Аль систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй байдаг. Шугаман тэгшитгэлийн системүүд

n үл мэдэгдэх m шугаман тэгшитгэлийн системхэлбэрийн систем гэж нэрлэдэг

Хаана a ijТэгээд б би (би=1,…,м; б=1,…,n) зарим мэдэгдэж байгаа тоонууд ба x 1 ,…,x n- үл мэдэгдэх. Коэффициентийг тодорхойлохдоо a ijэхний индекс битэгшитгэлийн дугаарыг илэрхийлж, хоёр дахь нь j– энэ коэффициент байгаа үл мэдэгдэх тоо.

Бид үл мэдэгдэхийн коэффициентийг матриц хэлбэрээр бичнэ , бид үүнийг дуудах болно системийн матриц.

Тэгшитгэлийн баруун талд байгаа тоонууд нь байна b 1 ,…,b мгэж нэрлэдэг чөлөөт гишүүд.

Нийтлэг байдал nтоо c 1 ,…,c nдуудсан шийдвэрХэрэв системийн тэгшитгэл бүр тоонуудыг орлуулсны дараа тэгшитгэл болж байвал тухайн системийн c 1 ,…,c nхаргалзах үл мэдэгдэхийн оронд x 1 ,…,x n.

Бидний даалгавар бол системийн шийдлийг олох явдал юм. Энэ тохиолдолд гурван нөхцөл байдал үүсч болно:

Дор хаяж нэг шийдэлтэй шугаман тэгшитгэлийн системийг гэнэ хамтарсан. Үгүй бол, өөрөөр хэлбэл. Хэрэв системд шийдэл байхгүй бол үүнийг дуудна хамтарсан бус.

Системийн шийдлийг олох арга замыг авч үзье.

Шугаман тэгшитгэлийн СИСТЕМИЙГ ШИЙДЭХ МАтрицын АРГА

Матрицууд нь шугаман тэгшитгэлийн системийг товч бичих боломжийг олгодог. Гурван үл мэдэгдэх 3 тэгшитгэлийн системийг өгье.

Системийн матрицыг авч үзье үл мэдэгдэх ба чөлөөт нөхцлийн матрицын багана

Ажлаа олъё

тэдгээр. Бүтээгдэхүүний үр дүнд бид энэ системийн тэгшитгэлийн зүүн талыг олж авдаг. Дараа нь матрицын тэгш байдлын тодорхойлолтыг ашиглан энэ системийг хэлбэрээр бичиж болно

эсвэл богино А∙X=B.

Энд матрицууд байна АТэгээд Бмэдэгдэж байгаа ба матриц Xүл мэдэгдэх. Үүнийг олох хэрэгтэй, учир нь ... түүний элементүүд нь энэ системийн шийдэл юм. Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг матрицын тэгшитгэл.

Матрицын тодорхойлогч тэгээс ялгаатай байг | А| ≠ 0. Тэгвэл матрицын тэгшитгэлийг дараах байдлаар шийднэ. Зүүн талд байгаа тэгшитгэлийн хоёр талыг матрицаар үржүүл А-1, матрицын урвуу А: . Учир нь A -1 A = EТэгээд Э∙X = X, дараа нь бид матрицын тэгшитгэлийн шийдийг хэлбэрээр олж авна X = A -1 B .

Урвуу матрицыг зөвхөн квадрат матрицад л олох боломжтой тул матрицын арга нь зөвхөн ийм системийг шийдэж чадна гэдгийг анхаарна уу. тэгшитгэлийн тоо үл мэдэгдэх тоотой давхцаж байна. Гэсэн хэдий ч тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү биш тохиолдолд матрицын системийг бүртгэх боломжтой. Адөрвөлжин биш тул системийн шийдлийг хэлбэрээр олох боломжгүй юм X = A -1 B.

Жишээ.Тэгшитгэлийн системийг шийдэх.

КРАМЕРИЙН ДҮРЭМ

Гурван үл мэдэгдэх 3 шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье.

Системийн матрицад тохирох гуравдахь эрэмбийн тодорхойлогч, i.e. үл мэдэгдэх коэффициентүүдээс бүрдэх,

дуудсан системийн тодорхойлогч.

Дараах байдлаар өөр гурван тодорхойлогчийг зохиоё: D тодорхойлогчийн 1, 2, 3 баганыг чөлөөт нөхцлийн баганаар солино.

Дараа нь бид дараах үр дүнг баталж чадна.

Теорем (Крамерын дүрэм).Хэрэв системийн тодорхойлогч Δ ≠ 0 бол авч үзэж буй систем нь нэг бөгөөд цорын ганц шийдэлтэй байна.

Баталгаа. Ингээд гурван үл мэдэгдэх 3 тэгшитгэлийн системийг авч үзье. Системийн 1-р тэгшитгэлийг алгебрийн нэмэлтээр үржүүлье А 11бүрэлдэхүүн а 11, 2-р тэгшитгэл – асаалттай А 21ба 3-т - дээр А 31:

Эдгээр тэгшитгэлийг нэмье:

Энэ тэгшитгэлийн хаалт болон баруун талд тус бүрийг харцгаая. 1-р баганын элементүүд дэх тодорхойлогчийн тэлэлтийн тухай теоремоор

Үүнтэй адилаар, мөн гэдгийг харуулж болно.

Эцэст нь хэлэхэд үүнийг анзаарахад хялбар байдаг

Тиймээс бид тэгш байдлыг олж авна: .

Тиймээс, .

Тэнцүү байдал нь ижил төстэй үүсэлтэй бөгөөд үүнээс теоремын мэдэгдэл гарна.

Тиймээс, хэрэв системийн тодорхойлогч нь Δ ≠ 0 бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй ба эсрэгээр гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Хэрэв системийн тодорхойлогч нь 0-тэй тэнцүү бол систем нь төгсгөлгүй тооны шийдэлтэй эсвэл шийдэлгүй, өөрөөр хэлбэл. нийцэхгүй.

Жишээ.Тэгшитгэлийн системийг шийдэх

ГАЗСЫН АРГА

Өмнө нь авч үзсэн аргуудыг зөвхөн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой давхцаж байгаа системийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болох бөгөөд системийн тодорхойлогч нь тэгээс өөр байх ёстой. Гауссын арга нь илүү түгээмэл бөгөөд ямар ч тооны тэгшитгэлтэй системд тохиромжтой. Энэ нь системийн тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх зүйлийг тууштай арилгахад оршино.

Гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийг дахин авч үзье.

.

Бид эхний тэгшитгэлийг хэвээр үлдээж, 2, 3-аас эхлэн дараахь зүйлийг агуулсан нөхцөлийг хасах болно. x 1. Үүнийг хийхийн тулд хоёр дахь тэгшитгэлийг хуваана А 21 ба үржүүлэх - А 11, дараа нь 1-р тэгшитгэлд нэмнэ. Үүний нэгэн адил бид гурав дахь тэгшитгэлийг хуваана А 31 ба үржүүлэх - А 11, дараа нь эхнийхтэй нь нэмнэ үү. Үүний үр дүнд анхны систем нь дараах хэлбэртэй болно.

