Түлхүүр үгс:

Ажлын зорилго: нэг үл мэдэгдэх шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг судалж, туршилтын ажилд туршиж үзэх.

Ажлын зорилго:

1. Тусгай ном зохиолд дүн шинжилгээ хийж, шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хамгийн оновчтой аргыг сонгосноор ахлах сургуулийн бүх төгсөгчдөд энэ сэдвийг гүнзгий судалж, өөртөө шингээх боломжийг олгоно.
2. МХХТ ашиглан шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргачлалын зарим талыг боловсруулах.
3. Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг судлах:

‒ Алхам арга

‒ Хагас бууруулах арга

- Ньютоны арга

Танилцуулга.

Математикийн бичиг үсэггүй бол физик, хими, биологи болон бусад сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг амжилттай эзэмших боломжгүй юм. Байгалийн шинжлэх ухааны бүхэл бүтэн цогцолборыг математикийн мэдлэг дээр үндэслэн байгуулж, хөгжүүлдэг. Жишээлбэл, математикийн физикийн хэд хэдэн сэдэвчилсэн асуудлыг судлах нь шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэрэгцээнд хүргэдэг. Шугаман бус тэгшитгэлийн шийдэл нь шугаман бус оптик, плазмын физик, хэт дамжуулагчийн онол, бага температурын физикт зайлшгүй шаардлагатай. Энэ сэдвээр хангалттай хэмжээний уран зохиол байдаг ч олон тооны сурах бичиг, нийтлэлүүд нь ахлах ангийн сурагчдад ойлгоход хэцүү байдаг. Энэ нийтлэлд физик, химийн хэрэглээний асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж болох шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзэх болно. Сонирхолтой тал бол математикийн тэгшитгэл, бодлогуудыг шийдвэрлэхэд мэдээллийн технологийг ашиглах явдал юм.

Алхам арга.

F(x)=0 хэлбэрийн шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай байг. Мөн бидэнд тодорхой хайлтын интервал өгсөн гэж үзье. Хайлтын интервалын зүүн хилээс эхлэн тэгшитгэлийн эхний язгуурыг агуулсан h урттай [a,b] интервалыг олох шаардлагатай.

Цагаан будаа. 1. Алхам арга

Иймэрхүү асуудлыг шийдэх хэд хэдэн арга байдаг. Алхам арга нь тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх тоон аргуудын хамгийн энгийн нь боловч өндөр нарийвчлалд хүрэхийн тулд алхамыг мэдэгдэхүйц багасгах шаардлагатай бөгөөд энэ нь тооцооллын хугацааг ихээхэн нэмэгдүүлдэг. Энэ аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ.

Iүе шат. Үндэс тусгаарлах.

Энэ үе шатанд тэгшитгэлийн зөвхөн нэг язгуурыг агуулсан хэсгүүдийг тодорхойлно. Энэ үе шатыг хэрэгжүүлэх хэд хэдэн сонголт байдаг:

• Бид X-ийн утгыг орлуулж (нэлээн жижиг алхам хийх нь дээр) функцийн тэмдэг хаана өөрчлөгдөхийг харна уу. Хэрэв функц тэмдэгээ өөрчилсөн бол энэ нь X-ийн өмнөх ба одоогийн утгын хоорондох хэсэгт үндэс байгаа гэсэн үг юм (хэрэв функц нь түүний өсөлт/бууралтын шинж чанарыг өөрчлөхгүй бол бид зөвхөн нэг байна гэж хэлж болно. энэ интервалд үндэс).
• График арга. Бид график байгуулж, аль интервал дээр нэг үндэс байгааг үнэлдэг.
• Тодорхой функцийн шинж чанарыг судалж үзье.

IIүе шат. Үндэсийг боловсронгуй болгох.

Энэ үе шатанд өмнө нь тодорхойлсон тэгшитгэлийн язгуурын утгыг тодруулна. Дүрмээр бол энэ үе шатанд давталтын аргыг ашигладаг. Жишээлбэл, хагасын арга (дихотоми) эсвэл Ньютоны арга.

Хагас хуваах арга

Тодорхойлогдсон E нарийвчлалд хүрэх хүртэл F(x) = 0 тэгшитгэлийн цорын ганц язгуурыг агуулсан интервалыг дараалан нарийсгахад үндэслэсэн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хурдан бөгөөд нэлээд энгийн тоон арга Энэ аргыг квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг өндөр зэрэглэлийн тэгшитгэлүүд. Гэсэн хэдий ч, энэ арга нь мэдэгдэхүйц сул талтай - хэрвээ [a,b] сегмент нь нэгээс олон үндэс агуулсан байвал сайн үр дүнд хүрэх боломжгүй болно.

Цагаан будаа. 2. Дихотомийн арга

Энэ аргын алгоритм нь дараах байдалтай байна.

‒ [a;b] хэрчмийн дундах x язгуурын шинэ ойролцооллыг тодорхойл: x=(a+b)/2.

‒ a ба x цэг дээрх функцийн утгыг ол: F(a) ба F(x).

‒ F(a)*F(x) нөхцөлийг шалгана уу.

‒ 1-р алхам руу очоод сегментийг дахин хагасаар хуваа. Алгоритмыг |F(x)| нөхцөл хүртэл үргэлжлүүлнэ

Ньютоны арга

Тоон шийдлийн аргуудаас хамгийн зөв; маш нарийн төвөгтэй тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тохиромжтой боловч үе шат бүрт деривативыг тооцоолох хэрэгцээ шаардлагаас болж төвөгтэй байдаг. Хэрэв x n нь тэгшитгэлийн язгуурын ойролцоо утгатай байна , тэгвэл дараагийн ойртолтыг x n цэгт зурсан f(x) функцийн шүргэгчийн язгуур гэж тодорхойлно.

x n цэг дээрх f(x) функцийн шүргэгч тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Шүргэх тэгшитгэлд бид y = 0 ба x = x n +1-ийг тавьдаг.

Дараа нь Ньютоны аргын дараалсан тооцооллын алгоритм дараах байдалтай байна.

Шүргэх аргын нийлэх нь квадрат, нийлэх дараалал нь 2.

Тиймээс Ньютоны шүргэгч аргын нэгдэл маш хурдан байдаг.

Ямар ч өөрчлөлтгүйгээр аргыг нарийн төвөгтэй тохиолдолд ерөнхийд нь нэгтгэдэг. Хэрэв x i язгуур нь хоёр дахь үржвэрийн үндэс буюу түүнээс дээш байвал нийлэх дараалал буурч, шугаман болно.

Ньютоны аргын сул тал нь тухайн нөхцөлийг хаа сайгүй хангасан тохиолдолд л дурын эхлэлийн ойролцоологдоход нийлэх баталгаатай тул орон нутгийн онцлогийг агуулдаг. , эсрэг нөхцөл байдалд нийлэх нь зөвхөн язгуурын тодорхой хөршид л тохиолддог.

Тэгшитгэл хийх үед Ньютоны арга (шүргэх арга) ихэвчлэн ашиглагддаг f(x) = 0үндэстэй бөгөөд дараах нөхцөл хангагдсан байна.

1) функц y=f(x)тодорхойлогдсон ба үргэлжилсэн үед;

2) f(a) f(b) (функц нь сегментийн төгсгөлд өөр өөр тэмдгийн утгыг авдаг [ a;b]);

3) дериватив f"(x)Тэгээд f""(x)интервал дээр тэмдэг хадгалах [ a;b] (жишээ нь функц f(x)сегмент дээр нэмэгдэх эсвэл буурах [ a;b], гүдгэрийн чиглэлийг хадгалахын зэрэгцээ);

Аргын утга нь дараах байдалтай байна: сегмент дээр [ a;b] ийм тоог сонгосон x 0,аль нь f(x 0)ижил тэмдэгтэй байна f""(x 0),өөрөөр хэлбэл нөхцөл хангагдсан байна f(x 0) f""(x) > 0. Тиймээс абсциссатай цэгийг сонгоно x 0, муруйн шүргэгч y=f(x)сегмент дээр [ a;b] тэнхлэгийг огтолж байна Үхэр. Нэг цэгт x 0Эхлээд сегментийн төгсгөлүүдийн аль нэгийг сонгох нь тохиромжтой.

Тодорхой жишээ ашиглан энэ алгоритмыг авч үзье.

Өсөн нэмэгдэж буй функцийг бидэнд өгье y = f(x) =x 2– 2,сегмент дээр тасралтгүй (0;2), болон байна f "(x) =2x>0Тэгээд f ""(x) = 2> 0.

