Налуу призмийн эзэлхүүн
Бүх призмүүд хуваагдана шулуун Тэгээд налуу .
Шулуун призм, суурь
энэ нь зөв үйлчилдэг
олон өнцөгт гэж нэрлэдэг
зөв призм.
Ердийн призмийн шинж чанарууд:
1. Энгийн призмийн суурь нь ердийн олон өнцөгт юм. 2. Энгийн призмийн хажуугийн гадаргуу нь тэнцүү тэгш өнцөгтүүд юм. 3. Энгийн призмийн хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү байна .
PRISM хөндлөн огтлол.
Призмийн ортогональ хэсэг нь хажуугийн ирмэгтэй перпендикуляр хавтгайгаас үүссэн огтлол юм.
Призмийн хажуугийн гадаргуу нь ортогональ хэсгийн периметр ба хажуугийн ирмэгийн уртын үржвэртэй тэнцүү байна.
S b =P orth.section C
1. Налуу хавирганы хоорондох зай
гурвалжин призм нь тэнцүү байна: 2см, 3см, 4см
Призмийн хажуугийн гадаргуу нь 45 см 2 .Түүний хажуугийн ирмэгийг ол.
Шийдэл:
Призмийн перпендикуляр хэсэгт периметр нь 2+3+4=9 гурвалжин байна.
Энэ нь хажуугийн ирмэг нь 45:9 = 5 (см) -тэй тэнцүү гэсэн үг юм.
Үл мэдэгдэх элементүүдийг олох
тогтмол гурвалжин
Призмүүд
хүснэгтэд заасан элементүүдээр.
ХАРИУЛТ.
Хичээл өгсөнд баярлалаа.
Гэрийн даалгавар.
Эзлэхүүн гэдэг нь огторгуйн гурван хэмжээст огторгуйн хэмжээсүүд нь тэгээс өөр ямар ч дүрсийн шинж чанар юм. Энэ нийтлэлд бид стереометрийн үүднээс (орон зайн дүрсүүдийн геометр) призмийг харж, янз бүрийн төрлийн призмийн эзэлхүүнийг хэрхэн олохыг харуулах болно.
Стереометр нь энэ асуултад тодорхой хариулт өгдөг. Үүнд призмийг хоёр ижил төстэй олон өнцөгт нүүр ба хэд хэдэн параллелограммаас үүссэн дүрс гэж ойлгодог. Доорх зураг нь дөрвөн өөр призмийг харуулж байна.
Тэдгээрийг тус бүрийг дараах байдлаар авч болно: та олон өнцөгт (гурвалжин, дөрвөлжин гэх мэт) болон тодорхой урттай сегментийг авах хэрэгтэй. Дараа нь олон өнцөгтийн орой бүрийг параллель сегментүүдийг ашиглан өөр хавтгайд шилжүүлэх хэрэгтэй. Анхныхтай зэрэгцээ байх шинэ хавтгайд анх сонгосонтой адил шинэ олон өнцөгтийг олж авна.
Призм нь янз бүрийн хэлбэртэй байж болно. Тиймээс тэд шулуун, налуу, тогтмол байж болно. Хэрэв призмийн хажуугийн ирмэг (суурийн оройг холбосон сегмент) зургийн суурьтай перпендикуляр байвал сүүлчийнх нь шулуун байна. Үүний дагуу, хэрэв энэ нөхцөл хангагдаагүй бол бид налуу призмийн тухай ярьж байна. Энгийн дүрс нь тэгш өнцөгт ба тэгш талт суурьтай шулуун призм юм.
Ердийн призмийн эзэлхүүн
Хамгийн энгийн тохиолдлоос эхэлье. n өнцөгт суурьтай ердийн призмийн эзэлхүүний томъёог өгье. Харгалзан үзэж буй ангийн дурын зургийн V эзлэхүүний томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.
Өөрөөр хэлбэл эзэлхүүнийг тодорхойлохын тулд S o суурийн аль нэгний талбайг тооцоолж, зургийн өндөр h-ээр үржүүлэхэд хангалттай.
Энгийн призмийн хувьд бид түүний суурийн хажуугийн уртыг a үсгээр, хажуугийн ирмэгийн урттай тэнцүү өндрийг h үсгээр тэмдэглэнэ. Хэрэв суурь нь ердийн n-gon бол түүний талбайг тооцоолохын тулд дараахь бүх нийтийн томъёог ашиглах нь хамгийн хялбар юм.
S n = n/4*a2*ctg(pi/n).
Тэгшитгэлд талуудын тоо n ба нэг талын уртыг a орлуулснаар та n өнцөгт суурийн талбайг тооцоолж болно. Энд котангентын функцийг радианаар илэрхийлсэн pi/n өнцгийн хувьд тооцдог болохыг анхаарна уу.
