СЭДЭВ: Рационал бутархайн интегралчлал.
Анхаар! Интегралчлалын үндсэн аргуудын нэг болох рационал бутархайн интеграцийг судлахдаа нарийн нотолгоо хийхийн тулд цогц муж дахь олон гишүүнтүүдийг авч үзэх шаардлагатай. Тиймээс зайлшгүй шаардлагатай урьдчилан судлах нийлмэл тооны зарим шинж чанар, тэдгээрт хийх үйлдлүүд.
Энгийн рационал бутархайн интеграл.
Хэрэв П(z) Тэгээд Q(z) Эдгээр нь нийлмэл мужид олон гишүүнт байвал рационал бутархай болно. гэж нэрлэдэг зөв, хэрвээ зэрэг П(z) бага зэрэг Q(z) , Мөн буруу, хэрвээ зэрэг Р зэрэгээс багагүй Q.
Аливаа буруу бутархайг дараах байдлаар илэрхийлж болно. 
,
P(z) = Q(z) S(z) + R(z),
а Р(z) – зэрэг нь градусаас бага олон гишүүнт Q(z).
Тиймээс рационал бутархайн интеграл нь зөв бутархай учраас олон гишүүнт, өөрөөр хэлбэл хүчний функц, зөв бутархайн интегралд ордог.
Тодорхойлолт 5. Хамгийн энгийн (эсвэл энгийн) бутархай нь дараах төрлийн бутархай байна.
1) , 2) , 3) , 4) 
.
Тэд хэрхэн нэгтгэж байгааг олж мэдье.
3) 
(өмнө нь судалж байсан).
Теорем 5. Зөв бутархай бүрийг энгийн бутархайн нийлбэрээр (баталгаагүй) төлөөлж болно.
Дүгнэлт 1. Хэрэв зөв рационал бутархай бөгөөд олон гишүүнтийн язгууруудын дунд зөвхөн энгийн бодит язгуурууд байгаа бол бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задлахад 1-р төрлийн энгийн бутархайнууд л байх болно.
Жишээ 1.
Дүгнэлт 2. Хэрэв зөв рационал бутархай бөгөөд олон гишүүнтийн язгуур дунд зөвхөн олон бодит язгуур байвал бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задлахад 1 ба 2-р төрлийн энгийн бутархай л байх болно. :
Жишээ 2.
Дүгнэлт 3. Хэрэв зөв рационал бутархай бөгөөд олон гишүүнтийн язгууруудын дунд зөвхөн энгийн нийлмэл нийлмэл язгуурууд байвал бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задлахад 3-р төрлийн энгийн бутархай л байх болно.
Жишээ 3.
Дүгнэлт 4. Хэрэв зөв рационал бутархай бөгөөд олон гишүүнтийн язгууруудын дунд зөвхөн олон нийлмэл нийлмэл язгуур байвал бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задлахад 3 ба 4-р бутархай л байх болно. төрөл:
Өгөгдсөн өргөтгөлүүдийн үл мэдэгдэх коэффициентийг тодорхойлохын тулд дараах байдлаар ажиллана. Үл мэдэгдэх коэффициент агуулсан өргөтгөлийн зүүн ба баруун талыг үржүүлэв Хоёр олон гишүүнтийн тэгш байдал үүснэ. Үүнээс шаардлагатай коэффициентүүдийн тэгшитгэлийг дараахь байдлаар авна.
1. тэгш байдал нь X-ийн аль ч утгын хувьд үнэн (хэсэгчилсэн утгын арга). Энэ тохиолдолд дурын тооны тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд тэдгээрийн аль ч m нь үл мэдэгдэх коэффициентийг олох боломжийг олгодог.
2. коэффициентүүд нь X-ийн ижил зэрэгтэй давхцдаг (тодорхойгүй коэффициентүүдийн арга). Энэ тохиолдолд үл мэдэгдэх коэффициентүүдийг олдог m - үл мэдэгдэх m - тэгшитгэлийн системийг олж авна.
3. хосолсон арга.
Жишээ 5. Бутархайг томруулна уу 
хамгийн энгийн рүү.
Шийдэл:
А ба В коэффициентийг олъё.
Арга 1 - хувийн үнэ цэнийн арга:
Арга 2 - тодорхойгүй коэффициентийн арга:
Хариулт: 
Рационал бутархайг нэгтгэх.
Теорем 6. Аливаа рационал бутархайн тодорхойгүй интеграл нь хуваарь нь 0-тэй тэнцүү биш аль ч интервал дээр байдаг бөгөөд рационал бутархай, логарифм, арктангенс гэх мэт энгийн функцээр илэрхийлэгддэг.
Баталгаа.
Рационал бутархайг дараах хэлбэрээр төсөөлье. 
. Энэ тохиолдолд сүүлийн гишүүн нь зөв бутархай байх ба 5-р теоремын дагуу энгийн бутархайн шугаман хослолоор төлөөлүүлж болно. Тиймээс рационал бутархайн интеграл нь олон гишүүнтийн интеграл болж буурдаг С(x)
ба энгийн бутархай, тэдгээрийн эсрэг деривативууд нь теоремд заасан хэлбэртэй байна.
Сэтгэгдэл. Энэ тохиолдолд гол бэрхшээл бол хуваагчийг хүчин зүйл болгох, өөрөөр хэлбэл түүний бүх үндсийг хайх явдал юм.
