Та тооны тойргийн талаар аль хэдийн уншиж, түүнийг яагаад тооны тойрог гэж нэрлэдэг, координатын гарал үүсэл түүн дээр байгаа, аль тал нь эерэг чиглэл болохыг мэдсэн байх гэж найдаж байна. Үгүй бол гүй! Мэдээжийн хэрэг та тооны тойрог дээр оноо олохгүй бол.
Бид \(2π\), \(π\), \(\frac(π)(2)\), \(-\frac(π)(2)\), \(\frac(3π) гэсэн тоонуудыг тэмдэглэдэг. (2)\)
Тооны тойргийн радиус нь \(1\) гэдгийг өмнөх нийтлэлээс мэдэж байгаа. Энэ нь тойрог нь \(2π\)-тай тэнцүү байна гэсэн үг (\(l=2πR\) томъёогоор тооцоолсон). Үүнийг харгалзан бид тооны тойрог дээр \(2π\) тэмдэглэнэ. Энэ тоог тэмдэглэхийн тулд бид тооны тойргийн дагуу \(0\) цэгээс эерэг чиглэлд \(2π\)-тэй тэнцэх зайд явах шаардлагатай бөгөөд тойргийн урт нь \(2π\) тул энэ нь гарч ирнэ. Бид бүрэн хувьсгал хийнэ гэж. Өөрөөр хэлбэл \(2π\) ба \(0\) тоо нь ижил цэгтэй тохирч байна. Санаа зоволтгүй, нэг цэгийн олон утга нь тооны тойрогт хэвийн байна.
Одоо тооны тойрог дээрх \(π\) тоог тэмдэглэе. \(π\) нь \(2π\)-ийн тал юм. Тиймээс энэ тоо болон харгалзах цэгийг тэмдэглэхийн тулд та \(0\) цэгээс эерэг чиглэлд хагас тойрог явах хэрэгтэй.
Цэгийг тэмдэглэе \(\frac(π)(2)\) . \(\frac(π)(2)\) нь \(π\-ийн хагас) тул энэ тоог тэмдэглэхийн тулд та \(0\)-аас эерэг чиглэлд \(-ийн хагастай тэнцэх зайд явах хэрэгтэй. π\), энэ нь дөрөвний тойрог юм.
Тойрог дээрх цэгүүдийг тэмдэглэе \(-\)\(\frac(π)(2)\) . Бид өнгөрсөн үеийнхтэй ижил зайд, гэхдээ сөрөг чиглэлд шилждэг.
\(-π\) тавья. Үүнийг хийхийн тулд бид сөрөг чиглэлд хагас тойрогтой тэнцүү зайд алхах болно.
Одоо илүү төвөгтэй жишээг харцгаая. Тойрог дээр \(\frac(3π)(2)\) тоог тэмдэглэе. Үүнийг хийхийн тулд бид \(\frac(3)(2)\) бутархайг \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\ болгон хөрвүүлнэ. ), өөрөөр хэлбэл e. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . Энэ нь та \(0\) цэгээс эерэг чиглэлд хагас тойрог, өөр дөрөвний нэг зайд явах хэрэгтэй гэсэн үг юм.
Даалгавар 1. Тооны тойрог дээр \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\) цэгүүдийг тэмдэглэ.
Бид \(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\), \(\frac(π)(6)\) тоог тэмдэглэнэ.
Дээрээс бид тоон тойргийн \(x\) ба \(y\) тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийн утгуудыг олсон. Одоо завсрын цэгүүдийн байрлалыг тодорхойлъё. Эхлээд \(\frac(π)(4)\) , \(\frac(π)(3)\) ба \(\frac(π)(6)\) цэгүүдийг зуръя.
\(\frac(π)(4)\) нь \(\frac(π)(2)\)-ын тал нь (өөрөөр хэлбэл \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\) , тэгэхээр \(\frac(π)(4)\) нь дөрөвний нэг тойрог байна.
