Шийдэл онлайн функцийн хязгаарлалт. Нэг цэг дээрх функц эсвэл функциональ дарааллын хязгаарлагдмал утгыг олох, тооцоол эцсийнхязгааргүй дэх функцийн утга. Манай онлайн үйлчилгээний ачаар тооны цувралын нийлэлтийг тодорхойлох болон бусад олон зүйлийг хийх боломжтой. Бид танд функцийн хязгаарыг онлайнаар хурдан бөгөөд үнэн зөв олох боломжийг олгодог. Та өөрөө функцын хувьсагч болон түүний чиглэх хязгаарыг оруулдаг бөгөөд манай үйлчилгээ танд бүх тооцоог хийж, үнэн зөв бөгөөд энгийн хариултыг өгдөг. Мөн төлөө хязгаарыг онлайнаар олохТа тоон цуваа болон тогтмол илэрхийлэл агуулсан аналитик функцийг хоёуланг нь оруулж болно. Энэ тохиолдолд функцын олсон хязгаар нь эдгээр тогтмолуудыг илэрхийлэлд тогтмол аргумент болгон агуулна. Манай үйлчилгээ нь олоход төвөгтэй аливаа асуудлыг шийддэг онлайн хязгаарлалт, энэ нь функц болон тооцоолох шаардлагатай цэгийг зааж өгөхөд хангалттай функцийн хязгаарын утга. Тооцоолж байна онлайн хязгаарлалт, та олж авсан үр дүнг шалгахдаа тэдгээрийг шийдвэрлэх янз бүрийн арга, дүрмийг ашиглаж болно хязгаарлалтыг онлайнаар шийдвэрлэх www.site дээр, энэ нь даалгаврыг амжилттай дуусгахад хүргэнэ - та өөрийн алдаа, бичиг хэргийн алдаанаас зайлсхийх болно. Эсвэл та функцийн хязгаарыг бие даан тооцоолоход нэмэлт хүчин чармайлт, цаг зарцуулахгүйгээр бидэнд бүрэн итгэж, бидний үр дүнг ажилдаа ашиглах боломжтой. Бид хязгааргүй гэх мэт хязгаарын утгыг оруулахыг зөвшөөрдөг. Тооны дарааллын нийтлэг гишүүнийг оруулах шаардлагатай ба www.siteутгыг тооцох болно онлайнаар хязгаарлахнэмэх эсвэл хасах хязгааргүй.

Математик шинжилгээний үндсэн ойлголтуудын нэг нь функцийн хязгаарТэгээд дарааллын хязгаарнэг цэгт болон хязгааргүй үед зөв шийдэж чаддаг байх нь чухал хязгаар. Манай үйлчилгээгээр энэ нь тийм ч хэцүү биш байх болно. Шийдвэр гарч байна онлайн хязгаарлалтхэдхэн секундын дотор хариулт үнэн зөв, бүрэн дүүрэн байна. Математик анализын судалгаа нь дараахь үеэс эхэлдэг хязгаар руу шилжих, хязгаарДээд математикийн бараг бүх салбарт ашиглагддаг тул сервертэй байх нь ашигтай байдаг Онлайн хязгаарлалтын шийдэл, энэ нь сайт юм.

Хязгаарыг хэрхэн олохыг сурахыг хүсч буй хүмүүст энэ нийтлэлд бид энэ тухай танд хэлэх болно. Бид онолыг судлахгүй, багш нар үүнийг лекц дээр өгдөг. Тиймээс "уйтгартай онолыг" дэвтэртээ тэмдэглэж авах хэрэгтэй. Хэрэв тийм биш бол та боловсролын байгууллагын номын сан эсвэл бусад интернет эх сурвалжаас авсан сурах бичгүүдийг уншиж болно.

Тиймээс дээд математикийн судалгаанд, ялангуяа интеграл тооцоололтой танилцаж, хязгаар ба интеграл хоёрын уялдаа холбоог ойлгоход хязгаарын тухай ойлголт маш чухал юм. Одоогийн материал нь энгийн жишээнүүд, түүнчлэн тэдгээрийг шийдвэрлэх арга замыг авч үзэх болно.

Шийдлийн жишээ

Жишээ 1
Тооцоолох a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $
Шийдэл
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ б)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Хүмүүс ихэвчлэн эдгээр хязгаарлалтыг шийдвэрлэхэд туслах хүсэлтийг бидэнд илгээдэг. Бид тэдгээрийг тусад нь жишээ болгон онцолж, дүрмээр бол эдгээр хязгаарлалтыг санаж байх хэрэгтэй гэдгийг тайлбарлахаар шийдсэн. Хэрэв та асуудлаа шийдэж чадахгүй бол бидэнд илгээнэ үү. Бид нарийвчилсан шийдлийг өгөх болно. Та тооцооллын явцыг харж, мэдээлэл авах боломжтой болно. Энэ нь таныг багшаасаа цаг тухайд нь дүнгээ авахад тусална!
Хариулт
$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1) )(x) = 0 $$

Маягтын тодорхойгүй байдалд юу хийх вэ: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Жишээ 3
$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $-г шийднэ үү.
Шийдэл
Ердийнх шигээ бид $ x $ утгыг хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд орлуулж эхэлдэг. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Одоо юу болох вэ? Эцэст нь юу болох ёстой вэ? Энэ нь тодорхойгүй байгаа тул энэ хариулт хараахан болоогүй байгаа тул бид тооцооллыг үргэлжлүүлж байна. Тоолууруудад олон гишүүнт байгаа тул бид үүнийг сургуулийн бүх хүмүүст мэддэг $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ томъёог ашиглан үржвэрлэх болно. Чи санаж байна уу? Гайхалтай! Одоо үргэлжлүүлээд дуутай нь ашигла :) Бид тоологч $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ болохыг олж мэднэ Дээрх өөрчлөлтийг харгалзан бид шийдсээр байна. $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$
Хариулт
$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Сүүлийн хоёр жишээн дэх хязгаарыг хязгааргүй болгож, тодорхойгүй байдлыг авч үзье: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Жишээ 5
Тооцоолох $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $
Шийдэл
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Юу хийх вэ? Би яах ёстой вэ? Бүү сандар, учир нь боломжгүй зүйл боломжтой. Тоолуур ба хуваарийн аль алинд нь х-г гаргаж аваад дараа нь багасгах шаардлагатай. Үүний дараа хязгаарыг тооцоолохыг хичээ. Оролдоод үзье... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ 2-р жишээн дээрх тодорхойлолтыг ашиглан х-г хязгааргүйг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна. $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$
Хариулт
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Хязгаарыг тооцоолох алгоритм

Ингээд жишээнүүдийг товчхон дүгнэж, хязгаарыг шийдвэрлэх алгоритмыг бүтээцгээе.

Х цэгийг хязгаарын тэмдгийн дараах илэрхийлэлд орлуулна. Хэрэв тодорхой тоо эсвэл хязгааргүйг олж авбал хязгаар нь бүрэн шийдэгдэнэ. Үгүй бол бидэнд тодорхой бус байдал бий: "тэг тэгээр хуваагдах" эсвэл "хязгааргүйд хуваагдах" ба зааврын дараагийн цэгүүд рүү шилжинэ.
"Тэгийг тэгээр хуваана" гэсэн тодорхойгүй байдлыг арилгахын тулд та тоо болон хуваагчийг хүчин зүйлээр тооцох хэрэгтэй. Ижил төстэй зүйлсийг багасгах. Х цэгийг хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд орлуулна.
Хэрэв тодорхойгүй байдал нь "хязгааргүйд хуваагдсан" бол бид тоологч болон хуваагч х-г хоёуланг нь хамгийн их хэмжээгээр авна. Бид X-г богиносгодог. Бид хязгаараас доогуур байгаа x утгыг үлдсэн илэрхийлэл болгон орлуулна.