Жишээ 1. Интегралыг ол
Би аль хэдийн тэмдэглэсэнчлэн интеграл тооцоололд бутархайг нэгтгэх тохиромжтой томъёо байдаггүй. Тиймээс гунигтай хандлага бий: бутархай нь илүү боловсронгуй байх тусам түүний интегралыг олоход хэцүү байдаг. Үүнтэй холбогдуулан та янз бүрийн заль мэхийг ашиглах хэрэгтэй бөгөөд би одоо танд хэлэх болно. Бэлтгэсэн уншигчид тэр даруй давуу талыг ашиглах боломжтой агуулгын хүснэгт:
- Энгийн бутархайн дифференциал тэмдгийг тооцох арга
Хиймэл тоологч хувиргах арга
Жишээ 1
Дашрамд хэлэхэд, авч үзсэн интегралыг хувьсагчийн аргыг өөрчлөх замаар шийдэж болно, гэхдээ шийдлийг бичих нь илүү урт байх болно.
Жишээ 2
Тодорхой бус интегралыг ол. Шалгалт хийх.
Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хувьсах солих арга энд цаашид ажиллахгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
Анхаар, чухал! Жишээ № 1, 2 нь ердийн бөгөөд байнга тохиолддог. Ялангуяа ийм интегралууд нь бусад интегралуудыг шийдвэрлэх явцад, ялангуяа иррационал функцуудыг (үндэс) нэгтгэх үед үүсдэг.
Энэ тохиолдолд авч үзсэн техник нь бас ажилладаг хэрэв тоологчийн хамгийн дээд зэрэг нь хуваагчийн хамгийн дээд зэргээс их бол.
Жишээ 3
Тодорхой бус интегралыг ол. Шалгалт хийх.
Бид тоологчийг сонгож эхэлдэг.
Тоолуурыг сонгох алгоритм нь дараах байдалтай байна.
1) Тоолуур дээр би зохион байгуулах хэрэгтэй, гэхдээ тэнд . Юу хийх вэ? Би үүнийг хаалтанд хийж: -ээр үржүүлнэ.
2) Одоо би эдгээр хаалтуудыг нээхийг оролдсон, юу болох вэ? . Хмм... энэ нь дээр, гэхдээ анх тоологчийн хувьд хоёр байхгүй. Юу хийх вэ? Та үржүүлэх хэрэгтэй:
3) Би хаалтуудыг дахин нээв: . Мөн анхны амжилт энд байна! Энэ нь зөв болсон! Гэхдээ асуудал нь нэмэлт нэр томъёо гарч ирсэн явдал юм. Юу хийх вэ? Илэрхийлэл өөрчлөгдөхөөс сэргийлэхийн тулд би өөрийн бүтэцдээ ижил зүйлийг нэмэх ёстой: 
. Амьдрал илүү хялбар болсон. Тоолуур дээр дахин зохион байгуулах боломжтой юу?
4) Энэ нь боломжтой. Оролдоод үзье: 
. Хоёрдахь гишүүний хаалтыг нээ: 
. Уучлаарай, гэхдээ өмнөх алхам дээр надад байсан, гэхдээ . Юу хийх вэ? Та хоёр дахь гишүүнийг дараах байдлаар үржүүлэх хэрэгтэй. 
5) Дахин хэлэхэд, шалгахын тулд би хоёр дахь улиралд хаалт нээнэ: 
. Одоо энэ нь хэвийн: 3-р цэгийн эцсийн бүтээн байгуулалтаас гаралтай! Гэхдээ дахиад жижиг "гэхдээ" гэсэн нэмэлт нэр томъёо гарч ирсэн бөгөөд энэ нь би өөрийн илэрхийлэлд нэмэх ёстой гэсэн үг юм. 
Хэрэв бүх зүйл зөв хийгдсэн бол бүх хаалтыг нээхэд бид интегралын анхны дугаарыг авах ёстой. Бид шалгаж байна:
Бүрээс.
Тиймээс: 
Бэлэн. Сүүлийн үед би функцийг дифференциал дор оруулах аргыг ашигласан.
Хэрэв бид хариултын деривативыг олж, илэрхийллийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулбал бид яг анхны интеграл функцийг авна. Нийлбэр болгон задлах арга нь илэрхийлэлийг нийтлэг хуваагч руу хүргэх урвуу үйлдлээс өөр зүйл биш юм.
Ийм жишээн дэх тоологчийг сонгох алгоритмыг ноорог дээр хамгийн сайн хийдэг. Зарим ур чадварын хувьд энэ нь оюун санааны хувьд ажиллах болно. Би 11-р зэрэглэлийн сонгон шалгаруулалтыг хийж байхдаа рекорд эвдэрсэн тохиолдлыг санаж байна, тоологчийн өргөтгөл нь Вердын бараг хоёр мөрийг эзэлсэн.
Жишээ 4
Тодорхой бус интегралыг ол. Шалгалт хийх.
Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм.
Энгийн бутархайн дифференциал тэмдгийг тооцох арга
Дараагийн төрлийн бутархайг авч үзье.
, , , (коэффициент ба тэгтэй тэнцүү биш).
