Муруй трапецын талбайг олох жишээнүүд. Муруй шугаман трапецын талбай нь тодорхой интегралтай тоогоор тэнцүү байна

Интеграл тооцооллын хэрэглээг авч үзье. Энэ хичээлээр бид тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолох ердийн бөгөөд хамгийн нийтлэг асуудлыг авч үзэх болно. Эцэст нь, дээд математикийн утга учрыг эрэлхийлдэг бүх хүмүүс үүнийг олж авцгаая. Та хэзээ ч мэдэхгүй. Бодит амьдрал дээр та энгийн функцуудыг ашиглан зуслангийн талбайг ойролцоогоор тооцоолж, тодорхой интеграл ашиглан түүний талбайг олох хэрэгтэй болно.

Материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд та дараахь зүйлийг хийх ёстой.

1) Тодорхой бус интегралыг ядаж дунд түвшинд ойлгох. Тиймээс дамми хүмүүс эхлээд Тэр-ийн сургамжтай танилцах хэрэгтэй.

2) Ньютон-Лейбницийн томьёог хэрэглэж, тодорхой интегралыг тооцоолох чадвартай байх. Тодорхой интеграл хуудаснаас та тодорхой интегралтай халуун дотно найрсаг харилцаа тогтоож болно. Шийдлийн жишээ. "Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох" даалгавар нь үргэлж зураг зурахтай холбоотой байдаг тул таны мэдлэг, зурах ур чадвар бас чухал асуудал байх болно. Наад зах нь та шулуун шугам, парабол, гиперболыг барьж чаддаг байх хэрэгтэй.

Муруй трапецаар эхэлцгээе. Муруй трапец гэдэг нь зарим функцийн графикаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм y = е(x), тэнхлэг ҮХЭРболон шугамууд x = а; x = б.

Муруй шугаман трапецын талбай нь тодорхой интегралтай тоогоор тэнцүү байна

Аливаа тодорхой интеграл (байгаа) нь маш сайн геометрийн утгатай. Хичээл дээр Тодорхой интеграл. Тодорхой интеграл бол тоо гэж бид хэлсэн шийдлүүдийн жишээ. Одоо өөр нэг хэрэгтэй баримтыг хэлэх цаг болжээ. Геометрийн үүднээс авч үзвэл тодорхой интеграл нь AREA юм. Өөрөөр хэлбэл, тодорхой интеграл (хэрэв байгаа бол) геометрийн хувьд тодорхой дүрсийн талбайтай тохирч байна. Тодорхой интегралыг авч үзье

Интеграл

хавтгай дээрх муруйг тодорхойлдог (хэрэв хүсвэл үүнийг зурж болно), тодорхой интеграл нь өөрөө харгалзах муруйн трапецын талбайтай тоогоор тэнцүү байна.

Жишээ 1

, , , .

Энэ бол даалгаврын ердийн мэдэгдэл юм. Шийдвэр гаргахад хамгийн чухал зүйл бол зураг зурах явдал юм. Түүнээс гадна зургийг ЗӨВ барьсан байх ёстой.

Зургийг бүтээхдээ би дараах дарааллыг хийхийг зөвлөж байна: эхлээд бүх шулуун шугамыг (хэрэв байгаа бол), зөвхөн дараа нь - парабол, гипербол болон бусад функцүүдийн графикийг барих нь дээр. Цэгээр барих арга техникийг үндсэн функцүүдийн график ба шинж чанаруудын лавлах материалаас олж болно. Тэнд та бидний хичээлд маш хэрэгтэй материалыг олж авах боломжтой - параболыг хэрхэн хурдан бүтээх вэ.

Энэ асуудлын шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно.

Зургийг хийцгээе (тэгшитгэлийг анхаарна уу y= 0 нь тэнхлэгийг заана ҮХЭР):

Бид муруй трапецийг сүүдэрлэхгүй, энд бид ямар талбайн тухай ярьж байгаа нь тодорхой байна. Шийдэл дараах байдлаар үргэлжилнэ.

Сегмент дээр [-2; 1] функцын график y = x 2 + 2 нь тэнхлэгээс дээш байрладаг ҮХЭР, Тийм учраас:

Хариулт: .

