Теорем. Гурвалжны талбай нь түүний тал ба өндрийн үржвэрийн хагастай тэнцүү байна.
Нотолгоо нь маш энгийн. Энэ гурвалжин ABC(Зураг 1.15) параллелограмм хүртэл байгуулъя ABDC. Гурвалжин ABCТэгээд DCBгурван талдаа тэнцүү тул талбай нь тэнцүү байна. Тиймээс гурвалжны талбай ABCпараллелограммын талбайн хагастай тэнцүү байна ABDC, өөрөөр хэлбэл
Гэхдээ энд дараах асуулт гарч ирнэ: ямар ч гурвалжны суурь ба өндрийн гурван боломжит хагас бүтээгдэхүүн яагаад ижил байдаг вэ? Гэсэн хэдий ч нийтлэг хурц өнцөг бүхий тэгш өнцөгтүүдийн ижил төстэй байдлаас үүнийг батлахад хялбар байдаг. Гурвалжинг авч үзье ABC(Зураг 1.16):
Тиймээс
Гэхдээ сургуулийн сурах бичигт үүнийг хийдэггүй. Эсрэгээр, эдгээр бүх хагас бүтээгдэхүүн нь гурвалжны талбайг илэрхийлж байгаагийн үндсэн дээр гурван хагас бүтээгдэхүүний тэгш байдал тогтоогддог. Тиймээс нэг функц байгаа нь далд байдлаар ашиглагдаж байна. Гэхдээ энд математик загварчлалын жишээг харуулах тохиромжтой, сургамжтай боломж гарч ирж байна. Үнэхээр талбайн тухай ойлголтын цаана биет бодит байдал байгаа боловч гурван хагас бүтээгдэхүүний тэгш байдлыг шууд баталгаажуулах нь энэ ойлголтыг математикийн хэл рүү орчуулах чанарыг харуулж байна.
Дээрх гурвалжны талбайн теоремыг ашиглан хоёр гурвалжны талбайг харьцуулах нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг. Доор бид теоремын зарим тодорхой боловч чухал үр дагаврыг танилцуулж байна.
Дүгнэлт 1. Гурвалжны оройг суурьтай параллель шулуун шугамын дагуу хөдөлгөвөл түүний талбай өөрчлөгдөхгүй.
Зураг дээр. 1.17 гурвалжин ABCТэгээд АНУнийтлэг үндэслэлтэй ABба тэгш өндрийг энэ суурь дээр буулгасан тул шулуун шугам А, оройнуудыг агуулсан ХАМТТэгээд Дсуурьтай зэрэгцээ AB, тиймээс эдгээр гурвалжны талбайнууд тэнцүү байна.
Дүгнэлт 1-ийг дараах байдлаар дахин томъёолж болно.
Үр дүн 1?. Хэсэг өгье AB. Олон оноо Мийм гурвалжны талбай AMVзаасан утгатай тэнцүү байна С, сегменттэй зэрэгцээ хоёр шугам байна ABмөн түүнээс хол зайд байрлах хүмүүс (Зураг 1. 18)
Дүгнэлт 2. Өгөгдсөн өнцөгтэй зэргэлдээх гурвалжны аль нэг талыг нэмэгдүүлсэн бол кудаа, дараа нь түүний талбай бас нэмэгдэх болно кнэг удаа.
Зураг дээр. 1.19 гурвалжин ABCТэгээд АНУнийтлэг өндөртэй БХ, тиймээс тэдгээрийн талбайн харьцаа нь суурийн харьцаатай тэнцүү байна
Үр дүн 2-оос чухал онцгой тохиолдлууд дараах байдалтай байна.
1. Медиан гурвалжинг хоёр жижиг хэсэгт хуваана.
2. Гурвалжны өнцгийн биссектриса, талуудын хооронд хүрээлэгдсэн АТэгээд б, хоёр гурвалжинд хуваадаг бөгөөд тэдгээрийн талбайнууд нь хоорондоо холбоотой а : б.