Манай тохиолдолд шүргэгч тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. у-у 0 =2х 0 ·(х-х 0). IN x 0 цэгийн хувьд бид цэгийг сонгоно B 1 (b; f(b)) = (2,2).Функц руу шүргэгч зур у = f(x) B 1 цэг дээр байх ба шүргэгч ба тэнхлэгийн огтлолцлын цэгийг тэмдэглэнэ Үхэрцэг x 1. Бид эхний шүргэгчийн тэгшитгэлийг олж авна. у-2=2·2(х-2), у=4х-6. Үхэр: x 1 =

Цагаан будаа. 3. f(x) функцийн графикт эхний шүргэгчийг байгуулах

y=f(x) Үхэрцэгээр дамжуулан x 1, бид санаагаа олж авлаа B 2 =(1.5; 0.25). Функц руу дахин шүргэгч зур у = f(x) B 2 цэг дээр ба шүргэгч ба огтлолцлын цэгийг тэмдэглэнэ Үхэрцэг x 2.

Хоёр дахь шүргэгчийн тэгшитгэл: у-2.25=2*1.5(х-1.5), у = 3х - 4.25.Тангенс ба тэнхлэгийн огтлолцлын цэг Үхэр: x 2 =.

Дараа нь функцийн огтлолцох цэгийг олно y=f(x)ба тэнхлэгт татсан перпендикуляр Үхэр x 2 цэгээр дамжуулан бид B 3 цэгийг авах гэх мэт.

Цагаан будаа. 4. f(x) функцийн графикт хоёр дахь шүргэгчийг байгуулах

Үндэсний эхний ойролцооллыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

= 1.5.

Үндэсийн хоёр дахь ойролцоо утгыг дараахь томъёогоор тодорхойлно.

=

Үндэсний гурав дахь ойролцооллыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Тиймээс , биҮндэсний ойролцоох утгыг дараахь томъёогоор тодорхойлно.

Тооцооллыг хариултанд шаардлагатай аравтын орон таарах хүртэл эсвэл заасан нарийвчлалд хүрэх хүртэл - тэгш бус байдал хангагдах хүртэл хийгддэг. |xi-xi-1|

Манай тохиолдолд гурав дахь шатанд олж авсан ойролцооллыг бодит хариулттай харьцуулж үзье. Таны харж байгаагаар гурав дахь алхам дээр бид 0.000002-аас бага алдаа хүлээн авсан.

CAD ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэхMathCAD

Маягтын хамгийн энгийн тэгшитгэлийн хувьд е(x) = 0 функцийг ашиглан MathCAD дахь шийдлийг олно үндэс.

үндэс(е (X 1 , x 2 , … ) , X 1 , а, б ) - утгыг буцаана X 1 , сегментэд хамаарах [ а, б ] , илэрхийлэл эсвэл функц байгаа е (X ) 0-д очно. Энэ функцийн аргумент хоёулаа скаляр байх ёстой. Функц нь скалярыг буцаана.

Цагаан будаа. 5. MathCAD дээр шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх (язгуур функц)

Хэрэв энэ функцийг хэрэглэсний үр дүнд алдаа гарвал энэ нь тэгшитгэл нь үндэсгүй эсвэл тэгшитгэлийн үндэс нь анхны ойролцоолоос хол байрласан бол илэрхийлэл нь орон нутгийн утгатай байна гэсэн үг юм. хамгийн ихТэгээд минанхны ойролцоолсон болон үндэс хооронд.

Алдааны шалтгааныг тогтоохын тулд функцийн графикийг шалгах шаардлагатай е(x). Энэ нь тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсэхийг олж мэдэхэд тусална е(x) = 0 бөгөөд хэрэв байгаа бол тэдгээрийн утгыг ойролцоогоор тодорхойлно. Үндэсний анхны ойролцооллыг илүү нарийвчлалтай сонгох тусам түүний үнэн зөв утгыг хурдан олох болно.

Хэрэв анхны ойролцоо утга нь тодорхойгүй бол функцийг ашиглахыг зөвлөж байна шийдэх . Түүнчлэн хэрэв тэгшитгэлд хэд хэдэн хувьсагч байгаа бол та шийдвэрлэх түлхүүр үгийн дараа тухайн тэгшитгэлийг шийдэж буй хувьсагчдын жагсаалтыг зааж өгөх хэрэгтэй.

Цагаан будаа. 6. MathCAD программ дээр шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх (функцийг шийдвэрлэх)

Дүгнэлт

Судалгаанд CAD систем MathCAD программчлалыг ашиглан математикийн аргууд болон тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аль алиныг нь шалгасан. Өөр өөр аргууд нь өөрийн давуу болон сул талуудтай байдаг. Тодорхой аргыг ашиглах нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн анхны нөхцлөөс хамаарна гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Сургуульд мэддэг хүчин зүйлчлэл гэх мэт аргаар сайн шийдэж болох тэгшитгэлийг илүү төвөгтэй аргуудыг ашиглан шийдэх нь утгагүй юм. Физик, химийн хувьд чухал ач холбогдолтой, тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд нарийн төвөгтэй тооцоолох үйлдлүүдийг шаарддаг хэрэглээний математикийн асуудлуудыг, жишээлбэл, програмчлалын тусламжтайгаар амжилттай шийдвэрлэдэг. Ньютоны аргыг ашиглан тэдгээрийг шийдэх нь сайн хэрэг.

Үндэсийг тодруулахын тулд та ижил тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэд хэдэн аргыг ашиглаж болно. Энэхүү судалгаа нь энэхүү ажлын үндэс суурийг тавьсан юм. Үүний зэрэгцээ тэгшитгэлийн үе шат бүрийг шийдвэрлэхэд аль аргыг хамгийн амжилттай, энэ үе шатанд ямар аргыг ашиглахгүй байх нь дээр гэдгийг харахад хялбар байдаг.

Судалсан материал нь нэг талаас математикийн мэдлэгийг өргөжүүлэх, гүнзгийрүүлэх, математикийн сонирхлыг бий болгоход тусалдаг. Нөгөөтэйгүүр техник, инженерийн мэргэжил эзэмшихээр төлөвлөж буй хүмүүст математикийн бодит асуудлыг шийдэж чаддаг байх нь чухал. Тиймээс энэ ажил нь цаашдын боловсролд чухал ач холбогдолтой (жишээлбэл, дээд боловсролын байгууллагад).

Уран зохиол:

1. Митяков С.Н. Мэдээлэл зүй. Сургалт, арга зүйн материалын багц. - Н.Новгород: Нижний Новгород. муж технологи. их сургууль, 2006
2. Вайнберг M. M., Trenogin V. A. Шугаман бус тэгшитгэлийн салаалсан шийдлийн онол. М.: Наука, 1969. - 527 х.
3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Техникийн коллежийн инженер, оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага - М.: Наука, 1986.
4. Омельченко В.П., Курбатова Е.В. Математик: сурах бичиг. - Ростов н/д.: Финикс, 2005 он.
5. Savin A.P. Залуу математикчийн нэвтэрхий толь бичиг. - М.: Сурган хүмүүжүүлэх ухаан, 1989.
6. Корн Г., Корн Т. Эрдэмтэд, инженерүүдэд зориулсан математикийн гарын авлага. - М.: Наука, 1973.
7. Кирьянов Д. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - Санкт-Петербург: BHV-Петербург, 2012 он.
8. Chernyak A., Chernyak Zh., Domanova Yu Mathcad дээр суурилсан дээд математик. Ерөнхий курс. - Санкт-Петербург: BHV-Петербург, 2004 он.
9. Поршнев С., Беленкова I. Mathcad дээр суурилсан тоон аргууд. - Санкт-Петербург: BHV-Петербург, 2012 он.

Түлхүүр үгс: шугаман бус тэгшитгэл, хэрэглээний математик, CAD MathCAD, Ньютоны арга, алхамын арга, дихотомийн арга..

Тэмдэглэл: Энэхүү нийтлэл нь шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд, түүний дотор MathCAD компьютерийн дизайны системийг ашиглахад зориулагдсан болно. Алхам арга, хагас ба Ньютоны аргуудыг авч үзэж, эдгээр аргуудыг хэрэглэх нарийвчилсан алгоритмуудыг өгч, эдгээр аргуудын харьцуулсан дүн шинжилгээг хийсэн болно.

