Харилцан перпендикуляр талуудтай өнцөгтэй тэнцүү. Өөр хоорондоо параллель талуудтай өнцөгүүд, харилцан перпендикуляр талуудтай өнцөгүүд

ТЕОРЕМ 1.Харилцан перпендикуляр талуудтай өнцгийн тэгш байдал:Хэрэв ба
аль аль нь хурц эсвэл аль аль нь мохоо болон
,
, Тэр
. ТЕОРЕМ 2. Трапецын дунд шугамын шинж чанарууд:A) трапецын дунд шугам нь трапецын суурьтай параллель байна;B) дунд шугам нь трапецын суурийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү;C) дунд шугам (зөвхөн энэ нь) трапецын суурийн хооронд хаагдсан аливаа сегментийг хоёр хуваана.Эдгээр шинж чанарууд нь гурвалжны дунд шугамын хувьд ч хүчинтэй, хэрэв гурвалжинг "муухай" трапец гэж үзвэл суурийн нэг нь тэгтэй тэнцүү урттай. ТЕОРЕМ 3. Гурвалжны медиан, биссектриса, өндрийн огтлолцох цэгүүд дээр:A) гурвалжны гурван медиан нь нэг цэг дээр огтлолцдог (үүнийг гурвалжны хүндийн төв гэж нэрлэдэг) ба оройгоос нь тооцвол 2: 1 харьцаатай хуваагдана;B) гурвалжны гурван биссектрис нэг цэг дээр огтлолцдог;C) гурван өндөр нь нэг цэг дээр огтлолцдог (үүнийг гурвалжны ортоцентр гэж нэрлэдэг).ТЕОРЕМ 4. Тэгш өнцөгт гурвалжны медианы шинж чанар:тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенуз руу татсан медиан нь түүний хагастай тэнцүү байна.Эсрэг теорем бас үнэн: Хэрэв гурвалжинд медиануудын аль нэг нь зурсан талын талтай тэнцүү бол энэ гурвалжин нь зөв өнцөгтэй байна.ТЕОРЕМ 5. гурвалжны дотоод өнцгийн биссектрисын шинж чанар:Гурвалжны дотоод өнцгийн биссектриса нь түүний зурсан талыг эсрэг талуудтай пропорциональ хэсгүүдэд хуваана.
ТЕОРЕМ 6. Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь метрийн хамаарал:ХэрэваТэгээдб- хөл,в- гипотенуз,h- өндөр, Тэгээд - гипотенуз руу хөлний проекц, дараа нь: a)
; б)
; V)
; G)
; г)
ТЕОРЕМ 7. Гурвалжны төрлийг талуудаар нь тодорхойлох:Болъёа, б, в– гурвалжны талууд, c нь хамгийн том тал; Дараа нь:A) хэрэв
, дараа нь гурвалжин хурц байна;B) хэрэв
, дараа нь гурвалжин тэгш өнцөгт байна;B) хэрэв
, тэгвэл гурвалжин мохоо байна.ТЕОРЕМ 8. Параллелограмм дахь метрийн хамаарал:Параллелограммын диагональуудын квадратуудын нийлбэр нь түүний бүх талуудын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.
. Геометрийн асуудлыг шийдэхдээ ихэвчлэн хоёр сегментийн (эсвэл өнцгийн) тэгш байдлыг тогтоох шаардлагатай болдог. зааж өгье Хоёр сегментийн тэгш байдлыг геометрийн аргаар батлах гурван үндсэн арга: 1) хэрчмүүдийг хоёр гурвалжны талууд гэж үзэж, эдгээр гурвалжнууд тэнцүү гэдгийг батлах; 2) хэрчмүүдийг гурвалжны талуудаар төлөөлж, энэ гурвалжин нь ижил өнцөгт гэдгийг батлах; 3 ) сегментийг солих Атэнцүү сегмент , ба сегмент б – түүнтэй тэнцүү ба хэрчмүүдийн тэгш байдлыг нотлох ба . Даалгавар 1.Хоёр харилцан перпендикуляр шугам нь талуудыг огтолж байнаAB, МЭӨ, CD, МЭдөрвөлжинABCDцэгүүдэдЭ, Ф, К, Лтус тус. Үүнийг нотолЭ.К. = FL(даалгаврын №1 зургийг үзнэ үү).Р

Цагаан будаа. №1 даалгаварт

Шийдэл: 1. Хоёр сегментийн тэгш байдлыг хангахын тулд дээрх замуудын эхнийхийг ашиглан бид сегментүүдийг зурдаг
Тэгээд
- дараа нь бидний сонирхож буй сегментүүд Э.К. Тэгээд FL хоёр тэгш өнцөгт гурвалжны талууд болно EPKТэгээд FML(даалгаврын №1 зургийг үзнэ үү). 2

Цагаан будаа. №1 даалгаварт

Бидэнд: П.К = FM(дэлгэрэнгүй мэдээлэл: П.К = МЭ, МЭ = AB, AB = FM, гэсэн үг,П.К = FM), (харилцан перпендикуляр талуудтай өнцгүүд, теорем 1). Энэ нь (хөл ба хурц өнцгийн дагуу) гэсэн үг юм. Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлаас харахад тэдгээрийн гипотенузууд тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. сегментүүд Э.К.Тэгээд FL. ■ Геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ ихэвчлэн нэмэлт бүтээц хийх шаардлагатай байдаг гэдгийг анхаарна уу, жишээ нь: Зураг дээрх аль нэгэнд нь параллель эсвэл перпендикуляр шулуун шугам зурах (бид 1-р даалгаврын дагуу); гурвалжныг параллелограмм болгон дуусгахын тулд гурвалжны медианыг хоёр дахин нэмэгдүүлэх (бид үүнийг 2-р бодлого дээр хийх болно), туслах биссектрис зурах. Тойрогтой холбоотой ашигтай нэмэлт барилга байгууламжууд байдаг. Даалгавар 2.Намууд
тэнцүүа, б, в. Медианыг тооцоол , тал руу нь зурсан (2-р асуудлыг үзнэ үү).Р

Цагаан будаа. асуудал №2

Шийдэл: дуусгаснаар медианыг хоёр дахин нэмэгдүүлнэ
ACVR параллелограмм дээр, 8-р теоремыг энэ параллелограммд хэрэглэвэл: , i.e.
, бид хаанаас олдог:
Даалгавар 3.Аль ч гурвалжинд медиануудын нийлбэр нь периметрийн ¾-ээс их, харин периметрээс бага гэдгийг батал.Р
шийдэл: 1. Ингээд авч үзье
(3-р асуудлын зургийг үзнэ үү) Бидэнд:
;
. Учир нь AM + MS > AC,Тэр
(1) П

Цагаан будаа. асуудал №3

AMB ба BMC гурвалжны ижил төстэй үндэслэлийг гаргаснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
(2)
(3) (1), (2), (3) тэгш бус байдлыг нэмснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.
, Т
.e. Бид медиануудын нийлбэр нь периметрийн ¾-ээс их болохыг нотолсон. 2. Гурвалжныг параллелограмм болгоод BD медианыг хоёр дахин нэмэгдүүлцгээе (3-р асуудлын зургийг үз). Дараа нь
бид авах: Б.К. < МЭӨ + CK, тэдгээр.
(4) Үүний нэгэн адил:
(5)

Цагаан будаа. асуудал №3

(6) Тэгш бус байдлыг (4), (5), (6) нэмснээр бид дараахийг олж авна: , i.e. медиануудын нийлбэр нь периметрээс бага байна. ■ Даалгавар 4.Тэгш өнцөгт бус тэгш өнцөгт гурвалжинд тэгш өнцөгтийн биссектриса нь медиан ба нэг оройноос татсан өндрийн хоорондох өнцгийг хоёр хуваадаг болохыг батал.Р
шийдэл: ACB нь тэгш өнцөгт гурвалжин байг,

, CH – өндөр, CD – биссектрис, SM – медиан. Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя: (4-р асуудлын зургийг үз). 1.

харилцан перпендикуляр талуудтай өнцөг гэж (). 2

Цагаан будаа. асуудал №4

Учир нь
(Теорем 4-ийг үз), дараа нь SM = MV, дараа нь -аас
гэж бид дүгнэж байна
Тэгэхээр, 3. Тэгээд (эцэст нь CD бол биссектрис) тул үүнийг батлах хэрэгтэй. ■ Даалгавар 5.Хажуу талуудтай параллелограммда Тэгээдбдотоод өнцгийн биссектрисийг зурсан (5-р асуудлын зургийг үз). Биссектрисын огтлолцол дээр үүссэн дөрвөн өнцөгтийн диагональуудын уртыг ол.Шийдэл: 1 . AE - биссектриса
, АД – биссектрис
(зураг харна уу). Учир нь параллелограммд
тэдгээр. Дараа нь ABC гурвалжинд A ба B өнцгүүдийн нийлбэр 90 0, K өнцөг 90 0, өөрөөр хэлбэл AE ба BP биссектриса нь харилцан перпендикуляр байна гэсэн үг юм. А
AE ба DQ, BP ба CF, CF ба DQ биссектриссуудын харилцан перпендикуляр байдал нь логикоор батлагдсан. ГАРЦ: KLMN нь зөв өнцөгтэй дөрвөлжин, i.e. тэгш өнцөгт. Тэгш өнцөгт нь ижил диагональтай тул тэдгээрийн аль нэгнийх нь уртыг олоход хангалттай, жишээ нь KM. 2

