Матрицын арга SLAU шийдэлтэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тохирч байгаа тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд хэрэглэнэ. Энэ аргыг бага эрэмбийн системийг шийдвэрлэхэд хамгийн сайн ашигладаг. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын арга нь матрицын үржүүлэх шинж чанарыг ашиглахад суурилдаг.
Энэ арга нь өөрөөр хэлбэл урвуу матрицын арга,Шийдэл нь энгийн матрицын тэгшитгэл болж буурдаг тул үүнийг шийдвэрлэхийн тулд урвуу матрицыг олох хэрэгтэй.
Матрицын шийдлийн аргаТэгээс их эсвэл бага тодорхойлогчтой SLAE нь дараах байдалтай байна.
-тэй SLE (шугаман тэгшитгэлийн систем) байна гэж бодъё nүл мэдэгдэх (дурын талбар дээр):
Энэ нь матриц хэлбэрт амархан хувиргаж болно гэсэн үг юм:
AX=B, Хаана А- системийн үндсэн матриц; БТэгээд X- системийн үнэ төлбөргүй нөхцөл, шийдлүүдийн багана, тус тус:
Энэ матрицын тэгшитгэлийг зүүн талаас нь үржүүлье A−1- урвуу матрицаас матриц A: A −1 (AX)=A −1 B.
Учир нь A −1 A=E, гэсэн үг, X=A −1 B. Тэгшитгэлийн баруун тал нь анхны системийн шийдлийн баганыг өгнө. Матрицын аргыг хэрэглэх нөхцөл нь матрицын доройтолгүй байх явдал юм А. Үүний зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл бол матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш байх явдал юм А:
detA≠0.
Учир нь шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем, өөрөөр хэлбэл Хэрэв вектор B=0, эсрэг дүрэм баримталдаг: систем AX=0үед л өчүүхэн бус (өөрөөр хэлбэл тэгтэй тэнцүү биш) шийдэл байдаг detA=0. Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус системийн шийдлүүдийн хоорондох ийм холболтыг нэрлэдэг Фредхолмын хувилбар.
Тиймээс матрицын аргыг ашиглан SLAE-ийн шийдлийг томъёоны дагуу гүйцэтгэнэ 
. Эсвэл SLAE-ийн шийдлийг ашиглан олж болно урвуу матриц A−1.
Квадрат матрицын хувьд энэ нь мэдэгдэж байна Азахиалга nдээр nурвуу матриц байдаг A−1зөвхөн тодорхойлогч нь тэгээс өөр байвал. Тиймээс систем nшугаман алгебрийн тэгшитгэлүүд nСистемийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь 0-тэй тэнцүү биш тохиолдолд л бид үл мэдэгдэх зүйлсийг матрицын аргаар шийддэг.
Ийм аргыг хэрэглэхэд хязгаарлалт, коэффициентийн том утга, өндөр эрэмбийн системийг тооцоолоход бэрхшээлтэй байдаг ч энэ аргыг компьютер дээр хялбархан хэрэгжүүлэх боломжтой.
Нэг төрлийн бус SLAE-ийг шийдэх жишээ.
Эхлээд үл мэдэгдэх SLAE-ийн коэффициент матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш эсэхийг шалгая.
Одоо бид олдог нэгдлийн матриц, түүнийг шилжүүлж, урвуу матрицыг тодорхойлохын тулд томьёонд орлуулна.
Хувьсагчдыг томъёонд орлуулна уу:
Одоо бид урвуу матриц болон чөлөөт нэр томъёоны баганыг үржүүлэх замаар үл мэдэгдэхийг олно.
Тэгэхээр, x=2; y=1; z=4.
SLAE-ийн ердийн хэлбэрээс матриц хэлбэр рүү шилжихдээ системийн тэгшитгэл дэх үл мэдэгдэх хувьсагчдын дарааллыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Жишээ нь:
Үүнийг дараах байдлаар бичиж БОЛОХГҮЙ.
Эхлээд системийн тэгшитгэл бүрт үл мэдэгдэх хувьсагчдыг эрэмбэлэх шаардлагатай бөгөөд үүний дараа л матрицын тэмдэглэгээг үргэлжлүүлнэ.
Нэмж дурдахад үл мэдэгдэх хувьсагчийн тэмдэглэгээнд болгоомжтой хандах хэрэгтэй x 1, x 2 , …, x nөөр үсэг байж болно. Жишээ нь:
матриц хэлбэрээр бид үүнийг дараах байдлаар бичнэ.
