 10, эсвэл 100, эсвэл 1000, эсвэл 10000 гэх мэт. Хэрэв таны энгийн бутархай ийм хуваарьтай бол ямар ч асуудал байхгүй. Жишээлбэл, 4/10 = 0.4. Эсвэл 7/100 = 0.07. Эсвэл 12/10 = 1.2. Хэрэв "В" хэсгийн даалгаврын хариулт 1/2 болвол яах вэ? Хариуд нь бид юу бичих вэ? Аравтын тоо шаардлагатай...

Санаж үзье бутархайн үндсэн шинж чанар ! Математик нь тоологч ба хуваагчийг ижил тоогоор үржүүлэх боломжийг танд олгоно. Дашрамд хэлэхэд юу ч байсан! Тэгээс бусад нь мэдээж. Тиймээс энэ өмчийг өөрт ашигтайгаар ашиглацгаая! Хуваагчийг юугаар үржүүлж болох вэ, i.e. 2, тэгвэл 10, 100, 1000 болно (мэдээж бага байх нь дээр...)? 5-тай нь ойлгомжтой. Хугацагчийг үржүүлж болно (энэ нь бидшаардлагатай) 5. Гэхдээ дараа нь тоологчийг мөн 5-аар үржүүлэх ёстой. Энэ нь аль хэдийн байна математикшаардлага! Бид 1/2 = 1x5 / 2x5 = 5/10 = 0.5 авна. Тэгээд л болоо.

Гэсэн хэдий ч, бүх төрлийн хуваагч тааралддаг. Та жишээ нь 3/16 гэсэн бутархайтай таарах болно. 16-г юугаар үржүүлбэл 100, 1000 болохоо бодож үзээрэй... Энэ нь болохгүй байна уу? Дараа нь та 3-ыг 16-д хувааж болно. Тооны машин байхгүй тохиолдолд бага сургуульд заадаг шиг цаасан дээр булангаар хуваах хэрэгтэй болно. Бид 0.1875 авдаг.

Мөн маш муу хуваагч байдаг. Жишээлбэл, 1/3 бутархайг сайн аравтын бутархай болгох арга байхгүй. Тооны машин дээр ч, цаасан дээр ч 0.3333333 гарна... Энэ нь 1/3 нь яг аравтын бутархай гэсэн үг юм. орчуулдаггүй. 1/7, 5/6 гэх мэт. Тэд маш олон, орчуулагдах боломжгүй. Энэ нь биднийг өөр нэг ашигтай дүгнэлтэд хүргэж байна. Бутархай бүрийг аравтын бутархай болгон хувиргах боломжгүй !

Дашрамд хэлэхэд энэ нь өөрийгөө шалгахад хэрэгтэй мэдээлэл юм. "B" хэсэгт та хариултдаа аравтын бутархай бичих ёстой. Жишээлбэл, та 4/3 авсан. Энэ бутархай нь аравтын бутархай руу хувирдаггүй. Энэ нь та замдаа хаа нэгтээ алдаа гаргасан гэсэн үг! Буцаж, шийдлийг шалгана уу.

Тиймээс бид энгийн ба аравтын бутархайг олж мэдсэн. Холимог тоонуудтай харьцах хэвээр байна. Тэдэнтэй ажиллахын тулд тэдгээрийг энгийн бутархай болгон хувиргах ёстой. Үүнийг хэрхэн хийх вэ? Та зургадугаар ангийн хүүхдийг барьж аваад асууж болно. Гэхдээ зургадугаар ангийн хүүхэд үргэлж дэргэд байдаггүй ... Та үүнийг өөрөө хийх хэрэгтэй. Энэ нь хэцүү биш юм. Бутархай хэсгийн хуваагчийг бүхэлд нь үржүүлж, бутархай хэсгийн хуваагчийг нэмэх хэрэгтэй. Энэ нь энгийн бутархайн тоо байх болно. Хуваарийн талаар юу хэлэх вэ? Хуваарилагч нь хэвээр байх болно. Энэ нь төвөгтэй сонсогдож байгаа ч бодит байдал дээр бүх зүйл энгийн байдаг. Нэг жишээ авч үзье.

Асуудлын дугаарыг хараад айсан гэж бодъё:

Тайван, сандрахгүйгээр бид боддог. Бүхэл хэсэг нь 1. Нэгж. Бутархай хэсэг нь 3/7 байна. Иймд бутархай хэсгийн хуваагч нь 7. Энэ хуваагч нь энгийн бутархайн хуваагч болно. Бид тоологчийг тоолдог. Бид 7-г 1-ээр (бүхэл хэсэг) үржүүлж, 3-ыг (бутархай хэсгийн тоо) нэмнэ. Бид 10-ыг авна. Энэ нь энгийн бутархайн тоо байх болно. Тэгээд л болоо. Энэ нь математикийн тэмдэглэгээнд илүү хялбар харагдаж байна:

Тодорхой байна уу? Дараа нь амжилтаа баталгаажуулаарай! Энгийн бутархай руу хөрвүүлэх. Та 10/7, 7/2, 23/10, 21/4 авах ёстой.

Урвуу үйлдэл - буруу бутархайг холимог тоо болгон хувиргах нь ахлах сургуульд ховор тохиолддог. Хэрэв тийм бол ... Хэрэв та ахлах сургуульд сурдаггүй бол 555-р тусгай хэсгийг үзэж болно. Дашрамд хэлэхэд, та тэнд буруу бутархайн талаар сурах болно.

За, энэ бол бараг бүх зүйл. Та бутархайн төрлийг санаж, ойлгосон Хэрхэн тэдгээрийг нэг төрлөөс нөгөөд шилжүүлэх. Гэсэн асуулт хэвээр байна: Юуны төлөө үүнийг хий? Энэхүү гүн гүнзгий мэдлэгийг хаана, хэзээ хэрэглэх вэ?