Цагаан будаа. №5 асуудалд

Ингээд авч үзье
Тэрээр АК-тай - биссектрис ба өндөр хоёулаа. Энэ нь нэгдүгээрт, ABP гурвалжин нь тэгш өнцөгт, өөрөөр хэлбэл. AB = AP = б, хоёрдугаарт, AK сегмент нь нэгэн зэрэг ABP гурвалжны медиан, i.e. K – АД-ын биссектрисын дунд хэсэг. M нь DQ биссектрисын дунд цэг гэдгийг ижил төстэй байдлаар нотолсон. 3. KM сегментийг авч үзье. Энэ нь BP ба DQ сегментүүдийг хуваадаг. Гэхдээ параллелограммын дунд шугам (параллелограмм бол трапецын онцгой тохиолдол гэдгийг анхаарна уу; хэрэв бид трапецын дунд шугамын тухай ярьж чадвал ижил төстэй параллелограммын дунд шугамын талаар ч мөн адил сайн ярьж болно. шинж чанарууд) нь K ба M цэгүүдээр дамждаг (теорем 2-ыг үз). Энэ нь KM нь дунд шугамын сегмент, тиймээс гэсэн үг юм
.4. Учир нь
Тэгээд
, тэгвэл KMDP нь параллелограмм, тиймээс. Хариулт:
■ Үнэн хэрэгтээ, асуудлыг шийдвэрлэх явцад (1 ба 2-р үе шатанд) бид маш чухал шинж чанарыг баталсан: трапецын хажуугийн хажуугийн өнцгийн биссектриса нь трапецын дунд шугам дээр байрлах цэг дээр зөв өнцгөөр огтлолцдог. трапец. Геометрийн бодлогод тэгшитгэл зохиох гол арга бол гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй аргатуслах элемент,Энэ нь дараах байдалтай байна: ижил элемент (хажуу, өнцөг, талбай, радиус гэх мэт) нь мэдэгдэж байгаа болон үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнээр дамжуулан хоёр өөр аргаар илэрхийлэгдэж, үр дүнгийн илэрхийлэл нь тэнцүү байна. Ихэнх тохиолдолд лавлагааны элемент болгон бүсийг сонгодогтоонууд. Дараа нь бид ашигладаг тэгшитгэлээ байгуулах гэж хэлдэг талбайн арга.Сургуулийн хүүхдүүдэд үндсэн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэхийг заах шаардлагатай, жишээлбэл. тэдгээр. Эдгээр нь бусад олон даалгаврын бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд багтсан болно. Жишээлбэл, гурвалжны үндсэн элементүүдийг олох асуудлууд: медиан, өндөр, биссектрис, бичээстэй ба хүрээлэгдсэн тойргийн радиус, талбай. З асуудал 6.ABC гурвалжинд AB ба BC талууд тэнцүү, BH нь өндөр юм. МЭӨ тал дээр цэг авдагДТэгэхээр
(6-р асуудлын зургийг үзнэ үү). Хэсэг нь ямар харьцаатай байнаМЭVN-ийн өндрийг хуваах вэ?Шийдэл: 1. BD = гэж үзье а, дараа нь CD = 4 а, AB = 5а.2

Цагаан будаа. асуудал №6

Хэсэг зуръя
(бодлого 6-ын зургийг харна уу) NK нь ACD гурвалжны дунд шугам учраас DK = KC = 2 а .3. VNK гурвалжинг авч үзье. Бидэнд: BD = а,Д.К = 2 аТэгээд
. Фалесийн теоремын дагуу
Гэхдээ
гэсэн үг
■ Хэрэв асуудалд дурын тооны хэмжигдэхүүний харьцааг олох шаардлагатай бол дүрмээр бол асуудал шийдэгдэнэ. туслах параметрийн аргыг ашиглан.Энэ нь асуудлыг шийдэхийн эхэнд бид тодорхой шугаман хэмжигдэхүүнийг мэдэгдэж, жишээлбэл үсгээр тэмдэглэдэг гэсэн үг юм. А, дараа нь дамжуулан илэрхийлэх Ахарьцааг нь олох шаардлагатай тэдгээр хэмжигдэхүүнүүд. Шаардлагатай хамаарлыг эмхэтгэх үед туслах параметр Ахумигдаж байна. Асуудалд яг ийм байдлаар хандсан . Бидний зөвлөгөө: хэмжигдэхүүнүүдийн харьцааг олох шаардлагатай асуудлуудыг шийдвэрлэхдээ (ялангуяа өнцгийг тодорхойлох асуудалд - эцэст нь, дүрмээр бол өнцгийг тооцоолохдоо бид түүний тригонометрийн функцийг олох тухай ярьж байна, өөрөөр хэлбэл. тэгш өнцөгт гурвалжны талууд), оюутнуудад заах ёстой Шийдлийн эхний шат нь туслах параметрийг нэвтрүүлэх явдал юм. Туслах параметрийн аргыг геометрийн дүрсийг ижил төстэй байдлаар тодорхойлсон асуудалд мөн ашигладаг. Даалгавар 7.Тэгш өнцөгтийг 10, 17, 21 см-тэй тэнцүү талуудтай гурвалжинд бичээд түүний хоёр орой нь гурвалжны нэг талд, нөгөө хоёр орой нь гурвалжны нөгөө хоёр талд байна. Тэгш өнцөгтийн периметр нь 22.5 см гэдгийг мэддэг бол талуудыг ол.Р
шийдвэр . 1. Юуны өмнө гурвалжны төрлийг тодорхойлъё. Бидэнд: 10 2 = 100; 17 2 = 289; 21 2 = 441. 21 2 > 10 2 + 17 2 тул гурвалжин нь мохоо өнцөгтэй (Теорем 7-г үзнэ үү), энэ нь тэгш өнцөгтийг зөвхөн нэг аргаар дүрсэлж болно гэсэн үг юм: хоёр оройг нь том дээр байрлуулах замаар. ABC гурвалжны тал (зураг. 7-р асуудлыг үз), энд AC = 21 см, AB = 10 см, BC = 17 см 2

III БҮЛЭГ.
Зэрэгцээ ШУУД

§ 40. ХАРИЛЦСАН Зэрэгцээ өнцөгтэй өнцгүүд.
БА ПЕРПЕНДИКУЛЬ ТАЛУУДАА.

1. Харгалзах зэрэгцээ талуудтай өнцөг.

Хавтгай дээрх С ба О хоёр цэгийг авч, эдгээр цэгүүдээс хоёр хос туяа зуръя
CA || OM ба SV || ACB ба MON өнцөг хоёулаа хурц (Зураг 211) эсвэл хоёулаа мохоо (Зураг 212) байхаар ON болгоно.

ACB болон MON өнцөг нь параллель талуудтай өнцөг юм. Эдгээр өнцөгүүд хоорондоо тэнцүү гэдгийг баталцгаая.

CB OM-г D цэгээр огтолцгооё. / DIA = / MDV, параллель АС ба MO болон секант SV-ийн харгалзах өнцөг.

/ MDV = / MON, зэрэгцээ CB болон ON болон secant MO-ийн харгалзах өнцөг гэж, гэхдээ дараа нь / DIA = / МОН.

Тиймээс, Харгалзах зэрэгцээ талуудтай өнцөг нь хоёулаа хурц эсвэл хоёулаа мохоо байвал тэнцүү байна.

Зэрэгцээ параллель талуудтай ACB ба MON хоёр хурц өнцгийг байгуулъя (Зураг 213): CA || MO болон NE || ON, мөн MON өнцгийн хажуугийн О оройноос цааш үргэлжлүүлнэ.

О орой дээр EOM ба FON гэсэн хоёр мохоо өнцөг үүссэн (тэдгээрийн зэргэлдээх MON өнцөг нь барилгын хувьд хурц байдаг тул).

Тэд тус бүрийг MON өнцөгт нэмбэл 2 байна г, ба түүнээс хойш / МОН = / ШШГЕГ,
Тэр / DIA+ / MOE = 2 гТэгээд / DIA+ / FON = 2 г.

Тиймээс, харгалзах зэрэгцээ талуудтай өнцгүүдийн нийлбэр 2

2. Харгалзах перпендикуляр талуудтай өнцөг.

Дурын хурц өнцөг ABC байгуулъя. Өнцгийн оройгоор түүний хажуу талуудтай перпендикуляр туяа татъя, ингэснээр хурц өнцөг үүсгэнэ.

BO_|_ BC ба VC _|_ AB (зураг 214). Бид шинэ өнцөг OBK авах болно.
ABC ба OBC өнцгийн талууд харилцан перпендикуляр байна.

/ ABC = г - / SVK;
/ HVAC = г - / SVK.

Үүнийг дагадаг / ABC = / HVAC.

Дурын мохоо өнцгийг AOB байгуулж, оройгоор нь хажуу тийш перпендикуляр туяа татуулж, мохоо өнцөг үүсгэе.
OK_|_OA ба OS_|_OV (Зураг 215), өнцөг KOS - мохоо. AOB ба KOS өнцгүүдийн талууд нь харилцан перпендикуляр байдаг

/ AOB = г + / KOV;
/ CBS = г+ / КОВ.

Үүнийг дагадаг / AOB = / KOS.

Харгалзах перпендикуляр талуудтай өнцөг нь хоёулаа хурц эсвэл хоёулаа мохоо байвал тэнцүү байна.

Дурын цочмог AOB өнцгийг байгуулж, түүний оройгоор нь хажуу тийш нь перпендикуляр зурж, хурц өнцөг үүсгэе (Зураг 216).
Бид авах: / COM = / AOB. О оройноос цааш OK талыг үргэлжлүүлье. EOM өнцгийн талууд нь AOB өнцгийн талуудтай перпендикуляр байна. Үүний зэрэгцээ / EOM - тэнэг, учир нь энэ нь түүнтэй зэргэлдээ байдаг / MOK - халуун ногоотой. / KOM + / EOM = 2 г(зэргэлдээх өнцөг гэх мэт). Гэхдээ / KOM, өмнө нь батлагдсан шиг, тэнцүү байна / AOB. Тиймээс, ба / AOB + / EOM = 2 г.

Харгалзах перпендикуляр талуудтай өнцгүүдийн нийлбэр 2d нэг нь хурц, нөгөө нь мохоо бол.

Бид нийтлэг оройтой байх үед харилцан перпендикуляр талуудаас үүссэн өнцгийг авч үзсэн. Бидний олж авсан шинж чанарууд нь өнцөг нь нийтлэг оройгүй тохиолдолд хүчинтэй байх болно.

Дурын хурц AOB өнцгийг байгуулж, зарим C цэгээр дамжуулан (Зураг 217) CE __|_OA ба SK _|_ OB туяаг зурж KCE өнцөг мөн хурц байна.

AOB-аас KSE хүртэлх өнцгийг харилцан перпендикуляр талуудаар хийдэг. Тэд бие биетэйгээ тэнцүү гэдгийг баталцгаая. Үүнийг хийхийн тулд O цэгээр (орой / AOB) бид OK"||SK болон OE" || хийх болно SE. / KSE = / CFU", учир нь тэдгээр нь харилцан зэрэгцээ талуудаас бүрдэх бөгөөд хоёулаа хурц байдаг. Гэхдээ / K"OE" = / AOB батлагдсан дагуу. Тиймээс, / AOB = / KSE.

Хэрэв бид CE талыг булангийн оройноос цааш сунгавал бид авна / MSK зэргэлдээ / KSE.
/ MSC + / KSE = 2 г, Гэхдээ / KSE = / AOB, Тиймээс / AOB + / MSK = 2 г.

Сургуулийн курст планиметрийг заах.

000-р лицей

000-р лицей.