S n-д зориулж бичсэн тэгш байдлыг харгалзан бид ердийн призмийн эзэлхүүний эцсийн томъёог олж авна.
V n = n/4*a2*h*ctg(pi/n).
Тодорхой тохиолдол бүрийн хувьд та V-д харгалзах томьёог бичиж болно, гэхдээ тэдгээр нь бүгд бичсэн ерөнхий илэрхийллээс хоёрдмол утгагүй дагаж мөрддөг. Жишээлбэл, ерөнхий тохиолдолд тэгш өнцөгт параллелепипед болох ердийн дөрвөлжин призмийн хувьд бид дараахь зүйлийг олж авна.
V 4 = 4/4*a2*h*ctg(pi/4) = a2*h.
Хэрэв бид энэ илэрхийлэлд h=a гэж авбал кубын эзэлхүүний томъёог авна.
Шулуун призмийн эзэлхүүн
Шулуун дүрсүүдийн хувьд ердийн призмийн хувьд дээр дурдсан эзэлхүүнийг тооцоолох ерөнхий томъёо байхгүй гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе. Харгалзаж буй утгыг олохдоо анхны илэрхийлэлийг ашиглана:
Энд h нь өмнөх тохиолдлын адил хажуугийн ирмэгийн урт юм. Суурийн талбайн хувьд S o , энэ нь янз бүрийн утгыг авч болно. Шулуун призмийн эзэлхүүнийг тооцоолох асуудал нь түүний суурийн талбайг олоход хүргэдэг.
S o-ийн утгыг тооцоолохдоо суурийн өөрийнх нь шинж чанарт үндэслэн хийх ёстой. Жишээлбэл, хэрэв энэ нь гурвалжин бол талбайг дараах байдлаар тооцоолж болно.
Энд h a нь гурвалжны үг, өөрөөр хэлбэл түүний өндрийг а сууринд буулгасан байна.
Хэрэв суурь нь дөрвөлжин бол трапец, параллелограмм, тэгш өнцөгт эсвэл бүрэн дурын хэлбэртэй байж болно. Эдгээр бүх тохиолдлуудад та талбайг тодорхойлохдоо тохирох планиметрийн томъёог ашиглах хэрэгтэй. Жишээлбэл, трапецын хувьд энэ томъёо дараах байдалтай байна.
S o4 = 1/2*(a 1 + a 2)*h a .
Энд h a нь трапецын өндөр, a 1 ба 2 нь түүний зэрэгцээ талуудын урт юм.
Илүү өндөр эрэмбийн олон өнцөгтүүдийн талбайг тодорхойлохын тулд тэдгээрийг энгийн дүрс (гурвалжин, дөрвөлжин) болгон хувааж, сүүлчийнх нь талбайн нийлбэрийг тооцоолох хэрэгтэй.
Налуу призмийн эзэлхүүн
Энэ бол призмийн эзэлхүүнийг тооцоолох хамгийн хэцүү тохиолдол юм. Ийм тоонуудын ерөнхий томъёо нь мөн хамаарна.
Гэсэн хэдий ч аль ч төрлийн олон өнцөгтийг төлөөлөх суурийн талбайг олоход хэцүү байхын зэрэгцээ зургийн өндрийг тодорхойлох асуудал нэмэгддэг. Налуу призм дээр энэ нь үргэлж хажуугийн ирмэгийн уртаас бага байдаг.
Энэ өндрийг олох хамгийн хялбар арга бол зургийн аль нэг өнцөг (хавтгай эсвэл хоёр талт) мэдэгдэж байгаа бол. Хэрэв ийм өнцөг өгөгдсөн бол та үүнийг ашиглан призм дотор тэгш өнцөгт гурвалжинг байгуулах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь талуудын аль нэг нь h өндөртэй байх ба тригонометрийн функцууд болон Пифагорын теоремыг ашиглан h-ийн утгыг олох хэрэгтэй.
Эзлэхүүнийг тодорхойлох геометрийн бодлого
Гурвалжин суурьтай, өндөр нь 14 см, хажуугийн урт нь 5 см байх энгийн призмийг өгвөл гурвалжин призмийн эзэлхүүн хэд вэ?
Бид зөв дүрсийн тухай ярьж байгаа тул бид сайн мэддэг томъёог ашиглах эрхтэй. Бидэнд:
V 3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151.55 см3.
Гурвалжин призм нь нэлээд тэгш хэмтэй дүрс бөгөөд хэлбэр нь янз бүрийн архитектурын бүтцэд ихэвчлэн ашиглагддаг. Энэхүү шилэн призмийг оптикт ашигладаг.