Би хариулдаг. Аливаа жишээ нь өөрөө шаардлагатай үйлдлүүдийг санал болгодог. Хэрэв жишээнд энгийн бутархай, аравтын бутархай, тэр ч байтугай холимог тоо холилдсон бол бид бүгдийг энгийн бутархай болгон хувиргадаг. Үүнийг үргэлж хийж болно. За тэгээд 0.8 + 0.3 гэх мэт зүйл бичсэн бол бид үүнийг ямар ч орчуулгагүйгээр ингэж тоолдог. Бидэнд яагаад нэмэлт ажил хэрэгтэй байна вэ? Бид тохиромжтой шийдлийг сонгодог бид !

Хэрэв даалгавар бол бүх аравтын бутархай, гэхдээ аан ... ямар нэг муу зүйл байвал энгийн зүйл рүү очоод үзээрэй! Хараач, бүх зүйл бүтнэ. Жишээлбэл, та 0.125 тоог квадрат болгох хэрэгтэй болно. Хэрэв та тооцоолуур ашиглаж дасаагүй бол энэ нь тийм ч хялбар биш юм! Та зөвхөн баганад байгаа тоог үржүүлээд зогсохгүй таслалыг хаана оруулахаа бодох хэрэгтэй! Энэ нь таны толгойд ажиллахгүй нь гарцаагүй! Хэрэв бид энгийн бутархай руу шилжвэл яах вэ?

0.125 = 125/1000. Бид үүнийг 5-аар бууруулдаг (энэ нь эхлэгчдэд зориулагдсан). Бид 25/200 авдаг. Дахин нэг удаа 5. Бид 5/40 авдаг. Өө, энэ нь багассаар л байна! 5 руу буцах! Бид 1/8-ийг авдаг. Бид үүнийг хялбархан квадрат болгож (бидний оюун ухаанд!) 1/64-ийг авах боломжтой. Бүгд!

Энэ хичээлийг тоймлон хүргэе.

1. Гурван төрлийн бутархай байдаг. Энгийн, аравтын бутархай, холимог тоо.

2. Аравтын болон холимог тоо Үргэлжэнгийн бутархай болгон хувиргаж болно. Урвуу шилжүүлэг дандаа бишболомжтой.

3. Даалгавартай ажиллах бутархайн төрлийг сонгох нь тухайн даалгавараас хамаарна. Нэг даалгаварт янз бүрийн төрлийн бутархай байгаа бол хамгийн найдвартай нь энгийн бутархай руу шилжих явдал юм.

Одоо та дасгал хийж болно. Эхлээд эдгээр аравтын бутархайг энгийн бутархай болгон хөрвүүлнэ.

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Та ийм хариулт авах ёстой (замбараагүй байдалд!):

Энд дуусгая. Энэ хичээлээр бид бутархайн тухай гол санаануудыг санах ойгоо сэргээсэн. Гэсэн хэдий ч сэргээхэд онцгой зүйл байхгүй байх нь тохиолддог ...) Хэрэв хэн нэгэн үүнийг бүрэн мартсан эсвэл хараахан эзэмшээгүй байгаа бол ... Дараа нь та тусгай 555-р хэсэг рүү очиж болно. Бүх үндсэн мэдээллийг тэнд нарийвчлан тусгасан болно. Олон гэнэт бүгдийг ойлгохэхэлж байна. Мөн тэд бутархайг шууд шийддэг).

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, надад танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Энэ нийтлэл нь бутархай агуулсан илэрхийллийг хөрвүүлэх ерөнхий ойлголтыг өгдөг. Энд бид бутархай илэрхийлэлд хамаарах үндсэн хувиргалтыг авч үзэх болно.

Хуудасны навигаци.

Бутархай ба бутархай илэрхийлэл бүхий илэрхийлэл

Юуны өмнө бид ямар төрлийн илэрхийлэл хувиргалттай ажиллахаа тодруулъя.

Өгүүллийн гарчиг нь "өөрийгөө тайлбарласан хэллэгийг агуулна" бутархай илэрхийлэл" Өөрөөр хэлбэл, дор хаяж нэг бутархай агуулсан хувьсагчтай тоон илэрхийлэл, илэрхийлэлийг хөрвүүлэх талаар ярих болно.

"Бутархайн хувирал: ерөнхий үзэл бодол" нийтлэлийг нийтэлсний дараа бид бие даасан фракцуудыг сонирхохоо больсон гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе. Тиймээс, бид зөвхөн дор хаяж нэг бутархай байгаа тохиолдолд нэгддэг үндэс, хүч, логарифм бүхий нийлбэр, ялгаа, бүтээгдэхүүн, хэсэгчилсэн болон илүү төвөгтэй илэрхийлэлүүдийг авч үзэх болно.

Мөн захиалгаа өгцгөөе бутархай илэрхийллүүд. Эдгээр нь бутархай илэрхийлэлтэй адил биш юм. Бутархай илэрхийлэл нь илүү ерөнхий ойлголт юм. Бутархай илэрхийлэл бүр бутархай илэрхийлэл биш юм. Жишээлбэл, илэрхийлэл нь бутархай илэрхийлэл биш, хэдийгээр бутархайг агуулсан боловч бүхэл бүтэн оновчтой илэрхийлэл юм. Тиймээс та бутархай илэрхийлэлийг нэг гэдэгт бүрэн итгэлтэй байж чадахгүй байж бутархай илэрхийлэл гэж нэрлэж болохгүй.

Бутархайтай илэрхийллийн үндсэн хувиргалт

Жишээ.

Илэрхийлэлийг хялбарчлах .

Шийдэл.

Энэ тохиолдолд та илэрхийллийг өгдөг хаалтуудыг нээж болно , ижил төстэй нэр томъёог агуулсан ба , түүнчлэн −3 ба 3 . Тэднийг нэгтгэсний дараа бид бутархайг авна.