Тодорхой интегралыг тооцоолох, Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэхэд бэрхшээлтэй хүмүүс

,

Тодорхой интеграл лекцээс үзнэ үү. Шийдлийн жишээ. Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд бид зургийн эсийн тоог "нүдээр" тоолдог - 9 орчим байх болно, энэ нь үнэн юм шиг байна. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэсэн хариултыг авсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь тодорхой байна, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн.

Жишээ 2

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол xy = 4, x = 2, x= 4 ба тэнхлэг ҮХЭР.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Хэрэв муруй трапец тэнхлэгийн доор байрладаг бол яах вэ ҮХЭР?

Жишээ 3

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол y = e-x, x= 1 ба координатын тэнхлэгүүд.

Шийдэл: Зураг зурцгаая:

Хэрэв муруй трапец нь тэнхлэгийн доор бүрэн байрласан бол ҮХЭР, дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Энэ тохиолдолд:

.

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.

2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая хэлэлцсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.

Практикт ихэнхдээ зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг тул сургуулийн хамгийн энгийн асуудлаас эхлээд илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилждэг.

Жишээ 4

Шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгайн дүрсийн талбайг ол y = 2x – x 2 , y = -x.

Шийдэл: Эхлээд та зураг зурах хэрэгтэй. Талбайн асуудалд зураг зурахдаа бид шугамын огтлолцох цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Параболын огтлолцох цэгүүдийг олъё y = 2x – x 2 ба шулуун y = -x. Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга нь аналитик юм. Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Энэ нь интеграцийн доод хязгаар гэсэн үг юм а= 0, интеграцийн дээд хязгаар б= 3. Ихэнхдээ шугамыг цэгээр байгуулах нь илүү ашигтай бөгөөд хурдан байдаг бөгөөд интеграцийн хязгаар нь "өөрөө" тодорхой болдог. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл нарийвчилсан бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог. Даалгавар руугаа буцъя: эхлээд шулуун шугам, дараа нь парабола барих нь илүү оновчтой юм. Зураг зурцгаая:

Цэгэн чиглэлд барихдаа интеграцийн хязгаарыг ихэвчлэн "автоматаар" тодорхойлдог гэдгийг давтан хэлье.

Одоо ажлын томъёо:

Хэрэв сегмент дээр байгаа бол [ а; б] зарим тасралтгүй функц е(x) зарим тасралтгүй функцээс их буюу тэнцүү байна g(x), харгалзах зургийн талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Энд та зураг хаана байрлаж байгаа талаар бодох шаардлагагүй болсон - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгээс доош, гэхдээ аль график нь ИЛҮҮ (өөр графиктай харьцуулахад), аль нь ДООР байх нь чухал юм.

Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрлах нь тодорхой байна, тиймээс 2-оос x – x 2-ыг хасах хэрэгтэй - x.

Дууссан шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно:

Хүссэн дүрс нь параболоор хязгаарлагддаг y = 2x – x 2 дээд ба шулуун y = -xдоор.

2-р сегмент дээр x – x 2 ≥ -x. Холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт: .

Үнэн хэрэгтээ доод хагас хавтгай дахь муруйн трапецын талбайн сургуулийн томъёо (3-р жишээг үзнэ үү) нь томьёоны онцгой тохиолдол юм.

.

Учир нь тэнхлэг ҮХЭРтэгшитгэлээр өгөгдсөн y= 0, мөн функцийн график g(x) тэнхлэгийн доор байрладаг ҮХЭР, Тэр

.

Одоо өөрийнхөө шийдлийн хэд хэдэн жишээ

Жишээ 5

Жишээ 6

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол

Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолохтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд заримдаа инээдтэй тохиолдол гардаг. Зураг зөв хийгдсэн, тооцоо зөв байсан, гэхдээ хайхрамжгүй байдлаас болж ... буруу зургийн талбай олдсон.

Жишээ 7

Эхлээд зураг зуръя:

Бидний олох ёстой талбайг цэнхэр өнгөөр ​​​​будсан байна (нөхцөл байдлыг анхааралтай ажиглаарай - зураг хэрхэн хязгаарлагдмал байна!). Гэвч практик дээр анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж хүмүүс ихэвчлэн ногоон өнгөөр ​​сүүдэрлэсэн зургийн хэсгийг олох хэрэгтэй гэж шийддэг!

