Нэг цэгийн тасралтгүй байдлын функцийг судлах нь тасралтгүй байдлын гурван нөхцлийг шалгахаас бүрдэх нэгэнт тогтсон ердийн схемийн дагуу явагддаг.

Жишээ 1

Тасралтгүй байдлын үүднээс функцийг шалгана уу. Функцийн тасалдал байгаа бол тэдгээрийн мөн чанарыг тодорхойлно уу. Зургийг гүйцэтгэнэ.

Шийдэл:

1) Хамрах хүрээний цорын ганц цэг бол функц тодорхойлогдоогүй газар юм.

Нэг талын хязгаар нь хязгаарлагдмал бөгөөд тэнцүү байна.

Тиймээс тухайн үед функц нь салгаж болох тасалдалд ордог.

Энэ функцийн график ямар харагдаж байна вэ?

Би хялбарчлахыг хүсч байна , мөн энэ нь энгийн параболыг олж авсан мэт санагдаж байна. ГЭХДЭЭАнхны функц нь цэг дээр тодорхойлогдоогүй тул дараах заалт шаардлагатай:

Зураг зурцгаая:

Хариулах: функц нь салгаж болох тасалдлаас бусад бүхэл тооны шулуун дээр тасралтгүй байна.

Функцийг цаашид сайн эсвэл тийм ч сайн биш байдлаар тодорхойлж болох боловч нөхцөл байдлын дагуу үүнийг хийх шаардлагагүй.

Энэ бол алс холын жишээ гэж та хэлж байна уу? Огт үгүй. Практикт ийм тохиолдол олон арван удаа тохиолдсон. Сайтын бараг бүх даалгаврууд нь бие даасан бодит ажил, тестээс ирдэг.

Дуртай модулиудаасаа салцгаая:

Жишээ 2

Функцийг судлах тасралтгүй байдлын төлөө. Функцийн тасалдал байгаа бол тэдгээрийн мөн чанарыг тодорхойлно уу. Зургийг гүйцэтгэнэ.

Шийдэл: Зарим шалтгааны улмаас оюутнууд айж, модультай функцүүдэд дургүй байдаг, гэхдээ тэдэнд төвөгтэй зүйл байхгүй. Хичээл дээр бид ийм зүйлийг аль хэдийн бага зэрэг хөндсөн. Графикийн геометрийн хувиргалт. Модуль нь сөрөг биш тул дараах байдлаар өргөжүүлнэ. , энд "альфа" нь зарим илэрхийлэл юм. Энэ тохиолдолд бидний функцийг хэсэгчлэн бичих ёстой:

Гэхдээ хоёр ширхэгийн бутархайг -ээр багасгах ёстой. Өмнөх жишээн дээрх шиг бууралт нь үр дагаваргүйгээр явагдахгүй. Хуваагч нь тэг болж байгаа тул анхны функц нь тухайн цэг дээр тодорхойлогдоогүй байна. Тиймээс систем нь нөхцөлийг нэмж зааж өгөх ёстой бөгөөд эхний тэгш бус байдлыг хатуу болгоно.

Одоо МАШ АШИГТАЙ шийдвэр гаргах аргын тухай: ноорог дээрх ажлыг дуусгахын өмнө зураг зурах нь давуу талтай (нөхцөлд шаардлагатай эсэхээс үл хамааран). Энэ нь нэгдүгээрт, тасралтгүй болон тасалдсан цэгүүдийг нэн даруй олж харах, хоёрдугаарт, нэг талын хязгаарыг олоход алдаа гарахаас 100% хамгаалах болно.

Зургаа хийцгээе. Бидний тооцооллын дагуу цэгийн зүүн талд параболын хэсэг (цэнхэр өнгө), баруун талд нь параболын хэсэг (улаан өнгө) зурах шаардлагатай бөгөөд функц нь тодорхойлогдоогүй байна. өөрөө зааж:

Хэрэв эргэлзэж байвал хэд хэдэн x утгыг аваад функцэд залгана уу (модуль нь боломжит хасах тэмдгийг устгадаг гэдгийг санаарай) графикийг шалгана уу.

Тасралтгүй байдлын функцийг аналитик байдлаар авч үзье.

1) Функц нь цэг дээр тодорхойлогдоогүй тул энэ нь тасралтгүй биш гэж шууд хэлж болно.

2) Үүнийг хийхийн тулд тасалдалын шинж чанарыг тодорхойлъё, бид нэг талын хязгаарыг тооцоолно;

Нэг талт хязгаарууд нь хязгаарлагдмал бөгөөд ялгаатай байдаг бөгөөд энэ нь функц нь цэг дээр үсрэлттэй 1-р төрлийн тасалдалтай гэсэн үг юм. Таслах цэг дээрх функц тодорхойлогдсон эсэх нь хамаагүй гэдгийг анхаарна уу.

Одоо үлдсэн бүх зүйл бол зураг төслийг ноорогоос шилжүүлж (энэ нь судалгааны тусламжтайгаар хийгдсэн юм шиг ;-)) даалгаврыг биелүүлэх явдал юм.

Хариулах: Үсрэлтээр эхний төрлийн тасалдал үүсэхээс бусад тохиолдолд функц нь бүх тооны шулуун дээр тасралтгүй байна.

Заримдаа тэд тасархай үсрэлтийн нэмэлт заалтыг шаарддаг. Үүнийг энгийнээр тооцдог - баруун хязгаараас та зүүн хязгаарыг хасах хэрэгтэй: , өөрөөр хэлбэл завсарлагааны цэг дээр бидний функц 2 нэгжээр доошоо үсэрсэн (хасах тэмдэг бидэнд хэлдэг).

Жишээ 3

Функцийг судлах тасралтгүй байдлын төлөө. Функцийн тасалдал байгаа бол тэдгээрийн мөн чанарыг тодорхойлно уу. Зураг зурах.

Энэ бол таны бие даан шийдвэрлэх жишээ, хичээлийн төгсгөлд шийдлийн жишээ юм.

Функц нь гурван хэсгээс бүрдэх үед даалгаврын хамгийн алдартай, өргөн тархсан хувилбар руу шилжье.

Жишээ 4

Функцийн тасралтгүй байдлыг шалгаж, функцийн графикийг зур

Шийдэл: Функцийн гурван хэсэг нь харгалзах интервалууд дээр үргэлжилдэг нь тодорхой тул хэсгүүдийн хоорондох "холбох" хоёр цэгийг шалгахад л үлддэг. Юуны өмнө, бид барилгын техникийн талаар өгүүллийн эхний хэсэгт хангалттай дэлгэрэнгүй тайлбар хийсэн зураг төслийг хийцгээе. Цорын ганц зүйл бол бид онцгой цэгүүдийг анхааралтай дагаж мөрдөх ёстой: тэгш бус байдлын улмаас утга нь шулуун шугамд (ногоон цэг), тэгш бус байдлын улмаас утга нь параболад (улаан цэг) хамаарна.

За зарчмын хувьд бүх зүйл тодорхой байна =) Шийдвэрийг албан ёсны болгох л үлдлээ. Хоёр "хамтарсан" цэг бүрийн хувьд бид тасралтгүй байдлын 3 нөхцлийг шалгадаг.

би)

Нэг талт хязгаарууд нь хязгаарлагдмал бөгөөд ялгаатай байдаг бөгөөд энэ нь функц нь цэг дээр үсрэлттэй 1-р төрлийн тасалдалтай гэсэн үг юм.

Тасралтгүй үсрэлтийг баруун ба зүүн хязгаарын зөрүүгээр тооцоолъё.
, өөрөөр хэлбэл, график нэг нэгжийг хөдөлгөв.

II)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг

1) - функц нь өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлогддог.

2) Нэг талын хязгаарыг ол:

- нэг талын хязгаар нь хязгаарлагдмал, тэнцүү байдаг нь ерөнхий хязгаар байдаг гэсэн үг.

Эцсийн шатанд бид зургийг эцсийн хувилбарт шилжүүлж, дараа нь эцсийн хөвчийг тавьдаг.

Жишээ 5

Функцийг тасралтгүй байдлын үүднээс судалж, графикийг нь байгуул .

Энэ бол бие даан шийдвэрлэх жишээ, богино шийдэл, хичээлийн төгсгөлд асуудлын ойролцоо жишээ юм.

Нэг цэгт функц тасралтгүй байх ёстой, нөгөө үед тасалдал байх ёстой гэсэн сэтгэгдэл танд төрж магадгүй юм. Практикт энэ нь үргэлж тийм байдаггүй. Үлдсэн жишээнүүдийг үл тоомсорлож болохгүй - хэд хэдэн сонирхолтой, чухал шинж чанарууд байх болно:

Жишээ 6

Функц өгсөн . Цэг дэх тасралтгүй байдлын функцийг судал. График байгуулах.

