if илэрхийллийн утгыг хэрхэн олох вэ. "Илэрхийллийн утгыг олох" гэсэн шошготой нийтлэлүүд

Тоон илэрхийлэл– энэ бол тоо, арифметик тэмдэг, хаалтны аливаа бичлэг юм. Тоон илэрхийлэл нь нэг тооноос бүрдэж болно. Арифметикийн үндсэн үйлдлүүд нь "нэмэх", "хасах", "үржүүлэх", "хуваах" гэдгийг санаарай. Эдгээр үйлдэл нь "+", "-", "∙", ":" тэмдгүүдтэй тохирч байна.

Мэдээжийн хэрэг, бид тоон илэрхийлэл авахын тулд тоо, арифметик тэмдгийн бичлэг нь утга учиртай байх ёстой. Жишээлбэл, ийм 5: + ∙ оруулгыг тоон илэрхийлэл гэж нэрлэх боломжгүй, учир нь энэ нь ямар ч утгагүй тэмдэгтүүдийн санамсаргүй багц юм. Эсрэгээр, 5 + 8 ∙ 9 нь аль хэдийн бодит тоон илэрхийлэл юм.

Тоон илэрхийллийн утга.

Хэрэв бид тоон илэрхийлэлд заасан үйлдлүүдийг хийвэл үр дүнд нь тоо гарна гэж шууд хэлье. Энэ дугаарыг дуудаж байна тоон илэрхийллийн утга.

Бидний жишээн дээрх үйлдлүүдийг хийсний үр дүнд бид юу авахаа тооцоолохыг хичээцгээе. Арифметик үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дарааллын дагуу бид эхлээд үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэдэг. 8-ыг 9-р үржүүл. Бид 72-ыг авна. Одоо 72, 5-ыг нэм. Бид 77-г авна.
Тиймээс, 77 - утга учиртоон илэрхийлэл 5 + 8 ∙ 9.

Тоон тэгш байдал.

Та үүнийг ингэж бичиж болно: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Энд бид “=” тэмдгийг (“Тэгш”) анх удаа ашигласан. Хоёр тоон илэрхийлэл нь “=” тэмдгээр тусгаарлагдсан ийм тэмдэглэгээг нэрлэдэг тоон тэгш байдал. Түүгээр ч зогсохгүй, тэгш байдлын зүүн ба баруун талуудын утгууд давхцаж байвал тэгш байдлыг нэрлэдэг. үнэнч. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – зөв тэгш байдал.
Хэрэв бид 5 + 8 ∙ 9 = 100 гэж бичвэл энэ нь аль хэдийн байх болно хуурамч тэгш байдал, учир нь энэ тэгш байдлын зүүн ба баруун талуудын утгууд давхцахаа больсон.

Тоон илэрхийлэлд бид хаалт ашиглаж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Хаалт нь үйлдлийг гүйцэтгэх дараалалд нөлөөлдөг. Жишээлбэл, жишээгээ хаалтанд нэмж өөрчилье: (5 + 8) ∙ 9. Одоо та эхлээд 5 ба 8-ыг нэмэх хэрэгтэй. Бид 13-ыг авна. Дараа нь 13-ыг 9-ээр үржүүлнэ. Бид 117-г авна. Тиймээс (5) + 8) ∙ 9 = 117.
117 – утга учиртоон илэрхийлэл (5 + 8) ∙ 9.

Илэрхийлэлийг зөв уншихын тулд өгөгдсөн тоон илэрхийллийн утгыг тооцоолохын тулд аль үйлдэл хамгийн сүүлд хийгдсэнийг тодорхойлох хэрэгтэй. Тиймээс, хэрэв сүүлчийн үйлдэл нь хасах үйлдэл бол илэрхийллийг "ялгаа" гэж нэрлэдэг. Үүний дагуу, хэрэв сүүлчийн үйлдэл нь нийлбэр бол "нийлбэр", хуваах - "хэсэг", үржүүлэх - "бүтээгдэхүүн", экспонентац - "хүч".

Жишээлбэл, (1+5)(10-3) тоон илэрхийлэл нь: "1 ба 5 тоонуудын нийлбэр ба 10 ба 3 тоонуудын зөрүүний үржвэр" гэж уншина.

Тоон илэрхийллийн жишээ.

Илүү төвөгтэй тоон илэрхийллийн жишээ энд байна:

\[\left(\frac(1)(4)+3.75 \баруун):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]

Хаалтанд $\frac(1)(4)+3.75$ илэрхийлэл байна. Аравтын бутархай 3.75-ыг энгийн бутархай болгон хувирга.

$3.75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Тэгэхээр, $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Дараа нь бутархайн дугаарт \[\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]бидэнд 1.25+3.47+4.75-1.47 илэрхийлэл байна. Энэ илэрхийлэлийг хялбарчлахын тулд бид "Нөхцөлүүдийн байрлалыг өөрчилснөөр нийлбэр өөрчлөгдөхгүй" гэсэн нэмэх солих хуулийг хэрэглэнэ. Өөрөөр хэлбэл 1.25+3.47+4.75-1.47=1.25+4.75+3.47-1.47=6+2=8.

Бутархайн хуваарьт илэрхийлэл $4\centerdot 0.5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Бид авдаг $\left(\frac(1)(4)+3.75 \баруун):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1 доллар

Хэзээ тоон илэрхийлэл утгагүй болдог вэ?

Өөр нэг жишээг харцгаая. Бутархайн хуваарьт $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$$3\centerdot 3-9$ илэрхийллийн утга нь 0. Мөн бидний мэдэж байгаагаар тэг болгон хуваах боломжгүй юм. Тиймээс $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ бутархай ямар ч утгагүй болно. Ямар ч утгагүй тоон хэллэгийг "утгагүй" гэж хэлдэг.

Хэрэв бид тоон илэрхийлэлд тооноос гадна үсэг ашиглавал алгебрийн илэрхийлэл гарч ирнэ.