Энэ жишээ нь тодорхой хоёр интеграл ашиглан дүрсийн талбайг тооцдог тул бас хэрэгтэй. Үнэхээр:

1) сегмент дээр [-1; 1] тэнхлэгээс дээш ҮХЭРграфик нь шулуун байрладаг y = x+1;

2) Тэнхлэгээс дээш сегмент дээр ҮХЭРгиперболын график байрладаг y = (2/x).

Талбайг нэмэх боломжтой (мөн байх ёстой) нь ойлгомжтой тул:

Хариулт:

Жишээ 8

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол

Тэгшитгэлүүдийг "сургууль" хэлбэрээр үзүүлье

мөн цэгээр нь зурах:

Бидний дээд хязгаар "сайн" байгаа нь зурагнаас тодорхой харагдаж байна. б = 1.

Гэхдээ доод хязгаар нь юу вэ?! Энэ бүхэл тоо биш гэдэг нь ойлгомжтой, гэхдээ энэ нь юу вэ?

байж магадгүй, а=(-1/3)? Гэхдээ зургийг төгс нарийвчлалтай хийсэн гэсэн баталгаа хаана байна вэ, энэ нь тодорхой болж магадгүй юм а=(-1/4). Хэрэв бид графикийг буруу барьсан бол яах вэ?

Ийм тохиолдолд та нэмэлт цаг зарцуулж, аналитик байдлаар нэгтгэх хязгаарыг тодруулах хэрэгтэй.

Графикуудын огтлолцох цэгүүдийг олъё

Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийг шийднэ.

.

Тиймээс, а=(-1/3).

Цаашдын шийдэл нь өчүүхэн юм. Хамгийн гол нь орлуулалт, тэмдгүүдэд андуурч болохгүй. Энд байгаа тооцоо нь хамгийн энгийн зүйл биш юм. Сегмент дээр

, ,

холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт:

Хичээлийг дуусгахын тулд өөр хоёр хэцүү даалгаврыг авч үзье.

Жишээ 9

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол

Шийдэл: Энэ дүрсийг зурган дээр дүрсэлцгээе.

Цэг цэгийн зургийг бүтээхийн тулд та синусоидын дүр төрхийг мэдэх хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бүх энгийн функцүүдийн график, мөн зарим синусын утгыг мэдэх нь ашигтай байдаг. Тэдгээрийг тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтээс олж болно. Зарим тохиолдолд (жишээлбэл, энэ тохиолдолд) бүдүүвч зураг зурах боломжтой бөгөөд үүнд график, интеграцийн хязгаарыг үндсэндээ зөв харуулах ёстой.

Энд нэгдмэл байдлын хязгаарлалттай холбоотой асуудал байхгүй, тэдгээр нь нөхцөл байдлаас шууд хамаардаг;

– “x” тэгээс “pi” болж өөрчлөгдөнө. Цаашид шийдвэрээ гаргацгаая:

Сегмент дээр функцийн график y= нүгэл 3 xтэнхлэгээс дээш байрладаг ҮХЭР, Тийм учраас:

(1) Та тригонометрийн функцүүдийн интеграл хичээлээс синус ба косинусыг сондгой зэрэглэлд хэрхэн нэгтгэж байгааг харж болно. Бид нэг синусыг хавчих.

(2) Бид үндсэн тригонометрийн таних тэмдгийг хэлбэрээр ашигладаг

(3) Хувьсагчийг өөрчилье т= cos x, тэгвэл: тэнхлэгийн дээгүүр байрласан тул:

.

.

Тэмдэглэл: Шүргэдэг кубын интеграл нь үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдлын үр дүнд хэрхэн ашиглагдаж байгааг анхаарна уу

.

A)

Шийдэл.

Шийдвэрийн эхний бөгөөд хамгийн чухал зүйл бол зураг зурах явдал юм.

Зураг зурцгаая:

Тэгшитгэл y=0"x" тэнхлэгийг тохируулна;

- x=-2Тэгээд x=1- шулуун, тэнхлэгтэй зэрэгцээ Өө;

- y=x 2 +2 -(0;2) цэг дээр оройтой, мөчрүүд нь дээшээ чиглэсэн парабол.

Сэтгэгдэл. Параболыг барихын тулд координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олоход хангалттай, өөрөөр хэлбэл. тавих x=0тэнхлэгтэй огтлолцох хэсгийг ол Өөхаргалзах квадрат тэгшитгэлийг шийдэж, тэнхлэгтэй огтлолцолыг ол Өө .