\(\frac(π)(4)\) нь \(π\)-ийн гуравны нэг (өөрөөр хэлбэл \(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)), тиймээс зай \ (\frac(π)(3)\) нь хагас тойргийн гуравны нэг юм.
\(\frac(π)(6)\) нь \(\frac(π)(3)\)-ийн хагас нь (эцэст нь \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)) тиймээс \(\frac(π)(6)\) зай нь \(\frac(π)(3)\) зайны тал юм.
Тэд бие биентэйгээ харьцуулахад ийм байдлаар байрладаг.
Сэтгэгдэл:\(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) утгатай цэгүүдийн байршил ( 4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) зүгээр л санаж байх нь дээр. Тэдгээргүйгээр тооны тойрог нь мониторгүй компьютер шиг ашигтай зүйл мэт боловч хэрэглэхэд туйлын тохиромжгүй юм.
Тойрог дээрх өөр өөр зайг тодорхой харуулав.
Бид \(\frac(7π)(6)\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\) тоог тэмдэглэнэ.
Тойрог дээрх цэгийг тэмдэглэе \(\frac(7π)(6)\) , үүний тулд бид дараах хувиргалтыг хийнэ: \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\ frac(6π + π)( 6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\frac( π)(6)\) . Эндээс бид тэгээс эерэг чиглэлд \(π\), дараа нь өөр \(\frac(π)(6)\) зайг туулах хэрэгтэйг харж болно.
Тойрог дээр \(-\)\(\frac(4π)(3)\) цэгийг тэмдэглэ. Хувиргах: \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . Энэ нь \(0\)-аас та сөрөг чиглэлд \(π\) зай, мөн \(\frac(π)(3)\) явах хэрэгтэй гэсэн үг юм.
\(\frac(7π)(4)\) цэгийг зуръя, үүний тулд бид \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4) хувиргана. )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π) )(4) \) . Энэ нь \(\frac(7π)(4)\) утгатай цэгийг байрлуулахын тулд сөрөг чиглэлд \(2π\) утгатай цэгээс \(\) зайд шилжих шаардлагатай гэсэн үг юм. frac(π)(4)\) .
Даалгавар 2. \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) цэгүүдийг тэмдэглэ. тооны тойрог (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .
Бид \(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π) тоонуудыг тэмдэглэдэг. )( 2)\), \(-\frac(29π)(6)\)
\(10π\) гэж \(5 \cdot 2π\) хэлбэрээр бичье. \(2π\) нь тойргийн урттай тэнцүү зай гэдгийг бид санаж байгаа тул \(10π\) цэгийг тэмдэглэхийн тулд та тэгээс \(5\) тойрогтой тэнцэх зай хүртэл явах хэрэгтэй. Бид дахин \(0\) цэг дээр ирнэ гэдгийг таахад хэцүү биш, зүгээр л таван эргэлт хий.
Энэ жишээнээс бид дүгнэж болно:
\(n∈Z\) (өөрөөр хэлбэл \(n\) нь дурын бүхэл тоо) гэсэн \(2πn\) зөрүүтэй тоонууд ижил цэгт тохирно.
Өөрөөр хэлбэл, \(2π\)-аас их (эсвэл \(-2π\)-ээс бага) тоо тавихын тулд түүнээс тэгш тоо \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) ба устга. Тиймээс бид цэгийн байрлалд нөлөөлөхгүй тооноос "хоосон хувьсгал" -ыг хасах болно.
Өөр нэг дүгнэлт:
\(0\) харгалзах цэг нь бүх тэгш хэмжигдэхүүнтэй тохирч байна \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).
Одоо тойрогт \(-3π\) хэрэглэнэ. \(-3π=-π-2π\), энэ нь \(-3π\) ба \(–π\) тойрог дээрх нэг газар байна (учир нь \(-2π-д "хоосон эргэлт"-ээр ялгаатай. \)).
