Урвуу матрицын урвуу матриц байгуулах. Элемент хувиргалтын аргыг ашиглан урвуу матрицыг олох

Матрицтай үйлдлийн тухай яриагаа үргэлжлүүлье. Тухайлбал, энэ лекцийг судлах явцад та урвуу матрицыг хэрхэн олохыг сурах болно. Сурах. Хэдийгээр математик хэцүү байсан ч гэсэн.

Урвуу матриц гэж юу вэ? Энд бид урвуу тоонуудтай зүйрлэж болно: жишээлбэл, өөдрөг тоо 5 ба түүний урвуу тоог авч үзье. Эдгээр тоонуудын үржвэр нь нэгтэй тэнцүү байна: . Бүх зүйл матрицтай төстэй! Матриц ба түүний урвуу матрицын үржвэр нь -тэй тэнцүү байна. таних матриц, энэ нь тоон нэгжийн матрицын аналог юм. Гэсэн хэдий ч эхлээд хамгийн түрүүнд чухал практик асуудлыг шийдье, тухайлбал энэ урвуу матрицыг хэрхэн олохыг сурцгаая.

Урвуу матрицыг олохын тулд та юу мэдэх хэрэгтэй вэ? Та шийдвэр гаргах чадвартай байх ёстой шалгуур үзүүлэлт. Энэ нь юу болохыг та ойлгох ёстой матрицмөн тэдэнтэй зарим үйлдлийг гүйцэтгэх чадвартай байх.

Урвуу матрицыг олох хоёр үндсэн арга байдаг:
ашиглан алгебрийн нэмэлтүүдТэгээд энгийн хувиргалтыг ашиглан.

Өнөөдөр бид хамгийн анхны энгийн аргыг судлах болно.

Хамгийн аймшигтай, ойлгомжгүй зүйлээс эхэлье. Ингээд авч үзье дөрвөлжинматриц. Урвуу матрицыг дараах томъёогоор олж болно:

Матрицын тодорхойлогч хаана байна, матрицын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн шилжүүлсэн матриц байна.

Урвуу матрицын тухай ойлголт зөвхөн квадрат матрицад л байдаг, матрицууд “хоёр хоёр”, “гурваас гурав” гэх мэт.

Тэмдэглэлүүд: Та аль хэдийн анзаарсан байх, урвуу матрицыг дээд үсгээр тэмдэглэсэн

Хамгийн энгийн тохиолдлоос эхэлцгээе - хоёроос хоёр матриц. Ихэнх тохиолдолд мэдээжийн хэрэг "гурваас гурваар" шаардлагатай байдаг, гэхдээ шийдлийн ерөнхий зарчмыг ойлгохын тулд илүү энгийн ажлыг судлахыг зөвлөж байна.

Жишээ:

Матрицын урвуу утгыг ол

Ингээд шийдье. Үйлдлүүдийн дарааллыг цэг болгон задлах нь тохиромжтой.

1) Эхлээд бид матрицын тодорхойлогчийг олно.

Хэрэв таны энэ үйлдлийн талаарх ойлголт муу байвал материалыг уншина уу Тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Чухал!Хэрэв матрицын тодорхойлогч нь тэнцүү бол ТЭГ- урвуу матриц БАЙХГҮЙ БАЙНА.

Харж байгаа жишээн дээр бүх зүйл эмх цэгцтэй байгаа гэсэн үг юм.

2) Насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицыг ол.

Бидний асуудлыг шийдэхийн тулд насанд хүрээгүй хүн гэж юу болохыг мэдэх шаардлагагүй, гэхдээ нийтлэлийг уншихыг зөвлөж байна. Тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ.

Насанд хүрээгүй хүмүүсийн матриц нь матрицтай ижил хэмжээтэй байна, өөрөөр хэлбэл энэ тохиолдолд.
Дөрвөн тоог олоод одны оронд тавих л үлдлээ.

