Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх tg. Энгийн ба нийлмэл тригонометрийн тэгш бус байдал

tgx тэгш бус байдлыг шийд<-1

Тиймээс tgx тэгш бус байдлын шийдэл<-1 есть открытый промежуток (-п/2+пn; -п/4+пn).

Тригонометрийн функц агуулсан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ cos(t)>a, sint(t)=a болон ижил төстэй хэлбэрийн хамгийн энгийн тэгш бус байдал руу буулгана. Мөн хамгийн энгийн тэгш бус байдлыг аль хэдийн шийдсэн. Энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргуудын янз бүрийн жишээг авч үзье.

Жишээ 1. sin(t) > = -1/2 тэгш бус байдлыг шийд.

Нэгж тойрог зур. Тодорхойлолтоор sin(t) нь у координат тул Ой тэнхлэгт y = -1/2 цэгийг тэмдэглэнэ. Үхрийн тэнхлэгтэй параллель түүгээр бид шулуун шугам зурна. Нэгж тойргийн графиктай шулуун шугамын огтлолцол дээр Pt1 ба Pt2 цэгүүдийг тэмдэглэнэ. Бид координатын эхийг Pt1 ба Pt2 цэгүүдтэй хоёр сегментээр холбодог.

Энэхүү тэгш бус байдлын шийдэл нь эдгээр цэгүүдийн дээр байрлах нэгж тойргийн бүх цэгүүд байх болно. Өөрөөр хэлбэл, шийдэл нь l нум байх болно. Одоо дурын цэг l нуманд хамаарах нөхцлийг зааж өгөх шаардлагатай.

Pt1 баруун хагас тойрогт оршдог, ординат нь -1/2, дараа нь t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Pt1 цэгийг тодорхойлохын тулд та дараах томъёог бичиж болно.
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Үүний үр дүнд бид t-ийн хувьд дараахь тэгш бус байдлыг олж авна.

Бид тэгш бус байдлыг хадгалдаг. Мөн синус функц нь үе үе байдаг тул шийдлүүд 2*pi тутамд давтагдана гэсэн үг юм. Бид энэ нөхцлийг t-ийн үр дүнд үүссэн тэгш бус байдалд нэмээд хариултыг бичнэ.

Хариулт: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Жишээ 2. cos(t) тэгш бус байдлыг шийд<1/2.

Нэгж тойрог зуръя. Тодорхойлолтын дагуу cos(t) нь x координат тул бид Ox тэнхлэг дээрх график дээр x = 1/2 цэгийг тэмдэглэнэ.
Бид энэ цэгээр Ой тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зурна. Нэгж тойргийн графиктай шулуун шугамын огтлолцол дээр Pt1 ба Pt2 цэгүүдийг тэмдэглэнэ. Бид координатын эхийг Pt1 ба Pt2 цэгүүдтэй хоёр сегментээр холбодог.

Шийдлүүд нь l нуманд хамаарах нэгж тойргийн бүх цэгүүд байх болно t1 ба t2 цэгүүдийг олъё.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Бид t: pi/3-ийн тэгш бус байдлыг олж авлаа

Косинус нь үечилсэн функц тул шийдлүүд 2*pi тутамд давтагдана. Бид энэ нөхцлийг t-ийн үр дүнд үүссэн тэгш бус байдалд нэмээд хариултыг бичнэ.

Хариулт: pi/3+2*pi*n

Жишээ 3. tg(t) тэгш бус байдлыг шийд< = 1.

Шүргэх хугацаа нь pi-тэй тэнцүү байна. (-pi/2;pi/2) зөв хагас тойрогт хамаарах шийдлүүдийг олцгооё. Дараа нь шүргэгчийн үечлэлийг ашиглан бид энэ тэгш бус байдлын бүх шийдлийг бичнэ. Нэгж тойрог зураад түүн дээр шүргэгч шугамыг тэмдэглэе.

Хэрэв t нь тэгш бус байдлын шийдэл бол T = tg(t) цэгийн ординат нь 1-ээс бага буюу тэнцүү байх ёстой. Ийм цэгүүдийн олонлог нь AT туяаг бүрдүүлнэ. Энэ цацрагийн цэгүүдэд тохирох Pt цэгүүдийн багц нь l нум юм. Түүнчлэн P(-pi/2) цэг нь энэ нуманд хамаарахгүй.

Нэгж тойргийг ашиглан тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Тригонометрийн функцүүдийн нэг болох --- хэлбэрийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ тэгш бус байдлын шийдлийг хамгийн тодорхой илэрхийлж, хариултыг бичихийн тулд тригонометрийн тойргийг ашиглах нь тохиромжтой. Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гол арга бол тэдгээрийг хамгийн энгийн төрлийн тэгш бус байдал болгон багасгах явдал юм. Ийм тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх жишээг авч үзье.

