Ердийн тархалтын хууль нь практикт ихэвчлэн тохиолддог. Үүнийг бусад хуулиас ялгаж буй гол онцлог нь энэ нь хязгаарлах хууль бөгөөд бусад хуваарилалтын хуулиуд маш нийтлэг ердийн нөхцөлд ханддаг (6-р бүлгийг үзнэ үү).

Тодорхойлолт. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X байнахэвийн тархалтын хууль (Гаусын хууль)a ба параметрүүдтэйа 2, хэрэв түүний магадлалын нягт нь хэлбэртэй байвал

"Хэвийн" гэсэн нэр томъёо нь тийм ч тохиромжтой биш юм. Олон шинж тэмдгүүд нь ердийн хуулийг дагаж мөрддөг, жишээлбэл, хүний ​​өндөр, сумны тусгал гэх мэт. Гэхдээ хэрэв ямар нэгэн шинж чанар нь ердийнхөөс өөр тархалтын хуульд захирагддаг бол энэ нь энэ шинж чанартай холбоотой үзэгдэл "хэвийн бус" гэсэн үг биш юм.

Хэвийн тархалтын муруйг нэрлэнэ хэвийн, эсвэл Гаусс, муруй.Зураг дээр. 4.6, А, 6 yio 2 параметртэй fd, (x) хэвийн муруй өгөгдсөн, өөрөөр хэлбэл. би[a] a 2), санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийн график X, энэ нь ердийн хуультай. Хэвийн муруй нь шулуун шугамтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байдаг гэдгийг анхаарч үзье x = a,цэг дээр дээд тал нь байдаг X= А,

тэнцүү , өөрөөр хэлбэл

Мөн хоёр нугалах цэг x = a±

ординаттай

Ердийн хуулийн нягтралын илэрхийлэлд параметрүүдийг үсгээр зааж өгсөн болохыг тэмдэглэж болно Аболон st 2, бид математикийн хүлээлтийг илэрхийлэхэд ашигладаг М(X) ба хэлбэлзэл Өө).Энэ давхцал санамсаргүй биш юм. Нормаль хуулийн параметрүүдийн магадлалын онолын утгыг тогтоодог теоремыг авч үзье.

Теорем. Ердийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн математик хүлээлт энэ хуулийн a параметртэй тэнцүү,тэдгээр.

А түүний тархалт - параметрт a 2, өөрөөр хэлбэл.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт X:

гэж тавьж хувьсагчийг өөрчилье

Дараа нь интеграцийн хязгаар өөрчлөгдөхгүй

Тиймээс

(эхний интеграл нь 0-тэй тэнцүү бөгөөд эх үүсвэртэй харьцуулахад тэгш хэмтэй интервал дахь сондгой функцийн интеграл, хоёр дахь интеграл - Эйлер - Пуассоны интеграл).

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэлбэлзэл X:

Хувьсагчийн ижил өөрчлөлтийг хийцгээе x = a + o^2 t,өмнөх интегралын тооцооны нэгэн адил. Дараа нь

Хэсэгээр нь нэгтгэх аргыг хэрэглэснээр бид олж авна

Параметрүүд өөрчлөгдөхөд хэвийн муруй хэрхэн өөрчлөгдөхийг олж мэдье Амөн 2 (эсвэл a) -тай. Хэрэв a = const бол параметр өөрчлөгдөнө a (a x a 3), i.e. тархалтын тэгш хэмийн төв, дараа нь хэвийн муруй хэлбэрээ өөрчлөхгүйгээр абсцисса тэнхлэгийн дагуу шилжинэ (Зураг 4.7).

Хэрэв a = const ба параметр a 2 (эсвэл a) өөрчлөгдвөл ордината өөрчлөгдөнө

муруй хамгийн их Өсөх тусам максимумын ординат

муруй багасч, харин ямар ч тархалтын муруйн доорх талбай нь нэгтэй тэнцүү байх ёстой тул муруй нь х тэнхлэгийн дагуу сунаж хавтгай болдог; буурах үед су,эсрэгээр, хэвийн муруй нь хажуу талаас нь нэгэн зэрэг шахаж, дээшээ сунадаг. Зураг дээр. Зураг 4.8-д a 1 (o 2 ба a 3) параметр бүхий хэвийн муруйг үзүүлэв. А(Математикийн хүлээлт гэх мэт) нь төвийн байрлалыг, a 2 (дисперси) параметр нь хэвийн муруйн хэлбэрийг тодорхойлдог.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэвийн тархалтын хууль Xпараметрүүдтэй А= 0, st 2 = 1, i.e. X ~ N( 0; 1) дуудсан Стандартэсвэл хэвийн болгосонба харгалзах хэвийн муруй байна Стандартэсвэл хэвийн болгосон.

(3.23) томьёоны дагуу хэвийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг шууд олоход хүндрэлтэй байгаа ба (3.22) томъёоны дагуу тодорхой интервалд унах магадлал нь интегралтай холбоотой байдаг. (4.26) функц нь энгийн функцүүдэд "цуглагдах боломжгүй" юм. Тиймээс тэдгээрийг функцээр дамжуулан илэрхийлдэг

- функц (магадлалын интеграл) Лаплас,Хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн болно. Мойвр-Лапласын интеграл теоремыг авч үзэхдээ бид аль хэдийн Лаплас функцтэй тулгарсан гэдгийг санацгаая (2.3-р хэсгийг үзнэ үү). Тэнд мөн түүний шинж чанаруудыг хэлэлцсэн. Геометрийн хувьд Лаплас функц Ф(.с) нь сегмент дээрх стандарт хэвийн муруйн доорх талбайг илэрхийлнэ [-X; X] (Зураг 4.9) 1 .

Цагаан будаа. 4.10

Цагаан будаа. 4.9

Теорем. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэвийн хуулийн дагуу тархсан тархалтын функцийг Лапласын функцээр илэрхийлнэ.Ф(х) томъёоны дагуу

(3.23) томъёоны дагуу хуваарилалтын функц нь:

-д тохируулан хувьсагчийн өөрчлөлт хийцгээе X-> -өө? -» -00, тиймээс

1 Ф(х) функцийг илэрхийлэх (4.29) хэлбэрийн магадлалын интегралын зэрэгцээ түүний илэрхийлэлийг бусад хүснэгтэн функцийн хэлбэрээр уран зохиолд ашигладаг.

(0; x], (-oo; x], [-x>/2; Chl/2) интервалаар стандарт хэвийн муруйн иодын талбайг тус тус төлөөлнө. .

Эхний интеграл

(интегралын паритет ба Эйлер - Пуассон интеграл нь тэнцүү байна. [Хэнд).

(4.29) томъёог харгалзан хоёр дахь интеграл нь байна

Геометрийн хувьд тархалтын функц нь (-co, x) интервал дээрх хэвийн муруйн доорх талбайг илэрхийлнэ (Зураг 4.10). Бидний харж байгаагаар энэ нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ: эхнийх нь интервал дээр (-oo, A), 1/2-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. хэвийн муруйн доорх нийт талбайн тал хувь, хоёр дахь нь (i, x) интервал дээр;

тэнцүү

Ердийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний шинж чанарыг авч үзье.

1. Хэвийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг цохих магадлал ньВ интервал[x 1(x 2 ], тэнцүү

(3.20) шинж чанарын дагуу P(x,) магадлал

Энд ба Г 2-ыг (4.33) томъёогоор тодорхойлно (Зураг 4.11). ?

2. Ердийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн математикийн хүлээлтээс хазайх магадлал a утгаас хэтрэхгүй байх магадлалтай. A > 0 ( үнэмлэхүй утгад) тэнцүү байна

мөн түүнчлэн Лапласын функцийн сондгой шинж чанарыг олж авна

Хаана? =D/o (Зураг 4.12). ?

Зураг дээр. 4.11 ба 4.12-т ердийн хуулийн шинж чанарын геометрийн тайлбарыг өгсөн болно.

Сэтгэгдэл. Бүлэгт хэлэлцсэн. 2 Мойвр-Лапласын ойролцоох интеграл томъёо (2.10) нь хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний шинж чанараас (4.32) дагалддаг. x ( = a, x 2 = b ) a = pr Тэгээд Тэгэхээр

санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын бином хууль гэж X = t параметрүүдтэй П Тэгээд R, үүний төлөө энэ томъёог олж авсан, хамт n -> OS нь ердийн хуулинд нийцдэг (6-р бүлгийг үзнэ үү).

Мойвр-Лапласын интеграл томъёоны (2.13), (2.14) ба (2.16) тоонуудын үр дагаварууд ижил төстэй байна. X = t -д болсон үйл явдал П бие даасан туршилт ба түүний давтамж т/н ердийн хуулийн (4.32) ба (4.34) шинж чанаруудаас дагах.

(4.34) томъёог ашиглан магадлалыг тооцоолъё. P(X-a e) D-ийн янз бүрийн утгуудад (бид хавсралтын II хүснэгтийг ашигладаг). Бид авдаг

"Гурван сигма дүрэм" эндээс гаралтай.

Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь a параметртэй хэвийн тархалтын хуультай болмөн 2, өөрөөр хэлбэл. М(а; a 2), дараа нь түүний утга нь интервалд оршдог нь бараг тодорхой юм(a - Учир нь, А+ төлөө).

"Гурван сигма дүрмийг" зөрчих, өөрөөр хэлбэл. хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний хазайлт X 3-аас дээш (гэхдээ үнэмлэхүй утга) нь бараг боломжгүй үйл явдал юм, учир нь түүний магадлал маш бага байна:

Хазайлт D гэдгийг анхаарна уу, ямар үед , дуудсан

магадлалтай хазайлт.Ердийн хуулийн D хувьд « 0.675a, i.e. интервал тутамд (А - 0.675a, А+ 0.675a) нь хэвийн муруйн доорх нийт талбайн тал хувийг эзэлдэг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хазайлтын коэффициент ба куртозыг олъё X,ердийн хуулийн дагуу хуваарилагдсан.

Мэдээжийн хэрэг, босоо шугамтай харьцуулахад хэвийн муруйн тэгш хэмийн улмаас x = a,түгээлтийн төвөөр дамжин өнгөрөх a = M(X), хэвийн тархалтын тэгш бус байдлын коэффициент А = 0.

Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний куртоз Xбид (3.37) томъёог ашиглан олдог, өөрөөр хэлбэл.

Энд бид (4.26) тодорхойлолтыг харгалзан томъёогоор (3.30) олсон 4-р эрэмбийн төв мөчийг харгалзан үзсэн.

(бид интегралын тооцоог орхигдуулсан).

Тиймээс, хэвийн тархалтын куртоз нь тэг байнаба бусад тархалтын эгц байдал нь ердийнхтэй харьцуулахад тодорхойлогддог (бид үүнийг 3.7-р зүйлд дурдсан).