Дүгнэлт 3. Хэрэв хоёр гурвалжин нийтлэг өнцөгтэй бол тэдгээрийн талбайнууд нь энэ өнцгийг хүрээлж буй талуудын үржвэртэй пропорциональ байна.
Энэ нь (Зураг 1.19)
Ялангуяа дараахь мэдэгдэлд хамаарна.
Хэрэв хоёр гурвалжин ижил төстэй бөгөөд тэдгээрийн аль нэгнийх нь тал нь байвал кнөгөө талын харгалзах талуудаас дахин том бол түүний талбай нь байна кХоёр дахь талбайгаас 2 дахин их.
Бид гурвалжны талбайн хувьд Хероны томъёог дараах хоёр аргаар гаргаж авдаг. Эхлээд бид косинусын теоремыг ашигладаг.
Үүнд: a, b, c нь гурвалжны талуудын урт, r нь в талын эсрэг талын өнцөг юм.
(1.3)-аас бид олдог.
Үүнийг анзаарч байна
гурвалжны хагас периметр хаана байна, бид олж авна.
Энэхүү 8-р ангийн геометрийн видео хичээл нь сурагчдад гурвалжны талбайг олох сэдвийг сурахад тусална. Энэ сэдэв нь гурвалжны талбайг тооцоолох ямар арга байдаг талаар ярилцаж, хоёр үр дүн, гурвалжны талбайн харьцааны теоремыг өгдөг.
Хичээлийн эхэнд бид сэдвийн хэлэлцүүлгийг хялбарчлах зарим заалтуудыг тоймлон харуулах болно. ABC гурвалжинг жишээ болгон авч үзье. Ихэнхдээ тав тухтай байхын тулд гурвалжингийн аль нэг талыг суурь болгон авдаг. Дараа нь тухайн өндөр нь суурь руу татсан өндөр байх болно.
Теоремыг харцгаая: гурвалжны талбайг түүний суурийн үржвэр ба өндрийн үржвэрээр хагас болгон хувааж болно. Мэдэгдэл нь нотлох баримт шаарддаг. Бидэнд ACB гурвалжин өгөгдсөн гэж бодъё, түүний талбай нь S утгаар илэрхийлэгдэнэ. Бид AB тал нь гурвалжны суурь гэж үзнэ. CH-д перпендикуляр зуръя. Бид S = 0.5 x AB x CH гэдгийг батлах хэрэгтэй.
Бид дараах аргыг хэрэглэнэ: ACB гурвалжин дээр үндэслэн ABCD параллелограммыг зурагт үзүүлсэн шиг зур. ACB ба CBD гурвалжингуудыг авч үзье. CB нь тэдгээрийн нийтлэг тал, BA тал нь DC-тэй, CA тал нь DB-тэй тэнцүү, учир нь эдгээр нь параллелограммын эсрэг талууд юм. Гурван тал нь тэнцүү тул ACB ба CBD гурвалжин нь хоорондоо тохирч байна. Гурвалжны тэгш байдлаас харахад тэдгээрийн талбайнууд тэнцүү байна. Тиймээс ACB гурвалжны талбай нь ABCD параллелограммын талбайг хагасаар хуваасантай тэнцүү байна. Параллелограммын талбайг суурийг өндрөөр үржүүлэх замаар тооцоолж болно гэдгийг бид мэднэ: S ABCD = AB x CH. Энэ нь гурвалжны талбай нь S = 0.5 x AB x CH гэсэн үг бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай байна.
Теоремоос хэд хэдэн мэдэгдэл гардаг.
Эхний үр дагавар. Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг хөлний үржвэрийг 2-т хуваасан байдлаар олно.
Хоёр дахь үр дагавар. Хэрэв хоёр гурвалжин ижил өндөртэй бол гурвалжны талбайн харьцаа нь тэдгээрийн суурийн харьцаатай тэнцүү байна.
