Тоон шулуун дээрх тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх. Бутархай рационал тэгш бус байдал

Чухал тэмдэглэл!
1. Хэрэв та томьёоны оронд gobbledygook-г харвал кэшээ цэвэрлэ. Үүнийг хөтөч дээрээ хэрхэн хийх талаар энд бичсэн болно:
2. Өгүүллийг уншиж эхлэхээсээ өмнө манай хөтөчөөс хамгийн хэрэгцээтэй эх сурвалжийг олж мэдэхийг анхаарна уу

Та зүгээр л энэ аргыг ойлгож, гарын арван хуруу шигээ мэдэх хэрэгтэй! Хэрэв энэ нь оновчтой тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хэрэглэгддэг бөгөөд энэ аргыг зөв мэддэг учраас эдгээр тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь гайхалтай хялбар байдаг. Хэсэг хугацааны дараа би эдгээр тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд цаг хугацаа хэмнэх хэд хэдэн нууцыг хэлье. За, та сонирхож байна уу? Тэгээд явцгаая!

Аргын мөн чанар нь тэгш бус байдлыг хүчин зүйл болгон хувиргах (сэдвийг давтах), ODZ болон хүчин зүйлийн тэмдгийг тодорхойлох явдал юм. Хамгийн энгийн жишээг авч үзье: .

Хувьсагчаар хуваагдахгүй, энд ажиглагдсан радикалууд (үндэс) байхгүй тул хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын мужийг () бичих шаардлагагүй. Энд байгаа бүх зүйл аль хэдийн бидний хувьд хүчин зүйлээр тодорхойлогддог. Гэхдээ тайвширч болохгүй, энэ бүхэн танд үндсийг сануулж, мөн чанарыг ойлгохын тулд юм!

Та интервалын аргыг мэдэхгүй гэж бодъё, та энэ тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдэх вэ? Логикоор хандаж, аль хэдийн мэддэг зүйл дээрээ тулгуурла. Нэгдүгээрт, хэрэв хаалтанд байгаа илэрхийлэл хоёулаа тэгээс их эсвэл тэгээс бага байвал зүүн тал нь тэгээс их байх болно, учир нь "нэмэх"-ийн "нэмэх" нь "нэмэх", "хасах"-д "хасах" нь "нэмэх" гэсэн үг юм, тийм үү? Хэрэв хаалтанд байгаа илэрхийллийн тэмдгүүд өөр байвал эцэст нь зүүн тал нь тэгээс бага байх болно. Хаалтанд байгаа илэрхийлэл сөрөг эсвэл эерэг байх утгыг олж мэдэхийн тулд бид юу хэрэгтэй вэ?

Бид тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй, энэ нь тэгш бус байдалтай яг адилхан, зөвхөн тэмдгийн оронд тэмдэг байх болно, энэ тэгшитгэлийн үндэс нь эдгээр хилийн утгыг тодорхойлох боломжийг бидэнд олгоно, үүнээс гарах хүчин зүйлүүд нь илүү их байх болно. эсвэл тэгээс бага.

Тэгээд одоо интервалууд өөрсдөө. Интервал гэж юу вэ? Энэ бол тооны шугамын тодорхой интервал, өөрөөр хэлбэл хоёр тооны хооронд агуулагдах боломжтой бүх тоонууд - интервалын төгсгөлүүд юм. Эдгээр интервалуудыг толгойдоо төсөөлөх нь тийм ч амар биш, тиймээс интервал зурах нь нийтлэг байдаг, би танд одоо заах болно.

Бид тэнхлэгийг зурж, түүн дээр байрладаг. Функцийн тэг гэж нэрлэгддэг тэнхлэг дээр цэгүүдийг зурсан бөгөөд илэрхийлэл нь тэгтэй тэнцэх утгууд юм. Эдгээр цэгүүдийг "заасан" бөгөөд энэ нь тэгш бус байдал үнэн байх утгуудын тоонд ороогүй гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд тэд цоорсон байна, учир нь тэгш бус байдалд тэмдэг тавих ба биш, өөрөөр хэлбэл хатуу их, түүнээс их эсвэл тэнцүү биш.

Би тэгийг тэмдэглэх шаардлагагүй, энд тойроггүй, зөвхөн тэнхлэгийн дагуу ойлголт, чиг баримжаа олгоход зориулагдсан гэдгийг хэлмээр байна. За, бид тэнхлэгээ зурж, цэгүүдийг (илүү нарийвчлалтай, тойрог) тавь, дараа нь яах вэ, энэ нь надад шийдвэрлэхэд хэрхэн туслах вэ? - чи асууж байна. Одоо зөвхөн х-ийн утгыг дарааллаар нь авч, тэгш бус байдалдаа орлуулж, үржүүлгийн үр дүнд ямар тэмдэг гарч байгааг хараарай.

Товчхондоо, бид жишээ нь аваад энд орлуул, энэ нь ажиллах болно, энэ нь тэгш бус байдал нь бидний авсан бүх интервалд (бүхэл бүтэн интервалд) хүчинтэй байх болно гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл x нь -ээс хүртэл байвал тэгш бус байдал нь үнэн болно.

Бид хооронд нь ижил зүйлийг хийдэг, жишээлбэл, орлуулах, тэмдгийг тодорхойлох, тэмдэг нь "хасах" болно. Тэмдэг нь "нэмэх" болж хувирах сүүлчийн, гурав дахь завсарлагатай ижил зүйлийг хийдэг. Маш олон текст байгаа ч тодорхой бус байна, тийм үү?

Тэгш бус байдлыг дахин нэг хар.

Одоо бид үр дүнд нь олж авах тэмдгүүдийг ижил тэнхлэгт хэрэглэнэ. Миний жишээн дээр тасархай шугам нь тэнхлэгийн эерэг ба сөрөг хэсгүүдийг илэрхийлдэг.

Тэгш бус байдлыг хараарай - зураг дээр, дахин тэгш бус байдал дээр - дахин зураг дээр, тодорхой зүйл байна уу? Одоо ямар X интервал дээр тэгш бус байдал үнэн болохыг хэлэхийг оролдоорой. Зөв, -ээс эхлэн тэгш бус байдал хүртэл үнэн байх болно, гэхдээ тэгш бус байдал хүртэлх завсар нь тэг бөгөөд энэ интервал нь бидэнд тийм ч сонирхолтой биш юм, учир нь бид тэгш бус байдалд тэмдэгтэй байдаг.

За, одоо та үүнийг ойлгосон тул хариултаа бичих л үлдлээ! Үүний хариуд бид зүүн тал нь тэгээс их байх интервалуудыг бичдэг бөгөөд энэ нь X нь хасах хязгаараас хасах нэг хүртэлх, хоёроос нэмэх хязгааргүй хүртэлх интервалд хамаарна гэж уншина. Хаалт нь интервалыг хязгаарлах утгууд нь тэгш бус байдлын шийдэл биш, өөрөөр хэлбэл хариултанд тусгагдаагүй, зөвхөн жишээ нь: шийдэл.

Одоо та зөвхөн интервал зурах шаардлагагүй жишээ:

Тэнхлэг дээр цэг тавихаас өмнө юу хийх хэрэгтэй гэж та бодож байна вэ? Тиймээ, үүнийг хүчин зүйлд тооцоорой:

Бид интервал зурж, тэмдэг байрлуулж, цоорсон цэгүүд байгааг анхаарна уу, учир нь тэмдэг нь тэгээс бага байна.

Энэ сэдвийн эхэнд амлаж байсан нэг нууцаа танд хэлэх цаг боллоо! Тэмдгийг тодорхойлохын тулд интервал бүрийн утгыг орлуулах шаардлагагүй, гэхдээ та интервалуудын аль нэг дэх тэмдгийг тодорхойлж, бусад хэсэгт тэмдэгтүүдийг сольж болно гэж хэлвэл яах вэ!

Тиймээс бид тэмдэг тавихад бага зэрэг цаг хэмнэсэн - Улсын нэгдсэн шалгалтанд олсон цаг хугацаа нь хохирол учруулахгүй гэж бодож байна!

Бид хариултыг бичнэ:

Одоо бутархай-рационал тэгш бус байдлын жишээг авч үзье - тэгш бус байдал, тэдгээрийн аль аль нь оновчтой илэрхийлэл (харна уу).

Энэ тэгш бус байдлын талаар та юу хэлж чадах вэ? Та үүнийг бутархай-рационал тэгшитгэл гэж харвал бид эхлээд юу хийх вэ? Үндэс байхгүй гэдгийг бид шууд олж харлаа, энэ нь мэдээж оновчтой гэсэн үг, гэхдээ дараа нь энэ нь бутархай, тэр ч байтугай хуваагч нь үл мэдэгдэх хэсэг юм!

Энэ нь зөв, бидэнд ODZ хэрэгтэй!

Ингээд цаашаа явъя, энд нэгээс бусад хүчин зүйл нь нэгдүгээр зэрэглэлийн хувьсагчтай, харин х хоёр дахь зэрэгтэй хүчин зүйл бий. Ихэвчлэн тэгш бус байдлын зүүн тал тэг утгыг авах цэгүүдийн аль нэгийг дайран өнгөрсний дараа бидний тэмдэг өөрчлөгддөг бөгөөд үүний тулд хүчин зүйл тус бүрд х ямар тэнцүү байх ёстойг тодорхойлсон. Гэхдээ энд үргэлж эерэг байдаг, учир нь аль ч тоон квадрат > тэг ба эерэг гишүүн.

Энэ нь тэгш бус байдлын утгад нөлөөлнө гэж та бодож байна уу? Энэ нь зөв - энэ нь нөлөөлөхгүй! Бид тэгш бус байдлыг хоёр хэсэгт найдвартай хувааж, улмаар энэ хүчин зүйлийг арилгах боломжтой бөгөөд ингэснээр нүдийг зовоохгүй.