"Хэрэв ижил үүрэг даалгавар өгсөн бол

энэ хоёрыг адилхан мэдэхгүй

хүмүүс, тэдний нэг нь математикч,

тэгвэл математикч үүнийг илүү сайн хийх болно."

Танилцуулга

Орчин үеийн бараг бүх мэргэжлийг эзэмшихийн тулд тодорхой математикийн мэдлэг шаардагдана. Орчин үеийн ертөнцөд математикийн гүйцэтгэх үүрэг, математикийн мэдлэг нь ерөнхий соёлын зайлшгүй бүрэлдэхүүн хэсэг болжээ. Амьдралдаа өөрийгөө ухамсарлах, мэдээллийн ертөнцөд үр бүтээлтэй үйл ажиллагаа явуулахын тулд нэлээд хүчтэй математик суурь шаардлагатай.

Шинжлэх ухаан, нийгмийн амьдралд математикийн гүйцэтгэх үүрэг, байр суурь, математикийн боловсролын үнэ цэнэ, боловсролыг хүмүүнжүүлэх, хүмүүнжүүлэх, математикийн хичээлийн талаарх ойлголт, хувь хүний бүтэц зэрэг нь математикийн боловсролын зорилгыг тодорхойлдог. Гурван бүлгийн зорилгыг ялгаж, тэдгээрийг ерөнхий боловсролын, боловсролын болон практик функцтэй уялдуулдаг.

Ø Математикийн боловсролд математикийн хичээл, түүний хэл, бэлгэдэл, хөгжлийн үе шат, математик загварчлал, математикийн тусгай арга техник, танин мэдэхүйн ерөнхий шинжлэх ухааны үндсэн аргуудын талаар ойлголт өгөх математикийн мэдлэг, чадвар, ур чадварын тогтолцоог эзэмшүүлэх зэрэг орно.

Ø Оюутны ертөнцийг үзэх үзэл, сэтгэлгээний логик, эвристик бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг төлөвшүүлэх, ёс суртахуун, харилцааны соёл, бие даасан байдал, идэвхжил, хөдөлмөрч, шийдвэр гаргах хариуцлага, өөрийгөө ухамсарлах хүслийг төлөвшүүлэх.

Ø Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн бие даасан зорилгыг тодорхойлох нь хичээлийн багц зорилго, сургалтын материалын сэдвийн агуулгад нийцүүлэхэд чухал ач холбогдолтой. Боловсролын зорилгыг үйлдэл болгон хувиргаснаар оюутны мэдлэг, ур чадвар, хөгжил, боловсрол эзэмших үйл явцыг оношлох, удирдах боломжтой болно.

Бодит боловсролын үйл явцын түвшинд оюутнуудын онцлог шинж чанар, тэдний суралцах чадварыг ялгах боломжийг харгалзан сургалтын зорилгыг бүрдүүлдэг.

Оюутны математикийн үйл ажиллагааны явцад сэтгэлгээний арга, арсенал нь индукц ба дедукц, ерөнхийлөлт ба тодорхойлолт, дүн шинжилгээ ба синтез, ангилал ба системчилэл, хийсвэрлэл, аналоги зэрэг орно. Математикийн дүгнэлтийн объектууд, тэдгээрийг бий болгох дүрэм нь логик бүтээцийн механизмыг илчилж, дүгнэлт гаргах, зөвтгөх, нотлох чадварыг хөгжүүлж, улмаар логик сэтгэлгээг хөгжүүлдэг. Математикийн хичээлийн боловсролын үйл ажиллагааны үндэс болох алгоритмын сэтгэлгээг бүрдүүлэх, өгөгдсөн алгоритмын дагуу ажиллах, асуудлыг шийдвэрлэх явцад шинээр бий болгох чадварыг хөгжүүлэхэд математик тэргүүлэх үүрэг гүйцэтгэдэг. Сэтгэлгээний бүтээлч, хэрэглээний тал хөгждөг.

сургуулийн математикийн хичээлийг багасгахыг эсэргүүцсэн;

· Хичээлийн хөтөлбөрийг шаардлагагүй эсвэл хэт онцгой мэдээллээр хэт их ачаалалтай гэж үнэлэх (жишээлбэл, олон томьёо цээжлэх);

· Математикийн хичээлд хуваарилсан цаг нь илт хангалтгүй байгаа тухай яриа (сургуулийн сурагчдын логик сэтгэлгээг хөгжүүлэх гол хэрэгсэл гэх мэт);

сургуулийн математикийн хичээл, элсэлтийн шалгалтын шаардлага; Математикийн багш нарын ур чадвар, учир нь боловсролын аливаа шинэчлэл, хөтөлбөрийн аливаа бүтцийн өөрчлөлт нь багш нар үүнд урьдчилан, иж бүрэн бэлтгэгдсэн тохиолдолд л амжилтанд хүрэх болно.

Одоогийн байдлаар багш нар өөрсдийн зэвсэглэлд параллель тус бүрийн цөөн хэдэн сурах бичигтэй байна. Тодорхой тогтолцоог сонгохдоо багш бүр өөрийн гэсэн шалгуур, боловсролын байгууллагын онцлогийг харгалзан үздэг. Гэсэн хэдий ч курс хоорондын дараалсан холболтыг хэрэгжүүлэх боломжийг харгалзан үзэх, мөн ялгавартай сургалт зохион байгуулах боломжийг шинжлэх шаардлагатай. Багш нь ажлын тодорхой нөхцөл, оюутнуудын бэлтгэлийн түвшингээс хамааран боловсролын үйл явцыг бүрэн зохион байгуулж болно. Оюутан нэг ангид, нэг хөтөлбөрийн дагуу суралцаж, өөрийн хэрэгцээ, сонирхол, чадварт тохирсон сургалтын түвшинг сонгох бодит боломжийг олж авдаг. Математикийн заавал байх доод хэмжээ нь математикийн хөтөлбөр, сурах бичигт тавигдах ёстой асуултуудын жагсаалтыг тэдгээрийн түвшин, чиглэлээс үл хамааран тодорхойлдог. Өөрөөр хэлбэл, тухайн байгууллагад хэрэглэгдэж буй тусгай хөтөлбөр, сурах бичиг нь энэ түвшинг өргөжүүлж болох боловч бууруулах, хасах боломжгүй юм.

Математикийн сургалтын түвшинг сонгох нь оюутнуудын хэрэгцээ шаардлагаас хамаарч тодорхойлогддог тул хүмүүнлэгийн ухаан, хууль эрх зүй болон бусад салбарын боловсролын байгууллагуудад математикийн гүнзгийрүүлсэн хөтөлбөрийг ашиглахыг зөвлөж байна, учир нь төгсөгчид нь мөн сургуульд явдаг. техникийн их дээд сургуулиудаас гадна логик сэтгэлгээг хөгжүүлэх, хөгжүүлэхэд ноцтой математикийн хичээлүүд шаардлагатай байдаг.

Геометрийн мөн чанар нь хоорондоо зөрчилддөг: "... энэ нь бодит байдалд байдаггүй хамгийн тохиромжтой геометрийн дүрсүүдийг шууд судалдаг боловч түүний дүгнэлт нь бодит зүйл, практик асуудлуудад хамаатай." Аливаа багшийн үүрэг бол геометрийг олон тооны судалгаа, сорилт, сорилтоор сурагчдаас халхалж, хүүхдүүдэд геометрийн мэдлэгийн түвшинг өөрсдөө сонгох боломжийг олгохгүйгээр сурагчдыг тэдний ойлголтод ойртуулах явдал юм. Сонголт бүр нь оюутны өмнө тулгарч буй зорилгодоо нийцэхүйц, заримдаа зөн совингоор тодорхойлогддог боловч чөлөөтэй байдаг. Зорилгоо тууштай баримталж, түүндээ хүрэхийн тулд тууштай байх нь ихэвчлэн утгагүй байдаг, ялангуяа багшийн зорилго нь оюутны зорилго биш юм. Геометрийн хичээл дээр сурагчдын үйл ажиллагааг бидний зорилго, бидний асуултад хязгаарлагдахгүйн тулд бүх төрлийн ойлголтод нээлттэй байлгахын тулд хэрхэн зохион байгуулах талаар сурахыг хичээх нь зүйтэй болов уу. Хүүхэд сургуульдаа маш олон асуулттай явдаг ч сургууль өөрөө түүнд хэд дахин илүү асуулт бэлдсэн байдаг. Тэр өөрийнхөө асуултанд хариулдаг, тэр ч байтугай хариултыг нь муу хүлээж авахад уурладаг.

Мэдлэгийн аргуудын нэг нь дараахь үе шатуудаас бүрдэнэ: бодол санаа, бодлын хэлхээ, эцэст нь эрэл хайгуулын логик үндэслэлтэй, хүссэн үр дүн. Сэдэв тус бүрээр санал болгож буй өгөөмөр багц даалгавруудаар дамжуулан хоёр дахь, илүү нээлттэй арга замыг хэрэгжүүлэхийг хүсч байна. Энэ замыг ашиглах үед бодол санаа нь уран зөгнөлийг саатуулдаггүй, зөн совингийн эрэл хайгуулыг хаадаггүй, бодол санааг эрэлхийлдэггүй, зорилгодоо хурдан үсрэлт хийдэггүй, харин тайван, яаралгүй ойлголт, ажиглалт ноёрхож, мэдрэмж төрдөг. гаднах байх, гэхдээ заримдаа энэ нь эрэл хайгуулыг баяжуулж, зорилгодоо хүргэдэг. Хичээл дээр бид хүүхдүүдийг хэр олон удаа яаравчлуулж, "Бод. Бодооч." Эсвэл хэт их хайдаг хүнд олох цаг зав гардаггүй нь үнэн болов уу?

Бидний даалгавар бол геометрийн мэдлэгт хүрэх замыг хайх явдал юм. Бид хүүхдүүдэд үнэнийг, геометрийн үнэнийг олж мэдэхэд нь хэрхэн туслах талаар бодох болно. Багш юуг чиглүүлэх, ямар тактик, стратегийг сонгох ёстой вэ? Багш хичээл дээрээ юу хийх ёстой вэ? Бид мэдлэг, чадвар, ур чадварын төлөө тэмцэж, мэдлэг бол хүч гэдгийг батлах уу, эсвэл мэдлэг нь мэдлэгийг сүүдэрлэхгүй, хүүхдийн сэтгэлийг мэдлэгээс холдуулахгүйн тулд боловсролын үйл явцыг бүх хүчээрээ зохион байгуулах ёстой юу.