Одоо сүүлчийн тэгшитгэлээс бид агуулсан нэр томъёог хасч байна x 2. Үүнийг хийхийн тулд гурав дахь тэгшитгэлийг хувааж, үржүүлж, хоёр дахь нь нэмнэ. Дараа нь бид тэгшитгэлийн системтэй болно:

Эндээс, сүүлчийн тэгшитгэлээс олоход хялбар байдаг x 3, дараа нь 2-р тэгшитгэлээс x 2эцэст нь 1-ээс - x 1.

Гауссын аргыг ашиглах үед шаардлагатай бол тэгшитгэлүүдийг сольж болно.

Ихэнхдээ шинэ тэгшитгэлийн системийг бичихийн оронд системийн өргөтгөсөн матрицыг бичихээр хязгаарладаг.

дараа нь энгийн хувиргалтыг ашиглан гурвалжин эсвэл диагональ хэлбэрт оруулна.

TO анхан шатны өөрчлөлтүүдМатрицууд нь дараах хувиргалтыг агуулдаг.

1. мөр, баганыг дахин зохион байгуулах;
2. мөрийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх;
3. нэг мөрөнд бусад мөрүүдийг нэмэх.

Жишээ нь:Гауссын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд.

Тиймээс систем нь хязгааргүй олон тооны шийдлүүдтэй байдаг.

Гэсэн хэдий ч практикт өөр хоёр тохиолдол өргөн тархсан байна:

– Систем нь тогтворгүй (шийдэл байхгүй);
– Систем нь тогтвортой бөгөөд хязгааргүй олон шийдэлтэй.

Анхаарна уу : "Тууштай байдал" гэсэн нэр томъёо нь системд ядаж тодорхой шийдэл байгаа гэсэн үг юм. Хэд хэдэн асуудлын хувьд эхлээд системийг хэрхэн яаж хийхийг шалгах шаардлагатай, нийтлэлийг үзнэ үү матрицын зэрэглэл.

Эдгээр системүүдийн хувьд хамгийн түгээмэл шийдлийн аргуудыг ашигладаг. Гауссын арга. Үнэн хэрэгтээ "сургуулийн" арга нь хариултыг өгөх болно, гэхдээ дээд математикт үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах Гауссын аргыг ашигладаг. Гауссын аргын алгоритмыг мэдэхгүй хүмүүс эхлээд хичээлээ судлаарай Даммигийн Гауссын арга.

Анхан шатны матрицын хувиргалтууд нь өөрөө яг адилхан, ялгаа нь шийдлийн төгсгөлд байх болно. Эхлээд системд ямар ч шийдэл байхгүй (зөрчил) байх хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 1

Энэ системийн талаар таны анхаарлыг юу шууд татдаг вэ? Тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчийн тооноос бага байна. Хэрэв тэгшитгэлийн тоо хувьсагчийн тооноос бага бол, дараа нь бид систем нь зөрчилтэй эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй гэж шууд хэлж чадна. Тэгээд олж мэдэх л үлдлээ.

Шийдлийн эхлэл нь ердийн зүйл юм - бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулдаг.

(1) Зүүн дээд талын алхам дээр бид +1 эсвэл -1 авах хэрэгтэй. Эхний баганад ийм тоо байхгүй тул мөрүүдийг дахин байрлуулах нь юу ч өгөхгүй. Нэгж нь өөрөө зохион байгуулалттай байх ёстой бөгөөд үүнийг хэд хэдэн аргаар хийж болно. Би үүнийг хийсэн: Эхний мөрөнд бид гурав дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлнэ.

(2) Одоо бид эхний баганад хоёр тэг авч байна. Хоёр дахь мөрөнд бид эхний мөрийг 3-аар үржүүлсэн тоог нэмнэ. Гурав дахь мөрөнд бид 5-аар үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ.

(3) Өөрчлөлт дууссаны дараа үүссэн мөрүүдийг хялбарчлах боломжтой эсэхийг үргэлж харахыг зөвлөж байна уу? Чадах. Бид хоёр дахь мөрийг 2-оор хувааж, хоёр дахь алхам дээр шаардлагатай -1-ийг авдаг. Гурав дахь мөрийг -3-т хуваа.

(4) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмнэ.

Энгийн өөрчлөлтөөс үүдэлтэй муу зураасыг хүн бүр анзаарсан байх. . Ийм байж болохгүй нь ойлгомжтой. Үнэхээр бид үүссэн матрицыг дахин бичье Шугаман тэгшитгэлийн систем рүү буцах:

Хэрэв анхан шатны хувиргалтын үр дүнд тэгээс өөр тоо байгаа хэлбэрийн мөрийг олж авбал систем нь нийцэхгүй байна (шийдэл байхгүй).

Даалгаврын төгсгөлийг хэрхэн бичих вэ? Цагаан шохойгоор зурцгаая: "Эхний хувиргалтуудын үр дүнд "хэлбэрийн тэмдэгт" гарч ирээд хариултыг өгнө үү: системд шийдэл байхгүй (зөрчил).

Хэрэв нөхцөл байдлын дагуу системийн нийцтэй байдлын талаар СУДАЛГАА хийх шаардлагатай бол уг ойлголтыг ашиглан шийдлийг илүү хатуу хэв маягаар албан ёсны болгох шаардлагатай. матрицын зэрэглэл ба Кронекер-Капелли теорем.

Энд Гауссын алгоритмыг буцаах арга байхгүй гэдгийг анхаарна уу - ямар ч шийдэл байхгүй, зүгээр л олох зүйл алга.

Жишээ 2

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт. Таны шийдэл миний шийдлээс ялгаатай байж магадгүй гэдгийг би дахин сануулж байна, Гауссын алгоритм нь "хатуу" биш юм.

Шийдлийн өөр нэг техникийн шинж чанар: энгийн хувиргалтыг зогсоож болно Нэг дор, хаана гэх мэт мөр гармагц . Нөхцөлтэй жишээг авч үзье: эхний хувиргалтын дараа матрицыг олж авлаа гэж бодъё . Матрицыг эшелон хэлбэрт хараахан бууруулаагүй байгаа боловч хэлбэрийн шугам гарч ирсэн тул цаашид энгийн хувиргалт хийх шаардлагагүй болно. Систем таарахгүй байна гэсэн хариултыг нэн даруй өгөх ёстой.

Шугаман тэгшитгэлийн системд шийдэл байхгүй бол энэ нь богино хэмжээний шийдлийг заримдаа 2-3 алхамаар олж авдаг тул энэ нь бараг бэлэг юм.

Гэхдээ энэ ертөнцийн бүх зүйл тэнцвэртэй бөгөөд систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй асуудал нь илүү урт юм.