Нийтэлсэн огноо: 2014-08-30 10:58 UTC

• Геометр, Балаян Е.Н. "Геометр. Улсын нэгдсэн шалгалт, улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхэд зориулсан бэлэн зургийн даалгавар: 7-9-р анги, 7-р анги, Балаян Е.Н., 2019 он.
• Геометрийн симулятор, 7-р анги, Атанасян Л.С. болон бусад "Геометр. 7-9 анги", Холбооны улсын боловсролын стандарт, Глазков Ю.А., Егупова М.В., 2019 он.

Хариулт: _________
2. Бүтээгдэхүүний үнэ 3200 рубль байна. Таван хувиар хямдруулсны дараа энэ бүтээгдэхүүн ямар үнэтэй байсан бэ?
A. 3040 рубль. B. 304 х. V. 1600 рубль. G. 3100 х.
3. Ангийн сурагчид санал болгож буй тестээс дунджаар 7.5 даалгавар гүйцэтгэсэн байна. Максим 9 даалгавар гүйцэтгэсэн. Түүний үр дүн дунджаас хэдэн хувиар дээгүүр байна вэ?
Хариулт: _________
4. Цуврал нь натурал тооноос бүрдэнэ. Дараах статистикийн алийг нь бутархайгаар илэрхийлэх боломжгүй вэ?
A. Арифметик дундаж
B. Загвар
B. Медиан
D. Мэдээллийн дунд ийм шинж тэмдэг байхгүй.
5. Аль тэгшитгэл нь үндэсгүй вэ?
A. x =x B. x =6 C. x =0 D. x =−5
6. А ба В тоонуудыг координатын шулуун дээр тэмдэглэв (Зураг 35). А ба В тоонуудыг харьцуул.

А.-А< В
B. –A > B
B. –A = B
D. Харьцуулах боломжгүй
7. a (a – 2) – (a – 1)(a + 1) илэрхийллийг хялбарчил.
Хариулт: _________
8. (5a – 2b)(5a + 2b) – 4b (3a – b) + 6a (2b – 1) илэрхийллийн утгыг олохын тулд ямар хувьсагчийн утгыг мэдэх шаардлагатай вэ?
A. a, b B. a C. b
D. Илэрхийллийн утга нь хувьсагчийн утгаас хамаарахгүй
9. (x – 2)2 + 8x = (x – 1)(1 + x) тэгшитгэлийг шийд.
Хариулт: _________
10. ( 3x−2y=5, 5x+6y=27) тэгшитгэлийн системийг шийд.
Хариулт: _________
11. Машинаар 3 цаг, галт тэргээр 4 цаг явахад жуулчид 620 км замыг туулсан бөгөөд галт тэрэгний хурд машины хурднаас 10 км/цаг илүү байсан. Галт тэрэгний хурд, машины хурд хэд вэ?
Машины хурдыг х км/ц, галт тэрэгний хурдыг у км/цаг-аар тэмдэглэж, тэгшитгэлийн системийг бий болгов. Аль нь зөв зохиогдсон бэ?
A. ( 3x+4y=620, x−y=10 B. ( 3x+4y=620, y−x=10)
V. ( 4x+3y=620, x−y=10 G. ( 4x+3y=620, y−x=10)
12. y = –0.6x + 1 функцийн графикт аль цэг хамаарахгүй вэ?
A. (3; –0.8) B. (–3; 0.8) B. (2; –0.2) D. (–2; 2.2)
13. y = –0.6x + 1.5 функцийн графикт аль координатын квадратад нэг ч цэг байхгүй вэ?
Хариулт: _________
14. График нь х тэнхлэгийг (2; 0) цэг дээр, у тэнхлэгийг (0; 7) цэг дээр огтлолцох шугаман функцийг томъёогоор тодорхойлно.
Хариулт: _________ Туслаач