Дашрамд хэлэхэд бүх сондгой \(π\) тэнд бас байх болно.
\(π\) харгалзах цэг нь \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…) бүх сондгой хэмжигдэхүүнтэй тохирч байна.
Одоо \(\frac(7π)(2)\) тоог тэмдэглэе. Бид ердийнхөөрөө: \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \ ) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . Бид хоёр пи-г хаясан бөгөөд \(\frac(7π)(2)\) тоог тодорхойлохын тулд та тэгээс эерэг чиглэлд \(π+\)\(\) -тэй тэнцэх зай руу явах хэрэгтэй болж байна. frac(π)(2)\ ) (жишээ нь хагас тойрог, өөр дөрөвний нэг).
"Координатын хавтгай дээрх тооны тойрог" сэдвээр хичээл, танилцуулга
Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, сэтгэгдэл, сэтгэгдэл, хүслээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгасан.
1С-ийн 10-р ангийн Integral онлайн дэлгүүрийн гарын авлага, симуляторууд
Параметртэй алгебрийн бодлого, 9-11-р анги
Геометрийн асуудлыг шийдвэрлэх. 7-10-р ангийн барилгын интерактив даалгавар
Бид юу судлах вэ:
1. Тодорхойлолт.
2. Тооны тойргийн чухал координатууд.
3. Тооны тойргийн координатыг хэрхэн олох вэ?
4. Тооны тойргийн үндсэн координатын хүснэгт.
5. Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ.
Координатын хавтгай дээрх тооны тойргийн тодорхойлолт
Тойргийн төв нь координатын эхлэлтэй давхцаж, түүний радиусыг нэгж хэрчим болгон авахаар тооны тойргийг координатын хавтгайд байрлуулъя. А тооны тойргийн эхлэлийн цэг нь (1;0) цэгтэй нийлдэг.Тооны тойргийн цэг бүр координатын хавтгайд өөрийн гэсэн х, у координаттай бөгөөд:
1) $x > 0$, $y > 0$-ийн хувьд - эхний улиралд;
2) $ x 0 $ - 2-р улиралд;
3) $x-ийн хувьд 4) $x > 0$, $y-ийн хувьд
Тооны тойргийн $M(x; y)$ аль ч цэгийн хувьд дараах тэгш бус байдал хангагдана: $-1
Тооны тойргийн тэгшитгэлийг санаарай: $x^2 + y^2 = 1$.
Зурагт үзүүлсэн тооны тойрог дээрх цэгүүдийн координатыг хэрхэн олохыг сурах нь бидний хувьд чухал юм. 
$\frac(π)(4)$ цэгийн координатыг олъё
$M(\frac(π)(4))$ цэг нь эхний улирлын дунд юм. M цэгээс OA шулуун руу перпендикуляр MR-ийг буулгаж, AM нум нь AB нумын тал байх тул $∠MOP=45°$ гэж үзье. Энэ нь OMP гурвалжин нь тэгш өнцөгт тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд $OP=MP$, i.e. М цэг дээр абсцисса ба ордината тэнцүү байна: $x = y$.
$M(x;y)$ цэгийн координатууд нь тооны тойргийн тэгшитгэлийг хангаж байгаа тул тэдгээрийг олохын тулд тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй.
$\эхлэх (тохиолдлууд) x^2 + y^2 = 1, \\ x = y. \төгсгөл (тохиолдлууд)$
Энэ системийг шийдсэний дараа бид дараахь зүйлийг олж авна: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
Энэ нь $\frac(π)(4)$ тоонд харгалзах M цэгийн координат $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( гэсэн үг юм. 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
Өмнөх зурагт үзүүлсэн цэгүүдийн координатыг ижил төстэй аргаар тооцоолсон болно.
Тооны тойрог дээрх цэгүүдийн координатууд
Жишээнүүдийг харцгаая
Жишээ 1.Тооны тойрог дээрх цэгийн координатыг ол: $P(45\frac(π)(4))$.