Энэ нийтлэлээс та Тооцооллын хичээлд ихэвчлэн хэрэглэгддэг хязгаарыг шийдвэрлэх үндсийг сурсан. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр нь шалгуулагчдын санал болгож буй бүх төрлийн асуудал биш, зөвхөн хамгийн энгийн хязгаарлалтууд юм. Бид бусад төрлийн даалгаврын талаар дараагийн өгүүллүүдэд ярих болно, гэхдээ та эхлээд энэ хичээлийг урагшлуулахын тулд суралцах хэрэгтэй. Үндэс, зэрэг, хязгааргүй бага эквивалент функц, гайхалтай хязгаар, L'Hopital-ийн дүрмийг судалж үзвэл юу хийх талаар ярилцъя.

Хэрэв та хязгаарлалтыг өөрөө тодорхойлж чадахгүй бол сандрах хэрэггүй. Бид туслахдаа үргэлж баяртай байдаг!

Хязгаарын онол- зарим нь эзэмшиж чаддаг математик шинжилгээний хэсгүүдийн нэг бол зарим нь хязгаарыг тооцоолоход бэрхшээлтэй байдаг. Олон арван техник байдаг тул хязгаарыг олох асуудал нэлээд ерөнхий юм шийдлийн хязгаарлалтянз бүрийн төрөл. Үүнтэй ижил хязгаарлалтыг L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан болон үүнгүйгээр олж болно. Хэд хэдэн хязгааргүй жижиг функцүүдийн хуваарь гаргах нь хүссэн үр дүнг хурдан авах боломжийг олгодог. Аливаа нарийн төвөгтэй функцийн хязгаарыг олох боломжийг олгодог олон арга техник, заль мэх байдаг. Энэ нийтлэлд бид практикт ихэвчлэн тохиолддог хязгаарлалтын үндсэн төрлүүдийг ойлгохыг хичээх болно. Бид энд хязгаарын онол, тодорхойлолтыг өгөхгүй, энэ талаар ярилцаж байгаа Интернет дээр олон эх сурвалжууд байдаг. Тиймээс, практик тооцоо руу орцгооё, эндээс "Би мэдэхгүй байна!

Орлуулах аргыг ашиглан хязгаарыг тооцоолох

Жишээ 1. Функцийн хязгаарыг ол
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Шийдэл: Ийм төрлийн жишээг ердийн орлуулалт ашиглан онолын хувьд тооцоолж болно

Хязгаар нь 18/11.
Ийм хязгаарт төвөгтэй, ухаалаг зүйл байхгүй - бид утгыг орлуулж, тооцоолж, хариулт болгон хязгаарыг бичсэн. Гэсэн хэдий ч, ийм хязгаарлалт дээр үндэслэн хүн бүр юуны түрүүнд утгыг функцэд орлуулах хэрэгтэй гэж заадаг. Цаашилбал, хязгаар нь илүү төвөгтэй болж, хязгааргүй байдал, тодорхойгүй байдал гэх мэт ойлголтыг нэвтрүүлдэг.

Хязгааргүйд хуваагдсан хязгаартай адил тодорхойгүй хязгаар. Тодорхой бус байдлыг тодруулах аргууд

Жишээ 2. Функцийн хязгаарыг ол
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=хязгааргүй).
Шийдэл: Олон гишүүнт хуваагдсан олон гишүүнт хэлбэрийн хязгаар өгөгдсөн бөгөөд хувьсагч нь хязгааргүй байх хандлагатай байна.

Хувьсагчийг олох ёстой утгыг зүгээр л орлуулах нь хязгаарыг олоход тус болохгүй бөгөөд бид хязгааргүйд хуваагдсан хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг олж авна.
Хязгаарын онолын дагуу хязгаарыг тооцоолох алгоритм нь тоологч эсвэл хуваагч дахь "x"-ийн хамгийн том хүчийг олох явдал юм. Дараа нь тоологч ба хуваагчийг хялбарчилж, функцийн хязгаарыг олно

Хувьсагч хязгааргүйд ойртох үед утга нь тэг болох хандлагатай байдаг тул тэдгээрийг үл тоомсорлодог эсвэл эцсийн илэрхийлэлд тэг хэлбэрээр бичдэг.

Практикаас нэн даруй та тооцоололд зөвлөмж болох хоёр дүгнэлтийг гаргаж болно. Хэрэв хувьсагч нь хязгааргүй рүү тэмүүлж, тоологчийн зэрэг нь хуваагчийн зэрэглэлээс их байвал хязгаар нь хязгааргүйтэй тэнцүү байна. Үгүй бол хуваагч дахь олон гишүүнт тоологчоос илүү өндөр эрэмбтэй байвал хязгаар нь тэг болно.
Хязгаарыг дараах томъёогоор бичиж болно.

Хэрэв бид бутархайгүй ердийн талбар хэлбэрийн функцтэй бол түүний хязгаар нь хязгааргүйтэй тэнцүү байна

Дараагийн төрлийн хязгаарлалт нь тэгтэй ойролцоо функцүүдийн үйл ажиллагаанд хамаарна.

Жишээ 3. Функцийн хязгаарыг ол
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Шийдэл: Энд олон гишүүнтийн тэргүүлэх хүчин зүйлийг хасах шаардлагагүй. Үүний эсрэгээр та тоологч болон хуваагчийн хамгийн бага хүчийг олж, хязгаарыг тооцоолох хэрэгтэй.

Утга x^2; Хувьсагч тэг рүү чиглэх үед x нь тэг болох хандлагатай байдаг. Тиймээс тэдгээрийг үл тоомсорлодог тул бид авдаг

хязгаар нь 2.5 байна.

Одоо та мэднэ функцийн хязгаарыг хэрхэн олоххэлбэр, хувьсагч нь хязгааргүй буюу 0 хандлагатай бол олон гишүүнт олон гишүүнт хуваагдана. Гэхдээ энэ нь жишээнүүдийн зөвхөн жижиг бөгөөд хялбар хэсэг юм. Дараах материалаас та суралцах болно функцийн хязгаар дахь тодорхойгүй байдлыг хэрхэн илрүүлэх.

0/0 төрлийн тодорхойгүй хязгаар, түүнийг тооцоолох аргууд

Хүн бүр тэгээр хувааж болохгүй гэсэн дүрмийг шууд санаж байна. Гэсэн хэдий ч энэ нөхцөлд хязгаарын онол нь хязгааргүй жижиг функцийг агуулдаг.
Тодорхой болгохын тулд хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 4. Функцийн хязгаарыг ол
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Шийдэл: Х= -1 хувьсагчийн утгыг хуваагчдаа орлуулахад тэг болж, тоологч дээр ижил зүйл гарч ирнэ. Тэгэхээр бидэнд байгаа 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдал.
Ийм тодорхойгүй байдлыг шийдвэрлэх нь маш энгийн: та олон гишүүнт хүчин зүйл хийх хэрэгтэй, эс тэгвээс функцийг тэг болгон хувиргах хүчин зүйлийг сонгох хэрэгтэй.

Өргөтгөсөний дараа функцийн хязгаарыг дараах байдлаар бичиж болно

Энэ бол функцийн хязгаарыг тооцоолох бүх арга юм. Олон гишүүнт хуваагдсан олон гишүүнт хэлбэрийн хязгаар байгаа тохиолдолд бид мөн адил хийнэ.