Жишээ: Тэгш бус байдлыг шийд.

Шийдэл. Тригонометрийн тойрог зураад түүн дээр ордны дээд цэгүүдийг тэмдэглэе.

Энэ тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд байх болно. Хэрэв тодорхой тоо нь заасан интервалаас ямар ч тооноос ялгаатай байвал энэ нь бас багагүй байх нь тодорхой байна. Тиймээс та олсон сегментийн төгсгөлд шийдлийг нэмэх хэрэгтэй. Эцэст нь бид анхны тэгш бус байдлын бүх шийдлүүд байх болно гэдгийг олж мэдсэн.

Тангенс ба котангенс бүхий тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд шүргэгч ба котангентын шугамын тухай ойлголт хэрэгтэй. Эдгээр нь тригонометрийн тойрогт шүргэгч шулуун шугамууд ба тус тус (Зураг (1) ба (2)) юм.

Хэрэв бид координатын гарал үүсэлтэй туяаг абсцисса тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй өнцөг үүсгэвэл уг туяаг огтлолцох цэгээс сегментийн урттай болохыг харахад хялбар байдаг. шүргэгч шугам нь энэ туяа абсцисса тэнхлэгтэй хийсэн өнцгийн тангенстай яг тэнцүү байна. Котангентын хувьд ижил төстэй ажиглалт явагдана.

Жишээ: Тэгш бус байдлыг шийд.

Шийдэл. гэж тэмдэглэе, тэгвэл тэгш бус байдал нь хамгийн энгийн хэлбэрийг авна: . Шүргэгчийн хамгийн бага эерэг үетэй (LPP) тэнцүү уртын интервалыг авч үзье. Энэ сегмент дээр шүргэгч шугамыг ашиглан бид үүнийг тогтооно. Одоо NPP функцээс хойш юу нэмэх хэрэгтэйг санацгаая. Тэгэхээр, . Хувьсагч руу буцаж ирэхэд бид үүнийг олж авна

Урвуу тригонометрийн функцтэй тэгш бус байдлыг урвуу тригонометрийн функцуудын график ашиглан шийдвэрлэхэд тохиромжтой. Үүнийг хэрхэн яаж хийхийг жишээгээр харуулъя.

Тригонометрийн тэгш бус байдлыг графикаар шийдвэрлэх

Хэрэв --- нь үечилсэн функц бол тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд функцийн үетэй тэнцүү урттай сегмент дээр түүний шийдийг олох шаардлагатайг анхаарна уу. Анхны тэгш бус байдлын бүх шийдлүүд нь олсон утгуудаас гадна функцийн бүхэл тоогоор олдсоноос ялгаатай бүх утгуудаас бүрдэнэ.

Тэгш бус байдлын шийдлийг авч үзье ().

Түүнээс хойш тэгш бус байдал ямар ч шийдэлгүй болсон. Хэрэв, тэгвэл тэгш бус байдлын шийдлийн олонлог нь бүх бодит тоонуудын олонлог юм.

Байг. Синусын функц нь хамгийн бага эерэг үетэй тул тэгш бус байдлыг эхлээд уртын сегмент дээр шийдэж болно, жишээлбэл. Бид функцийн графикийг бүтээдэг ба ().

Сегмент дээр синусын функц нэмэгдэж, тэгшитгэл нь нэг үндэстэй байна. Сегмент дээр синусын функц буурч, тэгшитгэл нь үндэстэй болно. Тоон интервал дээр функцийн график нь функцийн график дээр байрлана. Тиймээс интервалаас бүгдэд) тэгш бус байдал нь хэрэв байна. Синусын функцийн үечилсэн байдлаас шалтгаалан тэгш бус байдлын бүх шийдлүүд дараах хэлбэрийн тэгш бус байдлаар өгөгдөнө.

Тэгш бус байдал нь a › b хэлбэрийн харилцаа бөгөөд a ба b нь дор хаяж нэг хувьсагч агуулсан илэрхийлэл юм. Тэгш бус байдал нь хатуу - ‹, › ба хатуу бус - ≥, ≤ байж болно.

Тригонометрийн тэгш бус байдал нь F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a хэлбэрийн илэрхийлэл бөгөөд F(x) нь нэг буюу хэд хэдэн тригонометрийн функцээр илэрхийлэгдэнэ. .

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлын жишээ бол: sin x ‹ 1/2. Ийм асуудлыг графикаар шийдэх нь заншилтай бөгөөд үүнд зориулж хоёр аргыг боловсруулсан болно.

Арга 1 - Функцийн графикаар тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

sin x ‹ 1/2 тэгш бус байдлын нөхцлийг хангах интервалыг олохын тулд та дараах алхмуудыг хийх ёстой.

