n-р эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл. n-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлүүд

n--р захиалга

Теорем. Хэрэв y 0- нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл L[y]=0, y 1- харгалзах нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдэл L[y] = f(x), дараа нь нийлбэр y 0 +y 1нь энэхүү нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн бүтцийг дараах теоремоор тодорхойлно.

Теорем. Хэрэв Ю- тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл L[y] = f(x)тасралтгүй коэффициентүүдтэй, - харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл L[y] = 0, дараа нь энэхүү нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг томъёогоор тодорхойлно

Сэтгэгдэл. Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг бичихийн тулд энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл, харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олох шаардлагатай.

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл n

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг авч үзье n-тогтмол коэффициент бүхий 1-р дараалал

Хаана a 1, a 2, …, a n- бодит тоо. Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг бичье

Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг томъёогоор тодорхойлно

Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл y 0Бид тодорхой шийдлийг олж чадна ЮДараах энгийн тохиолдолд тодорхойгүй коэффициентийн аргаар олж болно.

Ерөнхий тохиолдолд дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашигладаг.

Дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг авч үзье n-хувьсах коэффициент бүхий-р дараалал

Хэрэв энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олоход хэцүү, гэхдээ харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь мэдэгдэж байгаа бол нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж болно. дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга.

Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг үзье

ерөнхий шийдэлтэй

Бид нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хэлбэрээр хайх болно

Хаана y 1 =y 1 (x), y 2 =y 2 (x), …, y n =y n (x)нь ерөнхий шийдэлд багтсан нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүд ба C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)- үл мэдэгдэх функцууд. Эдгээр функцийг олохын тулд тэдгээрийг зарим нөхцөл байдалд оруулъя.

Деривативыг олцгооё

Бид хоёр дахь хаалтанд байгаа нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байхыг шаарддаг, өөрөөр хэлбэл

Хоёр дахь деривативыг олъё

мөн бид үүнийг шаардах болно

Үүнтэй төстэй үйл явцыг үргэлжлүүлснээр бид олж авна

Энэ тохиолдолд функцууд байгаа тул хоёр дахь хаалтанд байгаа нийлбэр алга болохыг шаардаж болохгүй C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)аль хэдийн захирагддаг n-1нөхцөл, гэхдээ та анхны нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг хангах шаардлагатай хэвээр байна.

Шугаман дифференциал систем тэгшитгэл.

Дифференциал тэгшитгэлийн системийг нэрлэдэг шугаман,үл мэдэгдэх функц болон тэдгээрийн деривативын хувьд шугаман бол. систем n-1-р дарааллын шугаман тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичнэ.

Системийн коэффициентүүд нь const.

Энэ системийг матриц хэлбэрээр бичих нь тохиромжтой: ,

Энд нэг аргументаас хамаарах үл мэдэгдэх функцүүдийн баганын вектор байна.

Эдгээр функцүүдийн деривативын баганын вектор.

Чөлөөт гишүүдийн баганын вектор.

Коэффицент матриц.

Теорем 1:Хэрэв бүх матрицын коэффициентууд Атодорхой интервал дээр үргэлжилдэг ба , дараа нь м бүрийн зарим хөршид. TS&E-ийн нөхцөл хангагдсан. Иймээс ийм цэг бүрээр нэг интеграл муруй дамждаг.

Үнэн хэрэгтээ, энэ тохиолдолд системийн баруун гар тал нь аргументуудын багцын хувьд тасралтгүй бөгөөд тэдгээрийн хэсэгчилсэн деривативууд нь (А матрицын коэффициентүүдтэй тэнцүү) хаалттай интервал дахь тасралтгүй байдлын улмаас хязгаарлагдмал байдаг.

SLD-ийг шийдвэрлэх аргууд

1. Мэдэгдэхгүйг арилгах замаар дифференциал тэгшитгэлийн системийг нэг тэгшитгэл болгон бууруулж болно.

Жишээ:Тэгшитгэлийн системийг шийд: (1)

Шийдэл:оруулахгүй zЭдгээр тэгшитгэлээс. Эхний тэгшитгэлээс бид . Хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж, хялбаршуулсаны дараа бид дараахь зүйлийг авна. .