O Жишээ 4.9. Тодорхой насны бүлгийн эрчүүдийн өндөр нь хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үзвэл Xпараметрүүдтэй А= 173 ба 2 =36:

• 1) Ол: a) санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягт ба тархалтын функцийн илэрхийлэл X;б) тухайн насны бүлгийн нийт үйлдвэрлэлийн хэмжээнд заавал байх ёстой 4-р өндөр (176-182 см), 3-р өндөр (170-176 см) костюмны эзлэх хувь; в) тоо хэмжээ x 07болон санамсаргүй хэмжигдэхүүний 10% цэг X.
• 2) Санамсаргүй хэмжигдэхүүнд "гурван сигма дүрэм"-ийг томъёол X. Шийдэл. 1, a) (4.26) ба (4.30) томъёог ашиглан бид бичнэ

1, б) 4-р өндөр (176-182 см) костюмны үйлдвэрлэлийн нийт эзлэхүүн дэх эзлэх хувийг магадлалаар (4.32) томъёогоор тодорхойлно.

(4.33) томъёоны дагуу (Зураг 4.14)

3-р өндөртэй (170-176 см) хувцасны эзлэх хувийг (4.32) томъёотой адил тодорхойлж болох боловч энэ интервал нь математикийн хүлээлттэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байдаг тул (4.34) томъёог ашиглан үүнийг хийхэд хялбар байдаг. А = M(X) = 173, i.e. тэгш бус байдал 170 X X -173|

(4.14-р зургийг үз;.

1, в) Тоо хэмжээ x 07(3.7-р зүйлийг үз) санамсаргүй хэмжигдэхүүн X(4.30) томъёог харгалзан (3.29) тэгшитгэлээс олно:

хаана

Хүснэгтийн дагуу Бид 11 програм олдог би- 0.524 ба

Энэ насны эрчүүдийн 70% нь 176 см хүртэл өндөртэй гэсэн үг.

• 10% -ийн цэг нь эго квантил x 09 = 181 см (ижил байрлалтай), өөрөөр хэлбэл. Эрэгтэйчүүдийн 10% нь хамгийн багадаа 181 см өндөртэй байдаг.
• 2) Энэ насны эрэгтэйчүүдийн өндөр нь хил хязгаарт багтдаг нь бараг тодорхой юм А- Z = 173 - 3 6 = 155 хүртэл a + Zet = 173 + 3 - 6 = = 191 (см), өөрөөр хэлбэл. 155

  Хэсгийн эхэнд (болон 6-р бүлэгт) дурдсан хэвийн тархалтын хуулийн онцлогоос шалтгаалан энэ нь магадлалын статистикийн аргын онол, практикт гол байр суурийг эзэлдэг. Ердийн хуулийн онолын том ач холбогдол нь түүний тусламжтайгаар хэд хэдэн чухал хуваарилалтыг олж авдаг бөгөөд үүнийг доор авч үзэх болно.

  • Зураг дээрх сумнууд. 4.11-4.13-д ердийн муруйн доорх ердийн талбайнууд болон харгалзах зургуудыг тэмдэглэв.
  • Лапласын Ф(х) функцын утгыг хүснэгтээс тодорхойлно. II програмууд.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулиуд

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг салангид хэмжигдэхүүнтэй адил зааж өгөх боломжгүй. Хязгааргүй тоолж баршгүй утгуудын багцыг бүхэлд нь жагсаах боломжгүй бөгөөд тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний бие даасан утга бүрийн магадлал тэгтэй тэнцүү байдаг тул үүнийг ашиглах боломжгүй юм.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг тайлбарлах XӨөр нэг аргыг санал болгож байна: үйл явдлын магадлалыг тооцохгүй байх X=xөөр төлөө X, мөн үйл явдлын магадлал X<х . Энэ тохиолдолд магадлалП( X< x) одоогийн хувьсагчаас хамаардаг, өөрөөр хэлбэл энэ нь зарим функц юм X.

Түгээлтийн функц санамсаргүй хувьсагч Xфункц гэж нэрлэдэгФ( x) , тус бүрээр илэрхийлнэ Xсанамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлал X-аас бага утгыг авна X:

Чиг үүрэг Ф( x) дуудсан хуримтлагдсан хуваарилалтын функцэсвэл хуваарилалтын салшгүй хууль.

Түгээлтийн функцийг ашиглан тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох арга нь цорын ганц арга биш юм. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын хүрээний янз бүрийн хэсэгт санамсаргүй цэг унах магадлалыг тусгасан функцийг тодорхойлох шаардлагатай. Энэ нь магадлалыг зарим нэг орлуулах гэсэн үг юм p i тасралтгүй тохиолдолд дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн.

Энэ функц нь магадлалын нягтын функц юм. Магадлалын нягт (тархалтын нягт, дифференциал функц) санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xфункц гэж нэрлэдэге( x), Энэ нь интеграл тархалтын функцийн анхны дериватив юм:

.

Санамсаргүй хувьсагчийн тухай Xнягтралтай тархалттай (тархалттай) гэж хэлдэге( x) х тэнхлэгийн тодорхой хэсэг дээр.

Нэг төрлийн хуваарилалтын хууль. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xсегмент дээр жигд тархалтын хуультай (тогтмол нягтын хууль) [а; б], хэрэв энэ сегмент дээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтын функц тогтмол байвал, i.e.е( x) хэлбэртэй байна:

Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ
. Сегмент дээр жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт(a, b) нь энэ сегментийн дундтай тэнцүү.

Тархалт:

Энэ утгыг Sheppard засвар гэж нэрлэдэг.

Нэг төрлийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга бүхэлдээ [ сегментэд хамаарах (a, b) интервалд орох магадлал.а, б]:

Геометрийн хувьд энэ магадлал нь сүүдэрлэсэн тэгш өнцөгтийн талбай юм. Тоонууд АТэгээдбгэж нэрлэдэг түгээлтийн параметрүүдТэгээджигд тархалтыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлно.

Жишээ 4. Утасны дуудлагын хариуг хүлээх хугацаа нь 0-ээс 2 минутын хооронд жигд тархалтын хуулийг дагаж мөрддөг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний интеграл ба дифференциал тархалтын функцийг ол.

Ердийн тархалтын хууль (Гаусын хууль). Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xпараметр бүхий хэвийн тархалтын хуультай ба ( ), хэрэв түүний магадлалын нягт нь дараах хэлбэртэй байвал:

Математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын тархалтын төвийг тодорхойлдог бөгөөд өөрчлөгдөх үед муруй абсцисса тэнхлэгийн дагуу шилжинэ (2-р зургийг үз). Тогтмол математик хүлээлтээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс өөрчлөгдвөл муруй хэлбэрээ өөрчлөх, шахах эсвэл сунгах болно (2-р зургийг үз: ; ; ). Тиймээс параметр нь байрлалыг, параметр нь магадлалын нягтын муруй хэлбэрийг тодорхойлдог.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэвийн тархалтын хууль Xпараметртэй ба (тэмдэглэсэнН(0;1)) гэж нэрлэдэг Стандартэсвэл хэвийн болгосонба харгалзах хэвийн муруй нь стандарт буюу нормчлогдсон байна.

Тодорхойлолтын дагуу магадлалын нягтын функц ба тархалтын функц нь дараах байдалтай байна.

, Хаана.

Энэ төрлийн интеграл нь "боломжгүй" тул үүнийг олохын тулд тусгай функцийг ашигладаг. магадлалын интегралэсвэл Лаплас функц, хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн (Хавсралт 1-ийг үзнэ үү).

Лаплас функцийг ашиглан ердийн хуулийн тархалтын функцийг дараах томъёогоор илэрхийлж болно.

, Хаана.

Практик зорилгоор энэ нь маш чухал юм шинж чанаруудхэвийн тархалтын хуультай санамсаргүй хэмжигдэхүүн.

1. Хэрэв бол энэ утга өгөгдсөн интервалд орох магадлалыг олохын тулд ( x 1 x 2;) томъёог ашигласан:

2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс хазайх нь утгаас хэтрэхгүй байх магадлал (үнэмлэхүй утгаар) дараахтай тэнцүү байна.

.

3. "Гурван сигма дүрэм" . Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол түүний утга нь интервалд байх нь бараг тодорхой болно ( ). (Эдгээр хил хязгаарыг давах магадлал нь 0.0027 байна.) Дүрэм нь ( ба ) параметрүүдийг мэдэхийн тулд санамсаргүй хэмжигдэхүүний практик утгуудын интервалыг ойролцоогоор тодорхойлох боломжийг олгодог.

Жишээ 5. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь ихэвчлэн , параметрүүдтэй тархсан байдаг. Туршилтын үр дүнд гарсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн (12.5; 14) интервалд агуулагдах утгыг авах магадлалыг ол.

Жишээ 6. Санамсаргүй хэмжилтийн алдаа нь параметртэй хэвийн тархалтын хуульд захирагдана , . Гурван бие даасан хэмжилт хийдэг. Хамгийн багадаа нэг хэмжилтийн алдаа үнэмлэхүй утгаараа 3 мм-ээс хэтрэхгүй байх магадлалыг ол.

Нэг туршилтын хэмжилтийн алдаа 3 мм-ээс хэтрэхгүй байх магадлал:

Нэг туршилтын хэмжилтийн алдаа 3 мм-ээс хэтрэх магадлал нь:

Гурван туршилтын хувьд хэмжилтийн алдаа 3 мм-ээс их байх магадлал нь:

.

Шаардлагатай магадлал: .

NORMIDIST функц

Заасан дундаж болон стандарт хазайлтын хэвийн тархалтын функцийг буцаана. Энэ функцийг статистикт, түүний дотор таамаглалыг шалгахад өргөн ашигладаг.

Синтакс

NORMDIST(x;дундаж;стандарт_унтраах;интеграл )

x - хуваарилалтыг бий болгосон утга.

Дундаж

Стандарт_унтраах

Интеграл- функцийн хэлбэрийг тодорхойлдог логик утга. Хэрэв хуримтлагдсан нь ҮНЭН бол NORMDIST нь хуримтлагдсан тархалтын функцийг буцаана; Хэрэв энэ аргумент нь ХУДАЛ бол нягтын функцийг буцаана.

Тэмдэглэл

· Хэрэв аргумент нь "дундаж" эсвэл " стандарт_унтраах" нь тоо биш, NORMDIST функц нь #VALUE! алдааны утгыг буцаана.

· Хэрэв стандарт_унтраах≤ 0 бол NORMIDIST функц нь #NUM алдааны утгыг буцаана.