Гурвалжны талбайн харьцааны теоремыг нотлохдоо тэдгээрийн аль нэг өнцөг нь тэнцүү байх тохиолдолд хоёр дахь үр дүнг ашиглаж болно.
Энэ теорем нь хоёр гурвалжны аль нэг өнцөг нь тэнцүү бол эдгээр гурвалжны талбайн харьцаа нь ижил өнцгийг хүрээлж буй талуудын үржвэрийн харьцааны утгатай тэнцүү байх болно гэжээ.
Нотлох баримтыг харцгаая. Талбай нь S ба S 1-тэй тэнцүү ABC ба A 1 B 1 C 1 гэсэн хоёр гурвалжинг өгье. А өнцөг нь А өнцөгтэй тэнцүү гэдгийг мэддэг 1. S / S 1 = (AB x AC) / A 1 B 1 x A 1 C 1 илэрхийлэл үнэн гэдгийг баталцгаая, өөрөөр хэлбэл. Эдгээр гурвалжнуудын талбайнууд нь ижил өнцгийг бүрхсэн талуудын үржвэрийн үр дүнд бие биентэйгээ холбоотой байдаг.
Дараа нь хоёр гурвалжныг нэгтгэж, А орой нь A 1 оройтой, A 1 B 1 ба A 1 C 1 талууд нь AB ба AC туяатай давхцах ABC ба AB 1 C гурвалжнууд (зураг дээр өнгөөр тодруулсан) нийтлэг байна өндөр CH. Эдгээр гурвалжны талбайг бичье. ABC гурвалжны талбай нь 0.5 x AB x CH. AB 1 C гурвалжны талбай нь 0.5 x AB 1 x CH байна. Дараа нь талбайнууд хоорондоо (0.5 x AB x CH) / (0.5 x AB 1 x CH) эсвэл AB / AB 1 байдлаар хамааралтай байна. Үүнтэй адилтгаж үзвэл AB 1 C ба AB 1 C 1 гурвалжингууд нь нийтлэг B 1 H 1 өндөртэй байдаг (зураг дээр тэмдэглэсэн). AB 1 C 1 гурвалжны талбай нь 0.5 x A 1 C 1 x BH 1 бөгөөд AB 1 C гурвалжны талбайг 0.5 x AC x BH 1 гэж өөрөөр бичиж болно.
Дараа нь AB 1 C ба AB 1 C 1 гурвалжнуудын талбайнууд хоорондоо (0.5 x AC x BH 1) / (0.5 x A 1 C 1 x BH 1) эсвэл AC / AC 1 байдлаар хамааралтай байна. Үүссэн тэгшитгэлийг үржүүлбэл ABC ба AB 1 C 1 гурвалжнуудын талбайнууд хоорондоо (AB x AC) / (AB 1 x AC 1) хамааралтай болохыг олж мэдэв. Тэдгээр. S / S 1 = (AB x AC) / A 1 B 1 x A 1 C 1 . Бид теоремыг баталсан.
Асуултуудын хариултыг санацгаая 1. Геометрийн талбайн тухай ойлголтыг томъёолох 2. Геометрийн дүрсүүдийн талбайн үндсэн шинж чанарыг томъёолох 3. Тэгш өнцөгт ба параллелограммын талбайг хэрхэн тооцоолох вэ?
Геометрийн дүрсийн талбай Геометрийн дүрсийн талбай нь тухайн дүрсийн хэмжээг тодорхойлдог хэмжигдэхүүн юм.