Энэ тэгшитгэлийн систем (1) Хоёр дахь эрэмбийн нэг тэгшитгэл болгон бууруулсан. Энэ тэгшитгэлээс олсны дараа y, олдох ёстой z, тэгш байдлыг ашиглан.

2. Үл мэдэгдэхийг арилгах замаар тэгшитгэлийн системийг шийдэхдээ ихэвчлэн илүү өндөр эрэмбийн тэгшитгэлийг олж авдаг тул олон тохиолдолд системийг олох замаар шийдвэрлэх нь илүү тохиромжтой байдаг. нэгдсэн хослолууд.

Үргэлжлэл 27б

Жишээ:Системийг шийднэ үү

Шийдэл:

Энэ системийг Эйлерийн аргаар шийдье. Шинж чанарыг олох тодорхойлогчийг бичье

тэгшитгэл: , (систем нь нэгэн төрлийн учир өчүүхэн бус шийдэлтэй байхын тулд энэ тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой). Бид шинж чанарын тэгшитгэлийг олж, түүний үндсийг олно.

Ерөнхий шийдэл нь: ;

- хувийн вектор.

Бид шийдлийг бичнэ: ;

- хувийн вектор.

Бид шийдлийг бичнэ: ;

Бид ерөнхий шийдлийг олж авдаг: .

Шалгацгаая:

-ийг олъё, мөн үүнийг энэ системийн эхний тэгшитгэлд орлуулна, өөрөөр хэлбэл. .

Бид авах:

- жинхэнэ тэгш байдал.

Шугаман ялгаа. n-р эрэмбийн тэгшитгэл. n-р эрэмбийн нэгэн төрлийн бус шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн тухай теорем.

n-р эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм. (1)

Хэрэв энэ тэгшитгэл нь коэффициенттэй бол түүнийг хувааж үзвэл бид тэгшитгэлд хүрнэ. (2) .

Ихэвчлэн ийм төрлийн тэгшитгэлүүд байдаг (2). Үүнийг ur-i гэж бодъё (2) бүх магадлал, түүнчлэн f(x)тодорхой интервалд тасралтгүй (а, б).Дараа нь TS&E-ийн дагуу тэгшитгэл (2) нь анхны нөхцөлийг хангасан өвөрмөц шийдэлтэй: , , …, for. Энд - интервалаас дурын цэг (а, б),ба бүгд - өгөгдсөн дурын тоо. Тэгшитгэл (2) TC&E-г хангасан , тиймээс байхгүй тусгай шийдлүүд.

Тодорхойлолт: тусгайцэгүүд нь =0 байх цэгүүд юм.

Шугаман тэгшитгэлийн шинж чанарууд:

Шугаман тэгшитгэл нь бие даасан хувьсагч хэрхэн өөрчлөгдсөнөөс үл хамааран шугаман хэвээр байна.
Хүссэн функцийн шугаман өөрчлөлтөд шугаман тэгшитгэл хэвээр үлдэнэ.

Def:Хэрэв тэгшитгэлд байгаа бол (2) тавих f(x)=0, дараа нь бид дараах хэлбэрийн тэгшитгэлийг авна. (3) гэж нэрлэдэг нэгэн төрлийн тэгшитгэлнэгэн төрлийн бус тэгшитгэлтэй харьцуулахад (2).

Шугаман дифференциал операторыг танилцуулъя: (4). Энэ операторыг ашигласнаар та тэгшитгэлийг богино хэлбэрээр дахин бичиж болно (2) Тэгээд (3): L(y)=f(x), L(y)=0.Оператор (4) дараах энгийн шинж чанаруудтай:

Эдгээр хоёр шинж чанараас дүгнэлт гаргаж болно: .

Чиг үүрэг у=у(х)нь нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдэл юм (2), Хэрэв L(y(x))=f(x), Дараа нь f(x)тэгшитгэлийн шийд гэж нэрлэдэг. Тэгэхээр тэгшитгэлийн шийдэл (3) функц гэж нэрлэдэг у(х), Хэрэв L(y(x))=0харгалзан үзсэн интервалууд дээр.