Шийдэл: нэн даруй ноорог дээрх зургийг дахин гүйцэтгэнэ:

Энэ графикийн онцлог нь хэсэгчилсэн функцийг абсцисса тэнхлэгийн тэгшитгэлээр өгдөг. Энд энэ хэсгийг ногоон өнгөөр зурсан боловч тэмдэглэлийн дэвтэр дээр ихэвчлэн энгийн харандаагаар тодоор тодруулсан байдаг. Мэдээжийн хэрэг, бидний хуцны тухай бүү мартаарай: утга нь шүргэгч мөчир (улаан цэг), утга нь шулуун шугамд хамаарна.

Зургаас бүх зүйл тодорхой харагдаж байна - функц нь бүх тооны шугамын дагуу тасралтгүй явагддаг бөгөөд 3-4 ижил төстэй жишээнүүдийн дараа бүрэн автоматжуулалтад хүргэсэн шийдлийг албан ёсны болгоход л үлддэг.

би)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг

2) Нэг талын хязгаарыг тооцоолъё:

, энэ нь ерөнхий хязгаарлалттай гэсэн үг юм.

Энд жаахан инээдтэй зүйл болсон. Үнэн хэрэгтээ би маш их материал бүтээсэн функцийн хязгаарын тухай, мөн хэд хэдэн удаа хүсч байсан ч хэд хэдэн удаа би нэг энгийн асуултыг мартсан. Тиймээс би гайхалтай хүсэл зоригийн ачаар бодлоо алдахгүйн тулд өөрийгөө албадав =) Зарим "дамми" уншигчид эргэлздэг байх. тогтмолын хязгаар хэд вэ?Тогтмолын хязгаар нь тогтмолтой тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд тэгийн хязгаар нь өөрөө тэгтэй тэнцүү байна (зүүн гар талын хязгаар).

3) - нэг цэг дэх функцийн хязгаар нь тухайн цэг дэх энэ функцийн утгатай тэнцүү байна.

Тиймээс тухайн цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдлын тодорхойлолтоор функц нь цэг дээр тасралтгүй байна.

II)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг

1) - функц нь өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлогддог.

2) Нэг талын хязгаарыг ол:

Мөн энд баруун гар талын хязгаарт эв нэгдлийн хязгаар нь өөрөө эв нэгдэлтэй тэнцүү байна.

- ерөнхий хязгаарлалт байдаг.

3) - нэг цэг дэх функцийн хязгаар нь тухайн цэг дэх энэ функцийн утгатай тэнцүү байна.

Тиймээс тухайн цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдлын тодорхойлолтоор функц нь цэг дээр тасралтгүй байна.

Ердийнх шигээ судалгаа хийсний дараа бид зургаа эцсийн хувилбарт шилжүүлдэг.

Хариулах: функц нь цэгүүд дээр тасралтгүй байна.

Тасралтгүй байдлын үүднээс функцийг бүхэлд нь судлах талаар биднээс юу ч асуугаагүй бөгөөд томъёолох нь математикийн сайн хэлбэр гэж тооцогддогийг анхаарна уу. нарийн бөгөөд тодорхойтавьсан асуултын хариулт. Дашрамд хэлэхэд, хэрэв нөхцөл байдал таныг график барихыг шаарддаггүй бол та үүнийг бүтээхгүй байх бүрэн эрхтэй (хэдийгээр дараа нь багш үүнийг хийхийг албадах боломжтой).

Үүнийг өөрөө шийдэх жижиг математикийн "хэлний мушгиа":

Жишээ 7

Функц өгсөн .

Цэг дэх тасралтгүй байдлын функцийг судал. Хэрэв байгаа бол таслах цэгүүдийг ангил. Зургийг гүйцэтгэнэ.

Бүх "үг"-ийг зөв "дуудаж" үзээрэй =) Графикийг илүү нарийвчлалтай зур, үнэн зөв, энэ нь хаа сайгүй илүүдэхгүй байх болно;-)

Таны санаж байгаагаар би зургийг нэн даруй ноорог болгон дуусгахыг зөвлөж байсан боловч үе үе та график ямар байгааг шууд олж чадахгүй жишээнүүдтэй тулгардаг. Тиймээс зарим тохиолдолд эхлээд нэг талын хязгаарыг олж, зөвхөн дараа нь судалгаанд үндэслэн салбаруудыг дүрслэх нь давуу талтай. Сүүлийн хоёр жишээнд бид нэг талын хязгаарыг тооцоолох арга техникийг сурах болно.

Жишээ 8

Функцийг тасралтгүй байдлын үүднээс шалгаж, түүний бүдүүвч графикийг байгуул.

Шийдэл: муу талууд нь тодорхой байна: (тэжээлийн хуваагчийг тэг болгон бууруулна) ба (бүхэл бутархайн хуваагчийг тэг болгон бууруулна). Энэ функцийн график ямар харагдах нь тодорхойгүй байгаа тул эхлээд судалгаа хийсэн нь дээр гэсэн үг.

би)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг

2) Нэг талын хязгаарыг ол:

Анхаарна уу нэг талын хязгаарыг тооцоолох ердийн арга: "x"-ийн оронд бид -ийг орлуулна. Хуваарилахад гэмт хэрэг байхгүй: "нэмэлт" "хасах тэг" нь үүрэг гүйцэтгэдэггүй бөгөөд үр дүн нь "дөрөв" юм. Гэхдээ тоологч хэсэгт бага зэрэг триллер өрнөж байна: эхлээд бид индикаторын хуваагч дахь -1 ба 1-ийг алж, үр дүнд нь . Нэгжийг хуваана , "хасах хязгааргүй"-тэй тэнцүү тул: . Эцэст нь, "хоёр" хязгааргүй их сөрөг зэрэгтэгтэй тэнцүү: . Эсвэл бүр илүү тодорхой болгохын тулд: .

Баруун талын хязгаарыг тооцоолъё:

Энд "X" -ийн оронд бид орлуулна. Хуваарьт "нэмэлт" дахин үүрэг гүйцэтгэдэггүй: . Тоолуур дээр өмнөх хязгаартай төстэй үйлдлүүд хийгддэг: бид эсрэг тоонуудыг устгаад нэгийг нь хуваана. :

Баруун талын хязгаар нь хязгааргүй бөгөөд энэ нь функц нь цэг дээр 2-р төрлийн тасалдалд ордог гэсэн үг юм.

II)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг

1) Энэ үед функц тодорхойлогдоогүй байна.

2) Зүүн талын хязгаарыг тооцоолъё:

Арга нь адилхан: бид функцэд "X"-г орлуулна. Тоолуурт сонирхолтой зүйл байхгүй - энэ нь хязгаарлагдмал эерэг тоо болж хувирав. Мөн хуваагч дээр бид хаалт нээж, "гурав" -ыг арилгаж, "нэмэлт" нь шийдвэрлэх үүрэг гүйцэтгэдэг.

Үүний үр дүнд эцсийн эерэг тоо хуваагдана хязгааргүй бага эерэг тоо, "нэмэх хязгааргүй" өгдөг: .

Баруун гарын хязгаар нь ихэр ахтай адил бөгөөд зөвхөн хуваарьт харагдахыг эс тооцвол хязгааргүй бага сөрөг тоо:

Нэг талт хязгаарууд нь хязгааргүй бөгөөд энэ нь функц нь цэг дээр 2-р төрлийн тасалдалд ордог гэсэн үг юм.

Тиймээс бид хоёр таслах цэг, мөн графикийн гурван салбартай болох нь ойлгомжтой. Салбар бүрийн хувьд нэг цэгийн барилгын ажлыг гүйцэтгэхийг зөвлөж байна, өөрөөр хэлбэл. хэд хэдэн "x" утгыг аваад тэдгээрийг орлуул. Нөхцөл байдал нь бүдүүвч зураг зурах боломжийг олгодог бөгөөд ийм амралт нь гар ажиллагаатай холбоотой байгалийн юм гэдгийг анхаарна уу. Би программ ашиглан график бүтээдэг тул надад тийм ч хэцүү зүйл байхгүй, энд нэлээд нарийвчлалтай зураг байна:

Шууд байна босоо асимптотуудЭнэ функцийн графикийн хувьд.

Хариулах: функц нь 2-р төрлийн тасалдалтай цэгүүдээс бусад бүх тооны шулуун дээр тасралтгүй байна.

Өөрөө шийдэх энгийн функц:

Жишээ 9

Функцийг тасралтгүй байдлын үүднээс шалгаж, бүдүүвч зураг зур.

Төгсгөлд нь үл анзаарагдам гарч ирсэн шийдлийн ойролцоо жишээ.

Удахгүй уулзацгаая!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 3:Шийдэл : функцийг хувиргах: . Модулийг задлах дүрмийг авч үзэх мөн энэ нь , бид функцийг хэсэгчлэн дахин бичнэ:

Функцийг тасралтгүй байдлын үүднээс авч үзье.