Матрицын арга нь тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой давхцаж, системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд илүү дээр юм. Хэрэв системд 3-аас дээш тэгшитгэл байгаа бол урвуу матрицыг олоход илүү их хүчин чармайлт шаардагдах тул энэ тохиолдолд Гауссын аргыг шийдвэрлэх нь зүйтэй.
Энэхүү онлайн тооцоолуур нь матрицын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийддэг. Маш нарийн шийдлийг өгсөн. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд хувьсагчийн тоог сонгоно. Урвуу матрицыг тооцоолох аргыг сонгоно уу. Дараа нь нүднүүдэд өгөгдлийг оруулаад "Тооцоолох" товчийг дарна уу.
×
Анхааруулга
Бүх нүдийг арилгах уу?
Цэвэр хаах
Өгөгдөл оруулах заавар.Тоонуудыг бүхэл тоо (жишээ нь: 487, 5, -7623 гэх мэт), аравтын бутархай (жишээ нь. 67., 102.54 гэх мэт) эсвэл бутархай хэлбэрээр оруулна. Бутархайг a/b хэлбэрээр оруулах ёстой бөгөөд a ба b нь бүхэл тоо эсвэл аравтын бутархай болно. Жишээ 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 гэх мэт.
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын арга
Дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье.
Урвуу матрицын тодорхойлолтыг өгвөл бидэнд байна А −1 А=Э, Хаана Э- таних матриц. Тиймээс (4)-ийг дараах байдлаар бичиж болно.
Тиймээс шугаман тэгшитгэлийн системийг (1) (эсвэл (2)) шийдэхийн тулд урвуу тоог үржүүлэхэд хангалттай. Ахязгаарлалтын векторын матриц б.
Матрицын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх жишээ
Жишээ 1. Дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг матрицын аргаар шийд.
Жордан-Гаусын аргыг ашиглан А матрицын урвууг олъё. Матрицын баруун талд АИдентификатын матрицыг бичье:
Үндсэн диагональ доор байрлах матрицын 1-р баганын элементүүдийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд 2,3 мөрийг 1-р мөрөнд -1/3, -1/3-аар үржүүлж нэмнэ.
Үндсэн диагональ доор байрлах матрицын 2-р баганын элементүүдийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд 3-р мөрийг -24/51-ээр үржүүлсэн 2-р мөрийг нэмнэ.
Үндсэн диагональ дээрх матрицын 2-р баганын элементүүдийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд 1-р мөрийг 2-р мөрийг -3/17-оор үржүүлнэ.
Матрицын баруун талыг тусгаарла. Үүссэн матриц нь урвуу матриц юм А :
Шугаман тэгшитгэлийн системийг бичих матриц хэлбэр: Сүх=б, Хаана
Матрицын бүх алгебрийн нэмэлтүүдийг тооцоолъё А:
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 .
|
Урвуу матрицыг дараах илэрхийллээр тооцоолно.
n үл мэдэгдэх m шугаман тэгшитгэлийн системхэлбэрийн систем гэж нэрлэдэг
Хаана a ijТэгээд б би (би=1,…,м; б=1,…,n) зарим мэдэгдэж байгаа тоонууд ба x 1 ,…,x n- үл мэдэгдэх. Коэффициентийг тодорхойлохдоо a ijэхний индекс битэгшитгэлийн дугаарыг илэрхийлж, хоёр дахь нь j– энэ коэффициент байгаа үл мэдэгдэх тоо.
Бид үл мэдэгдэхийн коэффициентийг матриц хэлбэрээр бичнэ 
, бид үүнийг дуудах болно системийн матриц.
Тэгшитгэлийн баруун талд байгаа тоонууд нь байна b 1 ,…,b мгэж нэрлэдэг чөлөөт гишүүд.
Нийтлэг байдал nтоо c 1 ,…,c nдуудсан шийдвэрХэрэв системийн тэгшитгэл бүр тоонуудыг орлуулсны дараа тэгшитгэл болж байвал тухайн системийн c 1 ,…,c nхаргалзах үл мэдэгдэхийн оронд x 1 ,…,x n.
Бидний даалгавар бол системийн шийдлийг олох явдал юм. Энэ тохиолдолд гурван нөхцөл байдал үүсч болно:
Дор хаяж нэг шийдэлтэй шугаман тэгшитгэлийн системийг гэнэ хамтарсан. Үгүй бол, өөрөөр хэлбэл. Хэрэв системд шийдэл байхгүй бол үүнийг дуудна хамтарсан бус.
Системийн шийдлийг олох арга замыг авч үзье.