· Хэрэв дундаж = 0 бол стандарт_унтраах= 1 ба хуримтлагдсан = ҮНЭН бол NORMDIST функц нь стандарт хэвийн тархалтыг буцаана, өөрөөр хэлбэл NORMSDIST.

· Хэвийн тархалтын нягтын тэгшитгэл ("хуримтлагдах" аргумент нь ХУДАЛ утгыг агуулна) дараах байдалтай байна.

· Хэрэв интеграл ҮНЭН бол томьёо нь хасах хязгаараас х хүртэлх хязгаартай интегралыг дүрсэлдэг.

NORMSDIST функц

Стандарт хэвийн хуримтлагдсан тархалтыг буцаана. Энэ тархалтын дундаж нь тэг, стандарт хазайлт нь нэг байна. Энэ функцийг ердийн муруй талбайн хүснэгтийн оронд ашигладаг.

Синтакс

NORMSDIST(z )

З- хуваарилалтыг бий болгосон утга.

Тэмдэглэл

· Хэрэв z нь тоо биш, NORMSDIST функц нь #VALUE алдааны утгыг буцаана.

· Стандарт хэвийн тархалтын нягтын тэгшитгэл дараах байдалтай байна.

NORMINV функц

Заасан дундаж болон стандарт хазайлтын урвуу хэвийн тархалтыг буцаана.

Синтакс

НОРМОБР(;дундаж;стандарт_унтраах )

Магадлал- хэвийн тархалтад тохирох магадлал.

Дундаж- тархалтын арифметик дундаж.

Стандарт_унтраах - тархалтын стандарт хазайлт.

Тэмдэглэл

· Хэрэв аргументуудын аль нэг нь тоо биш бол NORMINV нь #VALUE алдааны утгыг буцаана.

· Хэрэв магадлал бол< 0 или вероятность >1, NORMINV функц нь #NUM алдааны утгыг буцаана.

· Хэрэв стандарт_унтраах≤ 0 бол NORMINV функц нь #NUM алдааны утгыг буцаана.

· Хэрэв дундаж = 0 ба стандарт_унтраах= 1, NORMSINV функц нь стандарт хэвийн тархалтыг ашигладаг (NORMSINV-г үзнэ үү).

Хэрэв магадлалын утга өгөгдсөн бол NORMINV функц нь NORMIDST(x, дундаж, стандарт_унтраах, ҮНЭН) = магадлал. Гэсэн хэдий ч NORMINV функцийн нарийвчлал нь NORMIDST-ийн нарийвчлалаас хамаарна. NORMINV функц нь хайлт хийхэд давталтын аргыг ашигладаг. Хэрэв 100 давталтын дараа хайлт дуусаагүй бол функц нь #N/A алдааны утгыг буцаана.

Гурван сигма дүрэм.

Бид утгыг орлуулах уу? (*) томъёонд бид дараахь зүйлийг авна.

Тиймээс, нэгдмэл байдалд дур зоргоороо ойртох магадлалаар бид ердийн тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс хазайх модуль нь стандарт хазайлтаас гурав дахин ихгүй байна гэж хэлж болно.

Төвийн хязгаарын теорем.

Төвлөрсөн хязгаарын теорем нь хэвийн тархалтын хууль үүсэх нөхцөлийг тогтооход зориулагдсан бүлэг теоремууд юм. Эдгээр теоремуудын дунд хамгийн чухал байрыг Ляпуновын теорем эзэлдэг.

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xолон тооны нийлбэрийг харилцан илэрхийлэх үү? бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд, өөрөөр хэлбэл тус бүрийн нийт дүнгийн нөлөөлөл нь үл тоомсорлож байвал санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xхэвийн тархалтад хязгааргүй ойртох тархалттай.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний эхний ба төв моментууд, хазайлт ба хөшиг. Горим ба медиан.

Хэрэглээний асуудалд, жишээлбэл, математикийн статистикт, ердийн тархалтаас ялгаатай эмпирик тархалтыг онолын хувьд судлахдаа эдгээр ялгааг тоон тооцоолох шаардлагатай байдаг. Энэ зорилгоор тусгай хэмжээсгүй шинж чанаруудыг нэвтрүүлсэн.

Тодорхойлолт. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний горим (Mo (Mo)X)) нь түүний хамгийн их магадлалтай утга бөгөөд магадлал нь p биэсвэл f(x) магадлалын нягт хамгийн ихдээ хүрнэ.

Тодорхойлолт. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний медиан X (Би(X)) - энэ нь тэгш байдлыг хангах үнэ цэнэ юм:

Геометрийн хувьд босоо шугам x = Me (X) нь муруйн доорх зургийн талбайг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана.

X цэг дээр = Me (X), түгээлтийн функц F (Me (X)) =

f(x) = 3x 2 магадлалын нягттай X санамсаргүй хэмжигдэхүүний Mo, медиан Me ба математик хүлээлт M-ийг ол, x I [ 0; 1 ].

f (x) магадлалын нягт нь x = 1 үед хамгийн их байна, өөрөөр хэлбэл. f (1) = 3 тул [ 0 интервал дээр Mo (X) = 1; 1 ].

Медианыг олохын тулд Me (X) = b гэж тэмдэглэе.

Me (X) нь P (X 3 = ) нөхцөлийг хангаж байгаа тул.

b 3 = ; b = "0.79

M (X) = =+ =

Үхрийн тэнхлэг дээрх Mo (x), Me (X), M (X) гэсэн 3 утгыг тэмдэглэе.

Тодорхойлолт. Тэгш бус байдалОнолын тархалтыг 3-р эрэмбийн төв моментийн стандарт хазайлтын шоо хүртэлх харьцаа гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. ИлүүдэлОнолын хуваарилалт нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог хэмжигдэхүүн юм:

Хаана? дөрөв дэх эрэмбийн төв мөч.

Хэвийн хуваарилалтын хувьд. Хэвийн тархалтаас хазайх үед тархалтын муруйн "урт" ба хавтгай хэсэг нь горимд тохирох х тэнхлэгийн цэгийн баруун талд байрласан бол тэгш бус байдал эерэг байна; хэрэв муруйн энэ хэсэг нь горимын зүүн талд байрладаг бол тэгш бус байдал нь сөрөг байна (Зураг 1, a, b).

Куртоз нь ердийн муруйтай харьцуулахад тархалтын муруйн өсөлтийн "эгц" байдлыг тодорхойлдог: хэрэв куртоз эерэг байвал муруй нь илүү өндөр, хурц оргилтой байна; сөрөг куртозын үед харьцуулсан муруй нь бага ба хавтгай оргилтой байна.

Тодорхойлсон харьцуулалтын шинж чанарыг ашиглахдаа ердийн болон онолын тархалтын математикийн хүлээлт ба тархалтын ижил утгын талаархи таамаглалууд нь лавлагаа болно гэдгийг санах нь зүйтэй.

Жишээ.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг үзье Xтүгээлтийн хуулиар өгөгдсөн:

Олно: онолын тархалтын хазайлт ба муруйлт.

Эхлээд санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг олъё.

Дараа нь бид 2, 3, 4-р эрэмбийн эхний ба төв моментуудыг тооцоолж,:

Одоо томъёог ашиглан бид шаардлагатай хэмжээг олно.

Энэ тохиолдолд тархалтын муруйн "урт" хэсэг нь горимын баруун талд байрладаг бөгөөд муруй нь математикийн хүлээлт ба тархалтын ижил утгатай ердийн муруйгаас арай илүү оргилтой байна.

Теорем.Дурын санамсаргүй хувьсагчийн хувьд Xболон дурын тоо

?>0 бол дараах тэгш бус байдал үнэн:

Эсрэг тэгш бус байдлын магадлал.

Мал аж ахуйн фермийн усны дундаж хэрэглээ өдөрт 1000 литр бөгөөд энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт нь 200 литрээс хэтрэхгүй байна. Ямар ч сонгосон өдөр фермийн усны урсац 2000 л-ээс хэтрэхгүй байх магадлалыг Чебышевын тэгш бус байдлыг ашиглан тооцоол.

Болъё X– мал аж ахуйн фермийн усны хэрэглээ (л).

Тархалт Д(X) =. Интервалын хил нь 0 тул X 2000 нь математикийн хүлээлттэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна М(X) = 1000, дараа нь хүссэн үйл явдлын магадлалыг тооцоолохын тулд бид Чебышевын тэгш бус байдлыг ашиглаж болно.

Энэ нь 0.96-аас багагүй байна.

Дуран тархалтын хувьд Чебышевын тэгш бус байдал дараах хэлбэртэй байна.

САНАМСАР ХУВЬСАГЧИЙН ТАРХАЛТЫН ХУУЛЬ

САНАМСАР ХУВЬСАГЧДЫН ТАРХАЛТЫН ХУУЛЬ - хэсэг Математик, МАГААЛТЫН ОНОЛ, МАТЕМАТИК СТАТИСТИК Хамгийн түгээмэл хуулиуд нь жигд, хэвийн, экспоненциал хуулиуд юм.

Хамгийн түгээмэл хуулиуд нь тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний жигд, хэвийн ба экспоненциал магадлалын тархалт юм.

Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн магадлалын тархалтыг жигд гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв X-ийн бүх боломжит утгууд хамаарах (a,b) интервал дээр тархалтын нягт нь тогтмол утгыг (6.1) хадгалж байвал.

Түгээлтийн функц нь дараах хэлбэртэй байна.

Хэвийн нь тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X магадлалын тархалт бөгөөд нягтрал нь дараах хэлбэртэй байна.

X санамсаргүй хэмжигдэхүүн (?; ?) интервалд хамаарах утгыг авах магадлал:

Лаплас функц хаана байна, ба,

Хазайлын үнэмлэхүй утга эерэг тооноос бага байх магадлал?:

Ялангуяа a = 0-ийн хувьд . (6.7)

Экспоненциал гэдэг нь нягтралаар тодорхойлогддог тасралтгүй X санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалт юм.

Хаана? - тогтмол эерэг утга.

Экспоненциал хуулийн тархалтын функц:

Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X (a, b) интервалд орох магадлал нь экспоненциал хуулийн дагуу тархсан:

1. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн (-2;N) интервалд жигд тархсан байна. Олно: a) санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн дифференциал функц; б) интеграл функц; в) (-1;) интервалд санамсаргүй хэмжигдэхүүн орох магадлал; г) X санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт, дисперс ба стандарт хазайлт.

2. Интервалд жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг ол: a) (5; 11); б) (-3; 5). Эдгээр функцүүдийн графикийг зур.

3. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн (2; 6) интервалд жигд тархсан, D(x) = 12. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг ол. Функцуудын графикийг зур.

4. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тэгш өнцөгт гурвалжны хуулийн дагуу (Зураг 1) (0; a) интервалд тархсан. Олно: a) санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн дифференциал функц; б) интеграл функц; в) магадгүй

санамсаргүй хувьсагчийн цохилтын магадлал

int(); г) математик

хүлээлт, дисперс ба дундаж квадрат

санамсаргүй байдлын оновчтой хазайлт

5. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь Симпсоны хуулийн дагуу ("Ил тэгш өнцөгт гурвалжны хууль") (Зураг 2) (-a; a) интервалаар тархсан. Олно: a) санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн дифференциал магадлалын тархалтын функц;

б) интеграл функц ба түүний графикийг байгуулах; в) санамсаргүй хэмжигдэхүүн (-) интервалд орох магадлал; г) X санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт, дисперс ба стандарт хазайлт.

6. Тодорхой үүлдрийн шувууны ашиг шимийг судлахын тулд өндөгний диаметрийг хэмждэг. Өндөгний хамгийн том хөндлөн диаметр нь ердийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд дундаж утга нь 5 см, стандарт хазайлт нь 0.3 см байна: a) санамсаргүй байдлаар авсан өндөгний диаметр дотор байх магадлалыг ол 4.7-6, 2 см-ийн хооронд хэлбэлздэг; б) диаметрийн дунджаас хазайх нь үнэмлэхүй утгаараа 0.6 см-ээс ихгүй байна.

7. Цөөрөмд баригдсан загасны жин нь 150 г стандарт хазайлттай хэвийн тархалтын хуульд захирагдаж, математикийн хүлээлт a = 1000 г байх болно. ; б) 1500 гр-аас ихгүй; в) 800 г-аас багагүй; г) дундаж жингийн модулиас 200 г-аас ихгүй ялгаатай; д) санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн дифференциал функцийн графикийг зур.

8. Өвлийн улаанбуудайны ургацыг багц талбайнуудад а = 50 ц/га, = 10 ц/га гэсэн үзүүлэлттэй ердийн хуулийн дагуу хуваарилдаг. Тодорхойлох: а) талбайн хэдэн хувь нь 40 ц/га-аас дээш ургац авах вэ; б) 45-60 ц/га ургацтай талбайн эзлэх хувь.

9. Үр тарианы бохирдлыг санамсаргүй хэмжилтийн аргаар хэмждэг бөгөөд энэ нь 0.2 г стандарт хазайлттай хэвийн тархалтын хуульд хамаарах бөгөөд математикийн хүлээлт a = 0. Дөрвөн бие даасан хэмжилтээс дор хаяж нэг нь алдаа гарах магадлалыг ол; тэдгээрийн үнэмлэхүй утга 0.3 г-аас хэтрэхгүй байна.

10. Туршилтын талбайн талбай бүрээс цуглуулсан үр тарианы хэмжээ нь хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн X бөгөөд математикийн хүлээлт a = 60 кг, стандарт хазайлт нь 1.5 кг байна. Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дифференциал функцийг 0.9906 магадлалтайгаар X утга агуулагдах интервалыг ол.

11. 0.9973 магадлалаар санамсаргүй түүврийн аргаар сонгосон нэг толгой үхрийн амьдын жингийн нийт сүргийн дундаж жингээс үнэмлэхүй хазайлт 30 кг-аас ихгүй байгаа нь тогтоогдсон. Малыг амьдын жингээр нь хуваарилах нь хэвийн хуульд захирагдаж байна гэж үзээд амьдын жингийн стандарт хазайлтыг ол.

12. Хүнсний ногооны ургацын талбайн хэмжээ нь математикийн хүлээлт 300 ц/га, стандарт хазайлт нь 30 ц/га байх хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. 0.9545 магадлалаар талбайн хүнсний ногооны дундаж гарц ямар хэмжээнд байх хил хязгаарыг тодорхойл.

13. Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дифференциал функцээр тодорхойлно.

Тодорхойл: a) санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалд орох магадлал

(3; 9); б) X санамсаргүй хэмжигдэхүүний горим ба медиан.

14. Худалдааны компани нь хоёр үйлдвэрлэгчийн ижил төстэй бүтээгдэхүүнийг борлуулдаг. Бүтээгдэхүүний ашиглалтын хугацаа нь ердийн хуульд захирагддаг. Эхний үйлдвэрлэгчийн бүтээгдэхүүний дундаж ашиглалтын хугацаа 5.5 мянган цаг, хоёр дахь нь 6 мянган цаг байна. Эхний үйлдвэрлэгч нь 0.95 магадлалтайгаар эхний үйлдвэрлэгчийн үйлчилгээний хугацаа 5-6 мянган цаг, хоёр дахь нь 0.9-ийн магадлалаар 5-7 мянган цагийн хооронд байна гэж мэдэгджээ. Аль үйлдвэрлэгч нь бүтээгдэхүүний ашиглалтын хугацаанд илүү их хэлбэлзэлтэй байдаг.

15. Аж ахуйн нэгжийн ажилчдын сарын цалинг ердийн хуулийн дагуу математикийн хүлээлттэй хуваарилдаг a = 10 мянган рубль. Аж ахуйн нэгжийн ажилчдын 50% нь 8-12 мянган рублийн цалин авдаг нь мэдэгдэж байна. Аж ахуйн нэгжийн ажилчдын хэдэн хувь нь сарын 9-18 мянган рублийн цалинтай болохыг тодорхойл.

16. Экспоненциал хуулийн нягт ба тархалтын функцийг бичнэ үү: a) параметр; б) ; V) . Функцийн графикийг зур.

17. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн экспоненциал хуулийн дагуу тархсан ба. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X интервалд орох магадлалыг ол: a) (0; 1); б) (2; 4). M(X), D(X), (X).

18. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний экспоненциал тархалтын хуулийн M(X), D(X), (X)-ийг өгөгдсөн функцээр ол.

19. Бие даасан ажиллагаатай хоёр элементийг туршина. Эхнийх нь гэмтэлгүй ажиллах хугацаа нь хоёр дахьтай харьцуулахад илүү илэрхий хуваарилалттай байдаг. 20 цагийн хугацаанд ажиллах магадлалыг ол: a) хоёр элемент хоёулаа ажиллах; б) зөвхөн нэг элемент амжилтгүй болно; в) дор хаяж нэг элемент амжилтгүй болно; г) хоёр элемент хоёулаа амжилтгүй болно.

20. Бие даасан элемент хоёулаа 10 хоногийн дотор ажиллах магадлал 0.64 байна. Хэрэв функцүүд ижил байвал элемент бүрийн найдвартай байдлын функцийг тодорхойлно.

21. Операторын нэг цагийн ажлын явцад гаргадаг дундаж алдаа нь 2. Оператор 3 цаг ажиллахад гаргах магадлалыг ол: a) 4 алдаа; б) дор хаяж хоёр алдаа; в) дор хаяж нэг алдаа.

22. Утасны станцад нэг минутад дунджаар гурван дуудлага ирдэг. 2 минутын дараа та дараахийг хүлээн авах магадлалыг ол: a) 4 дуудлага; б) дор хаяж гурван дуудлага.

23. Х санамсаргүй хувьсагч Кошигийн хуулийн дагуу тархсан

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд

6. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд

6.1. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон үзүүлэлтүүд

Тасралтгүй хэмжигдэхүүн нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй интервалаас бүх утгыг авах боломжтой санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

Тархалтын функцийг функц гэж нэрлэдэг F (x) ? Туршилтын үр дүнд X санамсаргүй хэмжигдэхүүн x-ээс бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлох, өөрөөр хэлбэл.

Түгээлтийн функцийн шинж чанарууд:

1. Түгээх функцийн утгууд нь сегментэд хамаарна, өөрөөр хэлбэл.

2. F (x) нь буурахгүй функц, i.e. бол .

· Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X интервалд агуулагдах утгыг авах магадлал дараахтай тэнцүү байна.

· Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тодорхой нэг утгыг авах магадлал тэг байна.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X магадлалын тархалтын нягт нь функц юм - тархалтын функцийн анхны дериватив.

Өгөгдсөн интервалд тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн орох магадлал:

Мэдэгдэж буй тархалтын нягтыг ашиглан тархалтын функцийг олох:

Тархалтын нягтын шинж чанарууд

1. Тархалтын нягт нь сөрөг бус функц юм:

2. Хэвийн байдал:

Стандарт хэлбэлзэл

6.2. Нэг төрлийн хуваарилалт

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгууд хамаарах интервал дээр тархалтын нягт тогтмол хэвээр байвал магадлалын тархалтыг жигд гэж нэрлэдэг.

Нэг жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягт

Стандарт хэлбэлзэл

6.3. Хэвийн тархалт

Хэвийн гэдэг нь тархалтын нягтар тодорхойлогддог санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалт юм

a- математикийн хүлээлт

стандарт хэлбэлзэл

тархалт

Интервалд унах магадлал

Лаплас функц хаана байна. Энэ функцийг хүснэгтэд үзүүлэв, i.e. хүснэгтийг ашиглах шаардлагатай интегралыг тооцоолох шаардлагагүй;

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн x-ийн математик хүлээлтээс хазайх магадлал

Гурван сигма дүрэм

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн хэвийн тархсан бол түүний математикийн хүлээлтээс хазайх үнэмлэхүй утга нь стандарт хазайлтаас гурав дахин ихгүй байна.

Тодорхой хэлбэл, заасан интервалаас хэтрэх магадлал 0.27% байна.

Хэвийн тархалтын магадлалын онлайн тооцоолуур

6.4. Экспоненциал тархалт

Хэрэв тархалтын нягт нь хэлбэртэй байвал санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь экспоненциал хуулийн дагуу тархдаг

Стандарт хэлбэлзэл

Энэ хуваарилалтын өвөрмөц онцлог нь математикийн хүлээлт нь стандарт хазайлттай тэнцүү байна.

Магадлалын онол. Санамсаргүй үйл явдал (хуудас 6)

12. Санамсаргүй хувьсагч X , Хэрэв , , , .

13. Гэмтэлтэй бүтээгдэхүүн гарах магадлал 0.0002. 5000 ширхэг бүтээгдэхүүний чанарыг шалгасан байцаагч дундаас 4 доголдолтой байх магадлалыг тооцоол.

X Xинтервалд хамаарах утгыг авна. Функцийн график байгуулах ба .

15. Элементийн доголдолгүй ажиллах магадлалыг экспоненциал хуулийн дагуу хуваарилдаг (). Элемент 50 цагийн турш доголдолгүй ажиллах магадлалыг ол.

16. Төхөөрөмж нь бие даасан ажиллагаатай 10 элементээс бүрдэнэ. Цаг хугацааны явцад элемент тус бүрийн бүтэлгүйтлийн магадлал Т 0.05-тай тэнцүү. Чебышевын тэгш бус байдлыг ашиглан бүтэлгүйтсэн элементүүдийн тоо ба цаг хугацааны явцад бүтэлгүйтлийн дундаж тоо (математикийн хүлээлт) хоорондын зөрүүний үнэмлэхүй утга гарах магадлалыг тооцоол. Тхоёроос бага байх болно.