Жишээ 5. Функцийн хязгаарыг ол
Лим((2х^2-7х+6)/(3х^2-х-10), x=2).
Шийдэл: Шууд орлуулалт харуулна
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
бидэнд юу байна 0/0 тодорхойгүй байдлын төрөл.
Олон гишүүнтүүдийг онцгой байдлыг танилцуулж буй хүчин зүйлээр нь хуваая

2-р эрэмбийн олон гишүүнт буюу "квадрат тэгшитгэл"-ийн төрлийг ялгаварлагчаар шийдэх ёстой гэж заадаг багш нар байдаг. Гэхдээ бодит практик нь энэ нь илүү урт бөгөөд илүү будлиантай болохыг харуулж байгаа тул заасан алгоритмын дагуу боломжуудыг хязгаарлах хэрэгтэй. Тиймээс бид функцийг энгийн хүчин зүйлийн хэлбэрээр бичиж, хязгаарт тооцдог

Таны харж байгаагаар ийм хязгаарлалтыг тооцоолоход төвөгтэй зүйл байхгүй. Хязгаарыг судлах үед та олон гишүүнтүүдийг хэрхэн хуваахаа мэддэг, ядаж програмын дагуу үүнийг давсан байх ёстой.
Даалгавруудын дунд 0/0 тодорхойгүй байдлын төрөлҮржүүлэх товчилсон томъёог ашиглах шаардлагатай зарим зүйл байдаг. Гэхдээ хэрэв та тэдгээрийг мэдэхгүй бол олон гишүүнт нэг гишүүнийг хуваах замаар та хүссэн томьёог олж авах боломжтой.

Жишээ 6. Функцийн хязгаарыг ол
Лим((x^2-9)/(x-3), x=3).
Шийдэл: Бидэнд 0/0 төрлийн тодорхойгүй байдал бий. Тоолуур дээр бид товчилсон үржүүлэх томъёог ашигладаг

шаардлагатай хязгаарыг тооцоолох

Тодорхой бус байдлыг түүний холболтоор үржүүлэх арга

Энэ аргыг иррациональ функцээр тодорхой бус байдал үүсгэх хязгаарт хэрэглэнэ. Тооцоологч эсвэл хуваагч нь тооцооллын цэг дээр тэг болж хувирдаг бөгөөд хил хязгаарыг хэрхэн олох нь тодорхойгүй байна.

Жишээ 7. Функцийн хязгаарыг ол
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Шийдэл:Хязгаарын томъёонд хувьсагчийг төлөөлүүлье

Орлуулах үед бид 0/0 төрлийн тодорхойгүй байдлыг олж авдаг.
Хязгаарын онолын дагуу энэ онцлогийг тойрч гарах арга бол иррационал илэрхийлэлийг түүний коньюгатаар үржүүлэх явдал юм. Илэрхийлэл өөрчлөгдөхгүй байхын тулд хуваагчийг ижил утгад хуваах ёстой

Квадрат дүрмийн зөрүүг ашиглан бид тоологчийг хялбарчилж, функцийн хязгаарыг тооцоолно

Бид хязгаарт онцгой байдлыг үүсгэдэг нэр томъёог хялбарчилж, орлуулалтыг гүйцэтгэдэг

Жишээ 8. Функцийн хязгаарыг ол
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Шийдэл: Шууд орлуулалт нь хязгаар нь 0/0 хэлбэрийн онцгой шинж чанартай болохыг харуулж байна.

Өргөтгөхийн тулд бид тоологчийн коньюгатаар үржүүлж, хуваана

Бид квадратуудын ялгааг бичнэ

Бид онцгой байдлыг танилцуулах нэр томъёог хялбарчилж, функцийн хязгаарыг олдог

Жишээ 9. Функцийн хязгаарыг ол
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Шийдэл: Томъёонд хоёрыг орлуулна

Бид авдаг тодорхойгүй байдал 0/0.
Хуваагчийг коньюгат илэрхийллээр үржүүлэх ёстой бөгөөд тоологч хэсэгт квадрат тэгшитгэлийг ганцаарчилсан байдлыг харгалзан шийдвэрлэх буюу хүчин зүйлээр тооцох ёстой. 2 нь үндэс гэдэг нь мэдэгдэж байгаа тул бид хоёр дахь язгуурыг Виетийн теоремыг ашиглан олно

Тиймээс бид тоологчийг хэлбэрээр бичнэ

мөн үүнийг хязгаарт орлуулах

Квадратуудын зөрүүг багасгаснаар бид тоо болон хуваагч дахь онцгой шинж чанараас ангижрах болно.

Дээрх аргыг ашигласнаар олон жишээн дэх онцгой шинж чанаруудаас ангижрах боломжтой бөгөөд орлуулах явцад өгөгдсөн язгуурын зөрүү тэг болж хувирах бүрт програмыг тэмдэглэх хэрэгтэй. Бусад төрлийн хязгаарууд нь экспоненциал функц, хязгааргүй жижиг функц, логарифм, тусгай хязгаар болон бусад арга техникт хамаарна. Гэхдээ та энэ тухай хязгаарлалтын талаар доор жагсаасан нийтлэлээс уншиж болно.

Чиг үүрэг y = f (x)нь Х олонлогийн х элемент бүр Y олонлогийн нэг бөгөөд зөвхөн нэг у элементтэй холбогдох хууль (дүрэм) юм.

X элемент ∈ Xдуудсан функцийн аргументэсвэл бие даасан хувьсагч.
Y элемент ∈ Үдуудсан функцийн утгаэсвэл хамааралтай хувьсагч.

X олонлогийг дууддаг функцийн домэйн.
Элементүүдийн багц y ∈ Ү, X олонлогт урьдчилсан дүрстэй, гэж нэрлэдэг талбай эсвэл функцийн утгуудын багц.

Бодит функцийг дуудна дээрээс хязгаарласан (доороос), хэрэв тэгш бус байдал бүгдэд нийцэх M тоо байвал:
.
Тооны функцийг дууддаг хязгаарлагдмал, хэрэв M тоо байвал бүгдэд нь:
.

Дээд ирмэгэсвэл яг дээд хязгаарБодит функцийг дээрээс нь утгын хүрээг хязгаарладаг хамгийн бага тоо гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь хүн бүрийн хувьд, аль ч хүнд функцийн утга нь s'-ээс хэтэрсэн аргумент байдаг s тоо юм: .
Функцийн дээд хязгаарыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
.

Тус тусад нь доод ирмэгэсвэл яг доод хязгаарБодит функцийг утгын хүрээг доороос нь хязгаарладаг хамгийн том тоо гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь i тоо бөгөөд хүн бүрийн хувьд функцийн утга нь i'-ээс бага байх аргумент байдаг: .
Функцийн инфимумыг дараах байдлаар тэмдэглэж болно.
.

Функцийн хязгаарыг тодорхойлох

Кошигийн дагуу функцийн хязгаарыг тодорхойлох

Төгсгөлийн цэгүүд дэх функцийн хязгаарлагдмал хязгаарууд

Функцийг тухайн цэгээс бусад тохиолдолд төгсгөлийн цэгийн зарим хэсэгт тодорхойл.
.
нэг цэгт, хэрэв аль нэгнийх нь хувьд -аас хамааран ийм зүйл байгаа бөгөөд бүх x-ийн хувьд тэгш бус байдал биелнэ.
.
Функцийн хязгаарыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ.

Эсвэл цагт.
.

Оршихуй ба универсал байдлын логик тэмдгүүдийг ашиглан функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг дараах байдлаар бичиж болно.
Нэг талын хязгаарлалт.
.
Нэг цэг дэх зүүн хязгаар (зүүн талын хязгаар):
.
Нэг цэг дэх баруун хязгаар (баруун гар талын хязгаар):
; .

Зүүн ба баруун хязгаарыг ихэвчлэн дараах байдлаар тэмдэглэдэг.

Хязгааргүй цэг дээрх функцийн хязгаарлагдмал хязгаарууд
.
.
.
Хязгааргүй цэгүүдийн хязгаарыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно.
; ; .

Тэдгээрийг ихэвчлэн дараахь байдлаар нэрлэдэг.

Цэгийн хөршийн тухай ойлголтыг ашиглах
.
Хэрэв бид цэгийн цоорсон хөршийн тухай ойлголтыг оруулбал төгсгөлтэй ба хязгааргүй алслагдсан цэгүүд дэх функцийн төгсгөлийн хязгаарын нэгдсэн тодорхойлолтыг өгч болно.
; ;
.
Энд төгсгөлийн цэгүүд
; ; .