Багшийн мэргэн ухаан нь нээлтийн нууц, танин мэдэхүйн нууц, тэр дундаа геометрийн нууцыг мэдэх, ойлголт, танин мэдэхүйн эдгээр аргуудыг эзэмшихэд туслах уур амьсгалыг ангид бий болгох чадварт оршдог. Хичээл дээр багшийн болон оюутны логик хоёр ямар харьцаатай байх ёстой вэ? Өөр яах вэ? Магадгүй багш тодорхой бодож боловсруулсан асуултуудыг биш, харин сурагчийн эргэцүүлэн бодох даалгаврын дарааллыг санал болгодог бол түүний бодол санаа нь нээлт хийхээс өмнөх үед шаардлагатай бүх ажлыг хийдэг. Дараа нь багшийн логик нь оюутны логиктой зайлшгүй холбоотой байдаг. Эсвэл эрэл хайгуулын үндэс нь зөн совингоо сонгох, түүнийг чөлөөлөх, өдөөх, түүнд найдах байх ёстой болов уу? Эсвэл өөр зүйл үү?

Магадгүй, бүх сурах бичиг, бүх хичээлийн дунд 7-р ангийн сурах бичиг нь хамгийн чухал бөгөөд эхний хичээл нь хамгийн хариуцлагатай байдаг, учир нь тэдгээр нь судалгаанд системтэй хичээл нэвтрүүлдэг. Анхны хичээлээс эхлээд сурах бичгийн эхний хуудсыг уншихаас эхлээд сургалтын үйл явц амжилттай болох эсэх, сурагчид тухайн хичээлийн сонирхлыг тогтвортой хөгжүүлж чадах эсэхээс хамаарна. Ямар ч оюутан геометрийн хичээлийг аль ч түвшинд сурахад саад болохгүй. Ганц саад бэрхшээл нь материалын нарийн төвөгтэй байдал биш, танилцуулгад хүндрэл биш, харин сурах бичгийн цаашдын хуудсыг унших сонирхолгүй байх явдал байж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч онолыг хамгийн эхний (харааны) түвшинд судалснаар оюутан энэ сэдвээр ямар ч асуудлыг шийдэж чадна, учир нь тэр үүнийг шийдвэрлэх хангалттай мэдлэгтэй болно.

Боловсролын материалыг эзэмших түвшинг тодорхойлоход шилжиж, багшид тэдгээртэй холбоотой материалыг хэрхэн олж болохыг хэлье.

Эхний шат нь ерөнхий боловсрол, хүмүүнлэг.Үүнд оюутан бүрийн эзэмших ёстой агуулгыг багтаасан болно. Геометрийн хувьд ийм материалыг судлах нь харааны түвшинд явагддаг тул бид эхний түвшинг визуал гэж нэрлэдэг. Үүнд олон тооны дүрслэл, теоремуудын томъёолол, тэдгээрийн утгыг зураг дээрх тайлбар, энгийн логик дүгнэлтүүд дагалддаг ойлголтын тодорхойлолтууд орно.

Хоёрдугаар түвшинд эхний түвшний материал өргөжиж байна, хэрэглээний асуудлуудыг шийдэж, геометрийн мэдлэгийг дэлхийн мэдлэгт хэрхэн ашигладаг болохыг харуулсан. Бид энэ түвшинг хэрэглээний түвшин гэж нэрлэдэг. Энэ түвшинд оюутнууд ихэнх теоремуудын баталгааг эзэмшсэн байх ёстой.

Эцэст нь, гурав дахь түвшин нь эхний түвшний материалыг мэдэгдэхүйц гүнзгийрүүлэх явдал юм.нэлээд бүрэн логик үндэслэлийг өгсөн. Энэхүү ахисан түвшний түвшинд теоремуудын хамгийн хэцүү нотлох баримтууд, онолын асуудлууд багтдаг. Гурав дахь түвшин нь бас асуудалтай байдаг.

Сургуулийн сурагчид физикчдийн нэгэн адил туршлагаар дамжуулан мэдээлэл олж авдаг харааны - практикт шингээх эхний түвшинг бид тодорхойлсон. Оюутан объектыг төсөөлж, дүрсэлж, түүнтэй холбоотой энгийн асуудлыг шийдэх ёстой. Тэр нэгэн зэрэг тодорхойлолтыг үнэн зөв хэлж чадахгүй байх нь хамаагүй. Энэ түвшинд харааны дүрслэл, тэдгээртэй зөв ажиллах чадварыг агуулсан сэдвийн талаархи харааны болон үйл ажиллагааны мэдлэг чухал юм.

Геометрийг судлахдаа оюутнуудыг тодорхой ойлголтын тодорхойлолтыг бие даан боловсруулахад урих шаардлагатай. Үүнийг хүүхдүүд дараа нь цээжлэхийн тулд хийдэггүй, харин энэ үйл явцад оролцсоноор тэд ойлголтын утгыг гүнзгийрүүлж, тодорхойлолтын бүтэц, теоремын хэд хэдэн томъёололд суралцах болно. Энэ нь холбогдох боловсролын материалыг илүү гүнзгий шингээхэд хувь нэмэр оруулна. Хүүхдийн нээлт нь суралцахад маш том хөшүүрэг болдог.

Геометрийн хичээл нь логик сэтгэлгээг заах ёстой гэж ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг. Гэсэн хэдий ч олон оюутнууд томъёолол, нотолгооны логикийг төдийлөн сайн ойлгодоггүй, тэдгээрийг албан ёсоор цээжилдэг. Энэ аюулыг даван туулах хамгийн эхний арга замуудын нэг бол сурагчийн заавал мэдэх (сурах, санах) байх ёстой томъёолол, нотлох баримтуудын тоог багасгах явдал юм. Хэрэв бид логик сэтгэлгээг сургахыг хүсч байгаа бол бэлэн үндэслэлийг механик цээжлэх биш харин үүнийг заах хэрэгтэй. Тиймээс томъёоллыг цээжээр мэддэг байх ёстой постулатууд биш харин логик сэтгэлгээг хөгжүүлэх дасгалууд шиг авч үзэх хэрэгтэй. Оюутнууд аль болох олон нотолгоог ухаангүй цээжлэхгүй, дүн шинжилгээ хийх, аль болох олон нотлох асуудлыг шийдэх нь ашигтай байдаг: хэрэв тэр өөрөө үүнийг олж мэдээд, ядаж бага ч гэсэн дүгнэлт хийвэл энэ нь оюутанд илүү тааламжтай бөгөөд ашигтай байх болно. Өөр хэн нэгний үндэслэлийг цээжлэхээс илүүтэйгээр (мэдээж сургамжтай, сэргэлэн, дэгжин зүйлийг тооцохгүй).

Геометрийн логик нь зөвхөн бие даасан томъёололд төдийгүй тэдгээрийн бүхэл бүтэн системд оршдог. Тодорхойлолт, теорем, нотолгоо бүрийн утга учрыг эцсийн дүндээ зөвхөн энэ систем тодорхойлдог. Энэ нь геометрийг бие даасан тодорхойлолт, мэдэгдлийн цуглуулга биш харин цогц онол болгодог. Тиймээс манай хамт олон оюутнуудаас тодорхой хугацаанд теоремын нэг баталгааг үнэлж дүгнэхийг шаардахгүй, харин энэхүү судалгааг нэлээд өргөн сэдвийн төгсгөлд онолын шалгалт болгон авч үзэхийг санал болгож байна. . Хүүхдүүд "теорем", "өгөгдсөн", "нотлох", "нотолгоо" гэсэн ойлголт, нэр томъёонд дасаж, утгыг нь ойлгох ёстой. Мэдээжийн хэрэг, теоремуудыг батлах ёстой. Тэдний нотолгоог ангид нэгээс олон удаа шинжлэх шаардлагатай байж магадгүй юм: урд талдаа хосоороо, өөр өөр зураг дээр. Бидний үзэж байгаагаар теоремыг батлахын өмнө түүний томъёололд дүн шинжилгээ хийсний дараа шууд асуудлыг шийдэж эхлэх нь хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц юм. Оюутнууд томъёололд дасаж, түүний утгыг ойлгох үед тэд нотолгоонд дүн шинжилгээ хийж эхэлдэг. Энэ үед оюутнууд үнэний эрэл хайгуулын амтыг тодорхой хэмжээгээр бий болгоно. Түүнийг хүндэл.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв заах нь зөвхөн геометрийн мэдлэгээр бүрэн хязгаарлагдах юм бол логик сэтгэлгээний ур чадвар, шинжлэх ухааны ертөнцийг үзэх үзлийн элементүүдийг хөгжүүлэх нь зөвхөн энэ шинжлэх ухааны хүрээнд явагдах болно. Тиймээс багш нь геометр болон бусад шинжлэх ухаан, практикийн хоорондын уялдаа холбоонд оюутнуудын анхаарлыг байнга хандуулж, үнэнийг тогтооход нотлох баримт, нарийвчлал шаардлагын бүх нийтийн (зөвхөн геометрийн хувьд биш) ач холбогдлыг харуулах ёстой. Энэ нь геометрийг шинжлэх ухаан болгон судлах хүсэл эрмэлзэл дутмаг байгаа оюутнуудад нэн чухал бөгөөд нарийн төвөгтэй, стандарт бус асуудлыг шийдвэрлэхэд дахин түлхэж, өдөөх шаардлагагүй, хүсэл эрмэлзэлтэй, сонирхолтой хүүхдүүдээс ялгаатай нь янз бүрийн шийдлүүдийг авч үзэх нь чухал юм. сонголтууд. Дадлагаас харахад оюутнууд тухайн сэдвийн түүхийн талаар багшийн түүхийг сонсох дуртай байдаг. Эхний хичээл дээр сонирхолтой, хүчирхэг сурагчдаас үзэсгэлэнтэй, сонирхолтой, хэлбэр, шийдвэрлэх аргын хувьд ер бусын асуудлыг зүгээр л шийдэхийг хүсч болно. Оюутнуудад шинэ зүйлийг нээх боломжийг олгодог асуудлууд. Хүсэл эрмэлзэлгүй оюутнуудын хувьд энэ үйл явц нь чухал бөгөөд тэд өөрсдийн гараар геометрийн дүрсийг барьж, зурахыг хүсдэг бөгөөд ялангуяа эхний хичээлүүдэд тэдний хүлээлтийг хангаж, янз бүрийн геометрийн дүрс бүхий гоёл чимэглэлийг зурахыг санал болгох шаардлагатай байдаг. эдгээр хичээлүүдийн сэтгэл хөдлөлийн эхлэлийг хангах болно. Эхний хичээл нь тааруулах сэрээ шиг бүхэл бүтэн ажлын аяыг тохируулдаг.