A. 3040 рубль. B. 304 х. V. 1600 рубль. G. 3100 х. 3. Ангийн сурагчид санал болгож буй тестээс дунджаар 7.5 даалгавар гүйцэтгэсэн байна. Максим 9 даалгавар гүйцэтгэсэн. Түүний үр дүн дунджаас хэдэн хувиар дээгүүр байна вэ? Хариулт: _________ 4. Цуврал нь натурал тооноос бүрдэнэ. Дараах статистикийн алийг нь бутархайгаар илэрхийлэх боломжгүй вэ? А.Арифметик дундаж В.Мод В.Медиан D.Өгөгдлийн дунд тийм шинж байхгүй 5.Тэгшитгэлийн аль нь үндэсгүй вэ? A. x =x B. x =6 C. x =0 D. x =−5 6. А ба В тоог координатын шулуун дээр тэмдэглэв (Зураг 35). -A ба B.A -A тоонуудыг харьцуул< В Б. –А >B B. –A = B D. Харьцуулж болохгүй 7. a (a – 2) – (a – 1)(a + 1) илэрхийллийг хялбарчил. Хариулт: _________ 8. (5a – 2b)(5a + 2b) – 4b (3a – b) + 6a (2b – 1) илэрхийллийн утгыг олохын тулд ямар хувьсагчийн утгыг мэдэх шаардлагатай вэ? A. a ба b B. a C. b D. Илэрхийллийн утга нь хувьсагчийн утгаас хамаарахгүй 9. Тэгшитгэлийг шийд (x – 2)2 + 8x = (x – 1)(1) + x). Хариулт: _________ 10. Тэгшитгэлийн системийг шийд ( 3x−2y=5, 5x+6y=27. Хариулт: _________ 11. Жуулчид 3 цаг машинаар, 4 цаг галт тэргээр явахдаа 620 км замыг туулсан ба Галт тэрэгний хурд 10 км/цаг байсан бол галт тэрэгний хурд ба вагоны хурдыг х км/ц, галт тэрэгний хурдыг у км-ээр тэмдэглэх нь юу вэ? /h, тэдгээрийн аль нь зөв бэ? y−x=10 12. y = –0.6x + 1 функцийн графикт аль нэг цэг хамаарахгүй вэ A. (3; –0.8) B. (–3; 0.8) B. (2; –0.2) ) D. (–2; 2,2) 13. y = –0.6x + 1.5 функцийн график дээр аль координатын квадратад нэг ч цэг байхгүй байна Хариулт: _________ 14. Шугаман функцийг томъёогоор тодорхойлно уу? График нь (2; 0) цэг дээр у тэнхлэгтэй огтлолцдог Хариу: _________ 2-р хувилбар 1. x = 2.25 бол x x−2 илэрхийллийн утгыг ол. 2. Бүтээгдэхүүний үнэ 1600 рубль байсан бол үнэ нь 5.% -иар нэмэгдсэний дараа бүтээгдэхүүн хэдэн төгрөгийн үнэтэй байсан бэ? A. 1760 рубль. B. 1700 рубль. V. 1605 рубль. G. 1680 рубль. 3. Нэг ээлжиндээ цехийн токарь нар дунджаар 12,5 ширхэгийг боловсруулсан. Петров энэ ээлжинд 15 эд анги боловсруулсан. Түүний үр дүн дунджаас хэдэн хувиар дээгүүр байна вэ? Хариулт: ____________ 4. Өгөгдлийн цувралд бүх тоо бүхэл тоо байна. Дараах шинж чанаруудын аль нь бутархай хэлбэрээр илэрхийлэгдэх боломжгүй вэ? А.Арифметик дундаж В.Мод В.Медиан D.Өгөгдлийн дунд тийм шинж байхгүй 5.Тэгшитгэлийн аль нь үндэсгүй вэ? A. x =0 B. x =7 C. x =−x D. x =−6 6. Координатын шулуун дээр B ба C тоонууд тэмдэглэгдсэн байна (Зураг 36). B ба –C тоонуудыг харьцуул. A. B > –C B. B< –С В. В = –С Г. Сравнить невозможно 7. Упростите выражение х (х – 6) – (х – 2)(х + 2). Ответ: ___________ 8. Значения каких переменных надо знать, чтобы найти значение выражения (3х – 4у)(3х + 4у) – 3х (3х – у) + 3у (1 – х)? А. x Б. у В. x и у Г. Значение выражения не зависит от значений переменных 9. Решите уравнение (х + 3)2 – х = (х – 2)(2 + x). Ответ: ___________ 10. Решите систему уравнений { 2x+5y=−1, 3x−2y=8. Ответ: ___________ 11. Масса 5 см3 железа и 10 см3 меди равна 122 г. Масса 4 см3 железа больше массы 2 см3 меди на 14,6 г. Каковы плотность железа и плотность меди? Обозначив через x г/см3 плотность железа и через у г/см3 плотность меди, составили системы уравнений. Какая из систем составлена правильно? А. { 5x+10y=122, 4x−2y=14,6 Б. { 5x+10y=122, 4y−2x=14,6 В. { 10x+5y=122, 4x−2y=14,6 Г. { 10x+5y=122, 4y−2x=14,6 12. Какая из точек не принадлежит графику функции у = –1,2x – 1,4? А. (–1; –0,2) Б. (–2; 1) В. (0; –1,4) Г. (–3; 2,2) 13. В какой координатной четверти нет ни одной точки графика функции у = 1,8x – 7,2? Ответ: ___________ 14. Задайте формулой линейную функцию, график которой пересекает ось x в точке (–4; 0) и ось у в точке (0; 3). Ответ: ____________ У МЕНЯ ЗАВТРА ИТОГОВАЯ ПОЖАЛУЙСТА

Тоон илэрхийлэл нь тоо, арифметик тэмдэг, хаалтаас бүрдэнэ. Хэрэв ийм илэрхийлэлд хувьсагч байгаа бол түүнийг алгебр гэж нэрлэнэ. Тригонометрийн илэрхийлэл гэдэг нь тригонометрийн функцүүдийн тэмдгийн дор хувьсагч агуулагдах илэрхийлэл юм. Тоон, тригонометр, алгебр илэрхийллийн утгыг тодорхойлохтой холбоотой асуудлуудыг сургуулийн математикийн хичээлд ихэвчлэн олдог.

Заавар

Тоон илэрхийллийн утгыг олохын тулд өгөгдсөн жишээн дээрх үйлдлийн дарааллыг тодорхойлно. Тохиромжтой болгохын тулд харандаагаар харгалзах тэмдгүүдийн дээр тэмдэглээрэй. Заасан бүх үйлдлийг тодорхой дарааллаар гүйцэтгэнэ: хаалтанд хийх үйлдлүүд, экспонентаци, үржүүлэх, хуваах, нэмэх, хасах. Үр дүнгийн тоо нь тоон илэрхийллийн утга байх болно.

Жишээ. (34 10+(489–296) 8):4–410 илэрхийллийн утгыг ол. Үйл ажиллагааны чиглэлийг тодорхойлох. Эхний үйлдлийг дотоод хаалтанд 489–296=193 хийнэ. Дараа нь 193 8=1544 ба 34 10=340-ийг үржүүлнэ. Дараагийн үйлдэл: 340+1544=1884. Дараа нь 1884:4=461-ийг хувааж, 461–410=60-ыг хасна. Та энэ илэрхийллийн утгыг олж мэдсэн.

Мэдэгдэж буй өнцгийн тригонометрийн илэрхийллийн утгыг олохын тулд эхлээд. Үүнийг хийхийн тулд тохирох тригонометрийн томъёог хэрэглэнэ. Тригонометрийн функцүүдийн өгөгдсөн утгыг тооцоолж, жишээнд орлуулна уу. Алхам алхмуудыг дагана уу.

Жишээ. 2sin 30 гэсэн илэрхийллийн утгыг олоорой? учир нь 30? тг 30? ctg 30? Энэ илэрхийллийг хялбарчлах. Үүнийг хийхийн тулд tg томъёог ашиглана уу? ctg ?=1. Авах: 2sin 30? учир нь 30? 1=230 уу? учир нь 30?. Гэм 30?=1/2, cos 30?=?3/2 гэдгийг мэддэг. Тиймээс, 2sin 30? cos 30?=2 1/2 ?3/2=?3/2. Та энэ илэрхийллийн утгыг олж мэдсэн.