Геометрийн дүрсүүдийн талбайн үндсэн шинж чанарууд 1. Аливаа хавтгай геометрийн дүрс нь талбайтай байдаг. 2. Энэ талбай нь цорын ганц газар юм. 3. Аливаа геометрийн дүрсийн талбайг эерэг тоогоор илэрхийлнэ. 4. Тал нь нэгтэй тэнцүү квадратын талбай нь нэгтэй тэнцүү байна. 5. Зургийн талбай нь түүний хуваагдсан хэсгүүдийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Тэгш өнцөгтийн талбай Тэгш өнцөгтийн талбай нь түүний зэргэлдээх хоёр талын үржвэртэй тэнцүү a -ийн S = a · in
Параллелограммын талбай 1. Параллелограммын талбай нь түүний хажуугийн үржвэр ба энэ тал руу буулгасан өндөртэй тэнцүү a S = a · h h
Параллелограммын талбай 2. Параллелограммын талбай нь түүний зэргэлдээх хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусын үржвэртэй тэнцүү A B C D S= a · b · sin A
Гурвалжны талбай Теорем Гурвалжны талбай нь түүний хажуугийн үржвэрийн тал ба энэ тал руу буулгасан өндөртэй тэнцүү A B C D S = ½ AC · VD
Теоремын баталгаа A B D C K S(ABC)= ½ S(ABDS)=1/2 AD · VC
Теоремын үр дүн Дараах үр дагаврыг теоремоос батлахыг хичээ.
Дүгнэлт 1 Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь түүний хөлүүдийн хагас үржвэртэй тэнцүү A B C S = ½ BC AC
Дүгнэлт 2 Мохоо гурвалжны талбай нь түүний аль нэг талын үржвэртэй тэнцүү ба энэ тал руу унасан өндөр нь A B CD.
Дүгнэлт 3 Гурвалжны талбай нь түүний аль ч хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусын үржвэрийн хагастай тэнцүү A B C S= ½ AB · AC · sin A
Дүгнэлт 4 Тэгш талт гурвалжны талбайг дараах томъёогоор тооцоолно: а нь гурвалжны тал юм.
Эхлээд хялбар бодлогуудыг шийдээрэй: 1. Суурь нь 16 см, өндөр нь 20 см бол 2. Хажуу тал нь 6 см байх гурвалжны талбайг ол Талууд нь 9 см ба 12 см хэмжээтэй тэгш өнцөгт гурвалжны.
Эдгээр хялбар тааварт зориулсан тайлбар зураг
Одоо илүү хэцүү бодлогуудыг шийдээрэй 1. Тэгш өнцөгт гурвалжны тал нь 13 см, суурь нь 10 см байна. 2. А талтай тэгш талт гурвалжин өгөгдсөн. Өгөгдсөн гурвалжны дунд шугамаас бүтсэн гурвалжны талбайг ол 3. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз нь 10 см, нэг хөл нь 8 см байна
Одоо хамгийн хэцүү бодлогуудаа шийдээрэй 1. Адил өнцөгт гурвалжны хажуу тал нь а, суурийн өнцөг нь тэнцүү байна. Гурвалжны талбайг ол. 2. Адил талт гурвалжны өндөр нь h. Түүний талбайг тооцоол. 3. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз нь c-тэй тэнцүү, хурц өнцөгүүдийн аль нэг нь тэнцүү байна. Гурвалжны талбайг ол.
Хялбар бодлогын хариулт см см см 2
Илүү хэцүү асуудлын хариулт см см 2
Хамгийн хэцүү асуудлын хариулт Бодлогын хариулт: 1. ½ a 2 нүгэл
Энэ сонирхолтой байна! Геометрийн дүрсүүдийн талбайг тодорхойлох нь хамгийн эртний практик асуудлуудын нэг юм. Тэдгээрийг шийдвэрлэх зөв арга нь тэр даруй олдсонгүй. Талбайг тооцоолох хамгийн энгийн бөгөөд хүртээмжтэй аргуудын нэгийг Евклид нээсэн. Талбайг тооцоолохдоо тэрээр хуваах арга гэж нэрлэгддэг энгийн аргыг ашигласан.
Жишээлбэл, бид дөрвөлжин, тэгш өнцөгт, параллелограммын талбайг хэрхэн тооцоолохыг аль хэдийн мэддэг байсан ч дурын гурвалжны талбайг тооцоолох хэрэгтэй. Дараах алгоритмыг хэрэгжүүлье.