Параболын оройг дараах томъёогоор олж болно.

Та мөн шугамыг цэгээр барьж болно.

[-2;1] интервал дээр функцийн график y=x 2 +2тэнхлэгээс дээш байрладаг Үхэр, Тийм учраас:

Хариулт: С=9 м.кв нэгж

Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд "нүдээр" бид зургийн эсийн тоог тоолдог - 9 орчим байх болно, энэ нь үнэн юм шиг санагдаж байна. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэсэн хариултыг авсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь тодорхой байна, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн.

Хэрэв муруй трапец тэнхлэгийн доор байрладаг бол яах вэ Өө?

б) шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол y=-e x , x=1ба координат тэнхлэгүүд.

Шийдэл.

Зураг зурцгаая.

Хэрэв муруй трапец нь тэнхлэгийн доор бүрэн байрласан бол Өө , Дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Хариулт: S=(e-1)кв. нэгж" 1.72 кв. нэгж

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.

2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая хэлэлцсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.

Практикт ихэвчлэн зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг.

в) Шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол y=2x-x 2, y=-x.

Шийдэл.

Эхлээд та зургийг дуусгах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид талбайн асуудалд зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Параболын огтлолцох цэгүүдийг олъё ба шулуун Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга нь аналитик юм.

Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Энэ нь интеграцийн доод хязгаар гэсэн үг юм a=0, интеграцийн дээд хязгаар b=3 .

Та шугамыг цэгээр байгуулж болох бөгөөд интеграцийн хязгаар "өөрөө" тодорхой болно. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл нарийвчилсан бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог.

Хүссэн дүрс нь дээрх парабол, доор нь шулуун шугамаар хязгаарлагддаг.

Сегмент дээр , холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт: С=4.5 м.кв нэгж

Функц нь сөрөг биш ба интервал дээр тасралтгүй байг. Дараа нь тодорхой интегралын геометрийн утгын дагуу муруйн трапецын талбайг дээрх функцийн графикаар, доороос нь тэнхлэгээр, зүүн, баруун талд нь шулуун шугамаар хязгаарласан ба (2-р зургийг үз) байна. томъёогоор тооцоолно

Жишээ 9. Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол ба тэнхлэг.

Шийдэл. Функцийн график мөчрүүд нь доош чиглэсэн парабол юм. Үүнийг бүтээцгээе (Зураг 3). Интегралчлалын хязгаарыг тодорхойлохын тулд бид тэнхлэгтэй (шулуун шугам) шугамын (парабол) огтлолцох цэгүүдийг олдог. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийн системийг шийддэг

Бид авах: , хаана , ; иймээс, , .

Цагаан будаа. 3

Бид (5) томъёог ашиглан зургийн талбайг олно.

Хэрэв функц нь сегмент дээр эерэг биш бөгөөд тасралтгүй байвал муруй шугаман трапецын талбайг доороос энэ функцийн графикаар, дээр нь тэнхлэгээр, зүүн ба баруун талд шулуун шугамаар хязгаарласан ба , -ээр тооцоолно. томъёо

. (6)

Хэрэв функц нь сегмент дээр тасралтгүй бөгөөд хязгаарлагдмал тооны цэгүүдэд тэмдэг өөрчлөгдвөл сүүдэрлэсэн зургийн талбай (Зураг 4) нь харгалзах тодорхой интегралуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Цагаан будаа. 4

Жишээ 10. Тэнхлэг болон функцийн графикаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.

Цагаан будаа. 5

Шийдэл. Зураг зурцгаая (Зураг 5). Шаардлагатай талбай нь талбайн нийлбэр ба . Эдгээр талбар бүрийг олцгооё. Нэгдүгээрт, бид системийг шийдэх замаар интеграцийн хязгаарыг тодорхойлдог Бид авдаг, . Тиймээс:

;

.

Тиймээс сүүдэрлэсэн зургийн талбай нь байна

(кв. нэгж).

Цагаан будаа. 6

Төгсгөлд нь муруйн трапецийг сегмент дээр тасралтгүй функцүүдийн графикаар дээд ба доор хязгаарлая.
мөн зүүн ба баруун талд - шулуун шугамууд ба (Зураг 6). Дараа нь түүний талбайг томъёогоор тооцоолно

. (8)

Жишээ 11. ба шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг ол.