Үнэн хэрэгтээ, арксин ба арктангенс бүхий хэд хэдэн тохиолдлыг аль хэдийн хичээл дээр дурдсан Тодорхой бус интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх арга. Ийм жишээг дифференциал тэмдгийн дор функцийг нэгтгэж, хүснэгтийг ашиглан дараа нь нэгтгэх замаар шийддэг. Энд урт ба өндөр логарифм бүхий ердийн жишээнүүд байна:
Жишээ 5
Жишээ 6
Эндээс интегралын хүснэгтийг авч, ямар томьёо болон байгааг харахыг зөвлөж байна Яажхувиргалт явагддаг. Анхаарна уу яаж, яагаадЭдгээр жишээн дэх квадратуудыг тодруулсан болно. Тухайлбал, 6-р жишээнд бид эхлээд хуваагчийг хэлбэрээр илэрхийлэх хэрэгтэй 
, дараа нь дифференциал тэмдгийн доор авчир. Стандарт хүснэгтийн томъёог ашиглахын тулд энэ бүгдийг хийх шаардлагатай 
.
7, 8-р жишээнүүдийг өөрөө шийдэж үзээрэй, ялангуяа тэдгээр нь нэлээд богино тул:
Жишээ 7
Жишээ 8
Тодорхой бус интегралыг ол:
Хэрэв та эдгээр жишээнүүдийг шалгаж чадвал маш их хүндэтгэлтэй байна - таны ялгах чадвар маш сайн байна.
Бүтэн квадрат сонгох арга
Маягтын интегралууд 
(коэффициент ба тэгтэй тэнцүү биш) шийдэгдсэн дөрвөлжин олборлох бүрэн арга, аль хэдийн хичээл дээр гарч ирсэн Графикийн геометрийн хувиргалт.
Үнэн хэрэгтээ ийм интегралууд нь бидний сая үзсэн дөрвөн хүснэгтэн интегралын аль нэгэнд нь буурдаг. Үүнийг мэддэг товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан хийдэг.
Томьёог яг энэ чиглэлд ашигладаг, өөрөөр хэлбэл аргын санаа нь илэрхийлэлийг хуваагч дахь зохиомлоор зохион байгуулж, дараа нь аль алинд нь хөрвүүлэх явдал юм.
Жишээ 9
Тодорхойгүй интегралыг ол
Энэ бол хамгийн энгийн жишээ юм нэр томъёотой - нэгжийн коэффициент(зарим тоо эсвэл хасах биш).
Хуваагчийг харцгаая, энд бүх зүйл тохиолдлоос үүдэлтэй. Хуваагчийг хөрвүүлж эхэлцгээе:
Мэдээжийн хэрэг, та 4 нэмэх хэрэгтэй. Мөн илэрхийлэл өөрчлөгдөхгүйн тулд ижил дөрвийг хасна уу:
Одоо та томъёог хэрэглэж болно:
Хөрвүүлэлт дууссаны дараа ҮРГЭЛЖУрвуу хөдөлгөөн хийхийг зөвлөж байна: бүх зүйл зүгээр, алдаа байхгүй.
Тухайн жишээний эцсийн загвар нь иймэрхүү харагдах ёстой. 
Бэлэн. Дифференциал тэмдгийн дор "чөлөөт" цогц функцийг тооцох нь зарчмын хувьд үл тоомсорлож болно
Жишээ 10
Тодорхой бус интегралыг ол:
Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ бөгөөд хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна
Жишээ 11
Тодорхой бус интегралыг ол:
Урд талд нь хасах байвал яах вэ? Энэ тохиолдолд бид хаалтнаас хасахыг авч, нэр томъёог шаардлагатай дарааллаар нь цэгцлэх хэрэгтэй: . Тогтмол(энэ тохиолдолд хоёр) бүү хүр!
Одоо бид хаалтанд нэгийг нэмнэ. Илэрхийлэлд дүн шинжилгээ хийснээр бид хаалтны гадна нэгийг нэмэх шаардлагатай гэсэн дүгнэлтэд хүрэв.
Энд бид томъёог авч, хэрэглэнэ:
ҮРГЭЛЖБид төслийг шалгана:
, үүнийг шалгах шаардлагатай байсан.
Цэвэр жишээ нь иймэрхүү харагдаж байна: 
Даалгаврыг улам хүндрүүлж байна
Жишээ 12
Тодорхой бус интегралыг ол: 
Энд нэр томъёо нь нэгжийн коэффициент байхаа больсон, харин "тав" гэсэн үг юм.
(1) Хэрэв тогтмол тоо байвал бид тэр даруй хаалтнаас гаргаж авдаг.
(2) Ерөнхийдөө энэ тогтмолыг интегралын гадна талд шилжүүлэх нь үргэлж дээр бөгөөд ингэснээр саад болохгүй.
(3) Мэдээжийн хэрэг, бүх зүйл томъёогоор буух болно. Бид "хоёр" гэсэн нэр томъёог ойлгох хэрэгтэй.
(4) Тийм ээ, . Энэ нь бид илэрхийлэл дээр нэмж, ижил бутархайг хасдаг гэсэн үг юм.
(5) Одоо бүтэн квадратыг сонго. Ерөнхий тохиолдолд бид бас тооцоолох хэрэгтэй, гэхдээ энд урт логарифмын томъёо байна 
, мөн үйлдлийг гүйцэтгэх нь ямар ч утгагүй бөгөөд яагаад доор тодорхой болно;
(6) Үнэндээ бид томъёог хэрэглэж болно 
, зөвхөн “X”-ийн оронд бидэнд байгаа нь хүснэгтийн интегралын хүчинтэй байдлыг үгүйсгэхгүй. Хатуухан хэлэхэд нэг алхам алдагдсан - интеграци хийхээс өмнө функцийг дифференциал тэмдгийн дор оруулах ёстой: 
, гэхдээ би олон удаа тэмдэглэж байсанчлан үүнийг ихэвчлэн үл тоомсорлодог.
