Шугаман дифференциал систем тэгшитгэл.
Дифференциал тэгшитгэлийн системийг нэрлэдэг шугаман,үл мэдэгдэх функц болон тэдгээрийн деривативын хувьд шугаман бол. систем n-1-р эрэмбийн шугаман тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичнэ.
Системийн коэффициентүүд нь const.
Энэ системийг матриц хэлбэрээр бичих нь тохиромжтой: ,
Энд нэг аргументаас хамаарах үл мэдэгдэх функцүүдийн баганын вектор байна.
Эдгээр функцүүдийн деривативын баганын вектор.
Чөлөөт гишүүдийн баганын вектор.
Коэффицент матриц.
Теорем 1:Хэрэв бүх матрицын коэффициентууд Атодорхой интервал дээр үргэлжилдэг ба , дараа нь м бүрийн тодорхой хөрш. 
TS&E-ийн нөхцөл хангагдсан. Иймээс ийм цэг бүрээр нэг интеграл муруй дамждаг.
Үнэн хэрэгтээ, энэ тохиолдолд системийн баруун гар тал нь аргументуудын багцын хувьд тасралтгүй бөгөөд тэдгээрийн хэсэгчилсэн деривативууд нь (А матрицын коэффициентүүдтэй тэнцүү) хаалттай интервал дахь тасралтгүй байдлын улмаас хязгаарлагдмал байдаг.
SLD-ийг шийдвэрлэх аргууд
1. Мэдэгдэхгүйг арилгах замаар дифференциал тэгшитгэлийн системийг нэг тэгшитгэл болгон бууруулж болно.
Жишээ:Тэгшитгэлийн системийг шийд: 
(1)
Шийдэл:оруулахгүй zЭдгээр тэгшитгэлээс. Эхний тэгшитгэлээс бид . Хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж, 
хялбаршуулсаны дараа бид дараахь зүйлийг авна. 
.
Энэ тэгшитгэлийн систем (1) Хоёр дахь эрэмбийн нэг тэгшитгэл болгон бууруулсан. Энэ тэгшитгэлээс олсны дараа y, олдох ёстой z, тэгш байдлыг ашиглан.
2. Үл мэдэгдэхийг арилгах замаар тэгшитгэлийн системийг шийдэхдээ ихэвчлэн илүү өндөр эрэмбийн тэгшитгэлийг олж авдаг тул олон тохиолдолд системийг олох замаар шийдвэрлэх нь илүү тохиромжтой байдаг. нэгдсэн хослолууд.
Үргэлжлэл 27б
Жишээ:Системийг шийднэ үү 
Шийдэл:
Энэ системийг Эйлерийн аргаар шийдье. Шинж чанарыг олох тодорхойлогчийг бичье
тэгшитгэл: , (систем нь нэгэн төрлийн учир өчүүхэн бус шийдэлтэй байхын тулд энэ тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой). Бид шинж чанарын тэгшитгэлийг олж, түүний үндсийг олно. 
Ерөнхий шийдэл нь: 
;
- хувийн вектор.
Бид шийдлийг бичнэ: 
;
- хувийн вектор.
Бид шийдлийг бичнэ: 
;
Бид ерөнхий шийдлийг олж авдаг: 
.
Шалгацгаая:
-ийг олъё, мөн үүнийг энэ системийн эхний тэгшитгэлд орлуулна, өөрөөр хэлбэл. .
Бид авах:
- жинхэнэ тэгш байдал.
Шугаман ялгаа. n-р эрэмбийн тэгшитгэл. n-р эрэмбийн нэгэн төрлийн бус шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн тухай теорем.
n-р эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм. (1)
Хэрэв энэ тэгшитгэл нь коэффициенттэй бол түүнийг хувааж үзвэл бид тэгшитгэлд хүрнэ. (2) .
Ихэвчлэн ийм төрлийн тэгшитгэлүүд байдаг (2). Үүнийг ur-i гэж бодъё (2) бүх магадлал, түүнчлэн f(x)тодорхой интервалд тасралтгүй (а, б).Дараа нь TS&E-ийн дагуу тэгшитгэл (2) нь анхны нөхцөлийг хангасан өвөрмөц шийдэлтэй: , , …, for. Энд - интервалаас дурын цэг (а, б),ба бүгд - өгөгдсөн дурын тоо. Тэгшитгэл (2) TC&E-г хангасан , тиймээс байхгүй тусгай шийдлүүд.