Жишээ нь:

Хайх даалгавраа тавьцгаая хүчинтэйЭнэ тэгшитгэлийн үндэс.

Мөн тэнд байгаа нь гарцаагүй! - тухай нийтлэлээс функцын графикуудТэгээд дээд математикийн тэгшитгэлүүдямар хуваарь байгааг та маш сайн мэднэ олон гишүүнт функц сондгой зэрэгтэнхлэгийг дор хаяж нэг удаа огтолдог тул бидний тэгшитгэлтэй байна ядажнэг жинхэнэ үндэс. Нэг. Эсвэл хоёр. Эсвэл гурав.

Нэгдүгээрт, энэ нь бэлэн эсэхийг шалгахыг гуйж байна оновчтойүндэс. дагуу харгалзах теорем, зөвхөн 1, –1, 3, –3 тоонууд энэ “гарчиг”-ыг нэхэмжлэх боломжтой бөгөөд шууд орлуулснаар тэдгээрийн аль нь ч “тохирохгүй” эсэхийг шалгахад хялбар байдаг. Тиймээс үндэслэлгүй үнэт зүйлс хэвээр байна. 3-р зэргийн олон гишүүнтийн иррациональ үндэсийг олж болно яг (радикалаар илэрхийлэх)гэж нэрлэгддэгийг ашиглан Кардано томъёо , гэхдээ энэ арга нь нэлээд төвөгтэй юм. Гэхдээ 5 ба түүнээс дээш зэрэглэлийн олон гишүүнтүүдийн хувьд ерөнхий аналитик арга огт байдаггүй бөгөөд үүнээс гадна практикт өөр олон тэгшитгэлүүд байдаг. тодорхой утгууджинхэнэ үндсийг олж авах боломжгүй (хэдийгээр тэдгээр нь байдаг).

Гэсэн хэдий ч өргөдөлд (жишээ нь, инженер)Асуудалтай тохиолдолд тооцоолсон утгыг ашиглах нь хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй тодорхой нарийвчлалтайгаар.

Өөрийн жишээн дээр нарийвчлалыг тогтооцгооё. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь бид язгуурын ИЙМ ойролцоо утгыг олох хэрэгтэй гэсэн үг юм (үндэс)үүнд бид Бид 0.001-ээс хэтрэхгүй алдаатай байх баталгаатай (мянганы нэг) .

Шийдлийг "санамсаргүй байдлаар" эхлүүлэх боломжгүй нь тодорхой бөгөөд эхний алхамд үндэс суурь болно тусдаа. Үндэс ялгана гэдэг нь энэ үндэс хамаарах бөгөөд өөр үндэс байхгүй хангалттай жижиг (ихэвчлэн ганц) сегментийг олох гэсэн үг юм. Хамгийн энгийн бөгөөд хүртээмжтэй үндсийг салгах график арга. Барьцгаая цэгээрфункцийн график :

Зургаас харахад тэгшитгэл нь сегментэд хамаарах нэг бодит язгууртай байна. Энэ интервалын төгсгөлд функц байна өөр өөр тэмдгийн утгыг авдаг: , мөн баримтаас сегмент дээрх функцийн тасралтгүй байдалҮндэсийг тодруулах энгийн арга нь нэн даруй харагдах болно: бид интервалыг хагас болгон хувааж, функц өөр өөр тэмдэг авах төгсгөлд сегментийг сонгоно. Энэ тохиолдолд энэ нь мэдээжийн хэрэг сегмент юм. Бид үүссэн интервалыг хагасаар хувааж, "өөр тэмдэг" сегментийг дахин сонгоно. гэх мэт. Ийм дараалсан үйлдлүүдийг гэж нэрлэдэг давталт. Энэ тохиолдолд тэдгээрийг сегментийн урт нь тооцооллын нарийвчлалаас хоёр дахин бага болтол гүйцэтгэх ёстой бөгөөд хамгийн сүүлийн "өөр тэмдэгт" сегментийн дунд хэсгийг үндэсийн ойролцоо утга болгон сонгох хэрэгтэй.

Энэ схем нь байгалийн нэрийг хүлээн авсан - хагас хуваах арга. Мөн энэ аргын сул тал бол хурд юм. Аажмаар. Маш удаан. Шаардлагатай нарийвчлалд хүрэхээс өмнө хэт олон давталт хийх болно. Компьютерийн технологи хөгжихийн хэрээр энэ нь мэдээжийн хэрэг асуудал биш боловч математик нь хамгийн оновчтой шийдлүүдийг хайж олоход зориулагдсан зүйл юм.

Үндэсний ойролцоо утгыг олох илүү үр дүнтэй аргуудын нэг бол яг нарийн юм шүргэгч арга. Аргын товч геометрийн мөн чанар нь дараах байдалтай байна: нэгдүгээрт, тусгай шалгуурыг ашиглана (энэ талаар бага зэрэг дараа)сегментийн төгсгөлүүдийн аль нэгийг сонгосон. Энэ төгсгөл гэж нэрлэдэг анхныязгуурыг ойртуулах, бидний жишээнд: . Одоо бид функцийн график руу шүргэгч зурж байна абсцисса дээр (цэнхэр цэг ба ягаан шүргэгч):

Энэ шүргэгч нь шар цэг дээр x тэнхлэгийг гаталсан бөгөөд эхний алхамд бид бараг "үндэсийг цохисон" гэдгийг анхаарна уу! Энэ нь байх болно эхлээдүндэс хандлага. Дараа нь бид функцийн графикт перпендикуляр шарыг буулгаж, улбар шар цэг рүү "авна". Бид улбар шар цэгээр дахин шүргэгч зурдаг бөгөөд энэ нь тэнхлэгийг үндэс рүү нь илүү ойртуулна! гэх мэт. Шүргэх аргыг ашигласнаар бид зорилгодоо үсрэнгүй ойртож байгааг ойлгоход хэцүү биш бөгөөд нарийвчлалд хүрэхийн тулд хэд хэдэн давталт шаардлагатай болно.

Шүргэгч нь дамжуулан тодорхойлогддог тул функцийн дериватив, дараа нь энэ хичээл нь түүний хэрэглээний нэг болох "Үсмэл бүтээгдэхүүн" хэсэгт дууссан. Мөн дэлгэрэнгүй ярихгүйгээр аргын онолын үндэслэл, Би асуудлын техникийн талыг авч үзэх болно. Практикт дээр дурдсан асуудал ойролцоогоор дараах томъёололд тохиолддог.

Жишээ 1

График аргыг ашиглан тэгшитгэлийн жинхэнэ язгуур байрлах интервалыг ол. Ньютоны аргыг ашиглан язгуурын ойролцоо утгыг 0.001 нарийвчлалтайгаар гарга.

Энд нэг хүчинтэй үндэс байгаа эсэхийг нэн даруй зааж өгсөн даалгаврын "хямдхан хувилбар" байна.

Шийдэл: эхний алхам дээрүндэс нь графикаар тусгаарлагдсан байх ёстой. Үүнийг хуйвалдааны аргаар хийж болно (дээрх зургуудыг үзнэ үү), гэхдээ энэ арга нь хэд хэдэн сул талуудтай. Нэгдүгээрт, график нь энгийн байх нь үнэн биш юм (бид урьдчилж мэдэхгүй), мөн програм хангамж нь үргэлж гарт байдаггүй. Мөн хоёрдугаарт (1-ээс гарсан үр дүн), үр дүн нь бүдүүвч зураг биш, бүдүүлэг зураг байх магадлал өндөр байгаа нь мэдээжийн хэрэг сайн биш юм.

За, яагаад бидэнд шаардлагагүй бэрхшээл хэрэгтэй байна вэ? Төсөөлөөд үзье тэгшитгэлхэлбэрээр графикуудыг АНХААРАЛТАЙ байгуулж, зурган дээрх үндсийг тэмдэглэнэ (“Графикуудын огтлолцох цэгийн X” координат):

Илэрхий давуу тал энэ аргаЭдгээр функцүүдийн графикийг гараар илүү нарийвчлалтай, хурдан хийдэг. Дашрамд хэлэхэд үүнийг анхаарна уу шулуунгаталсан куб параболнэг цэг дээр, энэ нь санал болгож буй тэгшитгэл нь үнэндээ зөвхөн нэг бодит үндэстэй гэсэн үг юм. Итгэ, гэхдээ баталгаажуул ;-)

Тэгэхээр манай "үйлчлүүлэгч" нь сегментэд хамаарах бөгөөд "нүдээр" нь ойролцоогоор 0.65-0.7-тэй тэнцүү байна.