Шугаман тэгшитгэлийн СИСТЕМИЙГ ШИЙДЭХ МАтрицын АРГА
Матрицууд нь шугаман тэгшитгэлийн системийг товч бичих боломжийг олгодог. Гурван үл мэдэгдэх 3 тэгшитгэлийн системийг өгье.
Системийн матрицыг авч үзье 
үл мэдэгдэх ба чөлөөт нөхцлийн матрицын багана 
Ажлаа олъё
тэдгээр. Бүтээгдэхүүний үр дүнд бид энэ системийн тэгшитгэлийн зүүн талыг олж авдаг. Дараа нь матрицын тэгш байдлын тодорхойлолтыг ашиглан энэ системийг хэлбэрээр бичиж болно
эсвэл богино А∙X=B.
Энд матрицууд байна АТэгээд Бмэдэгдэж байгаа ба матриц Xүл мэдэгдэх. Үүнийг олох хэрэгтэй, учир нь ... түүний элементүүд нь энэ системийн шийдэл юм. Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг матрицын тэгшитгэл.
Матрицын тодорхойлогч тэгээс ялгаатай байг | А| ≠ 0. Тэгвэл матрицын тэгшитгэлийг дараах байдлаар шийднэ. Зүүн талд байгаа тэгшитгэлийн хоёр талыг матрицаар үржүүл А-1, матрицын урвуу А: . Учир нь A -1 A = EТэгээд Э∙X = X, дараа нь бид матрицын тэгшитгэлийн шийдийг хэлбэрээр олж авна X = A -1 B .
Урвуу матрицыг зөвхөн квадрат матрицад л олох боломжтой тул матрицын арга нь зөвхөн ийм системийг шийдэж чадна гэдгийг анхаарна уу. тэгшитгэлийн тоо үл мэдэгдэх тоотой давхцаж байна. Гэсэн хэдий ч тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү биш тохиолдолд матрицын системийг бүртгэх боломжтой. Адөрвөлжин биш тул системийн шийдлийг хэлбэрээр олох боломжгүй юм X = A -1 B.
Жишээ.Тэгшитгэлийн системийг шийдэх.
КРАМЕРИЙН ДҮРЭМ
Гурван үл мэдэгдэх 3 шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье.
Системийн матрицад тохирох гуравдахь эрэмбийн тодорхойлогч, i.e. үл мэдэгдэх коэффициентүүдээс бүрдэх,
дуудсан системийн тодорхойлогч.
Дараах байдлаар өөр гурван тодорхойлогчийг зохиоё: D тодорхойлогчийн 1, 2, 3 баганыг чөлөөт нөхцлийн баганаар солино.
Дараа нь бид дараах үр дүнг баталж чадна.
Теорем (Крамерын дүрэм).Хэрэв системийн тодорхойлогч Δ ≠ 0 бол авч үзэж буй систем нь нэг бөгөөд цорын ганц шийдэлтэй байна.
Баталгаа. Ингээд гурван үл мэдэгдэх 3 тэгшитгэлийн системийг авч үзье. Системийн 1-р тэгшитгэлийг алгебрийн нэмэлтээр үржүүлье А 11элемент а 11, 2-р тэгшитгэл – асаалттай А 21ба 3-т - дээр А 31:
Эдгээр тэгшитгэлийг нэмье:
Энэ тэгшитгэлийн хаалт болон баруун талд тус бүрийг харцгаая. 1-р баганын элементүүд дэх тодорхойлогчийн тэлэлтийн тухай теоремоор
Үүнтэй адилаар, мөн гэдгийг харуулж болно.
Эцэст нь хэлэхэд үүнийг анзаарахад хялбар байдаг 
Тиймээс бид тэгш байдлыг олж авна: .
Тиймээс, .
Тэнцүү байдал нь ижил төстэй үүсэлтэй бөгөөд үүнээс теоремын мэдэгдэл гарна.
Тиймээс, хэрэв системийн тодорхойлогч нь Δ ≠ 0 бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй ба эсрэгээр гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Хэрэв системийн тодорхойлогч нь 0-тэй тэнцүү бол систем нь төгсгөлгүй тооны шийдэлтэй эсвэл шийдэлгүй, өөрөөр хэлбэл. нийцэхгүй.
Жишээ.Тэгшитгэлийн системийг шийдэх
ГАЗСЫН АРГА
Өмнө нь авч үзсэн аргуудыг зөвхөн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой давхцаж байгаа системийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болох бөгөөд системийн тодорхойлогч нь тэгээс өөр байх ёстой. Гауссын арга нь илүү түгээмэл бөгөөд ямар ч тооны тэгшитгэлтэй системд тохиромжтой. Энэ нь системийн тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгахаас бүрдэнэ.
Гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийг дахин авч үзье.
.
Бид эхний тэгшитгэлийг хэвээр үлдээж, 2, 3-аас эхлэн дараахь зүйлийг агуулсан нөхцөлийг хасах болно. x 1. Үүнийг хийхийн тулд хоёр дахь тэгшитгэлийг хуваана А 21 ба үржүүлэх - А 11, дараа нь 1-р тэгшитгэлд нэмнэ. Үүний нэгэн адил бид гурав дахь тэгшитгэлийг хуваана А 31 ба үржүүлэх - А 11, дараа нь эхнийхтэй нь нэмнэ үү. Үүний үр дүнд анхны систем нь дараах хэлбэртэй болно.
Одоо сүүлчийн тэгшитгэлээс бид агуулсан нэр томъёог хасч байна x 2. Үүнийг хийхийн тулд гурав дахь тэгшитгэлийг хувааж, үржүүлж, хоёр дахь нь нэмнэ. Дараа нь бид тэгшитгэлийн системтэй болно:
Эндээс, сүүлчийн тэгшитгэлээс олоход хялбар байдаг x 3, дараа нь 2-р тэгшитгэлээс x 2эцэст нь 1-ээс - x 1.
Гауссын аргыг ашиглах үед шаардлагатай бол тэгшитгэлүүдийг сольж болно.
Ихэнхдээ шинэ тэгшитгэлийн системийг бичихийн оронд системийн өргөтгөсөн матрицыг бичихээр хязгаарладаг.
дараа нь энгийн хувиргалтыг ашиглан гурвалжин эсвэл диагональ хэлбэрт оруулна.
TO анхан шатны өөрчлөлтүүдматрицууд нь дараах хувиргалтыг агуулдаг.
- мөр, баганыг дахин зохион байгуулах;
- мөрийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх;
- нэг мөрөнд бусад мөрүүдийг нэмэх.
Жишээ нь:Гауссын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд.
Тиймээс систем нь хязгааргүй олон тооны шийдлүүдтэй байдаг.
Сэдэв 2. ШУГААН АЛГЕБРИЙН ТЭГШИГЧИЛГИЙН СИСТЕМҮҮД.
Үндсэн ойлголтууд.
Тодорхойлолт 1. Систем мшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх нь дараах хэлбэрийн систем юм.
хаана ба тоонууд.
Тодорхойлолт 2. Системийн (I) шийдэл нь энэ системийн тэгшитгэл бүр ижил шинж чанартай болдог үл мэдэгдэх олонлогийн багц юм.
Тодорхойлолт 3. Системийг (I) гэж нэрлэдэг хамтарсан, хэрэв энэ нь ядаж нэг шийдэлтэй бол ба хамтарсан бус, хэрэв шийдэл байхгүй бол. Хамтарсан системийг гэж нэрлэдэг тодорхой, хэрэв энэ нь өвөрмөц шийдэлтэй бол, мөн тодорхойгүйөөрөөр.
Тодорхойлолт 4. Маягтын тэгшитгэл
дуудсан тэг, тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна
дуудсан нийцэхгүй. Тохиромжгүй тэгшитгэл агуулсан тэгшитгэлийн систем нь нийцэхгүй нь ойлгомжтой.
Тодорхойлолт 5. Шугаман тэгшитгэлийн хоёр системийг нэрлэдэг тэнцүү, хэрэв нэг системийн шийдэл бүр нөгөө системийн шийдэл болж, эсрэгээр хоёр дахь системийн шийдэл бүр эхнийх нь шийдэл болно.
Шугаман тэгшитгэлийн системийн матриц дүрслэл.
(I) системийг авч үзье (§1-ийг үзнэ үү).
гэж тэмдэглэе:
Үл мэдэгдэх коэффициентийн матриц
Матриц - чөлөөт нэр томъёоны багана
Матриц - үл мэдэгдэх багана
.
Тодорхойлолт 1.Матриц гэж нэрлэдэг системийн үндсэн матриц(I), матриц нь системийн (I) өргөтгөсөн матриц юм.
Матрицын тэгш байдлын тодорхойлолтоор (I) систем нь матрицын тэгш байдалтай тохирч байна.
.
Матрицын үржвэрийн тодорхойлолтоор энэ тэгш байдлын баруун тал ( тодорхойлолт 3 § 5-ын 1-р бүлгийг үзнэ үү) хүчин зүйлчилж болно:
, өөрөөр хэлбэл
Тэгш байдал (2) дуудсан системийн матриц тэмдэглэгээ (I).