Шийдэл бичих богино хэлбэрийг үзүүлье:

Хариулт:

.

Бие даасан бутархайтай ажиллах

Бидний хөрвүүлэх тухай ярьж буй илэрхийллүүд нь бусад илэрхийллээс голчлон бутархай байгаагаараа ялгаатай. Мөн бутархай байгаа нь тэдэнтэй ажиллах хэрэгсэл шаарддаг. Энэ догол мөрөнд бид өгөгдсөн илэрхийллийн тэмдэглэгээнд багтсан бие даасан бутархайн хувиргалтыг авч үзэх бөгөөд дараагийн догол мөрөнд бид анхны илэрхийлэлийг бүрдүүлдэг бутархайтай үйлдлүүд рүү шилжих болно.

Анхны илэрхийллийн салшгүй хэсэг болох дурын бутархайн хувьд та өгүүлэлд заасан аливаа хувиргалтыг бутархай хөрвүүлэх боломжтой. Өөрөөр хэлбэл, та тусдаа бутархай авч, түүний тоологч ба хуваагчтай ажиллах, багасгах, шинэ хуваагч болгон багасгах гэх мэт боломжтой. Энэ хувиргалтаар сонгосон бутархай нь ижил тэнцүү бутархайгаар солигдох бөгөөд анхны илэрхийлэл нь ижил тэнцүү илэрхийллээр солигдох нь тодорхой байна. Нэг жишээ авч үзье.

Жишээ.

Бутархай илэрхийлэлийг хөрвүүлэх илүү энгийн хэлбэрт шилжүүлэх.

Шийдэл.

Бутархайтай ажиллах замаар хувиргалтыг эхлүүлье. Эхлээд хаалтуудыг нээж, бутархайн тоологч дахь ижил төстэй нэр томъёог үзүүлье. . Одоо тоологч дахь нийтлэг х хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж, алгебрийн бутархайн дараагийн бууралтыг гаргаж өгөхийг гуйж байна. . Үлдсэн зүйл бол бутархайн оронд гарсан үр дүнг анхны илэрхийлэл болгон орлуулах явдал юм .

Хариулт:

.

Бутархай тоогоор юм хийх

Бутархай илэрхийллийг хөрвүүлэх үйл явцын нэг хэсэг нь ихэвчлэн хийх явдал юм бутархайтай үйлдлүүд. Эдгээр нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн үйлдлийн дарааллын дагуу хийгддэг. Ямар ч тоо, илэрхийллийг үргэлж 1 хуваагчтай бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно гэдгийг санах нь зүйтэй.

Жишээ.

Илэрхийлэлийг хялбарчлах .

Шийдэл.

Асуудлын шийдэлд янз бүрийн өнцгөөс хандаж болно. Хэлэлцэж буй сэдвийн хүрээнд бид бутархайтай үйлдлүүдийг гүйцэтгэх болно. Бутархайг үржүүлэхээс эхэлцгээе:

Одоо бид бүтээгдэхүүнийг хуваагч 1-тэй бутархай хэлбэрээр бичиж, дараа нь бид бутархайг хасах болно.

Хэрэв хүсвэл, шаардлагатай бол та хуваагч дахь үндэслэлгүй байдлаас өөрийгөө чөлөөлж чадна , та хувиргаж дуусгах боломжтой.

Хариулт:

Үндэс, хүч, логарифм гэх мэт шинж чанаруудын хэрэглээ.

Бутархай хэллэгийн ангилал маш өргөн. Ийм илэрхийлэл нь бутархай хэсгүүдээс гадна үндэс, янз бүрийн илтгэгч, модуль, логарифм, тригонометрийн функц гэх мэтийг агуулж болно. Мэдээжийн хэрэг, тэдгээрийг хөрвүүлэхдээ холбогдох шинж чанаруудыг ашигладаг.

Бутархайд хамаарахын тулд бутархайн язгуурын шинж чанар, бутархайн зэрэглэлийн шинж чанар, хуваалтын модулийн шинж чанар, ялгааны логарифмын шинж чанарыг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй. .

Тодорхой болгохын тулд цөөн хэдэн жишээ энд байна. Жишээлбэл, илэрхийлэлд Зэрэглэлийн шинж чанарт үндэслэн эхний бутархайг градусаар орлуулах нь ашигтай байж болох бөгөөд энэ нь дараа нь илэрхийллийг квадрат зөрүү хэлбэрээр харуулах боломжийг олгоно. Логарифм илэрхийллийг хөрвүүлэх үед та бутархайн логарифмийг логарифмын зөрүүгээр сольж болох бөгөөд энэ нь хожим ижил төстэй нэр томъёог авчирч, улмаар илэрхийллийг хялбарчлах боломжийг олгоно: . Тригонометрийн илэрхийллийг хөрвүүлэхийн тулд ижил өнцгийн синус ба косинусын харьцааг шүргэгчээр солих шаардлагатай. Тохирох томьёог ашиглан хагас аргументаас бүхэл бүтэн аргумент руу шилжих шаардлагатай байж магадгүй бөгөөд ингэснээр бутархай аргументаас ангижрах болно, жишээлбэл, .

Үндэс, хүч гэх мэт шинж чанаруудын хэрэглээ. Илэрхийллийн хувиргалтыг нийтлэлд илүү дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно:

• Үндэсний шинж чанарыг ашиглан иррационал илэрхийллийг хувиргах,
• Хүчин чадлын шинж чанарыг ашиглан илэрхийллийг хөрвүүлэх,
• Логарифмын шинж чанарыг ашиглан логарифмын илэрхийллийг хөрвүүлэх,
• Тригонометрийн илэрхийллийг хөрвүүлэх.

Илэрхийллийн утгыг тооцоолохдоо хамгийн сүүлд хийгддэг арифметик үйлдэл нь “мастер” үйлдэл юм.