Жишээ 3

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

4 тэгшитгэл, 4 үл мэдэгдэх систем байдаг тул систем нь нэг шийдэлтэй, эсвэл шийдэлгүй, эсвэл хязгааргүй олон шийдтэй байж болно. Гэсэн хэдий ч Гауссын арга нь ямар ч тохиолдолд биднийг хариулт руу хөтөлнө. Энэ бол түүний олон талт байдал юм.

Эхлэл нь дахин стандарт юм. Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан үүнийг алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя.

Ингээд л та нар айсан.

(1) Эхний баганад байгаа бүх тоо 2-т хуваагддаг тул зүүн дээд буланд 2 байвал зүгээр гэдгийг анхаарна уу. Хоёр дахь мөрөнд бид эхний мөрийг нэмж, -4-ээр үржүүлнэ. Гурав дахь мөрөнд бид эхний мөрийг нэмж, -2-оор үржүүлнэ. Дөрөв дэх мөрөнд бид эхний мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлнэ.

Анхаар!Дөрөв дэх мөрөнд олон хүн уруу татагдаж магадгүй хасахэхний мөр. Үүнийг хийх боломжтой боловч туршлагаас харахад тооцоололд алдаа гарах магадлал хэд хэдэн удаа нэмэгддэг. Зүгээр л нэмнэ үү: Дөрөв дэх мөрөнд эхний мөрийг -1 -ээр үржүүлээд нэмнэ үү. яг!

(2) Сүүлийн гурван мөр нь пропорциональ, хоёрыг нь устгаж болно.

Энд бид дахин харуулах хэрэгтэй анхаарал нэмэгдсэн, гэхдээ шугамууд үнэхээр пропорциональ уу? Аюулгүй байхын тулд (ялангуяа цайны аяганд) хоёр дахь мөрийг -1-ээр үржүүлж, дөрөв дэх мөрийг 2-оор хуваавал гурван ижил зураас гарах нь зүйтэй юм. Үүний дараа л хоёрыг нь хас.

Анхан шатны өөрчлөлтүүдийн үр дүнд системийн өргөтгөсөн матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулав.

Даалгаврыг дэвтэрт бичихдээ тодорхой болгохын тулд харандаагаар ижил тэмдэглэл хийхийг зөвлөж байна.

Харгалзах тэгшитгэлийн системийг дахин бичье.

Энд системийн "ердийн" нэг шийдлийн үнэр алга. Муу шугам ч байхгүй. Энэ нь үлдсэн гурав дахь тохиолдол гэсэн үг юм - систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй. Заримдаа нөхцөл байдлын дагуу системийн нийцтэй байдлыг судлах шаардлагатай байдаг (жишээ нь шийдэл нь огт байгаа эсэхийг нотлох), та энэ тухай өгүүллийн сүүлийн догол мөрөөс уншиж болно. Матрицын зэрэглэлийг хэрхэн олох вэ?Гэхдээ одоо үндсэн ойлголтуудыг авч үзье:

Системийн шийдлүүдийн хязгааргүй багцыг товчхон гэж нэрлэгддэг хэлбэрээр бичдэг системийн ерөнхий шийдэл .

Гауссын аргын урвуу аргыг ашиглан системийн ерөнхий шийдлийг олно.

Эхлээд бид ямар хувьсагчтай болохыг тодорхойлох хэрэгтэй үндсэн, ямар хувьсагч үнэгүй. Шугаман алгебрийн нэр томъёонд өөрийгөө зовоох шаардлагагүй, ийм зүйл байдаг гэдгийг санаарай үндсэн хувьсагчидТэгээд чөлөөт хувьсагч.

Үндсэн хувьсагч нь үргэлж матрицын алхам дээр "сууж" байдаг.
Энэ жишээнд үндсэн хувьсагч нь ба байна

Үнэгүй хувьсагч нь бүх зүйл юм үлдсэналхам хүлээн аваагүй хувьсагч. Манай тохиолдолд тэдгээрийн хоёр нь байна: – чөлөөт хувьсагч.

Одоо танд хэрэгтэй Бүгд үндсэн хувьсагчидилэрхийлэх зөвхөн дамжуулан чөлөөт хувьсагч.

Гауссын алгоритмын урвуу нь уламжлал ёсоор доороос дээш ажилладаг.
Системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс бид үндсэн хувьсагчийг илэрхийлнэ.

Одоо эхний тэгшитгэлийг харна уу: . Эхлээд бид олсон илэрхийлэлийг үүн дээр орлуулна:

Үндсэн хувьсагчийг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлэх хэвээр байна:

Эцэст нь бид хэрэгтэй зүйлээ авсан - Бүгдүндсэн хувьсагчдыг ( ба ) илэрхийлнэ зөвхөн дамжууланчөлөөт хувьсагч:

Үнэндээ ерөнхий шийдэл бэлэн байна:

Ерөнхий шийдлийг хэрхэн зөв бичих вэ?
Чөлөөт хувьсагчдыг ерөнхий шийдэлд "өөрөө" болон байранд нь хатуу бичдэг. Энэ тохиолдолд чөлөөт хувьсагчдыг хоёр, дөрөв дэх байрлалд бичнэ.
.

Үндсэн хувьсагчийн үр дүнгийн илэрхийлэл эхний болон гуравдахь байрлалд бичих шаардлагатай байгаа нь ойлгомжтой.

Үнэгүй хувьсагч өгөх дурын утгууд, та хязгааргүй олон зүйлийг олох боломжтой хувийн шийдлүүд. Тодорхой шийдэл нь олж авахад хамгийн хялбар байдаг тул хамгийн алдартай утгууд нь тэг юм. Ерөнхий шийдлийг орлъё:

- хувийн шийдэл.

Өөр нэг сайхан хос бол тэдгээрийг ерөнхий шийдэл болгон орлъё:

- өөр нэг хувийн шийдэл.

Тэгшитгэлийн систем нь байгааг харахад хялбар байдаг хязгааргүй олон шийдэл(Бид үнэгүй хувьсагчийг өгч чадах тул ямар чүнэ цэнэ)

Тус бүртодорхой шийдэл нь хангасан байх ёстой тус бүртсистемийн тэгшитгэл. Энэ нь шийдлийн зөв эсэхийг "хурдан" шалгах үндэс суурь юм. Жишээлбэл, тодорхой шийдлийг авч, анхны системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд орлуулна уу.

Бүх зүйл нэгдэх ёстой. Таны хүлээн авсан аливаа тодорхой шийдэлд бүх зүйл тохирсон байх ёстой.

Гэхдээ хатуухан хэлэхэд тодорхой шийдлийг шалгах нь заримдаа хууран мэхлэх явдал юм. Зарим тодорхой шийдэл нь системийн тэгшитгэл бүрийг хангаж болох боловч ерөнхий шийдэл нь өөрөө буруу олддог.

Тиймээс ерөнхий шийдлийг шалгах нь илүү нарийн бөгөөд найдвартай байдаг. Үүссэн ерөнхий шийдлийг хэрхэн шалгах вэ ?