Шийдэл:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 доллар.
Энэ нь $45\frac(π)(4)$ тоо нь $\frac(5π)(4)$ тоотой тооны тойргийн ижил цэгтэй тохирч байна гэсэн үг. Хүснэгтийн $\frac(5π)(4)$ цэгийн утгыг харвал $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.
Жишээ 2.
Тооны тойрог дээрх цэгийн координатыг ол: $P(-\frac(37π)(3))$.
Шийдэл:
Учир нь $t$ ба $t+2π*k$ тоонууд, k нь бүхэл тоо нь тооны тойргийн ижил цэгтэй тохирч байвал:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
Энэ нь $-\frac(37π)(3)$ нь тооны тойргийн $–\frac(π)(3)$ болон –$\frac(π) тоотой ижил цэгтэй тохирч байна гэсэн үг. (3)$ нь $\frac(5π)(3)$-тай ижил цэгтэй тохирч байна. Хүснэгт дэх $\frac(5π)(3)$ цэгийн утгыг харвал бид дараахийг олж авна.
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.
Жишээ 3.
Ординат $y =\frac(1)(2)$ бүхий тооны тойрог дээрх цэгүүдийг олж, тэдгээр нь ямар $t$ тоотой тохирч байгааг бичнэ үү?
Шийдэл: 
$y =\frac(1)(2)$ шулуун шугам нь тооны тойргийг M ба P цэгүүдээр огтолж байна. M цэг нь $\frac(π)(6)$ тоотой тохирч байна (хүснэгтийн өгөгдлөөс). Энэ нь $\frac(π)(6)+2π*k$ гэсэн хэлбэрийн дурын тоог илэрхийлнэ. P цэг нь $\frac(5π)(6)$ тоотой тохирч байгаа тул $\frac(5π)(6) +2 π*k$ хэлбэрийн дурын тоотой тохирч байна.
Ийм тохиолдлуудад ихэвчлэн хэлдэг шиг бид хоёр цуврал утгыг хүлээн авсан:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ ба $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Хариулт: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ ба $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.
Жишээ 4.
Тооны тойрог дээрх абсцисса $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ цэгүүдийг олоод аль $t$ тоотой тохирч байгааг бич.
Шийдэл:
$x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ шулуун шугам нь тооны тойргийг M ба P цэгүүдээр огтолж байна. $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ тэгш бус байдал тохирч байна. PM нумын цэгүүд рүү. M цэг нь $3\frac(π)(4)$ тоотой тохирч байна (хүснэгтийн өгөгдлөөс). Энэ нь $-\frac(3π)(4) +2π*k$ хэлбэрийн дурын тоо гэсэн үг. P цэг нь $-\frac(3π)(4)$ тоотой тохирч байгаа тул $-\frac(3π)(4) +2π*k$ хэлбэрийн дурын тоотой тохирч байна.
Дараа нь бид $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$ болно.
Хариулт: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.
Бие даан шийдвэрлэх асуудал
1) Тооны тойрог дээрх цэгийн координатыг ол: $P(\frac(61π)(6))$.2) Тооны тойрог дээрх цэгийн координатыг ол: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Тооны тойрог дээрх ординат $y = -\frac(1)(2)$ цэгүүдийг олж, $t$ аль тоотой тохирч байгааг бич.
4) Тооны тойрог дээрх ординат $y ≥ -\frac(1)(2)$ цэгүүдийг олоод аль $t$ тоотой тохирч байгааг бич.
5) Тооны тойргоос $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ абсциссатай цэгүүдийг олоод аль $t$ тоотой тохирч байгааг бич.
