Тодорхой интеграл ашиглан эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг олох. II

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолж болно.

Томъёонд интегралын өмнө тоо байх ёстой. Ийм зүйл тохиолдсон - амьдралд эргэдэг бүх зүйл энэ тогтмолтой холбоотой байдаг.

Дууссан зургаас "a" болон "be" гэсэн интеграцийн хязгаарыг хэрхэн тогтоохыг таахад хялбар гэж бодож байна.

Функц... энэ функц юу вэ? Зургийг харцгаая. Хавтгайн дүрс нь дээд талд байгаа параболын графикаар хязгаарлагддаг. Энэ бол томьёонд тусгагдсан функц юм.

Практик даалгаврын хувьд хавтгай дүрсийг заримдаа тэнхлэгийн доор байрлуулж болно. Энэ нь юу ч өөрчлөгдөхгүй - томьёо дахь функц нь квадрат: , иймээс Хувьсгалын биеийн эзлэхүүн үргэлж сөрөг биш байдаг, энэ нь маш логик юм.

Энэ томъёог ашиглан эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолъё.

Би аль хэдийн тэмдэглэсэнчлэн интеграл нь бараг үргэлж энгийн байдаг, гол зүйл бол болгоомжтой байх явдал юм.

Хариулт:

Хариултдаа та хэмжээсийг - куб нэгжийг зааж өгөх ёстой. Өөрөөр хэлбэл, бидний эргэлтийн биед ойролцоогоор 3.35 "шоо" байдаг. Яагаад куб гэж нэгж? Учир нь хамгийн түгээмэл жор. Куб сантиметр, шоо метр, шоо километр гэх мэт байж болно, энэ бол таны төсөөлж буй хэдэн ногоон эрчүүдийг нисдэг таваганд хийж чадна.

Жишээ 2

, , шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг ол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Практикт ихэвчлэн тулгардаг өөр хоёр төвөгтэй асуудлыг авч үзье.

Жишээ 3

, болон шугамаар хязгаарлагдсан зургийн абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл:Тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог гэдгийг мартахгүйгээр , , , шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг зураг дээр дүрсэлцгээе.

Хүссэн дүрс нь цэнхэр өнгөөр будагдсан байна. Тэнхлэгээ тойрон эргэвэл дөрвөн булантай сюрреал гурилан бүтээгдэхүүн болж хувирдаг.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг тооцоолъё биеийн эзэлхүүний ялгаа.

Эхлээд улаанаар дугуйлсан дүрсийг харцгаая. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед таслагдсан конусыг олж авна. Энэ таслагдсан конусын эзэлхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Ногооноор дугуйлсан дүрсийг анхаарч үзээрэй. Хэрэв та энэ дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлбэл, та бас бага зэрэг жижиг зүсэгдсэн конус авах болно. Түүний эзлэхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Мэдээжийн хэрэг, эзлэхүүний ялгаа нь бидний "пончик" -ийн хэмжээ юм.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид стандарт томъёог ашигладаг.

1) Улаанаар дугуйлсан дүрс нь шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

2) Ногооноор дугуйлсан дүрс нь шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

3) Хүссэн эргэлтийн биеийн хэмжээ:

Хариулт:

Энэ тохиолдолд тайрсан конусын эзэлхүүнийг тооцоолох сургуулийн томъёог ашиглан шийдлийг шалгаж болох нь сонин байна.

Шийдвэр нь өөрөө ихэвчлэн богино хэлбэрээр бичигдсэн байдаг.

Одоо жаахан амарч, геометрийн хуурмаг байдлын талаар танд хэлье.

Хүмүүс номонд Перелман (тэр биш) анзаарсан ботьтай холбоотой хуурмаг зүйлтэй байдаг. Хөгжилтэй геометр. Шийдвэрлэсэн асуудалд байгаа хавтгай дүрсийг хараарай - энэ нь талбайн хувьд жижиг юм шиг санагдаж, хувьсгалын биеийн эзэлхүүн нь 50 шоо нэгжээс илүү байгаа нь хэтэрхий том юм шиг санагддаг. Дашрамд дурдахад, дундаж хүн амьдралынхаа туршид 18 метр квадрат хэмжээтэй нэг өрөөнд шингэн зүйл уудаг бөгөөд энэ нь эсрэгээрээ хэтэрхий жижиг хэмжээтэй юм шиг санагддаг.