17. Оновчлолын хүлээгдэж буй тархалтаар (4.1 м, м-т) гурван бие даасан цохилтыг системчилсэн алдаагүйгээр буудсан байна.

1. 0,1,2,3,4,5 тооноос гурван оронтой хэдэн тоо гаргаж болох вэ?

2. Найрал дуучид 10 оролцогчтой. Өдөр бүр өөр өөр найрал дуутай байхын тулд 6 оролцогчийг 3 өдрийн турш хэдэн аргаар сонгож болох вэ?

3. Холимог 52 хөзрийг хэдэн янзаар хувааж, нэг тал нь гурван хөзрийг багтаах вэ?

4. Сугалаанд оролцогчид 1-ээс 40 хүртэлх тоо бүхий жетон агуулсан хайрцагнаас жетон сугалж авна. Санамсаргүй байдлаар зурсан анхны жетоны тоо 2-ыг агуулаагүй байх магадлалыг тодорхойл.

5. Туршилтын вандан дээр 250 төхөөрөмжийг тодорхой нөхцөлд туршина. Эдгээр төхөөрөмжүүдийн аль нэгнийх нь нэг цагийн дотор бүтэлгүйтэх магадлал 0.04 бөгөөд бүх төхөөрөмжид ижил байгаа нь мэдэгдэж байгаа бол туршилтанд хамрагдсан төхөөрөмжүүдийн ядаж нэг нь нэг цагийн дотор бүтэлгүйтэх магадлалыг ол.

6. Пирамид 10 винтов байдаг бөгөөд 4 нь оптик хараагаар тоноглогдсон байдаг. Дурангийн хараатай винтов буугаар буудах үед буудагч бай онох магадлал 0.95; оптик хараагүй винтовын хувьд энэ магадлал 0.8 байна. Буудагч санамсаргүй байдлаар авсан винтовоор байг оносон. Буудагч дурангийн хараатай винтовоос буудсан байх магадлалыг ол.

7. Төхөөрөмж нь 10 зангилаанаас бүрдэнэ. Найдвартай байдал (цаг хугацааны явцад гэмтэлгүй ажиллах магадлал). тзангилаа бүрийн хувьд тэнцүү байна. Зангилаанууд бие биенээсээ үл хамааран бүтэлгүйтдэг. Цаг хугацааны хувьд гарах магадлалыг ол т: a) дор хаяж нэг зангилаа бүтэлгүйтэх болно; б) яг хоёр зангилаа бүтэлгүйтэх болно; в) яг нэг зангилаа бүтэлгүйтэх болно; г) дор хаяж хоёр зангилаа амжилтгүй болно.

8. Тодорхой төхөөрөмжийн 16 элемент тус бүрийг шалгадаг. Элемент тестийг давах магадлал 0.8 байна. Шалгалтанд тэнцэх хамгийн боломжит элементийн тоог ол.

9. Үйл явдал болох магадлалыг ол А(араа солих) 243 км хурдны замд 70 удаа тохиолдох бөгөөд хэрэв энэ хурдны замын км тутамд шилжих магадлал 0.25 байна.

10. Байгаа нэг сумаар онох магадлал 0.8. 100 удаа шидэхэд бай 75-аас доошгүй удаа, 90-ээс илүүгүй удаа онох магадлалыг ол.

X.

12. Санамсаргүй хувьсагч Xмөн бие даасан. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг ол , Хэрэв , , , .

13. 1000 хуудас бичгийн машинтай гар бичмэл 100 үсгийн алдаатай. Санамсаргүй байдлаар авсан хуудсанд яг 2 үсгийн алдаа байх магадлалыг ол.

14. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xтогтмол магадлалын нягттай жигд тархсан, хаана 1) параметрийг олж, тархалтын хуулийг бичнэ үү; 2) , -ийг олох; 3) магадлалыг ол Xинтервалд хамаарах утгыг авна.

15. Элементийн гэмтэлгүй ажиллах хугацаа нь экспоненциал тархалттай байна (). Ийм магадлалыг ол т= 24 цаг элемент амжилтгүй болно.

16. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xхэвийн тархсан . , олох. Туршилтын үр дүнд гарах магадлалыг ол Xинтервалд агуулагдах утгыг авна.

17. Дискрет хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтыг дараах байдлаар өгөв.

Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тархалтын хуулийг ол XМөн ; тэдний математикийн хүлээлт ба ; зөрүү ба ; корреляцийн коэффициент.

1. 1,2, 3, 4, 5-ын цифрүүд тус бүрийг нэгээс илүүгүй ашигласан тохиолдолд хэдэн гурван оронтой тоо гаргаж болох вэ?

2. Өгөгдсөн n 3 цэг нь нэг шулуун дээр байрладаг. Цэгүүдийг хосоор нь холбосноор хэдэн шулуун зурж болох вэ?

0-ээс 9 хүртэлх тоог ашиглан хэдэн даалуу хийж чадах вэ?

3. Шинэ хуанлигаас санамсаргүй урагдсан цаас сарын эхний өдөртэй таарах магадлал хэд вэ? (Оныг үсрэнгүй жил гэж тооцдоггүй).

4. Цехэд бие биенээсээ хамааралгүй 3 утас ажиллаж байна.

5. Тэд тус бүрийн ажил эрхлэх магадлал нь дараах байдалтай байна: ; ; . Дор хаяж нэг утас үнэгүй байх магадлалыг ол.

6. Гурван ижил сав байна. Эхний саванд 20 цагаан бөмбөлөг, хоёр дахь нь 10 цагаан, 10 хар, гурав дахь нь 20 хар бөмбөлөгтэй. Санамсаргүй байдлаар сонгосон савнаас цагаан бөмбөг сугалж авдаг. Эхний савнаас бөмбөг гарах магадлалыг ол.

7. Зуны улиралд зарим нутгаар өдрийн дунджаар 20%-д бороо орно. Долоо хоногийн хугацаанд: а) дор хаяж нэг бороотой өдөр байх магадлал хэд вэ; б) яг нэг бороотой өдөр байх болно; в) бороотой өдрийн тоо дөрвөөс ихгүй байх; г) бороотой өдрүүд байхгүй болно.

8. Төхөөрөмжийн угсралтын нарийвчлалыг зөрчих магадлал 0.32 байна. 9 ширхэг багцад хамгийн их магадлалтай тооны нарийн багажийг тодорхойл.

9. Нэг сумаар бай онох магадлал 0.4 бол винтовоор 150 удаа буудсанаар бай 70 удаа онох магадлалыг тодорхойл.

10. Хүү төрөх магадлал 0.515 бол 1000 хүүхэд төрөхөөс 455-аас доошгүй хөвгүүдийн тоо 555-аас ихгүй байх магадлалыг тодорхойл.

11. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг өгөв X:

Олно: 1) утгад тохирох магадлалын утга; 2) , , ; 3) түгээлтийн функц; түүний графикийг бүтээх. Санамсаргүй хувьсагчийн тархалтын олон өнцөгтийг байгуул X.

12. Санамсаргүй хувьсагч Xмөн бие даасан. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг ол , Хэрэв , , , .

13. Стандарт бус эд анги үйлдвэрлэх магадлал 0.004. 1000 хэсгээс стандарт бус 5 хэсэг байх магадлалыг ол.

14. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xтүгээлтийн функцээр өгөгдсөн Олно: 1) нягтын функц; 2) , , ; 3) туршилтын үр дүнд санамсаргүй хэмжигдэхүүн үүсэх магадлал Xинтервалд хамаарах утгыг авна. Функцийн графикийг байгуулж, .км, км. Зорилтот дээр хоёр цохилт өгөх магадлалыг тодорхойл.

1. Хуралдаанд илтгэгчид заавал оролцоно А, IN, ХАМТ, Д. Тэднийг илтгэгчдийн жагсаалтад хичнээн янзаар оруулж болох вэ INилтгэгчийн араас үг хэлэв А?

2. 14 ижил бөмбөгийг 8 хайрцагт хэдэн аргаар тарааж болох вэ?

3. 1-ээс 9 хүртэлх тооноос таван оронтой хэдэн тоо гаргаж болох вэ?

4. Оюутан тухайн хөтөлбөрийн 32 асуултаас ердөө 24-ийг нь л мэдсээр байж шалгалтанд ирсэн. Шалгуулагч түүнээс 3 асуулт асуув. Оюутан бүх асуултанд хариулсан байх магадлалыг ол.

5. Өдрийн эцэс гэхэд дэлгүүрт 60 тарвас үлдсэний 50 нь боловсорсон тарвас байв. Худалдан авагч 2 тарвас сонгоно. Хоёр тарвас боловсорч гүйцсэн байх магадлал хэд вэ?

6. Хэсэг тамирчдад 20 гүйгч, 6 харайгч, 4 алх шидэгч байна. Гүйгч спортын мастерын стандартыг хангах магадлал 0.9; холбогч - 0.8, шидэгч - 0.75. Санамсаргүй байдлаар дуудагдсан тамирчин спортын мастерын нормыг биелүүлэх магадлалыг тодорхойл.

7. Түрээсийн зүйлийг сайн нөхцөлд буцааж өгөх магадлал 0.8. Авсан таван зүйлийн магадлалыг тодорхойл: a) гурвыг нь сайн нөхцөлд буцааж өгөх; б) бүх таван зүйлийг сайн нөхцөлд буцааж өгнө; в) дор хаяж хоёр зүйлийг сайн нөхцөлд буцааж өгнө.

8. 500 ширхэгтэй багцад гэмтэл гарах магадлал 0.035 байна. Энэ багц дахь гэмтэлтэй хэсгүүдийн хамгийн их магадлалтай тоог тодорхойл.

9. Цахилгаан чийдэнгийн үйлдвэрлэлд нэгдүгээр зэрэглэлийн чийдэн гарах магадлалыг 0.64 гэж үзнэ. Санамсаргүй байдлаар авсан 100 цахилгаан чийдэнгийн 70 нь нэгдүгээр зэрэглэлийн байх магадлалыг тодорхойл.

10. 400 хүдрийн дээжийг шинжилгээнд хамруулна. Дээж тус бүрт үйлдвэрлэлийн металлын агууламжийн магадлал ижил бөгөөд 0.8-тай тэнцүү байна. Үйлдвэрийн металлын агууламжтай дээжийн тоо 290-340 байх магадлалыг ол.

11. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг өгөв X бол X XМөн ; 4) эдгээр хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай эсэхийг олж мэд.

