Санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын функц ба түүний шинж чанарууд.

Функцийг авч үзье F(x), бүх тооны мөрөнд дараах байдлаар тодорхойлогддог: тус бүрээр Xутга учир F(x)-аас бага утгатай салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн авах магадлалтай тэнцүү байна X, өөрөөр хэлбэл

(18)

Энэ функцийг нэрлэдэг магадлалын тархалтын функц, эсвэл товчхон, түгээлтийн функц.

Жишээ 1.Жишээ 1, 1-р цэгт өгсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг ол.

Шийдэл:Хэрэв , тэгвэл гэдэг нь ойлгомжтой F(x)=0, учир нь энэ нь нэгээс бага утгыг авдаггүй. Хэрэв , тэгвэл ; бол . Гэхдээ үйл явдал<3 в данном случае является суммой двух несовместных событий: =1 и =2. Следовательно,

Тиймээс бидэнд байгаа F(x)=1/3. Интервал дахь функцийн утгууд нь ижил төстэй байдлаар тооцогдоно. Эцэст нь, хэрэв x>6Тэр F(x)=1, учир нь энэ тохиолдолд ямар ч боломжит утга (1, 2, 3, 4, 5, 6) -аас бага x. Функцийн график F(x)Зурагт үзүүлэв. 4.

Жишээ 2.Жишээ 2-ын 1-р цэгт өгсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг ол.

Шийдэл:Энэ нь ойлгомжтой

Хуваарь F(x)Зурагт үзүүлэв. 5.

Түгээлтийн функцийг мэдэх F(x), санамсаргүй хэмжигдэхүүн тэгш бус байдлыг хангах магадлалыг олоход хялбар байдаг.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь -ээс бага утгыг авах үйл явдлыг авч үзье. Энэ үйл явдал хоёр үл нийцэх үйл явдлын нийлбэрт хуваагдана: 1) санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь -ээс бага утгыг авдаг, өөрөөр хэлбэл. ; 2) санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тэгш бус байдлыг хангах утгыг авдаг. Нэмэх аксиомыг ашиглан бид олж авна

Гэхдээ хуваарилалтын функцийн тодорхойлолтоор F(x)[см. томъёо (18)], бидэнд байна , ; тиймээс,

Тиймээс, Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалд орох магадлал нь энэ интервал дахь тархалтын функцийн өсөлттэй тэнцүү байна.

Түгээлтийн функцийн үндсэн шинж чанаруудыг авч үзье.
1°. Түгээлтийн функц нь буурахгүй байна.
Үнэндээ болъё< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то . Тиймээс (19) томъёоноос дараахь зүйлийг гаргана , өөрөөр хэлбэл .

2°. Түгээх функцийн утгууд нь тэгш бус байдлыг хангадаг .
Энэ өмч нь үүнээс үүдэлтэй F(x)магадлал гэж тодорхойлогддог [харна уу томъёо (18)]. * ба .

3°. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь боломжит xi утгуудын аль нэгийг авах магадлал нь xi цэг дээрх тархалтын функцийн үсрэлттэй тэнцүү байна..
Нээрээ л байя xiнь дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр авсан утга ба . (19) томъёонд , , гэж үзвэл бид олж авна

Тэдгээр. утга учир p(xi)функцийн үсрэлттэй тэнцүү** xi. Энэ өмчийг Зураг дээр тодорхой харуулав. 4 ба зураг. 5.

* Цаашид дараах тэмдэглэгээг танилцуулна. , .
** Үүнийг харуулж болно F(xi)=F(xi-0), өөрөөр хэлбэл функц нь юу вэ F(x)цэг дээр тасралтгүй үлддэг xi.

3. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдээс гадна боломжит утгууд нь ямар ч интервалыг бүрэн дүүргэдэггүй хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй тооны дарааллыг бүрдүүлдэг, боломжит утгууд нь тодорхой интервал үүсгэдэг санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд байдаг. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүний жишээ нь технологийн процессыг зөв тохируулсан тодорхой хэмжээний эд ангиудын нэрлэсэн утгаас хазайх явдал юм. Энэ төрлийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг магадлалын тархалтын хуулийг ашиглан тодорхойлох боломжгүй p(x). Гэхдээ магадлалын тархалтын функцийг ашиглан тэдгээрийг тодорхойлж болно F(x). Энэ функц нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй яг адилхан тодорхойлогддог.