Ер нь ЗХУ-ын боловсролын систем үнэхээр хамгийн шилдэг нь байсан. Перелманы 1950 онд бичсэн тэр ном нь хошин шогийн хэлснээр маш сайн хөгжиж, асуудлын анхны, стандарт бус шийдлүүдийг хайж олоход сургадаг. Би саяхан зарим бүлгийг маш их сонирхож уншсан, би үүнийг санал болгож байна, энэ нь хүмүүнлэгийн хүмүүст ч хүртээмжтэй юм. Үгүй ээ, надад чөлөөт цаг, мэдлэг, харилцааны өргөн цар хүрээг санал болгож байна гэж инээмсэглэх шаардлагагүй.

Уянгын ухралт хийсний дараа бүтээлч даалгаврыг шийдэх нь зөв юм.

Жишээ 4

, , , шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Бүх асуудал хамтлагт тохиолддог, өөрөөр хэлбэл, нэгтгэх практикт бэлэн хязгаарыг өгсөн гэдгийг анхаарна уу. Мөн аргументыг хоёр хуваасан бол тригонометрийн функцүүдийн графикийг зөв зурахыг хичээ: дараа нь графикууд тэнхлэгийн дагуу хоёр удаа сунадаг. Дор хаяж 3-4 оноо олохыг хичээ тригонометрийн хүснэгтийн дагуумөн зургийг илүү нарийвчлалтай бөглөнө үү. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт. Дашрамд хэлэхэд, даалгаврыг оновчтой биш харин оновчтой шийдэж болно.

Эргэлтийн үед үүссэн биеийн эзэлхүүний тооцоо
тэнхлэгийг тойрсон хавтгай дүрс

Хоёр дахь догол мөр нь эхнийхээс ч илүү сонирхолтой байх болно. Ординатын тэнхлэгийн эргэн тойрон дахь эргэлтийн биеийн эзлэхүүнийг тооцоолох даалгавар нь туршилтын ажилд нэлээд түгээмэл зочин юм. Замдаа үүнийг анхаарч үзэх болно дүрсийн талбайг олох асуудалХоёрдахь арга нь тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх бөгөөд энэ нь ур чадвараа дээшлүүлэх төдийгүй хамгийн ашигтай шийдлийн замыг олоход тань туслах болно. Үүнд амьдралын бодит утга учир бас бий! Математикийн заах аргын багш маань инээмсэглэн дурсахад олон төгсөгчид "Таны хичээл бидэнд маш их тусалсан, одоо бид үр дүнтэй менежерүүд, боловсон хүчнийг оновчтой удирдаж байна" гэж түүнд талархал илэрхийлэв. Энэ завшааныг ашиглаад би түүнд маш их талархаж байгаагаа илэрхийлж байна, ялангуяа олж авсан мэдлэгээ зориулалтын дагуу ашигладаг =).

Жишээ 5

, , , шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс өгөгдсөн.

1) Эдгээр шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.
2) Эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол.

Анхаар!Хэдийгээр та зөвхөн хоёр дахь цэгийг уншихыг хүсч байсан ч эхлээд Заавалэхнийхийг нь унш!

Шийдэл:Даалгавар нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ. Дөрвөлжин талбайгаас эхэлье.

1) Зураг зурцгаая:

Функц нь параболын дээд салбарыг, функц нь параболын доод салбарыг зааж байгааг харахад хялбар байдаг. Бидний өмнө "хажуу талдаа" байдаг өчүүхэн парабол байна.

Хүссэн дүрс, талбайг нь цэнхэр өнгөөр сүүдэрлэсэн байна.

Зургийн талбайг хэрхэн олох вэ? Үүнийг ангид хэлэлцсэн "ердийн" аргаар олж болно Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ. Түүнчлэн, зургийн талбайг талбайн нийлбэрээр олно.
- сегмент дээр ;
- сегмент дээр.

Тийм учраас:

Энэ тохиолдолд ердийн шийдэл яагаад муу байдаг вэ? Нэгдүгээрт, бид хоёр интеграл авсан. Хоёрдугаарт, интеграл нь үндэс бөгөөд интеграл дахь үндэс нь бэлэг биш бөгөөд үүнээс гадна та интегралын хязгаарыг орлуулахдаа андуурч болно. Үнэн хэрэгтээ интегралууд нь мэдээжийн хэрэг алуурчин биш, гэхдээ практик дээр бүх зүйл илүү гунигтай байж магадгүй тул би асуудлын хувьд "илүү сайн" функцуудыг сонгосон.

Илүү оновчтой шийдэл байдаг: энэ нь урвуу функц руу шилжих, тэнхлэгийн дагуу нэгтгэхээс бүрдэнэ.

Урвуу функцууд руу хэрхэн орох вэ? Товчоор хэлбэл, та "х"-ийг "y"-ээр илэрхийлэх хэрэгтэй. Эхлээд параболыг харцгаая.