Энэ нь хэцүү биш, гэхдээ нэлээд уйтгартай. Бид илэрхийлэл авах хэрэгтэй үндсэнхувьсагч, энэ тохиолдолд ба , мөн тэдгээрийг системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд орлуулна.

Системийн эхний тэгшитгэлийн зүүн талд:

Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талд:


Анхны тэгшитгэлийн баруун талыг олж авна.

Жишээ 4

Гауссын аргыг ашиглан системийг шийд. Ерөнхий шийдэл ба хоёр тусгай шийдлийг олоорой. Ерөнхий шийдлийг шалгана уу.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Энд, дашрамд хэлэхэд, дахин тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тооноос бага байгаа нь систем нь зөрчилтэй, эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй байх нь шууд тодорхой болно гэсэн үг юм. Шийдвэр гаргах үйл явцад юу чухал вэ? Анхаарал, дахин анхаарал. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Материалыг бэхжүүлэх хэд хэдэн жишээ

Жишээ 5

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд. Хэрэв системд хязгааргүй олон шийдэл байгаа бол хоёр тусгай шийдлийг олж, ерөнхий шийдлийг шалгана уу

Шийдэл: Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя.

(1) Эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмнэ. Гурав дахь мөрөнд бид 2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ. Дөрөв дэх мөрөнд бид эхний мөрийг 3-аар үржүүлнэ.
(2) Гурав дахь мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг нэмж, -5-аар үржүүлнэ. Дөрөв дэх мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг нэмж, -7-оор үржүүлнэ.
(3) Гурав, дөрөв дэх мөр нь адилхан, бид тэдгээрийн аль нэгийг нь устгана.

Энэ бол ийм гоо үзэсгэлэн юм:

Үндсэн хувьсагч нь алхам дээр суудаг тул үндсэн хувьсагч болно.
Алхам аваагүй цорын ганц чөлөөт хувьсагч байна:

Урвуу:
Үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлье:
Гурав дахь тэгшитгэлээс:

Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзээд олсон илэрхийлэлийг түүнд орлъё.

Эхний тэгшитгэлийг авч үзээд олсон илэрхийлэлүүдийг орлуулъя.

Тийм ээ, энгийн бутархайг тооцдог тооны машин тохиромжтой хэвээр байна.

Тиймээс ерөнхий шийдэл нь:

Дахин хэлэхэд энэ нь яаж болсон бэ? Чөлөөт хувьсагч дангаараа дөрөв дэх байрандаа сууж байна. Үндсэн хувьсагчийн үр дүнгийн илэрхийллүүд нь мөн адил байр сууриа эзэлдэг.

Ерөнхий шийдлийг нэн даруй шалгацгаая. Энэ ажил нь хар арьстнууд, гэхдээ би үүнийг аль хэдийн хийчихсэн байгаа тул барьж аваарай =)

Бид системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд гурван баатрыг , , орлуулна.

Тэгшитгэлийн баруун талын харгалзах талуудыг олж авсан тул ерөнхий шийдийг зөв олно.

Одоо олдсон ерөнхий шийдлээс Бид хоёр тусгай шийдлийг олж авдаг. Энд байгаа цорын ганц үнэгүй хувьсагч бол тогооч юм. Тархиа шатаах шаардлагагүй.

Тэгвэл байг - хувийн шийдэл.
Тэгвэл байг - өөр нэг хувийн шийдэл.

Хариулах: Нийтлэг шийдвэр: , хувийн шийдлүүд: , .

Би хар арьстнуудын тухай санахгүй байх ёстой байсан... ... учир нь янз бүрийн гунигтай санаанууд толгойд орж ирээд, хар хөлбөмбөгчний араас цагаан дээлтэй Ку Клюкс Клансменууд талбай дээгүүр гүйж байсан алдартай фотошопыг санав. Би чимээгүйхэн суугаад инээмсэглэнэ. Ямар их анхаарал сарниулдгийг чи мэднэ...

Маш олон тооны математик нь хортой тул үүнийг өөрөө шийдэх эцсийн жишээ юм.

Жишээ 6

Шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдийг ол.

Би ерөнхий шийдлийг аль хэдийн шалгаж үзсэн тул хариултанд итгэж болно. Таны шийдэл миний шийдлээс ялгаатай байж магадгүй, гол зүйл бол ерөнхий шийдлүүд давхцаж байгаа явдал юм.

Магадгүй олон хүмүүс шийдлүүдийн таагүй мөчийг анзаарсан байх: Гауссын аргын урвуу явцад бид ердийн бутархай хэсгүүдтэй ажиллах шаардлагатай болдог. Практикт энэ нь үнэхээр тийм тохиолдол байдаг бөгөөд энэ нь фракц байхгүй тохиолдолд хамаагүй бага байдаг. Оюун санааны хувьд, хамгийн чухал нь техникийн хувьд бэлтгэлтэй байх.

Шийдвэрлэсэн жишээн дээр олдоогүй шийдлийн зарим шинж чанарууд дээр би анхаарлаа хандуулах болно.

Системийн ерөнхий шийдэлд заримдаа тогтмол (эсвэл тогтмол) орно, жишээлбэл: . Энд үндсэн хувьсагчдын нэг нь тогтмол тоотой тэнцүү байна: . Үүнд чамин зүйл байхгүй, ийм зүйл тохиолддог. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд аливаа тодорхой шийдэл нь эхний байрлалд тавыг агуулна.

Ховор, гэхдээ ийм системүүд байдаг тэгшитгэлийн тоо хувьсагчийн тооноос их байна. Гауссын арга нь хамгийн хүнд нөхцөлд ажилладаг бөгөөд стандарт алгоритмыг ашиглан системийн өргөтгөсөн матрицыг аажмаар бууруулах хэрэгтэй. Ийм систем нь үл нийцэх, хязгааргүй олон шийдэлтэй, хачирхалтай нь нэг шийдэлтэй байж болно.

Шугаман агебрийн тэгшитгэлийн системийг (SLAEs) тууштай байдлын үүднээс судлах нь энэ системд шийдэл байгаа эсэхийг олж мэдэх гэсэн үг юм. За, хэрэв шийдэл байгаа бол хэд байгааг зааж өгнө үү.

"Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем. Үндсэн нэр томьёо. Тэмдэглэгээний матриц хэлбэр" сэдвээр мэдээлэл хэрэгтэй болно. Ялангуяа Кронекер-Капелли теоремыг томъёолохдоо тэдгээрт үндэслэсэн тул системийн матриц, өргөтгөсөн системийн матриц гэх мэт ойлголтууд хэрэгтэй. Ердийнх шиг системийн матрицыг $A$ үсгээр, системийн өргөтгөсөн матрицыг $\widetilde(A)$ үсгээр тэмдэглэнэ.

Кронекер-Капелли теорем

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем нь системийн матрицын зэрэглэл нь системийн өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л нийцтэй байдаг, өөрөөр хэлбэл. $\rang A =\rang\widetilde(A)$.