Үүнийг хийхийн тулд интервалуудыг зурах цаг нь болсон тул үржүүлэгч нь тэгээс их, бага байх хилийн утгыг тодорхойлох шаардлагатай. Гэхдээ энд тэмдэг байгаа гэдгийг анхаарна уу, энэ нь тэгш бус байдлын зүүн тал нь тэг утгыг авах цэгийг сонгохгүй, энэ нь шийдлийн тоонд багтсан, бидэнд зөвхөн нэг ийм цэг байгаа гэсэн үг юм. энэ нь x нь нэгтэй тэнцэх цэг юм. Хуваагч сөрөг байгаа цэгийг будах уу? -Мэдээж үгүй!

Хуваагч нь тэг байх ёсгүй тул интервал дараах байдлаар харагдана.

Энэ диаграммыг ашигласнаар та хариултаа хялбархан бичиж болно, би одоо танд шинэ төрлийн хаалт байгаа гэж хэлье - дөрвөлжин! Энд хаалт байна [ утгыг уусмалын интервалд оруулсан гэж хэлдэг, i.e. хариултын нэг хэсэг бол энэ хаалт нь тэнхлэг дээрх дүүрсэн (хаалтгүй) цэгтэй тохирч байна.

Тэгэхээр та ижил хариултыг авсан уу?

Бид үүнийг хүчин зүйл болгон тооцож, бүх зүйлийг нэг тал руу шилжүүлж, түүнтэй харьцуулахын тулд зөвхөн баруун талд тэгийг үлдээх хэрэгтэй.

Сүүлчийн хувиргалтдаа хуваагч болон хуваагчийг авахын тулд тэгш бус байдлын хоёр талыг үржүүлдэг болохыг би та бүхний анхаарлыг татаж байна. Тэгш бус байдлын хоёр талыг үржүүлэхэд тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээрээ өөрчлөгддөг гэдгийг санаарай!!!

Бид ODZ гэж бичдэг:

Үгүй бол хуваагч тэг рүү орох бөгөөд таны санаж байгаагаар та тэгээр хувааж болохгүй!

Зөвшөөрч байна, үүссэн тэгш бус байдал нь тоологч ба хуваагчийг багасгахад уруу татагдаж байна! Үүнийг хийх боломжгүй, та зарим шийдвэрээ алдаж магадгүй юм.

Одоо тэнхлэг дээрх цэгүүдийг өөрөө тавьж үзээрэй. Цэгүүдийг зурахдаа тэмдэгт дээр үндэслэн тэнхлэг дээр сүүдэрлэж зурсан мэт санагдах утгатай цэг нь сүүдэрлэхгүй, энэ нь тийм байх болно гэдгийг анхаарах хэрэгтэй гэдгийг би тэмдэглэх болно. ухсан! Та яагаад асуугаад байгаа юм бэ? ODZ-г санаж байна уу, та тэгт хуваагдахгүй гэж үү?

ODZ хамгийн түрүүнд ирдэг гэдгийг санаарай! Бүх тэгш бус байдал, тэгш байдлын тэмдгүүд нэгийг хэлээд, ОДЗ өөр зүйлийг хэлж байгаа бол агуу, хүчирхэг ОДЗ-д итгээрэй!

За, та интервалуудыг бий болгосон, та ээлжлэн солих талаар миний зөвлөгөөг авсан бөгөөд үүнийг ийм байдлаар авсан гэдэгт би итгэлтэй байна (доорх зургийг харна уу) Одоо үүнийг зураад дахин ийм алдаа бүү хий! Ямар алдаа вэ? - чи асууж байна.

Баримт нь энэ тэгш бус байдалд хүчин зүйл хоёр удаа давтагдсан (та үүнийг хэрхэн бууруулах гэж оролдсноо санаж байна уу?). Тиймээс, тэгш бус байдалд зарим хүчин зүйл хэд хэдэн удаа давтагдсан бол тэнхлэг дээрх энэ хүчин зүйлийг тэг болгож хувиргах цэгийг (энэ тохиолдолд цэг) дайран өнгөрөхөд энэ нь сондгой байвал тэмдэг өөрчлөгдөхгүй; , дараа нь тэмдэг өөрчлөгдөнө!

Дараах интервал ба тэмдэг бүхий тэнхлэг нь зөв байх болно.

Бидний сонирхож буй тэмдэг нь эхэнд байсан тэмдэг биш (тэгш бус байдлыг анх харахад тэнд байсан), хувиргасны дараа тэмдэг нь өөрчлөгдсөн бөгөөд энэ нь бид интервалыг сонирхож байна гэсэн үг юм. тэмдэгтэй.

Хариулт:

Ямар ч интервалд ордоггүй тэгш бус байдлын үндэс байх тохиолдол байдаг бөгөөд хариуд нь буржгар хаалтанд бичдэг, жишээ нь: . Ийм нөхцөл байдлын талаар та нийтлэлийн дундаж түвшний талаар илүү ихийг уншиж болно.

1. Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар товч танилцуулъя.
2. Бид бүх зүйлийг зүүн тал руу шилжүүлж, баруун талд нь зөвхөн тэгийг үлдээдэг;
3. Бид ODZ-ийг олдог;
4. Бид аль нэг интервалаас дурын нэгийг авч, язгуур хамаарах интервал дахь тэмдгийг тодорхойлж, тэгш бус байдалд хэд хэдэн удаа давтагдаж буй язгуурт анхаарлаа хандуулж, тэдгээрийн дундуур өнгөрөх үед тэмдэг өөрчлөгдөх эсэхээс хамаарна давтагдах эсвэл давтагдахгүй тооны тэгш, сондгой байдлын талаар;
5. Үүний хариуд бид цоорсон болон цоороогүй цэгүүдийг ажиглаж интервал бичиж (ODZ-ийг үз), тэдгээрийн хооронд шаардлагатай төрлийн хаалтуудыг байрлуулна.

Эцэст нь бидний дуртай хэсэг болох "өөрөө хий"!

Жишээ нь:

Хариултууд:

ИНТЕРВАЛИЙН АРГА. ДУНД ТҮВШИН

Шугаман функц

Маягтын функцийг шугаман гэж нэрлэдэг. Жишээ болгон функцийг авч үзье. Энэ нь эерэг үед сөрөг байдаг. Цэг нь () функцийн тэг юм. Тооны тэнхлэгт энэ функцийн тэмдгүүдийг харуулъя.

Бид "цэгээр дамжин өнгөрөх үед функц тэмдэг өөрчлөгддөг" гэж хэлдэг.

Функцийн тэмдгүүд нь функцийн графикийн байрлалтай тохирч байгааг харж болно: хэрэв график нь тэнхлэгээс дээш байвал тэмдэг нь " ", доор нь " " байвал тэмдэг.

Хэрэв бид үр дүнгийн дүрмийг дурын шугаман функц болгон нэгтгэвэл бид дараах алгоритмыг олж авна.

• Функцийн тэгийг олох;
• Бид үүнийг тооны тэнхлэг дээр тэмдэглэнэ;
• Бид тэгийн эсрэг талын функцийн тэмдгийг тодорхойлно.

Квадрат функц

Та квадрат тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдэхээ санаж байна гэж найдаж байна. Үгүй бол сэдвийг уншина уу. Квадрат функцийн ерөнхий хэлбэрийг сануулъя: .

Одоо квадрат функц ямар тэмдэг авахыг санацгаая. Түүний график нь парабол бөгөөд функц нь парабол тэнхлэгээс дээш байгаа тохиолдолд " " тэмдэг, хэрэв парабол тэнхлэгээс доош байвал " " тэмдэг авна.

Хэрэв функц нь тэгтэй (утгууд) байвал парабол нь тэнхлэгийг харгалзах квадрат тэгшитгэлийн үндэс гэсэн хоёр цэгээр огтолно. Тиймээс тэнхлэг нь гурван интервалд хуваагддаг бөгөөд язгуур тус бүрээр дамжин өнгөрөх үед функцын тэмдгүүд ээлжлэн өөрчлөгддөг.

Бүр парабол зурахгүйгээр ямар нэгэн байдлаар тэмдгүүдийг тодорхойлох боломжтой юу?

Квадрат гурвалсан тоог үржвэрлэх боломжтой гэдгийг санаарай.

Жишээ нь: .

Тэнхлэг дээрх үндсийг тэмдэглэе.

Функцийн тэмдэг нь зөвхөн язгуураар дамжих үед л өөрчлөгдөж болно гэдгийг бид санаж байна. Энэ баримтыг ашиглацгаая: тэнхлэгийг үндэсээр хуваасан гурван интервал бүрийн хувьд зөвхөн дур зоргоороо сонгосон нэг цэг дээр функцийн тэмдгийг тодорхойлоход хангалттай: интервалын үлдсэн цэгүүдэд тэмдэг нь ижил байх болно. .

Бидний жишээнд: хаалтанд байгаа илэрхийлэл хоёулаа эерэг байна (орлуулах, жишээ нь:). Бид тэнхлэг дээр "" тэмдэг тавьдаг.

За, (жишээ нь орлуулах) үед хаалт хоёулаа сөрөг байвал бүтээгдэхүүн эерэг байна гэсэн үг:

Энэ л байна интервалын арга: интервал тус бүрийн хүчин зүйлийн шинж тэмдгийг мэдэж, бид бүхэл бүтэн бүтээгдэхүүний тэмдгийг тодорхойлно.

Функцид тэг байхгүй эсвэл зөвхөн нэг байх тохиолдлуудыг бас авч үзье.