1) Функц нь цэг дээр тодорхойлогдоогүй байна .

Нэг талт хязгаарууд нь хязгаарлагдмал бөгөөд өөр өөр байдаг бөгөөд энэ нь функц нь цэг дээр үсрэлттэй 1-р төрлийн тасалдалд ордог гэсэн үг юм. . Зураг зурцгаая:

Хариулах: функц нь цэгээс бусад бүх тооны шулуун дээр тасралтгүй байна , энэ нь үсрэлттэй эхний төрлийн тасалдалд өртдөг. Үсрэх завсар: (хоёр нэгж дээш).

Жишээ 5:Шийдэл : Функцийн гурван хэсэг тус бүр өөрийн интервалаар тасралтгүй байна.
би)
1)

2) Нэг талын хязгаарыг тооцоолъё:

, энэ нь ерөнхий хязгаарлалттай гэсэн үг.
3) - нэг цэг дэх функцийн хязгаар нь тухайн цэг дэх энэ функцийн утгатай тэнцүү байна.
Тиймээс функц нэг цэг дээр тасралтгүй цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдлыг тодорхойлох замаар.
II) Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг

1) - функц нь өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлогддог. функц нь цэг дээр 2-р төрлийн тасалдалд өртдөг

Функцийн домайныг хэрхэн олох вэ?

Шийдлийн жишээ

Хэрэв хаа нэгтээ ямар нэг зүйл дутуу байвал энэ нь хаа нэгтээ байгаа гэсэн үг юм

Бид "Функц ба график" хэсгийн судалгаагаа үргэлжлүүлж, бидний аяллын дараагийн станц бол Функцийн домэйн. Энэ үзэл баримтлалын талаар идэвхтэй хэлэлцүүлэг эхний хичээлээс эхэлсэн функцын графикийн тухай, би үндсэн функцууд, ялангуяа тэдгээрийн тодорхойлолтын домэйнүүдийг үзсэн. Тиймээс, би зарим нэг үндсэн зүйл дээр дахин ярихгүй тул дамми сэдвийн үндсээс эхлэхийг зөвлөж байна.

Уншигч нь шугаман, квадрат, куб функц, олон гишүүнт, экспоненциал, логарифм, синус, косинус гэсэн үндсэн функцүүдийн тодорхойлолтын хүрээг мэддэг гэж үздэг. Тэд дээр тодорхойлогддог. Шүргэгч, арксинусын хувьд уучлаарай =) Ховор графикийг шууд санадаггүй.

Тодорхойлолтын хамрах хүрээ нь энгийн зүйл мэт санагдаж, логик асуулт гарч ирдэг: нийтлэл юуны тухай байх вэ? Энэ хичээлээр би функцийн мужийг олох нийтлэг асуудлуудыг авч үзэх болно. Түүнээс гадна бид давтах болно нэг хувьсагчтай тэгш бус байдал, үүнийг шийдвэрлэх ур чадвар нь дээд математикийн бусад асуудлуудад шаардлагатай болно. Энэ материал нь бүх сургуулийн материал тул зөвхөн оюутнуудад төдийгүй оюутнуудад хэрэгтэй болно. Мэдээлэл нь мэдээжийн хэрэг нэвтэрхий толь бичиг мэт дүр эсгэдэггүй, гэхдээ энд "үхсэн" жишээ биш, харин бодит практик бүтээлээс авсан шарсан туулайн бөөр байна.

Сэдэв рүү хурдан шумбахаас эхэлцгээе. Гол зүйлийн талаар товчхон: бид нэг хувьсагчийн функцийн тухай ярьж байна. Түүний тодорхойлолтын хүрээ нь "x"-ийн олон утга, үүний төлөө байдаг"тоглогчид" гэсэн утгатай. Таамаглалын жишээг харцгаая:

Энэ функцийн тодорхойлолтын хүрээ нь интервалуудын нэгдэл юм:
(мартсан хүмүүст: - нэгтгэх дүрс). Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та интервалаас "x"-ийн ямар нэг утгыг, эсвэл -ээс, эсвэл -ээс авах юм бол ийм "x" бүрийн хувьд "y" утга байх болно.

Товчоор хэлбэл, тодорхойлолтын муж хаана байна, функцийн график байдаг. Харин хагас интервал болон “tse” цэг нь тодорхойлолтын хэсэгт ороогүй тул тэнд график байхгүй.

Тийм ээ, дашрамд хэлэхэд, эхний догол мөрийн нэр томьёо болон/эсвэл агуулгаас тодорхойгүй зүйл байвал нийтлэл рүү буцсан нь дээр. График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд.

Функцийг бүрэн судлах, график зурах онлайн тооны машинуудын сонголт.

Функцийн домэйныг олох

Паритет функцийг тооцоолох

Графикийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийн тооцоо (функц тэг)

Функцийн экстремумыг ол

Гулзайлтын цэг, гүдгэр ба хонхорын интервал

Функцийн график зур

Энэхүү тооцоолуур нь функцийг тасалдуулах цэгүүдийг онлайнаар олоход зориулагдсан.

Функцийн тасалдалтай цэгүүд нь функц нь тасалдсан цэгүүд бөгөөд эдгээр цэгүүд дэх функц тасралтгүй биш юм.

Функцийн тасалдлын цэгүүдийн тодорхой ангилал байдаг. Функцийн тасалдлын цэгүүд нь эхний төрлийн тасалдлын цэгүүд болон хоёр дахь төрлийн тасалдалтын цэгүүдэд хуваагдана.

Хэрвээ зүүн ба баруун талт хязгаар байгаа бол x=a-д эхний төрлийн тасалдал үүсдэг: lim(x→a-0)⁡f(x) ба lim(x→a+0)⁡f(x) . Эдгээр хязгаар нь хязгаартай байх ёстой. Хэрэв нэг талт хязгаарын дор хаяж нэг нь тэг эсвэл хязгааргүйтэй тэнцүү бол энэ тохиолдолд функц нь хоёр дахь төрлийн тасалдалтай байна.

Функцийн таслах цэгийг онлайнаар олохын тулд функц болон аргументын утгыг зааж өгөх ёстой.

Бүрэн шийдлийн явцыг авахын тулд хариултын алхам алхмаар дээр дарна уу.

Функцийг судалж, график байгуул

Төлөвлөгөө Функцийн судалгаа ба график.

Хариулт нь дараахь утгатай: тэгш - функц нь тэгш, сондгой - функц нь сондгой, тэгш ч биш, сондгой ч биш - функц нь тэгш, сондгой ч биш.

3. Функцийн графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд;

4. Функцийн тасралтгүй байдал, таслах цэг;

5. Функцийн графикийн асимптотууд;

6. Монотоникийн интервал ба эгзэгтэй цэгүүд;

7. Гүдгэрийн интервал ба гулзайлтын цэгүүд;

8. Хийсэн судалгаанд үндэслэн график зурах.

Боловсролын онлайн үйлчилгээ: онол ба практик

Ердийн асуудлын шийдэл - Математик анализ

Функцийг тасралтгүй байдлын үүднээс шалгаж, тасалдалын мөн чанарыг тодорхойлно уу.

Жишээ 1 .

Функц нь цэгүүдэд тодорхойлогдоогүй, тасралтгүй байдлын эхний нөхцөл аль хэдийн зөрчигдсөн тул эдгээр цэгүүдэд функц нь тасалдлыг мэдэрдэг.

Тасралтгүй байдлын мөн чанарыг тодруулахын тулд цэгүүдэд нэг талын хязгаарыг тооцоолох шаардлагатай.

Цэг дэх зүүн хязгаар нь хязгааргүйтэй тэнцүү тул хоёр дахь төрлийн тасалдалтай байна.

Нэгэн цэгийн баруун хязгаар нь хязгааргүйтэй тэнцүү тул хоёр дахь төрлийн тасалдал үүсдэг.

Жишээ 2 Функц нь бүхэл тоон мөрөнд тодорхойлогддог боловч энэ нь тасралтгүй биш, учир нь, i.e. тэг дэх баруун ба зүүн хязгаар нь хоорондоо тэнцүү биш, тэг дэх функцын утгатай тэнцүү биш, тасралтгүй байдлын 2, 3-р нөхцөл зөрчигдөж байна. Тэг дэх баруун ба зүүн хязгаарууд байдаг бөгөөд хязгаарлагдмал байдаг тул энэ нь эхний төрлийн тасалдал юм.

Жишээ 3 Функц нь тэг дээр тодорхойлогдоогүй тул энэ нь тасархай цэг юм.

Энэ нь зөөврийн тасалдал тул функцийг нэгтэй тэнцүүлэх замаар "тасралтгүй байдлаар" тэг дээр тодорхойлж болно.