Шийдэл.Энэ зургийг Зураг дээр үзүүлэв. 7. Түүний талбайг (8) томъёогоор тооцоолъё. Тэгшитгэлийн системийг шийдэхдээ бид олдог, ; иймээс, , . Бид сегмент дээр: . Энэ нь (8) томъёонд бид дараах байдлаар авна гэсэн үг юм x, мөн чанарын хувьд – . Бид авах:

(кв. нэгж).

Талбайг тооцоолох илүү төвөгтэй асуудлууд нь зургийг давхцаагүй хэсгүүдэд хувааж, бүх зургийн талбайг эдгээр хэсгүүдийн талбайн нийлбэр болгон тооцоолох замаар шийдэгддэг.

Цагаан будаа. 7

Жишээ 12. , , шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг ол.

Шийдэл. Зураг зурцгаая (Зураг 8). Энэ зургийг доороос тэнхлэгээр, зүүн ба баруун тийш шулуун шугамаар, дээрээс нь функцийн графикаар хязгаарласан муруйн трапец гэж үзэж болно. Зураг нь дээрээс хоёр функцийн графикаар хязгаарлагддаг тул түүний талбайг тооцоолохын тулд бид энэ шулуун шугамын дүрсийг хоёр хэсэгт хуваана (1 нь шугамын огтлолцох цэгийн абсцисса ба ). Эдгээр хэсэг бүрийн талбайг (4) томъёогоор олно.

(кв. нэгж); (кв. нэгж). Тиймээс:

(кв. нэгж).

Цагаан будаа. 8

Цагаан будаа. 9

Дүгнэж хэлэхэд, хэрэв муруйн трапец нь шулуун шугамаар хязгаарлагдмал ба , тэнхлэг ба муруй дээр тасралтгүй үргэлжилдэг (Зураг 9) бол түүний талбайг томъёогоор олно гэдгийг бид тэмдэглэж байна.

Биеийн эргэлтийн хэмжээ

Сегмент, тэнхлэг, шулуун ба тэнхлэг дээр тасралтгүй функцийн графикаар хязгаарлагдсан муруй шугаман трапецийг тэнхлэгийг тойрон эргэцгээе (Зураг 10). Дараа нь үүссэн эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолно

. (9)

Жишээ 13. Гипербол, шулуун ба тэнхлэгээр хязгаарлагдсан муруйн трапецын тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл. Зураг зурцгаая (Зураг 11).

Асуудлын нөхцөл байдлаас үзэхэд , . Томъёогоор (9) бид олж авна

.

Цагаан будаа. 10

Цагаан будаа. 11

Нэг тэнхлэгийг тойрон эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүн Өөшулуун шугамаар хязгаарлагдсан муруйн трапец у = вТэгээд y = d, тэнхлэг Өөба томьёогоор тодорхойлогддог сегмент дэх тасралтгүй функцийн график (Зураг 12).

. (10)

Цагаан будаа. 12

Жишээ 14. Нэг тэнхлэгийг тойрон эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол Өөшугамаар хязгаарлагдсан муруйн трапец X 2 = 4цагт, у = 4, x = 0 (Зураг 13).

Шийдэл. Асуудлын нөхцөлийн дагуу бид интеграцийн хязгаарыг олно: , . Томъёо (10) ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Цагаан будаа. 13

Хавтгай муруйны нумын урт

, тэгшитгэлээр өгөгдсөн муруй нь хавтгайд хэвтэж байг (Зураг 14).

Цагаан будаа. 14

Тодорхойлолт. Нумын урт гэдэг нь энэ нуманд сийлсэн тасархай шугамын урт нь хязгааргүй байх хандлагатай байх үед эвдэрсэн шугамын холбоосын тоо хязгааргүй, хамгийн том холбоосын урт тэг болох хандлагатай байгаа хязгаарыг ойлгодог.

Хэрэв функц ба түүний дериватив сегмент дээр тасралтгүй байвал муруйн нумын уртыг томъёогоор тооцоолно.

. (11)

Жишээ 15. Цэгүүдийн хооронд бэхлэгдсэн муруйн нумын уртыг тооцоол .