Тодорхойлолт: тусгайцэгүүд нь =0 байх цэгүүд юм.
Шугаман тэгшитгэлийн шинж чанарууд:
- Шугаман тэгшитгэл нь бие даасан хувьсагч хэрхэн өөрчлөгдсөнөөс үл хамааран шугаман хэвээр байна.
- Хүссэн функцийн шугаман өөрчлөлтөд шугаман тэгшитгэл хэвээр үлдэнэ.
Def:Хэрэв тэгшитгэлд байгаа бол (2) тавих f(x)=0, дараа нь бид дараах хэлбэрийн тэгшитгэлийг авна. (3) гэж нэрлэдэг нэгэн төрлийн тэгшитгэлнэгэн төрлийн бус тэгшитгэлтэй харьцуулахад (2).
Шугаман дифференциал операторыг танилцуулъя: (4). Энэ операторыг ашигласнаар та тэгшитгэлийг богино хэлбэрээр дахин бичиж болно (2) Тэгээд (3): L(y)=f(x), L(y)=0.Оператор (4) дараах энгийн шинж чанаруудтай:
Эдгээр хоёр шинж чанараас дүгнэлт гаргаж болно: .
Чиг үүрэг у=у(х)нь нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдэл юм (2), Хэрэв L(y(x))=f(x), Дараа нь f(x)тэгшитгэлийн шийд гэж нэрлэдэг. Тэгэхээр тэгшитгэлийн шийдэл (3) функц гэж нэрлэдэг у(х), Хэрэв L(y(x))=0харгалзан үзсэн интервалууд дээр.
Санаж үз нэг төрлийн бус шугаман тэгшитгэл: , L(y)=f(x).
Бид ямар нэгэн байдлаар тодорхой шийдлийг олсон гэж бодъё, тэгвэл .
Үл мэдэгдэх шинэ функцийг танилцуулъя zтомъёоны дагуу: , тодорхой шийдэл хаана байна.
Үүнийг тэгшитгэлд орлуулъя: , хаалтыг нээж: .
Үр дүнгийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно. 
Анхны тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл учраас , тэгвэл .
Тиймээс бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг олж авлаа z. Энэхүү нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь шугаман хослол юм: , энд функцууд нь нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдүүдийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг. Орлуулах zорлуулах томъёонд бид дараахь зүйлийг авна. 
(*) функцийн хувьд y– анхны тэгшитгэлийн үл мэдэгдэх функц. Анхны тэгшитгэлийн бүх шийдлүүд (*) хэсэгт агуулагдах болно.
Ийнхүү нэгэн төрлийн бус шугамын ерөнхий шийдэл. тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл ба нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн зарим тодорхой шийдийн нийлбэрээр илэрхийлнэ.
(нөгөө талд үргэлжилсэн)
30. Дифференциалын шийдийн оршихуй ба өвөрмөц байдлын теорем. тэгшитгэл
Теорем:Хэрэв тэгшитгэлийн баруун тал нь тэгш өнцөгт дээр үргэлжилсэн бол 
мөн хязгаарлагдмал, мөн түүнчлэн Липшицийн нөхцөлийг хангана: , N=const, тэгвэл эхний нөхцлүүдийг хангасан, сегмент дээр тодорхойлогдсон өвөрмөц шийдэл байна. 
, Хаана.
Нотолгоо:
Метрийн орон зайг бүрэн хэмжээгээр авч үзье ХАМТ,цэгүүд нь интервал дээр тодорхойлогдсон y(x) бүх боломжит тасралтгүй функцууд юм , графикууд нь тэгш өнцөгт дотор байрлах ба зай нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог. 
. Энэ орон зайг ихэвчлэн математик шинжилгээнд ашигладаг бөгөөд үүнийг нэрлэдэг жигд нэгдэх орон зай, учир нь энэ орон зайн хэмжигдэхүүн дэх нэгдэл нь жигд байна.
Дифференциалыг сольж үзье. Өгөгдсөн анхны нөхцөл бүхий тэгшитгэлийг эквивалент интеграл тэгшитгэлд: 
мөн операторыг анхаарч үзээрэй A(y), энэ тэгшитгэлийн баруун талтай тэнцүү: 
. Энэ оператор нь тасралтгүй функц бүрт оноодог
Липшицийн тэгш бус байдлыг ашиглан бид зай гэж бичиж болно. Дараах тэгш бус байдлыг хангах нэгийг сонгоцгооё.
Ийм байдлаар сонгох хэрэгтэй , тэгвэл . Тиймээс бид үүнийг харуулсан.