Жишээ 4

Функц нь анхан шатны шинж чанартай тул тодорхойлолтынхоо хүрээнд тасралтгүй байдаг. Тодорхойлолтын талбарт цэгүүд ороогүй тул тэдгээр нь энэ функцийн таслах цэгүүд юм.

Хагарлын цэгүүдийн төрлийг тодорхойлъё.

Түүнээс хойш цэг нь цэг юм

хоёр дахь төрлийн үйл ажиллагааны тасалдал.

Нэг цэг дэх функцийн нэг талын хязгаар нь тэнцүү боловч функц нь тодорхойлогдоогүй тул энэ нь эхний төрлийн зөөврийн тасалдал юм.

Өгөгдсөн функц нь тэгш функц учраас энэ нь ойлгомжтой

Мөн энэ нь хоёр дахь төрлийн функцийн тасрах цэг юм.

Функцийн графикийн ноорог зурахын тулд бид тухайн үед функцийн зан төлөвийг шалгана

Тэгээд. Функц тэгш байх тул

Функцийн графикийн тоймыг зуръя.

Бид математик, эдийн засгийн чиглэлээр бие даан суралцах шилдэг сурах бичгүүдийг санал болгож байна

Авсаархан лавлагаа материал, дээд математик, эдийн засгийн статистикийн янз бүрийн хэсгүүдийн томъёо.

Зарим асуудлыг тоон утгыг оруулж, нарийвчилсан шийдлээр онлайнаар шийдэж болно.

y=f(x) функцийн графикийг байгуулъя (шалгая), үүнийг хийхийн тулд f(x) функцийг тохируулъя.

Чухал: абага байх ёстой б, эс бөгөөс графикийг бүтээх боломжгүй болно. Хэмжээг ажиглаарай - хэрэв зураг дээр график байхгүй бол утгыг өөрчлөх хэрэгтэй аТэгээд б

Зэрэг ашиглах

(дөрвөлжин ба шоо) ба бутархай

Синус ба косинусыг ашиглах

Гиперболын синус ба косинус

Гипербол тангенс ба котангенс

Гипербол арксин ба арккосин

Гибербол арктангенс ба арккотангенс

Тогтмол функцүүдийн хувьд функцийн графикийг зөвхөн хугацааны интервалаар судалдаг

Манай тооны машин нь функцийн графикийг шалгах боломжийг танд олгоно. Гэхдээ функцийн домэйныг олох арга одоогоор алга

Энэ тооцоолуур юу олж чадах вэ:

Илэрхийлэл, функц оруулах дүрэм

Илэрхийлэл нь функцээс бүрдэж болно (тэмдэглэгээг цагаан толгойн үсгийн дарааллаар өгсөн болно):

үнэмлэхүй(x)Үнэмлэхүй үнэ цэнэ x

(модуль xэсвэл |x|) arccos(x)Чиг үүрэг - нуман косинус x arccosh(x)-аас нуман косинус гипербол x arcsin(x)Арксинаас x arcsinh(x)-аас арксин гипербол x арктан(x)Чиг үүрэг - артангенс x arctgh(x)-аас арктангенс гипербол x д дойролцоогоор 2.7-той тэнцүү тоо exp(x)функц - илтгэгч x(энэ нь д^x) бүртгэл(x)эсвэл ln(x)-ийн натурал логарифм x

(Авахын тулд log7(x), та log(x)/log(7) оруулах хэрэгтэй (эсвэл жишээ нь, for log10(x)=лог(x)/лог(10)) пиЭнэ тоо нь "Pi" бөгөөд ойролцоогоор 3.14-тэй тэнцүү байна гэм(х)Чиг үүрэг - Синус x cos(x)Үйл ажиллагаа - косинус x sinh(x)Чиг үүрэг --аас синус гипербол x cosh(x)Чиг үүрэг - Косинус гиперболоос x sqrt(x)Чиг үүрэг - квадрат язгуур x sqr(x)эсвэл x^2Чиг үүрэг - Дөрвөлжин x бор (x)Чиг үүрэг - шүргэгчээс x tgh(x)Чиг үүрэг - Тангенс гиперболоос x cbrt(x)Чиг үүрэг - шоо үндэс x давхар(x)Функц - дугуйлах xдоошоо (жишээ нь шал(4.5)==4.0) тэмдэг(x)Чиг үүрэг - тэмдэг x erf(x)Алдааны функц (Лаплас эсвэл магадлалын интеграл)

Дараах үйлдлүүдийг илэрхийлэлд ашиглаж болно.

Бодит тоогэж оруулна 7.5 , Үгүй 7,5 2*x- үржүүлэх 3/x- хэлтэс x^3- экспоненциал x+7- нэмэлт x - 6- хасах

Туршилтын RU - онлайн тооны машинууд

Тодорхойлолт функцийг таслах цэгүүд тэдгээрийн төрлүүд нь функцийн тасралтгүй байдлын сэдвийн үргэлжлэл юм. Функцийн таслах цэгийн утгын харааны (график) тайлбарыг тасралтгүй байдлын тухай ойлголтоос ялгаатай нь мөн өгсөн болно. Функцийн таслах цэгийг хэрхэн олж, тэдгээрийн төрлийг тодорхойлох талаар сурцгаая. Манай үнэнч найзууд энэ талаар бидэнд туслах болно - зүүн ба баруун хязгаарыг ерөнхийдөө нэг талын хязгаар гэж нэрлэдэг. Хэрэв хэн нэгэн нь нэг талын хязгаарлалтаас айдаг бол бид үүнийг удахгүй арилгах болно.

График дээрх бие биетэйгээ холбогдоогүй цэгүүдийг дуудна функцийг таслах цэгүүд . x=2 - - цэг дээр тасалдсан ийм функцийн графикийг доорх зурагт үзүүлэв.

Дээрх ерөнхий ойлголт нь дараах тодорхойлолт юм. Хэрэв функц нэг цэг дээр тасралтгүй биш бол энэ цэг дээр тасалдалтай байх ба тухайн цэгийг өөрөө гэдэг. таслах цэг . Эвдрэл нь эхний болон хоёр дахь төрөл юм .

Тодорхойлохын тулд эвдрэлийн цэгүүдийн төрөл (тэмдэгт). функцуудыг итгэлтэйгээр олох хэрэгтэй хязгаар, тиймээс харгалзах хичээлийг шинэ цонхонд нээх нь зүйтэй. Гэхдээ таслах цэгүүдтэй холбоотойгоор бидэнд шинэ бөгөөд чухал зүйл бий - нэг талт (зүүн ба баруун) хязгаарлалт. Ерөнхийдөө тэдгээр нь бичигдсэн (баруун хязгаар) ба (зүүн хязгаар). Ерөнхийдөө хязгаарын хувьд функцийн хязгаарыг олохын тулд функцийн илэрхийлэлд X-г X-ийн чиг хандлагад орлуулах хэрэгтэй. Гэхдээ, магадгүй та баруун, зүүн хязгаар нь X дээр ямар нэг зүйл нэмсэн бол энэ нь тэг, зүүн талынх нь X-ээс ямар нэг зүйл хасагдсан тохиолдолд баруун, зүүн хязгаар хэрхэн ялгаатай байх вэ гэж та асууж магадгүй юм. гэхдээ энэ нь ямар нэг зүйл - бас тэг үү? Мөн та зөв байх болно. Ихэнх тохиолдолд.

Гэхдээ функцийн тасалдлын цэгүүдийг хайж, тэдгээрийн төрлийг тодорхойлох практикт баруун ба зүүн хязгаарууд тэнцүү биш байх хоёр ердийн тохиолдол байдаг.

Функц нь тоон шугамын х хамаарах хэсгээс хамааран хоёр ба түүнээс дээш илэрхийлэлтэй байдаг (эдгээр илэрхийлэл нь ихэвчлэн дараа нь буржгар хаалтанд бичигддэг. е(x)= );
X-ийн хандлагатай зүйлийг орлуулсны үр дүнд бид хуваагч нь нэмэх тэг (+0) эсвэл хасах тэг (-0) хэвээр байх бутархайг авдаг тул ийм бутархай нь нэмэх хязгааргүй эсвэл хасах хязгааргүй гэсэн үг юм. шал өөр зүйлүүд.

Эхний төрлийн тасалдалтын цэгүүд

Эхний төрлийн эвдрэлийн цэг: Функц нь хязгаарлагдмал (жишээ нь, хязгааргүйтэй тэнцүү биш) зүүн хязгаар болон хязгаарлагдмал баруун хязгаартай боловч функц нь цэг дээр тодорхойлогдоогүй эсвэл зүүн ба баруун хязгаарууд өөр (тэнцүү биш) байдаг.