Шийдэл. Бидэнд байгаа асуудлын нөхцөл байдлаас . Томъёо (11) ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

.

4. Буруу интеграл
интеграцийн хязгааргүй хязгаартай

Тодорхой интегралын тухай ойлголтыг нэвтрүүлэхдээ дараахь хоёр нөхцөл хангагдсан гэж үзсэн.

a) интеграцийн хязгаар Амөн хязгаарлагдмал;

б) интеграл нь интервал дээр хязгаарлагддаг.

Хэрэв эдгээр нөхцлүүдийн дор хаяж нэг нь хангагдаагүй бол интегралыг дуудна чинийх биш.

Эхлээд интегралын хязгааргүй хязгаартай буруу интегралуудыг авч үзье.

Тодорхойлолт. Функц нь интервал дээр тодорхойлогддог ба тасралтгүй байгмөн баруун талд хязгааргүй (Зураг 15).

Хэрэв буруу интеграл нийлбэл энэ талбай төгсгөлтэй байна; хэрэв буруу интеграл ялгарах юм бол энэ талбай хязгааргүй болно.

Цагаан будаа. 15

Интегралын хязгааргүй доод хязгаартай буруу интегралыг дараах байдлаар тодорхойлно.

. (13)

Хэрэв тэгш байдлын баруун талын хязгаар (13) байгаа бөгөөд төгсгөлтэй байвал энэ интеграл нийлдэг; эс бөгөөс интегралыг дивергент гэнэ.

Интегралын хоёр хязгааргүй хязгаартай зохисгүй интегралыг дараах байдлаар тодорхойлно.

, (14)

Энд с нь интервалын дурын цэг юм. Тэгш байдлын (14) баруун талын интеграл хоёулаа нийлсэн тохиолдолд л интеграл нийлнэ.

G) = [ хуваарьт бүрэн квадратыг сонгоно уу: ] = [солих:

] =

Энэ нь буруу интеграл нийлж, утга нь -тэй тэнцүү байна гэсэн үг.

Үнэн хэрэгтээ дүрсийн талбайг олохын тулд тодорхойгүй ба тодорхой интегралын талаар тийм ч их мэдлэг хэрэггүй. "Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох" даалгавар нь үргэлж зураг зурахтай холбоотой байдаг тул таны зураг зурах мэдлэг, ур чадвар илүү тулгамдсан асуулт байх болно. Үүнтэй холбогдуулан үндсэн үндсэн функцүүдийн графикуудын талаархи ой санамжаа сэргээж, хамгийн багаар бодоход шулуун шугам, гиперболыг бүтээх чадвартай байх нь ашигтай байдаг.

Муруй трапец гэдэг нь тэнхлэг, шулуун шугамууд болон энэ интервал дээр тэмдэг өөрчлөгддөггүй сегмент дээр үргэлжилсэн функцийн графикаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм. Энэ зургийг байрлуулахыг зөвшөөрнө үү доогуур биш x тэнхлэг:

Дараа нь муруйн трапецын талбай нь тодорхой интегралтай тоогоор тэнцүү байна. Аливаа тодорхой интеграл (байгаа) нь маш сайн геометрийн утгатай.

Геометрийн үүднээс авч үзвэл тодорхой интеграл нь AREA юм.

Өөрөөр хэлбэл, тодорхой интеграл (хэрэв байгаа бол) геометрийн хувьд тодорхой дүрсийн талбайтай тохирч байна. Жишээлбэл, тодорхой интегралыг авч үзье. Интеграл нь тэнхлэгийн дээгүүр байрлах хавтгай дээрх муруйг тодорхойлдог (хүссэн хүмүүс зураг зурах боломжтой) бөгөөд тодорхой интеграл нь өөрөө харгалзах муруйн трапецын талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна.

Жишээ 1

Энэ бол даалгаврын ердийн мэдэгдэл юм. Шийдвэрийн эхний бөгөөд хамгийн чухал зүйл бол зураг зурах явдал юм. Түүнээс гадна зургийг ЗӨВ барьсан байх ёстой.

Зураг зурахдаа би дараах дарааллыг санал болгож байна: эхлээд бүх шулуун шугамыг (хэрэв байгаа бол) барих нь дээр, зөвхөн дараа нь - парабол, гипербол, бусад функцүүдийн графикийг зурах нь дээр. Функцийн графикийг цэгээр нь байгуулах нь илүү ашигтай байдаг.