1. Дугуй ширээний ард 8 зочдыг хэдэн янзаар суулгаж, хоёр алдартай зочин зэрэгцэн суух вэ?

2. "Комбинаторик" гэдэг үгийн үсгүүдийг өөрчилснөөр хэдэн өөр "үг" хийж болох вэ?

3. Хажуугийн урт нь 4, 5, 6, 7 см гэсэн утгуудын аль нэгийг нь авсан гурвалжин хэд вэ?

4. Дугтуйнд хуваагдсан цагаан толгойн үсгүүд байна: ТУХАЙ, П, Р, ХАМТ, Т. Үсгүүдийг сайтар хольсон байна. Эдгээр үсгийг гаргаж, зэрэгцүүлэн тавьснаар "" гэсэн үг гарах магадлалыг тодорхойл. СПОРТ‘.

5. Эхний машинаас эд ангиудын 20% нь угсралтад, хоёр дахь нь 30%, гурав дахь нь - 50% -ийг нийлүүлдэг. Эхний машин нь дунджаар 0.2% согог, хоёр дахь нь 0.3%, гурав дахь нь 1% -ийг өгдөг. Угсрахаар хүлээн авсан эд анги нь гэмтэлтэй байх магадлалыг ол.

6. Гурван буудлагын нэг нь буудлагын шугам руу дуудагдаж, буудна. Зорилтот нь оногдож байна. Эхний шидэгчийн хувьд нэг сумаар бай онох магадлал 0.3, хоёр дахь нь - 0.5, гурав дахь нь - 0.8 байна. Хоёр дахь буудагч буудсан байх магадлалыг ол.

7. Цехийн 6 мотортой. Мотор бүрийн хувьд одоогоор асаалттай байх магадлал 0.8 байна. Одоогийн байдлаар: а) 4 мотор асаалттай байх магадлалыг ол; б) дор хаяж нэг мотор асаалттай; в) бүх мотор асаалттай байна.

8. Зурагт нь 12 гэрэлтэй. Тэд тус бүр нь 0.4 магадлал бүхий баталгаат хугацаанд бүтэлгүйтэж магадгүй юм. Баталгаат хугацааны туршид бүтэлгүйтсэн чийдэнгийн хамгийн их магадлалтай тоог ол.

9. Хүүтэй болох магадлал 0.515. 200 хүүхэд төрөхөөс охид, хөвгүүдийн тоо тэнцүү байх магадлалыг ол.

10. Тухайн хэсэг нь чанарын хяналтын үзлэгт хамрагдаагүй байх магадлал . Санамсаргүй байдлаар сонгосон 400 хэсгээс шалгагдаагүй 70-100 хэсэг байх магадлалыг ол.

11. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг өгөв X:

• Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын үндсэн хуулиуд "Беларусийн Улсын Дээд Математикийн тэнхим" боловсролын байгууллага Захидлын боловсролын нягтлан бодох бүртгэлийн факультетийн (NISPO) оюутнуудад "Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын үндсэн хуулиуд" сэдвийг судлахад зориулагдсан. Тархалтын үндсэн хуулиуд санамсаргүй хэмжигдэхүүний [...]
• Замын цагдаагийн торгууль Лениногорск Хожуу та давж заалдаагүй бол төр таны торгуулийг авах арга хэмжээ авах болно Замын цагдаагийн торгууль Лениногорск танд тэмдэг хэрэгтэй. Бүртгэлийн бичиг баримтгүй, тээврийн хэрэгслийн хариуцлагын албан журмын даатгалын бодлогогүй бол энэ нийтлэлийн холбоосыг оруулахад 500 үнэтэй болно. Албаныхан Лениногорск хотын замын цагдааг торгодог [...]
• Чернобылийн хохирогчдод халагдсаны тэтгэмж: (3 + 1) эсвэл ердөө 3 уу? Чернобылийн гамшгийн улмаас хохирсон иргэдэд (цаашид Чернобылийн хохирогчид гэх) 796* хуулиар тодорхой хөнгөлөлт, баталгааг тогтоосон. Тиймээс 1-р ангилалд багтсан Чернобылийн хохирогчдод оршин суух давуу эрхтэй [...]
• Зуслангийн газрын татвар. Та үүнийг мэдэх ёстой.
• Нөхөр бид хоёр нэг зуслангийн байшин бодож, ор дэрээ жаахан ухаад, орой нь галын дэргэдэх ганхагч сандал дээр суугаад юу ч бодсонгүй. Зүгээр л амрах. Цэцэрлэгжүүлэлт, цэцэрлэгжүүлэлт нь хямдхан биш гэдгийг бид шууд мэднэ (бууц, бордоо, суулгац), татвар... Ямар татвар [...]
• 3. САНАМСГҮЙ ХУВЬСАГЧИД. Санамсаргүй хувьсагчийн тухай ойлголт Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь ижил нөхцөлд хийсэн туршилтын үр дүнд санамсаргүй хүчин зүйлээс хамааралгүй өөр өөр утгыг ерөнхийд нь авч үздэг хэмжигдэхүүн юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ: нэг удаад авсан онооны тоо […]
• Гарцыг арилгах Объектын нийт талбай, км 2; N нүх нь объектын нөлөөлөлд өртсөн элементүүдийн тоо (барилга, цех, байгууламж, систем); Ntot нь тухайн объектын нийт элементийн тоо юм. Хохирогчдын тоог тодорхойлохын тулд та дараах илэрхийллийг ашиглаж болно: энд Спор нь гэнэтийн дэлбэрэлтийн үед хохирогчдын тоо; Lс нь тухайн нэг ажилчдын тоо […]
• Стефан Больцманы цацрагийн хуулиуд Бодит биетүүдийн хувьд Стефан-Больцманы хууль зөвхөн чанарын хувьд хангагдана, өөрөөр хэлбэл температур нэмэгдэхийн хэрээр бүх биеийн энергийн гэрэлтүүлэг нэмэгддэг. Гэсэн хэдий ч бодит биетүүдийн хувьд энергийн гэрэлтэлтийн температураас хамаарах хамаарлыг энгийн хамаарлаар (16.7) тайлбарлахаа больсон боловч […]

Бүлэг 6. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд.

§ 1. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягт ба тархалтын функц.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын багц нь тоолж баршгүй бөгөөд ихэвчлэн төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй интервалыг илэрхийлдэг.

Магадлалын орон зайд (W, S, P) тодорхойлогдсон x(w) санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дуудна Үргэлжилсэн(Үнэхээр тасралтгүй) W, хэрэв сөрөг бус функц байгаа бол аль ч х-ийн хувьд Fx(x) тархалтын функцийг интеграл хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Функцийг функц гэж нэрлэдэг магадлалын тархалтын нягт.

Тодорхойлолт нь тархалтын нягтын функцийн шинж чанарыг илэрхийлдэг.

1..gif" өргөн "97" өндөр "51">

3. Тасралтгүй байдлын цэгүүдэд тархалтын нягт нь тархалтын функцийн деривативтай тэнцүү байна: .

4. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дараах интервалд орох магадлалыг тодорхойлдог тул тархалтын нягт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг тодорхойлдог.

5. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн тодорхой утгыг авах магадлал тэг: . Тиймээс дараахь тэгшитгэлүүд хүчинтэй байна.

Тархалтын нягтын функцийн графикийг нэрлэнэ тархалтын муруй, ба тархалтын муруй ба х тэнхлэгээр хязгаарлагдах талбай нь нэгдэлтэй тэнцүү байна. Тэгвэл геометрийн хувьд x0 цэг дээрх Fx(x) тархалтын функцийн утга нь тархалтын муруй ба х тэнхлэгээр хязгаарлагдах ба x0 цэгийн зүүн талд байрлах талбай юм.

Даалгавар 1.Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтын функц нь дараах хэлбэртэй байна.

С тогтмолыг тодорхойлж, Fx(x) тархалтын функцийг байгуулж, магадлалыг тооцоол.

Шийдэл.Тогтмол С нь бидэнд байгаа нөхцлөөс олддог.

үүнээс C=3/8.

Fx(x) түгээлтийн функцийг бий болгохын тулд интервал нь аргумент x (тоон тэнхлэг)-ийн утгын мужийг гурван хэсэгт хуваадаг болохыг анхаарна уу: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" өргөн "264" өндөр "49">

хагас тэнхлэг дээрх x нягт тэг учраас. Хоёр дахь тохиолдолд

Эцэст нь, сүүлийн тохиолдолд, x>2 үед,

Хагас тэнхлэгт нягтрал алга болдог тул. Тиймээс түгээлтийн функцийг олж авна

Магадлал Томъёог ашиглан тооцоолъё. Тиймээс,

§ 2. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар

Хүлээгдэж буй үнэ цэнэТасралтгүй тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">, томъёогоор тодорхойлно.

баруун талын интеграл үнэмлэхүй нийлбэл.

Тархалт x-ийг томъёогоор тооцоолж болно , мөн түүнчлэн, салангид тохиолдолд, томъёоны дагуу https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд 5-р бүлэгт өгөгдсөн математикийн хүлээлт ба дисперсийн бүх шинж чанарууд нь тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд мөн хүчинтэй байна.

Асуудал 2. 1-р бодлогын санамсаргүй хэмжигдэхүүн x-ийн хувьд математикийн хүлээлт ба дисперсийг тооцоол .

Шийдэл.

Энэ нь гэсэн үг

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" өргөн "184" өндөр "69 src=">

Нэг төрлийн тархалтын нягтын графикийг Зураг дээр үзнэ үү. .

Зураг.6.2. Түгээлтийн функц ба тархалтын нягт. нэгдсэн хууль

Нэг жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц Fx(x) нь тэнцүү байна

Fx(x)=

Хүлээлт ба зөрүү; .

Экспоненциал (экпоненциал) тархалт.Сөрөг бус утгыг авдаг тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн x нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтын тархалттай тэнцүү бол l>0 параметртэй экспоненциал тархалттай байна.

рx(x)=

Цагаан будаа. 6.3. Экспоненциал хуулийн тархалтын функц ба тархалтын нягт.

Экспоненциал тархалтын тархалтын функц нь хэлбэртэй байна

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" өргөн="17" өндөр="41">.gif" өргөн="13" өндөр="15"> ба түүний тархалтын нягт нь тэнцүү бол

.

Дамжуу гэдэг нь ердийн хуулийн дагуу тархсан бүх санамсаргүй хэмжигдэхүүний олонлогийг параметр болон параметрүүдтэй илэрхийлнэ.

Ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь тэнцүү байна

.