Хэрэв тэд байхгүй бол үндэс байхгүй болно. Энэ нь "үндсээр дамжин өнгөрөх" зүйл байхгүй гэсэн үг юм. Энэ нь функц нь бүх тооны мөрөнд зөвхөн нэг тэмдэг авна гэсэн үг юм. Үүнийг функц болгон орлуулах замаар амархан тодорхойлж болно.

Хэрэв зөвхөн нэг язгуур байвал парабол тэнхлэгт хүрдэг тул язгуураар дамжин өнгөрөх үед функцийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Ийм нөхцөл байдалд бид ямар дүрэм гаргаж болох вэ?

Хэрэв та ийм функцийг хүчин зүйлээр тооцвол хоёр ижил хүчин зүйл гарч ирнэ.

Мөн ямар ч квадрат илэрхийлэл нь сөрөг биш юм! Тиймээс функцийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Ийм тохиолдолд бид тэмдэг нь өөрчлөгдөөгүй үндсийг дөрвөлжин дугуйлснаар тодруулна.

Бид ийм язгуурыг олон тоо гэж нэрлэх болно.

Тэгш бус байдлын интервалын арга

Одоо ямар ч квадрат тэгш бус байдлыг парабол зурахгүйгээр шийдэж болно. Квадрат функцийн тэмдгүүдийг тэнхлэг дээр байрлуулж, тэгш бус байдлын тэмдгээс хамааран интервалуудыг сонгоход л хангалттай. Жишээ нь:

Тэнхлэг дээрх үндсийг хэмжиж, тэмдгүүдийг байрлуулцгаая.

Бидэнд "" тэмдэг бүхий тэнхлэгийн хэсэг хэрэгтэй; тэгш бус байдал нь хатуу биш тул үндэс нь өөрөө шийдэлд багтсан болно.

Одоо оновчтой тэгш бус байдлыг авч үзье - тэгш бус байдал, хоёр тал нь оновчтой илэрхийлэл (харна уу).

Жишээ:

Нэгээс бусад бүх хүчин зүйлүүд энд "шугаман" байна, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь зөвхөн нэгдүгээр зэрэглэлийн хувьсагчийг агуулна. Интервалын аргыг хэрэглэхийн тулд бидэнд ийм шугаман хүчин зүйлс хэрэгтэй - тэдгээрийн үндэсээр дамжин өнгөрөх үед тэмдэг өөрчлөгддөг. Гэхдээ үржүүлэгч нь огт үндэсгүй. Энэ нь үргэлж эерэг байдаг (үүнийг өөрөө шалгаарай) гэсэн үг бөгөөд ингэснээр бүхэл тэгш бус байдлын тэмдэгт нөлөөлөхгүй. Энэ нь тэгш бус байдлын зүүн ба баруун талыг түүгээр хувааж, үүнээс ангижрах боломжтой гэсэн үг юм.

Одоо бүх зүйл квадрат тэгш бус байдлын адил байна: хүчин зүйлүүд тус бүр нь ямар цэгүүдэд тэг болохыг тодорхойлж, тэнхлэг дээр эдгээр цэгүүдийг тэмдэглэж, тэмдгүүдийг байрлуулна. Би маш чухал баримтад таны анхаарлыг хандуулахыг хүсч байна:

Хариулт: . Жишээ нь: .

Интервалын аргыг хэрэглэхийн тулд тэгш бус байдлын аль нэг хэсэг нь байх ёстой. Тиймээс баруун талыг зүүн тийш шилжүүлье:

Тоолуур ба хуваагч нь ижил хүчин зүйлтэй боловч үүнийг багасгах гэж бүү яар! Эцсийн эцэст бид энэ цэгийг таслахаа мартаж магадгүй юм. Энэ үндсийг олон тоогоор тэмдэглэх нь дээр, өөрөөр хэлбэл түүгээр дамжин өнгөрөхөд тэмдэг өөрчлөгдөхгүй.

Хариулт: .

Бас нэг маш тод жишээ:

Дахин хэлэхэд, бид тоологч ба хуваагчийн ижил хүчин зүйлийг цуцлахгүй, учир нь хэрэв тэгвэл бид цэгийг цоолохыг тусгайлан санах хэрэгтэй болно.

• : давтагдсан удаа;
• : удаа;
• : удаа (тоолох хэсэгт, нэг хуваарьт).

Тэгш тооны хувьд бид өмнөхтэй адил зүйлийг хийдэг: бид цэгийг квадратаар дугуйлж, үндсийг дамжин өнгөрөхдөө тэмдгийг өөрчлөхгүй. Гэхдээ сондгой тооны хувьд энэ дүрэм хамаарахгүй: үндэс дамжин өнгөрөх үед тэмдэг өөрчлөгдөнө. Тиймээс бид ийм язгуураар олон тооны биш юм шиг нэмэлт зүйл хийдэггүй. Дээрх дүрмүүд тэгш, сондгой бүх хүчинд хамаарна.

Хариултанд бид юу бичих ёстой вэ?

Хэрэв тэмдгүүдийн ээлжийг зөрчсөн бол та маш болгоомжтой байх хэрэгтэй, учир нь тэгш бус байдал нь хатуу биш бол хариулт нь дараахь зүйлийг агуулна. бүх сүүдэрлэсэн цэгүүд. Гэхдээ тэдний зарим нь ихэвчлэн тусдаа байдаг, өөрөөр хэлбэл сүүдэрт багтдаггүй. Энэ тохиолдолд бид тэдгээрийг хариултанд тусгаарлагдсан цэг болгон нэмнэ (буржгар хаалтанд):

Жишээ (өөрөө шийднэ үү):

Хариултууд:

1. Хэрэв хүчин зүйлүүдийн дунд энэ нь энгийн байвал энэ нь үндэс юм, учир нь үүнийг төлөөлж болно.
   .

ИНТЕРВАЛИЙН АРГА. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Интервалын аргыг оновчтой тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг. Энэ нь янз бүрийн интервал дахь хүчин зүйлийн шинж тэмдгүүдээс бүтээгдэхүүний шинж тэмдгийг тодорхойлоход оршино.

Интервалын аргыг ашиглан рационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм.

• Бид бүх зүйлийг зүүн тал руу шилжүүлж, баруун талд нь зөвхөн тэгийг үлдээдэг;
• Бид ODZ-ийг олдог;
• Бид тэгш бус байдлын бүх үндсийг тэнхлэг дээр зурдаг;
• Бид аль нэг интервалаас дурын нэгийг авч, язгуур хамаарах интервал дахь тэмдгийг тодорхойлж, тэгш бус байдалд хэд хэдэн удаа давтагдаж буй язгуурт анхаарлаа хандуулж, тэдгээрийн дундуур өнгөрөх үед тэмдэг өөрчлөгдөх эсэхээс хамаарна давтагдах эсвэл давтагдахгүй тооны тэгш, сондгой байдлын талаар;
• Үүний хариуд бид завсарлага бичиж, цэг тасарсан ба цоороогүй цэгүүдийг ажиглаж (ODZ-ийг үзнэ үү), тэдгээрийн хооронд шаардлагатай төрлийн хаалт байрлуулна.

За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол та маш дажгүй байна гэсэн үг.

Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь ямар нэг зүйлийг бие даан эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та эцсээ хүртэл уншсан бол та энэ 5% -д байна!

Одоо хамгийн чухал зүйл.

Та энэ сэдвээр онолыг ойлгосон. Би давтан хэлье, энэ бол зүгээр л супер! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.

Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...

Юуны төлөө?

Улсын нэгдсэн шалгалтыг амжилттай өгч, их, дээд сургуульд төсвөөр элссэнийхээ төлөө, ХАМГИЙН ЧУХАЛ насан туршдаа.

Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, нэг л зүйлийг хэлье...

Сайн боловсрол эзэмшсэн хүмүүс сураагүй хүмүүсээс хамаагүй их цалин авдаг. Энэ бол статистик.

Гэхдээ энэ нь гол зүйл биш юм.

Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө олон боломжууд нээгдэж, амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болж байгаа юм болов уу? Мэдэхгүй...

Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...

Улсын нэгдсэн шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь... аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?

ЭНЭ СЭДВИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА АВНА.

Шалгалтын үеэр танаас онол асуухгүй.

Танд хэрэгтэй болно цаг хугацааны эсрэг асуудлыг шийдвэрлэх.

Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (МАШ ИХ!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь гарцаагүй, эсвэл зүгээр л цаг зав гарахгүй.

Энэ нь спорттой адил юм - баттай ялахын тулд та үүнийг олон удаа давтах хэрэгтэй.

Хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой зайлшгүй шийдэл, нарийвчилсан дүн шинжилгээ хийхмөн шийд, шийд, шийд!

Та бидний даалгавруудыг (заавал биш) ашиглаж болно, бид мэдээж санал болгож байна.

Бидний даалгавруудыг илүү сайн ашиглахын тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.

Яаж? Хоёр сонголт байна:

1. Энэ нийтлэл дэх бүх далд ажлуудын түгжээг тайлах -
2. Сурах бичгийн бүх 99 нийтлэл дэх бүх далд даалгаврын хандалтыг нээнэ үү - Сурах бичиг худалдаж аваарай - 499 рубль

Тийм ээ, бидний сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд тэдгээрт байгаа бүх даалгаврууд болон далд текстүүдийг шууд нээх боломжтой.

Бүх далд даалгаврууд руу нэвтрэх эрхийг сайтын ашиглалтын хугацаанд олгодог.

Тэгээд эцэст нь ...

Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онол дээр бүү зогс.

“Ойлголоо”, “Би шийдэж чадна” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.

Асуудлыг хайж олоод шийдээрэй!