Хязгааргүй цэгийн аль ч хөрш цоорсон байна:

Хязгааргүй функцийн хязгаар
Тодорхойлолт Функцийг цэгийн цоорсон ойролцоо (хязгааргүй эсвэл хязгааргүй) тодорхойлъё. (x)Функцийн хязгаар f 0 x → x гэжхязгааргүйтэй тэнцүү > 0 , хэрэв дурын тооны хувьд М > 0 , δ M тоо байна
.
, M-ээс хамааран цоорсон δ M - цэгийн хөршид хамаарах бүх x-ийн хувьд дараах тэгш бус байдал явагдана.
.
Функцийн хязгаарыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ.

Хязгааргүй хязгаарыг дараах байдлаар тэмдэглэв.
.

Оршихуй ба универсал байдлын логик тэмдгүүдийг ашиглан функцийн хязгааргүй хязгаарын тодорхойлолтыг дараах байдлаар бичиж болно.
.
.

Та мөн дараахтай тэнцүү тодорхой тэмдгүүдийн хязгааргүй хязгаарын тодорхойлолтыг оруулж болно:

Цэгийн ойр орчмын тухай ойлголтыг ашиглан бид функцийн төгсгөлтэй ба хязгааргүй хязгаарын бүх нийтийн тодорхойлолтыг өгч болно, энэ нь хязгаарлагдмал (хоёр талт ба нэг талт) болон хязгааргүй алслагдсан цэгүүдэд хамаарна.
.

Гейнегийн дагуу функцийн хязгаарыг тодорхойлох

Функцийг зарим X олонлог дээр тодорхойлъё.
a тоог функцийн хязгаар гэж нэрлэдэгцэг дээр:
,
x-д нийлэх ямар нэгэн дарааллын хувьд 0 :
,
Элементүүд нь X олонлогт хамаарах: ,
.

Оршихуй ба түгээмэл байдлын логик тэмдгүүдийг ашиглан энэхүү тодорхойлолтыг бичье.
.

Хэрэв бид x цэгийн зүүн талын хөршийг X олонлог гэж авбал 0 , дараа нь бид зүүн хязгаарын тодорхойлолтыг олж авна. Хэрэв энэ нь баруун гартай бол бид зөв хязгаарын тодорхойлолтыг авна. Хэрэв бид хязгааргүй дэх цэгийн ойр орчмыг X олонлог гэж авбал бид хязгааргүй дэх функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг олж авна.

Теорем
Функцийн хязгаарын Коши ба Хейн тодорхойлолтууд нь тэнцүү байна.
Баталгаа

Функцийн хязгаарын шинж чанарууд ба теоремууд

Цаашилбал, авч үзэж буй функцүүд нь төгсгөлийн тоо буюу тэмдэгтүүдийн аль нэг болох цэгийн харгалзах хөршид тодорхойлогддог гэж бид таамаглаж байна: .

Энэ нь бас нэг талт хязгаарын цэг байж болно, өөрөөр хэлбэл, эсвэл хэлбэртэй байна.

Хоёр талт хязгаарын хувьд хөрш хоёр талтай, нэг талын хязгаар нь нэг талтай байдаг. (x)Үндсэн шинж чанарууд Хэрэв функцийн утгууд fхязгаарлагдмал тооны цэгийг өөрчлөх (эсвэл тодорхойгүй болгох) x 0 .

1, x 2, x 3, ... x n 0 , тэгвэл энэ өөрчлөлт нь дурын x цэг дэх функцийн хязгаарын оршихуй ба утгад нөлөөлөхгүй. (x)Хэрэв хязгаарлагдмал хязгаар байгаа бол x цэгийн цоорсон хөрш байна
.

, үүн дээр функц f 0 хязгаарлагдмал:
.
Функцийг x цэг дээр байг 0 хязгаарлагдмал тэг бус хязгаар:
Дараа нь интервалаас ямар ч c тооны хувьд x цэгийн ийм цоорсон хөрш байна
, юуны төлөө,

, Хэрэв ;

, Хэрэв . 0
,
Хэрэв цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр , тогтмол байвал .

Х цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр хязгаарлагдмал хязгаарууд байгаа бол
,
Хэрэв цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр , тогтмол байвал .
Тэр .
,
Хэрэв , мөн цэгийн зарим хөрш дээр
Ялангуяа, хэрэв нэг цэгийн зарим хөрш

дараа нь хэрэв , дараа нь ба ; 0 :
,
хэрэв , дараа нь ба .
Хэрэв x цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр бол
.

мөн хязгаарлагдмал (эсвэл тодорхой тэмдгийн хязгааргүй) тэнцүү хязгаарууд байдаг:
, Тэр

Үндсэн шинж чанаруудын нотолгоог хуудсан дээр өгсөн болно

"Функцийн хязгаарын үндсэн шинж чанарууд."
Функцийн хязгаарын арифметик шинж чанарууд
Мөн C нь тогтмол, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн тоо байг. Дараа нь
;
;
;
, юуны төлөө,

Хэрэв, тэгвэл.

Арифметик шинж чанаруудын нотолгоог хуудсан дээр өгсөн болно
"Функцийн хязгаарын арифметик шинж чанарууд".

Функцийн хязгаар оршихуйн Коши шалгуур

Теорем
Төгсгөлийн эсвэл хязгааргүй х цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр тодорхойлогдсон функцийн тулд 0 , энэ үед хязгаарлагдмал хязгаартай байсан бөгөөд энэ нь ямар ч ε-д шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм > 0 х цэгийн ийм цоорсон хөрш байсан 0 , аль ч цэг болон энэ хөршийн хувьд дараах тэгш бус байдал байна:
.

Нарийн төвөгтэй функцийн хязгаар

Комплекс функцийн хязгаарын тухай теорем
Функцийг хязгаартай болгоод цэгийн цоорсон хөршийг цэгийн цоорсон хөрш рүү зур.
Функцийг энэ хөрш дээр тодорхойлж, хязгаартай байг.
Энд эцсийн буюу хязгааргүй алслагдсан цэгүүд байна: .
.

Хөршүүд болон тэдгээрийн холбогдох хязгаар нь хоёр талт эсвэл нэг талт байж болно.
.

Дараа нь нийлмэл функцийн хязгаар байгаа бөгөөд энэ нь дараахтай тэнцүү байна.
.
Цогцолбор функцийн хязгаарын теоремыг функц нь цэг дээр тодорхойлогдоогүй эсвэл хязгаараас өөр утгатай үед хэрэглэнэ.

Энэ теоремыг хэрэгжүүлэхийн тулд функцийн утгуудын багц нь тухайн цэгийг агуулаагүй цэгийн цоорсон хөрш байх ёстой.
Хэрэв функц нь цэг дээр тасралтгүй байвал хязгаарын тэмдгийг тасралтгүй функцийн аргументад хэрэглэж болно. Дараах нь энэ тохиолдолд тохирох теорем юм.Функцийн тасралтгүй функцийн хязгаарын тухай теорем 0 g функцийн хязгаар байг 0 :
.
(t) 0 зэрэг t → t
, мөн энэ нь x-тэй тэнцүү байна (x)Энд t цэг байна 0 .
төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй алслагдсан байж болно: . Мөн функцийг f гэж үзье x цэг дээр тасралтгүй байна Тэгвэл е цогц функцийн хязгаар байна:
.

(g(t))
, мөн f-тэй тэнцүү байна

(x0)

Теоремуудын нотолгоог хуудсанд өгсөн болно

Хязгааргүй функцийн хязгаар
"Цогц функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдал".
.

Хязгааргүй жижиг ба хязгааргүй том функцуудХязгааргүй жижиг функцууд

Хэрэв функцийг хязгааргүй жижиг гэж хэлдэгНийлбэр, зөрүү, бүтээгдэхүүн

хязгаартай тооны хязгааргүй жижиг функцийн тоо нь хязгааргүй жижиг функц юм.
,
Хязгаарлагдмал функцийн бүтээгдэхүүн

цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр хязгааргүй жижиг функц нь -д хязгааргүй жижиг функц юм.