Энэ нь хангалттай, гэхдээ ижил функцийг доод салбараас гаргаж авах боломжтой эсэхийг шалгацгаая:

Шулуун шугамаар энэ нь илүү хялбар байдаг:

Одоо тэнхлэгээ хараарай: тайлбарлахдаа толгойгоо үе үе баруун 90 градусаар хазайлгана уу (энэ нь хошигнол биш!). Бидэнд хэрэгтэй зураг нь улаан тасархай шугамаар тэмдэглэгдсэн сегмент дээр байрладаг. Энэ тохиолдолд сегмент дээр шулуун шугам нь параболын дээгүүр байрладаг бөгөөд энэ нь зургийн талбайг танд аль хэдийн танил болсон томъёог ашиглан олох ёстой гэсэн үг юм. . Томъёонд юу өөрчлөгдсөн бэ? Зүгээр л захидал, өөр юу ч биш.

! Тайлбар: Тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх хязгаарыг тогтоох шаардлагатай хатуу доороос дээш!

Талбайг олох нь:

Тиймээс сегмент дээр:

Би интеграцчлалыг хэрхэн гүйцэтгэсэн болохыг анхаарна уу, энэ бол хамгийн оновчтой арга бөгөөд даалгаврын дараагийн догол мөрөнд яагаад гэдгийг тодорхой харуулах болно.

Интеграцийн зөв эсэхэд эргэлзэж буй уншигчдын хувьд би деривативуудыг олох болно.

Анхны интеграл функцийг олж авсан бөгөөд энэ нь интеграцчлал зөв хийгдсэн гэсэн үг юм.

Хариулт:

2) Энэ дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолъё.

Би зургийг арай өөр загвараар дахин зурах болно:

Тиймээс цэнхэр өнгөөр сүүдэрлэсэн дүрс нь тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Үр дүн нь тэнхлэгээ тойрон эргэлддэг "хөлөөх эрвээхэй" юм.

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх болно. Эхлээд бид урвуу функцууд руу шилжих хэрэгтэй. Үүнийг аль хэдийн хийсэн бөгөөд өмнөх догол мөрөнд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.

Одоо бид толгойгоо дахин баруун тийш хазайлгаж, дүр төрхөө судалж байна. Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг эзлэхүүний зөрүүгээр олох нь ойлгомжтой.

Бид улаанаар дугуйлсан дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлж, тайрсан конус үүсгэдэг. Энэ эзлэхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Бид ногооноор дугуйлсан дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлж, үүссэн эргэлтийн биеийн эзэлхүүнээр тэмдэглэнэ.

Манай эрвээхэйн эзлэхүүн нь эзлэхүүний зөрүүтэй тэнцүү байна.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид дараах томъёог ашигладаг.

Өмнөх догол мөр дэх томъёоноос юугаараа ялгаатай вэ? Зөвхөн захидалд.

Гэхдээ миний саяхан ярьсан интеграцийн давуу талыг олоход илүү хялбар байдаг , эхлээд интегралыг 4-р зэрэглэлд хүргэхээс илүү.

Хариулт:

Гэсэн хэдий ч өвчтэй эрвээхэй биш.

Хэрэв ижил хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлбэл та огт өөр эргэлттэй, өөр эзэлхүүнтэй биеийг олж авах болно гэдгийг анхаарна уу.

Жишээ 6

Шугаман болон тэнхлэгээр хязгаарлагдсан хавтгай дүрс өгөгдсөн.

1) Урвуу функцууд руу орж, хувьсагч дээр нэгтгэх замаар эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн талбайг ол.
2) Эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг олохын тулд интеграл ашиглана

Математикийн практик ач тус нь ямар ч биш байгаатай холбоотой юм

Математикийн тусгай мэдлэг нь төхөөрөмжийн зарчим, орчин үеийн технологийн ашиглалтыг ойлгоход хэцүү болгодог. Хүн бүр амьдралынхаа туршид нэлээд төвөгтэй тооцоолол хийх, түгээмэл хэрэглэгддэг тоног төхөөрөмжийг ашиглах, лавлах номноос шаардлагатай томъёог олох, асуудлыг шийдвэрлэх энгийн алгоритмуудыг бий болгох шаардлагатай болдог. Орчин үеийн нийгэмд өндөр түвшний боловсрол шаарддаг олон мэргэжлүүд математикийн шууд хэрэглээтэй холбоотой байдаг. Ийнхүү математик нь оюутны хувьд мэргэжлийн чухал хичээл болж хувирдаг. Алгоритм сэтгэлгээг бий болгоход математик тэргүүлэх үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд энэ нь өгөгдсөн алгоритмын дагуу ажиллах, шинэ алгоритм барих чадварыг хөгжүүлдэг.

Хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг тооцоолоход интеграл ашиглах сэдвийг судалж байхдаа би сонгох ангийн оюутнуудад "Интеграл ашиглан эргэлтийн биетүүдийн эзлэхүүн" сэдвийг авч үзэхийг санал болгож байна. Энэ сэдвийг авч үзэх арга зүйн зөвлөмжийг доор харуулав.

1. Хавтгай дүрсний талбай.

Алгебрийн хичээлээс бид практик шинж чанартай асуудлууд нь тодорхой интеграл гэсэн ойлголтыг бий болгосныг бид мэднэ..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=". >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" өргөн "127" өндөр "25 src=">.

y=f(x) хугархай шугам, Ox тэнхлэг, x=a, x=b шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн муруйн трапецийг Ox тэнхлэгийг тойрон эргэснээр үүссэн эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид тооцоолно. томъёог ашиглан

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" өргөн "352" өндөр "283 src=">Y

3.Цилиндрийн эзэлхүүн.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Конусыг АС хөл байрлах Үхрийн тэнхлэгийн эргэн тойронд ABC (C = 90) тэгш өнцөгт гурвалжинг эргүүлснээр олж авна.

AB сегмент нь y=kx+c шулуун шугам дээр байрладаг бөгөөд https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src="> байна.

a=0, b=H (H нь конусын өндөр), дараа нь Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src=" гэж үзье. ">.

5. Таслагдсан конусын эзэлхүүн.

Үхрийн тэнхлэгийн эргэн тойронд тэгш өнцөгт трапец хэлбэрийн ABCD (CDOx) -ийг эргүүлснээр таслагдсан конусыг олж авч болно.

AB хэрчим нь y=kx+c шулуун дээр байрладаг ба энд , c=r.

Шулуун шугам нь А (0;r) цэгийг дайран өнгөрдөг тул.

Тиймээс шулуун шугам нь https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src="> шиг харагдаж байна.

a=0, b=H (H нь таслагдсан конусын өндөр), дараа нь https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src" гэж бичнэ. ="> = .

6. Бөмбөгний эзлэхүүн.

Бөмбөгийг Ox тэнхлэгийн эргэн тойронд төвтэй (0;0) тойрог эргүүлэх замаар олж авч болно. Ox тэнхлэгээс дээш байрлах хагас тойрог нь тэгшитгэлээр өгөгдсөн

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" өргөн "13" өндөр "16 src=">x R.

Тодорхой интеграл ашиглан эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Түүнээс гадна тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг олох сэдвийн хамгийн чухал хэрэглээ юм эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох. Материал нь энгийн, гэхдээ уншигч бэлтгэлтэй байх ёстой: та шийдэх чадвартай байх ёстой тодорхойгүй интегралууд дунд зэргийн төвөгтэй бөгөөд Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэнэ тодорхой интеграл . Талбайг олох асуудлын нэгэн адил танд өөртөө итгэлтэй зурах ур чадвар хэрэгтэй - энэ нь бараг хамгийн чухал зүйл юм (учир нь интеграл нь өөрөө амархан байх болно). Та арга зүйн материалын тусламжтайгаар чадварлаг, хурдан график зурах аргыг эзэмшиж чадна . Гэхдээ үнэндээ би зургийн ач холбогдлын талаар хэд хэдэн удаа хичээл дээр ярьж байсан. .

Ерөнхийдөө интегралын тооцоололд маш олон сонирхолтой програмууд байдаг бөгөөд та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбай, эргэлтийн биеийн эзэлхүүн, нумын урт, гадаргуугийн талбайг тооцоолох боломжтой; бие болон бусад олон. Тиймээс хөгжилтэй байх болно, өөдрөг байгаарай!

Координатын хавтгай дээр ямар нэгэн хавтгай дүрсийг төсөөлөөд үз дээ. Танилцуулсан уу? ... Хэн юу бэлэглэсэн юм бол... =))) Бид аль хэдийн талбайг нь олчихсон. Гэхдээ үүнээс гадна энэ зургийг хоёр аргаар эргүүлж, эргүүлж болно.

– x тэнхлэгийн эргэн тойронд; – ордны тэнхлэгийн эргэн тойронд.