Хоёр дахь алхам дээрсонгох хэрэгтэй анхны ойролцоололтүндэс Ихэвчлэн энэ нь сегментийн төгсгөлүүдийн нэг юм. Анхны ойролцоо тооцоолол нь дараах нөхцлийг хангасан байх ёстой.

Олъё эхлээдТэгээд хоёрдугаартүүсмэл функцууд :

мөн сегментийн зүүн төгсгөлийг шалгана уу:

Тиймээс тэг нь "тохирсонгүй".

Сегментийн баруун төгсгөлийг шалгаж байна:

- Бүх зүйл сайхан байна! Бид анхны ойролцоолсон байдлаар сонгодог.

Гурав дахь алхам дээрҮндэс рүү хүрэх зам биднийг хүлээж байна. Дараах үндэс бүрийг өмнөх өгөгдлөөс дараах байдлаар тооцоолно давтагдахтомъёо:

Урьдчилан тогтоосон тооцооллын нарийвчлал нь нөхцөл хангагдсан үед процесс дуусна. Үүний үр дүнд “n-р” ойролцоо утгыг язгуурын ойролцоо утга болгон авна: .

Дараах нь ердийн тооцоолол юм:

(Бөөрөнхийлөлтийг ихэвчлэн 5-6 аравтын орон хүртэл хийдэг)

Хүлээн авсан утга нь -ээс их байгаа тул бид язгуурын 1-р ойролцооллыг үргэлжлүүлнэ.

Бид тооцоолно:

, тиймээс 2-р ойролцоололт руу шилжих шаардлагатай байна:

Дараагийн шатанд шилжье:

, ингэснээр давталтууд дууссан бөгөөд 2-р ойролцоолсон утгыг өгөгдсөн нарийвчлалын дагуу мянганы нэг болгон дугуйрсан язгуурын ойролцоо утга гэж авна.

Практикт оруулгыг бага зэрэг богиносгохын тулд тооцооллын үр дүнг хүснэгтэд оруулах нь тохиромжтой байдаг.

Боломжтой бол тооцооллыг Excel дээр өөрөө хийх нь дээр - энэ нь илүү тохиромжтой бөгөөд хурдан юм.

Хариулт: 0.001 хүртэл нарийвчлалтай

Энэ хэллэг нь бид үнэлгээ хийхдээ алдаа гаргасныг илтгэж байгааг сануулъя жинхэнэ утгаүндэс нь 0.001-ээс ихгүй байна. Эргэлзээтэй хүмүүс тооцоолуур авч, тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа 0.674-ийн ойролцоо утгыг дахин орлуулж болно.

Одоо хүснэгтийн баруун баганыг дээрээс доош нь "сканнердаж" утгууд нь үнэмлэхүй утгаараа тогтмол буурч байгааг анзаарцгаая. Энэ эффект гэж нэрлэгддэг нэгдэлязгуурыг дур мэдэн өндөр нарийвчлалтайгаар тооцоолох боломжийг бидэнд олгодог арга. Гэхдээ нэгдэл нь үргэлж тохиолддоггүй - энэ нь баталгаатай байдаг хэд хэдэн нөхцөл, энэ талаар би чимээгүй байсан. Ялангуяа үндэс нь тусгаарлагдсан сегмент байх ёстой хангалттай жижиг- эс тэгвээс утгууд санамсаргүй байдлаар өөрчлөгдөх бөгөөд бид алгоритмыг дуусгах боломжгүй болно.

Ийм тохиолдолд юу хийх вэ? Заасан нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгана уу (дээрх холбоосыг үзнэ үү), шаардлагатай бол сегментийг багасгах. Тиймээс, харьцангуйгаар, хэрэв дүн шинжилгээ хийсэн жишээн дээр интервал нь бидэнд тохирохгүй байсан бол жишээлбэл сегментийг авч үзэх хэрэгтэй. Практик дээр би ийм тохиолдолтой тулгарсан, мөн энэ техник үнэхээр тусалдаг! Хэрэв "өргөн" сегментийн хоёр төгсгөл нь нөхцөлийг хангахгүй байвал ижил зүйлийг хийх ёстой (өөрөөр хэлбэл, тэдгээрийн аль нь ч анхан шатны тооцоололд тохирохгүй).

Гэхдээ ихэвчлэн бүх зүйл цаг шиг ажилладаг боловч алдаа дутагдалгүй байдаг:

Жишээ 2

Тэгшитгэлийн бодит язгуурын тоог графикаар тодорхойлж, эдгээр язгуурыг салгаж, Ньютоны аргыг ашиглан язгуурын ойролцоо утгыг нарийвчлалтайгаар ол.

Асуудлын нөхцөл байдал мэдэгдэхүйц хатуу болсон: нэгдүгээрт, тэгшитгэл нь нэг үндэсгүй гэсэн хүчтэй санааг агуулдаг, хоёрдугаарт, нарийвчлалын шаардлага нэмэгдсэн, гуравдугаарт, функцийн графиктай даван туулахад хамаагүй хэцүү.

Тиймээс шийдэлХадгаламжийн трикээр эхэлцгээе: тэгшитгэлийг маягтаар төсөөлж, график зур.


Зургаас харахад бидний тэгшитгэл хоёр жинхэнэ үндэстэй байна.

Таны ойлгож байгаагаар алгоритмыг хоёр удаа "бүрүүлэх" хэрэгтэй. Гэхдээ энэ нь хамгийн хүнд тохиолдолд ч гэсэн заримдаа 3-4 үндэсийг шалгах шаардлагатай болдог.

1) Шалгуур ашиглах Эхний язгуурын анхны ойролцоолсноор сегментийн аль төгсгөлийг сонгохыг олж мэдье. Функцийн деривативыг олох :

Сегментийн зүүн төгсгөлийг турших:

- гарч ирэв!

Тиймээс анхны ойролцоо тооцоолол юм.

Бид давтагдах томъёог ашиглан Ньютоны аргыг ашиглан үндсийг боловсронгуй болгоно.
- бутархай хүртэл модульшаардлагатай нарийвчлалаас багагүй байна:

Энд "модуль" гэсэн үг нь утга учир нь сөрөг утгатай тул хуурмаг бус ач холбогдолтой юм.


Үүнтэй ижил шалтгааны улмаас дараагийн ойртолт бүрт шилжихэд онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй.

Нарийвчлалын талаар нэлээд өндөр шаардлага тавьсан хэдий ч процесс дахин 2-р ойролцоолсноор дууссан: , тиймээс:

0.0001 хүртэл нарийвчлалтай

2) Үндэсний ойролцоо утгыг олъё.

Бид сегментийн зүүн төгсгөлд бөөс байгаа эсэхийг шалгана.

, тиймээс энэ нь анхны ойролцоолсон байдлаар тохиромжгүй.

n хэлбэрийн үл мэдэгдэх n шугаман бус алгебр буюу трансцендентал тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олох асуудал.

тооцоолох практикт өргөнөөр авч үздэг. Үүнтэй төстэй тэгшитгэлийн системүүд, жишээлбэл, шугаман бус физик системийг тоон загварчлах үед тэдгээрийн хөдөлгөөнгүй төлөвийг хайх үе шатанд үүсч болно. Хэд хэдэн тохиолдолд (6.1) хэлбэрийн системийг бусад тооцооллын асуудлыг шийдвэрлэх явцад шууд бус байдлаар олж авдаг. Жишээлбэл, хэд хэдэн хувьсагчийн функцийг багасгах гэж оролдохдоо функцийн градиент тэгтэй олон хэмжээст орон зайд байгаа цэгүүдийг хайж болно. Энэ тохиолдолд зүүн талтай тэгшитгэлийн системийг (6.1) - координатын тэнхлэгүүд дээрх градиент проекцийг шийдэх шаардлагатай.

Вектор тэмдэглэгээнд (6.1) системийг илүү нягт хэлбэрээр бичиж болно

Функцийн вектор багана, тэмдэг () T нь шилжүүлгийн үйлдлийг илэрхийлнэ

Шугаман бус тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олох нь нэг шугаман бус тэгшитгэлийг шийдэхээс хамаагүй илүү төвөгтэй ажил юм. Гэсэн хэдий ч шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэд хэдэн давталтын аргыг шугаман бус тэгшитгэлийн системд өргөтгөж болно.