Эхний төрлийн зөөврийн тасалдлын цэг.Зүүн ба баруун хязгаар нь тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд функцийг цэг дээр цаашид тодорхойлох боломжтой. Нэг цэг дээр функцийг тодорхойлох нь энгийнээр хэлэхэд зүүн ба баруун хязгаарууд хоорондоо тэнцүү байх цэгүүдийн холболтыг хангах гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд холболт нь функцийн утгыг олох ёстой зөвхөн нэг цэгийг төлөөлөх ёстой.

Жишээ 1.Функцийн таслах цэг болон таслах цэгийн төрөл (тэмдэгт)-ийг тодорхойлно.

Хоёр дахь төрлийн тасалдалтын цэгүүд

Хоёр дахь төрлийн эвдрэлийн цэг: хязгаарын дор хаяж нэг нь (зүүн эсвэл баруун) хязгааргүй (хязгааргүйтэй тэнцүү) байх цэг.

Жишээ 3.

Шийдэл. Хүч чадлын илэрхийллээс дцэг дээр функц тодорхойлогдоогүй нь тодорхой байна. Энэ үед функцийн зүүн ба баруун хязгаарыг олъё.

Хязгаарын нэг нь хязгааргүйтэй тэнцүү тул цэг нь хоёр дахь төрлийн тасалдал юм. Хугарлын цэгтэй функцийн график жишээний доор байна.

Функцийн таслах цэгийг олох нь бие даасан ажил эсвэл нэг хэсэг байж болно Бүрэн функцийн судалгаа, график .

Жишээ 4.Функцийн таслах цэг болон функцийн таслах цэгийн төрлийг (тэмдэгт) тодорхойлно

Шийдэл. 2-ын чадлын илэрхийллээс харахад функц нь цэг дээр тодорхойлогдоогүй байна. Энэ үед функцийн зүүн ба баруун хязгаарыг олъё.

Функцийн тасралтгүй байдал. Хагарлын цэгүүд.

Бух алхаж, ганхаж, санаа алдан:
- Өө, самбар дуусч байна, би одоо унах болно!

Энэ хичээлээр бид функцийн тасралтгүй байдлын тухай ойлголт, тасалдлын цэгүүдийн ангилал, нийтлэг практик асуудлыг авч үзэх болно. функцүүдийн тасралтгүй байдлын судалгаа. Сэдвийн нэрнээс харахад олон хүмүүс юу хэлэлцэхийг зөн совингоор таамаглаж, материалыг маш энгийн гэж боддог. Энэ үнэн. Гэхдээ энэ нь ихэвчлэн үл тоомсорлож, тэдгээрийг шийдвэрлэх өнгөц байдлаар шийтгэгддэг энгийн ажлууд юм. Тиймээс би нийтлэлийг сайтар судалж, бүх нарийн ширийн зүйл, арга техникийг олж авахыг зөвлөж байна.

Та юу мэдэж, чаддаг байх хэрэгтэй вэ?Нэг их биш. Хичээлийг сайн сурахын тулд энэ нь юу болохыг ойлгох хэрэгтэй функцийн хязгаар. Бэлтгэл багатай уншигчдын хувьд нийтлэлийг ойлгоход хангалттай Функцийн хязгаарлалт. Шийдлийн жишээмөн гарын авлага дахь хязгаарын геометрийн утгыг харна уу График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд. Мөн танилцахыг зөвлөж байна графикийн геометрийн хувиргалт, ихэнх тохиолдолд дадлага хийх нь зураг зурахтай холбоотой байдаг. Ирээдүй нь хүн бүрт өөдрөг байна, тэр ч байтугай бүтэн данх ч гэсэн дараагийн эсвэл хоёр цагийн дотор даалгавраа өөрөө даван туулах боломжтой болно!

Функцийн тасралтгүй байдал. Хугарлын цэгүүд ба тэдгээрийн ангилал

Функцийн тасралтгүй байдлын тухай ойлголт

Бүх тооны шулуун дээр үргэлжилдэг зарим функцийг авч үзье.

Эсвэл илүү товчоор хэлбэл, бидний функц тасралтгүй (бодит тооны олонлог) дээр байна.

Тасралтгүй байдлын "филист" шалгуур нь юу вэ? Үргэлжилсэн функцийн графикийг цаасан дээрээс харандаа өргөхгүйгээр зурж болох нь ойлгомжтой.

Энэ тохиолдолд хоёр энгийн ойлголтыг тодорхой ялгах хэрэгтэй. функцийн домэйнТэгээд функцын тасралтгүй байдал. Ерөнхийдөө энэ нь ижил зүйл биш юм. Жишээ нь:

Энэ функц нь бүх тооны мөрөнд тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл for хүн бүр"Х"-ийн утга нь "y" гэсэн өөрийн гэсэн утгатай. Тодруулбал, хэрэв , дараа нь . Функцийн тодорхойлолтоор аргументийн утга нь дараахтай тохирч байх ёстой тул нөгөө цэг нь таслалтай гэдгийг анхаарна уу. цорын ганц зүйлфункцийн утга. Тиймээс, тодорхойлолтын домэйнбидний үүрэг: .

Гэсэн хэдий ч Энэ функц тасралтгүй ажиллахгүй!Энэ үед тэр зовж байгаа нь илт байна цоорхой. Энэ нэр томъёо нь бас ойлгомжтой бөгөөд харагдахуйц, энд харандааг ямар ч байсан цаасан дээрээс урах хэрэгтэй болно. Хэсэг хугацааны дараа бид таслах цэгийн ангиллыг авч үзэх болно.

Нэг цэг ба интервал дээрх функцийн тасралтгүй байдал

Математикийн тодорхой бодлогод бид цэг дээрх функцын тасралтгүй байдал, интервал дээрх функцийн тасралтгүй байдал, хагас интервал эсвэл сегмент дэх функцийн тасралтгүй байдлын тухай ярьж болно. Энэ нь, "зөвхөн тасралтгүй" гэж байдаггүй– функц нь хаа нэгтээ тасралтгүй байж болно. Мөн бусад бүх зүйлийн үндсэн "барилгын материал" нь юм функцын тасралтгүй байдал цэг дээр .

Математик анализын онол нь "дельта" ба "эпсилон" хөршүүдийг ашиглан цэг дээрх функцын тасралтгүй байдлын тодорхойлолтыг өгдөг боловч практикт хэрэглэгдэх өөр тодорхойлолт байдаг бөгөөд бид үүнийг анхаарч үзэх болно.

Эхлээд санацгаая нэг талын хязгаарлалтЭхний хичээлээр бидний амьдралд нэвтэрсэн хүмүүс функцын графикийн тухай. Өдөр тутмын нөхцөл байдлыг авч үзье:

Хэрэв бид тэнхлэгийг цэг рүү ойртуулах юм бол зүүн(улаан сум), дараа нь "тоглоом" -ын харгалзах утгууд нь тэнхлэгийн дагуу цэг рүү (час улаан сум) очно. Математикийн хувьд энэ баримтыг ашиглан тогтоодог зүүн гар талын хязгаар:

Оруулсан зүйлд анхаарлаа хандуулаарай (зүүн талд "x tends to ka" гэж уншина). "Нэмэлт" "хасах тэг" нь бэлгэддэг , үндсэндээ энэ нь бид зүүн талаас тоо руу ойртож байна гэсэн үг юм.

Үүний нэгэн адил, хэрэв та "ка" цэг рүү ойртвол зөв(цэнхэр сум), дараа нь "тоглоомууд" ижил утгатай болно, гэхдээ ногоон сумны дагуу, мөн баруун гар талын хязгаардараах байдлаар форматлагдсан болно.

"Нэмэлт" нь бэлгэддэг , мөн оруулга нь: "х баруун талд ka руу хандлагатай байна."

Хэрэв нэг талт хязгаар хязгаарлагдмал ба тэнцүү бол(бидний тохиолдол шиг): , тэгвэл бид ЕРӨНХИЙ хязгаар байгаа гэж хэлэх болно. Энэ нь энгийн, ерөнхий хязгаарлалт бол бидний "ердийн" функцийн хязгаар, төгсгөлтэй тоотой тэнцүү.

Хэрэв функц тодорхойлогдоогүй бол (график мөчир дээрх хар цэгийг цухуйлгавал) дээрх тооцоолол хүчинтэй хэвээр байгааг анхаарна уу. Хэд хэдэн удаа, ялангуяа нийтлэлд дурдсанчлан хязгааргүй жижиг функцууд дээр, илэрхийлэл нь "x" гэсэн утгатай хязгааргүй ойрхонцэгт ойртдог, харин ХАМААГҮЙ, функц өөрөө өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлогдсон эсэх. Үүний сайн жишээг дараагийн догол мөрөнд функцэд дүн шинжилгээ хийх үед олж болно.

Тодорхойлолт: Тухайн цэг дэх функцийн хязгаар нь тухайн цэг дэх функцийн утгатай тэнцүү бол функц тухайн цэг дээр тасралтгүй байна: .