Функц хязгаарлагдмал хязгаартай байхын тулд энэ нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм

Хязгааргүй функцийн хязгаар
хязгааргүй жижиг функц хаана байна.
.

Цэгийн зарим нэг цоорсон хөрш дээрх хязгаарлагдмал функцийн нийлбэр буюу зөрүү ба хязгааргүй том функц нь -ийн үед хязгааргүй том функц юм.

Хэрэв функц нь -ийн хувьд хязгааргүй том бөгөөд функц нь цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр хязгаарлагддаг бол .
.

Хэрэв цэгийн зарим цоорсон хөрш дээрх функц тэгш бус байдлыг хангаж байвал:
,
функц нь хязгааргүй бага байна:
, ба (цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр), дараа нь
.

Үл хөдлөх хөрөнгийн нотолгоог хэсэгт үзүүлэв
"Хязгааргүй том функцүүдийн шинж чанарууд".

Төгсгөлгүй том ба хязгааргүй жижиг функцүүдийн хоорондын хамаарал

Өмнөх хоёр шинж чанараас төгсгөлгүй том ба хязгааргүй жижиг функцүүдийн хоорондын холбоог дагаж мөрддөг.

Хэрэв функц нь үед хязгааргүй том бол функц нь -д хязгааргүй жижиг байна.

Хэрэв функц нь болон -ийн хувьд хязгааргүй жижиг бол функц нь -ийн хувьд хязгааргүй том байна.

Хязгааргүй жижиг ба хязгааргүй том функцийн хоорондын хамаарлыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
, .

Хэрэв хязгааргүй жижиг функц нь тодорхой тэмдэгтэй бол цэгийн зарим цоорсон хэсэгт эерэг (эсвэл сөрөг) байвал энэ баримтыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
.
Үүний нэгэн адил, хэрэв хязгааргүй том функц нь тодорхой тэмдэгтэй байвал дараахь зүйлийг бичнэ.
.

Дараа нь хязгааргүй жижиг ба хязгааргүй том функцүүдийн хоорондох бэлгэдлийн холболтыг дараахь харьцаагаар нэмж болно.
, ,
, .

Хязгааргүй байдлын тэмдэгтэй холбоотой нэмэлт томъёог хуудаснаас олж болно
"Хязгааргүй цэгүүд ба тэдгээрийн шинж чанарууд."

Монотон функцүүдийн хязгаар

Хязгааргүй функцийн хязгаар
Зарим бодит X олонлог дээр тодорхойлсон функцийг дуудна хатуу нэмэгдэж байна, хэрэв бүгдэд нь дараах тэгш бус байдал хангагдвал:
.
Үүний дагуу, төлөө хатуу бууруулж байнафункцийн хувьд дараахь тэгш бус байдлыг хангана.
.
Учир нь буурдаггүй:
.
Учир нь өсөхгүй:
.

Үүнээс үзэхэд хатуу өсөн нэмэгдэж буй функц нь бас буурахгүй байна. Хатуу буурч байгаа функц нь мөн өсөхгүй байна.

Функцийг дууддаг нэг хэвийн, хэрэв энэ нь буурахгүй эсвэл өсөхгүй байвал.

Теорем
-ийн интервал дээр функц буурахгүй байг.
Дээрээс нь M тоогоор хязгаарлагдсан бол: хязгаарлагдмал хязгаар байна.
Дээрээс хязгаарлагдахгүй бол .

Хэрэв энэ нь доороос m тоогоор хязгаарлагдах бол: тэгвэл хязгаарлагдмал хязгаар байна.
Хэрэв доороос хязгаарлагдахгүй бол .

-ийн интервал дээр функц буурахгүй байг.
;
.

Дараа нь a ба b цэгүүдэд нэг талын хязгаарлалтууд байдаг:

Өсөхгүй функцийн ижил төстэй теорем.
;
.

-ийн интервал дээр функц нэмэгдэхгүй байг.
Дараа нь нэг талын хязгаарлалтууд байдаг:

Теоремын баталгааг хуудсанд үзүүлэв
"Монотон функцүүдийн хязгаар".
Ашигласан уран зохиол:

CM. Никольский. Математик анализын курс. 1-р боть. Москва, 1983 он.