Гурвалжны аль нэг тал дээр энэ талын дунд байгаа цэгийг тэмдэглэе. 2. Энэ гурвалжны аль нэг талтай параллель шулуун шугамыг энэ цэгээр зур. 3. Шулуун шугам нь энэ гурвалжинг жижиг гурвалжин болон трапец хэлбэрээр хуваана. 4. Жижиг гурвалжинг трапецын хэлбэрт шилжүүлснээр бид параллелограммыг авна.
Анхны гурвалжин ба үүссэн параллелограмм нь ижил бүтэцтэй дүрсүүд тул талбайн хувьд тэнцүү дүрсүүд нь тэнцүү талбайтай дүрс гэдгийг бид мэднэ. Энэ нь анхны гурвалжны талбай нь үүссэн параллелограммын талбайтай тэнцүү гэсэн үг юм.
Параллелограммын талбай нь түүний суурь ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү бөгөөд анхны гурвалжны өндөр нь барилгын дагуу параллелограммын өндрөөс 2 дахин их байна. Энэ нь гурвалжны талбай нь түүний суурь ба өндрийн бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү гэсэн үг юм!
Эцэст нь хэлэхэд... Энэ мэдээлэл танд энэ сэдвийг сайн ойлгоход тусална гэж найдаж байна, тиймээс шалгалтанд зөвхөн "А" аваарай! Анхаарал тавьсанд баярлалаа!
- Аливаа хавтгай геометрийн дүрс нь талбайтай байдаг. - Аливаа хавтгай геометрийн дүрс нь талбайтай байдаг. - Энэ талбай нь цорын ганц талбай юм. - Аливаа геометрийн дүрсийн талбайг эерэг тоогоор илэрхийлнэ. - Тал нь нэгтэй тэнцүү квадратын талбай нь нэгтэй тэнцүү байна. - Зургийн талбай нь түүний хуваагдсан хэсгүүдийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.
1. Суурь нь 16 см, 16 см, суурийн өндөр нь 20 см гурвалжны талбайг ол 6 см талтай тэгш талт гурвалжин 3. Хөл нь 9 см ба 12 см тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг ол.
1. Тэгш өнцөгт гурвалжны тал нь 13 см, суурь нь 10 см гурвалжны талбайг ол. 1. Тэгш өнцөгт гурвалжны тал нь 13 см, суурь нь 10 см гурвалжны талбайг ол. 2. А талтай тэгш талт гурвалжин өгөгдсөн. Өгөгдсөн гурвалжны дунд шугамаас бүрдэх гурвалжны талбайг ол. 3. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз нь 10 см, нэг хөл нь 8 см. Энэ тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг ол
1. Адил өнцөгт гурвалжны хажуу тал нь a, суурийн өнцөг нь -тэй тэнцүү. Гурвалжны талбайг ол. 1. Адил өнцөгт гурвалжны хажуу тал нь a, суурийн өнцөг нь -тэй тэнцүү. Гурвалжны талбайг ол. 2. Адил талт гурвалжны өндөр нь h. Түүний талбайг тооцоол. 3. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз нь c-тэй тэнцүү, нэг хурц өнцөг нь -тай тэнцүү байна. Гурвалжны талбайг ол.
Геометрийн дүрсүүдийн талбайг тодорхойлох нь хамгийн эртний практик асуудлуудын нэг юм.
Геометрийн дүрсүүдийн талбайг тодорхойлох нь хамгийн эртний практик асуудлуудын нэг юм.
-Гурвалжны аль нэг талын энэ талын дунд цэгийг тэмдэглэе. -Гурвалжны аль нэг талын энэ талын дунд цэгийг тэмдэглэе. -Энэ цэгээр энэ гурвалжны аль нэг талтай параллель шугам тат. -Шулуун шугам нь энэ гурвалжинг жижиг гурвалжин болон трапец хэлбэрээр хуваана. -Бага гурвалжинг трапецын хэлбэрт шилжүүлж, параллелограммыг гарга.