Хэрэв систем нь ядаж нэг шийдэлтэй бол түүнийг хамтарсан гэж нэрлэдэг гэдгийг сануулъя. Кронекер-Капелли теорем ингэж өгүүлдэг: хэрэв $\rang A=\rang\widetilde(A)$ бол шийдэл байна; хэрэв $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ бол энэ SLAE шийдэл байхгүй (зөрчил). Эдгээр шийдлүүдийн тооны талаархи асуултын хариултыг Кронекер-Капелли теоремын үр дүнд өгсөн болно. Үр дүнгийн томъёололд $n$ үсгийг ашигласан бөгөөд энэ нь өгөгдсөн SLAE-ийн хувьсагчдын тоотой тэнцүү байна.

Кронекер-Капелли теоремын үр дүн

1. Хэрэв $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ байвал SLAE нь нийцэхгүй байна (шийдэл байхгүй).
2. Хэрэв $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Хэрэв $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$ бол SLAE нь тодорхой байна (яг нэг шийдэлтэй).

Томъёолсон теорем ба түүний үр дагавар нь SLAE-ийн шийдлийг хэрхэн олохыг заагаагүй болохыг анхаарна уу. Тэдгээрийн тусламжтайгаар та эдгээр шийдлүүд байгаа эсэх, мөн хэрэв байгаа бол хэдэн болохыг олж мэдэх боломжтой.

Жишээ №1

SLAE $ \left \(\begin(зэрэгцүүлсэн) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42) судлах. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) )\right.$ нийцтэй бол SLAE нийцтэй бол шийдлүүдийн тоог заана уу.

Өгөгдсөн SLAE-ийн шийдлүүд байгаа эсэхийг мэдэхийн тулд бид Кронекер-Капелли теоремыг ашигладаг. Бидэнд $A$ системийн матриц ба $\widetilde(A)$ системийн өргөтгөсөн матриц хэрэгтэй болно, бид тэдгээрийг бичих болно:

$$ A=\left(\begin(массив) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(массив) \баруун);\; \widetilde(A)=\left(\begin(массив) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(массив) \баруун). $$

Бид $\rang A$ болон $\rang\widetilde(A)$ олох хэрэгтэй. Үүнийг хийх олон арга байдаг бөгөөд тэдгээрийн заримыг нь Матрицын зэрэглэл хэсэгт жагсаасан болно. Ийм системийг судлахын тулд ихэвчлэн хоёр аргыг ашигладаг: "Матрицын зэрэглэлийг тодорхойлолтоор тооцоолох" эсвэл "Матрицын зэрэглэлийг энгийн хувиргалтаар тооцоолох".

Аргын дугаар 1. Тодорхойлолтоор зэрэглэлийг тооцоолох.

Тодорхойлолтын дагуу зэрэглэл нь матрицын насанд хүрээгүй хүмүүсийн хамгийн дээд эрэмб бөгөөд тэдгээрийн дотор дор хаяж нэг нь тэгээс ялгаатай байдаг. Ихэвчлэн нэгдүгээр зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдээс судалгаа эхэлдэг боловч энд $A$ матрицын гуравдахь эрэмбийн минорыг шууд тооцоолж эхлэх нь илүү тохиромжтой. Гурав дахь эрэмбийн жижиг элементүүд нь тухайн матрицын гурван мөр, гурван баганын огтлолцол дээр байрладаг. $A$ матриц нь зөвхөн 3 мөр, 3 багана агуулсан тул $A$ матрицын гуравдугаар эрэмбийн минор нь $A$ матрицын тодорхойлогч, өөрөөр хэлбэл. $\Дельта A$. Тодорхойлогчийг тооцоолохын тулд "Хоёр ба гуравдахь эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолох томъёо" сэдвийн 2-р томъёог ашиглана.

$$ \Дельта А=\зүүн| \begin(массив) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(массив) \right|=-21. $$

Тэгэхээр $A$ матрицын гуравдахь эрэмбийн минор байгаа бөгөөд энэ нь тэгтэй тэнцүү биш юм. Дөрөвдүгээр эрэмбийн минор үүсгэх боломжгүй, учир нь энэ нь 4 мөр, 4 багана шаарддаг бөгөөд $A$ матриц нь зөвхөн 3 мөр, 3 баганатай байдаг. Тэгэхээр $A$ матрицын миноруудын хамгийн дээд эрэмбэ нь 0-тэй тэнцүү биш ядаж нэг байгаа нь 3-тай тэнцүү байна.Тиймээс $\rang A=3$.

Мөн бид $\rang\widetilde(A)$ олох хэрэгтэй. $\widetilde(A)$ матрицын бүтцийг авч үзье. $\widetilde(A)$ матрицын мөр хүртэл $A$ матрицын элементүүд байдаг бөгөөд бид $\Delta A\neq 0$ болохыг олж мэдсэн. Иймээс $\widetilde(A)$ матриц нь 0-тэй тэнцүү биш гуравдахь эрэмбийн минортой байна. Бид $\widetilde(A)$ матрицын дөрөв дэх эрэмбийн миноруудыг бүтээж чадахгүй тул $\rang\widetilde(A)=3$ гэж дүгнэж байна.

$\rang A=\rang\widetilde(A)$ тул Кронекер-Капелли теоремын дагуу систем тогтвортой байна, өөрөөр хэлбэл. шийдэлтэй (дор хаяж нэг). Шийдлийн тоог зааж өгөхийн тулд манай SLAE нь $x_1$, $x_2$ болон $x_3$ гэсэн 3 үл мэдэгдэх зүйлийг агуулна. Үл мэдэгдэх тоо $n=3$ байх тул бид дүгнэж байна: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, тиймээс Кронекер-Капелли теоремын үр дүнд систем нь тодорхой, өөрөөр хэлбэл. өвөрмөц шийдэлтэй.

Асуудал шийдэгдсэн. Энэ арга нь ямар сул тал, давуу талтай вэ? Эхлээд давуу талуудын талаар ярилцъя. Нэгдүгээрт, бид зөвхөн нэг тодорхойлогчийг олох хэрэгтэй байсан. Үүний дараа бид нэн даруй хэд хэдэн шийдлийн талаар дүгнэлт хийсэн. Ерөнхийдөө стандарт стандарт тооцоолол нь гурван үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан тэгшитгэлийн системийг өгдөг бөгөөд өвөрмөц шийдэлтэй байдаг. Ийм системүүдийн хувьд энэ арга нь маш тохиромжтой, учир нь бид шийдэл байгаа гэдгийг урьдчилан мэддэг (өөрөөр бол жишээ нь стандарт тооцоонд байхгүй байсан). Тэдгээр. Бидний хийх ёстой зүйл бол шийдэл байгаа эсэхийг хамгийн хурдан харуулах явдал юм. Хоёрдугаарт, системийн матрицын тодорхойлогчийн тооцоолсон утга (жишээ нь $\Delta A$) нь хожим хэрэг болно: өгөгдсөн системийг Крамерын арга эсвэл урвуу матриц ашиглан шийдэж эхлэхэд.