Эрт дээр үеэс практик асуудлыг шийдвэрлэхдээ хэмжигдэхүүн, хэмжигдэхүүнийг харьцуулах шаардлагатай байсан. Үүний зэрэгцээ нэг төрлийн хэмжигдэхүүнийг харьцуулах үр дүнг илэрхийлсэн их ба бага, өндөр ба бага, хөнгөн ба хүнд, чимээгүй ба чанга, хямд ба илүү үнэтэй гэх мэт үгс гарч ирэв.

Илүү бага гэсэн ойлголтууд объектыг тоолох, хэмжигдэхүүнийг хэмжих, харьцуулахтай холбоотойгоор үүссэн. Жишээлбэл, Эртний Грекийн математикчид аливаа гурвалжны тал нь нөгөө хоёр талын нийлбэрээс бага, том тал нь гурвалжны том өнцгийн эсрэг байрладаг гэдгийг мэддэг байсан. Архимед тойргийг тооцоолохдоо ямар ч тойргийн периметр нь диаметрийн долооны нэгээс бага, харин арав дахин их диаметртэй диаметрээс гурав дахин их хэмжээтэй тэнцүү болохыг тогтоожээ.

Тоо ба хэмжигдэхүүний хоорондын хамаарлыг > ба b тэмдгээр бэлгэдлээр бич. Хоёр тоог аль нэг тэмдгээр холбосон бичлэгүүд: > (илүү их), Та мөн доод ангиудад тоон тэгш бус байдалтай тулгарсан. Тэгш бус байдал нь үнэн ч байж болно, худал ч байж болно гэдгийг та мэднэ. Жишээлбэл, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) нь зөв тоон тэгш бус байдал, 0.23 > 0.235 нь буруу тоон тэгш бус байдал юм.

Үл мэдэгдэх зүйлстэй холбоотой тэгш бус байдал нь үл мэдэгдэх утгын зарим утгын хувьд үнэн, бусад нь худал байж болно. Жишээлбэл, 2x+1>5 тэгш бус байдал x = 3 үед үнэн, харин x = -3 үед үнэн биш юм. Нэг үл мэдэгдэх тэгш бус байдлын хувьд та даалгаврыг тавьж болно: тэгш бус байдлыг шийдэх. Практикт тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх асуудлуудыг тэгшитгэлийг шийдэх асуудлаас багагүй олон удаа тавьж, шийддэг. Жишээлбэл, шугаман тэгш бус байдлын системийг судлах, шийдвэрлэхэд эдийн засгийн олон асуудал гардаг. Математикийн олон салбарт тэгш бус байдал нь тэгшитгэлээс илүү түгээмэл байдаг.

Зарим тэгш бус байдал нь тодорхой объект, жишээлбэл, тэгшитгэлийн үндэс оршин байгааг батлах эсвэл үгүйсгэх цорын ганц туслах хэрэгсэл болдог.

Тоон тэгш бус байдал

Та бүхэл тоо болон аравтын бутархайг харьцуулж болно. Ижил хуваагчтай боловч өөр өөр тоотой энгийн бутархайг харьцуулах дүрмийг мэдэх; ижил тоологчтой боловч өөр хуваагчтай. Эндээс та дурын хоёр тоог ялгах тэмдгийг олох замаар харьцуулж сурах болно.

Тоонуудыг харьцуулах нь практикт өргөн хэрэглэгддэг. Жишээлбэл, эдийн засагч төлөвлөсөн үзүүлэлтүүдийг бодит үзүүлэлттэй харьцуулдаг, эмч өвчтөний температурыг хэвийн, токарь нь боловсруулсан эд ангиудын хэмжээсийг стандарттай харьцуулдаг. Ийм бүх тохиолдолд зарим тоог харьцуулдаг. Тоонуудыг харьцуулах үр дүнд тоон тэгш бус байдал үүсдэг.

Тодорхойлолт. a-b зөрүү эерэг байвал a тоо b тооноос их байна. a-b зөрүү сөрөг байвал a тоо b тооноос бага байна.

Хэрэв a b-ээс их бол тэд бичнэ: a > b; хэрэв a нь b-ээс бага бол тэд бичнэ: a Иймээс a > b тэгш бус байдал нь a - b ялгаа эерэг байна, өөрөөр хэлбэл. a - b > 0. Тэгш бус байдал a Дараах гурван хамаарлаас дурын a, b тоонуудын хувьд a > b, a = b, a a ба b тоог харьцуулна гэдэг нь >, = эсвэл аль тэмдгийг олохыг хэлнэ. Теорем.Хэрэв a > b ба b > c байвал a > c.

Теорем.Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр талд ижил тоог нэмбэл тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй.
Үр дагавар.Энэ нэр томьёоны тэмдгийг эсрэгээр нь сольсноор аливаа нэр томъёог тэгш бус байдлын нэг хэсгээс нөгөө рүү шилжүүлж болно.

Теорем.Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил эерэг тоогоор үржүүлбэл тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил сөрөг тоогоор үржүүлбэл тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө.
Үр дагавар.Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил эерэг тоонд хуваавал тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр тал ижил сөрөг тоонд хуваагдвал тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө.

Тоон тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмж, үржүүлж болдог гэдгийг та мэднэ. Дараа нь та тэгш бус байдалтай ижил төстэй үйлдлүүдийг хэрхэн хийхийг сурах болно. Практикт тэгш бус байдлыг нэр томъёогоор нэмэх, үржүүлэх чадварыг ихэвчлэн ашигладаг. Эдгээр үйлдлүүд нь илэрхийллийн утгыг үнэлэх, харьцуулах асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг.

Төрөл бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ тэгш бус байдлын зүүн ба баруун талыг гишүүнээр нь нэмэх буюу үржүүлэх шаардлагатай байдаг. Үүний зэрэгцээ тэгш бус байдал нь нийлбэр эсвэл үрждэг гэж заримдаа хэлдэг. Жишээлбэл, жуулчин эхний өдөр 20 гаруй км, хоёр дахь өдөр 25 гаруй км алхсан бол хоёр өдрийн дотор 45 гаруй км алхсан гэж хэлж болно. Үүний нэгэн адил тэгш өнцөгтийн урт нь 13 см-ээс бага, өргөн нь 5 см-ээс бага бол энэ тэгш өнцөгтийн талбай нь 65 см2-ээс бага гэж хэлж болно.

Эдгээр жишээг авч үзэхдээ дараахь зүйлийг ашигласан болно. Тэгш бус байдлыг нэмэх ба үржүүлэх теоремууд:

Теорем.Ижил тэмдгийн тэгш бус байдлыг нэмэх үед ижил тэмдгийн тэгш бус байдлыг олж авна: хэрэв a > b ба c > d бол a + c > b + d.

Теорем.Зүүн ба баруун тал нь эерэг ижил тэмдгийн тэгш бус байдлыг үржүүлэхэд ижил тэмдгийн тэгш бус байдал гарна: хэрэв a > b, c > d ба a, b, c, d эерэг тоо бол ac > bd.

> (илүү) тэмдэгтэй тэгш бус байдал ба 1/2, 3/4 b, c Хатуу тэгш бус байдлын тэмдгүүдийн хамт > ба Үүний нэгэн адил тэгш бус байдал нь \(a \geq b \) нь a тоо байна гэсэн үг юм. b-ээс их буюу тэнцүү, өөрөөр хэлбэл .ба бага биш b.

\(\geq \) тэмдэг эсвэл \(\leq \) тэмдгийг агуулсан тэгш бус байдлыг хатуу бус гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) нь хатуу тэгш бус байдал биш юм.

Хатуу тэгш бус байдлын бүх шинж чанарууд нь хатуу бус тэгш бус байдлын хувьд ч хүчинтэй байдаг. Түүгээр ч барахгүй хатуу тэгш бус байдлын хувьд > тэмдгүүдийг эсрэгээр нь авч үзсэн бөгөөд хэд хэдэн хэрэглээний асуудлыг шийдэхийн тулд та тэгшитгэл эсвэл тэгшитгэлийн систем хэлбэрээр математик загварыг бий болгох хэрэгтэй гэдгийг мэддэг. Дараа нь та олон асуудлыг шийдвэрлэх математик загварууд нь үл мэдэгдэх тэгш бус байдал гэдгийг мэдэх болно. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх тухай ойлголтыг танилцуулж, өгөгдсөн тоо нь тодорхой тэгш бус байдлын шийдэл мөн эсэхийг хэрхэн шалгахыг үзүүлнэ.

Маягтын тэгш бус байдал
\(ax > b, \quad ax, a ба b тоо өгөгдсөн, x нь үл мэдэгдэх тоонуудыг гэнэ. нэг үл мэдэгдэх шугаман тэгш бус байдал.

Тодорхойлолт.Нэг үл мэдэгдэх тэгш бус байдлын шийдэл нь үл мэдэгдэхийн утга бөгөөд энэ тэгш бус байдал нь жинхэнэ тоон тэгш бус байдал болно. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь түүний бүх шийдлийг олох эсвэл байхгүй гэдгийг тогтоох гэсэн үг юм.

Та тэгшитгэлийг хамгийн энгийн тэгшитгэл болгон багасгаж шийдсэн. Үүний нэгэн адил тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийг шинж чанарыг ашиглан энгийн тэгш бус байдлын хэлбэрт оруулахыг оролддог.

Нэг хувьсагчтай хоёрдугаар зэргийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Маягтын тэгш бус байдал
\(ax^2+bx+c >0 \) ба \(ax^2+bx+c энд x нь хувьсагч, a, b ба c нь зарим тоо бөгөөд \(a \neq 0 \) гэж нэрлэдэг. нэг хувьсагчтай хоёрдугаар зэргийн тэгш бус байдал.