Энгийн давталтын арга

Шугаман бус тэгшитгэлийн системийн давталтын энгийн арга нь үндсэндээ нэг тэгшитгэлийн ижил нэртэй аргын ерөнхий дүгнэлт юм. Энэ нь тэгшитгэлийн системийг (6.1) хэлбэр болгон бууруулсанд үндэслэсэн болно

x 1= g 1(x 1, x 2, … , x n) , x 2= g 2(x 1, x 2, … , x n) ,

……………………

x n= g n(x 1 , x 2 , … , x n) ,

болон давталтуудыг томъёоны дагуу гүйцэтгэнэ

x 1 (k + 1 )= g 1 (x 1 (k ), x 2 (k ), ... , x n (k )), x 2 (k + 1 )= g 2 (x 1 (k ), x 2 (k ), … , x n (k )),

……………………………

x n (k + 1)= g n (x 1 (k), x 2 (k), ..., x n (k)).

Энд дээд тэмдэгт нь ойролцоо тоог заана. Давтагдах үйл явц (6.3) нь зарим нэг анхны ойролцоолсноор эхэлдэг

(x 1 (0) ,x 2 (0) ,… ,x n (0) ) ба модулиудыг нэмэгдүүлэх хүртэл үргэлжлүүлнэ.

Нэг k давталтын дараах бүх аргументууд өгөгдсөн утгаас бага болохгүй ε : x i (k + 1 ) − x i (k )< ε дляi = 1,2,… ,n .

Хэдийгээр энгийн давталтын арга нь шийдэлд шууд хүргэдэг бөгөөд програмчлахад хялбар боловч хоёр чухал сул талтай. Тэдний нэг нь удаан нийлэх явдал юм. Өөр нэг нь хэрэв анхны ойролцооллыг жинхэнэ шийдээс хол сонгосон бол (X 1,X 2,…,X n), дараа нь нийлэх

арга нь баталгаатай биш юм. Нэг тэгшитгэлийн хувьд ч энгийн биш анхны ойролцооллыг сонгох асуудал шугаман бус системийн хувьд маш төвөгтэй болох нь тодорхой байна.

Шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийд:

Ерөнхий хэлбэрийн шугаман бус системийг шийдвэрлэх шууд аргууд байдаггүй. Зөвхөн зарим тохиолдолд (4.1) системийг шууд шийдэж болно. Жишээлбэл, хоёр тэгшитгэлийн хувьд заримдаа нэг үл мэдэгдэхийг нөгөөгөөр нь илэрхийлж, улмаар нэг үл мэдэгдэхтэй холбоотой нэг шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд асуудлыг багасгаж болно.

Давталтын аргыг ихэвчлэн шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Ньютоны арга

Нэг тэгшитгэлийн F(x) = 0 тохиолдолд y = F(x) муруйн шүргэгч тэгшитгэлийг бичих замаар Ньютоны аргын алгоритмыг хялбархан олж авсан. Тэгшитгэлийн системд зориулсан Ньютоны арга нь Тейлорын цувралд F 1 (x 1 ...x n) функцүүдийн өргөтгөл болон дараах томъёог агуулсан томъёог ашиглахад суурилдаг.

одоо байгаа хоёр дахь (болон дээд зэрэглэлийн) деривативуудыг устгана. Системийн үл мэдэгдэх утгуудын ойролцоо утгыг (4.1) тэнцүү болго

хариуцлагатай a 1 ,a 2 ,.....,a n . Даалгавар бол өсөлтийг олох явдал юм (хэрэв

Тейлорын цувааны тэлэлтийг харгалзан тэгшитгэлийн зүүн талыг (4.1) өргөтгөж, зөвхөн харьцангуй шугаман гишүүдээр хязгаарлая.

(4.1) системийг орлуулснаар бид өсөлтийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн дараах системийг олж авна.

x 2 = a 2, …x n = a n.

Системийн тодорхойлогч (4.3) нь Якобиан юм.

… … … …

∂ F n… … ∂ F n∂ x 1 ∂ x n

x 1= a 1,

Системийн өвөрмөц шийдлийг бий болгохын тулд давталт бүрт Жакобиан тэгээс өөр байх ёстой.

Ийнхүү Ньютоны аргаар тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх давталт үйл явц нь шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх замаар давталт бүрийн үл мэдэгдэх утгуудын x 1, x 2, ..., x n өсөлтийг тодорхойлоход оршино. 4.3). Бүх өсөлт үнэмлэхүй утгаараа бага бол тоолох нь зогсоно: maxx i< ε . В ме-

Ньютоны аргын хувьд сайн нийлэлтийг хангахын тулд анхны ойролцооллыг амжилттай сонгох нь бас чухал юм. Систем дэх тэгшитгэлийн тоо нэмэгдэх тусам нийлмэл байдал мууддаг.

Жишээлбэл, хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд Ньютоны аргыг ашиглана уу.

∂ ∂ F 1. x

Баруун талд байгаа хэмжигдэхүүнүүдийг x = a,y = b гэж тооцно.

УЛСЫН БОЛОВСРОЛЫН БАЙГУУЛЛАГА

"Нэрмийн Днестрийн Улсын Их Сургууль. Т.Г. Шевченко"

Рыбница салбар

Физик, математик, мэдээлэл зүйн тэнхим

Курсын ажил

"Компьютер дээрх асуудлыг шийдвэрлэх семинар" гэсэн чиглэлээр.

"Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдэх Ньютоны арга"

Дууссан:

3-р курсын оюутан;

330-р бүлэг

Мэргэжлийн чиглэл: "Мэдээлэл зүй"

нэмэлтээр англи хэлээр мэргэшсэн

Нистор А.Г.

Шалгасан:

багш Панченко Т.А.

Хүний үйл ажиллагааны бүх салбарт компьютерийг нэвтрүүлэх нь янз бүрийн мэргэжлийн мэргэжилтнүүдээс компьютерийн технологийг ашиглах ур чадварыг эзэмшихийг шаарддаг. Эхний жилээс эхлэн компьютерийн хэрэглээ, хамгийн энгийн тоон аргыг эзэмшсэн их, дээд сургуулийн оюутнуудын сургалтын түвшин нэмэгдэж байгаа нь бүү хэл курс, дипломын төсөл хэрэгжүүлэх, компьютерийн технологи ашиглах нь хэвийн үзэгдэл болж байна. дийлэнх их дээд сургуулиудад.

Компьютерийн технологийг одоо зөвхөн инженерийн тооцоолол, эдийн засгийн шинжлэх ухаанд төдийгүй анагаах ухаан, хэл шинжлэл, сэтгэл судлал гэх мэт уламжлалт математикийн бус мэргэжлээр ашиглаж байна. Үүнтэй холбоотойгоор компьютерийн хэрэглээ өргөн тархсан гэж хэлж болно. Мэргэжилтнүүдийн томоохон ангилал бий болсон - өөрсдийн салбартаа компьютер ашиглах талаар мэдлэг шаардлагатай компьютер хэрэглэгчид - одоо байгаа програм хангамжтай ажиллах чадвар, мөн тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд тохирсон өөрийн програм хангамжийг бий болгох чадвар. Энд өндөр түвшний програмчлалын хэл, тоон аргуудын тайлбар нь хэрэглэгчдэд туслах болно.

Тоон аргуудыг ихэвчлэн өндөр мэргэшсэн математикчид боловсруулж, судалдаг. Ихэнх хэрэглэгчдийн хувьд гол ажил бол үндсэн санаа, арга, онцлог, програмуудыг ойлгох явдал юм. Гэсэн хэдий ч хэрэглэгчид компьютертэй зөвхөн өндөр ухаалаг тооны машин төдийгүй өдөр тутмын ажилд туслах туслах, хурдан бөгөөд эмх цэгцтэй нэвтрэх мэдээллийн сан, график мэдээллийн эх сурвалж, процессороор ажиллахыг хүсдэг. Би энэ курсын ажилд орчин үеийн компьютерийн эдгээр бүх функцийг харуулахыг зорьж байна.

Зорилго, зорилтууд.

Энэхүү курсын ажлын зорилго нь Ньютоны аргыг ашиглан шугаман бус тэгшитгэлийн шийдлийг програм хангамжийн бүтээгдэхүүнд хэрэгжүүлэхэд оршино. Энэхүү ажил нь дүгнэлт, хавсралт гэсэн гурван хэсэгтэй. Эхний хэсэг нь онолынх бөгөөд Ньютоны аргын талаархи ерөнхий мэдээллийг агуулдаг. Хоёр дахь нь практик хэсэг юм. Энд бид тодорхой жишээн дээр дүн шинжилгээ хийсэн Ньютоны аргыг тайлбарлав. Гурав дахь нь програмыг турших, үр дүнд нь дүн шинжилгээ хийхэд зориулагдсан. Эцэст нь хийсэн ажлын талаархи дүгнэлтийг танилцуулав.