Гэсэн хэдий ч $A$ системийн матриц тэгш өнцөгт хэлбэртэй байвал зэрэглэлийг тооцоолох аргыг хэрэглэх нь тодорхойгүй байна. Энэ тохиолдолд доор хэлэлцэх хоёр дахь аргыг ашиглах нь дээр. Нэмж дурдахад, хэрэв $\Delta A=0$ бол өгөгдсөн нэгэн төрлийн бус SLAE-ийн шийдлийн тооны талаар бид юу ч хэлж чадахгүй. Магадгүй SLAE нь хязгааргүй олон шийдэлтэй байж магадгүй, эсвэл үгүй ​​ч байж магадгүй. Хэрэв $\Delta A=0$ бол нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай бөгөөд энэ нь ихэвчлэн төвөгтэй байдаг.

Хэлсэн зүйлийг нэгтгэн дүгнэхийн тулд эхний арга нь системийн матриц нь квадрат хэлбэртэй SLAE-д тохиромжтой гэдгийг би тэмдэглэж байна. Түүнчлэн, SLAE нь өөрөө гурав, дөрвөн үл мэдэгдэх зүйлийг агуулдаг бөгөөд стандарт тооцоолол эсвэл туршилтаас авсан болно.

Аргын дугаар 2. Анхан шатны хувиргалтын аргаар зэрэглэлийг тооцоолох.

Энэ аргыг холбогдох сэдвээр дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно. Бид $\widetilde(A)$ матрицын зэрэглэлийг тооцоолж эхэлнэ. Яагаад $A$ биш $\widetilde(A)$ матрицууд вэ? Баримт нь $A$ матриц нь $\widetilde(A)$ матрицын нэг хэсэг тул $\widetilde(A)$ матрицын зэрэглэлийг тооцоолсноор бид $A$ матрицын зэрэглэлийг нэгэн зэрэг олох болно. .

\begin(зэрэгцүүлсэн) &\widetilde(A) =\left(\begin(массив) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(массив) \баруун) \баруун сум \зүүн|\text(эхний болон хоёр дахь мөрийг солих)\баруун| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(массив) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(массив) \баруун) \эхлэх(массив) (l) \phantom(0) \\ r_2-3r_1\\ r_3+4r_1 \end(массив) \баруун сум \left(\begin(массив) (ccc| в) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \төгсгөл(массив) \баруун) \эхлэх(массив) (l) \phantom(0) ) \\ \phantom(0)\\ r_3-2r_2 \төгсгөл(массив)\баруун сум\\ &\баруун сум \зүүн(\эхлэх(массив) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(массив) \баруун) \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Бид $\widetilde(A)$ матрицыг эшелон хэлбэр болгон бууруулсан. Үүссэн эшелон матриц нь 0 биш гурван эгнээтэй тул түүний зэрэглэл нь 3. Иймээс $\widetilde(A)$ матрицын зэрэглэл нь 3-тай тэнцүү, i.e. $\rang\widetilde(A)=3$. $\widetilde(A)$ матрицын элементүүдээр хувиргалт хийхдээ шугамын өмнө байрлах $A$ матрицын элементүүдийг нэгэн зэрэг хувиргасан. $A$ матрицыг мөн эшелон хэлбэрт оруулав: $\left(\begin(массив) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(массив) \right )$. Дүгнэлт: $A$ матрицын зэрэглэл нь мөн 3, i.e. $\rang A=3$.

$\rang A=\rang\widetilde(A)$ тул Кронекер-Капелли теоремын дагуу систем тогтвортой байна, өөрөөр хэлбэл. шийдэлтэй. Шийдлийн тоог зааж өгөхийн тулд манай SLAE нь $x_1$, $x_2$ болон $x_3$ гэсэн 3 үл мэдэгдэх зүйлийг агуулна. Үл мэдэгдэх тоо $n=3$ байгаа тул бид дүгнэж байна: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, тиймээс Кронекер-Капелли теоремын үр дүнд систем тодорхойлогдоно, өөрөөр хэлбэл. өвөрмөц шийдэлтэй.

Хоёрдахь аргын давуу тал юу вэ? Гол давуу тал нь олон талт байдал юм. Системийн матриц квадрат байх эсэх нь бидэнд хамаагүй. Нэмж дурдахад бид Гауссын аргын цаашдын өөрчлөлтийг хийсэн. Хэдхэн алхам үлдсэн бөгөөд бид энэхүү SLAE-ийн шийдлийг олж авах боломжтой. Үнэнийг хэлэхэд, би хоёр дахь арга нь эхнийхээсээ илүү дуртай, гэхдээ сонголт нь амт юм.

Хариулах: Өгөгдсөн SLAE нь тууштай бөгөөд тодорхойлогдсон.

Жишээ №2

SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1--г судлах Тохиромжтой болгохын тулд 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4 \end(зэрэгцүүлсэн) \right.$.

Бид системийн матриц болон өргөтгөсөн системийн матрицын зэрэглэлийг энгийн хувиргалтуудын аргыг ашиглан олох болно. Өргөтгөсөн системийн матриц: $\widetilde(A)=\left(\begin(массив) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(массив) \баруун)$. Системийн өргөтгөсөн матрицыг хувиргах замаар шаардлагатай зэрэглэлүүдийг олцгооё.

$$ \left(\begin(массив) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \төгсгөл(массив) \баруун) \эхлэх(массив) (l) \phantom(0)\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4 -3r_1\\r_5-2r_1\end(массив)\баруун сум \зүүн(\эхлэх(массив) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end(массив) \баруун) \эхлэх(массив) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\r_3-r_2\\ r_4-r_2\\r_5+r_2\end(массив)\баруун сум\\ $$ $$ \баруун сум\зүүн(\эхлэх(массив) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(массив) \ баруун) \эхлэх(массив) (l) \phantom(0)\\\phantom(0)\\\phantom(0)\\ r_4-r_3\\\phantom(0)\end(массив)\баруун сум \зүүн (\begin(массив) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right) $$

Системийн өргөтгөсөн матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулав. Эшелон матрицын зэрэглэл нь тэгээс өөр мөрүүдийн тоотой тэнцүү тул $\rang\widetilde(A)=3$ байна. $A$ матриц (мөр хүртэл) мөн эшелон хэлбэрт орж, зэрэглэл нь 2, $\rang(A)=2$ байна.

$\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ тул Кронекер-Капелли теоремын дагуу систем нь нийцэхгүй байна (өөрөөр хэлбэл шийдэл байхгүй).

Хариулах: Систем нь тогтворгүй байна.

Жишээ №3

SLAE $ \left\( \begin(зэрэгцүүлсэн) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=6-г судлах ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132 \end(зохицуулсан) \right.$.