Сургуульд тригонометрийн хичээлийг судлахдаа сурагч бүр "тооны тойрог" гэсэн маш сонирхолтой ойлголттой тулгардаг. Сурагч хожим нь тригонометрийг хэр сайн сурах нь сургуулийн багшийн энэ нь юу болох, яагаад хэрэгтэйг тайлбарлах чадвараас хамаарна. Харамсалтай нь багш бүр энэ материалыг тодорхой тайлбарлаж чаддаггүй. Үүнээс болж олон оюутан хэрхэн тэмдэглэхээ мэдэхгүй эргэлзэж байна тооны тойрог дээрх цэгүүд. Хэрэв та энэ өгүүллийг эцэс хүртэл уншвал ямар ч асуудалгүйгээр үүнийг хэрхэн хийхийг сурах болно.
Ингээд эхэлцгээе. Радиус нь 1 байх тойрог зуръя. Энэ тойргийн “хамгийн баруун” цэгийг үсгээр тэмдэглэе. О:
Баяр хүргэе, та дөнгөж сая нэгж тойрог зурлаа. Энэ тойргийн радиус 1 тул урт нь .
Бодит тоо бүрийг цэгээс эхлэн тооны тойргийн дагуух траекторийн урттай холбож болно О. Эерэг чиглэлийг цагийн зүүний эсрэг хөдөлгөөний чиглэл гэж авна. Сөрөг бол цагийн зүүний дагуу:
Тооны тойрог дээрх цэгүүдийн байршил
Өмнө дурьдсанчлан, тооны тойргийн урт (нэгж тойрог) нь -тэй тэнцүү байна. Тэгвэл энэ тойрог дээрх дугаар хаана байх вэ? Мэдээжийн хэрэг, цэгээс Оцагийн зүүний эсрэг бид тойргийн уртыг хагасаар явах хэрэгтэй бөгөөд бид хүссэн цэг дээрээ өөрсдийгөө олох болно. Үүнийг үсгээр тэмдэглэе Б:
Хагас тойрог замаар сөрөг чиглэлд алхвал ижил цэгт хүрч болохыг анхаарна уу. Дараа нь бид тоог нэгжийн тойрог дээр зурна. Өөрөөр хэлбэл, тоонууд нь ижил цэгтэй тохирч байна.
Түүгээр ч зогсохгүй энэ цэг нь , , , тоонууд болон ерөнхийдөө хэлбэрээр бичиж болох хязгааргүй тооны олонлогтой тохирч байгаа бөгөөд энд , өөрөөр хэлбэл бүхэл тооны олонлогт хамаарна. Энэ бүх учир нь цэгээс БТа ямар ч чиглэлд "дэлхийг тойрох" аялал хийж (тойргийг нэмэх, хасах) ижил цэгт хүрч болно. Та ойлгож, санаж байх хэрэгтэй чухал дүгнэлтийг бид олж авлаа.
Тоо бүр нь тооны тойргийн нэг цэгтэй тохирч байна. Гэхдээ тооны тойргийн цэг бүр нь хязгааргүй тооны тоотой тохирч байна.
Одоо тооны тойргийн дээд хагас тойргийг цэгээр тэнцүү урттай нумуудад хуваацгаая C. Нумын уртыг харахад хялбар байдаг О.Ч.тэнцүү байна. Одоо гол зүйлээ хойшлуулъя Cцагийн зүүний эсрэг чиглэлд ижил урттай нум. Үүний үр дүнд бид зорилгодоо хүрэх болно Б. Үр дүн нь нэлээд хүлээгдэж буй тул . Энэ нумыг дахин нэг чиглэлд тавья, гэхдээ одоо цэгээс Б. Үүний үр дүнд бид зорилгодоо хүрэх болно Д, аль хэдийн дугаартай тохирч байх болно:
Энэ цэг нь зөвхөн тоонд төдийгүй, жишээлбэл, тоотой тохирч байгааг дахин анхаарна уу, учир нь энэ цэгээс холдох замаар хүрч болно. Оцагийн зүүний дагуу дөрөвний тойрог (сөрөг чиглэл).