Би нэг зүйлийг онцолмоор байна: одоо геометрийн хичээлд заавал шалгалт өгөхгүй байгаа үед мэдлэгийн эрэл хайгуул нь хүүхдийг геометр гэх мэт үзэсгэлэнтэй, гайхалтай хэрэгтэй шинжлэх ухаанаас холдуулах ёсгүй юм болов уу? Магадгүй амьдралдаа нэг удаа амар амгалан ажилла. Дамоклийн тэмдэг, үнэлгээний сэлэм таны дээгүүр өлгөхгүйн тулд. Хичээл дээр багш, сурагч хоёр мэдлэг, чадавхаараа тэнцүү байх ёстой. ГЕОМЕТРИтэй байх.

Анхан шатны математикийн ямар асуудлыг хамгийн хэцүү гэж үздэг вэ? Магадгүй ихэнх уншигчид хариулах болно: геометр. Яагаад? Тийм ээ, учир нь алгебр, тригонометр, математик анализын эхлэлд стандарт асуудлыг шийдэх бүхэл бүтэн цуврал алгоритмууд боловсруулагдсан байдаг. Хэрэв алгоритм байгаа бол үйл ажиллагааны хөтөлбөр байдаг тул бэрхшээлүүд нь ихэвчлэн үндсэн шинж чанартай биш техникийн шинж чанартай байдаг.

Геометрийн бодлого бол өөр асуудал юм. Дүрмээр бол тэдгээрийг шийдвэрлэх алгоритм байдаггүй бөгөөд теоремуудын өргөн жагсаалтаас тухайн тохиолдолд хамгийн тохиромжтой теоремыг сонгох нь тийм ч хялбар биш юм. Тиймээс гол жор нь дидактикаас илүү гүн ухааны шинж чанартай байдаг: хэрэв та геометрийн асуудлыг хэрхэн шийдэж сурахыг хүсч байвал тэдгээрийг шийдээрэй! Гэсэн хэдий ч геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ мэдэхэд хэрэгтэй зарим ерөнхий зарчмууд байдаг. Эдгээр ерөнхий заалтуудын талаар ярихыг хүсч байна.

Геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ ихэвчлэн гурван үндсэн аргыг ашигладаг. геометрийн- шаардлагатай мэдэгдлийг хэд хэдэн алдартай теоремуудаас логик үндэслэлээр гаргаж авсан тохиолдолд; алгебтэнгэрлэг- хүссэн геометрийн хэмжигдэхүүнийг геометрийн дүрсийн элементүүдийн хоорондох янз бүрийн хамаарал дээр үндэслэн шууд эсвэл тэгшитгэл ашиглан тооцоолох үед; хосолсон- зарим үе шатанд шийдлийг геометрийн аргаар, бусад үед - алгебрийн аргаар хийдэг.

Ямар ч шийдлийн замыг сонгосон бай түүний ашиглалтын амжилт нь мэдээжийн хэрэг теоремуудын мэдлэг, тэдгээрийг хэрэгжүүлэх чадвараас хамаарна. Планиметрийн бүх теоремуудыг энд авч үзэхгүйгээр нэг талаас асуудлыг шийдвэрлэхэд идэвхтэй ашигладаг, гэхдээ нөгөө талаас туршлагаас харахад үргэлж "санах ойн эхний түвшинд байдаггүй" онолуудыг анхаарч үзье. ” оюутнуудын дунд. Та эдгээр теоремуудыг хайрлаж, тэднийг өөрийн туслах болгох хэрэгтэй, ингэснээр оюутнууд тэдэнд давуу эрх олгох болно.

Эдгээр теоремуудыг дуугарч, тодорхой бодлогуудыг ашиглан хэрхэн ажилладагийг харуулъя.

Асуудлыг шийдвэрлэхдээ дүрмээр бол үндэслэлийн үе шатуудыг бүртгэдэг. Энэ нь тохь тухтай байхын тулд, учир шалтгааны явцыг дагахад хялбар болгох үүднээс хийгддэг. Би бас тэмдэглэхийг хүсч байна: даалгаврууд нь янз бүрийн хүндрэлтэй байх болно, гэхдээ арга зүйн үүднээс багшид хамгийн хэрэгтэй байдаг.

ГУРВАЛЖИН БА ДӨРВӨГЧНҮҮД.

Гурвалжин ба дөрвөлжингийн асуудлыг шийдэхдээ дараах теоремуудад анхаарлаа хандуулцгаая.

ТЕОРЕМ 1. Харилцан перпендикуляр талуудтай өнцгийн тэгш байдал:

Хэрэв хоёулаа хурц эсвэл хоёулаа мохоо ба , дараа нь .

ТЕОРЕМ 2. Трапецын дунд шугамын шинж чанарууд:

A) трапецын дунд шугам нь трапецын суурьтай параллель байна;

B) дунд шугам нь трапецын суурийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү;

C) дунд шугам (зөвхөн энэ нь) трапецын суурийн хооронд хаагдсан аливаа сегментийг хоёр хуваана.

Эдгээр шинж чанарууд нь гурвалжны дунд шугамын хувьд ч хүчинтэй, хэрэв гурвалжинг "муухай" трапец гэж үзвэл суурийн нэг нь тэгтэй тэнцүү урттай.

ТЕОРЕМ 3. Гурвалжны медиан, биссектриса, өндрийн огтлолцох цэгүүд дээр:

A) гурвалжны гурван медиан нь нэг цэг дээр огтлолцдог (үүнийг гурвалжны хүндийн төв гэж нэрлэдэг) ба оройгоос нь тооцвол 2: 1 харьцаатай хуваагдана;

B) гурвалжны гурван биссектрис нэг цэг дээр огтлолцдог;

C) гурван өндөр нь нэг цэг дээр огтлолцдог (үүнийг гурвалжны ортоцентр гэж нэрлэдэг).

ТЕОРЕМ 4. Тэгш өнцөгт гурвалжны медианы шинж чанар:

тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенуз руу татсан медиан нь түүний хагастай тэнцүү байна.

Эсрэг теорем бас үнэн: Хэрэв гурвалжинд медиануудын аль нэг нь зурсан талын талтай тэнцүү бол энэ гурвалжин нь зөв өнцөгтэй байна.

ТЕОРЕМ 5. гурвалжны дотоод өнцгийн биссектрисын шинж чанар:

Гурвалжны дотоод өнцгийн биссектриса нь түүний зурсан талыг эсрэг талуудтай пропорциональ хэсгүүдэд хуваана.

ТЕОРЕМ 6. Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь метрийн хамаарал:

Хэрэва баб - хөл,в - гипотенуз,h нь өндөр ба хөлний гипотенуз дээрх проекцууд, тэгвэл: a) ; б) ; V); G); г)

ТЕОРЕМ 7. Гурвалжны төрлийг талуудаар нь тодорхойлох:

Болъёа,б,c нь гурвалжны талууд ба хамгийн том тал нь c; Дараа нь:

A) бол гурвалжин хурц байна;

B) бол гурвалжин тэгш өнцөгт байна;

C) бол гурвалжин мохоо байна.

ТЕОРЕМ 8. Параллелограмм дахь метрийн хамаарал:

Параллелограммын диагональуудын квадратуудын нийлбэр нь түүний бүх талуудын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Геометрийн асуудлыг шийдэхдээ ихэвчлэн хоёр сегментийн (эсвэл өнцгийн) тэгш байдлыг тогтоох шаардлагатай болдог. зааж өгье Хоёр сегментийн тэгш байдлыг геометрийн аргаар батлах гурван үндсэн арга:

1) хэрчмүүдийг хоёр гурвалжны талууд гэж үзэж, эдгээр гурвалжнууд тэнцүү гэдгийг батлах;

2) хэрчмүүдийг гурвалжны талуудаар төлөөлж, энэ гурвалжин нь ижил өнцөгт гэдгийг батлах;

3) сегментийг солих Атэнцүү сегмент https://pandia.ru/text/78/456/images/image008_12.gif" width="17" height="19 src=">болон сегментүүдийн тэгш байдлыг нотлох ба .

Даалгавар 1.Хоёр харилцан перпендикуляр шугам нь талуудыг огтолж байнаAB,МЭӨCD,МЭ квадратABCD цэгүүдЭ,F,К,Үүний дагуу L. Үүнийг нотолEK =FL (даалгаврын №1 зургийг үзнэ үү).

Шийдэл: 1. Хоёр сегментийн тэгш байдлыг хангахын тулд дээрх замуудын эхнийхийг ашиглан бид сегментүүдийг зурж, дараа нь бидний сонирхож буй сегментүүдийг зурдаг. Э.К.Тэгээд FLхоёр тэгш өнцөгт гурвалжны талууд болно EPKТэгээд FML(даалгаврын №1 зургийг үзнэ үү).

2 . Бидэнд: PK =FM(дэлгэрэнгүй мэдээлэл: PK =А.Д.AD=AB,AB =FM гэсэн үгPK =FM),(харилцан перпендикуляр талуудтай өнцгүүд, теорем 1). Энэ нь (хөл ба хурц өнцгийн дагуу) гэсэн үг юм. Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгшитгэлээс тэдгээрийн гипотенузууд, өөрөөр хэлбэл сегментүүдийн тэгш байдал үүсдэг. Э.К.Тэгээд FL. ■

Геометрийн асуудлыг шийдэхдээ ихэвчлэн нэмэлт бүтээц хийх шаардлагатай байдаг гэдгийг анхаарна уу, жишээлбэл: зураг дээрх аль нэгэнд нь параллель эсвэл перпендикуляр шулуун шугам зурах (бид 1-р даалгаврын дагуу); гурвалжныг параллелограмм болгон дуусгахын тулд гурвалжны медианыг хоёр дахин нэмэгдүүлэх (бид үүнийг 2-р бодлого дээр хийх болно), туслах биссектрис зурах. Тойрогтой холбоотой ашигтай нэмэлт барилга байгууламжууд байдаг.

Даалгавар 2.Талууд тэнцүү байнаа,б,в. c тал руу татсан медианыг тооцоол (2-р асуудлын зургийг үз).

Шийдэл: Медианыг хоёр дахин өсгөж, ACVR параллелограмм хүртэл байгуулж, теорем 8-ыг энэ параллелограммд хэрэглэцгээе: , өөрөөр хэлбэл. , бид хаанаас олдог:

Даалгавар 3.Аль ч гурвалжинд медиануудын нийлбэр нь периметрийн ¾-ээс их, харин периметрээс бага гэдгийг батал.