Санаж үз нэг төрлийн бус шугаман тэгшитгэл: , L(y)=f(x).

Бид ямар нэгэн байдлаар тодорхой шийдлийг олсон гэж бодъё, тэгвэл .

Үл мэдэгдэх шинэ функцийг танилцуулъя zтомъёоны дагуу: , тодорхой шийдэл хаана байна.

Үүнийг тэгшитгэлд орлуулъя: , хаалтыг нээж: .

Үр дүнгийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

Анхны тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл учраас , тэгвэл .

Тиймээс бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг олж авлаа z. Энэхүү нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь шугаман хослол юм: , энд функцууд нь нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдүүдийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг. Орлуулах zорлуулах томъёонд бид дараахь зүйлийг авна. (*) функцийн хувьд y– анхны тэгшитгэлийн үл мэдэгдэх функц. Анхны тэгшитгэлийн бүх шийдлүүд (*) хэсэгт агуулагдах болно.

Ийнхүү нэгэн төрлийн бус шугамын ерөнхий шийдэл. тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл ба нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн зарим тодорхой шийдийн нийлбэрээр илэрхийлнэ.

(нөгөө талд үргэлжилсэн)

30. Дифференциалын шийдийн оршихуй ба өвөрмөц байдлын теорем. тэгшитгэл

Теорем:Хэрэв тэгшитгэлийн баруун тал нь тэгш өнцөгт дээр үргэлжилсэн бол мөн хязгаарлагдмал бөгөөд мөн Липшицийн нөхцөлийг хангана: , N=const, тэгвэл эхний нөхцлүүдийг хангасан, сегмент дээр тодорхойлогдсон өвөрмөц шийдэл байна. , Хаана.

Нотолгоо:

Метрийн орон зайг бүрэн хэмжээгээр авч үзье ХАМТ,цэгүүд нь интервал дээр тодорхойлогдсон y(x) бүх боломжит тасралтгүй функцууд юм , графикууд нь тэгш өнцөгт дотор байрлах ба зай нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог. . Энэ орон зайг ихэвчлэн математик шинжилгээнд ашигладаг бөгөөд үүнийг нэрлэдэг жигд нэгдэх орон зай, учир нь энэ орон зайн хэмжигдэхүүн дэх нэгдэл нь жигд байна.

Дифференциалыг сольж үзье. Өгөгдсөн анхны нөхцөл бүхий тэгшитгэлийг эквивалент интеграл тэгшитгэлд: мөн операторыг анхаарч үзээрэй A(y), энэ тэгшитгэлийн баруун талтай тэнцүү: . Энэ оператор нь тасралтгүй функц бүрт оноодог

Липшицийн тэгш бус байдлыг ашиглан бид зай гэж бичиж болно. Дараах тэгш бус байдлыг хангах нэгийг сонгоцгооё.

Ийм байдлаар сонгох хэрэгтэй , тэгвэл . Тиймээс бид үүнийг харуулсан.

Агшилтын зураглалын зарчмын дагуу өгөгдсөн анхны нөхцлүүдийг хангасан дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь нэг цэг буюу ижил функцтэй байдаг.

Шууд интегралаар шийдэгдсэн тэгшитгэлүүд

Дараах дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.
.
Бид n удаа нэгтгэдэг.
;
;
гэх мэт. Та мөн томъёог ашиглаж болно:
.
Шууд шийдэж болох дифференциал тэгшитгэлийг үзнэ үү нэгтгэх > > >

y хамааралтай хувьсагчийг тодорхой агуулаагүй тэгшитгэлүүд

Орлуулалт нь тэгшитгэлийн дарааллыг нэгээр бууруулдаг. -аас авсан функц энд байна.
Функцийг тодорхой агуулаагүй дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг үзнэ үү > > >

Бие даасан x хувьсагчийг тодорхой оруулаагүй тэгшитгэлүүд

.
-ийн функц гэж бид үзэж байна.
.
Дараа нь
Бусад деривативуудын хувьд мөн адил. Үүний үр дүнд тэгшитгэлийн дараалал нэгээр багасна.