Оюутнууд болон сургуулийн сурагчдад хамрагдсан материалаа бүрэн нэгтгэхийн тулд сайт дээрх онлайн хязгаарлалт. Манай нөөцийг ашиглан хязгаарыг онлайнаар хэрхэн олох вэ? Үүнийг хийхэд маш хялбар, та зөвхөн x хувьсагчтай анхны функцийг зөв бичиж, сонгогчоос хүссэн хязгааргүйг сонгоод "Шийдвэрлэх" товчийг дарна уу. Функцийн хязгаарыг ямар нэгэн х цэг дээр тооцоолох шаардлагатай тохиолдолд та яг энэ цэгийн тоон утгыг зааж өгөх хэрэгтэй. Та хязгаарын шийдлийн хариуг хэдхэн секундын дотор, өөрөөр хэлбэл шууд хүлээн авах болно. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та буруу мэдээлэл оруулсан бол үйлчилгээ танд алдааны талаар автоматаар мэдэгдэх болно. Өмнө нь оруулсан функцийг засч, хязгаарт хүрэх зөв шийдлийг олж аваарай. Хязгаарыг шийдвэрлэхийн тулд бүх боломжит аргуудыг ашигладаг бөгөөд L'Hopital-ийн аргыг ихэвчлэн ашигладаг, учир нь энэ нь бүх нийтийн шинж чанартай бөгөөд функцийн хязгаарыг тооцоолох бусад аргуудаас илүү хурдан хариу өгөхөд хүргэдэг. Модуль байгаа жишээг үзэх нь сонирхолтой юм. Дашрамд хэлэхэд, манай нөөцийн дүрмийн дагуу модулийг математикийн сонгодог босоо зураасаар "|" гэж тэмдэглэдэг. эсвэл латин абсолютаас Abs(f(x)). Ихэнхдээ тооны дарааллын нийлбэрийг тооцоолохын тулд хязгаарыг шийдвэрлэх шаардлагатай байдаг. Хүн бүр мэддэг тул та судалж буй дарааллын хэсэгчилсэн нийлбэрийг зөв илэрхийлэх хэрэгтэй бөгөөд дараа нь манай вэбсайтын үнэгүй үйлчилгээний ачаар бүх зүйл илүү хялбар болсон, учир нь хэсэгчилсэн нийлбэрийн хязгаарыг тооцоолох нь тоон дарааллын эцсийн нийлбэр юм. Ерөнхийдөө хязгаарт хүрэх онол нь бүх математик шинжилгээний үндсэн ойлголт юм. Бүх зүйл хязгаарт хүрэх гарц дээр тулгуурладаг, өөрөөр хэлбэл хязгаарыг шийдвэрлэх нь математик анализын шинжлэх ухааны үндэс суурь юм. Интегралд онолын дагуу интеграл нь хязгааргүй тооны талбайн нийлбэрээр илэрхийлэгдэх үед хязгаарт шилжих аргыг ашигладаг. Аливаа зүйлийн хязгааргүй тоо, өөрөөр хэлбэл объектын тоо хязгааргүй болох хандлага байгаа тохиолдолд хязгаарын шилжилтийн онол үргэлж хүчин төгөлдөр болдог бөгөөд нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн хэлбэрээр энэ нь хүн бүрт танил болсон хязгаарын шийдэл юм. Хязгаарыг сайт дээр онлайнаар шийдвэрлэх нь бодит цаг хугацаанд үнэн зөв, шуурхай хариулт авах өвөрмөц үйлчилгээ юм. Өгөгдсөн цэг дэх функцийн хязгаар (функцын хязгаарлах утга) нь функцийн тодорхойлолтын мужийг хязгаарлах цэг нь тухайн функцийн аргумент нь өгөгдсөн цэг рүү чиглэх үед тухайн функцийн утга руу чиглэх утга юм. цэг. Оюутнууд математикийн анализыг судлахдаа онлайнаар хязгаарыг шийдвэрлэх асуулттай байдаг нь ховор биш бөгөөд бид үүнийг байнга хэлдэг. Зөвхөн онцгой тохиолдлуудад л хязгаарыг онлайнаар нарийвчилсан шийдлээр шийдэх талаар гайхаж байгаа бол хязгаарын тооцоолуур ашиглахгүйгээр нарийн төвөгтэй асуудлыг даван туулах боломжгүй нь тодорхой болно. Манай үйлчилгээгээр хязгаарыг шийдвэрлэх нь нарийвчлал, энгийн байдлын баталгаа юм. Функцийн хязгаар нь дарааллын хязгаарын тухай ойлголтыг ерөнхийд нь хэлнэ: анх цэг дээрх функцийн хязгаарыг дарааллын хязгаар гэж ойлгодог. Өгөгдсөн цэг рүү ойртож буй функцийг тодорхойлох домэйны элементүүдийн дарааллын цэгүүдийн зургуудаас бүрдэх функцийн утгын домэйны элементүүд (хязгаарыг харгалзан үзэж байгаа); хэрэв ийм хязгаар байгаа бол функцийг заасан утгад нэгтгэнэ гэж хэлнэ; хэрэв тийм хязгаар байхгүй бол функцийг диверс гэж хэлнэ. Хязгаарыг онлайнаар шийдвэрлэх нь хэрэглэгчид вэб сайтыг ашиглан онлайнаар хэрхэн хязгаарлахаа мэддэг бол хялбар хариулт болно. Анхаарал төвлөрөлтэй байцгаая, алдаа нь хангалтгүй үнэлгээ хэлбэрээр бидэнд бэрхшээл учруулахгүй байхыг хичээцгээе. Онлайнаар хязгаарлах аливаа шийдлийн нэгэн адил таны асуудлыг шийдлийг олж авах бүх дүрэм, журмын дагуу нарийвчилсан шийдэл бүхий тохиромжтой, ойлгомжтой хэлбэрээр танилцуулах болно. Ихэнхдээ функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг хөршүүдийн хэлээр томъёолдог. Энд функцийн хязгаарыг зөвхөн функцийн тодорхойлолтын мужийг хязгаарлаж байгаа цэгүүдээр авч үздэг бөгөөд энэ нь тухайн цэгийн хөрш бүрт яг энэ функцийн тодорхойлолтын мужаас цэгүүд байдаг гэсэн үг юм. Энэ нь өгөгдсөн цэг рүү функцийн аргументын хандлагын талаар ярих боломжийг бидэнд олгодог. Гэхдээ тодорхойлолтын хүрээний хязгаарын цэг нь тухайн тодорхойлолтын мужид хамаарах албагүй бөгөөд энэ нь хязгаарыг шийдэх замаар нотлогддог: жишээлбэл, функцийн хязгаарыг нээлттэй интервалын төгсгөлд авч үзэж болно. функцийг тодорхойлсон. Энэ тохиолдолд интервалын хил хязгаарыг өөрөө тодорхойлох домэйнд оруулаагүй болно. Энэ утгаараа тухайн цэгийн цоорсон хөршүүдийн систем нь багцын ийм суурийн онцгой тохиолдол юм. Нарийвчилсан шийдлээр хязгаарыг онлайнаар шийдвэрлэх нь бодит цаг хугацаанд хийгддэг бөгөөд тодорхой заасан хэлбэрээр томъёог ашиглан бид нөхөн төлбөр шаарддаггүй тул та цаг хугацаа, хамгийн чухал нь мөнгөө хэмнэх боломжтой. Хэрэв функцийн тодорхойлолтын мужид аль нэг цэгт хязгаар байгаа бөгөөд энэ хязгаарын шийдэл нь тухайн цэг дэх функцийн утгатай тэнцүү бол функц нь ийм цэг дээр тасралтгүй байх болно. Манай вэбсайт дээр хязгаарлалтын шийдлийг өдөрт хорин дөрвөн цаг, өдөр бүр, минут тутамд ашиглах боломжтой бөгөөд хамгийн чухал зүйл бол та мэдлэгээ шалгах бүрт үүнийг ашиглах явдал юм. Оюутнууд энэ бүх функцээс ашиг тус хүртэх нь тодорхой. Тус улсын их дээд сургуулийн математикийн тэнхимийн туршлагатай оюутнуудын хэлснээр зөвхөн онолыг ашиглан хязгаарыг тооцоолох, хэрэглэх нь тийм ч хялбар биш байх болно. Зорилго байгаа бол баримт нь үнэн хэвээр үлдэнэ. Ихэвчлэн хязгаарлалтын олсон шийдэл нь асуудлыг боловсруулахад орон нутгийн хэмжээнд хэрэглэгдэхгүй. Оюутан зөвхөн өөртөө төдийгүй хүн бүрт үнэгүй ашиглах боломжтой хязгаарын тооцоолуурыг онлайнаар олж мэдсэн даруйдаа баярлах болно. Зорилгыг ерөнхий ойлголтоор нь математик гэж үзэх ёстой. Хэрэв та интернетээс онлайнаар хязгаарыг хэрхэн олох талаар дэлгэрэнгүй асуувал хүсэлтийн үр дүнд гарч ирэх олон тооны сайтууд бидний хүссэнээр тус болохгүй. Талуудын зөрүүг үйл явдлын дүйцэх хэмжээгээр