Алгебр илэрхийллийн утга нь хувьсагчийн утгаас хамаарна. Хувьсагчдаас өгөгдсөн алгебр илэрхийллийн утгыг олохын тулд илэрхийллийг хялбаршуулна. Хувьсагчдын хувьд тодорхой утгыг орлуулна уу. Шаардлагатай алхмуудыг гүйцээнэ үү. Үүний үр дүнд та тоо хүлээн авах бөгөөд энэ нь өгөгдсөн хувьсагчдын хувьд алгебр илэрхийллийн утга болно.

Жишээ. a=21, y=10 гэсэн 7(a+y)–3(2a+3y) илэрхийллийн утгыг ол. Энэ илэрхийлэлийг хялбарчлаад: a–2y. Хувьсагчдын харгалзах утгуудыг орлуулж тооцоолно уу: a–2y=21–2 10=1. Энэ нь a=21, y=10 гэсэн 7(a+y)–3(2a+3y) илэрхийллийн утга юм.

Анхаарна уу

Хувьсагчийн зарим утгыг ойлгохгүй алгебрийн илэрхийлэл байдаг. Жишээлбэл, a=7 бол x/(7–a) илэрхийлэл утгагүй, учир нь энэ тохиолдолд бутархайн хуваагч тэг болно.

Эцэг эхийн хувьд та хүүхдээ хүмүүжүүлэх явцад математик, алгебр, геометрийн гэрийн даалгаварыг шийдвэрлэхэд туслах хэрэгцээтэй нэгээс олон удаа тулгардаг. Мөн таны сурах ёстой үндсэн ур чадваруудын нэг бол илэрхийллийн утгыг хэрхэн олох явдал юм. 3-5-р ангид сурснаас хойш хэдэн жил өнгөрчихсөн болохоор олон хүн мухардалд орчихлоо. Олон зүйл аль хэдийн мартагдсан, зарим нь сураагүй байна. Математик үйлдлүүдийн дүрэм нь өөрөө энгийн бөгөөд та тэдгээрийг амархан санаж чадна. Математик илэрхийлэл гэж юу болох тухай үндсэн ойлголтоос эхэлцгээе.

Илэрхийллийн тодорхойлолт

Математик илэрхийлэл нь тоо, үйлдлийн тэмдэг (=, +, -, *, /), хаалт, хувьсагчийн цуглуулга юм. Товчхондоо энэ бол утгыг нь олох шаардлагатай томъёо юм. Ийм томьёо нь сургуулиас хойш математикийн хичээлээс олддог бөгөөд дараа нь нарийн шинжлэх ухаантай холбоотой мэргэжлийг сонгосон оюутнуудын анхаарлыг татдаг. Математик илэрхийлэл нь тригонометр, алгебр гэх мэт хуваагддаг.

1. Эхлээд ноорог дээр ямар нэгэн тооцоо хийж, дараа нь ажлын дэвтэртээ хуулж ав. Ингэснээр та шаардлагагүй гарц, шорооноос зайлсхийх болно;
2. Илэрхийлэлд хийх шаардлагатай математик үйлдлүүдийн нийт тоог дахин тооцоол. Дүрэм журмын дагуу эхлээд хаалтанд хийсэн үйлдлүүд, дараа нь хуваах, үржүүлэх, хамгийн төгсгөлд нь хасах, нэмэх үйлдлийг гүйцэтгэдэг болохыг анхаарна уу. Бид бүх үйлдлийг харандаагаар тодруулж, гүйцэтгэсэн дарааллаар нь үйлдлүүдийн дээр тоо оруулахыг зөвлөж байна. Энэ тохиолдолд танд болон таны хүүхдэд чиглүүлэх нь илүү хялбар байх болно;
3. Үйлдлийн дарааллыг чанд дагаж тооцоолж эхэл. Хэрэв тооцоолол нь энгийн бол хүүхдэд үүнийг толгойдоо хийхийг хичээгээрэй, гэхдээ хэрэв хэцүү бол илэрхийллийн дарааллын дугаарт тохирох тоог харандаагаар бичиж, томъёоны дагуу тооцооллыг бичгээр гүйцэтгээрэй;
4. Ерөнхийдөө бүх тооцооллыг дүрмийн дагуу, зөв ​​дарааллаар хийсэн тохиолдолд энгийн илэрхийллийн утгыг олох нь тийм ч хэцүү биш юм. Ихэнх хүмүүс үг хэллэгийн утгыг олохын тулд яг энэ үе шатанд асуудалтай тулгардаг тул болгоомжтой байж, алдаа гаргахгүй байх;
5. Тооцоологчийг хоригло. Математикийн томьёо, бодлого нь таны хүүхдийн амьдралд тус болохгүй байж болох ч энэ нь тухайн сэдвийг судлах зорилго биш юм. Хамгийн гол нь логик сэтгэлгээг хөгжүүлэх явдал юм. Хэрэв та тооцоолуур ашигладаг бол бүх зүйлийн утга учир алдагдах болно;
6. Эцэг эхийн хувьд таны даалгавар бол хүүхдийнхээ асуудлыг шийдэх биш, харин түүнд туслах, түүнийг чиглүүлэх явдал юм. Түүнд бүх тооцоог өөрөө хий, тэгвэл та түүнийг алдаа гаргахгүй байгаа эсэхийг шалгаарай, яагаад үүнийг хийх ёстойг тайлбарлаж, өөрөөр биш.
7. Илэрхийллийн хариулт олсны дараа “=” тэмдгийн ард бичнэ;
8. Математикийн сурах бичгийн сүүлийн хуудсыг нээ. Ихэвчлэн номонд дасгал бүрийн хариулт байдаг. Бүх зүйлийг зөв тооцоолсон эсэхийг шалгахад гэмгүй.