Тодорхой хувьсагч агуулаагүй дээд зэрэглэлийн дифференциал тэгшитгэлийг үзнэ үү > > >

y, y′, y′′, ...-ын хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэлүүд
,
Энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид орлуулалтыг хийнэ
.
функц хаана байна.
Дараа нь

Бид дериватив гэх мэтчилэн хувиргадаг. Үүний үр дүнд тэгшитгэлийн дараалал нэгээр багасна.

Функц ба түүний деривативын хувьд нэгэн төрлийн дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг үзнэ үү > > > Дээд зэрэглэлийн шугаман дифференциал тэгшитгэл:
(1) ,
Ингээд авч үзье
(2) ,
n-р эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл
бие даасан хувьсагчийн функцууд хаана байна.Энэ тэгшитгэлийн шугаман бие даасан n шийд байна. Дараа нь (1) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Функц ба түүний деривативын хувьд нэгэн төрлийн дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг үзнэ үү > > > n-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэл:
.
Энэ тэгшитгэлийн тодорхой (ямар ч) шийдэл байг. Дараа нь ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.
,
нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл хаана байна (1).

Тогтмол коэффициенттэй ба тэдгээрт буурдаг шугаман дифференциал тэгшитгэл

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл

Эдгээр нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм.
(3) .
Энд бодит тоонууд байна. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олохын тулд шийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг n шугаман бие даасан шийдлийг олох хэрэгтэй. Дараа нь ерөнхий шийдлийг (2) томъёогоор тодорхойлно.
(2) .

Бид хэлбэрээр шийдлийг хайж байна. Бид авдаг:
(4) .

шинж чанарын тэгшитгэл Хэрэв энэ тэгшитгэл байгаа болянз бүрийн үндэс
.

, дараа нь шийдлийн үндсэн систем нь дараах хэлбэртэй байна. Боломжтой бол
,
цогц үндэс

тэгээд нийлмэл нийлмэл үндэс бас бий.Эдгээр хоёр үндэс нь нийлмэл шийдлүүдийн оронд үндсэн системд оруулах ба шийдлүүдтэй тохирч байна.

Олон үндэсүржвэр нь шугаман бие даасан шийдлүүдэд тохирно: .
.

Олон тооны нарийн төвөгтэй үндэс

үржвэрүүд ба тэдгээрийн нарийн төвөгтэй коньюгат утгууд нь шугаман бие даасан шийдлүүдтэй тохирч байна.
,
Тусгай нэг төрлийн бус хэсэгтэй шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл 1 Маягтын тэгшитгэлийг авч үзье 2 s зэрэгтэй олон гишүүнтүүд хаана байна

болон с ;- байнгын.
,
Эхлээд бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хайж байна (3). Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэл (4)
;
;
үндэс агуулаагүй 1 Маягтын тэгшитгэлийг авч үзье 2 .

, дараа нь бид тодорхой шийдлийг дараах хэлбэрээр хайж байна. Хаана s - s-ийн хамгийн том нь
.

Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэл (4)
.

үндэстэй

олон талт байдал, дараа нь бид тодорхой шийдлийг дараах хэлбэрээр хайж байна.

1) Үүний дараа бид ерөнхий шийдлийг олж авна:.
Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл
.
Энд гурван боломжит шийдэл байна.
,
Бернулли арга - 1 Нэгдүгээрт, бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ямар ч тэгээс өөр шийдийг олно

2) Дараа нь бид орлуулалт хийдэг.
Энд x хувьсагчийн функц байна.
,
Бид зөвхөн x-тэй холбоотой u-ийн деривативуудыг агуулсан u-ийн дифференциал тэгшитгэлийг олж авдаг.

3) Орлуулалтыг хийснээр бид n тэгшитгэлийг олж авна.
--р захиалга.
(2) .
Шугаман орлуулалтын арга
,
Үл мэдэгдэх функцүүд хаана байна. Анхны тэгшитгэлийг орлуулж, зарим хязгаарлалт тогтоосноор бид функцийн төрлийг олох тэгшитгэлийг олж авна.