Тэгш бус байдлын шийдэл
\(ax^2+bx+c >0 \) эсвэл \(ax^2+bx+c нь \(y= ax^2+bx+c \) функц эерэг эсвэл сөрөг авах интервалыг олох гэж үзэж болно. утгууд Үүнийг хийхийн тулд \(y= ax^2+bx+c\) функцийн график координатын хавтгайд хэрхэн байрлаж байгааг шинжлэхэд хангалттай: параболын мөчрүүд хаана - дээш эсвэл доош чиглэсэн байна. парабол х тэнхлэгийг огтолж байгаа бол ямар цэгүүдээр огтлолцоно.

Нэг хувьсагчтай хоёрдугаар зэргийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм:
1) дөрвөлжин гурвалсан гишүүний ялгагчийг \(ax^2+bx+c\) олж, гурвалсан гишүүн үндэстэй эсэхийг олох;
2) хэрэв гурвалсан үсэг нь үндэстэй бол тэдгээрийг x тэнхлэг дээр тэмдэглээд, тэмдэглэсэн цэгүүдээр нь бүдүүвчилсэн параболыг зурж, салаа нь > 0-ийн хувьд дээш, 0-ийн хувьд доош, 3-ын доод талд байрладаг. x тэнхлэг дээрх параболууд нь x тэнхлэгээс дээш (хэрэв тэдгээр нь \(ax^2+bx+c >0\) тэгш бус байдлыг шийдвэл) эсвэл x тэнхлэгийн доор (хэрэв тэдгээр нь дараахийг шийдвэл) байрлах интервалуудыг ол. тэгш бус байдал
\(ax^2+bx+c Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Функцийг авч үзье
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Энэ функцийн домэйн нь бүх тооны олонлог юм. Функцийн тэг нь -2, 3, 5 тоонууд юм. Тэд функцийн тодорхойлолтын мужийг \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; () интервалд хуваадаг. 3; 5) \) ба \((5; +\infty)\)

Заасан интервал бүрт энэ функцын шинж тэмдгүүд юу болохыг олж мэдье.

(x + 2)(x - 3)(x - 5) илэрхийлэл нь гурван хүчин зүйлийн үржвэр юм. Эдгээр хүчин зүйл бүрийн тэмдэглэгээг авч үзэх интервал дахь хүснэгтэд үзүүлэв.

Ерөнхийдөө функцийг томъёогоор өгье
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
Энд x нь хувьсагч, x 1, x 2, ..., x n нь хоорондоо тэнцүү биш тоонууд юм. x 1 , x 2 , ..., x n тоонууд нь функцийн тэг юм. Тодорхойлолтын мужийг функцийн тэгээр хуваах интервал бүрт функцийн тэмдэг хадгалагдаж, тэгээр дамжих үед түүний тэмдэг өөрчлөгддөг.

Энэ шинж чанарыг хэлбэрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) энд x 1, x 2, ..., x n нь хоорондоо тэнцүү биш тоонууд юм.

Үзсэн арга тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргыг интервалын арга гэнэ.

Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх жишээг өгье.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх:

Бид тооны тэнхлэг дээр функцийн тэгийг зурж, интервал бүр дээр тэмдгийг тооцоолно.

Функц тэгээс бага буюу тэнцүү байх интервалуудыг бид сонгож хариултыг бичнэ.

Бидний сонирхож буй тэмдэг нь эхэнд байсан тэмдэг биш (тэгш бус байдлыг анх харахад тэнд байсан), хувиргасны дараа тэмдэг нь өөрчлөгдсөн бөгөөд энэ нь бид интервалыг сонирхож байна гэсэн үг юм. тэмдэгтэй.
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \аяга \left[ 4; \; +\infty \баруун) \)

Энэ хичээлээр бид илүү төвөгтэй тэгш бус байдлын интервалын аргыг ашиглан оновчтой тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх болно. Бутархай шугаман ба бутархай квадрат тэгш бус байдал, холбогдох бодлогуудын шийдлийг авч үзье.

Одоо тэгш бус байдал руугаа буцъя

Холбогдох зарим ажлыг авч үзье.

Тэгш бус байдлын хамгийн бага шийдлийг ол.

Тэгш бус байдлын натурал шийдлийн тоог ол

Тэгш бус байдлын шийдүүдийн багцыг бүрдүүлэх интервалуудын уртыг ол.

2. Байгалийн шинжлэх ухааны портал ().

3. Компьютерийн шинжлэх ухаан, математик, орос хэлний элсэлтийн шалгалтанд 10-11 анги бэлтгэх цахим сургалт, арга зүйн цогцолбор ().

5. Боловсролын төв "Багшийн технологи" ().

6. Математикийн талаар College.ru хэсэг ().

1. Мордкович А.Г. болон бусад Алгебр 9-р анги: Ерөнхий боловсролын сургуулийн оюутнуудад зориулсан асуудлын ном / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, гэх мэт - 4-р хэвлэл. - М.: Мнемосине, 2002.-143 х.: өвчтэй. № 28(b,c); 29(b,c); 35(а,б); 37(b,c); 38(а).

Интервалын арга(эсвэл заримдаа интервалын арга гэж нэрлэдэг) нь тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх бүх нийтийн арга юм. Энэ нь янз бүрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой боловч шийдвэрлэхэд хамгийн тохиромжтой оновчтой тэгш бус байдалнэг хувьсагчтай. Тиймээс сургуулийн алгебрийн хичээлд интервалын арга нь оновчтой тэгш бус байдалтай нягт холбоотой байдаг бөгөөд түүний тусламжтайгаар бусад тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд бараг анхаарал хандуулдаггүй.

Энэ нийтлэлд бид интервалын аргыг нарийвчлан шинжлэх бөгөөд үүнийг ашиглан нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх бүх нарийн ширийн зүйлийг хөндөх болно. Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритмыг танилцуулж эхэлцгээе. Дараа нь бид ямар онолын тал дээр үндэслэсэн болохыг тайлбарлаж, алгоритмын үе шатуудад дүн шинжилгээ хийх болно, ялангуяа интервал дээрх тэмдгүүдийг тодорхойлох талаар нарийвчлан авч үзэх болно. Үүний дараа бид дадлага хийж, хэд хэдэн ердийн жишээн дээр шийдлийг харуулах болно. Эцэст нь хэлэхэд бид интервалын аргыг ерөнхий хэлбэрээр (өөрөөр хэлбэл оновчтой тэгш бус байдлын хамааралгүйгээр), өөрөөр хэлбэл ерөнхий интервалын аргыг авч үзэх болно.

Хуудасны навигаци.

Алгоритм

Сургуульд интервалын аргатай танилцах нь f(x) хэлбэрийн тэгш бус байдлыг шийдэхээс эхэлдэг.<0 (знак неравенства может быть и другим ≤, >эсвэл ≥), f(x) нь аль аль нь байвал үржвэрээр илэрхийлэгдэнэ шугаман биномууд x ба/эсвэл хувьсагчийн хувьд 1-тэй дөрвөлжин гурвалсан тоо 1-ийн тэргүүлэх коэффициенттэй ба сөрөг дискриминант ба тэдгээрийн хүч, эсвэл ийм олон гишүүнтүүдийн харьцаа. Тодорхой болгохын тулд бид ийм тэгш бус байдлын жишээг өгөв: (x−5)·(x+5)≤0 , (x+3)·(x 2 −x+1)·(x+2) 3 ≥0, .

Цаашдын яриаг бодитой болгохын тулд интервалын аргыг ашиглан дээрх төрлийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритмыг нэн даруй бичиж, дараа нь юу, яаж, яагаад гэдгийг олж мэдье. Тиймээс интервалын аргыг ашиглан:

• Эхлээд тоологчийн тэг, хуваагчийн тэгийг олно. Үүнийг хийхийн тулд тэгш бус байдлын зүүн талд байгаа илэрхийллийн хүртэгч ба хуваагч нь тэгтэй тэнцүү байх ба үр дүнд нь тэгшитгэлүүд шийдэгдэнэ.
• Үүний дараа олсон тэгтэй тохирох цэгүүдийг зураасаар тэмдэглэнэ. Масштабыг ажиглах шаардлагагүй бүдүүвч зураг хангалттай, гол зүйл нь бие биентэйгээ харьцуулахад цэгүүдийн байршлыг баримтлах явдал юм: жижиг координаттай цэг нь цэгийн зүүн талд байрладаг. илүү том координат. Үүний дараа тэдгээрийг хэрхэн дүрслэх нь тодорхой болно: ердийн эсвэл цоорсон (хоосон төвтэй). Хатуу тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед (тэмдэг< или >) бүх цэгүүдийг цоорсон байдлаар дүрсэлсэн. Хатуу бус тэгш бус байдлыг (≤ эсвэл ≥ тэмдгээр) шийдвэрлэхдээ хуваагчийн тэгтэй харгалзах цэгүүдийг цоолж, зураасаар тэмдэглэсэн үлдсэн цэгүүд нь энгийн байна. Эдгээр цэгүүд координатын шугамыг хэд хэдэн тоон интервалд хуваадаг.
• Дараа нь, f(x) илэрхийллийн тэмдгүүдийг интервал бүр дээр шийдэж буй тэгш бус байдлын зүүн талаас тодорхойлно (бид үүнийг хэрхэн хийх талаар дараах догол мөрүүдийн аль нэгэнд дэлгэрэнгүй тайлбарлах болно), дээр + эсвэл -ийг байрлуулна. тэдгээрийг тодорхойлсон тэмдгүүдийн дагуу.
• Эцэст нь гарын үсэг зурсан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед< или ≤ изображается штриховка над промежутками, отмеченными знаком −, а при решении неравенства со знаком >эсвэл ≥ - + тэмдгээр тэмдэглэгдсэн зайн дээр. Үр дүн нь тэгш бус байдлын хүссэн шийдэл юм.

Дээрх алгоритм нь сургуулийн сурах бичигт интервалын аргын тайлбартай нийцэж байгааг анхаарна уу.

Ямар арга дээр үндэслэсэн бэ?