Энэхүү курсын ажлын зорилго нь шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх Ньютоны аргыг программ хангамжаар хэрэгжүүлэх явдал юм.

Үүнийг хийхийн тулд та дараах ажлуудыг гүйцэтгэх ёстой.

1. Шаардлагатай ном зохиолыг судлах.

2. Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх одоо байгаа аргуудыг эргэн харах.

3. Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх Ньютоны аргыг судлах.

4. Шугаман бус тэгшитгэлийн шийдлийг Ньютоны аргаар тодорхой жишээн дээр авч үзье.

5. Шугаман бус тэгшитгэлийг Ньютоны аргаар шийдвэрлэх программ зохио.

6. Үр дүнд дүн шинжилгээ хийх.

Шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг олох асуудлыг авч үзье

(1) тэгшитгэлийн язгуурууд нь орлуулсны дараа түүнийг таних тэмдэг болгон хувиргах x-ийн утгууд юм. Зөвхөн хамгийн энгийн тэгшитгэлийн хувьд томъёоны хэлбэрээр шийдлийг олох боломжтой, өөрөөр хэлбэл. аналитик хэлбэр. Ойролцоо аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай байдаг бөгөөд тэдгээрийн дундаас компьютер бий болсноор хамгийн өргөн тархсан нь тоон аргууд юм.

Ойролцоо аргыг ашиглан үндсийг олох алгоритмыг хоёр үе шатанд хувааж болно. Эхний шатанд үндэсийн байршлыг судалж, тэдгээрийг салгах ажлыг гүйцэтгэдэг. Тэгшитгэлийн язгуур буюу x 0 язгуурын анхны ойролцоолсон мужийг олно. Энэ асуудлыг шийдэх хамгийн энгийн арга бол f(x) функцийн графикийг судлах явдал юм. Ерөнхий тохиолдолд үүнийг шийдэхийн тулд математик шинжилгээний бүх хэрэгслийг ашиглах шаардлагатай.

Олдсон сегмент дээр дор хаяж нэг тэгшитгэлийн язгуур (1) байгаа нь Болзаногийн нөхцлөөс хамаарна.

f(a)*f(b)<0 (2)

Энэ нь f(x) функц нь энэ интервал дээр тасралтгүй байна гэсэн үг юм. Гэсэн хэдий ч энэ нөхцөл нь өгөгдсөн сегмент дээрх тэгшитгэлийн язгуурын тооны талаархи асуултанд хариулж чадахгүй. Хэрэв функцийн тасралтгүй байдлын шаардлага нь түүний монотон байдлын шаардлагаар нэмэгддэг бөгөөд энэ нь эхний деривативын тэмдгийн тогтмол байдлаас үүдэлтэй бол өгөгдсөн сегмент дээр нэг үндэс байгаа гэдгийг баталж чадна.

Үндэсийг нутагшуулахдаа энэ төрлийн тэгшитгэлийн үндсэн шинж чанарыг мэдэх нь чухал юм. Жишээлбэл, алгебрийн тэгшитгэлийн зарим шинж чанарыг эргэн санацгаая.

бодит коэффициентүүд хаана байна.

a) n зэрэгтэй тэгшитгэл нь n үндэстэй бөгөөд тэдгээрийн дунд бодит ба нийлмэл аль аль нь байж болно. Нийлмэл үндэс нь нарийн төвөгтэй хосолсон хосуудыг үүсгэдэг тул тэгшитгэл нь тэгш тооны ийм үндэстэй байдаг. Хэрэв n нь сондгой бол ядаж нэг жинхэнэ язгуур байна.

b) Эерэг бодит язгуурын тоо нь коэффициентүүдийн дарааллын хувьсах тэмдгийн тооноос бага буюу тэнцүү байна. (3) тэгшитгэлийн х-г –х-ээр сольсноор сөрөг язгуурын тоог ижил аргаар тооцоолох боломжтой.

(1) тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хоёр дахь шатанд олж авсан анхны ойролцооллыг ашиглан язгуурын утгыг урьдчилан тодорхойлсон нарийвчлалтайгаар боловсронгуй болгох боломжийг олгодог давталтын процессыг байгуулна. Давтагдах үйл явц нь анхны ойртсон утгыг дараалан боловсронгуй болгохоос бүрдэнэ. Ийм алхам бүрийг давталт гэж нэрлэдэг. Давталтын үйл явцын үр дүнд тэгшитгэлийн язгуурын ойролцоо утгуудын дараалал олддог. Хэрэв энэ дараалал нь n өсөхөд x язгуурын жинхэнэ утгад ойртвол давтагдах процесс нийлнэ. Дараах нөхцөл хангагдсан тохиолдолд давтагдах процессыг дор хаяж m дараалалд нийлдэг гэж нэрлэдэг.

, (4)

Энд C>0 тогтмол байна. Хэрэв m=1 бол бид нэгдүгээр эрэмбийн нэгдлийн тухай ярина; m=2 - квадратын тухай, m=3 - куб нийлбэрийн тухай.

Өгөгдсөн зөвшөөрөгдөх алдааны хувьд үнэмлэхүй буюу харьцангуй хазайлтын шалгуурыг хангасан тохиолдолд давталтын мөчлөг дуусна.

эсвэл жижиг зөрүү:

Энэхүү ажил нь Ньютоны аргыг ашиглан шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг судлахад зориулагдсан болно.

1.1 Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх одоо байгаа аргуудын тойм

Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх олон янзын аргууд байдаг бөгөөд тэдгээрийн заримыг доор үзүүлэв.

1)Давталтын арга. Шугаман бус тэгшитгэлийг давталтын аргаар шийдвэрлэхдээ x=f(x) хэлбэрээр бичигдсэн тэгшитгэлийг ашиглана. Аргументийн анхны утга x 0 ба нарийвчлал ε-ийг зааж өгсөн болно. x 1 шийдлийн эхний ойролцоолсон утгыг x 1 =f(x 0), хоёр дахь нь - x 2 =f(x 1) гэх мэт илэрхийллээс олно. Ерөнхий тохиолдолд xi+1 =f(xi) томъёог ашиглан i+1 ойролцоо утгыг олно. Бид энэ процедурыг |f(xi)|>ε хүртэл давтана. Давталтын аргын нийлэх нөхцөл |f"(x)|<1.

2)Ньютоны арга. Шугаман бус тэгшитгэлийг Ньютоны аргаар шийдвэрлэхдээ аргументийн анхны утга x 0 ба нарийвчлал ε-ийг зааж өгнө. Дараа нь (x 0 ,F(x 0)) цэг дээр F(x) график руу шүргэгч зурж, шүргэгчийн х 1 тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг тодорхойлно. (x 1 ,F(x 1)) цэг дээр бид дахин шүргэгчийг байгуулж, хүссэн шийдлийн дараагийн ойролцоолсон утгыг олно x 2 гэх мэт. Бид энэ процедурыг |F(xi)| хүртэл давтана > ε. Шүргэгчийн абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг (i+1) тодорхойлохдоо x i+1 =x i -F(x i)\ F’(x i) томъёог ашиглана. Шүргэх аргын нийлэх нөхцөл F(x 0)∙F""(x)>0 гэх мэт.

3). Дихотомийн арга.Шийдвэрлэх арга нь C k = a k + b k /2 томъёоны дагуу эхний тодорхойгүй байдлын интервалыг аажмаар хагасаар хуваахад хүргэдэг.

Үүссэн хоёр сегментээс шаардлагатай нэгийг нь сонгохын тулд үүссэн сегментүүдийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг олж, функц тэмдэгээ өөрчилдөг нэгийг, өөрөөр хэлбэл f ( нөхцөлийг) авч үзэх шаардлагатай. a k) * f (k-д) хангагдсан байх ёстой<0.

Сегментийг хуваах үйл явц нь одоогийн тодорхойгүй байдлын интервалын урт нь заасан нарийвчлалаас бага болтол явагдана.

in to - a to< E. Тогда в качестве приближенного решения уравнения будет точка, соответствующая середине интервала неопределённости.