Эйлерийн тэгшитгэл

Энэ нь орлуулах замаар тогтмол коэффициент бүхий шугаман тэгшитгэл болгон бууруулна.
.
Гэхдээ Эйлерийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд ийм орлуулалт хийх шаардлагагүй. Та нэн даруй хэлбэрээр нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийг хайж болно
.
Үүний үр дүнд бид хувьсагчийн оронд орлуулах шаардлагатай тогтмол коэффициент бүхий тэгшитгэлтэй ижил дүрмийг олж авдаг.

Ашигласан уран зохиол:
V.V. Степанов, Дифференциал тэгшитгэлийн курс, "LKI", 2015 он.
Н.М. Гунтер, Р.О. Кузьмин, Дээд математикийн асуудлын цуглуулга, "Лан", 2003 он.

Дифференциал тэгшитгэлn--р захиалга.

Хэрэв тэгшитгэл нь хамгийн өндөр деривативын хувьд шийдэгдэх боломжтой бол энэ нь (1) хэлбэртэй байна. n-р эрэмбийн тэгшитгэлийг n-р эрэмбийн тэгшитгэлийн систем болгон төлөөлж болно.

(3)

n-р эрэмбийн тэгшитгэлийн хувьд (1)~(2)~(3)-аас хойш системийн оршихуй ба цорын ганц байдлын теоремын нөхцөл хангагдсан байна.

Захиалга багасгах хамгийн энгийн тохиолдлууд.

Тэгшитгэлд шаардлагатай функц болон дараалал хүртэлх дериватив агуулаагүй болно к -1 багтсан , тэр нь

Энэ тохиолдолд захиалгыг багасгаж болно
солих. Хэрэв бид энэ тэгшитгэлийг илэрхийлбэл y шийдлийг k-нугалах интегралчлах функцээр тодорхойлж болно х.

Жишээ.
.

Үл мэдэгдэх хувьсагч агуулаагүй тэгшитгэл

(5)

Энэ тохиолдолд орлуулах замаар дарааллыг нэгээр бууруулж болно.

Жишээ.
.

Тэгшитгэлийн зүүн тал

(6)

нь зарим дифференциал илэрхийллийн дериватив ( n -1)-р захиалга .
. Хэрэв
- Тиймээс сүүлийн тэгшитгэлийн шийдэл байна. Бид (6) тэгшитгэлийн эхний интегралыг олж, шийдэж буй тэгшитгэлийн зэрэглэлийг нэгээр бууруулсан.

Сэтгэгдэл.Заримдаа (6)-ын зүүн тал нь (n-1)-р дарааллын дифференциал тэгшитгэлийн дериватив болдог.
Тиймээс энд шаардлагагүй шийдлүүд гарч ирж магадгүй юм (урвуу тэг хүртэл) эсвэл хэрэв бид шийдлээ алдаж магадгүй тасалдсан функц.

Жишээ.

Тэгшитгэл

(7)

харьцангуй нэгэн төрлийн ба түүний деривативууд .

Эсвэл индикатор хаана байна
нэгэн төрлийн байх нөхцлөөр тодорхойлогддог.

Энэ тэгшитгэлийн дарааллыг дараах байдлаар сольж нэгээр бууруулж болно.

Хэрэв бид эдгээр хамаарлыг (7) -д орлуулж, функцийн нэгэн төрлийн байдлыг харгалзан үзвэл Ф , тэгвэл эцэст нь бид: .

Жишээ.
.

Хоёрдахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл,

дарааллыг багасгах боломжийг олгодог.

Орлуулах
.

Хэрэв тэгшитгэл (8)-ийг хамгийн өндөр деривативтай холбож шийдэж чадвал тэгшитгэлийг авна.
хувьсагч дээр хоёр дахин интегралдсан байна x.