Интервалын аргын үндэс нь үргэлжилсэн функцийн дараах шинж чанараас шалтгаална: хэрэв (a, b) интервал дээр f функц тасралтгүй бөгөөд алга болохгүй бол энэ интервал дээр тогтмол тэмдэг хадгалагдана (бид үүнийг хийх болно). үүнтэй төстэй шинж чанар нь тоон туяа (−∞, a) ба (a, +∞) ) хувьд ч мөн адил гэдгийг нэм. Энэ шинж чанар нь эргээд Болзано-Коши теоремоос (түүнийг авч үзэх нь сургуулийн сургалтын хөтөлбөрөөс гадуур) гарч ирдэг бөгөөд үүний томъёолол, нотолгоог шаардлагатай бол жишээ нь номноос олж болно.

Өмнөх догол мөрөнд заасан хэлбэртэй f(x) илэрхийллийн хувьд интервал дээрх тэмдгийн тогтмол байдлыг тоон тэгш бус байдлын шинж чанараас эхлээд ижил тоогоор үржүүлэх, хуваах дүрмийг харгалзан өөр аргаар зөвтгөж болно. тэмдэг ба өөр өөр шинж тэмдэг.

Жишээ болгон тэгш бус байдлыг авч үзье. Түүний тоологч ба хуваагчийн тэг нь тоон мөрийг гурван интервалд (−∞, −1), (−1, 5) болон (5, +∞) хуваана. (−∞, −1) интервал дээр тэгш бус байдлын зүүн талын илэрхийлэл тогтмол тэмдэгтэй байгааг харуулъя (бид өөр интервал авч болно, үндэслэл нь ижил төстэй байх болно). Энэ интервалаас дурын t тоог авъя. Энэ нь t тэгш бус байдлыг хангах нь ойлгомжтой<−1 , и так как −1<5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t<5 . Из этих неравенств в силу свойств числовых неравенств следует, что t+1<0 и t−5<0. То есть, t+1 и t−5 – отрицательные числа, не зависимо от того, какое конкретно число t мы возьмем из промежутка (−∞, −1) . Тогда позволяет констатировать, что значение выражения будет положительным, откуда следует, что значение выражения будет положительным при любом значении x из промежутка (−∞, −1) . Итак, на указанном промежутке выражение имеет постоянный знак, причем, это знак +.

Тиймээс бид интервал дээр тэмдгүүдийг тодорхойлох асуудалд саадгүй хандсан боловч тоологч ба хуваагчийн тэгийг олох гэсэн интервалын аргын эхний алхамыг алгасахгүй.

Тоолуур ба хуваагчийн тэгийг хэрхэн олох вэ?

Эхний догол мөрөнд заасан төрлийн бутархайн тоо ба хуваагчийн тэгийг олох нь ихэвчлэн ямар ч асуудал үүсгэдэггүй. Үүний тулд тоологч ба хуваагчийн илэрхийлэлийг тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг шийднэ. Энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зарчмыг нийтлэлд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно тэгшитгэлийг үржүүлэх аргаар шийдвэрлэх. Энд бид зөвхөн жишээгээр хязгаарлагдах болно.

Бутархайг авч үзье мөн түүний тоо ба хуваагчийн тэгийг ол. Тоолуурын тэгээс эхэлье. Бид тоологчийг тэгтэй тэнцүүлж, x·(x−0.6)=0 тэгшитгэлийг гаргаж, үүнээс x=0 ба x−0.6=0 гэсэн хоёр тэгшитгэлийн олонлог руу шилжиж, эндээс 0 ба 0.6 хоёр язгуурыг олно. . Эдгээр нь тоологчийн шаардлагатай тэгүүд юм. Одоо бид хуваагчийн тэгүүдийг оллоо. Тэгшитгэл хийцгээе x 7 ·(x 2 +2·x+7) 2 ·(x+5) 3 =0, энэ нь x 7 =0, (x 2 +2 x+7) 2 =0, (x+5) 3 =0, тэгээд x=0, x 2 +2 x+7 гэсэн гурван тэгшитгэлийн олонлогтой тэнцүү байна. =0 , x+5=0 . Эдгээр тэгшитгэлийн эхний язгуур нь ойлгомжтой, 0, хоёр дахь тэгшитгэл нь үндэсгүй, учир нь дискриминант нь сөрөг, гурав дахь тэгшитгэлийн үндэс нь -5 байна. Тиймээс бид хуваагчийн тэгийг олсон бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь 0 ба -5 байв. 0 нь тоологчийн хувьд тэг, хуваарийн хувьд тэг болж хувирсныг анхаарна уу.

Тэгш бус байдлын зүүн тал нь бутархай, гэхдээ заавал рационал байх албагүй ерөнхий тохиолдолд хүртэгч ба хуваагчийн тэгийг олохын тулд хүртэгч ба хуваагчийг мөн тэгтэй тэнцүүлж, харгалзах тэгшитгэлийг шийддэг.

Тэмдгийг интервалаар хэрхэн тодорхойлох вэ?

Интервал бүрийн тэгш бус байдлын зүүн талд байгаа илэрхийллийн тэмдгийг тодорхойлох хамгийн найдвартай арга бол интервал бүрийн аль нэг цэг дээрх илэрхийллийн утгыг тооцоолох явдал юм. Энэ тохиолдолд интервал дээрх хүссэн тэмдэг нь энэ интервалын аль ч цэг дэх илэрхийллийн утгын тэмдэгтэй давхцдаг. Үүнийг жишээгээр тайлбарлая.

Тэгш бус байдлыг авч үзье . Зүүн талд байгаа илэрхийлэл нь тоологчд тэг байхгүй бөгөөд хуваагч дахь тэг нь −3 тоо юм. Энэ нь тооны шулууныг хоёр интервалд (−∞, −3) болон (−3, +∞) хуваадаг. Тэдгээр дээрх тэмдгүүдийг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд эдгээр интервалаас нэг цэг авч, тэдгээрийн илэрхийллийн утгыг тооцоол. Тооцооллыг хийхэд хялбар байхын тулд ийм цэгүүдийг авах нь зүйтэй гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе. Жишээлбэл, эхний интервалаас (−∞, −3) бид −4-ийг авч болно. x=−4-ийн хувьд бидэнд байна , хасах тэмдэгтэй (сөрөг) утгыг хүлээн авсан тул энэ интервал дээр хасах тэмдэг байх болно. Бид хоёр дахь интервал дээр (−3, +∞) тэмдгийг тодорхойлох ажлыг үргэлжлүүлнэ. Үүнээс 0-ийг авах нь тохиромжтой (хэрэв 0 нь интервалд орсон бол x=0 үед тооцоолол нь хамгийн энгийн тул үүнийг үргэлж авахыг зөвлөж байна). x=0 үед бидэнд байна . Энэ утга нь нэмэх тэмдэгтэй (эерэг) тул энэ интервал дээр нэмэх тэмдэг байх болно.

Тэмдгийг тодорхойлох өөр нэг арга байдаг бөгөөд энэ нь аль нэг интервалаар тэмдгийг олж, түүнийг хадгалах эсвэл зэргэлдээх интервал руу тэгээр шилжих үед өөрчлөхөөс бүрддэг. Та дараах дүрмийг баримтлах ёстой. Тоологчийн тэгээр дамжих боловч хуваагч биш, эсвэл хуваагчийн тэгээр дамжих боловч хуваагч биш харин энэ тэгийг өгч буй илэрхийллийн зэрэг нь сондгой байвал тэмдэг өөрчлөгдөнө, тэгш бол өөрчлөгдөхгүй. . Мөн тоологчийн тэг ба хуваагчийн тэг хоёулаа байх цэгийг дайран өнгөрөхөд энэ тэгийг өгч буй илэрхийллүүдийн зэрэглэлийн нийлбэр сондгой байвал тэмдэг өөрчлөгддөг, тэгш бол өөрчлөгдөхгүй.

Дашрамд хэлэхэд, тэгш бус байдлын баруун талд байгаа илэрхийлэл нь энэ зүйлийн эхний догол мөрний эхэнд заасан хэлбэртэй байвал баруун талын зайд нэмэх тэмдэг байх болно.

Бүх зүйлийг тодорхой болгохын тулд жишээг авч үзье.

Бидний өмнө тэгш бус байдал байг , мөн бид үүнийг интервалын аргыг ашиглан шийддэг. Үүнийг хийхийн тулд бид 2, 3, 4 тоологчийн тэг болон хуваагч 1, 3, 4-ийн тэгүүдийг олж, тэдгээрийг координатын шугам дээр эхлээд зураасаар тэмдэглэнэ.

дараа нь бид хуваагчийн тэгийг цоорсон цэгүүдийн зургаар сольдог

мөн бид хатуу бус тэгш бус байдлыг шийдэж байгаа тул үлдсэн зураасыг энгийн цэгүүдээр сольдог.

Дараа нь үе үе шинж тэмдгүүдийг тодорхойлох мөч ирдэг. Энэ жишээний өмнө бид тэмдэглэснээр хамгийн баруун талын интервалд (4, +∞) + тэмдэг байх болно:

Цоорхойноос завсар руу баруунаас зүүн тийш шилжих явцад үлдсэн тэмдгүүдийг тодорхойлъё. Дараагийн интервал руу (3, 4) шилжиж, бид 4-р координаттай цэгээр дамждаг. Энэ нь тоологч болон хуваагчийн аль алиных нь тэг бөгөөд эдгээр тэгүүд нь (x−4) 2 ба x−4 илэрхийллийг өгдөг, тэдгээрийн зэрэглэлийн нийлбэр нь 2+1=3 бөгөөд энэ нь сондгой тоо бөгөөд энэ нь Энэ цэгээр дамжин өнгөрөхдөө та тэмдгийг өөрчлөх хэрэгтэй. Тиймээс (3, 4) интервал дээр хасах тэмдэг байх болно.