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та үсгийн оронд зарим (ямар ч) тоог орлуулж, илэрхийллийн утгыг тооцоолохыг оролдвол, хэрэв сүүлчийн үйлдэл нь үржүүлэх юм бол бид үржвэртэй болно (илэрхийлэл нь үржвэрлэгдсэн).

Хэрэв сүүлчийн үйлдэл нь нэмэх эсвэл хасах үйлдэл бол илэрхийлэл нь хүчин зүйл ангилагдаагүй (тиймээс багасгах боломжгүй) гэсэн үг юм.

Үүнийг бататгахын тулд хэд хэдэн жишээг өөрөө шийд:

Жишээ нь:

Шийдэл:

1. Та тэр даруй огтлох гэж яараагүй гэж найдаж байна? Ийм нэгжүүдийг "багасгах" нь хангалтгүй хэвээр байсан:

Эхний алхам нь хүчин зүйлчлэл байх ёстой:

4. Бутархай тоог нэмэх, хасах. Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах.

Энгийн бутархайг нэмэх, хасах нь танил үйлдэл юм: бид нийтлэг хуваагчийг хайж, бутархай бүрийг алга болсон хүчин зүйлээр үржүүлж, тоог нэмэх/хасах.

Санаж үзье:

Хариултууд:

1. Хуваагч ба харьцангуй анхдагч, өөрөөр хэлбэл нийтлэг хүчин зүйл байхгүй. Тиймээс эдгээр тоонуудын LCM нь тэдгээрийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна. Энэ нь нийтлэг хуваагч байх болно:

2. Энд нийтлэг хуваагч нь:

3. Энд эхлээд бид холимог бутархайг зохисгүй болгон хувиргаж, дараа нь ердийн схемийн дагуу:

Хэрэв бутархай нь үсэг агуулсан байвал энэ нь огт өөр асуудал юм, жишээлбэл:

Энгийн зүйлээс эхэлцгээе:

a) Хугацаа нь үсэг агуулаагүй

Энд бүх зүйл энгийн тоон бутархайтай адил байна: бид нийтлэг хуваагчийг олж, бутархай бүрийг алга болсон хүчин зүйлээр үржүүлж, тоог нэмэх/хасах:

Одоо тоологч дээр та ижил төстэй, хэрэв байгаа бол тэдгээрийг өгч, үржүүлж болно:

Та өөрөө туршаад үзээрэй:

Хариултууд:

б) Хугацаа нь үсэг агуулдаг

Үсэггүй нийтлэг хуваагчийг олох зарчмыг санацгаая.

· юуны түрүүнд нийтлэг хүчин зүйлсийг тодорхойлох;

· дараа нь бид бүх нийтлэг хүчин зүйлсийг нэг нэгээр нь бичдэг;

· бусад нийтлэг бус бүх хүчин зүйлээр үржүүлнэ.

Хуваарийн нийтлэг хүчин зүйлсийг тодорхойлохын тулд бид эхлээд тэдгээрийг үндсэн хүчин зүйл болгон хуваана.

Нийтлэг хүчин зүйлсийг онцолж үзье:

Одоо нийтлэг хүчин зүйлсийг нэг нэгээр нь бичиж, тэдгээрт нийтлэг бус (доор зураагүй) бүх хүчин зүйлийг нэмье.

Энэ бол нийтлэг зүйл юм.

Захидалдаа буцаж орцгооё. Хуваагчдыг яг ижил аргаар өгсөн болно.

· хуваагчийг хүчин зүйл болгох;

· нийтлэг (ижил) хүчин зүйлсийг тодорхойлох;

· Бүх нийтлэг хүчин зүйлсийг нэг удаа бичих;

· тэдгээрийг бусад бүх нийтлэг бус хүчин зүйлээр үржүүлнэ.

Тиймээс, дарааллаар нь:

1) хуваагчийг хүчин зүйлээр тооцох:

2) нийтлэг (ижил) хүчин зүйлсийг тодорхойлох:

3) бүх нийтлэг хүчин зүйлсийг нэг удаа бичиж, бусад бүх (доор зураагүй) хүчин зүйлүүдээр үржүүлнэ.

Тэгэхээр энд нэг нийтлэг зүйл байна. Эхний бутархайг үржүүлж, хоёр дахь нь:

Дашрамд хэлэхэд нэг заль мэх бий:

Жишээлбэл: .

Бид хуваагчдад ижил хүчин зүйлсийг хардаг, зөвхөн бүгд өөр өөр үзүүлэлттэй байдаг. Нийтлэг хуваагч нь:

тодорхой хэмжээгээр

тодорхой хэмжээгээр

тодорхой хэмжээгээр

тодорхой хэмжээгээр.

Даалгаврыг хүндрүүлье:

Бутархайг хэрхэн ижил хуваагчтай болгох вэ?

Бутархайн үндсэн шинж чанарыг санацгаая.

Бутархайн хуваагч болон хуваагчаас ижил тоог хасч (эсвэл нэмж) болно гэж хаана ч байхгүй. Учир нь энэ нь үнэн биш юм!

Өөрийгөө хараарай: жишээ нь дурын бутархайг авч, тоо болон хуваагч дээр хэдэн тоог нэмнэ, жишээлбэл, . Чи юу сурсан бэ?

Тиймээс өөр нэг хөдлөшгүй дүрэм:

Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгахдаа зөвхөн үржүүлэх үйлдлийг ашиглана уу!

Гэхдээ авахын тулд юугаар үржүүлэх хэрэгтэй вэ?

Тиймээс үржүүлээрэй. Тэгээд үржүүлнэ:

Хүчин зүйлд ангилагдах боломжгүй хэллэгийг бид "элементар хүчин зүйл" гэж нэрлэх болно.

Жишээлбэл, энэ бол үндсэн хүчин зүйл юм. - Адилхан. Гэхдээ үгүй: үүнийг хүчин зүйлээр ангилж болно.