Энэ асуудлын шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно.
Зургийг зурцгаая (тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог болохыг анхаарна уу):

Сегмент дээр функцийн график нь тэнхлэгээс дээш байрладаг тул:

Хариулт:

Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд "нүдээр" бид зургийн эсийн тоог тоолдог - 9 орчим байх болно, энэ нь үнэн юм шиг санагдаж байна. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэсэн хариултыг авсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь тодорхой байна, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн.

Жишээ 3

Шугаман ба координатын тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Зураг зурцгаая:

Хэрэв муруй трапец нь тэнхлэгийн доор байрладаг бол (эсвэл дор хаяж өндөргүйөгөгдсөн тэнхлэг), дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Энэ тохиолдолд:

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.

2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая хэлэлцсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.

Практикт ихэнхдээ зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг тул сургуулийн хамгийн энгийн асуудлаас эхлээд илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилждэг.

Жишээ 4

, шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.

Шийдэл: Эхлээд та зураг зурах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид талбайн асуудалд зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Парабола ба шулуун шугамын огтлолцох цэгүүдийг олъё. Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга нь аналитик юм. Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Интеграцийн доод хязгаар нь , дээд хязгаар нь .

Боломжтой бол энэ аргыг хэрэглэхгүй байх нь дээр.

Шугамыг цэгээр нь барих нь илүү ашигтай бөгөөд хурдан бөгөөд интеграцийн хязгаар нь "өөрөө" тодорхой болно. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл нарийвчилсан бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог. Мөн бид ийм жишээг авч үзэх болно.

Даалгавар руугаа буцъя: эхлээд шулуун шугам, дараа нь парабола барих нь илүү оновчтой юм. Зураг зурцгаая:

Одоо ажлын томьёо: Хэрэв сегмент дээрх зарим тасралтгүй функц нь зарим тасралтгүй функцээс их буюу тэнцүү байвал эдгээр функцуудын графикууд болон шулуун шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Энд та зураг хаана байрлаж байгаа талаар бодох шаардлагагүй болсон - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор байгаа бөгөөд ойролцоогоор хэлэхэд аль график нь ӨНДӨР (өөр графиктай харьцуулахад), аль нь ДООР байх нь чухал юм.

Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байгаа тул үүнээс хасах шаардлагатай байна.

Дууссан шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно:

Хүссэн дүрс нь дээрх парабол, доор нь шулуун шугамаар хязгаарлагддаг.
Харгалзах томъёоны дагуу сегмент дээр:

Хариулт:

Жишээ 4

, , , шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Эхлээд зураг зуръя:

Бидний олох ёстой талбайг цэнхэр өнгөөр ​​​​будсан байна (нөхцөл байдлыг анхааралтай ажиглаарай - зураг хэрхэн хязгаарлагдмал байна!). Гэвч практик дээр анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж ногоон өнгөөр ​​сүүдэрлэсэн зургийн талбайг олох шаардлагатай "гажиг" ихэвчлэн гардаг!

Энэ жишээ нь хоёр тодорхой интеграл ашиглан зургийн талбайг тооцоолоход бас ашигтай юм.

Үнэхээр:

1) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр шулуун шугамын график байна;

2) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр гиперболын график байна.

Талбайг нэмэх боломжтой (мөн байх ёстой) нь ойлгомжтой тул:

Вэбсайтад математикийн томъёог хэрхэн оруулах вэ?

Хэрэв та хэзээ нэгэн цагт вэб хуудсанд нэг юмуу хоёр математикийн томьёо нэмэх шаардлагатай бол үүнийг хийх хамгийн хялбар арга бол нийтлэлд дурдсанчлан: математикийн томъёог Wolfram Alpha-ийн автоматаар үүсгэсэн зураг хэлбэрээр сайтад хялбархан оруулдаг. . Энгийн байдлаас гадна энэ бүх нийтийн арга нь хайлтын системд сайтын харагдах байдлыг сайжруулахад тусална. Энэ нь удаан хугацаанд ажиллаж байгаа (мөн үүрд ажиллах болно гэж бодож байна), гэхдээ аль хэдийн ёс суртахууны хувьд хоцрогдсон.