Тиймээс энд бас функц байна F(x)бүхэл тоон мөрөнд тодорхойлогдсон бөгөөд цэг дээрх түүний утга X-аас бага утгыг санамсаргүй хэмжигдэхүүн авах магадлалтай тэнцүү байна X.
Формула (19) ба 1° ба 2° шинж чанарууд нь дурын санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцэд хүчинтэй байна. Баталгаажуулалтыг салангид хэмжигдэхүүнтэй адил гүйцэтгэдэг.
санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг тасралтгүй, хэрэв түүний хувьд ямар ч утгыг хангадаг сөрөг бус хэсэгчилсэн тасралтгүй функц* байвал xтэгш байдал

Интегралын талбайн геометрийн утгыг үндэслэн тэгш бус байдлыг биелүүлэх магадлал нь суурьтай муруйн трапецын талбайтай тэнцүү гэж хэлж болно. , муруйгаар дээд хязгаарлагдмал (Зураг 6).

оноос хойш, мөн томъёонд үндэслэсэн (22)

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд тархалтын функцийг анхаарна уу F(x)ямар ч үед тасралтгүй X, энд функц тасралтгүй байна. Энэ нь үүнээс үүдэлтэй юм F(x)Эдгээр цэгүүдэд ялгах боломжтой.
Томъёо (23) дээр үндэслэн тооцсон x 1 =x, , бидэнд байна

Функцийн тасралтгүй байдлын улмаас F(x)бид үүнийг ойлгодог

Тиймээс

Тиймээс, Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь x-ийн дурын нэг утгыг авах магадлал тэг байна.
Үүнээс үзэхэд тэгш бус байдал бүрийн биелэлтээс бүрдэх үйл явдлууд гарч ирдэг

Тэд ижил магадлалтай, өөрөөр хэлбэл.

Үнэндээ, жишээ нь,

Учир нь

Сэтгэгдэл.Бидний мэдэж байгаагаар хэрэв үйл явдал боломжгүй бол түүний тохиолдох магадлал тэг болно. Магадлалын сонгодог тодорхойлолтоор, туршилтын үр дүнгийн тоо хязгаарлагдмал байх үед эсрэг заалт нь бас хэрэгждэг: хэрэв үйл явдлын магадлал тэг байвал үйл явдал боломжгүй, учир нь энэ тохиолдолд туршилтын үр дүнгийн аль нь ч үүнийг дэмждэггүй. Тасралтгүй санамсаргүй хувьсагчийн хувьд түүний боломжит утгуудын тоо хязгааргүй байна. Энэ хэмжигдэхүүн тодорхой утгыг авах магадлал x 1бидний харсанчлан тэгтэй тэнцүү байна. Гэсэн хэдий ч туршилтын үр дүнд санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь утгыг авч чаддаг тул энэ үйл явдал боломжгүй гэсэн үг биш юм. x 1. Иймээс тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалд орох магадлалын тухай ярих нь утга учиртай болохоос ямар нэгэн тодорхой утгыг авах магадлалын тухай биш юм.
Тиймээс, жишээлбэл, галзуу хийхдээ түүний диаметр нь нэрлэсэн утгатай тэнцүү байх магадлалыг бид сонирхдоггүй. Бидний хувьд чухал зүйл бол булны диаметр нь хүлцлийн хязгаарт багтах магадлал юм.

Магадлалын тархалтын функц ба түүний шинж чанарууд.

X цэг дээрх санамсаргүй хэмжигдэхүүний X магадлалын тархалтын функц F(x) нь туршилтын үр дүнд санамсаргүй хэмжигдэхүүн x-ээс бага утгыг авах магадлал, өөрөөр хэлбэл. F(x)=P(X< х}.
F(x) функцийн шинж чанарыг авч үзье.

1. F(-∞)=lim (x→-∞) F(x)=0. Үнэн хэрэгтээ, тодорхойлолтоор F(-∞)=P(X< -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0.