Матриц руугаа буцъя
Эхлээд зүүн дээд талын элементийг харцгаая:

Яаж олох вэ бага?
Үүнийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ: Энэ элемент байрлах мөр, баганыг СЭТГЭЛЭЭР тайрч ав.

Үлдсэн тоо нь энэ элементийн өчүүхэн, үүнийг бид насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицад бичдэг:

Дараах матрицын элементийг авч үзье.

Энэ элемент гарч ирэх мөр, баганыг оюун ухаанаар хайчилж ав:

Үлдсэн зүйл бол энэ элементийн багахан хэсэг бөгөөд бид матрицдаа бичдэг.

Үүний нэгэн адил бид хоёр дахь эгнээний элементүүдийг авч үзээд тэдний насанд хүрээгүй хүмүүсийг олно.


Бэлэн.

Энэ бол энгийн. Насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицад танд хэрэгтэй Тэмдгүүдийг өөрчлөххоёр тоо:

Эдгээр нь миний дугуйлсан тоонууд юм!

– матрицын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэгдлийн матриц.

Тэгээд зүгээр л...

4) Алгебрийн нэмэлтүүдийн шилжүүлсэн матрицыг ол.

– матрицын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн шилжүүлсэн матриц.

5) Хариулт.

Томьёогоо санацгаая
Бүх зүйл олдсон!

Тэгэхээр урвуу матриц нь:

Хариултыг байгаагаар нь үлдээсэн нь дээр. ХЭРЭГГҮЙүр дүн нь бутархай тоо байх тул матрицын элемент бүрийг 2-т хуваа. Энэ нюансыг ижил нийтлэлд илүү нарийвчлан авч үзсэн болно. Матрицтай үйлдлүүд.

Шийдлийг хэрхэн шалгах вэ?

Та матрицын үржүүлэлтийг хийх хэрэгтэй эсвэл

Шалгалт:

Өмнө дурдсаныг хүлээн авсан таних матрицнь нэгийг агуулсан матриц юм үндсэн диагональбусад газруудад тэг.

Тиймээс урвуу матриц зөв олддог.

Хэрэв та үйлдлийг хийвэл үр дүн нь мөн адил таних матриц болно. Энэ нь матрицын үржвэрийг солих боломжтой цөөн тохиолдлын нэг бөгөөд дэлгэрэнгүй мэдээллийг нийтлэлээс олж болно. Матриц дээрх үйлдлүүдийн шинж чанарууд. Матрицын илэрхийлэл. Шалгах явцад тогтмол (бутархай) хэсгийг урагшлуулж, хамгийн төгсгөлд нь - матрицыг үржүүлсний дараа боловсруулдаг болохыг анхаарна уу. Энэ бол стандарт техник юм.

Практикт илүү нийтлэг тохиолдол болох гурваас гурван матриц руу шилжье.

Жишээ:

Матрицын урвуу утгыг ол

Алгоритм нь "хоёр хоёр" тохиолдолтой яг ижил байна.

Бид урвуу матрицыг томъёогоор олно: , энд матрицын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн шилжүүлсэн матриц байна.

1) Матрицын тодорхойлогчийг ол.

Энд тодорхойлогч тодорхойлогдоно эхний мөрөнд.

Үүнийг бүү мартаарай, энэ нь бүх зүйл сайхан байна гэсэн үг юм - урвуу матриц байдаг.

2) Насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицыг ол.

Насанд хүрээгүй хүмүүсийн матриц нь "гурваас гурав" гэсэн хэмжээтэй байна. , мөн бид есөн тоог олох хэрэгтэй.

Би насанд хүрээгүй хэд хэдэн хүүхдийг сайтар харъя:

Дараах матрицын элементийг авч үзье.

Энэ элементийн байрлаж буй мөр, баганыг СЭТГЭЛЭЭР тайруулна уу:

Бид үлдсэн дөрвөн тоог "хоёр хоёр" тодорхойлогч дээр бичнэ.