Энэ нийтлэлд хоёр тохиолдлыг авч үзэх болно. Эргэлтийн хоёр дахь арга нь ялангуяа сонирхолтой байдаг, энэ нь хамгийн их хүндрэл учруулдаг боловч үнэндээ шийдэл нь x тэнхлэгийн эргэн тойронд илүү түгээмэл эргэлттэй бараг ижил байдаг. Бонус болгон би буцаж очно дүрсийн талбайг олох асуудал , мөн би тэнхлэгийн дагуу хоёр дахь аргаар талбайг хэрхэн олохыг танд хэлье. Материал нь сэдэвт сайн нийцэж байгаа тул энэ нь урамшуулал биш юм.

Хамгийн алдартай эргэлтийн төрлөөс эхэлье.

Жишээ 1

Нэг тэнхлэгийн эргэн тойронд шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл:Талбайг олох асуудал шиг, шийдэл нь хавтгай дүрс зурахаас эхэлдэг. Өөрөөр хэлбэл, хавтгай дээр шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг бүтээх шаардлагатай бөгөөд тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог гэдгийг мартаж болохгүй. Зургийг хэрхэн илүү үр дүнтэй, хурдан дуусгах талаар хуудаснаас олж болно Анхан шатны функцүүдийн график ба шинж чанарууд Тэгээд Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ . Энэ бол хятадын сануулга бөгөөд энэ мөчид би цаашид ярихгүй.

Энд байгаа зураг нь маш энгийн:

Хүссэн хавтгай дүрс нь тэнхлэгийн эргэн тойронд эргэлддэг хөх өнгөтэй байна. Эргэлтийн үр дүнд үр дүн нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй бага зэрэг өндгөвч хэлбэртэй нисдэг таваг юм. Үнэн хэрэгтээ, бие нь математикийн нэртэй боловч лавлах номыг харахаас залхуурсан тул бид цааш явлаа.

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолж болно.

Дууссан зургаас "a" болон "be" гэсэн интеграцийн хязгаарыг хэрхэн тогтоохыг таахад хялбар гэж бодож байна.

Функц... энэ функц юу вэ? Зургийг харцгаая. Хавтгай дүрс нь дээд талын параболын графикаар хязгаарлагддаг. Энэ бол томьёонд тусгагдсан функц юм.

Практик даалгаврын хувьд хавтгай дүрсийг заримдаа тэнхлэгийн доор байрлуулж болно. Энэ нь юу ч өөрчлөгдөхгүй - томьёо дахь функц нь квадрат: иймээс Хувьсгалын биеийн эзлэхүүн үргэлж сөрөг биш байдаг, энэ нь маш логик юм.

Энэ томъёог ашиглан эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолъё.

Өмнө дурьдсанчлан интеграл нь бараг үргэлж энгийн байдаг, гол зүйл бол болгоомжтой байх явдал юм.

Хариулт:

Жишээ 2

Шулуунаар хязгаарлагдсан дүрсийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг ол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Практикт ихэвчлэн тулгардаг өөр хоёр төвөгтэй асуудлыг авч үзье.

Жишээ 3

, ба шугамаар хязгаарлагдсан зургийн абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл:Зураг дээр тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог гэдгийг мартахгүйгээр ,,, шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг дүрсэлцгээе.

Хүссэн дүрс нь цэнхэр өнгөөр будагдсан байна. Энэ нь тэнхлэгээ тойрон эргэвэл дөрвөн булантай сюрреал гурилан бүтээгдэхүүн болж хувирдаг.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг тооцоолъё биеийн эзэлхүүний ялгаа.

Эхлээд улаанаар дугуйлсан дүрсийг харцгаая. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед таслагдсан конусыг олж авна. Энэ таслагдсан конусын эзэлхүүнийг үүгээр тэмдэглэе.

Мэдээжийн хэрэг, эзлэхүүний ялгаа нь бидний "пончик" -ийн хэмжээ юм.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид стандарт томъёог ашигладаг.

1) Улаанаар дугуйлсан дүрс нь дээр нь шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

2) Ногооноор дугуйлсан дүрс нь шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

3) Хүссэн эргэлтийн биеийн хэмжээ:

Хариулт:

Шийдвэр нь өөрөө ихэвчлэн богино хэлбэрээр бичигдсэн байдаг.

Одоо жаахан амарч, геометрийн хуурмаг байдлын талаар танд хэлье.

Ерөнхийдөө ЗХУ-ын боловсролын систем үнэхээр хамгийн шилдэг нь байсан. Перелманы 1950 онд бичсэн тэр ном нь хошин шогийн хэлснээр маш сайн хөгжиж, асуудлын анхны, стандарт бус шийдлүүдийг хайж олоход сургадаг. Би саяхан зарим бүлгийг маш их сонирхон дахин уншсан, би үүнийг санал болгож байна, энэ нь хүмүүнлэгийн хүмүүст ч хүртээмжтэй юм. Үгүй ээ, надад чөлөөт цаг, мэдлэг, харилцааны өргөн цар хүрээг санал болгож байна гэж инээмсэглэх шаардлагагүй.