4). Хөвчний арга. Аргын санаа нь y=f(x) функцийн графын нумын төгсгөлүүд ба хөвчний х-тэй огтлолцох c цэгийг агуулж буй сегмент дээр хөвчийг байгуулах явдал юм. тэнхлэгийг язгуурын ойролцоо утга гэж үзнэ

c = a - (f(a)Х (a-b)) / (f(a) - f(b)),

c = b - (f(b)Х (a-b)) / (f(a) - f(b)).

Дараагийн ойролцооллыг интервал дээр эсвэл a, b, c цэгүүд дэх функцийн утгын тэмдгүүдээс хамааран хайж байна.

x* O, хэрэв f(c)H f(a) > 0;

x* O хэрэв f(c)Х f(b)< 0 .

Хэрэв f"(x) тэмдэг нь өөрчлөгдөөгүй бол c=x 1 гэж тэмдэглээд a эсвэл b-г анхны ойролцоолсон гэж үзвэл бид баруун эсвэл зүүн цэгтэй хөвчний аргын давтагдах томьёог олж авна.

x 0 =a, x i+1 = x i - f(x i)(b-x i) / (f(b)-f(x i), f "(x)Х f "(x) > 0-тэй;

x 0 =b, x i+1 = x i - f(x i)(x i -a) / (f(x i)-f(a), f "(x)Х f "(x)-тай< 0 .

Хөвчний аргын нэгдэл нь шугаман байна.

1.2 Ньютоны аргын алгоритм

Тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолох үр дүнтэй алгоритмыг бүтээцгээе. Анхны ойролцоо утгыг өгье. Энэ үед функцийн утга ба түүний деривативыг тооцоолъё. Аргын график дүрслэлийг харцгаая:

.

(8)

Энэ үйл явцыг үргэлжлүүлснээр бид алдартай Ньютоны томъёог олж авна.

(9)

Энд хамгийн энгийн рекурсив дэд программ функц байна:

функц X_Newt(x,eps:real):бодит;

y:=x-f(x)/f1(x);

хэрэв abs(f(x)) > eps

дараа нь X_Newt:=X_Newt(y,eps)

Ньютоны арга (шүргэгч) нь квадрат ойртох хурдаар тодорхойлогддог, i.e. Давталт бүрт зөв тэмдгийн тоо хоёр дахин нэмэгддэг. Гэсэн хэдий ч энэ арга нь үргэлж хүссэн үр дүнд хүргэдэггүй. Энэ асуудлыг илүү нарийвчлан авч үзье.

(1) тэгшитгэлийг дараах хэлбэрийн эквивалент тэгшитгэл болгон хувиргацгаая.

Шүргэх аргын хувьд . Хэрэв x=x 0 язгуурын анхны ойролцоололт мэдэгдэж байгаа бол бид x 1 =g(x 0), тэгвэл x 2 =g(x 1) тэгшитгэлээс дараагийн ойролцооллыг олно... Энэ процессыг үргэлжлүүлэх, энгийн давталтын аргын давтагдах томьёог олж авна

x k+1 =g(x k) (11)

Давтагдах үйл явц (5-7) нөхцөл хангагдтал үргэлжилнэ.

Тайлбарласан тооцооллын процесс нь үргэлж хүссэн шийдэлд хүргэдэг үү? Ямар нөхцөлд нэгдэх вэ? Эдгээр асуултад хариулахын тулд аргын геометрийн дүрслэл рүү дахин орцгооё.

Тэгшитгэлийн язгуурыг y=x ба y=g(x) функцүүдийн огтлолцлын цэгээр илэрхийлнэ. Зураг дээрээс харж болно. 3(а), хэрэв нөхцөл хангагдсан бол процесс нийлнэ, эс бөгөөс сална (Зураг 3(б)).

Тиймээс давтагдах үйл явц нэгдэж, хүссэн үр дүнд хүргэхийн тулд дараах нөхцөлийг хангасан байх ёстой.

f(x)=0 тэгшитгэлээс x=g(x) тэгшитгэл рүү шилжих шилжилтийг янз бүрийн аргаар хийж болно. Энэ тохиолдолд сонгосон g(x) функц (12) нөхцөлийг хангах нь чухал. Жишээлбэл, f(x) функцийг дурын тогтмол q-д үржүүлж, (1) тэгшитгэлийн хоёр талд x хувьсагчийг нэмбэл g(x)=q*f(x)+x болно. Алгоритмын нэгдэх хурд хамгийн их байхаар q тогтмолыг сонгоцгооё. Хэрэв 1

Ньютоны арга нь нийлэх хувь өндөртэй ч тэр бүр нийлдэггүй. g(x) = x – f(x)/ f’(x) нийлэх нөхцөл нь шаардлагад буурна.

Практик тооцоололд хүссэн утгад аль болох ойрын анхны утгыг сонгох, програмд ​​"гогцооны хамгаалалт" суурилуулах нь чухал юм.

Аргын сул тал нь алхам бүрт зөвхөн функцийг төдийгүй түүний деривативыг тооцоолох шаардлагатай байдаг. Энэ нь үргэлж тохиромжтой байдаггүй. Ньютоны аргын нэг өөрчлөлт бол деривативыг зөвхөн эхний давталтаар тооцоолох явдал юм.

(13)

Өөр нэг өөрчлөлтийн арга бол деривативыг хязгаарлагдмал зөрүүгээр солих явдал юм

(14)

Дараа нь (15)

Ньютоны алгоритмын энэ өөрчлөлтийн геометрийн утга нь шүргэгчээс бид секант руу ирдэг. Секантын арга нь нийлэх хурдаараа Ньютоны аргаас доогуур боловч деривативын тооцоог шаарддаггүй. Секантын аргын анхны ойролцоолсон утгууд нь үндэсийн өөр өөр талд эсвэл нэг талд байрлаж болно гэдгийг анхаарна уу.

Ньютоны аргын алгоритмыг ерөнхий хэлбэрээр бичье.

1. Нөхцөл хангагдахын тулд анхны ойролцоолсон x (0)-ийг тогтоо

f(x (0))*f’’(x (0))>0. (16)

Тооцооллын нарийвчлалын хувьд жижиг эерэг тоог ε тогтооно. k = 0 гэж тохируулна.

2. Томъёо (9) ашиглан x (k+1)-ийг тооцоол.

.

3. Хэрэв | x (k+1) - x (k) |< ε, то процесс вычисления прекратить и положить х* = x (k+1) . Үгүй бол k-г 1-ээр (k = k + 1) нэмэгдүүлж, 2-р алхам руу орно.

Ньютоны аргыг ашиглан хэд хэдэн шугаман бус тэгшитгэлийг гараар шийдэж, дараа нь програм хангамжийн бүтээгдэхүүнийг хэрэгжүүлэх явцад олж авсан үр дүнг харьцуулж үзье.

Жишээ 1

sin x 2 + cosx 2 - 10x. = 0.

F’(x)=2x cosx 2 - 2x sinx 2 - 10.

F’’(x)=2cosx 2 - 4x 2 sinx 2 - 2sinx 2 - 4x 2 cosx 2 = cosx 2 (2-4x 2) - sinx 2 (2+4x 2).

Одоо график дээр үндэслэн эхний ойролцоо үндэсийг авч (16) нөхцөлийг шалгая: f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0.

x (0) = 0. 565, тэгвэл f(0. 565)*f’’(0. 565) = -4. 387 * (-0.342) = 1.5 > 0,

Нөхцөл хангагдсан тул бид x (0) = 0.565-ыг авна.

Эндээс тэгшитгэлийн язгуур нь x = 0.101 байна.

Жишээ 2

Ньютоны аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд.

cos x – e -x2/2 + x - 1 = 0

Тооцооллыг ε = 0.001 нарийвчлалтайгаар хийх ёстой.

Функцийн эхний деривативыг тооцоолъё.

F’(x) = 1 – sin x + x*e -x2/2 .

Одоо функцийн хоёр дахь деривативыг тооцоолъё.

F’’(x) = e -x2/2 *(1-x 2) – cos x.

Энэ функцийн ойролцоо графикийг байгуулъя.

Одоо график дээр үндэслэн эхний ойролцоо үндэсийг авч (16) нөхцөлийг шалгая: f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0.

x (0) = 2, тэгвэл f(2)*f’’(2) = 0,449 * 0,010 = 0,05 > 0,

Нөхцөл хангагдсан тул бид x (0) = 2-ыг авна.

Одоо энэ тэгшитгэлийг шийдэх утгын хүснэгтийг үүсгэцгээе.

Эндээс тэгшитгэлийн язгуур нь x = 1.089 байна.