Цагаан будаа. 6.4. Тархалтын функц ба хэвийн тархалтын нягт

Хэвийн тархалтын параметрүүд нь математикийн хүлээлт юм https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

Онцгой тохиолдолд хэзээ https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> хэвийн тархалтыг гэнэ. Стандарт, мөн ийм тархалтын ангиллыг https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

ба түгээлтийн функц

Ийм интегралыг аналитик аргаар тооцоолох боломжгүй (үүнийг "квадрат" хэлбэрээр авдаггүй) тул функцэд зориулж хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн болно. Энэ функц нь 4-р бүлэгт танилцуулсан Лаплас функцтэй холбоотой

,

дараах хамаарлаар . Дурын параметрийн утгуудын хувьд https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь дараах хамаарлыг ашиглан Лаплас функцтэй холбоотой:

.

Иймд ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалд орох магадлалыг томъёогоор тооцоолж болно.

.

Сөрөг бус х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг h=lnx логарифм нь хэвийн хуульд захирагдаж байвал логнормаль тархалттай хэмжигдэхүүн гэнэ. Логнормаль тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээгдэж буй утга ба дисперс нь Mx= ба Dx= байна.

Даалгавар 3.Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23"> гэж өгье.

Шийдэл.Энд https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Лапласын тархалт fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> функцээр өгөгдсөн ба эгц нь gx=3 байна.

Зураг.6.5. Лапласын тархалтын нягтын функц.

Санамсаргүй хувьсагч x нь тархсан байна Вейбуллийн хууль, хэрэв энэ нь https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">-тэй тэнцүү хуваарилалтын нягтын функцтэй бол

Weibull түгээлт нь олон техникийн төхөөрөмжүүдийн гэмтэлгүй ажиллах хугацааг зохицуулдаг. Энэ профайлын асуудлуудад чухал шинж чанар нь l(t)= харьцаагаар тодорхойлогддог t насны судлагдсан элементүүдийн бүтэлгүйтлийн түвшин (нас баралтын түвшин) l(t) юм. Хэрэв a=1 байвал Вейбуллийн тархалт экспоненциал тархалт, хэрэв a=2 бол тархалт гэж нэрлэгддэг тархалт болж хувирна. Рэйли.

Вейбуллийн тархалтын математик хүлээлт: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, Г(а) нь Эйлер юм. функц .

Хэрэглээний статистикийн янз бүрийн асуудалд "тасалсан" хуваарилалт ихэвчлэн тулгардаг. Жишээлбэл, жилийн орлого нь татварын хуулиар тогтоосон тодорхой босго c0-ээс давсан хүмүүсийн орлогын хуваарилалтыг татварын алба сонирхож байна. Эдгээр хуваарилалт нь Паретогийн тархалттай ойролцоогоор таарч байна. Парето хуваарилалтфункцээр өгөгдсөн

Fx(x)=P(x .gif" өргөн "44" өндөр "25"> санамсаргүй хэмжигдэхүүн x ба монотон дифференциалагдах функц ..gif" өргөн "200" өндөр="51">

Энд https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Даалгавар 4.Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь сегмент дээр жигд тархсан байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтыг ол.

Шийдэл.Асуудлын нөхцлөөс харахад ийм байна

Дараа нь функц интервал дээрх монотон ба дифференциал функц бөгөөд урвуу функцтэй үүсмэл нь тэнцүү Тиймээс,

§ 5. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хос

x ба h хоёр тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг өгье. Дараа нь хос (x, h) нь хавтгай дээрх "санамсаргүй" цэгийг тодорхойлно. (x, h) хосыг дуудна санамсаргүй векторэсвэл хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн.

Хамтарсан хуваарилалтын функцсанамсаргүй хэмжигдэхүүн x ба h ба функцийг F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25"> гэж нэрлэдэг. үе мөчний нягтрал x ба h санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтыг ийм функц гэнэ .

Хамтарсан тархалтын нягтын энэхүү тодорхойлолтын утга нь дараах байдалтай байна. Хавтгай дээрх мужид "санамсаргүй цэг" (x, h) унах магадлалыг гурван хэмжээст дүрс буюу гадаргуугаар хязгаарлагдсан "муруй" цилиндрийн эзэлхүүнээр тооцоолно https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3 gif" width="211" height="39 src=">

Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан тархалтын хамгийн энгийн жишээ бол хоёр хэмжээст хэмжигдэхүүн юм багц дээр жигд хуваарилалтА. Хязгаарлагдмал M олонлогийг талбайгаар өгье. Энэ нь дараах холбоосын нягтаар тодорхойлогддог (x, h) хосын тархалтаар тодорхойлогддог.

Даалгавар 5.Хоёр хэмжээст санамсаргүй вектор (x, h) гурвалжин дотор жигд тархсан байг. x>h тэгш бус байдлын магадлалыг тооцоол.

Шийдэл.Заасан гурвалжны талбай нь тэнцүү байна (Зураг No. үзнэ үү). Хоёр хэмжээст жигд тархалтын тодорхойлолтын ачаар x, h санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан нягт нь тэнцүү байна.

Үйл явдал нь олонлогтой тохирч байна онгоцонд, өөрөөр хэлбэл хагас онгоц. Дараа нь магадлал

Хагас B хавтгайд холбоосын нягтрал https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17"> багцаас гадуур тэг байна. хагас хавтгай В нь хоёр олонлогт хуваагддаг ба https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> болон , хоёр дахь интеграл нь тэнцүү байна. тэг, учир нь тэнд үе мөчний нягт тэгтэй тэнцүү байна. Тийм ч учраас

Хэрэв хосын (x, h) хамтарсан тархалтын нягтыг өгвөл x ба h бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нягтыг гэнэ. хувийн нягтралДараахь томъёог ашиглан тооцоолно.

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" өргөн "224" өндөр "23 src=">

рx(х), рh(у) нягтралтай тасралтгүй тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд бие даасан байдал нь

Даалгавар 6.Өмнөх бодлогын нөхцөлд x ба h санамсаргүй векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүд бие даасан эсэхийг тодорхойлно уу?

Шийдэл. Хэсэгчилсэн нягт ба . Бидэнд байгаа:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" өргөн "283" өндөр "61 src=">

Мэдээжийн хэрэг, бидний тохиолдолд https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> нь x ба h хэмжигдэхүүнүүдийн хамтарсан нягт бөгөөд j( x, y) нь хоёр аргументын функц юм

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" өргөн "184" өндөр "152 src=">

Даалгавар 7.Өмнөх асуудлын нөхцөлд тооцоол.

Шийдэл.Дээрх томъёоны дагуу бид дараах байдалтай байна.

.

Гурвалжныг төлөөлж байна

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" өргөн "479" өндөр "59">

§ 5. Хоёр тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн нягт

x ба h нь нягтралтай бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн байг https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягт x + h-ийг томъёогоор тооцоолно эргэлт

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Нийлбэрийн нягтыг тооцоол.

Шийдэл. x ба h нь параметртэй экспоненциал хуулийн дагуу тархсан тул тэдгээрийн нягт нь тэнцүү байна.

Тиймээс,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Хэрэв x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">сөрөг, тиймээс . Тиймээс хэрэв https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Тиймээс бид хариултыг авсан:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> нь ихэвчлэн 0 ба 1 параметрүүдээр тархдаг. x1 ба x2 санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан бөгөөд хэвийн байна. a1, a2 параметртэй тархалтууд x1, x2, ... xn санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь тархсан ба хамааралгүй бөгөөд ижил тархалтын нягтын функцтэй болохыг батал.

.

Утгын тархалтын функц ба тархалтын нягтыг ол:

a) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = max (x1,x2, ... xn)

Санамсаргүй хувьсагч x1, x2, ... xn нь бие даасан бөгөөд [a, b] интервалд жигд тархсан байна. Хэмжигдэхүүний тархалтын хуваарилалтын функц ба нягтын функцийг ол

x(1) = min (x1,x2, ... xn) ба x(2)= max(x1, x2, ...xn).

Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47"> гэдгийг батал.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь Кошигийн хуулийн дагуу тархсан Олно: a) коэффициент a; б) түгээлтийн функц; в) интервалд унах магадлал (-1, 1). X-ийн математикийн хүлээлт байхгүй гэдгийг харуул. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь l (l>0) параметртэй Лапласын хуульд хамаарна: a коэффициентийг ол; тархалтын нягтын график, хуваарилалтын функцийг байгуулах; Mx ба Dx-г олох; үйл явдлын магадлалыг ол (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Тархалтын нягтын томъёог бичээд Mx, Dx-ийг ол.

Тооцооллын даалгавар.

Санамсаргүй А цэг нь R радиустай тойрогт жигд тархалттай байна. Тойргийн төв хүртэлх цэгээс r зайны математик хүлээлт ба дисперсийг ол. r2 утга нь сегмент дээр жигд тархсан болохыг харуул.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна.

Тогтмол С, тархалтын функц F(x), магадлалыг тооцоол Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна.

Тогтмол С, тархалтын функц F(x), магадлалыг тооцоол Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна.
Тогтмол С, тархалтын функц F(x), , дисперс ба магадлалыг санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тархалтын функцтэй

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтрал, математикийн хүлээлт, дисперс ба магадлалыг тооцоолох Функцийг шалгах =
санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц байж болно. Энэ хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг ол: Mx ба Dx. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь сегмент дээр жигд тархсан байна. Тархалтын нягтыг бичнэ үү. Түгээлтийн функцийг ол. Хэсэг болон сегмент дээр санамсаргүй хэмжигдэхүүн унах магадлалыг ол. Тархалтын нягт x нь тэнцүү байна

.

Тогтмол c, тархалтын нягт h = ба магадлалыг ол

P (0.25

Компьютерийн доголдолгүй ажиллах хугацааг l = 0.05 (цагт алдаа) параметр бүхий экспоненциал хуулийн дагуу хуваарилдаг, өөрөөр хэлбэл нягтралын функцтэй байдаг.

p(x) = .

Тодорхой асуудлыг шийдэхийн тулд машиныг 15 минутын турш асуудалгүй ажиллуулах шаардлагатай. Асуудлыг шийдвэрлэх явцад алдаа гарвал шийдэл дууссаны дараа л алдааг илрүүлж, асуудлыг дахин шийддэг. Олно: а) асуудлыг шийдвэрлэх явцад нэг ч доголдол гарахгүй байх магадлал; б) асуудлыг шийдвэрлэх дундаж хугацаа.

24 см урт саваа хоёр хэсэгт хуваагдана; Бид таслах цэгийг бариулын бүхэл бүтэн уртын дагуу жигд хуваарилсан гэж үзэх болно. Ихэнх савааны дундаж урт хэд вэ? 12 см урттай хэсгийг санамсаргүй байдлаар хоёр хэсэгт хуваана. Зүссэн цэг нь сегментийн бүх уртын дагуу жигд тархсан байна. Сегментийн жижиг хэсгийн дундаж урт хэд вэ? Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь сегмент дээр жигд тархсан байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягтыг ол a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); в) h3 =.