2. F(∞)=lim (x→∞) F(x)=1, учир нь тодорхойлолтоор F(∞)=P(X)< ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1.

3. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн [Α Β] интервалаас утгыг авах магадлал нь энэ интервал дээрх магадлалын тархалтын функцийн өсөлттэй тэнцүү байна. P(Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).

4. F(x 2)≥ F(x 1), хэрэв x 2 бол > x 1, i.e. Магадлалын тархалтын функц нь буурахгүй функц юм.

5. Магадлалын тархалтын функцийг тасралтгүй орхисон. x→ x o-ийн хувьд FΨ(x o -0)=limFΨ(x)=FΨ(x o)

Дискрет ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын функцүүдийн ялгааг графикаар сайн дүрсэлж болно. Жишээлбэл, дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь магадлал нь P(X=x k )=p k , k=1,2,..n-тэй тэнцүү n боломжит утгатай байг. Хэрэв x ≤ x 1 бол х-ийн зүүн талд санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утга байхгүй тул F(X)=0 байна. Хэрэв x 1< x ≤ x 2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х 1 .

Энэ нь F(x)=P(X=x 1 )=p 1 . At x 2 гэсэн үг< x ≤ x 3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x 1 }+P{X=x 2 }=p 1 +p 2 . Рассуждая аналогично,приходим к выводу, что если х k < x≤ x k+1 , то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна еденице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность.

Δx>0 интервалд санамсаргүй хэмжигдэхүүн орох магадлалыг авч үзье: P(x≤X)< x+Δx}=F(x+ Δx)-F(x). Перейдем к пределу при Δx→0:

lim (Δx→0) P(x≤ X< x+Δx}=lim (Δx→0) F(x+Δx)-F(x). Предел равен вероятности того, что случайная величина примет значение, равное х. Если функция F(x) непрерывна в точке х, то lim (Δx→0) F(x+Δx)=F(x), т.е. P{X=x}=0.

Хэрэв F(x) нь x цэг дээр тасалдалтай байвал P(X=x) магадлал нь энэ цэг дэх функцийн үсрэлттэй тэнцүү байх болно. Тиймээс тасралтгүй хэмжигдэхүүнд ямар нэгэн боломжит утгын тохиолдох магадлал тэг байна. P(X=x)=0 илэрхийлэл нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн P(Α) цэгийн хувьд х цэгийн хязгааргүй жижиг тойрогт орох магадлалын хязгаар гэж ойлгох хэрэгтэй.< X≤ Β},P{Α ≤ X< Β},P{Α< X< Β},P{Α ≤ X≤ Β} равны, если Х - непрерывная случайная величина.

Дискрет хувьсагчдын хувьд Α ба (эсвэл) Β интервалын хил нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгатай давхцах тохиолдолд эдгээр магадлал нь ижил биш юм. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд P(Α ≤X) томьёоны тэгш бус байдлын төрлийг хатуу харгалзан үзэх шаардлагатай.<Β}=F(Β)-F(Α).

Өмнөх n°-д бид тархалтын цувааг тасархай санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүрэн шинж чанар (тархалтын хууль) болгон танилцуулсан. Гэсэн хэдий ч энэ шинж чанар нь бүх нийтийнх биш юм; энэ нь зөвхөн тасархай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд л байдаг. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнд ийм шинж чанарыг бий болгох боломжгүй гэдгийг харахад хялбар байдаг. Үнэн хэрэгтээ тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тодорхой интервалыг ("тоолж болох олонлог" гэж нэрлэдэг) бүрэн дүүргэх хязгааргүй тооны боломжит утгатай байдаг. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгыг жагсаасан хүснэгт үүсгэх боломжгүй юм. Түүнээс гадна бид дараа нь харах болно, тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний бие даасан утга бүрт ихэвчлэн тэгээс өөр магадлал байдаггүй. Иймээс тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд тасархай хувьсагчийн хувьд байгаа утгаараа тархалтын цуваа байдаггүй. Гэсэн хэдий ч санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын өөр өөр талбарууд ижил магадлал багатай хэвээр байгаа бөгөөд тасралтгүй хувьсагчийн хувьд "магадлалын тархалт" байдаг боловч тасархай хэмжигдэхүүнтэй ижил утгаараа биш юм.