Ерөнхийдөө энэ цэг нь хэлбэрээр бичиж болох хязгааргүй олон тоотой тохирч байгааг бид дахин тэмдэглэж байна. 
. Гэхдээ тэдгээрийг мөн хэлбэрээр бичиж болно. Эсвэл хэрэв хүсвэл . Эдгээр бүх бүртгэл нь туйлын тэнцүү бөгөөд тэдгээрийг бие биенээсээ авч болно.
Одоо нумыг хувааж үзье О.Ч.хагас цэг М. Одоо нумын урт хэд болохыг олж мэдээрэй ОМ? Энэ нь зөв, нумын хагас нь О.Ч.. Энэ нь . Цэг нь ямар тоотой тохирч байна вэ? Мтооны тойрог дээр? Одоо та эдгээр тоонуудыг гэж бичиж болно гэдгийг ойлгох болно гэдэгт итгэлтэй байна.
Гэхдээ үүнийг өөрөөр хийж болно. Авцгаая. Дараа нь бид үүнийг авдаг 
. Өөрөөр хэлбэл, эдгээр тоонуудыг маягтаар бичиж болно 
. Тооны тойргийг ашиглан ижил үр дүнг авч болно. Би аль хэдийн хэлсэнчлэн, хоёр бүртгэл нь тэнцүү бөгөөд тэдгээрийг бие биенээсээ авч болно.
Одоо та оноо тохирох тоонуудын жишээг хялбархан өгч болно Н, ПТэгээд Ктооны тойрог дээр. Жишээлбэл, тоонууд болон:
Ихэнхдээ тооны тойрог дээрх харгалзах цэгүүдийг тодорхойлохын тулд хамгийн бага эерэг тоонуудыг авдаг. Хэдийгээр энэ нь огт шаардлагагүй боловч хугацаа Н, та бүхний мэдэж байгаачлан, бусад тоонуудын хязгааргүй тоотой тохирч байна. Жишээлбэл, тоо орно.
Хэрэв та нумыг эвдвэл О.Ч.цэгүүдтэй тэнцүү гурван нум болгон СТэгээд Л, тэгэхээр гол нь энэ Сцэгүүдийн хооронд байх болно ОТэгээд Л, дараа нь нумын урт OSба нумын урттай тэнцүү байх болно OL-тэй тэнцүү байх болно. Хичээлийн өмнөх хэсэгт олж авсан мэдлэгээ ашигласнаар тоон тойрог дээрх үлдсэн цэгүүд хэрхэн гарч ирснийг хялбархан олж мэдэх боломжтой.
Тооны тойрог дээрх π-ийн үржвэр биш тоо
Одоо өөрөөсөө асуулт асууя: 1-ийн тоонд тохирох цэгийг тоон шулуун дээр хаана тэмдэглэх вэ? Үүнийг хийхийн тулд та нэгж тойргийн хамгийн "баруун" цэгээс эхлэх хэрэгтэй Оурт нь 1-тэй тэнцүү байх нумыг зур. Бид зөвхөн хүссэн цэгийн байршлыг ойролцоогоор зааж өгч чадна. Дараах байдлаар үргэлжлүүлье.
Координатууд xтойрог дээр байрлах цэгүүд нь cos(θ) ба координатуудтай тэнцүү байна y sin(θ)-д харгалзах бөгөөд энд θ нь өнцгийн хэмжээ юм.
- Хэрэв та энэ дүрмийг санахад хэцүү байвал (cos; sin) хосын хувьд "синус хамгийн сүүлд ирдэг" гэдгийг санаарай.
- Энэ дүрмийг тэгш өнцөгт гурвалжнууд болон эдгээр тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг (өнцгийн синус нь эсрэг талын уртын харьцаа, зэргэлдээ талын косинусыг гипотенузтай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү) харгалзан гаргаж авч болно.