Уянгын ухралт хийсний дараа бүтээлч даалгаврыг шийдэх нь зөв юм.

Жишээ 4

Шулуунаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол, энд.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Бүх асуудал хамтлагт тохиолддог, өөрөөр хэлбэл, нэгтгэх практикт бэлэн хязгаарыг өгсөн гэдгийг анхаарна уу. Мөн аргументыг хоёр хуваасан бол тригонометрийн функцүүдийн графикийг зөв зурахыг хичээ: дараа нь графикууд тэнхлэгийн дагуу хоёр удаа сунадаг. Дор хаяж 3-4 оноо олохыг хичээ тригонометрийн хүснэгтийн дагуу мөн зургийг илүү нарийвчлалтай бөглөнө үү. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт. Дашрамд хэлэхэд, даалгаврыг оновчтой биш харин оновчтой шийдэж болно.

Хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр үүссэн биеийн эзэлхүүний тооцоо

Хоёр дахь догол мөр нь эхнийхээс ч илүү сонирхолтой байх болно. Ординатын тэнхлэгийн эргэн тойрон дахь эргэлтийн биеийн эзлэхүүнийг тооцоолох даалгавар нь туршилтын ажилд нэлээд түгээмэл зочин юм. Замдаа үүнийг анхаарч үзэх болно дүрсийн талбайг олох асуудал Хоёрдахь арга нь тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх бөгөөд энэ нь ур чадвараа дээшлүүлэх төдийгүй хамгийн ашигтай шийдлийн замыг олоход тань туслах болно. Үүнд амьдралын бодит утга учир бас бий! Математикийн заах аргын багш маань инээмсэглэн дурсахад олон төгсөгчид "Таны хичээл бидэнд маш их тусалсан, одоо бид үр дүнтэй менежерүүд, боловсон хүчнийг оновчтой удирдаж байна" гэж түүнд талархал илэрхийлэв. Энэ завшааныг ашиглаад би түүнд маш их талархаж байгаагаа илэрхийлж байна, ялангуяа олж авсан мэдлэгээ зориулалтын дагуу ашигладаг =).

Жишээ 5

,, шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс өгөгдсөн.

1) Эдгээр шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол. 2) Эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол.

Анхаар!Хэдийгээр та зөвхөн хоёр дахь цэгийг уншихыг хүсч байсан ч эхлээд Заавалэхнийхийг нь унш!

Шийдэл:Даалгавар нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ. Дөрвөлжин талбайгаас эхэлье.

1) Зураг зурцгаая:

Хүссэн дүрс, талбайг нь цэнхэр өнгөөр сүүдэрлэсэн байна.

Зургийн талбайг хэрхэн олох вэ? Үүнийг ангид хэлэлцсэн "ердийн" аргаар олж болно Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ . Түүнчлэн, зургийн талбайг талбайн нийлбэрээр олно: - сегмент дээр ; - сегмент дээр.

Тийм учраас:

Илүү оновчтой шийдэл байдаг: энэ нь урвуу функц руу шилжих, тэнхлэгийн дагуу нэгтгэхээс бүрдэнэ.

Энэ нь хангалттай, гэхдээ ижил функцийг доод салбараас гаргаж авах боломжтой эсэхийг шалгацгаая:

Шулуун шугамаар энэ нь илүү хялбар байдаг:

! Тайлбар: Тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх хязгаарыг тогтоох шаардлагатайхатуу доороос дээш !

Талбайг олох нь:

Тиймээс сегмент дээр:

Интеграцийн зөв эсэхэд эргэлзэж буй уншигчдын хувьд би деривативуудыг олох болно.

Анхны интеграл функцийг олж авсан бөгөөд энэ нь интеграцчлал зөв хийгдсэн гэсэн үг юм.

Хариулт:

2) Энэ дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолъё.

Би зургийг арай өөр загвараар дахин зурах болно:

Бид улаанаар дугуйлсан дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлж, тайрсан конус үүсгэдэг. Энэ хэмжээг үүгээр тэмдэглэе.

Манай эрвээхэйн эзлэхүүн нь эзлэхүүний зөрүүтэй тэнцүү байна.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид дараах томъёог ашигладаг.

Өмнөх догол мөр дэх томъёоноос юугаараа ялгаатай вэ? Зөвхөн захидалд.