(7) Үндэс дор хариулахдаа бүх хаалтыг буцааж томруулахыг зөвлөж байна:
Хэцүү үү? Энэ бол интеграл тооцооллын хамгийн хэцүү хэсэг биш юм. Хэдийгээр авч үзэж буй жишээнүүд нь сайн тооцоолох техник шаарддаг тул тийм ч төвөгтэй биш юм.
Жишээ 13
Тодорхой бус интегралыг ол:
Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.
Хуваарьт үндэстэй интегралууд байдаг бөгөөд тэдгээрийг орлуулснаар авч үзсэн төрлийн интеграл болгон бууруулж, тэдгээрийг нийтлэлээс уншиж болно Комплекс интеграл, гэхдээ маш их бэлтгэлтэй оюутнуудад зориулагдсан.
Тоолуурыг дифференциал тэмдгийн доор оруулах
Энэ бол хичээлийн эцсийн хэсэг боловч ийм төрлийн интегралууд нэлээд түгээмэл байдаг! Хэрэв та ядарсан бол маргааш уншсан нь дээр болов уу? ;)
Бидний авч үзэх интегралууд нь өмнөх догол мөрийн интегралтай төстэй бөгөөд тэдгээр нь дараах хэлбэртэй байна. 
(коэффициент , ба тэгтэй тэнцүү биш).
Өөрөөр хэлбэл, бид одоо тоологч дахь шугаман функцтэй болсон. Ийм интегралыг хэрхэн шийдэх вэ?
Мэдэгдэж байгаагаар, зарим х хувьсагчийн аливаа рационал функцийг олон гишүүнт ба хамгийн энгийн, энгийн бутархай болгон задалж болно. Дөрвөн төрлийн энгийн бутархай байдаг:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Энд a, A, B, b, c нь бодит тоонууд юм. Тэгшитгэл x 2 + bx + c = 0жинхэнэ үндэс байхгүй.
Эхний хоёр төрлийн бутархайг нэгтгэх
Эхний хоёр бутархайг нэгтгэхдээ интегралын хүснэгтээс дараах томъёог ашиглана.
,
, n ≠ - 1
.
1. Эхний төрлийн бутархайг нэгтгэх
Эхний төрлийн бутархайг t = x - a орлуулах замаар хүснэгтийн интеграл болгон бууруулна.
.
2. Хоёр дахь төрлийн бутархайг нэгтгэх
Хоёрдахь төрлийн бутархайг ижил орлуулалтаар хүснэгтийн интеграл болгон бууруулна t = x - a:
.
3. Гурав дахь төрлийн бутархайг нэгтгэх
Гурав дахь төрлийн бутархайн интегралыг авч үзье.
.
Бид үүнийг хоёр үе шаттайгаар тооцоолох болно.
3.1. Алхам 1. Тоолуур дахь хуваагчийн деривативыг сонго
Хугарагчийн деривативыг бутархайн хуваарьт тусгаарлаж үзье. Үүнд: u = x гэж тэмдэглэе 2 + bx + c. Ялгаж үзье: u′ = 2 х + б
;
.
.
.
Дараа нь
Гэхдээ
,
Бид модулийн тэмдгийг орхигдуулсан, учир нь .
.
Дараа нь:
Хаана
.
3.2. Алхам 2. А = 0, B=1 гэсэн интегралыг тооцоол
,
Одоо бид үлдсэн интегралыг тооцоолно.
Бид бутархайн хуваагчийг квадратуудын нийлбэрт хүргэдэг. 2 + bx + c = 0Хаана.
Тэгшитгэл x гэж бид итгэдэг
,
.
.
үндэсгүй. Тийм ч учраас .
.
Сэлгээ хийцгээе
,
Одоо бид үлдсэн интегралыг тооцоолно.
Тэгэхээр,
Тиймээс бид гурав дахь төрлийн бутархайн интегралыг олсон.
.
4. Дөрөв дэх хэлбэрийн бутархайн интеграл
Эцэст нь дөрөв дэх төрлийн бутархайн интегралыг авч үзье.
.
Бид үүнийг гурван үе шаттайгаар тооцдог.
.
4.1) Тоолуур дахь хуваагчийн деривативыг сонгоно уу:
,
4.2) Интегралыг тооцоол
.
4.3) Интегралыг тооцоолох
бууруулах томъёог ашиглан: 2 + bx + c. Ялгаж үзье: u′ = 2 х + б
.
.
.
.
4.1. Алхам 1. Хугарагчийн деривативыг тоологчд тусгаарлах
.
-д хийсэн шиг хуваарийн деривативыг хуваарьт тусгаарлаж үзье. u = x гэж тэмдэглэе
Эцэст нь бидэнд байна:
.
4.2. Алхам 2. n = 1-тэй интегралыг тооцоол
Интегралыг тооцоол
Түүний тооцоог -д тайлбарласан болно.
.
4.3. Алхам 3. Бууруулах томъёог гарган авах
.
Одоо интегралыг авч үзье
Бид квадрат гурвалжийг квадратуудын нийлбэр болгон бууруулна.
.
.
Энд.
.
Сэлгээ хийцгээе. Бид өөрчлөлтүүдийг хийж, хэсэгчлэн нэгтгэдэг.:
.