Илэрхийллийн утгыг олох нь нэг талаас, хамгийн гол зүйл бол сургуулийн математикийн хичээл дээр сурсан үндсэн дүрмийг санах явдал юм. Гэсэн хэдий ч, нөгөө талаас, та хүүхдэд томъёог даван туулах, асуудлыг шийдвэрлэхэд нь туслах шаардлагатай үед асуудал улам төвөгтэй болдог. Эцсийн эцэст та одоо оюутан биш, харин багш болсон бөгөөд ирээдүйн Эйнштейний боловсрол таны мөрөн дээр тулгуурладаг.

Манай нийтлэл нь илэрхийллийн утгыг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултын хариултыг олоход тусалсан гэж найдаж байна, мөн та ямар ч томьёог хялбархан олох боломжтой болно!

Хэрэв тоон илэрхийлэл нь тоонууд болон +, −, · ба: тэмдгээс бүрдсэн бол зүүнээс баруун тийш дарааллаар та эхлээд үржүүлэх, хуваах, дараа нь нэмэх, хасах үйлдлийг хийх ёстой бөгөөд энэ нь танд олох боломжийг олгоно. илэрхийллийн хүссэн утга.

Тодорхой болгох үүднээс хэдэн жишээ хэлье.

Жишээ.

14−2·15:6−3 илэрхийллийн утгыг тооцоол.

Шийдэл.

Илэрхийллийн утгыг олохын тулд та эдгээр үйлдлийг гүйцэтгэх хүлээн зөвшөөрөгдсөн дарааллын дагуу түүнд заасан бүх үйлдлийг гүйцэтгэх хэрэгтэй. Нэгдүгээрт, зүүнээс баруун тийш дарааллаар бид үржүүлэх, хуваах ажлыг гүйцэтгэдэг 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Одоо бид үлдсэн үйлдлүүдийг зүүнээс баруун тийш дарааллаар гүйцэтгэнэ: 14−5−3=9−3=6. Бид анхны илэрхийллийн утгыг ингэж олсон бөгөөд энэ нь 6-тай тэнцүү байна.

Хариулт:

14−2·15:6−3=6.

Жишээ.

Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл.

Энэ жишээн дээр бид эхлээд 2·(−7)-ын үржвэр болон үржвэрийн хуваалтыг илэрхийлэлд хийх хэрэгтэй. Хэрхэн гэдгийг санаж, бид 2·(−7)=−14-ийг олно. Мөн эхлээд илэрхийлэл дэх үйлдлүүдийг гүйцэтгэх , үүний дараа , мөн гүйцэтгэнэ: .

Бид олж авсан утгыг анхны илэрхийлэл болгон орлуулна: .

Харин язгуур тэмдгийн дор тоон илэрхийлэл байвал яах вэ? Ийм язгуурын утгыг олж авахын тулд эхлээд үйлдэл хийх хүлээн зөвшөөрөгдсөн дарааллыг дагаж радикал илэрхийллийн утгыг олох хэрэгтэй. Тухайлбал, .

Тоон илэрхийлэлд үндсийг зарим тоо гэж ойлгох ёстой бөгөөд үндсийг нь нэн даруй утгаараа сольж, дараа нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн дарааллаар үйлдлүүдийг хийж, үндэсгүй илэрхийллийн утгыг олохыг зөвлөж байна.

Жишээ.

Үндэстэй илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл.

Эхлээд язгуурын утгыг олъё . Үүнийг хийхийн тулд эхлээд бид радикал илэрхийллийн утгыг тооцоолно −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. Хоёрдугаарт, бид язгуурын утгыг олдог.

Одоо анхны илэрхийллээс хоёр дахь язгуурын утгыг тооцоод үзье: .

Эцэст нь язгуурыг утгаараа орлуулах замаар анхны илэрхийллийн утгыг олж болно: .

Хариулт:

Үндэстэй илэрхийллийн утгыг олохын тулд эхлээд үүнийг өөрчлөх шаардлагатай болдог. Жишээний шийдлийг харуулъя.

Жишээ.

Илэрхийлэл нь ямар утгатай вэ .

Шийдэл.

Бид гурвын язгуурыг яг тодорхой утгаар нь орлуулах боломжгүй байгаа нь дээр дурдсан аргаар энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолох боломжийг бидэнд олгодоггүй. Гэхдээ бид энгийн хувиргалтуудыг хийснээр энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолж болно. Хэрэглэх боломжтой квадрат зөрүүний томъёо: . Үүнийг харгалзан үзвэл бид авдаг . Тиймээс анхны илэрхийллийн утга нь 1 байна.

Хариулт:

.

Эрдмийн зэрэгтэй

Хэрэв суурь ба илтгэгч нь тоо бол тэдгээрийн утгыг зэрэг тодорхойлох замаар тооцоолно, жишээлбэл, 3 2 =3·3=9 эсвэл 8 −1 =1/8. Суурь ба/эсвэл экспонент нь зарим илэрхийлэл байдаг оруулгууд бас байдаг. Эдгээр тохиолдолд та суурь дахь илэрхийллийн утгыг, экспонент дахь илэрхийллийн утгыг олж, дараа нь градусын утгыг өөрөө тооцоолох хэрэгтэй.

Жишээ.

Маягтын эрх бүхий илэрхийллийн утгыг ол 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4.

Шийдэл.

Анхны илэрхийлэлд 2 3·4−10 ба (1−1/2) 3.5−2·1/4 гэсэн хоёр зэрэглэл байна. Бусад үйлдэл хийхээс өмнө тэдгээрийн утгыг тооцоолох шаардлагатай.

2 3·4−10 гэсэн хүчээр эхэлье. Түүний индикатор нь тоон илэрхийлэл агуулсан тул утгыг нь тооцоод үзье: 3·4−10=12−10=2. Одоо та градусын утгыг өөрөө олж болно: 2 3·4−10 =2 2 =4.