Бид системийн өргөтгөсөн матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулдаг.

$$ \left(\begin(array)(ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right) \overset (r_1\leftrightarrow(r_3))(\rightarrow) $$ $$ \rightarrow\left(\begin(массив)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90\\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \төгсгөл(массив) \баруун) \эхлэх(массив) (l) \phantom(0)\\ r_2-2r_1 \\r_3+3r_1 \\ r_4+5r_1 \\ r_5-7r_1 \end( массив) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 3 & - 2 & 0 & -1 & -13\\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 \end(массив) \баруун) \эхлэх( массив) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \төгсгөл(массив) \баруун сум $$ $$ \баруун сум\зүүн(\эхлэх) (массив)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 \end(массив) \баруун) \эхлэх(массив) (l) \phantom(0) )\\ \phantom(0)\\\phantom(0) \\ r_4-r_3 \\ r_5+r_2 \end(массив) \баруун сум \зүүн(\эхлэх(массив)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(массив) \баруун) $$

Бид системийн өргөтгөсөн матриц болон системийн матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулсан. Системийн өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь гурав, системийн матрицын зэрэглэл нь мөн гуравтай тэнцүү байна. Систем нь $n=5$ үл мэдэгдэхийг агуулж байгаа тул i.e. $\rang\widetilde(A)=\rang(A)\lt(n)$, тэгвэл Кронекер-Капелли теоремын үр дүнд үндэслэн энэ систем тодорхойгүй, өөрөөр хэлбэл. хязгааргүй олон шийдэлтэй.

Хариулах: Систем тодорхойгүй байна.

Хоёрдахь хэсэгт бид стандарт тооцоолол эсвэл дээд математикийн тестүүдэд ихэвчлэн багтдаг жишээнүүдэд дүн шинжилгээ хийх болно: үүнд багтсан параметрүүдийн утгуудаас хамааран SLAE-ийн тууштай байдлын судалгаа, шийдэл.

Хэсгүүд: Математик

Хэрэв асуудал гурваас цөөн хувьсагчтай бол энэ нь асуудал биш; хэрэв наймаас дээш бол шийдвэрлэх боломжгүй. Энон.

Параметртэй холбоотой асуудлууд нь Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх хувилбарт байдаг тул тэдгээрийг шийдвэрлэх нь төгсөгчдийн мэдлэг хэр гүнзгий бөгөөд албан бус болохыг хамгийн тодорхой харуулдаг. Ийм даалгаврыг гүйцэтгэхэд оюутнуудад тулгардаг бэрхшээл нь зөвхөн харьцангуй нарийн төвөгтэй байдлаас гадна сурах бичигт хангалттай анхаарал хандуулаагүйгээс үүдэлтэй юм. Математикийн KIM-ийн хувилбаруудад параметр бүхий хоёр төрлийн даалгавар байдаг. Эхнийх нь: "параметрийн утга бүрийн хувьд тэгшитгэл, тэгш бус байдал эсвэл системийг шийд." Хоёр дахь нь: "Тэгш бус байдал, тэгшитгэл эсвэл системийн шийдэл нь өгөгдсөн нөхцлийг хангаж байгаа параметрийн бүх утгыг ол." Үүний дагуу эдгээр хоёр төрлийн асуудлын хариултууд нь мөн чанараараа ялгаатай байдаг. Эхний тохиолдолд хариулт нь параметрийн бүх боломжит утгуудыг жагсаасан бөгөөд эдгээр утга тус бүрийн хувьд тэгшитгэлийн шийдлүүдийг бичсэн болно. Хоёр дахь нь асуудлын нөхцөл хангагдсан бүх параметрийн утгуудыг жагсаав. Хариултыг бичих нь шийдлийн чухал үе шат бөгөөд хариултанд шийдлийн бүх үе шатыг тусгахаа мартаж болохгүй. Үүнд оюутнууд анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй.
Хичээлийн хавсралт нь оюутнуудыг эцсийн гэрчилгээнд бэлтгэхэд туслах "Параметр бүхий шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх" сэдвээр нэмэлт материалыг агуулсан болно.

Хичээлийн зорилго:

• оюутнуудын мэдлэгийг системчлэх;
• тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ график дүрслэлийг ашиглах чадварыг хөгжүүлэх;
• параметрүүдийг агуулсан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх;
• үйл ажиллагааны хяналт, оюутнуудын өөрийгөө хянах хэрэгжилт;
• сургуулийн сурагчдын судалгаа, танин мэдэхүйн үйл ажиллагааг хөгжүүлэх, олж авсан үр дүнг үнэлэх чадвар.

Хичээл хоёр цаг үргэлжилнэ.

Хичээлийн үеэр

1. Зохион байгуулах цаг

Хичээлийн сэдэв, зорилго, зорилтыг таниулах.

1. Оюутнуудын анхан шатны мэдлэгийг шинэчлэх

Гэрийн даалгавраа шалгаж байна. Гэрийн даалгавар болгон сурагчдаас шугаман тэгшитгэлийн гурван систем тус бүрийг шийдвэрлэхийг даалгасан

а) б) V)

график болон аналитик байдлаар; тохиолдол бүрийн хувьд олж авсан шийдлийн тооны талаар дүгнэлт гарга

Сурагчдын гаргасан дүгнэлтийг сонсож, дүн шинжилгээ хийдэг. Багшийн удирдлаган дор хийсэн ажлын үр дүнг дэвтэрт нэгтгэн бичсэн болно.

Ерөнхийдөө хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Өгөгдсөн тэгшитгэлийн системийг графикаар шийднэ гэдэг нь эдгээр тэгшитгэлийн графикуудын огтлолцох цэгүүдийн координатыг олох эсвэл байхгүй гэдгийг батлах гэсэн үг юм. Энэ системийн тэгшитгэл бүрийн хавтгай дээрх график нь тодорхой шулуун шугам юм.

Хавтгай дээр хоёр шулуун шугамыг харилцан байрлуулах гурван боломжит тохиолдол байдаг.

<Рисунок1>;

<Рисунок2>;

<Рисунок3>.

Тохиолдол бүрийн хувьд зураг зурах нь ашигтай байдаг.

1. Шинэ материал сурах

Өнөөдөр хичээлээр бид параметрүүдийг агуулсан шугаман тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно. Параметр гэдэг нь асуудал дахь утга нь өгөгдсөн тогтмол эсвэл дурын бодит тоо эсвэл урьдчилан тодорхойлсон олонлогт хамаарах тоо гэж тооцогддог бие даасан хувьсагч юм. Параметр бүхий тэгшитгэлийн системийг шийднэ гэдэг нь параметрийн аль ч утгыг системд тохирох шийдлийн багцыг олох боломжийг олгодог захидал харилцааг бий болгоно гэсэн үг юм.