Тойрог дээрх дөрвөн цэгийн координатыг бич."Нэгж тойрог" нь радиус нь нэгтэй тэнцүү тойрог юм. Үүнийг координатыг тодорхойлохдоо ашиглана уу xТэгээд yкоординатын тэнхлэгүүдийн тойрогтой огтлолцох дөрвөн цэг дээр. Дээр дурдсан зүйлийг тодруулахын тулд бид эдгээр цэгүүдийг "зүүн", "хойд", "баруун", "өмнөд" гэж нэрлэсэн боловч тэдгээрт тодорхой нэр байхгүй.
- "Зүүн" нь координаттай цэгтэй тохирч байна (1; 0) .
- "Хойд" нь координаттай цэгтэй тохирч байна (0; 1) .
- "Баруун" нь координаттай цэгтэй тохирч байна (-1; 0) .
- "Өмнөд" нь координаттай цэгтэй тохирч байна (0; -1) .
- Энэ нь ердийн графиктай төстэй тул эдгээр утгыг цээжлэх шаардлагагүй, үндсэн зарчмыг санахад хангалттай.
Эхний квадрат дахь цэгүүдийн координатыг санаарай.Эхний квадрат нь тойргийн баруун дээд хэсэгт, координатууд байрладаг xТэгээд yэерэг утгыг авах. Эдгээр нь таны санах ёстой цорын ганц координат юм:
Шулуун шугамыг зурж, тойрогтой огтлолцох цэгүүдийн координатыг тодорхойлно.Хэрэв та нэг квадратын цэгүүдээс шулуун хэвтээ ба босоо шугам татах юм бол эдгээр шугамын тойрогтой огтлолцох хоёр дахь цэг нь координаттай болно. xТэгээд yижил үнэмлэхүй утгатай боловч өөр өөр шинж тэмдэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, та эхний квадрантын цэгүүдээс хэвтээ ба босоо шугам зурж, ижил координаттай тойрогтой огтлолцох цэгүүдийг тэмдэглэж болно, гэхдээ тэр үед зүүн талд зөв тэмдэг ("+") үлдээж болно. эсвэл "-").
Координатын тэмдгийг тодорхойлохын тулд тэгш хэмийн дүрмийг ашиглана."-" тэмдгийг хаана байрлуулахаа тодорхойлох хэд хэдэн арга байдаг:
- Ердийн графикуудын үндсэн дүрмийг санаарай. Тэнхлэг xзүүн талд сөрөг, баруун талд эерэг байна. Тэнхлэг yдоор сөрөг, дээр нь эерэг;
- эхний квадратаас эхэлж, бусад цэгүүд рүү шугам тат. Хэрэв шугам нь тэнхлэгийг гаталж байвал y, координат xтэмдгийг өөрчлөх болно. Хэрэв шугам нь тэнхлэгийг гаталж байвал x, координатын тэмдэг өөрчлөгдөнө y;
- эхний квадратад бүх функц эерэг, хоёр дахь квадратад зөвхөн синус эерэг, гурав дахь квадратад зөвхөн шүргэгч эерэг, дөрөв дэх квадратад зөвхөн косинус эерэг байна гэдгийг санаарай;
- Аль ч аргыг хэрэглэвэл эхний квадратад (+,+), хоёрдугаарт (-,+), гуравдугаарт (-,-), дөрөвдүгээрт (+,-) авах ёстой.
Алдаа гаргасан эсэхээ шалгаарай.Хэрэв та нэгж тойргийн дагуу цагийн зүүний эсрэг хөдөлж байвал "тусгай" цэгүүдийн координатын бүрэн жагсаалтыг доор харуулав (координатын тэнхлэг дээрх дөрвөн цэгээс бусад). Эдгээр бүх утгыг тодорхойлохын тулд зөвхөн эхний квадрат дахь цэгүүдийн координатыг санах нь хангалттай гэдгийг санаарай.
- эхний квадрат: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
- хоёр дахь квадрат: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
- Гурав дахь квадрат: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
- дөрөв дэх квадрат: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2))).