Сэдэв: "Хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг тодорхой интеграл ашиглан тооцоолох"

Хичээлийн төрөл:хосолсон.

Хичээлийн зорилго:интеграл ашиглан хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг тооцоолж сурах.

Даалгаварууд:

хэд хэдэн геометрийн дүрсээс муруйн трапецийг тодорхойлох чадварыг нэгтгэх, муруйн трапецын талбайг тооцоолох чадварыг хөгжүүлэх;

гурван хэмжээст дүрсийн тухай ойлголттой танилцах;

эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолж сурах;

логик сэтгэлгээ, чадварлаг математик яриа, зураг зурахдаа нарийвчлалыг хөгжүүлэх;

хичээлийн сонирхлыг хөгжүүлэх, математикийн үзэл баримтлал, дүр төрхтэй ажиллах, эцсийн үр дүнд хүрэх хүсэл эрмэлзэл, бие даасан байдал, тууштай байдлыг төлөвшүүлэх.

Хичээлийн явц

I. Зохион байгуулалтын мөч.

Группээс мэндчилж байна. Хичээлийн зорилгыг оюутнуудад хүргэх.

Би өнөөдрийн хичээлээ сургаалт зүйрлэлээр эхэлмээр байна. “Эрт урьд цагт бүхнийг мэддэг нэгэн мэргэн хүн амьдарч байжээ. Нэгэн хүн мэргэн хүн бүхнийг мэддэггүй гэдгийг батлахыг хүссэн юм. Тэр гартаа эрвээхэй бариад: "Мэргэн минь, надад хэлээч, аль эрвээхэй миний гарт байна: үхсэн эсвэл амьд уу?" Тэгээд тэр: "Хэрэв амьд нь хэлвэл би түүнийг ална; хэрэв үхсэн нь түүнийг суллана." Мэргэн бодсоны эцэст: "Бүх зүйл чиний гарт байна" гэж хариулав.

Тиймээс бид өнөөдөр үр бүтээлтэй ажиллаж, шинэ мэдлэг эзэмшиж, олж авсан чадвар, чадвараа ирээдүйн амьдрал, практик үйл ажиллагаандаа "Бүх зүйл таны гарт" хэрэгжүүлье.

II. Өмнө нь судалсан материалыг давтах.

Өмнө нь судалсан материалын гол санааг санацгаая. Үүнийг хийхийн тулд "Нэмэлт үгийг арилгах" даалгаврыг гүйцээцгээе.

(Оюутнууд нэмэлт үг хэлдэг.)

Зөв "Диференциал".Үлдсэн үгсийг нэг нийтлэг үгээр нэрлэхийг хичээ. (Интеграл тооцоо.)

Интеграл тооцоололтой холбоотой үндсэн үе шат, ойлголтуудыг санацгаая.

Дасгал хийх.Цоорхойг нөхөх. (Оюутан гарч ирээд маркераар шаардлагатай үгсийг бичнэ.)

Тэмдэглэлийн дэвтэр дээр ажиллах.

Ньютон-Лейбницийн томъёог Английн физикч Исаак Ньютон (1643-1727), Германы гүн ухаантан Готфрид Лейбниц (1646-1716) нар гаргаж авсан. Энэ нь гайхах зүйл биш юм, учир нь математик бол байгалиасаа ярьдаг хэл юм.

Энэ томъёог практик асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашигладаг талаар авч үзье.

Жишээ 1: Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол

Шийдэл:Координатын хавтгайд функцүүдийн графикийг байгуулъя . Зургийн олох шаардлагатай хэсгийг сонгоцгооё.

III. Шинэ материал сурах.

Дэлгэц дээр анхаарлаа хандуулаарай. Эхний зураг дээр юу харагдаж байна вэ? (Зураг нь хавтгай дүрсийг харуулж байна.)

Хоёр дахь зураг дээр юу харагдаж байна вэ? Энэ зураг хавтгай байна уу? (Зураг нь гурван хэмжээст дүрсийг харуулж байна.)

Сансарт, дэлхий дээр, өдөр тутмын амьдралд бид зөвхөн хавтгай дүрстэй төдийгүй гурван хэмжээст дүрстэй тулгардаг, гэхдээ ийм биетүүдийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ? Жишээ нь: гариг, сүүлт од, солир гэх мэт эзэлхүүн.

Хүмүүс байшин барихдаа ч, нэг савнаас нөгөө сав руу ус асгахдаа ч эзэлхүүний талаар боддог. Эзлэхүүнийг тооцоолох дүрэм, техник нь хэр үнэн зөв, үндэслэлтэй байсан нь өөр асуудал юм.