Тодорхойлолтыг дараах нэр томъёонд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.

1) Функц нь цэг дээр тодорхойлогдсон байх ёстой, өөрөөр хэлбэл утга нь байх ёстой.

2) Функцийн ерөнхий хязгаар байх ёстой. Дээр дурдсанчлан энэ нь нэг талын хязгаарлалтын оршин тогтнох, тэгш байдлыг илэрхийлдэг. .

3) Өгөгдсөн цэг дэх функцийн хязгаар нь энэ цэг дэх функцийн утгатай тэнцүү байх ёстой: .

Хэрэв зөрчсөн бол ядаж нэгГурван нөхцлөөс функц нь цэг дээр тасралтгүй байх шинж чанараа алддаг.

Интервал дахь функцийн тасралтгүй байдалнь овсгоотой бөгөөд маш энгийнээр томьёолжээ: Хэрэв функц өгөгдсөн интервалын цэг бүрт тасралтгүй байвал тухайн интервал дээр тасралтгүй байна.

Ялангуяа олон функц нь хязгааргүй интервал дээр, өөрөөр хэлбэл бодит тооны олонлог дээр тасралтгүй байдаг. Энэ нь шугаман функц, олон гишүүнт, экспоненциал, синус, косинус гэх мэт. Ерөнхийдөө аливаа үндсэн функцдээр нь тасралтгүй тодорхойлолтын домэйнжишээлбэл, логарифм функц нь интервал дээр тасралтгүй байна. Одоо та үндсэн функцуудын график ямар байх талаар сайн ойлголттой болсон гэж найдаж байна. Тэдний тасралтгүй байдлын талаар илүү дэлгэрэнгүй мэдээллийг Фихтенхольц хэмээх сайхан сэтгэлтэй хүнээс авч болно.

Сегмент болон хагас интервал дээрх функцийн тасралтгүй байдлын хувьд бүх зүйл хэцүү биш боловч энэ талаар хичээл дээр ярих нь илүү тохиромжтой. сегмент дээрх функцийн хамгийн бага ба хамгийн их утгыг олох тухай, гэхдээ одоохондоо үүнд санаа зовох хэрэггүй.

Хагарлын цэгүүдийн ангилал

Функцуудын сэтгэл татам амьдрал нь бүх төрлийн онцгой цэгүүдээр баялаг бөгөөд эвдрэх цэгүүд нь тэдний намтар түүхийн зөвхөн нэг хуудас юм.

Анхаарна уу : ямар ч тохиолдолд би энгийн зүйл дээр анхаарлаа хандуулъя: таслах цэг нь үргэлж байдаг ганц цэг- "дараалан хэд хэдэн завсарлага" байхгүй, өөрөөр хэлбэл "завсарлагааны интервал" гэж байдаггүй.

Эдгээр цэгүүд нь эргээд хоёр том бүлэгт хуваагддаг. Эхний төрлийн хагаралТэгээд хоёр дахь төрлийн хагарал. Цоорхойн төрөл бүр өөрийн гэсэн онцлог шинж чанартай байдаг бөгөөд бид яг одоо авч үзэх болно.

Эхний төрлийн тасалдал

Тасралтгүй байдлын нөхцөл нь тодорхой цэгт зөрчигдсөн бол ба нэг талын хязгаарлалт хязгаарлагдмал , дараа нь үүнийг дууддаг Эхний төрлийн тасархай цэг.

Хамгийн өөдрөг тохиолдлоос эхэлье. Хичээлийн анхны санааны дагуу би онолыг "ерөнхий хэлбэрээр" хэлэхийг хүссэн боловч материалын бодит байдлыг харуулахын тулд тодорхой дүрүүдтэй хувилбар дээр тогтсон.

Мөнхийн дөлийн арын дэвсгэр дээрх шинээр гэрлэсэн хүмүүсийн зураг шиг гунигтай боловч дараах зургийг нийтээрээ хүлээн зөвшөөрдөг. Зурган дээрх функцийн графикийг дүрсэлцгээе.

Энэ функц нь цэгээс бусад бүх тооны шулуун дээр үргэлжилдэг. Үнэн хэрэгтээ хуваагч нь тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. Гэсэн хэдий ч, хязгаарын утгын дагуу бид чадна хязгааргүй ойрхонЗүүн ба баруун талаасаа "тэг" рүү ойртох, өөрөөр хэлбэл нэг талын хязгаарлалтууд байдаг бөгөөд мэдээжийн хэрэг давхцаж байна.
(Тасралтгүй байдлын 2-р нөхцөл хангагдсан).

Гэхдээ тухайн цэг дээр функц тодорхойлогдоогүй тул тасралтгүй байдлын 1-р нөхцөл зөрчигдөж, энэ үед функц тасалдсан байна.

Энэ төрлийн завсарлага (одоо байгаа ерөнхий хязгаар) гэж нэрлэдэг засах боломжтой цоорхой. Яагаад салгах боломжтой вэ? Учир нь функц боломжтой дахин тодорхойлохтаслах цэг дээр:

Хачирхалтай харагдаж байна уу? Магадгүй. Гэхдээ ийм функцийн тэмдэглэгээ нь юу ч зөрчилддөггүй! Одоо цоорхойг хааж, бүгд баяртай байна:

Албан ёсны шалгалт хийцгээе:

2) - ерөнхий хязгаарлалт байдаг;
3)

Ийнхүү бүх гурван нөхцөл хангагдсан ба тухайн цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдлын тодорхойлолтоор тухайн цэг дээр функц тасралтгүй байна.

Гэсэн хэдий ч, матан үзэн ядагч нар функцийг муугаар тодорхойлж болно, жишээлбэл :

Эхний хоёр тасралтгүй байдлын нөхцөл энд хангагдаж байгаа нь сонирхолтой юм.
1) – функцийг өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлсон;
2) -Ерөнхий хязгаар гэж бий.

Гэхдээ гурав дахь хилийг даваагүй байна: , өөрөөр хэлбэл цэг дээрх функцийн хязгаар тэнцүү бишөгөгдсөн цэг дэх өгөгдсөн функцийн утга.

Тиймээс нэг цэгт функц тасалддаг.

Хоёр дахь, илүү гунигтай тохиолдол гэж нэрлэдэг Эхний төрлийн хагарал үсрэлттэй. Мөн уйтгар гуниг нь өрөөсгөл хязгаараас үүдэлтэй байдаг хязгаарлагдмал, ялгаатай. Хичээлийн хоёр дахь зурагт жишээг үзүүлэв. Ийм цоорхой нь ихэвчлэн тохиолддог хэсэгчлэн тодорхойлсон функцууд, аль хэдийн өгүүлэлд дурдсан байдаг график хувиргалтын тухай.

Хэсэгчилсэн функцийг авч үзье мөн бид түүний зургийг дуусгах болно. Графикийг хэрхэн бүтээх вэ? Маш энгийн. Хагас интервал дээр бид параболын фрагмент (ногоон), интервал дээр шулуун шугамын сегмент (улаан), хагас интервал дээр шулуун шугам (цэнхэр) зурдаг.

Түүнчлэн тэгш бус байдлын улмаас квадрат функцийн утгыг (ногоон цэг), тэгш бус байдлын улмаас шугаман функцийн утгыг (цэнхэр цэг) тодорхойлно.

Хамгийн хэцүү тохиолдолд та графикийн хэсэг тус бүрийг цэгцтэй барих хэрэгтэй (эхний хэсгийг үзнэ үү). Функцийн графикуудын тухай хичээл).

Одоо бид зөвхөн гол зүйлийг л сонирхох болно. Үүнийг тасралтгүй байдлын үүднээс авч үзье:

2) Нэг талын хязгаарыг тооцоод үзье.

Зүүн талд бид улаан шугамын сегменттэй тул зүүн талын хязгаар нь:

Баруун талд цэнхэр шулуун шугам, баруун гар талын хязгаар:

Үүний үр дүнд бид хүлээн авсан хязгаарлагдмал тоо, мөн тэд тэнцүү биш. Нэг талын хязгаарлалт учраас хязгаарлагдмал, ялгаатай: , тэгвэл бидний функц тэсвэрлэдэг үсрэлттэй эхний төрлийн тасалдал.

Цоорхойг арилгах боломжгүй нь логик юм - өмнөх жишээн дээрх функцийг цаашид тодорхойлж, "хамтдаа наах" боломжгүй юм.

Хоёр дахь төрлийн тасалдалтын цэгүүд

Ихэвчлэн хагарлын бусад бүх тохиолдлыг энэ ангилалд ухаалаг байдлаар ангилдаг. Би бүх зүйлийг жагсаахгүй, учир нь практик дээр асуудлын 99% нь танд тулгарах болно төгсгөлгүй цоорхой– зүүн гартай эсвэл баруун гартай үед, ихэвчлэн хоёр хязгаар нь хязгааргүй байдаг.