Крамерын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.
Системд оруулах (I) (§1-ийг үзнэ үү) m=n, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү бөгөөд системийн үндсэн матриц нь ганц биш, i.e. . Дараа нь §1-ээс (I) систем өвөрмөц шийдэлтэй байна
хаана Δ = дет Агол гэж нэрлэдэг системийн тодорхойлогч(Би), Δ биΔ тодорхойлогчоос солих замаар олж авна би th баганаас системийн чөлөөт гишүүдийн багана (I).
Жишээ: Крамерын аргыг ашиглан системийг шийд.
.
Томъёогоор (3)
.
Бид системийн тодорхойлогчдыг тооцоолно.
,
,
.
Тодорхойлогчийг олж авахын тулд бид тодорхойлогчийн эхний баганыг чөлөөт нэр томъёоны баганаар сольсон; Тодорхойлогчийн 2-р баганыг чөлөөт нэр томъёоны баганаар орлуулж, бид авна; үүнтэй төстэй байдлаар тодорхойлогчийн 3-р баганыг чөлөөт нэр томъёоны баганаар сольсноор бид . Системийн шийдэл:
Урвуу матриц ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.
Системд оруулах (I) (§1-ийг үзнэ үү) m=nба системийн үндсэн матриц нь ганц биш байна. (I) системийг матриц хэлбэрээр бичье. §2-г үзнэ үү):
учир нь матриц Аганц биш бол урвуу матрицтай ( 1-р бүлгийн теорем 1 §6-г үзнэ үү). Тэгш байдлын хоёр талыг үржүүлье (2) матриц руу, дараа нь
Урвуу матрицын тодорхойлолтоор. Тэгш эрхээс (3) бидэнд байгаа
Системийг урвуу матриц ашиглан шийд
.
гэж тэмдэглэе
Жишээ нь (§ 3) бид тодорхойлогч, тиймээс матрицыг тооцоолсон Аурвуу матрицтай. Дараа нь хүчин төгөлдөр болно (4) , өөрөөр хэлбэл
. (5)
матрицыг олцгооё ( §6 1-р бүлгийг үзнэ үү)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
Гауссын арга.
Шугаман тэгшитгэлийн системийг өгье.
. (би)
Системийн (I) бүх шийдлийг олох эсвэл систем нь нийцэхгүй байгаа эсэхийг шалгах шаардлагатай.
Тодорхойлолт 1.Системийн анхан шатны өөрчлөлтийг нэрлэе(I) гурван үйлдлийн аль нэг нь:
1) тэг тэгшитгэлийг таслах;
2) l тоогоор үржүүлсэн өөр тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдийг тэгшитгэлийн хоёр талд нэмэх;
3) системийн тэгшитгэл дэх нэр томьёог сольж, бүх тэгшитгэлд ижил тоотой үл мэдэгдэх нь ижил байр эзэлнэ, өөрөөр хэлбэл. хэрэв жишээлбэл, 1-р тэгшитгэлд бид 2, 3-р гишүүнийг өөрчилсөн бол системийн бүх тэгшитгэлд ижил зүйлийг хийх ёстой.
Гауссын арга нь (I) системийг энгийн хувиргалтын тусламжтайгаар эквивалент систем болгон бууруулж, шийдэл нь шууд олдох эсвэл шийдэгдэхгүй байх явдал юм.
§2-д тайлбарласны дагуу (I) систем нь өргөтгөсөн матрицаар тодорхойлогддог бөгөөд (I) системийн аливаа энгийн хувиргалт нь өргөтгөсөн матрицын элементар хувиргалттай тохирч байна.
.
1) хувиргалт нь матрицын тэг мөрийг устгахтай тохирч, хувиргалт 2) матрицын харгалзах мөрөнд өөр мөр нэмж, l тоогоор үржүүлсэнтэй, хувиргалт 3) матриц дахь баганыг дахин цэгцлэхтэй тэнцүү байна.
Эсрэгээр нь матрицын элементар хувиргалт бүр нь системийн (I) элементийн хувиргалттай тохирч байгааг харахад хялбар байдаг. Дээрхээс шалтгаалан (I) системтэй ажиллахын оронд бид энэ системийн өргөтгөсөн матрицтай ажиллах болно.