Агшилтын зураглалын зарчмын дагуу өгөгдсөн анхны нөхцлүүдийг хангасан дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь нэг цэг буюу ижил функцтэй байдаг.
n--р захиалга
Теорем. Хэрэв y 0- нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл L[y]=0, y 1- харгалзах нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдэл L[y] = f(x), дараа нь нийлбэр y 0 +y 1нь энэхүү нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдэл юм.
Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн бүтцийг дараах теоремоор тодорхойлно.
Теорем. Хэрэв Ю- тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл L[y] = f(x)тасралтгүй коэффициентүүдтэй, 
- харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл L[y] = 0, дараа нь энэ нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг томъёогоор тодорхойлно
Сэтгэгдэл. Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг бичихийн тулд энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл, харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олох шаардлагатай.
Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл n
Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг авч үзье n-тогтмол коэффициент бүхий 1-р дараалал
Хаана a 1, a 2, …, a n- бодит тоо. Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг бичье
Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг томъёогоор тодорхойлно
Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл y 0Бид тодорхой шийдлийг олж чадна ЮДараах энгийн тохиолдолд тодорхойгүй коэффициентийн аргаар олж болно.
Ерөнхий тохиолдолд дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашигладаг.
Дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга
Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг авч үзье n-хувьсах коэффициент бүхий-р дараалал
Хэрэв энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олоход хэцүү, гэхдээ харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь мэдэгдэж байгаа бол нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж болно. дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга.
Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг үзье
ерөнхий шийдэлтэй
Бид нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хэлбэрээр хайх болно
Хаана y 1 =y 1 (x), y 2 =y 2 (x), …, y n =y n (x)нь ерөнхий шийдэлд багтсан нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүд ба C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)- үл мэдэгдэх функцууд. Эдгээр функцийг олохын тулд тэдгээрийг зарим нөхцөл байдалд оруулъя.
Деривативыг олцгооё
Бид хоёр дахь хаалтанд байгаа нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байхыг шаарддаг, өөрөөр хэлбэл
Хоёрдахь деривативыг олъё
мөн бид үүнийг шаардах болно
Үүнтэй төстэй үйл явцыг үргэлжлүүлснээр бид олж авна
Энэ тохиолдолд та хоёр дахь хаалтанд байгаа нийлбэрийг алга болгохыг шаардах боломжгүй, учир нь функцууд C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)аль хэдийн захирагддаг n-1нөхцөл, гэхдээ та анхны нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг хангах шаардлагатай хэвээр байна.
Шууд интегралаар шийдэгдсэн тэгшитгэлүүд
Дараах дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.
.
Бид n удаа нэгтгэдэг.
;
;
гэх мэт. Та мөн томъёог ашиглаж болно:
.
см. Шууд шийдэж болох дифференциал тэгшитгэл нэгтгэх > > >
y хамааралтай хувьсагчийг тодорхой агуулаагүй тэгшитгэлүүд
Орлуулалт нь тэгшитгэлийн дарааллыг нэгээр бууруулдаг. -аас авсан функц энд байна.
см. Тодорхой хэлбэрээр функц агуулаагүй дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл > > >
Бие даасан x хувьсагчийг тодорхой оруулаагүй тэгшитгэлүүд
.
-ийн функц гэж бид үзэж байна. Дараа нь
.
Бусад деривативуудын хувьд мөн адил. Үүний үр дүнд тэгшитгэлийн дараалал нэгээр багасна.
см. Тодорхой хувьсагч агуулаагүй дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл > > >
y, y′, y′′, ...-ын хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэлүүд
Энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид орлуулалтыг хийнэ
,
функц хаана байна. Дараа нь
.
Бид дериватив гэх мэтчилэн хувиргадаг. Үүний үр дүнд тэгшитгэлийн дараалал нэгээр багасна.
см. Функц ба түүний деривативын хувьд нэгэн төрлийн өндөр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлүүд > > >
Дээд зэрэглэлийн шугаман дифференциал тэгшитгэл
Ингээд авч үзье n-р эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл:
(1)
,
бие даасан хувьсагчийн функцууд хаана байна. Энэ тэгшитгэлийн шугаман бие даасан n шийд байна. Дараа нь (1) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.
(2)
,
дурын тогтмолууд хаана байна. Функцүүд өөрсдөө шийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг.
Үндсэн шийдлийн систем n-р эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл нь энэ тэгшитгэлийн n шугаман бие даасан шийд юм.