Суурь ба илтгэгч (1−1/2) 3.5−2 1/4 нь илтгэлцүүрийн утгыг олохын тулд тэдгээрийн утгыг тооцоолно. Бидэнд байна (1−1/2) 3.5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Одоо бид анхны илэрхийлэл рүү буцаж очоод, түүний градусыг утгуудаар нь сольж, бидэнд хэрэгтэй илэрхийллийн утгыг олно. 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Хариулт:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 =6.

Урьдчилсан судалгаа хийхийг зөвлөж байгаа тохиолдол илүү түгээмэл байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй эрх мэдэл бүхий илэрхийлэлийг хялбарчлахсуурь дээр.

Жишээ.

Илэрхийллийн утгыг ол .

Шийдэл.

Энэ илэрхийлэл дэх илтгэгчээс харахад илтгэгчийн яг утгыг олж авах боломжгүй болно. Анхны илэрхийлэлийг хялбарчлахыг хичээцгээе, магадгүй энэ нь түүний утгыг олоход тусална. Бидэнд байна

Хариулт:

.

Илэрхийллийн хүч нь ихэвчлэн логарифмтай зэрэгцэн оршдог боловч бид логарифм бүхий илэрхийллийн утгыг аль нэгээр нь олох талаар ярих болно.

Бутархайтай илэрхийллийн утгыг олох

Тоон илэрхийлэл нь тэмдэглэгээнд бутархай байж болно. Ийм илэрхийллийн утгыг олох шаардлагатай үед бусад алхмуудыг үргэлжлүүлэхийн өмнө бутархайгаас бусад бутархайг утгуудаар нь солих хэрэгтэй.

Бутархайн хуваагч ба хуваагч (энгийн бутархайгаас ялгаатай) нь зарим тоо болон илэрхийллийг агуулж болно. Ийм бутархайн утгыг тооцоолохын тулд та хуваагч дахь илэрхийллийн утгыг тооцоолж, хуваагч дахь илэрхийллийн утгыг тооцоолж, дараа нь бутархайн утгыг өөрөө тооцоолох хэрэгтэй. Энэ дарааллыг a, b нь зарим илэрхийлэл болох a/b хэсэг нь үндсэндээ (a):(b) хэлбэрийн хуваалтыг илэрхийлдэг тул тайлбарладаг.

Шийдлийн жишээг авч үзье.

Жишээ.

Бутархайтай илэрхийллийн утгыг ол .

Шийдэл.

Анхны тоон илэрхийлэлд гурван бутархай байна Мөн . Анхны илэрхийллийн утгыг олохын тулд бид эхлээд эдгээр бутархайг утгуудаар нь солих хэрэгтэй. Үүнийг хийцгээе.

Бутархайн хуваагч ба хуваагч нь тоонуудыг агуулна. Ийм бутархайн утгыг олохын тулд бутархайн хэсгийг хуваах тэмдгээр сольж, дараах үйлдлийг гүйцэтгэнэ. .

Бутархайн тоологч нь 7−2·3 илэрхийллийг агуулсан бөгөөд түүний утгыг олоход хялбар: 7−2·3=7−6=1. Ийнхүү, . Та гурав дахь бутархайн утгыг хайж үргэлжлүүлж болно.

Тоолуур ба хуваагч дахь гурав дахь бутархай нь тоон илэрхийллийг агуулдаг тул та эхлээд тэдгээрийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь бутархайн утгыг өөрөө олох боломжийг танд олгоно. Бидэнд байна .

Олдсон утгыг анхны илэрхийлэл болгон орлуулж, үлдсэн үйлдлийг гүйцэтгэхэд л үлддэг: .

Хариулт:

.

Ихэнхдээ бутархай илэрхийллийн утгыг олохдоо та гүйцэтгэх хэрэгтэй бутархай илэрхийллийг хялбарчлах, бутархайтай үйлдэл хийх, бутархайг багасгахад үндэслэсэн.

Жишээ.

Илэрхийллийн утгыг ол .

Шийдэл.

Тавын үндсийг бүрэн задлах боломжгүй тул анхны илэрхийллийн утгыг олохын тулд эхлээд хялбаршуулж үзье. Үүний төлөө хуваарь дахь утгагүй байдлаасаа салцгааяэхний бутархай: . Үүний дараа анхны илэрхийлэл хэлбэрээ авна . Бутархайг хассаны дараа үндэс алга болох бөгөөд энэ нь бидэнд анх өгөгдсөн илэрхийллийн утгыг олох боломжийг олгоно: .

Хариулт:

.

Логарифмуудтай

Хэрэв тоон илэрхийлэл нь -г агуулж байгаа бөгөөд тэдгээрийг арилгах боломжтой бол бусад үйлдлийг хийхээс өмнө үүнийг хийдэг. Жишээ нь log 2 4+2·3 илэрхийллийн утгыг олохдоо log 2 4 логарифмыг 2 гэсэн утгаар нь сольж, үүний дараа үлдсэн үйлдлүүдийг ердийн дарааллаар гүйцэтгэнэ, өөрөөр хэлбэл log 2 4+2. ·3=2+2·3=2 +6=8.

Логарифмын тэмдгийн дор болон/эсвэл түүний суурь дээр тоон илэрхийлэл байгаа тохиолдолд тэдгээрийн утгыг эхлээд олж, дараа нь логарифмын утгыг тооцоолно. Жишээлбэл, хэлбэрийн логарифм бүхий илэрхийлэлийг авч үзье . Логарифмын суурь ба түүний тэмдгийн доор бид тэдгээрийн утгыг олно: . Одоо бид логарифмыг олсны дараа тооцооллыг хийж дуусгана: .

Хэрэв логарифмыг зөв тооцоолоогүй бол үүнийг ашиглан урьдчилан хялбаршуулна. Энэ тохиолдолд та нийтлэлийн материалыг сайн эзэмшсэн байх хэрэгтэй логарифм илэрхийллийг хөрвүүлэх.