Анхны гурвалжин ба үүссэн параллелограмм нь ижил бүтэцтэй дүрсүүд тул талбайн хувьд тэнцүү дүрсүүд нь тэнцүү талбайтай дүрс гэдгийг бид мэднэ. Энэ нь анхны гурвалжны талбай нь үүссэн параллелограммын талбайтай тэнцүү гэсэн үг юм.
Анхны гурвалжин ба үүссэн параллелограмм нь ижил бүтэцтэй дүрсүүд тул талбайн хувьд тэнцүү дүрсүүд нь тэнцүү талбайтай дүрс гэдгийг бид мэднэ. Энэ нь анхны гурвалжны талбай нь үүссэн параллелограммын талбайтай тэнцүү гэсэн үг юм.
Параллелограммын талбай нь түүний суурь ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү бөгөөд анхны гурвалжны өндөр нь барилгын дагуу параллелограммын өндрөөс 2 дахин их байна. Энэ нь гурвалжны талбай нь түүний суурь ба өндрийн бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү гэсэн үг юм!
Параллелограммын талбай нь түүний суурь ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү бөгөөд анхны гурвалжны өндөр нь барилгын дагуу параллелограммын өндрөөс 2 дахин их байна. Энэ нь гурвалжны талбай нь түүний суурь ба өндрийн бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү гэсэн үг юм!
Энэхүү мэдээлэл нь танд энэ сэдвийг сайн ойлгоход тусална гэж найдаж байна, тиймээс шалгалтанд зөвхөн "5" оноо аваарай! Энэхүү мэдээлэл нь танд энэ сэдвийг сайн ойлгоход тусална гэж найдаж байна, тиймээс шалгалтанд зөвхөн "5" оноо аваарай! Анхаарал тавьсанд баярлалаа!
"Цасан ширхгүүдийн хэлбэр" - Тэнгэрийн геометр. Тоос, усны молекулуудаас бүрдсэн бөмбөг ургаж, зургаан өнцөгт призм хэлбэртэй байдаг. Цасан ширхгийн хэмжээ, хэлбэр, хэв маяг нь температур, чийгшилээс хамаардаг. Зорилго, зорилтууд. Цасан болорын дотоод бүтэц нь түүний гадаад төрхийг тодорхойлдог. Цасан ширхгийн хэлбэрийн гадаад нөхцөл байдлаас хамаарах байдал. Цасан талстыг 9 ангид хуваадаг 48 төрөл байдаг.
"Пи онол" - Орчлон ертөнцийн фазын радиус. Ямар туршилтын баримтууд онолыг үгүйсгэж чадах вэ? Цагийн сум ганцхан чиглэлтэй. Фазын эзэлхүүн. Учир шалтгааны зарчмыг зөрчих. Харилцааны тархалтын хязгааргүй хурд. K зарчмын хэрэглээ (тусгай тохиолдол). Биеийн үе ба метрийн эзэлхүүн.
"Гурвалжны талбай" - Теорем. Гурвалжны талбай. АС нь суурь юм. Гурвалжны талбай нь түүний суурь ба өндрийн бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна. BC нь суурь юм. Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь түүний хөлний бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна. AN1 - өндөр. Хэрэв хоёр гурвалжны өндөр нь тэнцүү бол тэдгээрийн талбайнууд нь суурьтай холбоотой байна.
"Хөгжмийн геометр" - Хөгжим бол сэтгэлийн нууцлаг арифметик юм. Хөгжим өөрөө ч мэдэлгүй тооцоолдог. Готфирд Лейбниц. Математик, хөгжмийн хамтын нөхөрлөл. Морис Корнелис Эшер. Хөгжим бол квадривиумын сахилга бат юм. Хөгжим дэх геометр. Пифагорын тусгал. Монохорд. Иоганн Бах. Нэг чавхдастай, өөр газар татдаг хөгжмийн зэмсэг.
Энэ сэдвээр нийт 42 илтгэл тавигдсан