Та параметрийг оруулж, тэгшитгэлийг (8) параметрийн дүрслэлээр сольж болно.
. Дифференциалын хувьд хамаарлыг ашиглах:
, бид авна: ба

II .
(9)

Параметрийн дүрслэлийг ашиглацгаая:

III.
. (10)

Та солих замаар захиалгыг бууруулж болно:
.

Хэрэв тэгшитгэл (10) нь хамгийн өндөр деривативын хувьд шийдэгдэх боломжтой бол
, дараа нь баруун болон зүүн талыг үржүүлнэ
. Бид дараахыг олж авна: Энэ нь салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл юм:
.

(10) тэгшитгэлийг түүний параметрт дүрслэлээр сольж болно: . Дифференциалын шинж чанарыг ашиглая:.

Жишээ.
.

Шугаман дифференциал тэгшитгэлn--р захиалга.

Тодорхойлолт. Шугаман дифференциал тэгшитгэл n --р захиалга хэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг:
. (1)

Боломжгүй бол төлөө тасралтгүй
, дараа нь хэлбэрийн анхны утгуудын ойролцоо:, хаана интервалд хамаарах бол эдгээр анхны утгуудын ойролцоо нөхцөл хангагдсан байна оршихуй ба өвөрмөц байдлын теоремууд. (1) тэгшитгэлийн шугаман ба нэгэн төрлийн байдал ямар ч хувиргалтанд хадгалагдана
, Хаана нь дурын ntimes дифференциалагдах функц юм. Түүнээс гадна
. Үл мэдэгдэх функцийг шугаман болон нэгэн төрлийн байдлаар хувиргах үед шугаман ба нэгэн төрлийн байдал хадгалагдана.

Шугаман дифференциал операторыг танилцуулъя: , тэгвэл (1)-ийг дараах байдлаар бичиж болно.
. Вронски тодорхойлогч
харагдах болно:

, Хаана - (1) тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүд.

Теорем 1. Хэрэв шугаман бие даасан функцүүд
нь тасралтгүй шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн (1) шийдэл юм
коэффициентүүд
, дараа нь Вронски тодорхойлогч
сегментийн аль ч цэг дээр алга болдоггүй
.

Теорем 2. Үргэлжилсэн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн (1) ерөнхий шийдэл
коэффициентүүд
шийдлүүдийн шугаман хослол байх болно , тэр нь
(2), хаана
сегмент дээр шугаман хамааралгүй
хувийн шийдлүүд (1).

(шугаман дифференциал тэгшитгэлийн системтэй адил батлагдсан)

Үр дагавар.(1)-ийн шугаман бие даасан шийдүүдийн хамгийн их тоо нь түүний дараалалтай тэнцүү байна.

(1) тэгшитгэлийн нэг чухал бус шийдлийг мэдэх -
, та орлуулалт хийж болно
тэгшитгэлийн дарааллыг буулгаж, шугаман ба нэг төрлийн бус байдлыг хадгална. Ихэвчлэн энэ орлуулалт нь хоёр хуваагддаг. Энэ нь шугаман нэгэн төрлийн дүрслэл тул (1)-ийн шугаман болон нэгэн төрлийн байдлыг хадгалдаг бөгөөд энэ нь (1)-ийг хэлбэрт оруулах ёстой гэсэн үг юм. Шийдвэр
хүчин төгөлдөр байна
шийдэлтэй тохирч байна
, тиймээс
. Сэлгээ хийсэн
, бид дараалалтай тэгшитгэлийг олж авна
.

Лемма. (3)

(3) ба (4) хэлбэрийн хоёр тэгшитгэл нь Q i ба P i нь шийдлүүдийн нийтлэг суурь системтэй тасралтгүй функцууд бөгөөд давхцаж байна, өөрөөр хэлбэл. Q i (x)= P i (x), i=1,2,…n,  x

Лемм дээр үндэслэн y 1 y 2 …y n шийдлийн үндсэн систем нь шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг (3) бүрэн тодорхойлдог гэж дүгнэж болно.

y 1 y 2 …y n шийдлийн үндсэн системтэй (3) тэгшитгэлийн хэлбэрийг олъё. Аливаа шийдэл y(x) (3) тэгшитгэл нь шийдлийн үндсэн системээс шугаман хамааралтай ба W=0 гэсэн үг. Сүүлийн баганад Wronski тодорхойлогч W-ийг өргөжүүлье.