-ээр үржүүлэх
,
;
;
.
2(n - 1)
.
x ба I n руу буцъя. 1
.
Тиймээс, миний хувьд бид бууруулах томъёог авсан:
Энэ томьёог тууштай хэрэглэснээр бид I n интегралыг I болгон бууруулна
Жишээ
1.
Интегралыг тооцоолох
;
;
.
Шийдэл
.
2.
Хугарагчийн деривативыг тоологчд тусгаарлаж үзье.
.
3.
Энд
Бид хамгийн энгийн бутархайн интегралыг тооцоолно.
Бид бууруулах томъёог ашигладаг: 1
интегралын хувьд. 1
,
Манай тохиолдолд b =, c = 2
4 c - b 2 = 3 3
:
;
.
.
.
4.1. Алхам 1. Хугарагчийн деривативыг тоологчд тусгаарлах
.
Бид энэ томьёог n = гэж бичнэ
.
ба n =
Эндээс
$\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ хоёр олон гишүүнтийн харьцааг рационал функц буюу рационал бутархай гэнэ. Рационал бутархай гэж нэрлэдэг зөв, хэрэв $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется буруу.
Энгийн (энгийн) рационал бутархай нь дөрвөн төрлийн рационал бутархай юм.
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q)< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q)< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Тэмдэглэл (текстийг илүү бүрэн ойлгоход тохиромжтой): show\hide
$p^2-4q нөхцөл яагаад хэрэгтэй вэ?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Жишээлбэл, $x^2+5x+10$ илэрхийллийн хувьд бид дараахийг авна: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. $p^2-4q=-15 оноос хойш< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Дашрамд хэлэхэд, энэ шалгалтын хувьд $x^2$-ийн коэффициент 1-тэй тэнцүү байх шаардлагагүй. Жишээлбэл, $5x^2+7x-3=0$-ийн хувьд бид дараахь зүйлийг авна: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109 доллар. $D > 0$ тул $5x^2+7x-3$ илэрхийлэлийг үржвэрлэх боломжтой.
Рационал бутархайн (зөв ба буруу) жишээнүүд, түүнчлэн рационал бутархайг энгийн хэсэг болгон задлах жишээг олж болно. Энд бид зөвхөн тэдний нэгдмэл байдлын талаархи асуултуудыг сонирхох болно. Энгийн бутархайн интегралаас эхэлье. Тиймээс дээрх дөрвөн төрлийн энгийн бутархай бүрийг доорх томьёог ашиглан нэгтгэхэд хялбар байдаг. (2) ба (4) төрлийн бутархайг нэгтгэхдээ $n=2,3,4,\ldots$ гэж үздэгийг сануулъя. Томъёо (3) ба (4) нь $p^2-4q нөхцөлийг биелүүлэхийг шаарддаг< 0$.
\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \төгсгөл(тэгшитгэл) \эхлэх(тэгшитгэл) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \төгсгөл(тэгшитгэл) \эхлэх(тэгшитгэл) \int \frac(Mx+N)(x^2) +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \төгсгөл(тэгшитгэл)
$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$-ийн хувьд $t=x+\frac(p)(2)$ орлуулалт хийгдсэн бөгөөд үүний дараа үүссэн интервал нь байна. хоёр хуваагдсан. Эхнийх нь дифференциал тэмдгийн доор оруулах замаар тооцоолох ба хоёр дахь нь $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ хэлбэртэй байна. Энэ интегралыг давталтын хамаарлыг ашиглан авна
\эхлэх(тэгшитгэл) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; N\төгсгөлд(тэгшитгэл)
Ийм интегралын тооцоог жишээ No7-д авч үзсэн болно (гурав дахь хэсгийг үзнэ үү).
Рационал функцүүдийн интегралыг тооцоолох схем (рационал бутархай):
- Хэрэв интеграл нь энгийн бол (1)-(4) томъёог хэрэглэнэ.
- Хэрэв интеграл нь энгийн биш бол түүнийг энгийн бутархайн нийлбэрээр төлөөлж, дараа нь (1)-(4) томъёог ашиглан интеграци хийнэ.
Рационал бутархайг нэгтгэх дээрх алгоритм нь маргаангүй давуу талтай - энэ нь бүх нийтийнх юм. Тэдгээр. Энэ алгоритмыг ашиглан та нэгтгэж болно ямар чрационал бутархай. Тийм ч учраас тодорхой бус интеграл дахь бараг бүх хувьсагчийн өөрчлөлтүүд (Эйлер, Чебышев, бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт) нь ийм өөрчлөлтийн дараа интервалын дор рационал бутархайг авахаар хийгдсэн байдаг. Дараа нь алгоритмыг түүнд хэрэглэнэ. Бид жижиг тэмдэглэл хийснийхээ дараа жишээнүүдийг ашиглан энэ алгоритмын шууд хэрэглээг шинжлэх болно.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
Зарчмын хувьд энэ интегралыг томъёоны механик хэрэглээгүйгээр олж авахад хялбар байдаг. Хэрэв бид интеграл тэмдгээс $7$ тогтмолыг аваад $dx=d(x+9)$ гэж тооцвол бид дараахийг авна.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Нарийвчилсан мэдээлэл авахын тулд би сэдвийг үзэхийг зөвлөж байна. Ийм интегралыг хэрхэн шийддэг талаар дэлгэрэнгүй тайлбарласан. Дашрамд хэлэхэд, томьёог "гараар" шийдвэрлэхдээ энэ догол мөрөнд ашигласан ижил өөрчлөлтүүдээр нотлогддог.