1612 он нь алдарт одон орон судлаач Иоганнес Кеплерийн амьдарч байсан Австрийн Линц хотын оршин суугчдын хувьд, ялангуяа усан үзмийн хувьд маш их үр өгөөжтэй жил байв. Хүмүүс дарсны торх бэлтгэж, түүний хэмжээг хэрхэн бодитоор тодорхойлохыг мэдэхийг хүсч байв.

Ийнхүү Кеплерийн авч үзсэн бүтээлүүд нь 17-р зууны сүүлийн улиралд оргилдоо хүрсэн бүхэл бүтэн судалгааны урсгалын эхлэлийг тавьсан юм. I. Newton, G.V нарын бүтээлүүд дэх дизайн. Лейбниц дифференциал ба интегралын тооцоо. Энэ үеэс эхлэн хувьсагчийн математик математикийн мэдлэгийн системд тэргүүлэх байр суурийг эзэлдэг.

Өнөөдөр та бид хоёр ийм практик үйл ажиллагаанд оролцох болно, тиймээс

Бидний хичээлийн сэдэв: "Тодорхой интеграл ашиглан эргэлтийн биеийн эзлэхүүнийг тооцоолох."

Та дараах даалгаврыг гүйцэтгэснээр хувьсгалын биетийн тодорхойлолтыг сурах болно.

"Лабиринт".

Дасгал хийх.Төөрөгдөлтэй нөхцөл байдлаас гарах арга замыг хайж, тодорхойлолтыг бич.

IVЭзлэхүүнийг тооцоолох.

Тодорхой интегралыг ашиглан та тодорхой биеийн эзэлхүүнийг, тухайлбал, эргэлтийн биеийг тооцоолж болно.

Муруйн трапецийг суурийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан биеийг эргэлтийн бие гэнэ (Зураг 1, 2).

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг томъёоны аль нэгийг ашиглан тооцоолно:

1. OX тэнхлэгийн эргэн тойронд.

2. , хэрэв муруй трапецын эргэлт op-amp-ийн тэнхлэгийн эргэн тойронд.

Оюутнууд үндсэн томъёог дэвтэрт бичдэг.

Багш самбар дээрх жишээнүүдийн шийдлүүдийг тайлбарлана.

1. Шулуунаар хязгаарлагдсан муруйн трапецын ординатын тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол. x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Шийдэл.

Хариулт: 1163 см3.

2. Параболик трапецийг х тэнхлэгийг тойруулан эргүүлснээр үүссэн биеийн эзэлхүүнийг ол. y =, x = 4, y = 0.

Шийдэл.

В. Математикийн симулятор.

2. Өгөгдсөн функцийн бүх эсрэг деривативуудын олонлогийг нэрлэнэ

A) тодорхойгүй интеграл;

B) функц,

B) ялгах.

7. Шулуунаар хязгаарлагдсан муруйн трапецын абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол.

Д/З. Шинэ материалыг нэгтгэх

Х тэнхлэгийн эргэн тойронд дэлбээ эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол y = x2, y2 = x.

Функцийн графикуудыг байгуулъя. y = x2, y2 = x. y2 = x графикийг у = хэлбэрт шилжүүлье.

Бидэнд V = V1 - V2 байна. Функц бүрийн эзлэхүүнийг тооцоолъё:

Дүгнэлт:

Тодорхой интеграл нь математикийн судалгааны тодорхой үндэс суурь бөгөөд практик асуудлыг шийдвэрлэхэд орлуулашгүй хувь нэмэр оруулдаг.

“Интеграл” сэдэв нь математик ба физик, биологи, эдийн засаг, технологийн хоорондын уялдаа холбоог тодорхой харуулж байна.

Орчин үеийн шинжлэх ухааны хөгжлийг интеграл ашиглахгүйгээр төсөөлөхийн аргагүй юм. Үүнтэй холбогдуулан дунд мэргэжлийн боловсролын хүрээнд үүнийг судалж эхлэх шаардлагатай байна!

VI. Дүгнэлт.(Тайлбарын хамт.)

Агуу Омар Хайям - математикч, яруу найрагч, гүн ухаантан. Тэр биднийг хувь заяаныхаа эзэн байхыг уриалдаг. Ингээд түүний уран бүтээлийн хэсгээс сонсоё.

Энэ амьдрал нэг хором гэж чи хэлдэг.
Үүнийг үнэлж, түүнээс урам зориг аваарай.
Үүнийг зарцуулах тусам энэ нь өнгөрөх болно.
Бүү март: тэр бол таны бүтээл.