Энэ нь хоёроос хоёр тодорхойлогч ба нь энэ элементийн жижиг хэсэг юм. Үүнийг тооцоолох шаардлагатай:


Ингээд л насанд хүрээгүй хүүхэд олдлоо, бид үүнийг насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн матрицад бичдэг.

Таны таамаглаж байсанчлан есөн хоёрыг хоёр тодорхойлогчийг тооцоолох хэрэгтэй. Энэ үйл явц нь мэдээжийн хэрэг уйтгартай, гэхдээ хэрэг нь хамгийн хүнд биш, үүнээс ч дор байж болно.

За, нэгтгэхийн тулд - зургуудаас өөр насанд хүрээгүй хүнийг олоорой:

Үлдсэн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг өөрөө тооцоолохыг хичээ.

Эцсийн үр дүн:
– матрицын харгалзах элементүүдийн багачуудын матриц.

Насанд хүрээгүй хүүхдүүд бүгд сөрөг болж гарсан нь зүгээр л осол юм.

3) Алгебрийн нэмэгдлийн матрицыг ол.

Насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицад энэ нь зайлшгүй шаардлагатай Тэмдгүүдийг өөрчлөхдараах элементүүдийн хувьд хатуу:

Энэ тохиолдолд:

Зөвхөн садист багш л ийм даалгавар өгч чаддаг тул бид "дөрөвөөс дөрөв" матрицын урвуу матрицыг олох талаар бодохгүй байна (Оюутан нэг "дөрөвөөс дөрөв" тодорхойлогч, 16 "гурваас гурав" тодорхойлогчийг тооцоолох). Миний практикт ийм тохиолдол ганц л байсан бөгөөд туршилтын үйлчлүүлэгч миний тарчлалыг маш их төлсөн =).

Хэд хэдэн сурах бичиг, гарын авлагаас та урвуу матрицыг олох арай өөр аргыг олж болно, гэхдээ би дээр дурдсан шийдлийн алгоритмыг ашиглахыг зөвлөж байна. Яагаад? Учир нь тооцоолол, шинж тэмдгүүдэд эргэлзэх магадлал хамаагүй бага байдаг.

Өгөгдсөн матрицын урвуу матриц нь ийм матриц бөгөөд анхны матрицыг үржүүлж, таних матрицыг өгдөг: Урвуу матриц байх зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл бол анхны матрицын тодорхойлогч нь тэнцүү биш байх явдал юм. тэг хүртэл (энэ нь эргээд матриц квадрат байх ёстой гэсэн үг). Хэрэв матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү бол түүнийг дан гэж нэрлэдэг бөгөөд ийм матрицад урвуу байдаггүй. Дээд математикийн хувьд урвуу матрицууд чухал бөгөөд хэд хэдэн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг. Жишээлбэл, дээр урвуу матрицыг олохтэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын аргыг бүтээсэн. Манай үйлчилгээний сайт зөвшөөрнө урвуу матрицыг онлайнаар тооцоолоххоёр арга: Гаусс-Жорданы арга ба алгебрийн нэмэлтүүдийн матрицыг ашиглах. Эхнийх нь матриц доторх олон тооны энгийн хувиргалтуудыг агуулдаг бол хоёр дахь нь бүх элементүүдийн тодорхойлогч болон алгебрийн нэмэлтүүдийн тооцоог агуулдаг. Матрицын тодорхойлогчийг онлайнаар тооцоолохын тулд та манай өөр үйлчилгээг ашиглаж болно - Матрицын тодорхойлогчийг онлайнаар тооцоолох