Призмийн тухай ойлголт. Төрөл бүрийн призмийн эзэлхүүний томъёо: тогтмол, шулуун, ташуу. Асуудлыг шийдэх - сайт руу аялах тухай
Хоёр нүүр нь хоорондоо уялдаатай олон өнцөгтүүд юм зэрэгцээ хавтгайнууд, үлдсэн нүүрүүд нь эдгээр олон өнцөгтүүдтэй нийтлэг талуудтай параллелограммууд юм. Эдгээр параллелограммуудыг призмийн хажуугийн нүүр гэж нэрлэдэг ба үлдсэн хоёр олон өнцөгтийг түүний суурь гэж нэрлэдэг.
Призм бол цилиндрийн онцгой тохиолдол юм. Параллелепипед бол призмийн онцгой тохиолдол юм.
Призм нь дараахь шинж чанартай байдаг.
Призмийн суурьтай параллель хавтгайгаар ямар ч зүсэлт нь энэ призмийг хоёр призм болгон хуваадаг тул хажуугийн гадаргуу ба эдгээр призмүүдийн эзлэхүүний харьцаа нь тэдгээрийн хажуугийн ирмэгүүдийн уртын харьцаатай тэнцүү байна. Хажуугийн ирмэгтэй параллель хавтгайгаар призмийн аль ч хэсэг нь энэ призмийг хоёр призм болгон хуваадаг тул эдгээр призмүүдийн эзэлхүүний харьцаа нь хажуугийн ирмэгүүдийн уртын харьцаатай тэнцүү байна. Хажуугийн ирмэгтэй параллель хавтгайд байрлах призмийн аль ч хэсэг нь энэ призмийг хоёр призм болгон хуваадаг тул эдгээр призмүүдийн эзэлхүүний харьцаа нь тэдгээрийн суурийн талбайн харьцаатай тэнцүү байна.
Призмийн төрлүүд
Шулуун призм.Шулуун призмийн хажуугийн хавирга хавтгайд перпендикулярүндэслэл.
Ташуу призм.Налуу призмийн хажуугийн ирмэгүүд нь суурийн хавтгайтай харьцуулахад $90^\circ$-аас өөр өнцгөөр байрлана.
Зөв призм.Зөв призмийн суурь нь ердийн олон өнцөгт юм. Түүний хажуугийн нүүрнүүд нь тэнцүү тэгш өнцөгтүүд юм.
Хагас тэгш өнцөгт олон өнцөгт нь ердийн призм бөгөөд хажуугийн нүүр нь дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг.
Шулуун призмийн эзэлхүүн
Энгийн призмийн эзэлхүүнийг тооцоолох томъёог гаргахын тулд суурь дээр нь гурвалжинтай призмийг авъя. Тэгш өнцөгт параллелепипед хүртэл бүтээцгээе (Зураг 1).
Зураг 1. Тетраэдр параллелепипед хүртэл сунгасан
Өмнөх бүлгээс бид тэгш өнцөгт параллелепипедийн эзэлхүүнтэй тэнцүү болохыг мэдэж байна.
Учир нь үүссэн параллелепипед нь анхны призм ба эзэлхүүнтэй тэнцүү призмээс бүрдэх ба анхны призмийн эзэлхүүн нь тэнцүү байх болно.
Энд $a$, $b$, $c$ нь $AB$, $BC$, $AC$ талуудын урт бөгөөд тэдгээрийн үржвэр нь анхны призмийн суурийн талбайтай тэнцүү байна. Дараа нь бид шулуун призмийн эзэлхүүнийг олох томъёог ерөнхийд нь бичнэ.
Энд $S_(гол)$ нь призмийн суурийн талбай, $H$ нь призмийн суурь руу татсан өндөр юм.
Энэ томьёо нь суурь дээрээ дурын олон өнцөгт шулуун призмийн хувьд үнэн юм.
Налуу призмийн эзэлхүүн
Налуу призмийн эзэлхүүнийг олох томьёог гаргахын тулд $ABCDFE$ гурвалжин налуу призмийг авч үзье. Анхны призмийн $ABCD$ сууринд перпендикуляр $DC$ ирмэгээр $\alpha $ хавтгайг зурж, гурвалжин зүсэгдсэн призмийг байгуулъя (Зураг 2).
Зураг 2. Налуу призм, $\альфа $ хавтгай
Одоо $AB$ ирмэгээр бид $\альфа $ хавтгайтай параллель $\бета $ хавтгайг зурж байна (Зураг 3).