Мэдээжийн хэрэг, хамгийн тод зураг бол тэг цэг дээрх гипербола юм. Энд нэг талын хязгаарлалт нь хязгааргүй юм: , тиймээс функц нь цэг дээр хоёр дахь төрлийн тасалдалд өртдөг.

Би нийтлэлүүдээ аль болох олон төрлийн агуулгаар дүүргэхийг хичээдэг тул хараахан гараагүй байгаа функцийн графикийг харцгаая.

стандарт схемийн дагуу:

1) Энэ үед хуваагч тэг болж байгаа тул функц тодорхойлогдоогүй байна.

Мэдээжийн хэрэг, функц нь тухайн үед тасалдсан гэж бид шууд дүгнэж болно, гэхдээ энэ нь ихэвчлэн нөхцөл шаардагддаг тасалдлын шинж чанарыг ангилах нь зүйтэй юм. Үүнийг хийхийн тулд:

Бичлэг гэдэг нь бид хэлж байгааг сануулъя хязгааргүй бага сөрөг тоо, мөн оруулгын доор - хязгааргүй бага эерэг тоо.

Нэг талт хязгаарууд нь хязгааргүй бөгөөд энэ нь функц нь цэг дээр 2-р төрлийн тасалдалд ордог гэсэн үг юм. Y тэнхлэг нь босоо асимптотграфикийн хувьд.

Нэг талын хязгаар хоёулаа байх нь ердийн зүйл биш боловч тэдгээрийн зөвхөн нэг нь хязгааргүй байдаг, жишээлбэл:

Энэ бол функцийн график юм.

Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгана:

1) Энэ үед функц тодорхойлогдоогүй байна.

2) Нэг талын хязгаарыг тооцоолъё:

Ийм өрөөсгөл хязгаарыг тооцоолох аргын талаар бид лекцийн сүүлийн хоёр жишээнд ярих болно, гэхдээ олон уншигчид бүгдийг аль хэдийн харж, таамаглаж байсан.

Зүүн талын хязгаар нь төгсгөлтэй бөгөөд тэгтэй тэнцүү (бид энэ цэг рүү "явдаггүй"), харин баруун гар талын хязгаар нь хязгааргүй бөгөөд графикийн улбар шар мөчир нь түүний цэг рүү хязгааргүй ойртдог. босоо асимптот, тэгшитгэлээр өгөгдсөн (хар тасархай шугам).

Тиймээс функц нь муудаж байна хоёр дахь төрлийн тасалдалцэг дээр.

1-р төрлийн тасархайн хувьд функцийг тасалдлын цэг дээр өөрөө тодорхойлж болно. Жишээлбэл, хэсэгчилсэн функцийн хувьд Координатын эхэнд хар тод цэг тавьж болно. Баруун талд нь гиперболын салбар, баруун талын хязгаар нь хязгааргүй юм. Бараг хүн бүр энэ график ямар байх талаар ойлголттой байдаг гэж би бодож байна.

Хүн бүрийн тэсэн ядан хүлээж байсан зүйл:

Функцийг тасралтгүй байдлыг хэрхэн шалгах вэ?

Жишээ 1

Функцийг судлах

Шийдэл:

1) Хамрах хүрээний цорын ганц цэг бол функц тодорхойлогдоогүй газар юм.

2) Нэг талын хязгаарыг тооцоолъё:

Нэг талын хязгаар нь хязгаарлагдмал бөгөөд тэнцүү байна.

Тиймээс тухайн үед функц нь салгаж болох тасалдалд ордог.

Энэ функцийн график ямар харагдаж байна вэ?

Зураг зурцгаая:

Хариулах: функц нь салгаж болох тасалдлаас бусад бүхэл тооны шулуун дээр тасралтгүй байна.

Дуртай модулиудаасаа салцгаая:

Жишээ 2

Тасралтгүй байдлын функцийг аналитик байдлаар авч үзье.

1) Функц нь цэг дээр тодорхойлогдоогүй тул энэ нь тасралтгүй биш гэж шууд хэлж болно.

2) Үүнийг хийхийн тулд тасалдалын шинж чанарыг тодорхойлъё, бид нэг талын хязгаарыг тооцоолно;

Нэг талт хязгаарууд нь хязгаарлагдмал бөгөөд ялгаатай байдаг бөгөөд энэ нь функц нь цэг дээр үсрэлттэй 1-р төрлийн тасалдалтай гэсэн үг юм. Хязгаарыг олохдоо таслах цэг дээрх функц тодорхойлогдсон эсэх нь хамаагүй гэдгийг дахин анхаарна уу.

Жишээ 3

Энэ бол таны бие даан шийдвэрлэх жишээ, хичээлийн төгсгөлд шийдлийн жишээ юм.

Функц нь гурван хэсгээс бүрдэх үед даалгаврын хамгийн алдартай, өргөн тархсан хувилбар руу шилжье.

Жишээ 4

Функцийн тасралтгүй байдлыг шалгаж, функцийн графикийг зур .

би)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг

II)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг

1) – функц өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлогддог.

2) Нэг талын хязгаарыг ол:

– нэг талын хязгаар нь хязгаарлагдмал, тэнцүү байдаг нь ерөнхий хязгаартай гэсэн үг.

3) – нэг цэг дэх функцийн хязгаар нь тухайн цэг дэх энэ функцийн утгатай тэнцүү байна.

Эцсийн шатанд бид зургийг эцсийн хувилбарт шилжүүлж, дараа нь эцсийн хөвчийг тавьдаг.

Жишээ 5

Функцийг тасралтгүй байдлын үүднээс судалж, графикийг нь байгуул .

Энэ бол бие даан шийдвэрлэх жишээ, богино шийдэл, хичээлийн төгсгөлд асуудлын ойролцоо жишээ юм.

Жишээ 6

Функц өгсөн . Цэг дэх тасралтгүй байдлын функцийг судал. График байгуулах.

Шийдэл: нэн даруй ноорог дээрх зургийг дахин гүйцэтгэнэ:

би)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг

1) – функц нь өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлогддог.

2) Нэг талын хязгаарыг тооцоолъё:

, энэ нь ерөнхий хязгаарлалттай гэсэн үг.

Тогтмолын хязгаар нь тогтмолтой тэнцүү гэсэн өчүүхэн баримтыг сануулъя. Энэ тохиолдолд тэгийн хязгаар нь өөрөө тэгтэй тэнцүү байна (зүүн гар талын хязгаар).

3) – нэг цэг дэх функцийн хязгаар нь тухайн цэг дэх энэ функцийн утгатай тэнцүү байна.

Тиймээс тухайн цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдлын тодорхойлолтоор функц нь цэг дээр тасралтгүй байна.

II)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг

1) – функц нь өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлогддог.

2) Нэг талын хязгаарыг ол:

Мөн энд - нэгийн хязгаар нь тухайн нэгжтэй тэнцүү байна.

-Ерөнхий хязгаар гэж бий.

3) – нэг цэг дэх функцийн хязгаар нь тухайн цэг дэх энэ функцийн утгатай тэнцүү байна.

Тиймээс тухайн цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдлын тодорхойлолтоор функц нь цэг дээр тасралтгүй байна.

Ердийнх шигээ судалгаа хийсний дараа бид зургаа эцсийн хувилбарт шилжүүлдэг.

Хариулах: функц нь цэгүүд дээр тасралтгүй байна.

Үүнийг өөрөө шийдэх жижиг математикийн "хэлний мушгиа":

Жишээ 7

Функц өгсөн . Цэг дэх тасралтгүй байдлын функцийг судал. Хэрэв байгаа бол таслах цэгүүдийг ангил. Зургийг гүйцэтгэнэ.

Жишээ 8

Функцийг тасралтгүй байдлын үүднээс шалгаж, түүний бүдүүвч графикийг байгуул.

Боловсролын байгууллага "Беларусийн муж

Хөдөө аж ахуйн академи"

Дээд математикийн тэнхим

Удирдамж

"Нэг хувьсагчийн функцүүдийн тасралтгүй байдал" сэдвийг судлах

нягтлан бодох бүртгэлийн факультетийн оюутнууд захидал хэлбэрээр

боловсрол (NISPO)

Горки, 2013 он

Нэг хувьсагчийн функцүүдийн тасралтгүй байдал

Нэг талын хязгаарлалт

Функцийг зөвшөөр
багц дээр тодорхойлсон
. Функцийн нэг талт хязгаарын тухай ойлголтыг танилцуулъя
. Бид дараах утгуудыг авч үзэх болно X, Юу
. Энэ нь гэсэн үг
, үргэлж зүүн талд үлддэг
цагт
дараа нь үүнийг нэрлэдэг зүүн хязгаар цэг дээр энэ функц (эсвэл хэзээ
) болон тэмдэглэгдсэн байна

Одоо больё
, баруун талд байнга үлддэг , өөрөөр хэлбэл илүү удаан үлдэх . Хэрэв функцийн хязгаар байгаа бол
, дараа нь үүнийг дууддаг баруун хязгаар цэг дээр энэ функц болон томилогдсон

Зүүн ба баруун хязгаарыг дууддаг нэг талын хязгаарлалт цэг дээр ажилладаг.