Матрицын 1-р багана нь коэффициентүүдээс бүрдэнэ x 1, 2-р багана - коэффициентуудаас x 2гэх мэт. Хэрэв баганыг дахин байрлуулсан бол энэ нөхцөл зөрчигдөж байгааг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Жишээлбэл, хэрэв бид 1 ба 2-р баганыг солих юм бол одоо 1-р баганад коэффициентүүдийг агуулна. x 2, мөн 2-р баганад - коэффициентүүд x 1.
Бид системийг (I) Гауссын аргыг ашиглан шийдэх болно.
1. Хэрэв байгаа бол матрицын бүх тэг мөрийг таслана (өөрөөр хэлбэл (I) систем дэх бүх тэг тэгшитгэлийг таслана).
2. Матрицын мөрүүдийн дунд сүүлчийнхээс бусад бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байх мөр байгаа эсэхийг шалгацгаая (ийм мөрийг үл нийцэх гэж нэрлэе). Мэдээжийн хэрэг, ийм шугам нь (I) систем дэх үл нийцэх тэгшитгэлтэй тохирч байгаа тул (I) системд шийдэл байхгүй бөгөөд процесс энд дуусдаг.
3. Матриц нь үл нийцэх мөрүүдийг агуулаагүй байг ((I) системд үл нийцэх тэгшитгэл байхгүй). Хэрэв a 11 = 0, дараа нь бид 1-р мөрөнд тэгээс бусад зарим элементийг (сүүлийнхээс бусад) олж, 1-р эгнээнд 1-р байранд тэг байхгүй байхаар багануудыг дахин байрлуулна. Одоо бид үүнийг (өөрөөр хэлбэл (I) системийн тэгшитгэл дэх харгалзах нөхцлүүдийг солих болно) гэж үзэх болно.
4. 1-р мөрийг үржүүлж үр дүнг 2-р мөрөнд нэмээд дараа нь 1-р мөрийг үржүүлж 3-р мөрөнд үр дүнг нэмнэ гэх мэт. Мэдээжийн хэрэг, энэ үйл явц нь үл мэдэгдэх зүйлийг арилгахтай адил юм x 1 1-рээс бусад системийн (I) бүх тэгшитгэлээс. Шинэ матрицад бид элементийн доорх 1-р баганад тэгийг авна а 11:
.
5. Матрицын бүх тэг мөрийг зурж, зөрчилтэй мөр байгаа эсэхийг шалгацгаая (хэрэв байгаа бол систем нь зөрчилтэй бөгөөд шийдэл тэнд дуусна). Байх эсэхийг шалгацгаая a 22 / =0, хэрэв тийм бол бид 2-р эгнээнд тэгээс өөр элементийг олж, багануудыг дахин цэгцлэнэ. Дараа нь 2-р эгнээний элементүүдийг үржүүлнэ 
3-р мөрийн харгалзах элементүүдийг нэмж, дараа нь 2-р мөрийн элементүүдийг нэмж, 4-р мөрийн харгалзах элементүүд гэх мэтийг доор нь тэг авах хүртэл нэмнэ. 22/
.
Хийсэн арга хэмжээ нь үл мэдэгдэх зүйлийг арилгахтай адил юм x 2 1 ба 2-оос бусад системийн (I) бүх тэгшитгэлээс. Мөрүүдийн тоо хязгаарлагдмал байдаг тул хязгаарлагдмал тооны алхмуудын дараа бид систем нь нийцэхгүй байна, эсвэл бид шаталсан матрицтай ( тодорхойлолт 2 §7 1-р бүлгийг үзнэ үү) :
,
Матрицад тохирох тэгшитгэлийн системийг бичье. Энэ систем нь (I) системтэй тэнцэнэ.
.
Сүүлийн тэгшитгэлээс бид илэрхийлнэ; -ийг авах хүртэл өмнөх тэгшитгэлд орлуулах, олох гэх мэт.
Тайлбар 1.Тиймээс (I) системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэхдээ бид дараах тохиолдлуудын аль нэгэнд хүрнэ.
1. Систем (I) нь нийцэхгүй байна.
2. Матриц дахь мөрийн тоо нь үл мэдэгдэх () тоотой тэнцүү бол систем (I) нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.
3. Хэрэв матриц дахь мөрийн тоо үл мэдэгдэх () тооноос бага байвал систем (I) нь хязгааргүй тооны шийдлүүдтэй байна.
Тиймээс дараах теорем биелнэ.
Теорем.Шугаман тэгшитгэлийн систем нь нэг бол нийцэхгүй, өвөрмөц шийдэлтэй, эсвэл хязгааргүй тооны шийдтэй байдаг.