1. Координатын тэнхлэг дээр y = sin x синусоид байгуулна.
2. Ижил тэнхлэг дээр тэгш бус байдлын тоон аргументийн графикийг зур, өөрөөр хэлбэл OY ординатын ½ цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамыг зур.
3. Хоёр графикийн огтлолцох цэгүүдийг тэмдэглэ.
4. Жишээний шийдэл болох сегментийг сүүдэрлэ.

Илэрхийлэлд хатуу тэмдгүүд байгаа бол огтлолцох цэгүүд нь шийдэл биш юм. Синусоидын хамгийн бага эерэг үе нь 2π тул хариултыг дараах байдлаар бичнэ.

Хэрэв илэрхийллийн шинж тэмдгүүд нь хатуу биш бол уусмалын интервалыг дөрвөлжин хаалтанд оруулах ёстой - . Асуудлын хариултыг мөн дараах тэгш бус байдлаар бичиж болно.

Арга 2 - Нэгж тойргийг ашиглан тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Үүнтэй төстэй асуудлыг тригонометрийн тойрог ашиглан хялбархан шийдэж болно. Хариултыг олох алгоритм нь маш энгийн:

1. Эхлээд та нэгж тойрог зурах хэрэгтэй.
2. Дараа нь та тойргийн нуман дээрх тэгш бус байдлын баруун талын аргументуудын нумын функцын утгыг тэмдэглэх хэрэгтэй.
3. Нумын функцийн утгыг абсцисса тэнхлэг (OX) -тай параллель өнгөрөх шулуун шугамыг зурах шаардлагатай.
4. Үүний дараа тригонометрийн тэгш бус байдлын шийдлийн багц болох тойргийн нумыг сонгох л үлдлээ.
5. Хариултыг шаардлагатай хэлбэрээр бичнэ үү.

Син x › 1/2 тэгш бус байдлын жишээн дээр шийдлийн үе шатуудад дүн шинжилгээ хийцгээе. α ба β цэгүүдийг тойрог дээр тэмдэглэв - утгууд

α ба β-ээс дээш байрлах нумын цэгүүд нь өгөгдсөн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх интервал юм.

Хэрэв та cos-ийн жишээг шийдэх шаардлагатай бол хариултын нум нь OY биш харин OX тэнхлэгт тэгш хэмтэй байрлана. Та текстийн доорх диаграммд нүгэл ба cos-ийн шийдлийн интервалуудын ялгааг авч үзэж болно.

Тангенс ба котангентын тэгш бус байдлын график шийдэл нь синус ба косинусын аль алинаас ялгаатай. Энэ нь функцүүдийн шинж чанартай холбоотой юм.

Арктангенс ба арккотангенс нь тригонометрийн тойрогтой шүргэгч бөгөөд хоёр функцийн хамгийн бага эерэг үе нь π байна. Хоёрдахь аргыг хурдан бөгөөд зөв ашиглахын тулд нүгэл, cos, tg, ctg утгуудыг аль тэнхлэгт зурсан болохыг санах хэрэгтэй.

Шүргэх шүргэгч нь OY тэнхлэгтэй параллель гүйдэг. Хэрэв бид арктан а-ийн утгыг нэгж тойрог дээр зурвал хоёр дахь шаардлагатай цэг нь диагональ хэсэгт байрлана. Өнцөг

График нь тэдгээрт чиглэдэг боловч хэзээ ч хүрч чаддаггүй тул тэдгээр нь функцийн таслах цэгүүд юм.

Котангентын хувьд шүргэгч нь OX тэнхлэгтэй параллель гүйдэг бөгөөд функц нь π ба 2π цэгүүдэд тасалддаг.

Нарийн төвөгтэй тригонометрийн тэгш бус байдал

Хэрэв тэгш бус байдлын функцийн аргументыг зөвхөн хувьсагчаар бус харин үл мэдэгдэхийг агуулсан бүхэл илэрхийллээр төлөөлдөг бол бид нарийн төвөгтэй тэгш бус байдлын тухай ярьж байна. Үүнийг шийдвэрлэх үйл явц, журам нь дээр дурдсан аргуудаас арай өөр юм. Дараах тэгш бус байдлын шийдлийг олох хэрэгтэй гэж үзье.

График шийдэл нь дур мэдэн сонгосон x утгуудыг ашиглан ердийн y = sin x синусоид байгуулах явдал юм. Графикийн хяналтын цэгүүдийн координат бүхий хүснэгтийг тооцоолъё.

Үр дүн нь сайхан муруй байх ёстой.

Шийдвэр олоход хялбар болгохын тулд нарийн төвөгтэй функцийн аргументыг орлъё