Сайтын урвуу матрицыг ол

вэб сайтолох боломжийг танд олгоно урвуу матриц онлайнхурдан бөгөөд үнэгүй. Сайт дээр манай үйлчилгээг ашиглан тооцооллыг хийж, үр дүнг олохын тулд нарийвчилсан шийдлээр өгсөн болно урвуу матриц. Сервер үргэлж зөвхөн үнэн зөв хариулт өгдөг. Тодорхойлолтоор даалгаварт урвуу матриц онлайн, тодорхойлогч байх шаардлагатай матрицуудтэг биш байсан, өөрөөр хэлбэл вэб сайтанхны матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байгаа тул урвуу матрицыг олох боломжгүй гэдгийг мэдээлэх болно. олох даалгавар урвуу матрицМатематикийн олон салбарт олддог бөгөөд алгебрийн хамгийн үндсэн ойлголтуудын нэг бөгөөд хэрэглээний бодлогод математикийн хэрэгсэл болдог. Бие даасан урвуу матрицын тодорхойлолтТооцооллын алдаа, жижиг алдаанаас зайлсхийхийн тулд ихээхэн хүчин чармайлт, маш их цаг хугацаа, тооцоолол, маш болгоомжтой байхыг шаарддаг. Тиймээс манай үйлчилгээ урвуу матрицыг онлайнаар олохЭнэ нь таны даалгаврыг ихээхэн хөнгөвчлөх бөгөөд математикийн асуудлыг шийдвэрлэхэд зайлшгүй шаардлагатай хэрэгсэл болно. Та ч гэсэн урвуу матрицыг олӨөрийнхөө шийдлийг манай сервер дээр шалгахыг зөвлөж байна. Манай вэбсайтад эх матрицаа оруулна уу Урвуу матрицыг онлайнаар тооцоолж, хариултаа шалгана уу. Манай систем хэзээ ч алдаа гаргаж, олдоггүй урвуу матрицгоримд өгөгдсөн хэмжээс онлайнтэр даруй! Вэбсайт дээр вэб сайтэлементүүдэд тэмдэгт оруулахыг зөвшөөрдөг матрицууд, энэ тохиолдолд урвуу матриц онлайнерөнхий бэлгэдлийн хэлбэрээр үзүүлнэ.

Матрицын үржүүлгийн урвуу үйлдлийг тодорхойлох асуудлыг авч үзье.

А нь n дарааллын квадрат матриц байг. Матриц A^(-1) нь өгөгдсөн А матрицын хамт дараах тэгшитгэлүүдийг хангадаг.

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,

Тодорхойлолтоос харахад урвуу матриц A^(-1) байгаа бол энэ нь A-тай ижил дарааллын квадрат болно. Гэсэн хэдий ч квадрат матриц бүр урвуу утгатай байдаггүй. Хэрэв А матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү (\det(A)=0) бол түүний урвуу утга байхгүй. Үнэн хэрэгтээ, E=A^(-1)A адилтгал матрицын матрицын үржвэрийн тодорхойлогчийн тухай теоремыг хэрэглэснээр бид зөрчилтэй болно.

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

Урвуу матрицын оршихуй ба өвөрмөц байдлын тухай теорем 4.1. Квадрат матриц A=\эхлэх(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \төгсгөл(pmatrix)Тодорхойлогч нь тэг биш, урвуу матрицтай бөгөөд зөвхөн нэг нь:

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n) )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

Энд A^(+) нь А матрицын элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдээс тогтсон матрицад шилжүүлсэн матриц юм.

A^(+) матрицыг дуудна хавсарсан матрицА матрицын хувьд.