үржүүлнэ. Функцийн анхны хууль ёсны хязгаарыг математикийн асуудлыг өөрөө томъёолсноор тодорхойлох ёстой. Хэмилтон зөв байсан ч түүний үеийнхний мэдэгдлийг анхаарч үзэх нь зүйтэй юм. Хязгаарыг онлайнаар тооцоолох нь хэн нэгэнд анх харахад тийм хэцүү ажил биш юм... Ингэж хөдлөшгүй онолын үнэнийг эвдэхгүйн тулд. Анхны нөхцөл байдал руу буцахдаа хязгаарыг хурдан, үр дүнтэй, цэвэрхэн форматтай тооцоолох шаардлагатай. Өөрөөр хийх боломжтой юу? Энэ хандлага нь ойлгомжтой бөгөөд үндэслэлтэй юм. Хязгаарын тооцоолуур нь мэдлэгийг нэмэгдүүлэх, гэрийн даалгавар бичих чанарыг сайжруулах, оюутнуудын ерөнхий сэтгэл санааг дээшлүүлэх зорилгоор бүтээгдсэн тул тэдэнд тохирсон байх болно. Та зүгээр л аль болох хурдан бодох хэрэгтэй бөгөөд оюун ухаан ялах болно. Онлайн интерполяцийн нэр томъёоны хязгаарын талаар тодорхой ярих нь мэргэжлийн хүмүүсийн хувьд маш нарийн үйл ажиллагаа юм. Бид огторгуйн цэгүүдэд төлөвлөгдөөгүй зөрүүний системийн харьцааг урьдчилан таамаглаж байна. Дахин хэлэхэд, функцийн хязгаар нь хязгааргүйд болон өгөгдсөн х тэнхлэгийн локал цэгийн тодорхой хөршид анхны илэрхийлэлийн аффин хувиргалт хийсний дараа оршин тогтнож байгаагийн үндсэн дээр асуудал тодорхойгүй болж буурдаг. Онгоц болон огторгуйн орой дээрх цэгүүдийн өгсөлтийг шинжлэхэд хялбар байх болно. Ерөнхий төлөв байдалд математикийн томьёог гарган авах талаар бодит байдал болон онолын аль алинд нь хэлээгүй тул онлайн хязгаарын тооцоолуур нь энэ утгаараа зориулалтын дагуу ашиглагддаг. Хязгаарыг онлайнаар тодорхойлохгүйгээр муруйн орон зайг судлах чиглэлээр цаашдын тооцоолол хийхэд хэцүү байна. Энэ нь үнэн зөв хариултыг олоход тийм ч хялбар биш байх болно. Сансар огторгуйн өгөгдсөн цэг урьдчилан тодорхойгүй байвал хязгаарыг тооцоолох боломжгүй юу? Судалгааны хүрээнээс гадуур хариулт байгаа эсэхийг няцацгаая. Хязгаарыг шийдвэрлэх нь тэнхлэг дээрх цэгүүдийн дарааллыг судлах эхлэл гэж математик анализын үүднээс авч үзэж болно. Зөвхөн тооцооллын баримт нь тохиромжгүй байж магадгүй юм. Тоонууд нь хязгааргүй дараалал хэлбэрээр илэрхийлэгдэх бөгөөд бид онолын дагуу хязгаарыг онлайнаар нарийвчлан шийдсэний дараа эхний тэмдэглэгээгээр тодорхойлогддог. Хамгийн сайн үнэ цэнийг дэмжих үндэслэлтэй. Функцийн хязгаарлалтын үр дүн нь буруу томъёолсон асуудлын илэрхий алдаа тул тогтворгүй системийн бодит механик үйл явцын санааг гажуудуулж болзошгүй юм. Үзэх талбарт шууд утгыг илэрхийлэх чадвар. Онлайн хязгаарыг нэг талын хязгаарын утгын ижил төстэй тэмдэглэгээтэй холбосноор багасгах томъёог ашиглан үүнийг тодорхой илэрхийлэхээс зайлсхийх нь дээр. Даалгаврын пропорциональ гүйцэтгэлийг эхлүүлэхээс гадна. Бид нэг талт хязгаарыг тооцоолж, хязгааргүйд бичиж чадсаны дараа олон гишүүнтийг өргөжүүлнэ. Энгийн бодол нь математикийн шинжилгээнд жинхэнэ үр дүнд хүргэдэг. Хязгаарлалтын энгийн шийдэл нь ихэвчлэн гүйцэтгэсэн математикийн дүрслэлүүдийн тэгш байдлын өөр түвшинд хүрдэг. Шугам болон Фибоначчийн тоонууд нь хязгаарын тооцоолуурыг онлайнаар тайлсан бөгөөд үүнээс хамааран та хязгааргүй тооцоог захиалж болох бөгөөд магадгүй нарийн төвөгтэй байдал нь ар тал руугаа орох болно. Гурван хэмжээст орон зайн зүсмэл дэх хавтгай дээрх графикийг задлах үйл явц явагдаж байна. Энэ нь математикийн нарийн төвөгтэй асуудлын талаар өөр өөр үзэл бодлыг бий болгох хэрэгцээг бий болгосон. Гэсэн хэдий ч үр дүн нь удахгүй гарахгүй. Гэсэн хэдий ч өсөж буй бүтээгдэхүүнийг хэрэгжүүлэх үйл явц нь шугамын орон зайг гажуудуулж, асуудлын томъёололтой танилцахын тулд хязгаарыг онлайнаар бичдэг. Асуудлыг хуримтлуулах үйл явцын жам ёсны байдал нь математикийн бүх салбарын мэдлэгийн хэрэгцээг тодорхойлдог. Маш сайн хязгаарын тооцоолуур нь чадварлаг оюутнуудын гарт зайлшгүй шаардлагатай хэрэгсэл болж, дижитал дэвшлийн аналогиас давуу талыг нь тэд үнэлэх болно. Сургуулиудад зарим шалтгааны улмаас онлайн хязгаарлалтыг институтээс өөрөөр нэрлэдэг. Аргумент өөрчлөгдөхөд функцийн утга нэмэгдэх болно. L'Hopital мөн функцийн хязгаарыг олох нь асуудлыг логик дүгнэлтэд хүргэж, хариултыг өргөтгөсөн хэлбэрээр өгөх хэрэгтэй гэж хэлсэн. Бодит байдал нь хэрэгт баримт байгаа нь хангалттай юм. Онлайн хязгаар нь математикийн шинжлэх ухааны түүхэн чухал талуудтай холбоотой бөгөөд тооны онолыг судлах үндэс суурь болдог. Математикийн томъёогоор хуудасны кодчилол нь хөтөч дээрх үйлчлүүлэгчийн хэл дээр байдаг. Х тэнхлэгийн чиглэлд функцийг хүчээр өөрчлөхгүйгээр зөвшөөрөгдөх хуулийн аргыг ашиглан хязгаарыг хэрхэн тооцоолох вэ. Ер нь орон зайн бодит байдал нь зөвхөн функцийн гүдгэр байдал эсвэл түүний хонхор байдлаас хамаардаггүй. Асуудлаас үл мэдэгдэх бүх зүйлийг устгаж, хязгаарлалтыг шийдвэрлэх нь таны математикийн нөөцийг хамгийн бага зарцуулдаг. Тодорхойлсон асуудлыг шийдэх нь функцийг зуун хувь засах болно. Үүний үр дүнд бий болсон математикийн хүлээлт нь хамгийн бага ач холбогдолтой тусгай харьцааны хазайлттай холбоотой хязгаарыг онлайнаар нарийвчлан харуулах болно. Шинжлэх ухааныг дэмжсэн математикийн шийдвэр гарснаас хойш гурав хоног өнгөрчээ. Энэ бол үнэхээр хэрэгтэй үйл ажиллагаа юм. Ямар ч шалтгаангүйгээр онлайн хязгаарлалт байхгүй байгаа нь нөхцөл байдлын асуудлыг шийдвэрлэх ерөнхий хандлагын зөрүүг хэлнэ. 