2) Дахин хэлэхэд хоёр арга бий: бэлэн томъёог ашиглах эсвэл үүнгүйгээр хийх. Хэрэв та томьёог хэрэглэвэл $ x $ (тоо 4) -ийн өмнөх коэффициентийг хасах шаардлагатай болно гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд энэ дөрвийг хаалтнаас гаргаж авъя:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\баруун)\баруун)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\зүүн(x+\frac(19)(4)\баруун)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\зүүн(x+\frac(19)(4)\баруун)^8). $$
Одоо томъёог хэрэглэх цаг болжээ:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\зүүн(x+\frac(19)(4)\баруун)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\зүүн(x+\frac(19)(4) \баруун)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\зүүн(x+\frac(19)(4) \баруун)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \баруун )^7)+C. $$
Та томъёог ашиглахгүйгээр хийж болно. Тогтмол $4$-ыг хаалтнаас гаргаагүй ч гэсэн. Хэрэв бид $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ гэдгийг харгалзан үзвэл бид дараахыг авна.
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7) )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Ийм интегралыг олох дэлгэрэнгүй тайлбарыг "Орлуулах замаар интеграл (дифференциал тэмдгийн дор орлуулах)" сэдвээр өгсөн болно.
3) Бид $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ бутархайг нэгтгэх хэрэгтэй. Энэ бутархай нь $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ бүтэцтэй бөгөөд $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Гэхдээ энэ нь үнэхээр гурав дахь төрлийн энгийн бутархай мөн эсэхийг шалгахын тулд $p^2-4q нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгах хэрэгтэй.< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot) 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x) +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Ижил жишээг шийдье, гэхдээ бэлэн томъёо ашиглахгүйгээр. Хугарагчийн деривативыг тоологчд тусгаарлахыг оролдъё. Энэ юу гэсэн үг вэ? Бид $(x^2+10x+34)"=2x+10$ гэдгийг мэднэ. Энэ нь $2x+10$ илэрхийлэлийг тоологчдоо тусгаарлах ёстой. Одоогийн байдлаар тоологч зөвхөн $4x+7$-г агуулж байна. Гэхдээ энэ нь тийм ч удаан үргэлжлэхгүй. Дараах хувиргалтыг тоологч дээр хэрэгжүүлье.
$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$
Одоо шаардлагатай $2x+10$ илэрхийлэл тоологч хэсэгт гарч ирнэ. Мөн бидний интегралыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
Интегралыг хоёр хувааж үзье. За, үүний дагуу интеграл нь өөрөө "хоёр хуваагдсан":
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2) +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \баруун)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
Эхлээд эхний интегралын талаар ярилцъя, i.e. ойролцоогоор $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$ тул интегралын хүртэгч нь хуваагчийн дифференциалыг агуулна. Товчхондоо оронд нь $( 2x+10)dx$ илэрхийллийн бид $d(x^2+10x+34)$ бичнэ.
Одоо хоёр дахь интегралын талаар хэдэн үг хэлье. Бүтэн квадратыг хуваагчаар сонгоцгооё: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Үүнээс гадна бид $dx=d(x+5)$-г харгалзан үздэг. Одоо бидний өмнө нь олж авсан интегралуудын нийлбэрийг арай өөр хэлбэрээр дахин бичиж болно.
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$
Хэрэв бид эхний интегралд $u=x^2+10x+34$ орлуулгыг хийвэл $\int\frac(du)(u)$ хэлбэрийг авах ба дараахаас хоёр дахь томьёог хэрэглэснээр олж авч болно. . Хоёрдахь интегралын хувьд $u=x+5$ өөрчлөлт хийх боломжтой бөгөөд үүний дараа $\int\frac(du)(u^2+9)$ хэлбэрийг авна. Энэ бол тодорхойгүй интегралын хүснэгтээс хамгийн цэвэр арван нэг дэх томьёо юм. Тиймээс интегралуудын нийлбэр рүү буцаж ирэхэд бид дараах байдалтай байна.
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Бид томьёог хэрэглэхтэй ижил хариултыг авсан бөгөөд энэ нь хатуухан хэлэхэд гайхах зүйл биш юм. Ерөнхийдөө томьёо нь энэ интегралыг олоход ашигласан аргуудаар нотлогддог. Анхааралтай уншигч энд нэг асуулт гарч ирж магадгүй гэж би бодож байна, тиймээс би үүнийг томъёолох болно:
Асуулт №1
Хэрэв бид тодорхой бус интегралын хүснэгтээс $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ интегралд хоёрдахь томьёог хэрэглэвэл дараахийг гаргана.
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Яагаад шийдэлд модуль байхгүй байсан бэ?
№1 асуултын хариулт
Асуулт нь бүрэн байгалийн юм. R$ дахь дурын $x^2+10x+34$ илэрхийлэл тэгээс их байгаа тул модуль алга болсон. Үүнийг хэд хэдэн аргаар харуулахад маш хялбар байдаг. Жишээ нь, $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ба $(x+5)^2 ≥ 0$, дараа нь $(x+5)^2+9 > 0$ . Бүрэн квадратыг сонгохгүйгээр та өөрөөр бодож болно. $10^2-4\cdot 34=-16 тул< 0$, то $x^2+10x+34 >Аливаа $x\in R$-д 0$ (хэрэв энэ логик хэлхээ нь гайхмаар байвал квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график аргыг үзэхийг танд зөвлөж байна). Ямар ч байсан $x^2+10x+34 > 0$, дараа нь $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, i.e. Модулийн оронд та ердийн хаалт ашиглаж болно.