Шийдэл: 1. https://pandia.ru/text/78/456/images/image036_6.gif" width="131" height="41">; . Учир нь AM + MS > AC,Тэр

https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_4.gif" alt=" Гарын үсэг:" align="left" width="148" height="32">Проведя аналогичные рассуждения для треугольников АМВ и ВМС, получим:!}

https://pandia.ru/text/78/456/images/image041_3.gif" өргөн "111" өндөр "41 src="> (3)

Тэгш бус байдлыг (1), (2), (3) нэмснээр бид дараахь зүйлийг олж авна. ,

өөрөөр хэлбэл медиануудын нийлбэр нь периметрийн ¾-ээс их гэдгийг бид нотолсон.

2. Гурвалжныг параллелограмм болгож дуусгаад BD медианыг хоёр дахин нэмэгдүүлцгээе (3-р асуудлын зургийг үзнэ үү)..gif" width="80" height="24 src="> (4)

Үүний нэгэн адил: https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_4.gif" alt=" Гарчиг: 3-р даалгаврын зураг." align="left hspace=12" width="148" height="32"> (6)!}

Тэгш бус байдлыг (4), (5), (6) нэмснээр бид дараахь зүйлийг авна: https://pandia.ru/text/78/456/images/image049_2.gif" align="left" width="159" height="" 93 "> Шийдэл: DIA-г тэгш өнцөгт гурвалжин гэж үзье, https://pandia.ru/text/78/456/images/image051_2.gif" width="233" height="21"> (4-р асуудлын зургийг үзнэ үү).

1. харилцан перпендикуляр талуудтай өнцөг хэлбэрээр (https://pandia.ru/text/78/456/images/image054_2.gif" alt=" Гарын үсэг:" align="left" width="148" height="33">!} 2. (Теорем 4-ийг үзнэ үү) тул SM = MV, тэгээд эндээс бид дүгнэж байна.

3. Тэгээд (эцэст нь CD бол биссектрис) тул үүнийг батлах хэрэгтэй. ■

Даалгавар 5. Хажуу талуудтай параллелограммда Тэгээдb дотоод өнцгийн биссектрисаг зурсан (бодлого 5-ын зургийг үз). Биссектрисын огтлолцол дээр үүссэн дөрвөн өнцөгтийн диагональуудын уртыг ол.

Шийдэл: 1 ..gif" өргөн="27 өндөр=17" өндөр="17">(зураг харна уу). Учир нь параллелограмм Энэ нь ABC гурвалжинд A ба B өнцгийн нийлбэр 900, K өнцөг 900, өөрөөр хэлбэл AE ба BP биссектриса нь харилцан перпендикуляр байна гэсэн үг юм.

Үүний нэгэн адил, AE ба DQ, BP ба CF, CF ба DQ биссектриссуудын харилцан перпендикуляр байдал батлагдсан.

ГАРЦ: KLMN нь тэгш өнцөгт дөрвөлжин, өөрөөр хэлбэл тэгш өнцөгт юм. Тэгш өнцөгт нь ижил диагональтай тул тэдгээрийн аль нэгнийх нь уртыг олоход хангалттай, жишээ нь KM.

2. Түүнд АК - биссектрис ба өндөр хоёулаа байгаа гэж үзье. Энэ нь нэгдүгээрт, ABP гурвалжин нь тэгш өнцөгт, өөрөөр хэлбэл AB = AP = гэсэн үг юм. б, хоёрдугаарт, AK сегмент нь нэгэн зэрэг ABP гурвалжны медиан, өөрөөр хэлбэл K нь BP биссектрисын дунд цэг юм.

M нь DQ биссектрисын дунд цэг гэдгийг ижил төстэй байдлаар нотолсон.

3. KM сегментийг авч үзье. Энэ нь BP ба DQ сегментүүдийг хуваадаг. Гэхдээ параллелограммын дунд шугам (параллелограмм бол трапецын онцгой тохиолдол гэдгийг анхаарна уу; хэрэв бид трапецын дунд шугамын тухай ярьж чадвал ижил төстэй параллелограммын дунд шугамын талаар ч мөн адил сайн ярьж болно. шинж чанарууд) нь K ба M цэгүүдээр дамждаг (теорем 2-ыг үз). Энэ нь KM нь дунд шугамын сегмент бөгөөд тиймээс .

4. ба , тэгвэл KMDP нь параллелограмм, тиймээс

Хариулт: ■

Үнэн хэрэгтээ, асуудлыг шийдвэрлэх явцад (1 ба 2-р үе шатанд) бид маш чухал шинж чанарыг нотолсон: трапецын хажуугийн хажуугийн өнцгийн биссектрис нь трапецын дунд шугам дээр байрлах цэг дээр зөв өнцгөөр огтлолцдог. трапец.

Геометрийн бодлогод тэгшитгэл зохиох гол арга бол гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй арга туслах элемент,Энэ нь дараах байдалтай байна: ижил элемент (хажуу, өнцөг, талбай, радиус гэх мэт) нь мэдэгдэж байгаа болон үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнээр дамжуулан хоёр өөр аргаар илэрхийлэгдэж, үр дүнгийн илэрхийлэл нь тэнцүү байна.

Ихэнх тохиолдолд лавлагааны элемент болгон бүсийг сонгодог тоонууд. Дараа нь бид ашигладаг тэгшитгэлээ байгуулах гэж хэлдэг талбайн арга.

Сургуулийн хүүхдүүдэд үндсэн асуудлыг, тухайлбал техникийн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэхийг заах шаардлагатай байна. Эдгээр нь бусад олон даалгаврын бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд багтсан болно. Жишээлбэл, гурвалжны үндсэн элементүүдийг олох асуудлууд: медиан, өндөр, биссектрис, бичээстэй ба хүрээлэгдсэн тойргийн радиус, талбай.

Даалгавар 6. ABC гурвалжинд AB ба BC талууд тэнцүү, BH нь өндөр юм. МЭӨ тал дээр цэг авдагD тэгэхээр (6-р асуудлын зургийг үзнэ үү). Хэсэг нь ямар харьцаатай байнаAD VN-ийн өндрийг хуваадаг уу?

Шийдэл: 1. BD = гэж үзье а,дараа нь CD = 4 а, AB = 5а.

2. Хэсэг зуръя (бодлого 6-ын зургийг үз) NK нь ACD гурвалжны дунд шугам учраас DK = KC = 2 а .

3. VNK гурвалжинг авч үзье. Бидэнд: BD = а,

DK = 2аболон https://pandia.ru/text/78/456/images/image080_2.gif" width="84" height="41"> гэхдээ Энэ нь ■ гэсэн үг

Хэрэв асуудал нь зарим эсвэл тоо хэмжээний харьцааг олох шаардлагатай бол дүрмээр бол асуудал шийдэгдэнэ. туслах параметрийн аргыг ашиглан.Энэ нь асуудлыг шийдэхийн эхэнд бид тодорхой шугаман хэмжигдэхүүнийг мэдэгдэж, жишээлбэл үсгээр тэмдэглэдэг гэсэн үг юм. А, дараа нь дамжуулан илэрхийлэх Ахарьцааг нь олох шаардлагатай тэдгээр хэмжигдэхүүнүүд. Шаардлагатай хамаарлыг эмхэтгэх үед туслах параметр Ахумигдаж байна. Асуудалд яг ийм байдлаар хандсан . Бидний зөвлөгөө: хэмжигдэхүүнүүдийн харьцааг олох шаардлагатай асуудлуудыг шийдвэрлэхдээ (ялангуяа өнцгийг тодорхойлох асуудалд - эцсийн эцэст, дүрмээр бол өнцгийг тооцоолохдоо бид түүний тригонометрийн функцийг олох тухай ярьж байна, өөрөөр хэлбэл харьцаа. тэгш өнцөгт гурвалжны талууд), оюутнуудад заах ёстой Шийдлийн эхний шат нь туслах параметрийг нэвтрүүлэх явдал юм. Туслах параметрийн аргыг геометрийн дүрсийг ижил төстэй байдлаар тодорхойлсон асуудалд мөн ашигладаг.

Даалгавар 7. Тэгш өнцөгтийг 10, 17, 21 см-тэй тэнцүү талуудтай гурвалжинд бичээд түүний хоёр орой нь гурвалжны нэг талд, нөгөө хоёр орой нь гурвалжны нөгөө хоёр талд байна. Тэгш өнцөгтийн периметр нь 22.5 см гэдгийг мэддэг бол талуудыг ол.

Шийдэл. 1. Юуны өмнө гурвалжны төрлийг тодорхойлъё. Бидэнд: 102 = 100; 172 = 289; 212 = 441. 212 > 102 + 172 тул гурвалжин нь мохоо байна (Теорем 7-г үзнэ үү), энэ нь тэгш өнцөгтийг зөвхөн нэг аргаар: хоёр оройг нь ABC гурвалжны том талд байрлуулах замаар дүрсэлж болно гэсэн үг юм. Бодлого 7-ын зургийг үзнэ үү), энд AC = 21 см, AB = 10 см, ВС = 17 см.

2. ABC гурвалжны ВН өндрийг ол. BH = 8 см.

3. Тавьцгаая ED =x. Дараа нь EF = 11.25 -x(тэгш өнцөгтийн периметрээс хойш DEFK 22.5 см-тэй тэнцүү), АД = 8 - x. BEF ба ABC гурвалжин нь ижил төстэй бөгөөд энэ нь (ижил төстэй гурвалжинд харгалзах өндрийн харьцаа нь ижил төстэй байдлын коэффициенттэй тэнцүү байна) гэсэн үг юм. Эндээс бид x = 6-г олдог.

Хариулт: 6 см, 5.25 см

Асуудлыг шийдэхдээ бид ижил төстэй гурвалжинд зөвхөн талууд төдийгүй харгалзах өндөр нь пропорциональ байна гэсэн мэдэгдлийг ашигласан. Илүү ерөнхий хүчин зүйл бол дараах зүйл бөгөөд энэ нь ерөнхийдөө ижил төстэй байдлын теорем юм.

Хэрэв хоёр гурвалжин ижил төстэй бол нэг гурвалжны дурын шугамын элемент (эсвэл шугамын элементүүдийн нийлбэр) нь нөгөө гурвалжны харгалзах шугамын элементтэй (эсвэл харгалзах шугамын элементүүдийн нийлбэр) харгалзах талуудтай холбоотой байна.