Жишээ.

Логарифм бүхий илэрхийллийн утгыг ол .

Шийдэл.

Бүртгэл 2 (лог 2 256) -ийг тооцоолж эхэлцгээе. 256=2 8 тул лог 2 256=8 байна. бүртгэл 2 (лог 2 256)=лог 2 8=лог 2 2 3 =3.

log 6 2 ба log 6 3 логарифмуудыг бүлэглэж болно. log 6 2+log 6 3 логарифмын нийлбэр нь лог 6 (2 3) үржвэрийн логарифмтай тэнцүү байна. бүртгэл 6 2+лог 6 3=лог 6 (2 3)=лог 6 6=1.

Одоо бутархайг харцгаая. Эхлэхийн тулд бид хуваагч дахь логарифмын суурийг энгийн бутархай хэлбэрээр 1/5 болгон дахин бичих бөгөөд үүний дараа бид логарифмын шинж чанарыг ашиглах бөгөөд энэ нь бутархайн утгыг олж авах боломжийг олгоно.
.

Үлдсэн зүйл бол олж авсан үр дүнг анхны илэрхийлэл болгон орлуулж, түүний утгыг олж дуусгах явдал юм.

Хариулт:

Тригонометрийн илэрхийллийн утгыг хэрхэн олох вэ?

Тоон илэрхийлэл нь эсвэл гэх мэтийг агуулж байвал бусад үйлдлийг хийхээс өмнө тэдгээрийн утгыг тооцоолно. Хэрэв тригонометрийн функцүүдийн тэмдгийн дор тоон илэрхийлэл байгаа бол эхлээд тэдгээрийн утгыг тооцоолж, дараа нь тригонометрийн функцүүдийн утгыг олно.

Жишээ.

Илэрхийллийн утгыг ол .

Шийдэл.

Өгүүлэл рүү эргэж харвал бид үүнийг олж авна ба cosπ=−1 . Бид эдгээр утгыг анхны илэрхийлэл болгон орлуулж, энэ нь хэлбэрийг авдаг . Үүний утгыг олохын тулд эхлээд экспонентацийг хийж, дараа нь тооцооллыг дуусгах хэрэгтэй: .

Хариулт:

.

Синус, косинус гэх мэт илэрхийллийн утгыг тооцоолох нь зүйтэй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. ихэвчлэн урьдчилж шаарддаг тригонометрийн илэрхийллийг хөрвүүлэх.

Жишээ.

Тригонометрийн илэрхийллийн утга хэд вэ .

Шийдэл.

-г ашиглан анхны илэрхийллийг хувиргацгаая, энэ тохиолдолд бидэнд давхар өнцгийн косинусын томъёо ба нийлбэр косинусын томъёо хэрэгтэй болно.

Бидний хийсэн өөрчлөлтүүд нь илэрхийллийн утгыг олоход тусалсан.

Хариулт:

.

Ерөнхий хэрэг

Ерөнхийдөө тоон илэрхийлэл нь үндэс, зэрэглэл, бутархай, зарим функц, хаалт зэргийг агуулж болно. Ийм илэрхийллийн утгыг олох нь дараах үйлдлүүдийг гүйцэтгэхээс бүрдэнэ.

• эхний үндэс, хүч, бутархай гэх мэт. тэдгээрийн үнэ цэнээр солигдсон,
• хаалтанд хийх дараагийн үйлдлүүд,
• мөн зүүнээс баруун тийш дарааллаар нь үлдсэн үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг - үржүүлэх, хуваах, дараа нь нэмэх, хасах.

Жагсаалтад орсон үйлдлүүдийг эцсийн үр дүнд хүрэх хүртэл гүйцэтгэнэ.

Жишээ.

Илэрхийллийн утгыг ол .

Шийдэл.

Энэ илэрхийллийн хэлбэр нь нэлээд төвөгтэй юм. Энэ илэрхийлэлд бид бутархай, үндэс, хүч, синус, логарифмуудыг хардаг. Түүний үнэ цэнийг хэрхэн олох вэ?

Бичлэгийг зүүнээс баруун тийш шилжүүлэхэд бид маягтын хэсэгхэн хэсгийг олж харлаа . Нарийн төвөгтэй бутархайтай ажиллахдаа тоологчийн утгыг тусад нь, хуваагчийг тусад нь тооцож, эцэст нь бутархайн утгыг олох хэрэгтэй гэдгийг бид мэднэ.

Тоолуур дээр бид хэлбэрийн үндэс байна . Үүний утгыг тодорхойлохын тулд эхлээд радикал илэрхийллийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй . Энд нэг синус бий. Бид илэрхийллийн утгыг тооцоолсны дараа л түүний утгыг олж чадна . Үүнийг бид хийж чадна: . Тэгээд хаанаас, хаанаас .

Хуваагч нь энгийн: .

Тиймээс, .

Энэ үр дүнг анхны илэрхийлэлд орлуулсны дараа энэ нь хэлбэрийг авна. Үүссэн илэрхийлэл нь зэргийг агуулна. Үүний утгыг олохын тулд бид эхлээд индикаторын утгыг олох хэрэгтэй .

Тэгэхээр, .

Хариулт:

.

Хэрэв үндэс, хүч гэх мэт утгыг нарийн тооцоолох боломжгүй бол та зарим өөрчлөлтийг ашиглан тэдгээрийг арилгахыг оролдож, дараа нь заасан схемийн дагуу утгыг тооцоолохдоо буцаж очиж болно.

Илэрхийллийн утгыг тооцоолох оновчтой аргууд

Тоон илэрхийллийн утгыг тооцоолох нь тууштай байдал, нарийвчлал шаарддаг. Тиймээ, өмнөх догол мөрөнд дурдсан үйлдлүүдийн дарааллыг дагаж мөрдөх шаардлагатай боловч үүнийг сохроор, механикаар хийх шаардлагагүй болно. Үүгээр бид юу хэлэх гээд байна вэ гэхээр ихэнхдээ илэрхийллийн утгыг олох үйл явцыг оновчтой болгох боломжтой байдаг. Жишээлбэл, тоонуудтай үйлдлийн тодорхой шинж чанарууд нь илэрхийллийн утгыг олоход ихээхэн хурдасч, хялбаршуулдаг.