№1 жишээний бүх цэгүүд шийдэгдсэн тул хариултыг бичих л үлдлээ.
Хариулах:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.
Жишээ №2
$\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ интегралыг ол.
Эхлээд харахад $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ интеграл бутархай нь гурав дахь төрлийн энгийн бутархайтай маш төстэй, өөрөөр хэлбэл. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Ганц ялгаа нь $x^2$-ын урд $3$-ын коэффициент байгаа юм шиг санагдаж байна, гэхдээ коэффициентийг арилгахад удаан хугацаа шаардагдахгүй (хаалтнаас гаргаж ав). Гэсэн хэдий ч энэ ижил төстэй байдал илт харагдаж байна. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ бутархайн хувьд $p^2-4q нөхцөл заавал байх ёстой.< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
Бидний $x^2$-ын өмнөх коэффициент нэгтэй тэнцүү биш тул $p^2-4q нөхцөлийг шалгана уу< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, тиймээс $3x^2-5x-2$ илэрхийллийг хүчин зүйлээр ангилж болно. Энэ нь $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ бутархай нь гурав дахь төрлийн элементийн бутархай биш бөгөөд $\int\frac(7x+12)(3x^2-) гэсэн үг юм. ) интеграл руу 5x-2)dx$ томьёо хийх боломжгүй.
Хэрэв өгөгдсөн рационал бутархай нь анхан шатны бутархай биш бол түүнийг энгийн бутархайн нийлбэрээр илэрхийлж, дараа нь нэгтгэх хэрэгтэй. Товчхондоо, мөрийн давуу талыг ашигла. Рационал бутархайг хэрхэн энгийн бутархай болгон задлах талаар дэлгэрэнгүй бичсэн болно. Хүсэгчийг хүчин зүйлээр ялгаж эхэлцгээе.
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\баруун)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2). $$
Бид дэд интеркаль фракцыг дараах хэлбэрээр үзүүлэв.
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2)). $$
Одоо $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ бутархайг энгийн хэсэг болгон задалъя:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун))(\зүүн(x+) \frac(1)(3)\баруун)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\зүүн(x+\frac(1)( 3)\баруун). $$
$A$ ба $B$ коэффициентүүдийг олохын тулд тодорхойгүй коэффициентийн арга ба хэсэгчилсэн утгыг орлуулах гэсэн хоёр стандарт арга байдаг. $x=2$, дараа нь $x=-\frac(1)(3)$-ийг орлуулах хэсэгчилсэн утгыг орлуулах аргыг хэрэглэцгээе:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\зүүн(2+\frac(1)(3)\баруун); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \баруун)+4=A\зүүн(-\frac(1)(3)-2\баруун)+B\зүүн (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\баруун); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Коэффициент олдсон тул дууссан өргөтгөлийг бичих л үлдлээ.
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
Зарчмын хувьд та энэ оруулгыг орхиж болно, гэхдээ надад илүү нарийвчлалтай сонголт таалагдаж байна:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$
Анхны интеграл руу буцаж очоод бид үүссэн өргөтгөлийг түүн рүү орлуулна. Дараа нь бид интегралыг хоёр хувааж, тус бүрт томъёог хэрэглэнэ. Би тогтмолуудыг интеграл тэмдгийн гадна шууд байрлуулахыг илүүд үздэг.
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\баруун)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\баруун)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\баруун)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Хариулах: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\баруун| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
Жишээ №3
$\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ интегралыг ол.
Бид $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ бутархайг нэгтгэх хэрэгтэй. Тоолуур нь хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт, хуваагч нь гуравдугаар зэргийн олон гишүүнийг агуулна. Тоолуур дахь олон гишүүнтийн зэрэг нь хуваагч дахь олон гишүүнтийн зэрэгтэй харьцуулахад бага байдаг тул өөрөөр хэлбэл. 2 доллар< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x) +4)-\frac(1)(x-9). $$
Бидний хийх ёстой зүйл бол өгөгдсөн интегралыг гурав болгон хувааж, тус бүрт томъёог хэрэглэх явдал юм. Би тогтмолуудыг интеграл тэмдгийн гадна шууд байрлуулахыг илүүд үздэг.
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \баруун)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
Хариулах: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
Энэ сэдвийн жишээнүүдийн шинжилгээний үргэлжлэлийг хоёрдугаар хэсэгт байрлуулна.
Энд бид дараах рационал бутархайг нэгтгэх гурван жишээний нарийвчилсан шийдлүүдийг санал болгож байна.
,
,
.
Жишээ 1
Интегралыг тооцоолох:
.
Жишээ
Энд интеграл тэмдгийн дор рационал функц байна, учир нь интеграл нь олон гишүүнтийн бутархай юм. хуваагч олон гишүүнт зэрэг ( 3 ) нь тоологч олон гишүүнтийн зэргээс бага ( 4 ). Тиймээс эхлээд та бутархайн хэсгийг бүхэлд нь сонгох хэрэгтэй.
1.
Бутархайн хэсгийг бүхэлд нь сонгоцгооё. x хуваах 4
х 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:
.
.
2.