Ялангуяа ижил төстэй хоёр гурвалжны тойргийн радиус, периметр, харгалзах өндөр, медиан, биссектрисс нь харгалзах талуудтай холбоотой байдаг.

Даалгавар 8.ABC гурвалжинд А өнцөг нь С өнцгөөс 2 дахин том, ВС тал нь AB талаас 2 см том, АС = 5 см, AB ба ВС-ийг ол.

Шийдэл. 1. A өнцгийн AD биссектрисийг зуръя..gif" alt=" Гарын үсэг:" align="left" width="148" height="33">!} 3. Эдгээр гурвалжны B өнцөг нь нийтлэг байдаг тул ABC ба ABC гурвалжнууд ижил төстэй. Гурвалжны ижил төстэй байдлаас бид үүнийг дүгнэж байна өөрөөр хэлбэл

4. олох XТэгээд цагтХоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системийг олж авна. хаана

Эхнийхээс хоёр дахь тэгшитгэлийг хасаад бид 5y - 10 = 2y, өөрөөр хэлбэл y = болно. Энэ нь i.e.x=4 гэсэн үг.

Хариулт: AB = 4 см; BC = 6 см

Ихэнх тохиолдолд ижил төстэй гурвалжинд харгалзах талуудын харилцааг энгийн бус тохиолдолд зохиохдоо (6 ба 7-р асуудалд ижил төстэй байдлын өчүүхэн тохиолдлууд байсан - гурвалжныг хоёр талын аль нэгтэй нь параллель шулуун шугамаар таслав) , асуудлыг шийдэж байгаа хүмүүс. Тэд зөвхөн техникийн алдаа гаргадаг: гурвалжны дарааллыг (аль нь эхний, аль нь хоёрдугаарт байна) андуурч, эсвэл хос талуудыг тохирох талуудаар сонгож чадаагүй. Бидний зөвлөгөө: Хэрэв ABC ба DEF гурвалжнуудын ижил төстэй байдал тогтоогдвол бид дараах байдлаар ажиллахыг зөвлөж байна: нэг гурвалжны талуудыг тоологч руу "хуулах", жишээлбэл: Ижил төстэй гурвалжны харгалзах талууд нь ижил өнцгүүдийн эсрэг байрладаг талууд гэдгийг харгалзан харгалзах талуудын хамгийн энгийн хосыг ол; хэрэв эдгээр нь AB ба DE, BC ба DF байвал бичнэ үү: https://pandia.ru/text/78/456/images/image100_1.gif" align="left" width="121" height="96 src=" ">б) Ингэснээр та ойролцоогоор багтах боломжтой.тойргийн хувьд түүний эсрэг талуудын уртын нийлбэр тэнцүү байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

ТЕОРЕМ 5.Тойрог дахь хэмжүүрийн харьцаа:

https://pandia.ru/text/78/456/images/image103_2.gif" alt=" Гарын үсэг: Зураг 2" align="left" width="76" height="29">!}

https://pandia.ru/text/78/456/images/image105_2.gif" alt=" Гарын үсэг: Зураг 3" align="left" width="76" height="28">!}

https://pandia.ru/text/78/456/images/image107_1.gif" width="13 height=19" height="19">, гипотенуз - c (зураг харна уу). Радиусыг тооцоол. бичээстэй тойргийн r.

Шийдэл. 1. Бичсэн тойргийн О төвөөс гурвалжны талуудтай шүргэх цэгүүд рүү радиус зурна; тэдгээр нь харгалзах талуудтай перпендикуляр байгааг харгалзан (Теорем 1, а-г үзнэ үү), дараа нь теорем 1, b-ийг ашиглан бид тэнцүү сегментүүдийн хосыг тэмдэглэнэ. CD= SE, AE= AF,BD =Б.Ф.(зураг харна уу).

2. Учир нь EODC-дөрвөлжин (булангууд Э,D, C -шулуун ба ЕХ= CD), дараа нь OE =О.Д.= CD = CE= r. Дараа нь Б.Д= А -r, AE =б -rТэгээд , тус тус BF=BD = a– r,AF =AE =б-r.

3. Түүнээс хойш AB= AF+ФБ, Тэр c = (б -r) + (a -r), хаанаас .■

Хэрэв асуудал нь гурвалжин (эсвэл дөрвөлжин) дотор бичээстэй тойрогтой холбоотой бол тойргийн талуудтай харьцах цэгүүдэд радиусууд нь харгалзах перпендикуляр байх болно гэдгийг харгалзан бараг үргэлж радиус зурахыг зөвлөж байна. талууд, нэн даруй зураг дээр тэнцүү сегментүүдийн хосыг тэмдэглэнэ (өгөгдсөн цэгээс тойрог руу татсан хоёр шүргэгчийн хувьд). Дээрх асуудлыг шийдэхдээ бид ийм зүйл хийсэн.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image110_1.gif" width="43" height="44"> томьёонд анхаарлаа хандуулъя, S нь талбай, r- гурвалжны хагас периметр.

Радиусын тухайд Ргурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог, дараа нь тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд (гипотенуз нь тэгш өнцөгт гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн диаметр), тэгш бус гурвалжны хувьд томъёог ихэвчлэн https://pandia.ru/text/78 ашигладаг. /456/images/image114_1.gif" өргөн "59" өндөр "41 src=">.

Асуудал 10. Тэгш өнцөгт дугуй секторыг өгсөн.Салбарын нумын төгсгөлд ижил радиустай тойрог зурсан бөгөөд энэ нь салбарыг хоёр муруй гурвалжинд хуваадаг. Эдгээр гурвалжны жижиг хэсэгт тойрог бичээстэй байна (зураг харна уу). Бичсэн тойрог ба секторын радиусуудын харьцааг ол.

Шийдэл. 1. Тойргийн дотоод болон гадаад шүргэгч эсвэл тойрог ба шулуун шугамын шүргэлтийн тухайд ихэвчлэн хийдэг шаардлагатай нэмэлт байгууламжуудыг хийцгээе. O2O3- төвүүдийн шугам; IN- холбоо барих цэг; O1O3- төвүүдийн шугам; А- холбоо барих цэг; O3C O1C; ХАМТ- холбоо барих цэг (зураг харна уу).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image119_1.gif" width="43" height="41">. Тэгэхээр, .

Хариулт: . ■

Ашигтай нэмэлт байгууламжийн талаар өөр хоёр нэмэлтийг өгье: 1) хэрэв хоёр тойрог (дотоод эсвэл гадна талд) хүрч байвал төвүүдийн шугам, өөрөөр хэлбэл шүргэгч тойргийн төвүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугам зурах шаардлагатай. холбоо барих цэг нь төвүүдийн шугам дээр байрладаг гэдгийг анхаарч үзэх (энэ нь дээрх асуудлыг шийдвэрлэхэд бидний хийсэн зүйл бөгөөд энэ нь амжилтанд хүрэх түлхүүр байсан); 2) заримдаа "алсын" гэж нэрлэгддэг зураг зурах нь ашигтай байдаг (нэмэлт барилга байгууламжийн хувьд), жишээлбэл, тусгай судалгаанд зориулж одоо байгаа нэлээд төвөгтэй зургийн хэсгийг тусад нь гаргаж авдаг (жишээлбэл, асуудлыг шийдвэрлэхдээ бид гаргаж авсан). ∆ агуулсан тусдаа фрагмент O1O2O3– зургийг үзнэ үү).

Асуудал 11. Тойргийн радиусR нь хоёр зэргэлдээх оройг дайран өнгөрдөг А баD квадрат (зураг харна уу). Квадратын гурав дахь В оройгоос зурсан тойрогтой BM шүргэгч хэрчм нь сүүлчийн талаас хоёр дахин их байна. Талбайн талыг ол.

Шийдэл. Тэмдэглэгээг танилцуулъя VA= x, VM = 2x.Сегментийг үргэлжлүүлье VAцэг дээр тойрогтой огтлолцох хүртэл TO.Дараа нь VK ∙ VA = VM2(Теорем 5, в-г үзнэ үү), i.e. VK ∙ x= 4х2,бид хаанаас олдог: VK= 4x- гэсэн үг, АК= Zx.Дараа нь, KAD = = 90° гэсэн үг КД- тойргийн диаметр. Тэгш өнцөгт гурвалжнаас ADKБид олдог: AD2+ AK2= KD2,өөрөөр хэлбэл x2+9x2= 4Р 2, хаанаас X= https://pandia.ru/text/78/456/images/image125_0.gif" өргөн "45" өндөр "45 src=">. ■

Ортотөв, өөрөөр хэлбэл гурвалжны өндрийн огтлолцлын цэг нь хэд хэдэн сонирхолтой шинж чанартай байдаг: хурц өнцөгт гурвалжны ортот төв нь гурвалжинд сийлсэн тойргийн төвтэй давхцаж, оройнууд нь суурь болдог. өгөгдсөн гурвалжны өндрийн хэмжээ; тэгш бус ABC гурвалжинд orthocenter-ээс В орой хүртэлх зай нь гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төвөөс АС тал хүртэлх зайгаас хоёр дахин их байна. Бид Эйлерийн шулуун шугамын тухай ойлголтыг нэвтрүүлэхийн тулд сүүлчийн шинж чанарыг ашигладаг. Харааны шалтгааны улмаас бид өөрсдийгөө хурц өнцөгт гурвалжингаар хязгаарлах болно.

За тэгье Н– ортоцентр, O – тойргийн төв, О.Д. АС,ОД║BH,МЭ= DC(зураг харна уу).

Медианыг зуръя Б.Дба сегмент ТЭР.Гурвалжин VNMТэгээд MODижил төстэй, энэ нь https://pandia.ru/text/78/456/images/image128_0.gif" width="56" height="41 src=">.gif" width="17" height="16 src" гэсэн утгатай. =">C = 90°, тэгвэл Эйлерийн шулуун шугам нь зөв өнцгийн C орой ба дунд хэсгийг дайран өнгөрөх шулуун байна. ТУХАЙгипотенуз AB,өөрөөр хэлбэл медиан.

Планиметрийн бодлого шийдвэрлэх тухай яриагаа үргэлжлүүлье. Онгоцны дүрсийн талбайн тухай ойлголттой холбоотой асуудлыг шийдэх рүү шилжье.

Өмнөх тохиолдлуудын нэгэн адил "ажлын" теоремуудыг тодорхойлж эхэлцгээе. Талбайг тооцоолох ийм хоёр теорем байдаг.

ТЕОРЕМ 1. Ижил төстэй дүрсүүдийн талбайн харьцаа нь ижил төстэй байдлын коэффициентийн квадраттай тэнцүү байна.