Илэрхийллийн талаар юу хэлэх вэ? Энэ нь анхан шатны хичээл үү?

Үгүй, учир нь үүнийг хүчин зүйлээр ангилж болно:

("" гэсэн сэдвээр хүчин зүйл ангилах талаар та аль хэдийн уншсан).

Тиймээс үсэг бүхий илэрхийлэлийг задлах энгийн хүчин зүйлүүд нь тоонуудыг задалдаг энгийн хүчин зүйлүүдийн аналог юм. Мөн бид тэдэнтэй ижил аргаар харьцах болно.

Бид хуваагч хоёулаа үржүүлэгчтэй болохыг харж байна. Энэ нь нийтлэг хуваагч руу зэрэгтэй очно (яагаадыг санаж байна уу?).

Хүчин зүйл нь энгийн бөгөөд тэдгээрт нийтлэг хүчин зүйл байдаггүй бөгөөд энэ нь эхний бутархайг зүгээр л үржүүлэх шаардлагатай болно гэсэн үг юм.

Өөр нэг жишээ:

Шийдэл:

Та эдгээр хуваагчдыг сандаргаж үржүүлэхээсээ өмнө тэдгээрийг хэрхэн хүчин зүйл болгох талаар бодох хэрэгтэй юу? Тэд хоёулаа дараахь зүйлийг төлөөлдөг.

Агуу их! Дараа нь:

Өөр нэг жишээ:

Шийдэл:

Ердийнх шигээ хуваагчийг хүчин зүйлээр ангилъя. Эхний хуваарьт бид зүгээр л хаалтанд оруулав; хоёр дахь нь - квадратуудын ялгаа:

Нийтлэг хүчин зүйл байхгүй юм шиг санагдаж байна. Гэхдээ хэрэв та анхааралтай ажиглавал тэд ижил төстэй байна ... Мөн энэ нь үнэн:

Ингээд бичье:

Өөрөөр хэлбэл, ийм болсон: хаалт дотор бид нэр томъёог сольж, тэр үед бутархайн урд талын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдсөн. Анхаарна уу, та үүнийг байнга хийх хэрэгтэй болно.

Одоо үүнийг нийтлэг хуваагч руу аваачъя:

Авчихсан? Одоо шалгаж үзье.

Бие даасан шийдлийн даалгавар:

Хариултууд:

Энд бид өөр нэг зүйлийг санах хэрэгтэй - шоо дөрвөлжингийн ялгаа:

Хоёрдахь бутархайн хуваагч нь "нийлбэрийн квадрат" томъёог агуулаагүй болохыг анхаарна уу! Нийлбэрийн квадрат нь дараах байдалтай байна: .

A нь нийлбэрийн бүрэн бус квадрат гэж нэрлэгддэг: хоёр дахь гишүүн нь эхний ба сүүлчийнх нь үржвэр бөгөөд тэдгээрийн давхар үржвэр биш юм. Нийлбэрийн хэсэгчилсэн квадрат нь кубын зөрүүг тэлэх хүчин зүйлүүдийн нэг юм.

Хэрэв аль хэдийн гурван бутархай байвал яах вэ?

Тийм ээ, ижил зүйл! Юуны өмнө, хуваагч дахь хүчин зүйлийн хамгийн их тоо ижил байгаа эсэхийг шалгацгаая.

Анхаарна уу: хэрэв та нэг хаалт доторх тэмдгийг өөрчилвөл бутархайн урд талын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө. Хоёрдахь хаалтанд байгаа тэмдгүүдийг өөрчлөхөд бутархайн өмнөх тэмдэг дахин эсрэгээр өөрчлөгдөнө. Үүний үр дүнд энэ нь (бутархайн урд талын тэмдэг) өөрчлөгдөөгүй.

Бид эхний хуваагчийг бүхэлд нь нийтлэг хуваагч руу бичээд дараа нь хоёр дахь, гурав дахь нь (хэрэв илүү олон бутархай байвал гэх мэт) бичигдээгүй байгаа бүх хүчин зүйлийг нэмнэ. Энэ нь дараах байдлаар харагдаж байна.

Хмм... Бутархайгаар юу хийх нь ойлгомжтой. Гэхдээ энэ хоёр яах вэ?

Энэ нь энгийн: та бутархайг хэрхэн нэмэхээ мэддэг, тийм ээ? Тиймээс бид хоёрыг бутархай болгох хэрэгтэй! Санаж үзье: бутархай нь хуваах үйлдэл юм (хэрэв та мартсан бол тоологч нь хуваагчаар хуваагдана). Мөн тоог хуваах шиг амархан зүйл байхгүй. Энэ тохиолдолд тоо нь өөрөө өөрчлөгдөхгүй, харин бутархай болж хувирна.

Яг юу хэрэгтэй вэ!

5. Бутархайг үржүүлэх, хуваах.

За одоо хамгийн хэцүү хэсэг нь дууслаа. Бидний өмнө хамгийн энгийн, гэхдээ нэгэн зэрэг хамгийн чухал нь байна.

Процедур

Тоон илэрхийллийг тооцоолох журам юу вэ? Энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолохдоо санаарай:

Тоолсон уу?

Энэ нь ажиллах ёстой.

Тиймээс би танд сануулъя.

Эхний алхам бол зэрэглэлийг тооцоолох явдал юм.

Хоёр дахь нь үржүүлэх, хуваах явдал юм. Хэд хэдэн үржүүлэх, хуваах үйлдлүүд нэгэн зэрэг байгаа бол тэдгээрийг ямар ч дарааллаар хийж болно.

Эцэст нь бид нэмэх, хасах үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Дахин хэлэхэд ямар ч дарааллаар.

Гэхдээ: хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь ээлжлэн үнэлэгдсэн!