Үнэн хэрэгтээ матриц \frac(1)(\det(A))\,A^(+)\det(A)\ne0 нөхцөлөөр оршино. Энэ нь А-аас урвуу гэдгийг харуулах шаардлагатай, i.e. хоёр нөхцлийг хангасан:

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\баруун)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\баруун)\!\cdot A=E.\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Эхний тэгш байдлыг баталъя. Тайлбар 2.3-ын 4 дэх хэсэгт заасны дагуу тодорхойлогчийн шинж чанараас дараахь зүйлийг гаргана AA^(+)=\det(A)\cdot E. Тийм ч учраас

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\баруун)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,

Үүнийг харуулах шаардлагатай байсан. Хоёр дахь тэгш байдал нь ижил төстэй байдлаар нотлогддог. Иймд \det(A)\ne0 нөхцөлийн дагуу А матриц урвуу утгатай байна

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

Бид урвуу матрицын өвөрмөц байдлыг зөрчилдөөнөөр нотлох болно. А^(-1) матрицаас гадна өөр нэг урвуу матриц B\,(B\ne A^(-1)) AB=E байя. Энэ тэгш байдлын хоёр талыг зүүн талаас A^(-1) матрицаар үржүүлбэл бид гарна. \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Эндээс B=A^(-1) , энэ нь B\ne A^(-1) таамаглалтай зөрчилдөж байна. Тиймээс урвуу матриц нь өвөрмөц юм.

Тайлбар 4.1

1. Тодорхойлолтоос харахад A ба A^(-1) матрицууд солигддог.

2. Ганц бус диагональ матрицын урвуу нь мөн диагональ байна:

\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\баруун)\!.

3. Ганц бус доод (дээд) гурвалжин матрицын урвуу нь доод (дээд) гурвалжин байна.

4. Элементар матрицууд нь урвуу утгатай бөгөөд тэдгээр нь мөн элементар байдаг (1.11-р тайлбарын 1-р хэсгийг үзнэ үү).

Урвуу матрицын шинж чанарууд

Матрицын урвуу үйлдэл нь дараах шинж чанаруудтай.

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1) )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

2-р өмчийг баталъя: Хэрэв ижил эрэмбийн ганц биш квадрат матрицуудын AB үржвэр нь урвуу матрицтай бол (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

Үнэн хэрэгтээ AB матрицын үржвэрийн тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш байна

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), Хаана \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

Тиймээс урвуу матриц (AB)^(-1) байгаа бөгөөд өвөрмөц юм. B^(-1)A^(-1) матриц нь AB матрицын урвуу гэдгийг тодорхойлолтоор харуулъя. Үнэхээр.

Урвуу матрицыг онлайнаар олохын тулд та матрицын хэмжээг өөрөө зааж өгөх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд "+" эсвэл "-" дүрс дээр дарж багана, мөрийн тоо хангалттай хэмжээнд хүрэх хүртэл дарна уу. Дараа нь талбарт шаардлагатай элементүүдийг оруулна уу. Доорх нь "Тооцоолох" товчийг дарснаар та дэлгэцэн дээр дэлгэрэнгүй шийдэл бүхий хариултыг хүлээн авах болно.

Шугаман алгебрийн хувьд урвуу матрицыг тооцоолох процессыг ихэвчлэн шийдвэрлэх шаардлагатай болдог. Энэ нь зөвхөн илэрхийлэгдээгүй матрицууд болон тодорхойлогч нь тэгээс өөр байх тохиолдолд квадрат матрицуудад байдаг. Зарчмын хувьд үүнийг тооцоолох нь тийм ч хэцүү биш, ялангуяа та жижиг матрицтай харьцаж байгаа бол. Гэхдээ хэрэв танд илүү төвөгтэй тооцоолол эсвэл шийдвэрээ сайтар шалгаж үзэх шаардлагатай бол энэ онлайн тооцоолуурыг ашиглах нь дээр. Үүний тусламжтайгаар та урвуу матрицыг хурдан бөгөөд үнэн зөв шийдэж чадна.

Энэхүү онлайн тооцоолуурыг ашигласнаар та тооцоогоо илүү хялбар болгож чадна. Үүнээс гадна, энэ нь онолын хувьд олж авсан материалыг нэгтгэхэд тусалдаг - энэ нь тархины нэг төрлийн симулятор юм. Үүнийг гар аргаар тооцоолсон зүйл гэж үзэж болохгүй, энэ нь танд илүү их зүйлийг өгч, алгоритмыг ойлгоход хялбар болгодог. Түүнээс гадна өөрийгөө дахин шалгах нь хэзээ ч гэмтдэггүй.