Зураг 3. Налуу призм, $\альфа $ ба $\бета $ хавтгай
Хэрэв бид энэ өөрчлөлтийг налуу нүүрэн дээр дахин хийвэл бүх хажуугийн нүүр нь суурьтай перпендикуляр байрладаг призмийг олж авна. Дахин нэг удаа үр дүн нь шулуун призм юм.
Хэрэв энэ нь ижил төстэй хувиргалтанд өртвөл (эхлээд эхний тайрсан призмээр нэмж, дараа нь хоёр дахь тайрсан призмийг таслав) дараа нь дууссан ба таслагдсан призмийг зэрэгцээ шилжүүлэх замаар нэгтгэнэ. сегмент$AB$. Үүнээс үзэхэд тоонууд ижил хэмжээтэй байна.
Үүний үр дүнд баригдсан шулуун призмийн эзэлхүүн нь анхны налуугийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна.
Налуу призмийн эзэлхүүн нь суурийн талбай ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна.
Дүгнэлт
Аливаа призмийн эзэлхүүнийг (ташуу ба шулуун) дараах томъёогоор олно.
Энд $a\cdot b$ нь суурийн талбай, $c$ нь призмийн өндөр юм.
Призмийн тодорхойлолт:
А1А2…АnВ1В2Вn– призм
A1A2…An ба B1B2…Bn олон өнцөгтүүд – призмийн суурь
Параллелограммууд А1А2В2В1, А1А2В2В1,… АnА1В1Вn – хажуугийн нүүрнүүд
Хэсэг A1B1, A2B2…АnBn – призмийн хажуугийн хавирга
Призмийн төрлүүд
Зургаан өнцөгт гурвалжин Дөрвөн өнцөгт призм призм
Ташуу ба шулуун призм
Призмийн хажуугийн ирмэгүүд сууриудтай перпендикуляр байвал призмийг гэнэ. шууд , эс бөгөөс - налуу .
Зөв призм
Призмийг нэрлэдэг зөв , хэрэв энэ нь шулуун ба түүний суурь нь ердийн олон өнцөгт байвал.
Призмийн нийт гадаргуугийн талбай
Призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай
Теорем
Шулуун призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн периметр ба призмийн өндрийн бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна.
Налуу призмийн эзэлхүүн
Теорем
Налуу призмийн эзэлхүүн нь суурийн талбай ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна.
Баталгаа
Баталгаа
Эхлээд гурвалжин призмийн теоремыг баталъя, дараа нь дурын призмийн хувьд.
1. V эзэлхүүнтэй, суурийн талбай S, h өндөртэй гурвалжин призмийг авч үзье. Призмийн суурийн аль нэг дээр О цэгийг тэмдэглээд Ox тэнхлэгийг сууриудтай перпендикуляр чиглүүлье. Призмийн хөндлөн огтлолыг Окс тэнхлэгт перпендикуляр, тиймээс суурийн хавтгайтай параллель байх хавтгайгаар авч үзье. Энэ хавтгайн Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн абсциссыг х үсгээр, мөн үүссэн хэсгийн талбайг S (x) гэж тэмдэглэе.
S (x) талбай нь призмийн суурийн S талбайтай тэнцүү гэдгийг баталъя. Үүнийг хийхийн тулд ABC (призмын суурь) ба A1B1C1 (харгалзан үзэж буй хавтгай дээрх призмийн хөндлөн огтлол) гурвалжин тэнцүү байгааг анхаарна уу. Үнэн хэрэгтээ AA1BB1 дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм (AA1 ба BB1 сегментүүд нь тэнцүү ба параллель), тиймээс A1B1 = AB. Үүний нэгэн адил B1C1 = BC, A1C1 = AC гэдэг нь батлагдсан. Тэгэхээр A1B1C1 ба ABC гурвалжин нь гурван талдаа тэнцүү байна. Тиймээс S(x)=S. Одоо a=0 ба b=h үед биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох үндсэн томъёог ашигласнаар бид олж авна
2. h h h, С S*h.Теорем нь батлагдсан.
2. Одоо өндөртэй дурын призмийн теоремыг баталъя hба суурийн талбай S. Ийм призмийг нийт өндөртэй гурвалжин призмүүдэд хувааж болно h. Гурвалжин призм бүрийн эзэлхүүнийг өөрсдийн баталсан томьёо ашиглан илэрхийлж, эдгээр эзэлхүүнийг нэмье. Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж байна h,Бид хаалтанд гурвалжин призмийн суурийн талбайн нийлбэрийг, өөрөөр хэлбэл талбайг авна. Санхны призмийн суурь. Тиймээс анхны призмийн эзэлхүүн тэнцүү байна S*h.Теорем нь батлагдсан.