Ингээд авч үзье n-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэл:
.
Энэ тэгшитгэлийн тодорхой (ямар ч) шийдэл байг. Дараа нь ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.
,
нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл хаана байна (1).
Тогтмол коэффициенттэй ба тэдгээрт буурдаг шугаман дифференциал тэгшитгэл
Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл
Эдгээр нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм.
(3)
.
Энд бодит тоонууд байна. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олохын тулд шийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг n шугаман бие даасан шийдлийг олох хэрэгтэй. Дараа нь ерөнхий шийдлийг (2) томъёогоор тодорхойлно.
(2)
.
Бид хэлбэрээр шийдлийг хайж байна. Бид авдаг шинж чанарын тэгшитгэл:
(4)
.
Хэрэв энэ тэгшитгэл байгаа бол янз бүрийн үндэс, дараа нь шийдлийн үндсэн систем нь дараах хэлбэртэй байна.
.
Хэрэв боломжтой бол цогц үндэс
,
тэгээд нийлмэл нийлмэл үндэс бас бий. Эдгээр хоёр үндэс нь нийлмэл шийдлүүдийн оронд үндсэн системд оруулах ба шийдлүүдтэй тохирч байна.
Олон үндэсүржвэр нь шугаман бие даасан шийдлүүдэд тохирно: .
Олон тооны нарийн төвөгтэй үндэсолон талт байдал ба тэдгээрийн нарийн төвөгтэй коньюгат утгууд нь шугаман бие даасан шийдлүүдтэй тохирч байна.
.
Тусгай нэг төрлийн бус хэсэгтэй шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл
Маягтын тэгшитгэлийг авч үзье
,
s зэрэгтэй олон гишүүнт хаана байна 1
болон с 2
; - байнгын.
Эхлээд бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хайж байна (3). Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэл (4) үндэс агуулаагүй, дараа нь бид тодорхой шийдлийг дараах хэлбэрээр хайж байна.
,
Хаана
;
;
s - s-ийн хамгийн том нь 1
болон с 2
.
Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэл (4) үндэстэйолон талт байдал, дараа нь бид тодорхой шийдлийг дараах хэлбэрээр хайж байна.
.
Үүний дараа бид ерөнхий шийдлийг олж авна:
.
Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл
Энд гурван боломжит шийдэл байна.
1)
Бернулли арга.
Нэгдүгээрт, бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ямар ч тэгээс өөр шийдийг олно
.
Дараа нь бид орлуулалт хийдэг
,
Энд x хувьсагчийн функц байна. Бид зөвхөн x-тэй холбоотой u-ийн деривативуудыг агуулсан u-ийн дифференциал тэгшитгэлийг олж авдаг. Орлуулалтыг хийснээр бид n тэгшитгэлийг олж авна - 1
--р захиалга.
2)
Шугаман орлуулалтын арга.
Сэлгээ хийцгээе
,
Энд (4) шинж чанарын тэгшитгэлийн язгууруудын нэг байна. Үүний үр дүнд бид тогтмол дарааллын коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг олж авдаг. Энэ орлуулалтыг тууштай хэрэглэснээр бид анхны тэгшитгэлийг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл болгон бууруулна.
3)
Лагранжийн тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга.
Энэ аргын хувьд бид эхлээд нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг (3) шийддэг. Түүний шийдэл нь дараах байдалтай байна.
(2)
.
Бид цаашлаад тогтмолууд нь x хувьсагчийн функцууд гэж таамаглаж байна. Дараа нь анхны тэгшитгэлийн шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.
,
Үл мэдэгдэх функцүүд хаана байна. Анхны тэгшитгэлийг орлуулж, зарим хязгаарлалт тогтоосноор бид функцийн төрлийг олох тэгшитгэлийг олж авна.
Эйлерийн тэгшитгэл
Энэ нь орлуулах замаар тогтмол коэффициент бүхий шугаман тэгшитгэл болгон бууруулна.
.
Гэхдээ Эйлерийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд ийм орлуулалт хийх шаардлагагүй. Та нэн даруй хэлбэрээр нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийг хайж болно
.
Үүний үр дүнд бид хувьсагчийн оронд орлуулах шаардлагатай тогтмол коэффициент бүхий тэгшитгэлтэй ижил дүрмийг олж авдаг.
Лавлагаа:
V.V. Степанов, Дифференциал тэгшитгэлийн курс, "LKI", 2015 он.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Дээд математикийн асуудлын цуглуулга, "Лан", 2003 он.