Урвуу матрицыг олох арга, . Квадрат матрицыг авч үзье

Δ =det A гэж тэмдэглэе.

А квадрат матриц гэж нэрлэдэг доройтдоггүй,эсвэл онцгой биш, хэрэв түүний тодорхойлогч нь тэг биш бол, ба доройтох,эсвэл онцгой, ХэрэвΔ = 0.

Хэрэв тэдгээрийн үржвэр нь A B = B A = E бол ижил дарааллын квадрат А матрицад B квадрат матриц хамаарна, энд E нь А ба В матрицуудтай ижил эрэмбийн ижил төстэй матриц юм.

Теорем . А матриц урвуу матрицтай байхын тулд тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

А матрицын урвуу матрицыг А гэж тэмдэглэв- 1, тэгэхээр B = A - 1 ба томъёогоор тооцоолно

, (1)

Энд A i j нь А матрицын a i j элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүд юм.

Өндөр эрэмбийн матрицын хувьд (1) томъёог ашиглан A -1-ийг тооцоолох нь маш их хөдөлмөр шаарддаг тул практикт энгийн хувиргалт (ET) аргыг ашиглан A -1-ийг олоход тохиромжтой. Ганц бус А матрицыг зөвхөн баганын (эсвэл зөвхөн мөрүүдийн) ED-ийн тусламжтайгаар E ижилсүүлэх матриц болгож бууруулж болно. Хэрэв А матрицыг төгс болгосон ED-үүдийг ижил дарааллаар E адилтгах матрицад хэрэглэвэл үр дүн нь гарна. урвуу матриц. А ба Е матрицууд дээр EP-г нэгэн зэрэг гүйцэтгэх, хоёр матрицыг зэрэгцүүлэн шугамаар бичихэд тохиромжтой. Матрицын каноник хэлбэрийг хайхдаа түүнийг олохын тулд мөр, баганын хувиргалтыг ашиглаж болно гэдгийг дахин сануулъя. Хэрэв та матрицын урвуу талыг олох шаардлагатай бол хувиргах явцад зөвхөн мөр эсвэл зөвхөн баганыг ашиглах хэрэгтэй.

Жишээ 2.10. Матрицын хувьд А -1-ийг ол.

Шийдэл.Эхлээд бид А матрицын тодорхойлогчийг олно
Энэ нь урвуу матриц байгаа гэсэн үг бөгөөд бид үүнийг дараах томъёогоор олж болно. , энд A i j (i,j=1,2,3) нь анхны матрицын a i j элементүүдийн алгебрийн нэмэгдлүүд юм.

Хаана .

Жишээ 2.11. Анхан шатны хувиргалтын аргыг ашиглан матрицын A -1-ийг ол: A =.

Шийдэл.Бид баруун талд байгаа анхны матрицад ижил дарааллаар таних матрицыг онооно. . Баганын энгийн хувиргалтыг ашиглан бид зүүн "хагас" -ыг нэг нэгж болгон бууруулж, баруун матриц дээр яг ижил хувиргалтыг нэгэн зэрэг хийнэ.
Үүнийг хийхийн тулд эхний болон хоёр дахь баганыг солино уу. ~ . Гурав дахь баганад бид эхнийх, хоёр дахь баганад эхнийх нь -2-оор үржигдэнэ. . Эхний баганаас бид хоёр дахь нь хоёр дахин, гурав дахь нь хоёр дахь нь 6-аар үржигддэг; . Гурав дахь баганыг эхний болон хоёрдугаарт нэмье: . Сүүлийн баганыг -1-ээр үржүүлнэ: . Босоо зураасны баруун талд олж авсан квадрат матриц нь өгөгдсөн А матрицын урвуу матриц болно. Тэгэхээр,
.