Бид координат 3-тай цэгийг дайран өнгөрөхдөө (2, 3) интервал руу явна. Энэ нь мөн тоологч ба хуваагчийн аль алиных нь тэг бөгөөд үүнийг (x−3) 3 ба (x−3) 5 илэрхийллээр өгөгдсөн бөгөөд тэдгээрийн чадлын нийлбэр нь 3+5=8 бөгөөд энэ нь тэгш тоо юм. тоо, тиймээс тэмдэг нь өөрчлөгдөхгүй хэвээр байх болно:

Бид (1, 2) интервал руу шилжинэ. Түүнд хүрэх замыг координат 2-той цэгээр хаасан байна. Энэ бол тоологчийн тэг бөгөөд үүнийг x−2 илэрхийллээр өгөгдсөн, түүний зэрэг нь 1, өөрөөр хэлбэл сондгой тул энэ цэгээр дамжин өнгөрөхөд тэмдэг өөрчлөгдөнө.

Эцэст нь сүүлчийн интервал дээрх тэмдгийг тодорхойлоход үлддэг (−∞, 1) . Үүнд хүрэхийн тулд бид 1-р координаттай цэгийг даван туулах хэрэгтэй. Энэ бол хуваагчийн тэг бөгөөд үүнийг (x−1) 4 илэрхийллээр өгөгдсөн, түүний зэрэг нь 4, өөрөөр хэлбэл тэгш, тиймээс энэ цэгээр дамжин өнгөрөхөд тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Тиймээс бид бүх шинж тэмдгүүдийг тодорхойлсон бөгөөд зураг нь дараах хэлбэртэй байна.

Илэрхийллийн утгыг тооцоолохдоо их хэмжээний ажил шаардагдах үед авч үзсэн аргыг ашиглах нь ялангуяа зөвтгөгддөг нь тодорхой байна. Жишээлбэл, илэрхийллийн утгыг тооцоол интервалын аль ч цэг дээр .

Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх жишээ

Одоо та интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хангалттай, танилцуулсан бүх мэдээллийг нэгтгэж, хэд хэдэн жишээний шийдлүүдэд дүн шинжилгээ хийж болно.

Жишээ.

Тэгш бус байдлыг шийд .

Шийдэл.

Энэ тэгш бус байдлыг интервалын аргаар шийдье. Мэдээжийн хэрэг, тоологчийн тэг нь 1 ба -5, харин хувагчийн тэг нь 1 байна. Бид тэдгээрийг тоон шулуун дээр тэмдэглэж, координаттай, 1-тэй цэгүүдийг хуваагчийн тэгээр тэмдэглэж, −5 тоологчийн үлдсэн тэгийг энгийн цэгээр илэрхийлнэ, учир нь бид хатуу бус тэгш бус байдлыг шийдэж байна.

Одоо бид тэгээр дамжин өнгөрөхдөө тэмдгийг хадгалах эсвэл өөрчлөх дүрмийг баримтлан интервал дээр тэмдэг тавьдаг. Хамгийн баруун талын завсар дээр + тэмдэг байх болно (үүнийг тэгш бус байдлын зүүн талд байгаа илэрхийллийн утгыг энэ завсарын аль нэг цэгт, жишээлбэл, x=3 үед тооцоолж шалгаж болно). Тэмдгээр дамжин өнгөрөхдөө бид өөрчлөгддөг, 1-ээр дамжин өнгөрөхөд бид үүнийг хэвээр үлдээж, −5-аар дамжин өнгөрөхөд бид дахин тэмдгийг хэвээр үлдээдэг.

Бид тэгш бус байдлыг ≤ тэмдгээр шийдэж байгаа тул - тэмдгээр тэмдэглэгдсэн интервалууд дээр сүүдэрлэж, үр дүнгийн зургаас хариултыг бичих хэрэгтэй.

Тиймээс бидний хайж байгаа шийдэл бол: .

Бидний сонирхож буй тэмдэг нь эхэнд байсан тэмдэг биш (тэгш бус байдлыг анх харахад тэнд байсан), хувиргасны дараа тэмдэг нь өөрчлөгдсөн бөгөөд энэ нь бид интервалыг сонирхож байна гэсэн үг юм. тэмдэгтэй.

.

Шударга байхын тулд дийлэнх тохиолдолд оновчтой тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийг интервалын аргыг ашиглан шийдвэрлэх боломжтой болгохын тулд эхлээд шаардлагатай хэлбэрт шилжүүлэх шаардлагатай байдагт анхаарлаа хандуулъя. Ийм өөрчлөлтийг хэрхэн хийх талаар бид нийтлэлд нарийвчлан авч үзэх болно. оновчтой тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх, мөн одоо бид тэгш бус байдлын бүртгэлд квадрат гурвалжинтай холбоотой нэг чухал санааг харуулсан жишээг өгөх болно.

Жишээ.

Тэгш бус байдлын шийдлийг ол .

Шийдэл.

Өнгөц харахад энэ тэгш бус байдал нь интервалын аргыг хэрэглэхэд тохиромжтой хэлбэртэй юм шиг харагдаж байна. Гэхдээ түүний тэмдэглэгээнд байгаа квадрат гурвалжны ялгаварлагч нь үнэхээр сөрөг эсэхийг шалгахад гэмгүй. Мөс чанараа хөнгөвчлөхийн тулд тэдгээрийг олж мэдье. x 2 +3 x+3 гурвалсан гишүүний хувьд D=3 2 −4 1 3=−3 байна.<0 , а для трехчлена x 2 +2·x−8 получаем D’=1 2 −1·(−8)=9>0 . Энэ нь энэхүү тэгш бус байдлыг хүссэн хэлбэрт оруулахын тулд өөрчлөлт хийх шаардлагатай гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд x 2 +2 x−8 гурвалсан тоог (x+4) (x−2) гэж дүрслээд дараа нь тэгш бус байдлыг интервалын аргаар шийдвэрлэхэд хангалттай. .

Бидний сонирхож буй тэмдэг нь эхэнд байсан тэмдэг биш (тэгш бус байдлыг анх харахад тэнд байсан), хувиргасны дараа тэмдэг нь өөрчлөгдсөн бөгөөд энэ нь бид интервалыг сонирхож байна гэсэн үг юм. тэмдэгтэй.

.

Ерөнхий интервалын арга

Ерөнхий интервалын арга нь f(x) хэлбэрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх боломжийг олгодог.<0 (≤, >, ≥), f(x) нь нэг x хувьсагчтай дурын байна. Үүнийг бичээд үзье ерөнхий интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм:

• Эхлээд танд f ба энэ функцын тэгүүд хэрэгтэй.
• Тодорхойлолтын хүрээний хилийн цэгүүд, түүний дотор бие даасан цэгүүд нь тооны шугам дээр тэмдэглэгдсэн байдаг. Жишээлбэл, хэрэв функцийн домэйн нь олонлог юм (−5, 1]∪(3)∪ ((−6, 4) интервал дээрх тэмдгийг бид тодорхойлохгүй, учир нь энэ нь функцийн тодорхойлолтын мужид хамаарахгүй) Үүнийг хийхийн тулд нэг цэгийг авна уу. жишээлбэл, 16, 8, 6 ба −8 гэсэн интервал бүрээс тэдгээрийн f функцийн утгыг тооцоол.
  
  

  Хэрэв та функцийн тооцоолсон утгууд нь эерэг эсвэл сөрөг болохыг хэрхэн олж мэдсэн талаар асуулт байвал нийтлэл дэх материалыг судлаарай. тоонуудын харьцуулалт.

  Бид шинээр тодорхойлсон тэмдгүүдийг байрлуулж, хасах тэмдэг бүхий зайд сүүдэрлэдэг.
  

  Хариултанд бид хоёр интервалын нэгдлийг − тэмдгээр бичнэ, бидэнд (−∞, −6]∪(7, 12) байна.Хариултанд −6 орсон байгааг анхаарна уу (харгалзах цэг нь цул, цоороогүй) Үнэн хэрэгтээ энэ нь функцийн тэг биш (хатуу тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд бид хариултанд оруулахгүй), харин тодорхойлолтын хүрээний хилийн цэг (энэ нь хар биш харин өнгөт) мөн. Энэ цэг дэх функцийн утга нь сөрөг байна (харгалзах интервал дээр хасах тэмдгээр нотлогддог), өөрөөр хэлбэл энэ нь тэгш бус байдлыг хангадаг боловч хариултанд 4-ийг оруулах шаардлагагүй ∪(7, 12) .

  Лавлагаа.

  1. Алгебр: 9-р анги: боловсролын. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2009. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  2. Мордкович А.Г.Алгебр. 9-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13 дахь хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2011. - 222 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01752-3.
  3. Алгебрба шинжилгээний эхлэл: Proc. 10-11 ангийн хувьд. ерөнхий боловсрол байгууллагууд / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, P. Dudnitsyn болон бусад; Эд. A. N. Kolmogorov - 14-р хэвлэл - М.: Боловсрол, 2004. - 384 х.: ISBN 5-09-013651-3.
  4. Кудрявцев Л.Д.Математикийн шинжилгээний курс (хоёр боть): Их, дээд сургуулийн оюутнуудад зориулсан сурах бичиг. - М .: Илүү өндөр. сургууль, 1981, боть 1. – 687 х., өвчтэй.

  Интервалын арга– бутархай рационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх энгийн арга. Энэ нь хувьсагчаас хамаарах рационал (эсвэл бутархай-рационал) илэрхийлэл агуулсан тэгш бус байдлын нэр юм.

  1. Жишээлбэл, дараах тэгш бус байдлыг авч үзье

  Интервалын арга нь үүнийг хэдхэн минутын дотор шийдэх боломжийг олгодог.