Хэрэв та сайт дээрээ математикийн томьёо байнга ашигладаг бол MathML, LaTeX эсвэл ASCIIMathML тэмдэглэгээг ашиглан вэб хөтчүүдэд математик тэмдэглэгээг харуулдаг тусгай JavaScript номын сан болох MathJax-г ашиглахыг зөвлөж байна.

MathJax-г ашиглаж эхлэх хоёр арга бий: (1) энгийн код ашиглан та MathJax скриптийг өөрийн вэбсайт руу хурдан холбох боломжтой бөгөөд энэ нь зөв цагт алсын серверээс автоматаар ачаалагдах болно (серверүүдийн жагсаалт); (2) MathJax скриптийг алсын серверээс сервертээ татаж аваад сайтынхаа бүх хуудсанд холбоно уу. Хоёрдахь арга нь илүү төвөгтэй бөгөөд цаг хугацаа их шаарддаг - таны сайтын хуудсуудыг ачааллыг хурдасгах бөгөөд хэрэв эх MathJax сервер ямар нэг шалтгаанаар түр ажиллахгүй бол энэ нь таны сайтад ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй. Эдгээр давуу талуудыг үл харгалзан би илүү хялбар, хурдан бөгөөд техникийн ур чадвар шаарддаггүй тул эхний аргыг сонгосон. Миний жишээг дагаж, ердөө 5 минутын дотор та MathJax-ийн бүх боломжуудыг сайт дээрээ ашиглах боломжтой болно.

Та MathJax номын сангийн скриптийг алсын серверээс MathJax-ийн үндсэн вэбсайтаас эсвэл баримт бичгийн хуудаснаас авсан хоёр кодын сонголтыг ашиглан холбож болно.

Эдгээр кодын сонголтуудын аль нэгийг таны вэб хуудасны код руу хуулж, шошгоны хооронд болон шошгоны дараа шууд буулгах шаардлагатай. Эхний хувилбарын дагуу MathJax илүү хурдан ачаалж, хуудсыг бага удаашруулдаг. Гэхдээ хоёр дахь сонголт нь MathJax-ийн хамгийн сүүлийн хувилбаруудыг автоматаар хянаж, ачаалдаг. Хэрэв та эхний кодыг оруулбал үүнийг үе үе шинэчлэх шаардлагатай болно. Хэрэв та хоёр дахь кодыг оруулбал хуудаснууд илүү удаан ачаалах боловч MathJax-ийн шинэчлэлтийг байнга хянах шаардлагагүй болно.

MathJax-г холбох хамгийн хялбар арга бол Blogger эсвэл WordPress дээр: сайтын хяналтын самбарт гуравдагч этгээдийн JavaScript код оруулах зориулалттай виджет нэмж, дээр дурдсан татаж авах кодын эхний эсвэл хоёр дахь хувилбарыг хуулж, виджетийг ойртуулна уу. Загварын эхэнд (дашрамд хэлэхэд, энэ нь огт шаардлагагүй, учир нь MathJax скрипт асинхроноор ачаалагдсан байдаг). Ингээд л болоо. Одоо MathML, LaTeX, ASCIIMathML-ийн тэмдэглэгээний синтаксийг сурснаар та сайтынхаа вэб хуудсанд математикийн томьёо оруулахад бэлэн боллоо.

Аливаа фрактал нь тодорхой дүрмийн дагуу бүтээгдсэн бөгөөд үүнийг хязгааргүй олон удаа тогтмол хэрэглэдэг. Ийм цаг бүрийг давталт гэж нэрлэдэг.

Менгер хөвөнг бүтээх давталтын алгоритм нь маш энгийн: 1-р талтай анхны шоо нь нүүртэйгээ параллель хавтгайгаар хуваагдаж 27 тэнцүү шоо болж хуваагдана. Үүнээс нэг төв шоо, түүнтэй зэргэлдээх 6 кубыг нүүрний дагуу гаргаж авдаг. Үр дүн нь үлдсэн 20 жижиг шооноос бүрдсэн багц юм. Эдгээр шоо тус бүртэй ижил зүйлийг хийснээр бид 400 жижиг шооноос бүрдэх багцыг авна. Энэ үйл явцыг эцэс төгсгөлгүй үргэлжлүүлснээр бид Menger хөвөн авдаг.