Тэгшитгэл (5) нь үндсэн шийдлүүдийн өгөгдсөн системтэй, хүссэн шугаман дифференциал тэгшитгэл юм. Бид (5)-ыг W-д хувааж болно, учир нь тэгтэй тэнцүү биш  x.

(*)

Дараа нь:

Тодорхойлогчийн ялгах дүрмийн дагуу тодорхойлогчийн дериватив нь i=1,2...n тодорхойлогчийн нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд тус бүрийн i-р эгнээ нь i-ийн деривативтай тэнцүү байна. анхны тодорхойлогчийн th эгнээ. Энэ нийлбэрт сүүлчийнхээс бусад бүх тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү байна (учир нь тэдгээр нь хоёр ижил шугамтай), сүүлчийнх нь (*) тэнцүү байна. Тиймээс бид дараахь зүйлийг авна.
(6)

(7)

Тодорхойлолт. , Дараа нь: Формула (6) ба (7) гэж нэрлэдэг

Остроградский-Лиувиллийн томъёо.

Хоёрдахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг нэгтгэхийн тулд бид (7)-г ашигладаг. (8) тэгшитгэлийн y 1 шийдлүүдийн аль нэгийг бидэнд мэдэгдье.

(9)

(7)-д зааснаар аливаа шийдэл (8) нь дараах хамаарлыг хангасан байх ёстой.

Интегралчлах хүчин зүйлийн аргыг ашиглая.

Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлүүд

тогтмол коэффициентүүд.

Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлд бүх коэффициент тогтмол байвал

a 0 y (n) +a 1 y (n-1) +….+a n y=0, (1)

дараа нь тодорхой шийдлүүдийг (1) дараах хэлбэрээр тодорхойлж болно: y=e kx, энд k нь тогтмол байна.

Тодорхойлолт. (3) - a 0 k n e kx +a 1 k n-1 e kx +….+a n k 0 e kx =0  a 0 k n +a 1 k n-1 +….+a n =0 (3)

шинж чанарын тэгшитгэл.

1Уусмалын төрлийг (1) шинж чанарын тэгшитгэлийн (3) язгуураар тодорхойлно. ). Бүх үндэс нь бодит бөгөөд тодорхой юм

, Дараа нь: .

2). Хэрэв бүх коэффициентүүд бодит бол үндэс нь нарийн төвөгтэй коньюгат байж болно

k 1 =+i k 2 =-i

Дараа нь шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Жишээ.

Теоремын дагуу: хэрэв бодит коэффициент бүхий оператор нь нийлмэл коньюгат шийдлүүдтэй бол тэдгээрийн бодит ба төсөөлөл хэсгүүд нь мөн шийдэл болно. Дараа нь:
Шийдлийг хэлбэрээр танилцуулъя

, тэгвэл шинж чанарын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

, бид хоёр шийдлийг олж авдаг:

Дараа нь шаардлагатай функц нь: к 3). Олон үндэс байдаг: би  3). Олон үндэс байдаг: . олон талтай
Энэ тохиолдолд янз бүрийн шийдлүүдийн тоо

Нотолгоо:

бага байх тул алга болсон шугаман бие даасан шийдлүүдийг өөр хэлбэрээр хайх хэрэгтэй. Жишээ нь:

k i =0 гэж бодъё, хэрэв бид үүнийг (3) -д орлуулах юм бол бид дараахыг авна.

- тодорхой шийдэл (3).
(6)

k i 0 гэж орлуулъя

Үндэс (3) нь онцлог тэгшитгэлийн язгуураас (7) k i нэр томъёогоор ялгаатай.