Жишээ. Гауссын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийдэх эсвэл түүний үл нийцэх байдлыг нотлох:
б) 
;
a) Өгөгдсөн системийг дараах хэлбэрээр дахин бичье.
.
Тооцооллыг хялбарчлахын тулд бид анхны системийн 1 ба 2-р тэгшитгэлийг сольсон (бутархайн оронд бид зөвхөн бүхэл тоогоор ажиллах болно).
Өргөтгөсөн матрицыг үүсгэцгээе:
.
Ямар ч хоосон мөр байхгүй; үл нийцэх мөр байхгүй, ; 1-ээс бусад системийн бүх тэгшитгэлээс 1-р үл мэдэгдэхийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд матрицын 1-р эгнээний элементүүдийг "-2"-оор үржүүлж, 2-р эгнээний харгалзах элементүүдээр нэмэх нь 1-р тэгшитгэлийг "-2"-оор үржүүлж, 2-оор нэмэхтэй тэнцүү юм. тэгшитгэл. Дараа нь бид 1-р мөрийн элементүүдийг "-3"-аар үржүүлж, гурав дахь мөрийн харгалзах элементүүдээр нэмнэ. өгөгдсөн системийн 2-р тэгшитгэлийг “-3”-аар үржүүлээд 3-р тэгшитгэлд нэмнэ. Бид авдаг
.
Матриц нь тэгшитгэлийн системтэй тохирч байна). - (1-р бүлгийн 3§7-ийн тодорхойлолтыг үзнэ үү).
Энэ нь матрицаар гүйцэтгэх боломжтой бүх үйлдлүүдийг нэгтгэсэн ойлголт юм. Математик матриц - элементүүдийн хүснэгт. Хаана байгаа ширээний тухай мшугам ба nбагана, энэ матриц нь хэмжээстэй гэж хэлсэн мдээр n.
Матрицын ерөнхий дүр төрх:
Учир нь матрицын шийдлүүдМатриц гэж юу болохыг ойлгож, түүний үндсэн параметрүүдийг мэдэх шаардлагатай. Матрицын үндсэн элементүүд:
- Элементүүдээс бүрдсэн гол диагональ a 11, a 22…..a mn.
- Элементүүдээс бүрдсэн хажуугийн диагональ a 1n , a 2n-1 .....a м1.
Матрицын үндсэн төрлүүд:
- Квадрат гэдэг нь мөрийн тоо = баганын тоо ( m=n).
- Тэг - бүх матрицын элементүүд = 0.
- Шилжүүлсэн матриц - матриц IN, үүнийг анхны матрицаас олж авсан Амөрүүдийг баганаар солих замаар.
- Нэгдмэл байдал - үндсэн диагональ бүх элементүүд = 1, бусад бүх = 0.
- Урвуу матриц нь анхны матрицаар үржүүлснээр таних матрицыг үүсгэдэг матриц юм.
Матриц нь үндсэн ба хоёрдогч диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байж болно. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, дараа нь матриц нь үндсэн диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. Зөвхөн квадрат матрицууд тэгш хэмтэй байж болно.
Матрицыг шийдвэрлэх аргууд.
Бараг бүх зүйл матрицыг шийдвэрлэх аргуудтодорхойлогчийг олохоос бүрдэнэ n--р дараалал ба ихэнх нь нэлээд төвөгтэй байдаг. 2 ба 3-р эрэмбийн тодорхойлогчийг олохын тулд өөр илүү оновчтой аргууд байдаг.
2-р эрэмбийн тодорхойлогчдыг олох.
Матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох А 2-р дарааллын хувьд хоёрдогч диагональын элементүүдийн үржвэрийг үндсэн диагональ элементүүдийн үржвэрээс хасах шаардлагатай.
3-р эрэмбийн тодорхойлогчийг олох арга.
3-р эрэмбийн тодорхойлогчийг олох дүрмийг доор харуулав.
Гурвалжны хялбаршуулсан дүрмийг аль нэг нь матрицыг шийдвэрлэх аргууд, дараах байдлаар дүрсэлж болно.
Өөрөөр хэлбэл, шулуун шугамаар холбогдсон эхний тодорхойлогч дахь элементүүдийн үржвэрийг “+” тэмдгээр авна; Мөн 2-р тодорхойлогчийн хувьд тохирох бүтээгдэхүүнийг "-" тэмдгээр, өөрөөр хэлбэл дараахь схемийн дагуу авна.