Жишээлбэл, бид үржүүлэх энэ шинж чанарыг мэддэг: хэрэв бүтээгдэхүүн дэх хүчин зүйлсийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол бүтээгдэхүүний утга тэгтэй тэнцүү байна. Энэ өмчийг ашигласнаар бид илэрхийллийн утгыг шууд хэлж чадна 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) тэгтэй тэнцүү. Хэрэв бид үйлдлүүдийн стандарт дарааллыг дагаж мөрдвөл эхлээд хаалтанд байгаа төвөгтэй илэрхийллүүдийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь маш их цаг хугацаа шаардагдах бөгөөд үр дүн нь тэг хэвээр байх болно.

Мөн тэнцүү тоог хасах шинж чанарыг ашиглахад тохиромжтой: хэрэв та тооноос тэнцүү тоог хасвал үр дүн нь тэг болно. Энэ шинж чанарыг илүү өргөн хүрээнд авч үзэж болно: хоёр ижил тоон илэрхийллийн ялгаа нь тэг байна. Жишээлбэл, хаалтанд байгаа илэрхийллүүдийн утгыг тооцоолохгүйгээр та илэрхийллийн утгыг олох боломжтой. (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), анхны илэрхийлэл нь ижил илэрхийллийн зөрүү учраас тэгтэй тэнцүү байна.

Identity хувиргалтууд нь илэрхийллийн утгыг оновчтой тооцоолоход тусална. Жишээлбэл, нэр томъёо, хүчин зүйлийг бүлэглэх нь ашигтай байж болох юм. Тэгэхээр 53·5+53·7−53·11+5 илэрхийллийн утгыг 53-р хүчин зүйлийг хаалтнаас авсны дараа маш амархан олно. 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Шууд тооцоо хийхэд илүү урт хугацаа шаардагдана.

Энэ цэгийг дүгнэхийн тулд бутархайтай илэрхийллийн утгыг тооцоолох оновчтой аргад анхаарлаа хандуулцгаая - бутархайн хуваагч ба хуваагч дахь ижил хүчин зүйлүүд хүчингүй болно. Жишээлбэл, бутархайн хуваагч болон хуваагч дахь ижил илэрхийллийг багасгах 1/2-тэй тэнцүү утгыг нэн даруй олох боломжийг танд олгоно.

Хувьсагчтай илэрхийлэл ба үг хэллэгийн утгыг олох

Үсэг болон хувьсагчийн тодорхой өгөгдсөн утгуудын хувьд шууд утга илэрхийлэл ба хувьсагчтай илэрхийллийн утгыг олно. Өөрөөр хэлбэл, бид өгөгдсөн үсгийн утгуудын хувьд шууд утга илэрхийллийн утгыг олох, эсвэл сонгосон хувьсагчийн утгуудын хувьд хувьсагчтай илэрхийллийн утгыг олох тухай ярьж байна.

ДүрэмҮсгийн өгөгдсөн утгууд эсвэл хувьсагчийн сонгосон утгуудын хувьд үг хэллэг эсвэл хувьсагчтай илэрхийллийн утгыг олох нь дараах байдалтай байна: та үсэг эсвэл хувьсагчийн өгөгдсөн утгыг анхны илэрхийлэлд орлуулж, тооцоолох хэрэгтэй. үүссэн тоон илэрхийллийн утга нь хүссэн утга юм;

Жишээ.

0.5·x−y илэрхийллийн утгыг x=2.4, y=5 үед тооцоол.

Шийдэл.

Илэрхийллийн шаардлагатай утгыг олохын тулд та эхлээд хувьсагчийн өгөгдсөн утгыг анхны илэрхийлэлд орлуулж, дараа нь дараах алхмуудыг хийх хэрэгтэй: 0.5·2.4−5=1.2−5=−3.8.

Хариулт:

−3,8 .

Эцсийн тэмдэглэлийн хувьд заримдаа үсгүүд болон хувьсагчийн утгуудаас үл хамааран үгийн болон хувьсах илэрхийллүүд дээр хөрвүүлэлтийг хийх нь тэдний утгыг гаргах болно. Жишээлбэл, x+3−x илэрхийллийг хялбарчлах боломжтой бөгөөд үүний дараа 3 хэлбэрийг авна. Эндээс бид x+3−x илэрхийллийн утга нь x хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээнээс (APV) 3-тай тэнцүү байна гэж дүгнэж болно. Өөр нэг жишээ: илэрхийллийн утга нь x-ийн бүх эерэг утгуудын хувьд 1-тэй тэнцүү тул анхны илэрхийлэл дэх x хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ нь эерэг тоонуудын багц бөгөөд энэ мужид тэгш байдал байна. барьдаг.

Лавлагаа.

• Математик: сурах бичиг 5-р ангийн хувьд. ерөнхий боловсрол байгууллагууд / N. Ya. Vilenkin, V. I. Jokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2007. - 280 х.: өвчтэй. ISBN 5-346-00699-0.
• Математик. 6-р анги: боловсролын. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд / [Н. Я Виленкин болон бусад]. - 22-р хэвлэл, Илч. - М.: Mnemosyne, 2008. - 288 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебр:сурах бичиг 7-р ангийн хувьд ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 17 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 240 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебр:сурах бичиг 8-р ангийн хувьд. ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебр: 9-р анги: боловсролын. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2009. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Алгебрба шинжилгээний эхлэл: Proc. 10-11 ангийн хувьд. ерөнхий боловсрол байгууллагууд / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, P. Dudnitsyn болон бусад; Эд. A. N. Kolmogorov - 14-р хэвлэл - М.: Боловсрол, 2004. - 384 х.: ISBN 5-09-013651-3.