Энэхүү магадлалын тархалтыг тоон байдлаар тодорхойлохын тулд тухайн үйл явдлын магадлалыг бус харин одоогийн хувьсагч байгаа үйл явдлын магадлалыг ашиглах нь тохиромжтой. Энэ үйл явдлын магадлал нь тодорхой хамааралтай, ямар нэг функц байдаг. Энэ функцийг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц гэж нэрлэх ба дараах байдлаар тэмдэглэнэ.

. (5.2.1)

Түгээлтийн функцийг заримдаа хуримтлагдсан тархалтын функц эсвэл хуримтлагдсан тархалтын хууль гэж нэрлэдэг.

Тархалтын функц нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн түгээмэл шинж чанар юм. Энэ нь бүх санамсаргүй хэмжигдэхүүнд байдаг: тасалдалгүй ба тасралтгүй. Тархалтын функц нь магадлалын үүднээс санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүрэн тодорхойлдог, i.e. хуваарилалтын хуулийн нэг хэлбэр юм.

Түгээлтийн функцийн зарим ерөнхий шинж чанарыг томъёолъё.

1. Түгээлтийн функц нь түүний аргументийн буурдаггүй функц, i.e. цагт.

2. Хасах хязгааргүй үед тархалтын функц тэгтэй тэнцүү байна:.

3. Хязгааргүй нэмэх үед тархалтын функц нэгтэй тэнцүү байна: .

Эдгээр шинж чанаруудын хатуу нотолгоог өгөхгүйгээр бид тэдгээрийг геометрийн харааны тайлбарыг ашиглан дүрслэн харуулах болно. Үүнийг хийхийн тулд бид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг Ox тэнхлэг дээрх санамсаргүй цэг гэж үзэх болно (Зураг 5.2.1), туршилтын үр дүнд нэг эсвэл өөр байрлалыг авч болно. Дараа нь тархалтын функц нь туршилтын үр дүнд санамсаргүй цэг нь цэгийн зүүн талд унах магадлал юм.

Бид нэмэгдүүлэх болно , өөрөөр хэлбэл абсцисса тэнхлэгийн дагуу цэгийг баруун тийш шилжүүлнэ. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд санамсаргүй цэг зүүн тийш унах магадлал буурахгүй; тиймээс тархалтын функц өсөх тусам буурч болохгүй.

Үүнийг баталгаажуулахын тулд бид цэгийг абсцисс дагуу зүүн тийш тодорхойгүй хугацаагаар шилжүүлэх болно. Энэ тохиолдолд хязгаарт зүүн тийш санамсаргүй цэгийг цохих нь боломжгүй үйл явдал болно; Энэ үйл явдлын магадлал нь тэг байх хандлагатай гэдэгт итгэх нь зүйн хэрэг, i.e. .

Үүнтэй адилаар цэгийг хязгааргүй баруун тийш шилжүүлснээр үйл явдал хязгаарт найдвартай болох тул бид үүнийг баталгаажуулна.

Ерөнхий тохиолдолд тархалтын функцийн график нь буурахгүй функцийн график юм (Зураг 5.2.2), утга нь 0-ээс эхэлж 1-д хүрдэг бөгөөд тодорхой цэгүүдэд функц үсрэлттэй байж болно (Зураг 5.2.2). тасалдал).

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цувааг мэдсэнээр энэ хувьсагчийн тархалтын функцийг хялбархан байгуулж болно. Үнэхээр,

,

нийлбэрийн тэмдгийн доорх тэгш бус байдал нь нийлбэр нь -ээс бага байгаа бүх утгуудад хамааралтай болохыг харуулж байна.

Одоогийн хувьсагч нь тасалдсан утгын боломжит утгуудын аль нэгээр дамжин өнгөрөхөд тархалтын функц огцом өөрчлөгдөж, үсрэлтийн хэмжээ нь энэ утгын магадлалтай тэнцүү байна.