Хэд хэдэн хаалтыг үржүүлж эсвэл өөр хоорондоо хуваавал эхлээд хаалт тус бүр дэх илэрхийлэлийг тооцоолж, дараа нь үржүүлж эсвэл хуваана.

Хэрвээ хаалт дотор илүү олон хаалт байвал яах вэ? За, бодъё: хаалт дотор зарим илэрхийлэл бичигдсэн байна. Илэрхийлэлийг тооцоолохдоо эхлээд юу хийх ёстой вэ? Энэ нь зөв, хаалтуудыг тооцоол. За, бид үүнийг олж мэдэв: эхлээд дотоод хаалтуудыг тооцоолж, дараа нь бусад бүх зүйлийг тооцоолно.

Тиймээс, дээрх илэрхийлэлийн процедур дараах байдалтай байна (одоогийн үйлдлийг улаанаар тодруулсан, өөрөөр хэлбэл миний яг одоо хийж буй үйлдэл):

За, бүх зүйл энгийн.

Гэхдээ энэ нь үсэгтэй илэрхийлэлтэй адил биш гэж үү?

Үгүй ээ, адилхан! Зөвхөн арифметик үйлдлүүдийн оронд та алгебрийн үйлдлүүдийг, өөрөөр хэлбэл өмнөх хэсэгт тайлбарласан үйлдлүүдийг хийх хэрэгтэй. ижил төстэй авчрах, бутархай нэмэх, бутархайг багасгах гэх мэт. Цорын ганц ялгаа нь олон гишүүнтийг факторинг хийх үйлдэл байх болно (бид үүнийг бутархайтай ажиллахдаа ихэвчлэн ашигладаг). Ихэнх тохиолдолд хүчин зүйлд хуваахын тулд та I ашиглах эсвэл нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд оруулах хэрэгтэй.

Ихэнхдээ бидний зорилго бол илэрхийлэлийг бүтээгдэхүүн эсвэл quotient хэлбэрээр илэрхийлэх явдал юм.

Жишээлбэл:

Илэрхийлэлийг хялбаршуулж үзье.

1) Эхлээд бид хаалтанд байгаа илэрхийллийг хялбаршуулдаг. Тэнд бид бутархайн зөрүүтэй бөгөөд бидний зорилго бол үүнийг бүтээгдэхүүн эсвэл quotient хэлбэрээр харуулах явдал юм. Тиймээс бид бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчирч, нэмнэ:

Энэ илэрхийлэлийг цаашид хялбарчлах боломжгүй; энд байгаа бүх хүчин зүйл нь энгийн зүйл юм (энэ нь юу гэсэн үг болохыг та санаж байна уу?).

2) Бид дараахь зүйлийг авна.

Бутархайг үржүүлэх: юу илүү хялбар байж болох вэ.

3) Одоо та богиносгож болно:

За одоо бүх зүйл дууслаа. Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, тийм үү?

Өөр нэг жишээ:

Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Эхлээд үүнийг өөрөө шийдэхийг хичээ, зөвхөн дараа нь шийдлийг хар.

Шийдэл:

Юуны өмнө үйл ажиллагааны дарааллыг тодорхойлъё.

Эхлээд хаалтанд бутархайг нэмье, тэгэхээр хоёр бутархайн оронд нэгийг авна.

Дараа нь бид бутархайг хуваах болно. За тэгээд үр дүнг сүүлийн бутархайгаар нэмье.

Би алхамуудыг схемийн дагуу дугаарлах болно:

Одоо би танд үйл явцыг харуулж, одоогийн үйлдлийг улаанаар будах болно:

1. Ижил төстэй зүйл байвал яаралтай авчрах ёстой. Манай улсад үүнтэй төстэй зүйл гарч ирсэн ямар ч үед яаралтай гаргаж ирэхийг зөвлөж байна.

2. Бутархайг багасгахад мөн адил хамаарна: багасгах боломж гарч ирмэгц үүнийг ашиглах ёстой. Үл хамаарах зүйл нь таны нэмэх эсвэл хасах бутархай хэсгүүдэд хамаарна: хэрэв тэдгээр нь одоо ижил хуваагчтай бол бууралтыг дараа нь үлдээх хэрэгтэй.

Таны бие даан шийдвэрлэх зарим ажлууд энд байна:

Тэгээд хамгийн эхэнд юу амласан:

Хариултууд:

Шийдэл (товч):

Хэрэв та дор хаяж эхний гурван жишээг даван туулж чадсан бол энэ сэдвийг эзэмшсэн гэж өөрийгөө бодоорой.

Одоо сурах гэж байна!

ИЛЭРХИЙЛЭЛИЙГ ХӨРВҮҮЛЭХ. ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН Формулууд

Хялбаршуулах үндсэн үйлдлүүд:

• Үүнтэй төстэй зүйлийг авчрах: ижил төстэй нэр томъёог нэмэх (багасгах) бол тэдгээрийн коэффициентийг нэмж, үсгийн хэсгийг оноох хэрэгтэй.
• Факторчилол:нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах, хэрэглэх гэх мэт.
• Бутархай хэсгийг багасгах: Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг тэгээс бусад ижил тоогоор үржүүлж эсвэл хувааж болох бөгөөд энэ нь бутархайн утгыг өөрчлөхгүй.
  1) тоологч ба хуваагч хүчин зүйлчлэх
  2) хэрэв тоологч ба хуваагч нь нийтлэг хүчин зүйлүүдтэй бол тэдгээрийг зурж болно.

  ЧУХАЛ: зөвхөн үржүүлэгчийг багасгаж болно!

• Бутархайг нэмэх, хасах:
  ;
• Бутархайг үржүүлэх, хуваах:
  ;

Сургуулийн алгебрийн хичээлээс бид тодорхой зүйл рүү шилждэг. Энэ нийтлэлд бид оновчтой илэрхийллийн тусгай төрлийг нарийвчлан судлах болно. рационал бутархай, мөн ямар шинж чанар ижил болохыг анхаарч үзээрэй рационал бутархайн хувиргалтгазар авах.