Хэрэв x нь тасралтгүй тархалтын функцтэй болохыг харуул

F(x) = P(x

Х ба h хоёр бие даасан хэмжигдэхүүний нийлбэрийн нягтын функц ба тархалтын функцийг хэрчмүүд дээр жигд тархалтын хуультай, тус тус ол. x ба h санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан бөгөөд сегментүүдэд жигд тархсан байна. x+h нийлбэрийн нягтыг тооцоол. x ба h санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан бөгөөд сегментүүдэд жигд тархсан байна. x+h нийлбэрийн нягтыг тооцоол. x ба h санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан бөгөөд сегментүүдэд жигд тархсан байна. x+h нийлбэрийн нягтыг тооцоол. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан бөгөөд нягтралтай экспоненциал тархалттай байдаг . Тэдний нийлбэрийн тархалтын нягтыг ол. Х нь интервал дээр жигд тархалттай, h нь l параметртэй экспоненциал тархалттай x ба h бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалтыг ол. П-г олоорой , хэрэв x нь: a) a ба s2 параметртэй хэвийн тархалт; b) l параметртэй экспоненциал тархалт; в) сегмент дэх жигд тархалт [-1;1]. x, h-ийн хамтарсан тархалт нь квадрат жигд байна
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Магадлалыг ол . x ба h бие даасан байна уу? K= гурвалжин дотор x ба h санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хос жигд тархсан байна. x ба h нягтыг тооцоол. Эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан мөн үү? Магадлалыг ол. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн x ба h нь бие даасан бөгөөд сегмент болон [-1,1] дээр жигд тархсан. Магадлалыг ол. Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн (x, h) нь (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) оройтой квадратад жигд тархсан байна. (1, -1) цэг дээрх хамтарсан тархалтын функцийн утгыг ол. Санамсаргүй вектор (x, h) эх цэг дээр төвтэй 3 радиустай тойрог дотор жигд тархсан байна. Хамтарсан тархалтын нягтын илэрхийлэл бич. Эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай эсэхийг тодорхойл. Магадлалыг тооцоолох. Хос санамсаргүй хэмжигдэхүүн x ба h нь орой нь (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0) цэгүүдтэй трапецын дотор жигд тархсан байна. Энэ хос санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан тархалтын нягт ба бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нягтыг ол. x ба h хамааралтай юу? Санамсаргүй хос (x, h) нь хагас тойрог дотор жигд тархсан. x ба h нягтыг олж, тэдгээрийн хамаарлын асуудлыг судал. x ба h хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан нягт нь тэнцүү байна .
x, h нягтыг ол. x ба h-ийн хамаарлын асуултыг судал. Санамсаргүй хос (x, h) олонлог дээр жигд тархсан. x ба h нягтыг олж, тэдгээрийн хамаарлын асуудлыг судал. M(xh)-г ол. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн x ба h нь бие даасан бөгөөд Find параметртэй экспоненциал хуулийн дагуу тархдаг.

– шинээр төрсөн 10 хүүхдийн дундах хөвгүүдийн тоо.

Энэ тоо урьдаас тодорхойгүй байгаа нь туйлын тодорхой бөгөөд дараагийн төрсөн арван хүүхдэд дараахь зүйлс орно.

Эсвэл хөвгүүд - нэг бөгөөд цорын ганцжагсаасан сонголтуудаас.

Мөн хэлбэрээ хадгалахын тулд бага зэрэг биеийн тамирын боловсрол:

- урт харайлтын зай (зарим нэгжээр).

Спортын мастер ч гэсэн таамаглаж чадахгүй :)

Гэсэн хэдий ч таны таамаглал?

2) Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн – хүлээн авна Бүгдхязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй интервалаас авсан тоон утгууд.

Анхаарна уу : DSV ба NSV товчлолууд нь боловсролын уран зохиолд түгээмэл байдаг

Эхлээд дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнд дүн шинжилгээ хийцгээе, дараа нь - Үргэлжилсэн.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль

- Энэ захидал харилцааЭнэ хэмжигдэхүүний боломжит утга ба тэдгээрийн магадлалын хооронд. Ихэнх тохиолдолд хуулийг хүснэгтэд бичдэг.

Энэ нэр томъёо нь ихэвчлэн гарч ирдэг эгнээ хуваарилалт, гэхдээ зарим тохиолдолд энэ нь хоёрдмол утгатай сонсогддог тул би "хууль"-ыг баримтлах болно.

Одоо маш чухал цэг: санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс хойш Заавалхүлээн зөвшөөрөх болно үнэт зүйлсийн нэг, дараа нь харгалзах үйл явдлууд үүснэ бүтэн бүлэгба тэдгээрийн тохиолдох магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна.

эсвэл хураангуй хэлбэрээр бичсэн бол:

Жишээлбэл, ган дээр өнхрөх онооны магадлалын тархалтын хууль дараах хэлбэртэй байна.

Сэтгэгдэл байхгүй.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь зөвхөн "сайн" бүхэл тоон утгыг авах боломжтой гэсэн сэтгэгдэлтэй байж магадгүй юм. Төөрөгдлийг арилгацгаая - тэд юу ч байж болно:

Жишээ 1

Зарим тоглоом нь дараахь ялалтын хуваарилалтын хуультай:

...чи ийм даалгаврыг удаан хугацаанд мөрөөдөж байсан байх :) Би чамд нэг нууц хэлье - би ч гэсэн. Ялангуяа би ажиллаж дууссаны дараа талбайн онол.

Шийдэл: санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь гурван утгын зөвхөн нэгийг нь авах боломжтой тул харгалзах үйл явдлууд үүсдэг бүтэн бүлэг, энэ нь тэдний магадлалын нийлбэр нэгтэй тэнцүү гэсэн үг:

"Партизан"-ыг илчлэх нь:

- Тиймээс ердийн нэгжийг хожих магадлал 0.4 байна.

Хяналт: энэ нь бидэнд итгэлтэй байх ёстой зүйл юм.

Хариулах:

Хуваарилалтын хуулиа өөрөө гаргах шаардлагатай болсон тохиолдол цөөнгүй гардаг. Үүний тулд тэд ашигладаг магадлалын сонгодог тодорхойлолт, үйл явдлын магадлалын үржүүлэх/нэмэх теоремуудболон бусад чипс tervera:

Жишээ 2

Хайрцагт 50 сугалааны тасалбар байгаа бөгөөд тэдгээрийн 12 нь хожиж, 2 нь тус бүр 1000 рубль, үлдсэн нь тус бүр 100 рубль хождог. Хайрцагнаас санамсаргүй байдлаар нэг тасалбар авсан бол хожлын хэмжээ - санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийг гарга.

Шийдэл: Таны анзаарсанчлан санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудыг ихэвчлэн оруулдаг өсөх дарааллаар. Тиймээс бид хамгийн бага ялалт, тухайлбал рублиэр эхэлдэг.

Нийтдээ 50 ийм тасалбар байдаг - 12 = 38, дагуу сонгодог тодорхойлолт:
– санамсаргүй сугалсан тасалбар хожигдох магадлал.

Бусад тохиолдолд бүх зүйл энгийн байдаг. Рубль хожих магадлал нь:

Шалгана уу: - Энэ бол ийм ажлуудын хамгийн таатай мөч юм!

Хариулах: хожлын хуваарилалтын хүссэн хууль:

Дараахь даалгаврыг та өөрөө шийдэх ёстой.

Жишээ 3

Буудагчийн бай онох магадлал нь . Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийг гарга - 2 удаагийн цохилтын дараа.

...Чамайг санасан гэдгийг чинь мэдэж байсан :) санацгаая үржүүлэх, нэмэх теоремууд. Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүрэн дүрсэлсэн боловч бодит байдал дээр зөвхөн заримыг нь мэдэх нь ашигтай (заримдаа илүү ашигтай) байж болно. тоон шинж чанар .

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт

Энгийнээр хэлбэл, энэ дундаж хүлээгдэж буй үнэ цэнэтуршилтыг олон удаа давтан хийх үед. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг магадлал бүхий утгыг авцгаая тус тус. Тэгвэл энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт тэнцүү байна бүтээгдэхүүний нийлбэртүүний бүх утгыг харгалзах магадлалд:

эсвэл нурсан:

Жишээлбэл, санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтийг тооцоолъё - үхэр дээр эргэлдэж буй онооны тоог:

Одоо бидний таамагласан тоглоомыг санацгаая:

Асуулт гарч ирнэ: энэ тоглоомыг тоглох нь ашигтай юу? ... хэнд ямар сэтгэгдэл байна вэ? Тиймээс та үүнийг "өөрийн" гэж хэлж болохгүй! Гэхдээ энэ асуултыг математикийн хүлээлтийг тооцоолох замаар амархан хариулж болно, үндсэндээ - жигнэсэн дундажялах магадлалаар:

Тиймээс энэ тоглоомын математикийн хүлээлт алдаж байна.

Өөрийн сэтгэгдэлд бүү итгэ - тоонд итгээрэй!

Тийм ээ, энд та 10, бүр 20-30 удаа дараалан ялах боломжтой, гэхдээ алсдаа бид зайлшгүй сүйрэлтэй тулгарах болно. Тэгээд би чамд ийм тоглоом тоглохыг зөвлөхгүй ээ :) За, магадгүй зөвхөн зугаацахын тулд.

Дээр дурдсан бүхнээс үзэхэд математикийн хүлээлт нь САНАМРЫН утга байхаа больсон.

Бие даасан судалгааны бүтээлч даалгавар:

Жишээ 4

Ноён Икс дараах системийг ашиглан Европын рулет тоглодог: тэрээр "улаан" дээр байнга 100 рубль бооцоо тавьдаг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн - түүний ялалтын тархалтын хуулийг зур. Ялалтын математикийн хүлээлтийг тооцоолж, хамгийн ойрын копейк хүртэл дугуйл. Хэдэн ширхэг дундажТоглогч бооцоо тавьсан зуу бүртээ хожигдох уу?

Лавлагаа : Европын рулет нь 18 улаан, 18 хар, 1 ногоон сектор (“тэг”) агуулдаг. Хэрэв "улаан" гарч ирвэл тоглогч хоёр дахин бооцоо төлнө, эс тэгвээс энэ нь казиногийн орлогод орно.

Та өөрийн магадлалын хүснэгтийг үүсгэж болох өөр олон рулет системүүд байдаг. Гэхдээ энэ нь бидэнд хуваарилалтын хууль, хүснэгт хэрэггүй үед тохиолддог, учир нь тоглогчийн математикийн хүлээлт яг адилхан байх нь тодорхой болсон. Системээс системд өөрчлөгддөг цорын ганц зүйл бол