Жишээ 1. Үйл явдал гарч болох эсвэл харагдахгүй байж болох нэг туршилтыг хийдэг. Үйл явдлын магадлал 0.3 байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн - туршилтанд тохиолдсон үйл явдлын тоо (үйл явдлын шинж чанар). Түүний түгээлтийн функцийг байгуул.

Шийдэл. Утга хуваарилалтын цуврал нь дараах хэлбэртэй байна.

Утгын тархалтын функцийг байгуулъя:

Тархалтын функцийн графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 5.2.3. Тасралтгүй цэгүүдэд функц нь зураг дээрх цэгүүдээр тэмдэглэгдсэн утгуудыг авдаг (функц нь зүүн талд тасралтгүй байна).

Жишээ 2. Өмнөх жишээний нөхцөлд 4 бие даасан туршилтыг хийж байна. Үйл явдлын тохиолдлын тоог хуваарилах функцийг байгуул.

Шийдэл. Дөрвөн туршилтаар үйл явдлын тохиолдлын тоог тэмдэглэе. Энэ хэмжээ нь түгээлтийн цувралтай

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг байгуулъя:

3) үед;

Практикт ихэвчлэн тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь зурагт үзүүлсэн шиг бүх цэгүүдэд тасралтгүй байдаг функц юм. 5.2.6. Гэсэн хэдий ч боломжит утгууд нь тодорхой интервалыг тасралтгүй дүүргэдэг, гэхдээ тархалтын функц нь хаа сайгүй тасралтгүй байдаггүй, тодорхой цэгүүдэд тасалдалтай байдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүний жишээг бүтээх боломжтой (Зураг 5.2.7). .

Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг холимог гэж нэрлэдэг. Холимог утгын жишээ бол устгах үйл ажиллагааны радиус нь R-тэй тэнцэх бөмбөгний объектыг устгах талбай юм (Зураг 5.2.8).

Энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд нь I ба II төрлийн тэсрэх бөмбөгний байрлалд тохиолддог 0-ээс 0 хүртэлх интервалыг тасралтгүй дүүргэж, тодорхой хязгаарлагдмал магадлалтай бөгөөд эдгээр утгууд нь завсрын утгуудад тархалтын функцийн үсрэлттэй тохирч байна. ​(III төрлийн байрлал) түгээлтийн функц тасралтгүй байна. Холимог санамсаргүй хэмжигдэхүүний өөр нэг жишээ бол t хугацаанд туршсан төхөөрөмжийн эвдрэлгүй ажиллах Т хугацаа юм. Энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь t цэгээс бусад газарт үргэлжилдэг.

ТархалтҮхрийн тэнхлэгт хамаарах боломжит утгууд нь X тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тэгшитгэлээр тодорхойлно.

Үйлчилгээний зорилго. Онлайн тооцоолуур нь аль нэг асуудлыг шийдвэрлэхэд зориулагдсан түгээлтийн нягтрал f(x) эсвэл түгээлтийн функц F(x) (жишээг үзнэ үү). Ихэвчлэн ийм даалгаварт та олох хэрэгтэй математикийн хүлээлт, стандарт хазайлт, f(x) ба F(x) функцүүдийн график графикууд.

Заавар. Эх өгөгдлийн төрлийг сонгоно уу: тархалтын нягт f(x) эсвэл түгээлтийн функц F(x).

Тархалтын нягт f(x)-ийг өгөгдсөн:

F(x) тархалтын функц өгөгдсөн:

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг магадлалын нягтралаар тодорхойлно
(Рэйлигийн хуваарилалтын хууль - радио инженерчлэлд ашигладаг). M(x) , D(x) -ийг ол.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг X гэж нэрлэдэг тасралтгүй , хэрэв түүний тархалтын функц F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг санамсаргүй хэмжигдэхүүн өгөгдсөн интервалд орох магадлалыг тооцоолоход ашигладаг.
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Түүнчлэн, тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд түүний хил хязгаар нь энэ интервалд орсон эсэх нь хамаагүй:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Түгээлтийн нягтрал тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг функц гэнэ
f(x)=F’(x) , тархалтын функцийн дериватив.

Тархалтын нягтын шинж чанарууд