Бидний доор тодорхойлсон утгаараа рационал бутархайг зарим алгебрийн сурах бичигт алгебрийн бутархай гэж нэрлэдэгийг нэн даруй тэмдэглэе. Өөрөөр хэлбэл, энэ нийтлэлд бид рационал ба алгебрийн бутархайг ижил утгатай гэж ойлгох болно.

Ердийнх шигээ тодорхойлолт, жишээнүүдээс эхэлцгээе. Дараа нь бид рационал бутархайг шинэ хуваагч руу авчирч, бутархайн гишүүдийн тэмдгийг өөрчлөх талаар ярих болно. Үүний дараа бид бутархайг хэрхэн багасгах талаар авч үзэх болно. Эцэст нь, рационал бутархайг хэд хэдэн бутархайн нийлбэрээр илэрхийлэхийг үзье. Бид бүх мэдээллийг жишээ, шийдлийн нарийвчилсан тайлбараар өгөх болно.

Хуудасны навигаци.

Рационал бутархайн тодорхойлолт ба жишээ

Рационал бутархайг 8-р ангийн алгебрийн хичээлээр судалдаг. Ю.Н.Макарычев нарын 8-р ангийн алгебрийн сурах бичигт өгсөн рационал бутархайн тодорхойлолтыг ашиглана.

Рационал бутархайн хуваагч ба хуваагч дахь олон гишүүнт нь стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт байх ёстой эсэхийг энэ тодорхойлолтод заагаагүй болно. Тиймээс рационал бутархайн тэмдэглэгээ нь стандарт болон стандарт бус олон гишүүнт аль алиныг агуулж болно гэж бид таамаглах болно.

Энд цөөн хэдэн байна рационал бутархайн жишээ. Тэгэхээр, x/8 ба - рационал бутархай. Мөн бутархай мөн рационал бутархайн тодорхойлсон тодорхойлолтод тохирохгүй, учир нь тэдгээрийн эхнийх нь тоологч нь олон гишүүнтийг агуулаагүй, хоёрдугаарт, тоо болон хуваагч хоёулаа олон гишүүнт биш илэрхийллийг агуулдаг.

Рационал бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг хөрвүүлэх

Аливаа бутархайн тоо ба хуваагч нь рационал бутархайн хувьд бие даасан математик илэрхийллүүд, эдгээр нь тодорхой тохиолдолд олон гишүүнтүүд, тоонууд; Тиймээс аливаа илэрхийллийн нэгэн адил рационал бутархайн хүртэгч ба хуваагчтай ижил хувиргалтыг хийж болно. Өөрөөр хэлбэл, рационал бутархайн хуваагч дахь илэрхийлэлийг хуваагчтай адил тэнцүү илэрхийллээр сольж болно.

Рационал бутархайн хуваагч ба хуваарьт ижил хувиргалтыг хийж болно. Жишээлбэл, тоологч дээр та ижил төстэй нөхцлүүдийг бүлэглэж, багасгаж, хуваарьт хэд хэдэн тооны үржвэрийг утгаараа сольж болно. Рационал бутархайн тоологч ба хуваагч нь олон гишүүнт байдаг тул тэдгээрийн тусламжтайгаар олон гишүүнтийн шинж чанарыг хувиргах, жишээлбэл, стандарт хэлбэрт оруулах эсвэл бүтээгдэхүүн хэлбэрээр дүрслэх боломжтой.

Тодорхой болгохын тулд хэд хэдэн жишээний шийдлүүдийг авч үзье.

Жишээ.

Рационал бутархайг хөрвүүлэх Ингэснээр тоологч нь стандарт хэлбэрийн олон гишүүнтийг, хуваагч нь олон гишүүнтийн үржвэрийг агуулна.

Шийдэл.

Рационал бутархайг шинэ хуваагч болгон багасгах нь рационал бутархайг нэмэх, хасахад голчлон хэрэглэгддэг.

Бутархайн урд, түүнчлэн түүний тоо, хуваагч дахь тэмдгийг өөрчлөх

Бутархайн үндсэн шинж чанарыг бутархайн гишүүдийн тэмдгийг өөрчлөхөд ашиглаж болно. Үнэн хэрэгтээ рационал бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг -1-ээр үржүүлэх нь тэдгээрийн тэмдгийг өөрчилсөнтэй тэнцэх бөгөөд үр дүн нь өгөгдсөнтэй ижил тэнцүү бутархай болно. Рационал бутархайтай ажиллахдаа энэ хувиргалтыг нэлээд олон удаа ашиглах ёстой.

Тиймээс, хэрэв та бутархайн тоо ба хувагчийн тэмдгийг нэгэн зэрэг солих юм бол та анхныхтай тэнцэх бутархай авах болно. Энэ мэдэгдэлд тэгш эрхээр хариулдаг.

Нэг жишээ хэлье. Рационал бутархайг хэлбэрийн тоологч ба хуваагчийн тэмдэг өөрчлөгдсөн ижил тэнцүү бутархайгаар сольж болно.

Бутархайн тусламжтайгаар та тоологч эсвэл хуваагчийн тэмдэг өөрчлөгддөг өөр нэг ижил хувиргалтыг хийж болно. Холбогдох дүрмийг хэлцгээе. Хэрэв та бутархайн тэмдгийг тоологч эсвэл хуваагчийн тэмдэгтэй хамт орлуулбал анхныхтай ижил тэнцүү бутархай авна. Бичсэн мэдэгдэл нь тэнцүү ба .

Эдгээр тэгш байдлыг батлах нь тийм ч хэцүү биш юм. Баталгаа нь тоог үржүүлэх шинж чанарууд дээр суурилдаг. Тэдний эхнийхийг баталъя: . Үүнтэй төстэй хувиргалтыг ашиглан тэгш байдал нотлогддог.