ТЕОРЕМ 2. A) Хэрэв хоёр гурвалжин тэнцүү болсуурь, дараа нь тэдгээрийн талбай нь тэдний өндөртэй холбоотой байдаг.

б) Хэрэв хоёр гурвалжин ижил өндөртэй бол тэдгээрийнталбайнуудыг суурь болгон авч үздэг.

Мэдээжийн хэрэг, хавтгай дүрсүүдийн талбайг тооцоолох үндсэн томъёог өгөх нь зүйтэй юм.

1. Гурвалжны талбайн томъёо:

a) https://pandia.ru/text/78/456/images/image131_0.gif" width="84" height="41 src=">; c) ;

d) S = rr,Хаана r=; Р- хүрээлэгдсэн тойргийн радиус; r- бичээстэй тойргийн радиус;

д) S = https://pandia.ru/text/78/456/images/image136_0.gif" align="left hspace=12" width="159" height="139"> a) С= А.С.∙ BDsin;

Өгөгдсөн өнцөг нь хоёулаа хурц, эсвэл хоёулаа мохоо, аль нэг нь хурц, нөгөө нь мохоо байх тохиолдолд харгалзах параллель талуудтай өнцгийн шинж чанарын тухай теоремыг авч үзэх хэрэгтэй.

Теорем нь янз бүрийн дүрс, ялангуяа дөрвөлжингийн шинж чанарыг судлахад өргөн хэрэглэгддэг.

Харгалзах зэрэгцээ талуудтай өнцгийн талууд нь ижил эсвэл эсрэг чиглэлтэй байж болно гэсэн заалт нь заримдаа теоремыг боловсруулахад олддог бөгөөд шаардлагагүй гэж үздэг. Хэрэв бид "чиглэл" гэсэн нэр томъёог ашиглавал энэ үгээр юуг ойлгох ёстойг тодруулах шаардлагатай болно. Хэрэв хоёулаа хурц эсвэл хоёулаа мохоо байвал тохирох параллель талуудтай өнцөг нь тэнцүү, харин нэг өнцөг нь мохоо, нөгөө нь хурц байвал тэдгээрийн нийлбэр нь 2d болно гэдгийг оюутнуудын анхаарлыг татахад хангалттай.

Харгалзах перпендикуляр талуудтай өнцгийн тухай теоремыг параллель талуудтай өнцгийн шинж чанарын тухай теоремын дараа шууд өгч болно. Оюутнуудад параллель ба перпендикуляр талуудтай өнцгийн шинж чанарыг төхөөрөмж болон машины эд ангиудад ашиглах жишээг өгсөн болно.

Гурвалжны өнцгийн нийлбэр

Гурвалжны өнцгийн нийлбэрээр теорем гаргахдаа харааны хэрэглүүр ашиглаж болно. ABC гурвалжинг хайчилж, булангуудыг нь дугаарлаж, дараа нь тайрч, бие биендээ хэрэглэнэ. l+2+3=2d болж байна. ABC гурвалжны С оройноос CD өндрийг зурж, гурвалжинг нугалж, өндрийг нь хагасаар хуваана, өөрөөр хэлбэл. С орой нь өндрийн суурь болох D цэг хүртэл унасан. Гулзайлтын шугам MN нь ABC гурвалжны дунд шугам юм. Дараа нь AMD ба DNB тэгш өнцөгт гурвалжнууд өндрийнхөө дагуу нугалж, A ба B оройнууд нь D цэгтэй давхцаж, l+2+3=2d байна.

Геометрийн системчилсэн сургалтанд харааны хэрэгслийг ашиглах нь саналын логик нотолгоог туршилтын баталгаажуулалтаар солих зорилгогүй гэдгийг санах нь зүйтэй. Харааны хэрэглүүр нь зөвхөн оюутнуудад энэ эсвэл өөр геометрийн баримт, энэ эсвэл өөр геометрийн дүрсийн шинж чанар, түүний бие даасан элементүүдийн харьцангуй байршлын талаархи ойлголтыг хөнгөвчлөх ёстой. Гурвалжны өнцгийн хэмжээг тодорхойлохдоо оюутнууд гурвалжны гаднах өнцгийн тухай өмнө нь авч үзсэн теоремыг сануулж, гурвалжны өнцгийн нийлбэрийн тухай теорем нь барилгын болон тооцооллын аль алиныг нь тодорхойлох боломжийг олгодог болохыг зааж өгөх хэрэгтэй. тэдгээрт зэргэлдээгүй гадаад ба дотоод өнцгүүдийн хооронд тоон холбоо тогтоох.

Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэрийн тухай теоремын үр дүнд тэгш өнцөгт гурвалжинд 30 градусын өнцгийн эсрэг талын хөл нь гипотенузын хагастай тэнцүү болох нь батлагдсан.

Материалыг танилцуулж байх үед оюутнуудад шинэ материалыг илүү сайн ойлгоход нь туслахын тулд асуултууд болон энгийн даалгавруудыг өгөх ёстой. Жишээлбэл, аль шугамыг параллель гэж нэрлэдэг вэ?

Хөндлөн огтлолын аль байрлалд хоёр зэрэгцээ шугамаас үүссэн бүх өнцөг нь тэнцүү байх вэ?

Суурьтай параллель гурвалжинд зурсан шулуун шугам нь түүнээс жижиг гурвалжинг таслав. Таслагдсан гурвалжин ба өгөгдсөн гурвалжин хоорондоо тохирч байгааг батал.

Хэрэв аль нэг өнцөг нь 72 градус байна гэж мэдэгдэж байгаа бол хоёр параллель ба хөндлөн огтлолтой бүх өнцгийг тооцоол.

Дотоод нэг талт өнцөг нь 540 ба 1230-тай тэнцүү байна. Шулуунуудын аль нэгийг хөндлөн огтлолцох цэгийг тойрон хэдэн градусаар эргүүлэх нь шугамууд параллель байх ёстой вэ?

Дараахын биссектриса нь: а) хоёр зэрэгцээ шулуун ба хөндлөн шугамаас үүссэн хоёр тэнцүү боловч эсрэг талын өнцөг нь параллель, б) ижил шулуун ба хөндлөн хоёр тэгш бус өнцөг перпендикуляр болохыг батал.

AB ба CD хоёр параллель шулуун ба эдгээр шулуунуудыг K ба L цэгээр огтолж буй EF зүсэлт өгөгдсөн. AKL ба BKL өнцгүүдийн KM ба KN татсан биссектриса CD шулуун дээрх MN хэрчмийг таслав. Зэрэгцээ хэсгүүдийн хооронд хаагдсан KL таслагч сегмент нь a-тай тэнцүү бол MN уртыг ол.

А) дурын хоёр өнцгийн нийлбэр d-ээс их, б) хоёр өнцгийн нийлбэр d-тэй тэнцүү, в) хоёр өнцгийн нийлбэр d-ээс бага байх гурвалжны төрөл юу вэ? Хариулт: a) хурц өнцөгт, б) тэгш өнцөгт, в) мохоо өнцөгт. Гурвалжны гадна өнцгүүдийн нийлбэр нь дотоод өнцгүүдийн нийлбэрээс хэд дахин их вэ? Хариулт: 2 удаа.

Гурвалжны бүх гадаад өнцөг нь: а) хурц, б) мохоо, в) шулуун байж болох уу? Хариулт: а) үгүй, б) тийм, в) үгүй.

Аль гурвалжны гаднах өнцөг бүр нь дотоод өнцөг бүрээсээ хоёр дахин том хэмжээтэй байна вэ? Хариулт: тэгш талт.

Зэрэгцээ шугамын техникийг судлахдаа параллель шугамын тухай ойлголтыг бүрэн илэрхийлэхийн тулд түүх, онол, арга зүйн ном зохиолыг ашиглах шаардлагатай.

53.Гурвалжны өнцөг (дотоод өнцөг).Гурван өнцөг гэж нэрлэгддэг бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь гурвалжны оройгоос гарч, нөгөө хоёр оройг дайран өнгөрөх гурван туяанаас үүсдэг.

54. Гурвалжны өнцгийн нийлбэр теорем. Гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь 180° байна.

55. Гадаад булангурвалжны өнцөг нь энэ гурвалжны зарим өнцөгтэй зэргэлдээх өнцөг юм.

56. Гадаад булангурвалжны хэмжээ нь гурвалжны зэргэлдээх хоёр өнцгийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

57. Хэрэв бүх гурван булангурвалжин халуун ногоотой, дараа нь гурвалжинг дуудна хурц өнцөгт.

58. Хэрэв булангуудын нэггурвалжин мохоо, дараа нь гурвалжинг дуудна мохоо өнцөгт.

59. Хэрэв булангуудын нэггурвалжин шууд, дараа нь гурвалжинг дуудна тэгш өнцөгт.

60. Тэгш өнцөгтийн эсрэг байрлах тэгш өнцөгт гурвалжны талыг гэнэ гипотенуз(Грек үг gyipotenusa - "гэрээлэх"), хоёр тал нь зөв өнцөг үүсгэдэг - хөл(Латин үг katetos - "plumb") .

61. Гурвалжны талууд ба өнцгийн хоорондын хамаарлын тухай теорем. Гурвалжинд том өнцөг нь том талын эсрэг байна,мөн буцаж, Том тал нь том өнцгийн эсрэг талд байрладаг.

62. Тэгш өнцөгт гурвалжинд Гипотенуз нь хөлөөс урт байдаг.

учир нь Том тал нь үргэлж том өнцгийн эсрэг байрладаг.

Хоёр талт гурвалжны шинж тэмдэг.

Хэрэв гурвалжинд байвал хоёр өнцөг тэнцүү байна, дараа нь энэ нь тэгш өнцөгт байна;

Хэрэв гурвалжинд байвал биссектриса нь медиан буюу өндөр юм,
тэгвэл энэ гурвалжин нь тэгш өнцөгт байна;

Хэрэв гурвалжинд байвал медиан нь биссектрис буюу өндөр юм, Тэр

энэ гурвалжин нь тэгш өнцөгт юм;

Хэрэв гурвалжинд байвал өндөр нь медиан эсвэл биссектрис юм,

тэгвэл энэ гурвалжин нь тэгш өнцөгт байна.

64. Теорем. Гурвалжингийн тэгш бус байдал. Гурвалжны тал бүрийн урт нь нөгөө хоёр талын уртын зөрүүгээс их, нийлбэрээс бага байна:

Тэгш өнцөгт гурвалжны өнцгийн шинж чанарууд.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр хурц өнцгийн нийлбэр нь 90° байна.