(8)

Хэрэв k=k i бол энэ k нь p=0 үндэстэй (7) тэгшитгэлийн шийдэлд тохирно, өөрөөр хэлбэл. z= хэлбэрийн шийдлүүдэд тохирно
, тэгвэл y= нь (1) тэгшитгэлийн шийдэл болно. Мөн ерөнхий шийдэл нь дараах байдалтай байна.

k i-ийн шийдэл



Эйлерийн тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Маягтын тэгшитгэл:

a i тогтмол коэффициентүүд, гэж нэрлэдэг Эйлерийн тэгшитгэл.

x=e t-г орлуулснаар Эйлерийн тэгшитгэлийг тогтмол коэффициенттэй шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл болгон бууруулна.

Та шийдлүүдийг y=x k хэлбэрээр хайж болно, тэгвэл тэдгээр нь дараах хэлбэртэй байна.

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл.

Хэрэв 0 (x)0 байвал (1) тэгшитгэлийг энэ коэффициентээр хуваавал бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хэрэв i ба f нь b дээр тасралтгүй байвал (2) нь харгалзах анхны нөхцлийг хангасан өвөрмөц шийдэлтэй байна. Хэрэв бид (2)-ын хамгийн өндөр деривативуудыг тодорхой илэрхийлбэл баруун тал нь оршихуй ба өвөрмөц байдлын теоремыг хангасан тэгшитгэлийг олж авна. L оператор нь шугаман учир (2)-ын хувьд дараахь зүйлийг хангана гэсэн үг.

1).
- шийдэл (2), хэрэв - нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдэл (2), ба - харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл.

2). Хэрэв - шийдэл
, Тэр
тэгшитгэлийн шийдэл
.

2-р шинж чанар нь суперпозиция зарчим бөгөөд энэ нь хэзээ хүчинтэй байна
, хэрэв цуврал
- нэгдэж, хүлээн зөвшөөрдөг м-олон нэр томъёогоор ялгах.

3) Операторын тэгшитгэлийг өгье
, энд L нь коэффициент бүхий оператор юм , Бүгд - бодит. U болон V функцууд нь бас бодит юм. Дараа нь, хэрэв энэ тэгшитгэл нь шийдэлтэй бол
, тэгвэл ижил тэгшитгэлийн шийдэл нь төсөөлөл ба бодит хэсгүүд байх болно.
Тэгээд
. Түүнээс гадна тэдгээр нь тус бүр нь шийдэлд нийцдэг.

Теорем. Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлn- тухай
сегмент дээр [а, б] бол бүх коэффициент
ба баруун тал
- тасралтгүй функцуудыг нэгэн төрлийн системд харгалзах ерөнхий шийдлийн нийлбэрээр илэрхийлж болно
ба нэг төрлийн бус байдлын тодорхой шийдэл -
.

Тэдгээр. шийдэл
.

Хэрэв нэг төрлийн бус системийн тодорхой шийдлүүдийг сонгох боломжгүй бол та энэ аргыг ашиглаж болно. тогтмол хэлбэлзэл . Бид дараах хэлбэрээр шийдлийг хайх болно.

(3)

Хаана
нэгэн төрлийн системийн шийдэл,
- үл мэдэгдэх функцууд.

Нийт үл мэдэгдэх функцууд
- n.

Тэд анхны тэгшитгэлийг (2) хангах ёстой.
y(x) илэрхийллийг (2) тэгшитгэлд орлуулснаар бид зөвхөн нэг үл мэдэгдэх функцийг тодорхойлох нөхцөлийг олж авна. Үлдсэн (n-1)-худаг функцийг тодорхойлохын тулд өөр (n-1)-гэхдээ нэмэлт нөхцөл шаардлагатай. (2) - y(x) шийдэл нь ижил хэлбэртэй байхаар тэдгээрийг сонгоцгооё

тогтмол байсан.
учир нь
тэгвэл тогтмол шиг аашилна
.

Тэр. бид (1) тэгшитгэлээс гадна (n-1)-гэхдээ нөхцөлийг авна. Хэрэв бид деривативын илэрхийлэлийг тэгшитгэл (1)-д орлуулж, олж авсан бүх нөхцөл, y i нь харгалзах нэгэн төрлийн системийн шийдэл гэдгийг харгалзан үзвэл дараах нөхцөлийг олж авна.
.