Хэрэв тухайн цэг дээр функцийн нэг талт хязгаарууд байгаа бөгөөд тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү бол функц энэ цэг дээр ижил хязгаартай байна.:

Хэрэв функцийн нэг талт хязгаар нь цэг дээр байгаа боловч бие биентэйгээ тэнцүү биш бол энэ цэг дэх функцийн хязгаар байхгүй болно .

Нэг цэг дэх функцийн тасралтгүй байдал

Функцийг зөвшөөр
зарим багц дээр тодорхойлсон Д. Бие даасан хувьсагчийг үзье Xтүүний (анхны) утгуудын аль нэгээс нь гардаг
өөр (эцсийн) утга руу . Эцсийн болон анхны утгуудын хоорондох ялгааг нэрлэдэг өсөлт тоо хэмжээ Xболон томилогдсон
. Өсөлт нь эерэг эсвэл сөрөг байж болно. Эхний тохиолдолд үнэ цэнэ X-аас шилжих үед руу Xнэмэгдэж, хоёр дахь тохиолдолд - буурдаг.

Хэрэв бие даасан хувьсагч бол Xтодорхой хэмжээний нэмэгдэл авдаг
, дараа нь функц
нэмэгдэл авдаг
. Учир нь
, Тэр.

Функцийн өсөлт
цэг дээр ялгаа гэж нэрлэдэг, хаана
– бие даасан хувьсагчийн өсөлт.

Нэг цэг дэх функцийн тасралтгүй байдлын хэд хэдэн тодорхойлолтыг өгч болно.

Функцийг дууддаг интервалд тасралтгүй , хэрэв энэ интервалын цэг бүрт тасралтгүй байвал. Функцийн геометрийн тасралтгүй байдал
хаалттай интервалд гэдэг нь функцийн график нь тасалдалгүй тасралтгүй шулуун байна гэсэн үг юм.

Интервал дээр үргэлжилдэг функцууд нь дараах хэллэгээр илэрхийлэгдэх чухал шинж чанартай байдаг.

Хэрэв функц бол
интервал дээр тасралтгүй байна [ а, б], тэгвэл энэ сегмент дээр хязгаарлагдмал байна.

Хэрэв функц бол
интервал дээр тасралтгүй байна [ а, б], дараа нь энэ сегмент дээрх хамгийн бага ба хамгийн их утгууддаа хүрнэ.

Хэрэв функц бол
интервал дээр тасралтгүй байна [ а, б] Мөн
, дараа нь ямар ч тоо байна ХАМТ, тоонуудын хооронд хавсаргасан АТэгээд IN, нэг цэг бий
, Юу
.

Энэ мэдэгдлээс харахад хэрэв функц
[-д үргэлжилдэг а, б] ба энэ сегментийн төгсгөлд өөр өөр тэмдгийн утгыг авдаг бол энэ сегмент дээр дор хаяж нэг цэг байна. в, үүнд функц алга болно.

Дараах мэдэгдэл үнэн байна. Хэрэв тасралтгүй функцууд дээр арифметик үйлдлүүд хийгдсэн бол үр дүн нь тасралтгүй функц болноI.

Жишээ 1 .

цэг дээр
.

Шийдэл . Функцийн утга
Байна
. Цэг дэх функцийн нэг талт хязгаарыг тооцоолъё
:

Нэг талын хязгаараас хойш
нь хоорондоо тэнцүү ба энэ цэг дэх функцийн утгатай тэнцүү бол энэ функц цэг дээр тасралтгүй байна
.

3. Энгийн функцүүдийн тасралтгүй байдал

Функцийг авч үзье
. Энэ тогтмол функц нь ямар ч цэг дээр тасралтгүй байдаг , учир нь
.

Чиг үүрэг
мөн цэг бүрт тасралтгүй байдаг
, учир нь
. Учир нь
, дараа нь тасралтгүй функц дээр арифметик үйлдлүүдийн тухай дээрх мэдэгдэлд үндэслэн
тасралтгүй байх болно. Функцууд нь мөн тасралтгүй байх болно
.

Үүний нэгэн адил бид үлдсэн үндсэн функцүүдийн тасралтгүй байдлыг харуулж чадна.

Тиймээс, Аливаа энгийн функц нь өөрийн тодорхойлолтын хүрээнд тасралтгүй байдаг, өөрөөр хэлбэл. Энгийн функцийн тодорхойлолтын муж нь түүний тасралтгүй байдлын мужтай давхцдаг.

Нарийн төвөгтэй ба урвуу функцүүдийн тасралтгүй байдал

Функцийг зөвшөөр
нэг цэг дээр тасралтгүй , болон функц
нэг цэг дээр тасралтгүй
. Дараа нь нарийн төвөгтэй функц
нэг цэг дээр тасралтгүй . Энэ нь хэрэв нийлмэл функц нь тасралтгүй функцээс бүрдэх юм бол энэ нь мөн тасралтгүй байх болно гэсэн үг юм. тасралтгүй функцээс тасралтгүй функц нь тасралтгүй функц юм . Энэ тодорхойлолт нь хязгаарлагдмал тооны тасралтгүй функцуудад хамаарна.

Энэ тодорхойлолтоос харахад тасралтгүй функцийн тэмдгийн дор бид хязгаарт хүрч болно.

Хэрэв функц тасралтгүй байвал хязгаарын тэмдэг болон функцийн тэмдгийг сольж болно гэсэн үг юм.

Функцийг зөвшөөр
тодорхойлогдсон, хатуу монотон, интервал дээр тасралтгүй [ а, б]. Дараа нь түүний урвуу функц
тодорхойлогдсон, хатуу монотон, интервал дээр тасралтгүй [ А, Б], Хаана
.

Хугарлын цэгүүд ба тэдгээрийн ангилал I

Хэрэв функц бол аль хэдийн мэдэгдэж байгаа
багц дээр тодорхойлсон Дмөн цэг дээр
нөхцөл хангагдсан байна
, тэгвэл энэ үед функц тасралтгүй байна. Хэрэв энэ тасралтгүй байдлын нөхцөл хангагдаагүй бол цэг дээр X 0 функц нь цоорхойтой байна.

Цэг дуудсан Эхний төрлийн тасархай цэг функцууд
, хэрэв энэ үед функц нь бие биентэйгээ тэнцүү биш хязгаарлагдмал нэг талт хязгаартай бол, i.e. . Энэ тохиолдолд үнэ цэнэ

дуудсан гэнэт функцууд
цэг дээр .

Цэг дуудсан зөөврийн таслах цэг функцууд
, хэрэв энэ цэг дэх функцийн нэг талт хязгаарууд хоорондоо тэнцүү бөгөөд энэ цэг дэх функцийн утгатай тэнцүү биш бол, i.e. Энэ тохиолдолд цэг дээрх цоорхойг арилгах тавих хэрэгтэй

Цэг X 0 гэж нэрлэдэг хоёр дахь төрлийн тасалдалын цэг функцууд
нэг талын хязгаарын нэгээс доошгүй бол
эсвэл
энэ үед нэг бол байхгүй эсвэл хязгааргүйтэй тэнцүү байна.

Жишээ 2 . Функцийн тасралтгүй байдлыг шалгана уу

Шийдэл . Функц нь цэгээс бусад бүх тооны шулуун дээр тодорхойлогддог бөгөөд үргэлжилдэг
. Энэ үед функц нь тасалдалтай байна. Цэг дэх функцийн нэг талт хязгаарыг олъё
:

Тэр үеэс хойш
нэг талын хязгаарууд нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд энэ цэг дэх функц тодорхойлогдоогүй, дараа нь цэг
зөөврийн таслах цэг юм. Энэ цэг дэх цоорхойг арилгахын тулд функцийг тавих замаар цаашид тодорхойлох шаардлагатай
.

Жишээ 3 . Функцийн тасралтгүй байдлыг шалгана уу

Шийдэл . Функц нь бодит тооноос бусад бүх багц дээр тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй байна
. Энэ үед функц нь тасалдалтай байна. -ийн функцийн нэг талын хязгаарыг олъё
:

цэг дээр энэ функц оноос хойш
нь хоорондоо тэнцүү биш хязгаарлагдмал нэг талт хязгаартай бол энэ цэг нь эхний төрлийн тасархай цэг болно. Нэг цэг дээр функцийн үсрэлт
тэнцүү.