  Энэ тэгш бус байдлын зүүн талд бутархай рационал функц байна. Үндэс, синус, логарифм агуулаагүй тул рациональ - зөвхөн оновчтой илэрхийлэл. Баруун талд нь тэг байна.

  Интервалын арга нь бутархай рационал функцийн дараах шинж чанарт суурилдаг.

  Бутархай рационал функц нь зөвхөн тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй цэгүүдэд тэмдгийг өөрчилж болно.

  Квадрат гурвалсан гишүүнийг яаж хүчин зүйлд хуваадаг, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн илэрхийлэл гэдгийг эргэн санацгаая.

  Квадрат тэгшитгэлийн үндэс хаана ба байна.

  Бид тэнхлэгийг зурж, тоологч ба хуваагчийг тэглэх цэгүүдийг байрлуулна.

  

  Хуваагчийн тэг ба цоорсон цэгүүд, учир нь эдгээр цэгүүдэд тэгш бус байдлын зүүн талын функц тодорхойлогдоогүй (та тэгээр хувааж болохгүй). Тэгш бус байдал нь хатуу биш тул тоологчийн тэг ба - сүүдэртэй байна. Хэзээ ба бидний тэгш бус байдал хангагдсан, учир нь түүний хоёр тал нь тэгтэй тэнцүү байна.

  Эдгээр цэгүүд нь тэнхлэгийг интервал болгон хуваадаг.

  Эдгээр интервал тус бүрийн тэгш бус байдлын зүүн талд байгаа бутархай рационал функцийн тэмдгийг тодорхойлъё. Бутархай рационал функц нь зөвхөн тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй цэгүүдэд тэмдгийг өөрчлөх боломжтой гэдгийг бид санаж байна.

  Энэ нь тоологч эсвэл хуваагч тэг болох цэгүүдийн хоорондох интервал бүрт тэгш бус байдлын зүүн талд байгаа илэрхийллийн тэмдэг тогтмол байх болно - "нэмэх" эсвэл "хасах".
  Тиймээс ийм интервал тус бүрийн функцийн тэмдгийг тодорхойлохын тулд бид энэ интервалд хамаарах дурын цэгийг авна. Бидний хувьд тохиромжтой зүйл.

  

  . Жишээлбэл, тэгш бус байдлын зүүн талд байгаа илэрхийллийн тэмдгийг шалгана уу. "Хаалт" бүр сөрөг байна. Зүүн тал нь тэмдэгтэй.

  

  Дараагийн интервал: . Тэмдгийг шалгацгаая. Зүүн тал нь тэмдэг болж өөрчлөгдсөнийг бид олж мэдэв.

  

  Үүнийг авч үзье. Илэрхийлэл эерэг байх үед - тиймээс, -ээс хүртэлх бүх интервалд эерэг байна.

  

  Тэгш бус байдлын зүүн тал сөрөг байх үед."> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

  

  Эцэст нь class="tex" alt="x>7

  Ямар давтамжтайгаар илэрхийлэл эерэг болохыг бид олж мэдсэн. Хариултаа бичих л үлдлээ:

  Хариулт: . Анхаарна уу: тэмдгүүд нь интервалуудын хооронд ээлжлэн солигддог. Учир нь ийм зүйл болсон.

  цэг бүрээр дамжин өнгөрөхөд шугаман хүчин зүйлсийн яг нэг нь тэмдэг өөрчлөгдсөн бол үлдсэн хэсэг нь өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна

  Интервалын арга нь маш энгийн гэдгийг бид харж байна. Бутархай-рациональ тэгш бус байдлыг интервалын аргаар шийдэхийн тулд бид үүнийг дараах хэлбэрт оруулав. Эсвэл"> !} class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \баруун))(\displaystyle Q\left(x \баруун)) > 0

  , эсвэл , эсвэл .

  (зүүн талд нь бутархай-рационал функц, баруун талд нь тэг).
  Дараа нь бид тоон мөрөнд тоологч эсвэл хуваагч тэг рүү орох цэгүүдийг тэмдэглэнэ.
  Эдгээр цэгүүд нь бүх тооны шугамыг интервалд хуваадаг бөгөөд тус бүр дээр бутархай-рационал функц нь тэмдэгээ хадгалдаг.
  Өгөгдсөн интервалд хамаарах дурын цэг дээрх илэрхийллийн тэмдгийг шалгах замаар бид үүнийг хийдэг. Үүний дараа бид хариултаа бичнэ. Ингээд л болоо.

  Гэхдээ асуулт гарч ирдэг: тэмдгүүд нь үргэлж ээлжлэн солигддог уу? Үгүй ээ, үргэлж биш! Та болгоомжтой байх ёстой бөгөөд тэмдгүүдийг механикаар, бодолгүйгээр байрлуулж болохгүй.

  2. Өөр нэг тэгш бус байдлыг авч үзье.

  Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \баруун) \ зүүн(x-3 \right))>0"> !}

  Тэнхлэг дээрх цэгүүдийг дахин байрлуул. Цэгүүд болон цэгүүд нь хуваагчийн тэг учраас цоорсон байна. Тэгш бус байдал хатуу байгаа тул энэ санааг бас хассан.

  

  Тоолуур эерэг байвал хуваагч дахь хүчин зүйлүүд хоёулаа сөрөг байна. Үүнийг өгөгдсөн интервалаас дурын тоог авах замаар хялбархан шалгаж болно, жишээлбэл, . Зүүн талд нь дараах тэмдэг байна.

  

  Тоолуур эерэг байвал; Хуваарийн эхний хүчин зүйл эерэг, хоёр дахь хүчин зүйл нь сөрөг байна. Зүүн талд нь дараах тэмдэг байна.

  

  Нөхцөл байдал ижил байна! Тоолуур нь эерэг, хуваарийн эхний хүчин зүйл эерэг, хоёр дахь нь сөрөг байна. Зүүн талд нь дараах тэмдэг байна.

  

  Эцэст нь class="tex" alt="x>3)."> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}
  
  

  Ямар давтамжтайгаар илэрхийлэл эерэг болохыг бид олж мэдсэн. Хариултаа бичих л үлдлээ:

  Тэмдгийн ээлж яагаад тасалдсан бэ? Учир нь цэгээр дамжин өнгөрөхөд үржүүлэгч нь үүнийг "хариуцдаг" тэмдэг өөрчлөгдөөгүй. Тиймээс бидний тэгш бус байдлын зүүн тал бүхэлдээ тэмдэг өөрчлөгдөөгүй.

  Дүгнэлт: хэрэв шугаман үржүүлэгч нь тэгш хүч (жишээлбэл, квадрат) байвал цэгээр дамжин өнгөрөх үед зүүн талын илэрхийллийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй.. Сонирхолтой зэрэгтэй тохиолдолд тэмдэг нь мэдээж өөрчлөгддөг.

  3. Илүү төвөгтэй хэргийг авч үзье. Энэ нь өмнөхөөсөө ялгаатай нь тэгш бус байдал нь хатуу биш юм.

  Зүүн тал нь өмнөх асуудалтай ижил байна. Тэмдгийн зураг ижил байх болно:

  

  Магадгүй хариулт нь адилхан байх болов уу? Үгүй! Шийдэл нэмж байна Энэ нь тэгш бус байдлын зүүн ба баруун тал хоёулаа тэгтэй тэнцүү байдаг тул энэ цэг нь шийдэл юм.

  Ямар давтамжтайгаар илэрхийлэл эерэг болохыг бид олж мэдсэн. Хариултаа бичих л үлдлээ:

  Энэ нөхцөл байдал нь математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын асуудалд ихэвчлэн тохиолддог. Эндээс өргөдөл гаргагчид урхинд орж, оноогоо алддаг. Болгоомжтой байгаарай!

  4. Тоолуур эсвэл хуваагчийг шугаман хүчин зүйлд тооцох боломжгүй бол яах вэ? Энэ тэгш бус байдлыг авч үзье:

  Квадрат гурвалсан тоог үржүүлэх боломжгүй: ялгаварлагч нь сөрөг, үндэс байхгүй. Гэхдээ энэ сайн байна! Энэ нь бүгдэд зориулсан илэрхийллийн тэмдэг нь ижил, ялангуяа эерэг байна гэсэн үг юм. Та энэ талаар илүү ихийг квадрат функцүүдийн шинж чанаруудын талаархи нийтлэлээс уншиж болно.

  Одоо бид тэгш бус байдлынхаа хоёр талыг бүгдэд нь эерэг утгаар хувааж болно. Үүнтэй ижил тэгш бус байдалд хүрье:

  Үүнийг интервалын аргыг ашиглан хялбархан шийддэг.

  Бид тэгш бус байдлын хоёр талыг эерэг гэж баттай мэдэж байсан утгаараа хуваасан болохыг анхаарна уу. Мэдээжийн хэрэг, ерөнхийдөө тэгш бус байдлыг тэмдэг нь тодорхойгүй хувьсагчаар үржүүлж, хувааж болохгүй.

  5 . Маш энгийн мэт санагдах өөр нэг тэгш бус байдлыг авч үзье.

  Зүгээр л үржүүлмээр байна. Гэхдээ бид аль хэдийн ухаантай, үүнийг хийхгүй. Эцсийн эцэст энэ нь эерэг ба сөрөг аль аль нь байж болно. Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр талыг сөрөг утгаар үржүүлбэл тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгддөгийг бид мэднэ.

  Бид үүнийг өөрөөр хийх болно - бид бүгдийг нэг хэсэгт цуглуулж, нийтлэг хуваагч руу авчрах болно. Баруун тал нь тэг хэвээр байх болно:

  Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

  Үүний дараа - өргөдөл гарга интервалын арга.