Жишээлбэл, бутархайг эсвэл илэрхийллээр сольж болно.

Энэ цэгийг дүгнэхийн тулд бид өөр хоёр ашигтай тэгшитгэл ба . Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та зөвхөн тоологч эсвэл зөвхөн хувагчийн тэмдгийг өөрчилвөл бутархай тэмдэг нь өөрчлөгдөнө. Жишээлбэл, Тэгээд .

Бутархайн нэр томъёоны тэмдгийг өөрчлөх боломжийг олгодог авч үзсэн хувиргалтыг бутархай рационал илэрхийллийг хувиргахдаа ихэвчлэн ашигладаг.

Рационал бутархайг багасгах

Рационал бутархайн бууралт гэж нэрлэгддэг рационал бутархайн дараах хувиргалт нь бутархайн ижил үндсэн шинж чанарт суурилдаг. Энэ хувиргалт нь тэгшитгэлтэй тохирч, a, b ба c нь зарим олон гишүүнт, b ба c нь тэг биш байна.

Дээрх тэгшитгэлээс харахад оновчтой бутархайг багасгах нь түүний хүртэгч ба хуваагч дахь нийтлэг хүчин зүйлээс ангижрах гэсэн үг юм.

Жишээ.

Рационал бутархайг хүчингүй болго.

Шийдэл.

Нийтлэг хүчин зүйл 2 шууд харагдана, түүгээр нь бууруулъя (бичих үед буурч байгаа нийтлэг хүчин зүйлсийг хасах нь тохиромжтой). Бидэнд байгаа . x 2 =x x ба y 7 =y 3 y 4 (шаардлагатай бол харна уу) учир х нь y 3-ын нэгэн адил үүссэн бутархайн хуваагч ба хуваагчийн нийтлэг хүчин зүйл болох нь тодорхой байна. Эдгээр хүчин зүйлсээр бууруулъя: . Энэ нь бууралтыг дуусгана.

Дээрээс нь бид рационал бутархайн бууралтыг дараалан гүйцэтгэсэн. Эсвэл нэг алхамаар бууралтыг хийж, тэр даруй бутархайг 2 x y 3-аар бууруулах боломжтой байсан. Энэ тохиолдолд шийдэл нь дараах байдлаар харагдах болно. .

Хариулт:

.

Рационал бутархайг багасгахад гол асуудал бол тоологч ба хуваагчийн нийтлэг хүчин зүйл үргэлж харагдахгүй байх явдал юм. Түүнээс гадна энэ нь үргэлж байдаггүй. Нийтлэг хүчин зүйлийг олох эсвэл байхгүй эсэхийг шалгахын тулд рационал бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг хүчинжүүлэх хэрэгтэй. Хэрэв нийтлэг хүчин зүйл байхгүй бол анхны оновчтой бутархайг багасгах шаардлагагүй, эс тэгвээс бууралтыг хийнэ.

Рационал бутархайг багасгах явцад янз бүрийн нюансууд үүсч болно. Гол нарийн ширийн зүйлийг жишээн дээр ашиглан алгебрийн бутархайг багасгах нийтлэлд дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно.

Рационал бутархайг багасгах тухай яриаг дуусгахад энэхүү хувиргалт нь адилхан бөгөөд түүнийг хэрэгжүүлэхэд тулгардаг гол бэрхшээл нь тоологч ба хуваагч дахь олон гишүүнтүүдийг хүчин зүйл болгоход оршдог гэдгийг бид тэмдэглэж байна.

Рационал бутархайг бутархайн нийлбэрээр дүрслэх

Хэд хэдэн бутархайн нийлбэр эсвэл бүхэл илэрхийлэл ба бутархайн нийлбэрээр дүрслэгдэх оновчтой бутархайг хувиргах нь нэлээд өвөрмөц боловч зарим тохиолдолд маш ашигтай байдаг.

Хэд хэдэн мономиалуудын нийлбэрийг илэрхийлэх олон гишүүнтийг агуулсан рационал бутархайг үргэлж ижил хуваагчтай бутархайн нийлбэр хэлбэрээр бичиж болно, тэдгээрийн тоологч нь харгалзах мономиалуудыг агуулдаг. Жишээлбэл, . Энэ дүрслэлийг ижил хуваагчтай алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах дүрмээр тайлбарладаг.

Ерөнхийдөө аливаа рационал бутархайг бутархайн нийлбэрээр олон янзаар илэрхийлж болно. Жишээлбэл, a/b бутархайг хоёр бутархайн нийлбэрээр дүрсэлж болно - дурын бутархай c/d ба a/b ба c/d бутархайн хоорондох зөрүүтэй тэнцүү бутархай. Энэ мэдэгдэл үнэн, учир нь тэгш байдал хадгалагдана . Жишээлбэл, рационал бутархайг бутархайн нийлбэр хэлбэрээр янз бүрийн аргаар илэрхийлж болно. Анхны бутархайг бүхэл тооны илэрхийлэл ба бутархайн нийлбэр гэж төсөөлье. Тоолуурыг баганагаар хуваах замаар бид тэгш байдлыг олж авна . Аливаа n бүхэл тооны n 3 +4 илэрхийллийн утга нь бүхэл тоо юм. Мөн бутархайн хуваагч нь 1, −1, 3, −3 байвал бүхэл тоо болно. Эдгээр утгууд нь n=3, n=1, n=5 ба n=−1 гэсэн утгатай тохирч байна.

Хариулт:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Ном зүй.

• Алгебр:сурах бичиг 8-р ангийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А.Г.Алгебр. 7-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich. - 13 дахь хэвлэл, илч. - М .: Mnemosyne, 2009. - 160 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Мордкович А.Г.Алгебр. 8-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich. - 11-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2009. - 215 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага): Proc. тэтгэмж.- М.; Илүү өндөр сургууль, 1984.-351 х., өвчтэй.