Параметртэй асуудлын шийдэл нь түүнд тавьсан асуултаас хамаарна. Хэрэв та зүгээр л нэг параметрийн өөр өөр утгуудын тэгшитгэлийн системийг шийдэх эсвэл судлах шаардлагатай бол параметрийн аль ч утгын талаар эсвэл өмнө нь заасан багцад хамаарах параметрийн утгын талаар үндэслэлтэй хариулт өгөх хэрэгтэй. асуудал. Хэрэв тодорхой нөхцлийг хангасан параметрийн утгыг олох шаардлагатай бол бүрэн судалгаа хийх шаардлагагүй бөгөөд системийн шийдэл нь эдгээр тодорхой параметрийн утгыг олоход л хязгаарлагдана.

Жишээ 1.Параметрийн утга бүрийн хувьд бид тэгшитгэлийн системийг шийддэг

Шийдэл.

1. Хэрэв систем нь өвөрмөц шийдэлтэй

Энэ тохиолдолд бидэнд байна

1. Хэрэв a = 0 бол систем хэлбэрийг авна

Систем нь тогтворгүй, өөрөөр хэлбэл. шийдэл байхгүй.

1. Хэрэв систем нь хэлбэрээр бичигдсэн бол

Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд систем нь x = t хэлбэрийн хязгааргүй олон шийдлүүдтэй байх; Энд t нь аливаа бодит тоо.

Хариулт:

Жишээ 2.

• өвөрмөц шийдэлтэй;
• олон шийдэлтэй;
• шийдэл байхгүй юу?

Шийдэл.

Хариулт:

Жишээ 3.Системд тохирох a ба b параметрийн нийлбэрийг олъё

тоо томшгүй олон шийдэлтэй.

Шийдэл.Хэрэв систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 =48.

Хариулт: 48.

1. Асуудлыг шийдвэрлэх явцад сурсан зүйлээ бататгах

1. № 15.24(a) . Параметрийн утга бүрийн хувьд тэгшитгэлийн системийг шийд

1. No 15.25(a) Параметрийн утга тус бүрийн хувьд тэгшитгэлийн системийг шийд

1. a параметрийн ямар утгуудад тэгшитгэлийн систем ажилладаг

а) шийдэл байхгүй; б) хязгааргүй олон шийдэлтэй.

Хариулт: a = 2-ын хувьд шийдэл байхгүй, a = -2-ийн хувьд хязгааргүй тооны шийдэл байна.

1. Бүлэг дэх практик ажил

Анги нь 4-5 хүнтэй бүлэгт хуваагдана. Бүлэг бүрт математикийн бэлтгэлийн янз бүрийн түвшний сурагчид багтдаг. Бүлэг бүр ажлын карт авдаг. Та бүх бүлгийг нэг тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд урьж, шийдлийг албан ёсоор гаргаж болно. Даалгаврыг хамгийн түрүүнд зөв гүйцэтгэсэн бүлэг шийдлээ танилцуулна; үлдсэн хэсэг нь шийдлийг багшид өгнө.

Карт.Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

a параметрийн бүх утгын хувьд.

Хариулт: хэзээ систем нь өвөрмөц шийдэлтэй ; шийдэл байхгүй үед; a = -1-ийн хувьд (t; 1- t) хэлбэрийн хязгааргүй олон шийдэл байдаг. t R

Анги хүчирхэг бол бүлгүүдэд өөр өөр тэгшитгэлийн системийг санал болгож болох бөгөөд тэдгээрийн жагсаалтад багтсан болно Хавсралт 1. Дараа нь бүлэг бүр өөрсдийн шийдлийг ангид танилцуулна.

Даалгаврыг хамгийн түрүүнд зөв гүйцэтгэсэн бүлгийн тайлан

Оролцогчид дуу хоолойгоо илэрхийлж, шийдлээ тайлбарлаж, бусад бүлгийн төлөөлөгчдийн тавьсан асуултад хариулдаг.

1. Бие даасан ажил

Сонголт 1

Сонголт 2

1. Хичээлийн хураангуй

Параметр бүхий шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх нь гурван үндсэн нөхцөлийг хамарсан судалгаатай харьцуулж болно. Багш сурагчдыг тэдгээрийг томъёолохыг урьж байна.

Шийдвэр гаргахдаа дараахь зүйлийг санаарай.

1. Систем өвөрмөц шийдэлтэй байхын тулд системийн тэгшитгэлд харгалзах шугамууд огтлолцох шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл. нөхцөл хангагдсан байх ёстой;
2. шийдэлгүй байхын тулд шугамууд зэрэгцээ байх ёстой, өөрөөр хэлбэл. нөхцөл хангагдсан
3. эцэст нь систем хязгааргүй олон шийдэлтэй байхын тулд шугамууд давхцах ёстой, өөрөөр хэлбэл. нөхцөл хангагдсан.

Багш ангийнхаа ажлыг бүхэлд нь үнэлж, тус бүр сурагчдад хичээлийн оноог өгдөг. Бие даан хийсэн ажлыг шалгасны дараа оюутан бүр хичээлийн үнэлгээ авна.

1. Гэрийн даалгавар

b параметрийн ямар утгуудад тэгшитгэлийн систем ажилладаг

• хязгааргүй олон шийдэлтэй;
• шийдэл байхгүй юу?

y = 4x + b ба y = kx + 6 функцуудын графикууд ординаттай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна.

• b ба k-г олох,
• Эдгээр графикуудын огтлолцох цэгийн координатыг ол.

m ба n-ийн бүх утгын тэгшитгэлийн системийг шийд.

a параметрийн бүх утгын шугаман тэгшитгэлийн системийг шийднэ үү (таны сонгосон ямар ч утга).

Уран зохиол

1. Алгебр ба математик анализын эхлэл: сурах бичиг. 11-р ангийн хувьд Ерөнхий боловсрол байгууллагууд: үндсэн ба профиль. түвшин / С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин - М.: Боловсрол, 2008.
2. Математик: 9-р анги: Улсын эцсийн гэрчилгээнд бэлтгэх / M. N. Korchagina, V. V. Korchagin - M.: Eksmo, 2008.
3. Бид их сургуульд орохоор бэлтгэж байна. Математик. 2-р хэсэг. Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх, төвлөрсөн шалгалтад оролцох, Кубан улсын техникийн их сургууль / Кубан руу элсэлтийн шалгалт өгөх сурах бичиг. муж технологи. их сургууль; Орчин үеийн хүрээлэн технологи. ба эдийн засаг; Эмхэтгэсэн: С.Н.Горшкова, Л.М.Данович, Н.А. Наумова, А.В. Мартыненко, I.A. Палщикова. - Краснодар, 2006.
4. TUSUR-ийн бэлтгэл ангид зориулсан математикийн асуудлын цуглуулга: Сурах бичиг / Z. M. Goldshtein, G. A. Kornievskaya, G. A. Korotchenko, S. N. Кудинова. - Томск: Томск. муж Хяналтын систем ба радиоэлектроникийн их сургууль, 1998 он.
5. Математик: эрчимжүүлсэн шалгалтанд бэлтгэх курс / О.Ю.Черкасов, А.Г.Якушев. - М.: Рольф, Ирис-пресс, 1998.