Бутархайн хуваагчийг үржвэр болгоё. Үүнийг хийхийн тулд та куб тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
x =-г орлуулъя 1
:
.
1
. 1
:
.
.
x-д хуваах -
.
Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
Тэгшитгэлийн үндэс нь: , .
.
3.
Дараа нь
.
Бутархайг хамгийн энгийн хэлбэрт нь задалцгаая.
.
Тиймээс бид олсон:
Интеграцид орцгооё.
Хариулах
Интегралыг тооцоолох:
.
Жишээ
Энд бутархайн тоологч нь тэг зэрэгтэй олон гишүүнт ( 1 = x 0). Хуваагч нь гуравдугаар зэргийн олон гишүүнт юм. Түүнээс хойш 0 < 3 , тэгвэл бутархай зөв байна. Энгийн бутархай болгон задалъя.
1.
Бутархайн хуваагчийг үржвэр болгоё. Үүнийг хийхийн тулд та гуравдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.
.
Энэ нь ядаж нэг бүхэл үндэстэй гэж бодъё. Дараа нь энэ нь тооны хуваагч юм 3
(х-гүй гишүүн). Өөрөөр хэлбэл бүх үндэс нь тоонуудын нэг байж болно:
1, 3, -1, -3
.
x =-г орлуулъя 1
:
.
Тэгэхээр бид нэг язгуур х = оллоо 1
. x хуваах 3 + 2 x - 3 1
:
x дээр -
.
Тэгэхээр,
Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх: x.
2 + x + 3 = 0 Ялгаварлагчийг ол: D = 1 2 - 4 3 = -11< 0
.
.
2.
.
Түүнээс хойш Д:
(2.1)
.
x =-г орлуулъя 1
, тэгвэл тэгшитгэл бодит үндэсгүй болно. Тиймээс бид хуваагчийн хүчин зүйлчлэлийг олж авлаа. 1 = 0
,
.
(x - 1)(x 2 + x + 3) (2.1)
. 0
:
Дараа нь x -;
.
Орлуулж орцгооё (2.1)
x = 2
:
;
1 = 3 A - C;
.
.
3.
Тиймээс бид олсон:
(2.2)
.
-тэй тэнцүүлье
;
;
.
x-ийн коэффициентүүд 2
.
.
0 = A + B xХоёрдахь интегралыг тооцоолохын тулд бид хуваагчийн деривативыг тоологч хэсэгт сонгож, хуваагчийг квадратуудын нийлбэр болгон бууруулна. Тооцоолох I x тэгшитгэлээс хойш
жинхэнэ үндэс байхгүй бол x (2.2)
:
.
Интеграцид орцгооё.
2 + x + 3 > 0
Интегралыг тооцоолох:
.
Жишээ
. 3 Тиймээс модулийн тэмдгийг орхиж болно. 4 Бид хүргэж өгнө 3 < 4 Жишээ 3
1.
Энд интеграл тэмдгийн дор олон гишүүнтийн хэсэг байна. Тиймээс интеграл нь рационал функц юм. Тоолуур дахь олон гишүүнтийн зэрэг нь тэнцүү байна
.
Энэ нь ядаж нэг бүхэл үндэстэй гэж бодъё. Дараа нь энэ нь тооны хуваагч юм 2
(х-гүй гишүүн). Өөрөөр хэлбэл бүх үндэс нь тоонуудын нэг байж болно:
1, 2, -1, -2
.
x =-г орлуулъя -1
:
.
Тэгэхээр бид нэг язгуур х = оллоо -1
. .:
x дээр -
.
Бутархайн хуваагчийн олон гишүүнтийн зэрэг нь тэнцүү байна
.
. 2
(х-гүй гишүүн). Өөрөөр хэлбэл бүх үндэс нь тоонуудын нэг байж болно:
1, 2, -1, -2
.
x =-г орлуулъя -1
:
.
Түүнээс хойш -1
, тэгвэл бутархай зөв байна. Тиймээс үүнийг энгийн бутархай хэсгүүдэд задалж болно. Гэхдээ үүнийг хийхийн тулд хуваагчийг хүчин зүйл болгон хуваах хэрэгтэй.
.
Бутархайн хуваагчийг үржвэр болгоё. Үүнийг хийхийн тулд та дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. 2 + 2 = 0
(-1) = x + 1
.
2.
Одоо бид гуравдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.
.
Хэрэв бид энэ тэгшитгэлийг бүхэл язгууртай гэж үзвэл энэ нь тооны хуваагч болно. Тиймээс бид өөр нэг язгуурыг олсон x =:
(3.1)
.
x =-г орлуулъя -1
. 1 = 0
,
.
Өмнөх тохиолдлын адил олон гишүүнтийг хуваах боломжтой боловч бид нэр томъёог бүлэглэх болно. (3.1)
:
;
.
x =-г орлуулъя -1
x тэгшитгэлээс хойш 1 = 0
:
;
;
.
(x - 1)(x 2 + x + 3) (3.1)
. 0
:
бодит үндэс байхгүй бол хуваагчийн хүчин зүйлчлэлийг авна.;
.
Орлуулж орцгооё (3.1)
x = 3
:
;
Бутархайг хамгийн энгийн хэлбэрт нь задалцгаая. Бид дараах хэлбэрээр өргөтгөл хайж байна:;
.
Бид бутархайн хуваагчаас салж, үржүүлнэ
.
3.
Тиймээс бид олсон:
.