0/0 тодорхойгүй нэг талын хязгаарын илүү сайн нэр ирээдүйд эрэлт хэрэгцээтэй байх болно. Нөөц нь зөвхөн үзэсгэлэнтэй, сайн байхаас гадна хязгаарыг тооцоолоход ашигтай байж болно. Агуу эрдэмтэн оюутан байхдаа эрдэм шинжилгээний өгүүлэл бичих функцийг судалжээ. Арван жил өнгөрчээ. Төрөл бүрийн нюансуудын өмнө функцийн хязгаар нь зарчмын зөрүүтэй байдлыг харгалзан математикийн хүлээлтийг хоёрдмол утгагүй тайлбарлах нь зүйтэй юм. Тэд захиалсан туршилтын ажилд хариу өгсөн. Математикийн хувьд багшлах онцгой байр суурийг гуравдагч этгээдийн харилцан хамаарал бүхий онлайн хязгаарлалтыг судлах нь хачирхалтай нь эзэлдэг. Энгийн тохиолдлуудад тохиолддог шиг. Та ямар нэгэн зүйлийг хуулбарлах шаардлагагүй. Оюутнуудын математикийн онолд хандах хандлагыг шинжилсний дараа бид хязгаарын шийдлийг эцсийн шатанд сайтар үлдээх болно. Энэ бол дараах утга учир текстийг шалгана уу. Хугарал нь хүлээн авсан мэдээллийн мөн чанар болох математик илэрхийллийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог. Онлайн хязгаар нь олон чиглэлт векторуудын харьцангуйн математик системийн жинхэнэ байрлалыг тодорхойлох мөн чанар юм. Энэ утгаараа би өөрийнхөө үзэл бодлыг хэлмээр байна. Өмнөх даалгавартай адил. Өвөрмөц онлайн хязгаар нь судалгааны талбарт програмын шинжилгээг дараалан судлах математикийн үзэл баримтлалд нөлөөгөө нарийвчлан өргөжүүлдэг. Онолын хувьд математик бол зөвхөн шинжлэх ухаанаас илүү өндөр зүйл юм. Үнэнч байх нь үйлдлээр илэрдэг. Хязгаарыг буруу тооцоолсон тохиолдолд дээшээ хөдөлж эхэлдэг дараалсан тоонуудын гинжийг зориудаар таслах боломжгүй хэвээр байна. Хоёр талт гадаргуу нь байгалийн хэлбэрээр бүрэн хэмжээгээр илэрхийлэгддэг. Математик анализыг судлах чадвар нь функцын хязгаарыг өгөгдсөн цэг дэх эпсилон хороолол хэлбэрээр функциональ цувралын дарааллаар хязгаарладаг. Функцийн онолоос ялгаатай нь тооцоололд алдаа гарахыг үгүйсгэхгүй, гэхдээ энэ нь нөхцөл байдлаас хамаарна. Хязгаар хуваах онлайн бодлогыг гурван хэмжээст орон зайд шугаман бус системийн хурдан үржвэрийн хувьд хувьсах дифференцийн функцээр бичиж болно. Өчүүхэн хэрэг бол үйл ажиллагааны үндэс. Энэ хэргийг шинжлэхийн тулд заавал оюутан байх албагүй. Үргэлжилсэн тооцооллын моментуудын нийлбэр, эхний ээлжинд хязгаарын шийдлийг олон тооны тооны утгууд дээр ординатын тэнхлэгийн дагуух ахиц дэвшлийн бүхэл бүтэн системийн үйл ажиллагаа гэж тодорхойлдог. Бид хамгийн бага математикийн утгыг үндсэн утга болгон авдаг. Дүгнэлт нь ойлгомжтой. Онгоцны хоорондох зай нь онлайн хязгаарын онолыг өргөжүүлэхэд тусална, учир нь ач холбогдлын дэд туйлын талыг дивергент тооцоолох аргыг ашиглах нь ямар ч өвөрмөц утгыг агуулдаггүй. Маш сайн сонголт, хэрэв хязгаарын тооцоолуур сервер дээр байрладаг бол талбайн гадаргуугийн өөрчлөлтийн ач холбогдлыг гажуудуулахгүйгээр үүнийг авч болно, эс тэгвээс шугаман байдлын асуудал илүү өндөр болно. Математикийн иж бүрэн дүн шинжилгээ нь тухайн цэгийн хамгийн жижиг хөршийн бүсэд түүний тайлбарын хамт системийн тогтворгүй байдлыг илрүүлсэн. Ординат ба абсциссуудын огтлолцлын тэнхлэгийн дагуух функцийн аливаа хязгаарын нэгэн адил судалгааны үйл явцын функциональ хуваарилалтын дагуу объектын тоон утгыг зарим хамгийн бага хөршид оруулах боломжтой. Даалгаврыг цэгээр нь бичье. Зохиол бичих үе шат гэж хуваагддаг. Хязгаарыг тооцоолох нь үнэхээр хэцүү эсвэл огт амар биш гэсэн эрдэм шинжилгээний мэдэгдлийг бүх бакалавр, магистрын оюутнуудын математикийн үзэл бодлын дүн шинжилгээгээр баталж байна. Боломжит завсрын үр дүн удахгүй гарахгүй. Дээрх хязгаарыг онлайнаар нарийвчлан судалж, математикийн орон зайн шугаман байдлыг гажуудуулж буй объектуудын системийн зөрүүний үнэмлэхүй бага хэмжээгээр авч үздэг. Илүү том талбайн сегментчлэлийг оюутнууд хасалт хийх хязгаарын онлайн тооцоолуурыг бичсэний дараа олон тооны санал зөрөлдөөнийг тооцоолоход ашигладаггүй. Эхлэсний дараа бид оюутнуудад математикийн орон зайн орчныг судлахад зориулсан асуудлыг засахыг хориглоно. Бид функцийн хязгаарыг аль хэдийн олсон тул түүний судалгааны графикийг хавтгай дээр байгуулъя. Ординатын тэнхлэгүүдийг тусгай өнгөөр тодруулж, шугамын чиглэлийг харуулъя. Тогтвортой байдал бий. Хариултыг бичих явцад тодорхойгүй байдал удаан үргэлжилдэг. Анхдагч нөхцлөөр хязгааргүй хязгаарын зөрүүг шинжлэх замаар тухайн цэг дээрх функцийн хязгаарыг тооцоол. Энэ аргыг хэрэглэгч бүр мэддэггүй. Бидэнд математик анализ хэрэгтэй. Хязгаарыг шийдвэрлэх нь олон жилийн турш үе үеийнхний оюун санаанд хуримтлуулдаг. Үйл явцыг хүндрүүлэхгүй байх боломжгүй юм. Түүний дүгнэлтийг үе үеийн оюутнууд хариуцна. Тооцооллын хүчин чадлын зөрүүгээр хязгаарын тооцоолуураас хоцорч байгаа тодорхой цэгийн эргэн тойронд функцүүдийн байрлалыг засах аргумент байхгүй тохиолдолд дээр дурдсан бүх зүйл өөрчлөгдөж эхэлдэг. Үр дүнгийн хариултыг авахын тулд функцийг авч үзье. Дүгнэлт нь тодорхой биш байна. Математик илэрхийллийг хувиргасны дараа далд функцуудыг нийт тооноос хассаны дараа эцсийн алхам бол хязгаарыг онлайнаар зөв, өндөр нарийвчлалтайгаар олох явдал юм. Гаргасан шийдвэрийг хүлээн зөвшөөрөх эсэхийг шалгах шаардлагатай. Үйл явц үргэлжилж байна. Функцуудаас тусад нь дарааллыг олж, асар их туршлагаа ашиглан математикчид судалгааныхаа зөв чиглэлийг зөвтгөхийн тулд хязгаарыг тооцоолох ёстой. Ийм үр дүнд онолын хувьд түлхэц өгөх шаардлагагүй. Математикийн бичсэн бодлогын дагуу х тэнхлэгийн 0 биш цэгийн тодорхой орчмын тоонуудын эзлэх хувийг онлайн хязгаарын тооцоолуур хувьсах орон зайн налуу өнцөг рүү шилжүүлнэ. Сансар огторгуйн хоёр бүсийг холбоно. Функцийн хязгаар нь орон зайд нэг талт утгын шинж чанарыг хэрхэн олж авдаг талаар шийдвэрлэгчдийн хоорондох санал зөрөлдөөн нь оюутнуудын эрчимжүүлсэн хяналттай гүйцэтгэлийг анзаарахгүй өнгөрч чадахгүй. Математикийн онлайн хязгаарын чиглэл нь эдгээр хязгааруудын тооцоолол дахь тодорхойгүй байдлын талаархи хамгийн бага маргаантай байр суурийг эзэлдэг. Тойргийн гурван радиустай ижил тэгш өнцөгт гурвалжин ба шоо дөрвөлжингийн өндрийн хязгаарыг тооцоолох онлайн тооцоолуур нь оюутанд шинжлэх ухааны эхний шатанд цээжээр сурахад тусална. Судалгааны талбараас ажиллаж буй математикийн суларсан системийг судлах хязгаарыг оюутнуудад үлдээе. Оюутны тооны онолын талаархи үзэл бодол хоёрдмол утгатай. Хүн бүр өөрийн гэсэн бодолтой байдаг. Математикийн хичээлийг зөв чиглүүлэх нь өндөр хөгжилтэй орнуудын их дээд сургуулиудад байдаг шиг хязгаарыг жинхэнэ утгаар нь тооцоолоход тусална. Математик дахь котангенсыг хязгаарын тооцоолуураар тооцдог бөгөөд энэ нь аргументийн косинус ба синус зэрэг бусад хоёр энгийн тригонометрийн функцүүдийн харьцаа юм. Энэ бол сегментүүдийг хоёр дахин багасгах шийдэл юм. Өөр арга барил нь нөхцөл байдлыг өнгөрсөн агшинд ашигтайгаар шийдвэрлэх магадлал багатай юм. Онлайн хязгаарыг ойлгохгүйгээр нарийвчлан шийдвэрлэх нь маш хэцүү бөгөөд ашиггүй гэдгийг бид удаан ярьж болох ч энэ хандлага нь оюутнуудын дотоод сахилга батыг сайжруулах хандлагатай байдаг.