At Саррусын дүрмийг ашиглан матрицыг шийдвэрлэх, тодорхойлогчийн баруун талд эхний 2 баганыг нэмж, үндсэн диагональ ба түүнтэй параллель диагональ дээрх харгалзах элементүүдийн үржвэрийг "+" тэмдгээр авна; "-" тэмдгээр хоёрдогч диагональ ба түүнтэй параллель диагональуудын харгалзах элементүүдийн бүтээгдэхүүнүүд:
Матрицыг шийдвэрлэх үед тодорхойлогчийг мөр, баганад задлах.
Тодорхойлогч нь тодорхойлогчийн эгнээний элементүүд болон тэдгээрийн алгебрийн нэмэлтүүдийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Ихэвчлэн тэг агуулсан мөр/баганыг сонгодог. Задаргаа хийгдэж буй мөр эсвэл баганыг сумаар зааж өгнө.
Матрицыг шийдвэрлэхдээ тодорхойлогчийг гурвалжин хэлбэрт оруулах.
At матрицуудыг шийдвэрлэхтодорхойлогчийг гурвалжин хэлбэрт оруулах арга, тэд дараах байдлаар ажиллана: мөр эсвэл багана дээрх хамгийн энгийн хувиргалтыг ашиглан тодорхойлогч нь гурвалжин хэлбэртэй болж, тодорхойлогчийн шинж чанарын дагуу түүний утга нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байх болно. үндсэн диагональ дээр байгаа элементүүдийн.
Матрицыг шийдвэрлэх Лапласын теорем.
Лапласын теоремыг ашиглан матрицыг шийдэхдээ теоремыг өөрөө мэдэх хэрэгтэй. Лапласын теорем: Болъё Δ - энэ бол тодорхойлогч юм n--р захиалга. Бид аль нэгийг нь сонгодог кмөр (эсвэл багана) өгөгдсөн к≤ n - 1. Энэ тохиолдолд бүх насанд хүрээгүй хүмүүсийн бүтээгдэхүүний нийлбэр к-сонгосон хэсэгт агуулагдах дараалал кмөрүүд (баганууд), тэдгээрийн алгебрийн нэмэлтүүд нь тодорхойлогчтой тэнцүү байх болно.
Урвуу матрицыг шийдвэрлэх.
Үйлдлийн дараалал урвуу матрицын шийдлүүд:
- Өгөгдсөн матриц квадрат эсэхийг тодорхойлно уу. Хэрэв хариулт нь сөрөг байвал урвуу матриц байж болохгүй гэдэг нь тодорхой болно.
- Бид алгебрийн нэмэлтүүдийг тооцдог.
- Бид нэгдлийн (харилцан, залгаа) матрицыг бүрдүүлдэг C.
- Бид урвуу матрицыг алгебрийн нэмэлтүүдээс бүрдүүлдэг: хавсарсан матрицын бүх элементүүд. Cанхны матрицын тодорхойлогчоор хуваана. Эцсийн матриц нь өгөгдсөнтэй харьцуулахад шаардлагатай урвуу матриц байх болно.
- Бид хийсэн ажлыг шалгана: анхны матриц ба үр дүнгийн матрицыг үржүүл, үр дүн нь таних матриц байх ёстой.
Матрицын системийг шийдвэрлэх.
Учир нь матрицын системийн шийдлүүдГауссын аргыг ихэвчлэн ашигладаг.
Гауссын арга нь шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг (SLAE) шийдвэрлэх стандарт арга бөгөөд хувьсагчдыг дараалан арилгах, өөрөөр хэлбэл энгийн өөрчлөлтүүдийн тусламжтайгаар тэгшитгэлийн системийг гурвалжингийн эквивалент системд шилжүүлэх явдал юм. хэлбэр ба түүнээс эхлэн дарааллаар нь (тоогоор) системийн элемент бүрийг олоорой.
Гауссын аргань матрицын шийдлийг олох хамгийн уян хатан, шилдэг хэрэгсэл юм. Хэрэв систем нь хязгааргүй тооны шийдэлтэй эсвэл систем нь таарахгүй бол Крамерын дүрэм болон матрицын аргыг ашиглан шийдвэрлэх боломжгүй юм.
Гауссын арга нь мөн шууд (өргөтгөсөн матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулах, өөрөөр хэлбэл үндсэн диагональ дор тэгийг авах) болон урвуу (өргөтгөсөн матрицын үндсэн диагональ дээрх тэгийг авах) хөдөлгөөнийг агуулдаг. Урагшлах арга нь Гауссын арга, урвуу алхам нь Гаусс-Жорданы арга юм. Гаусс-Жорданы арга нь Гауссын аргаас зөвхөн хувьсагчийг арилгах дарааллаар ялгаатай.