Жишээ 3

Ньютоны аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд.

Тооцооллыг ε = 0.001 нарийвчлалтайгаар хийх ёстой.

Функцийн эхний деривативыг тооцоолъё.

F’(x) = 2*x + e -x .

Одоо функцийн хоёр дахь деривативыг тооцоолъё.

F’’(x) = 2 - e -x .

Энэ функцийн ойролцоо графикийг байгуулъя.

Одоо график дээр үндэслэн эхний ойролцоо үндэсийг авч (16) нөхцөлийг шалгая: f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0.

x (0) = 1, тэгвэл f(2)*f’’(2) = 0. 632 * 1, 632 = 1, 031 > 0,

Одоо энэ тэгшитгэлийг шийдэх утгын хүснэгтийг үүсгэцгээе.

Эндээс тэгшитгэлийн язгуур нь x = 0.703 байна.

Ньютоны аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд.

cos x –e -x/2 +x-1=0.

Функцийн эхний деривативыг тооцоолъё.

F’(x) = -sin x + e -x/2 /2+1.

Одоо функцийн хоёр дахь деривативыг тооцоолъё.

F’’(x) = -cos x - e -x/2/4.

Энэ функцийн ойролцоо графикийг байгуулъя.

Одоо график дээр үндэслэн эхний ойролцоо үндэсийг авч (16) нөхцөлийг шалгая: f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0.

x (0) = 1, тэгвэл f(2)*f’’(2) = -0. 066 * (-0.692) = 0.046 > 0,

Нөхцөл хангагдсан тул бид x (0) = 1-ийг авна.

Одоо энэ тэгшитгэлийг шийдэх утгын хүснэгтийг үүсгэцгээе.

Эндээс тэгшитгэлийн язгуур нь x = 1.162 байна.

Жишээ 5

Ньютоны аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд.

2+e x - e -x =0.

Функцийн эхний деривативыг тооцоолъё.

F’(x) = e x +e -x .

Одоо функцийн хоёр дахь деривативыг тооцоолъё.

F''(x) = e x -e -x .

Энэ функцийн ойролцоо графикийг байгуулъя.

Одоо график дээр үндэслэн эхний ойролцоо үндэсийг авч (16) нөхцөлийг шалгая: f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0.

x (0) = 1, тэгвэл f(2)*f’’(2) = 0. 350 * 2, 350 = 0. 823 > 0,

Нөхцөл хангагдсан тул бид x (0) = 1-ийг авна.

Одоо энэ тэгшитгэлийг шийдэх утгын хүснэгтийг үүсгэцгээе.

Эндээс тэгшитгэлийн язгуур нь x = 0.881 байна.

3.1 Хөтөлбөрийн тайлбар

Энэ програм нь текст болон график горимд ажиллахад зориулагдсан. Энэ нь График модуль, Crt, гурван функц, гурван процедураас бүрдэнэ.

1. Crt модуль нь дэлгэцийн текстийн горим, өргөтгөсөн гарын код, өнгө, цонх, дуу чимээ зэргийг хянахад зориулагдсан;

2. График модуль нь график объектуудыг удирдахад зориулагдсан;

3. процедур GrafInit - график горимыг эхлүүлнэ;

4. функц VF – функцийн утгыг тооцоолно;

5. f1 функц – функцийн эхний деривативын утгыг тооцоолно;

6. X_Newt функц – Ньютоны аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг хэрэгжүүлдэг.

7. процедур FGraf – өгөгдсөн f(x) функцийн график байгуулах ажлыг хэрэгжүүлнэ;

Ots=35 - мониторын хил хязгаараас догол хийх цэгүүдийн тоог тодорхойлдог тогтмол;

fmin, fmax - функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгууд;

SetColor(4) – график объектын одоогийн өнгийг палитр ашиглан тохируулах процедур ба энэ тохиолдолд улаан өнгөтэй байна;

SetBkColor(9) нь палитр ашиглан одоогийн дэвсгэр өнгийг тохируулах процедур бөгөөд энэ тохиолдолд цайвар цэнхэр өнгөтэй байна.

8. MaxMinF процедур нь f(x) функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг тооцоолох болно.

Шугаман – координат (x1, y1) цэгээс координаттай (x2, y2) цэг хүртэл шугам татах процедур;

MoveTo – заагчийг (CP) координаттай (x, y) цэг рүү шилжүүлэх процедур;

TextColor(5) – тэмдэгтүүдийн одоогийн өнгийг тохируулах процедур бөгөөд энэ тохиолдолд ягаан өнгөтэй байна;

Outtexty(x, y, 'string') – (x, y) байрлалаас эхлэн мөр гаргадаг процедур.

CloseGraph нь график системийг хаадаг процедур юм.

3.2 Програмыг турших

Програмыг туршихын тулд бид үр дүнг харьцуулах, програмын зөв ажиллагааг шалгахын тулд ажлын практик хэсэгт шийдсэн жишээнүүдийг авна.

1) нүгэл x 2 + cosx 2 - 10x. = 0.

= -1 оруулна уу

b=1 гэж оруулна уу

= [-1, 1]

(функцийн график гаралт)

Бид дараахыг авна: x=0.0000002

2) cos x – e -x2/2 + x - 1 = 0.

Энэхүү программ нь Ньютоны аргаар шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг eps нарийвчлалтайгаар тооцож, тухайн сегмент дээрх функцийн ойролцоо графикийг зурдаг.

= -3 оруулна уу

b=3 гэж оруулна уу

= [-3, 3]

(функцийн график гаралт)

Ньютоны аргаар олдсон тэгшитгэлийн үндэс:

Үр дүнгийн хариултыг тэгшитгэлд орлуулах замаар шалгацгаая.

Бид авна: x=-0.0000000

3) x 2 - e -x = 0.

Энэхүү программ нь Ньютоны аргаар шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг eps нарийвчлалтайгаар тооцож, тухайн сегмент дээрх функцийн ойролцоо графикийг зурдаг.

= -1 оруулна уу

b=1 гэж оруулна уу

= [-1, 1]

Тооцооллын нарийвчлалыг eps=0 гэж оруулна. 01

(функцийн график гаралт)

Ньютоны аргаар олдсон тэгшитгэлийн үндэс:

Үр дүнгийн хариултыг тэгшитгэлд орлуулах замаар шалгацгаая.

Бид авна: x=0.0000000

4) cos x –e -x/2 +x-1=0.

Энэхүү программ нь Ньютоны аргаар шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг eps нарийвчлалтайгаар тооцож, тухайн сегмент дээрх функцийн ойролцоо графикийг зурдаг.

a = -1.5 оруулна уу

b=1.5 оруулна уу

= [-1,5, 1,5 ]

Тооцооллын нарийвчлалыг eps=0 гэж оруулна. 001

(функцийн график гаралт)

Ньютоны аргаар олдсон тэгшитгэлийн үндэс:

Үр дүнгийн хариултыг тэгшитгэлд орлуулах замаар шалгацгаая.

Бид дараахийг авна: x=0.0008180

5) -2+e x - e -x =0.

Энэхүү программ нь Ньютоны аргаар шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг eps нарийвчлалтайгаар тооцож, тухайн сегмент дээрх функцийн ойролцоо графикийг зурдаг.

a = -0.9 оруулна уу

b=0.9 оруулна уу

= [-0,9, 0,9]

Тооцооллын нарийвчлалыг eps=0 гэж оруулна. 001

(функцийн график гаралт)

Ньютоны аргаар олдсон тэгшитгэлийн үндэс:

Үр дүнгийн хариултыг тэгшитгэлд орлуулах замаар шалгацгаая.

Ажлын зорилго нь Ньютоны аргыг ашиглан шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолох программ бүтээх явдал байв. Үүний үндсэн дээр бид зорилгодоо хүрсэн гэж дүгнэж болно, учир нь үүнийг хэрэгжүүлэхийн тулд дараахь ажлуудыг шийдсэн.

1. Шаардлагатай ном зохиолыг судалсан.

2. Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх одоо байгаа аргуудыг авч үзсэн.

3. Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдэх Ньютоны аргыг судалсан.

4. Шугаман бус тэгшитгэлийн Ньютоны аргаар шийдлийг жишээ болгон авч үзнэ.

5. Хөтөлбөрийг туршиж, дибаг хийсэн.

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт

1. B.P. Демидович, И.А. Тооцооллын математикийн үндэс. - Москва, ред. "Шинжлэх ухаан"; 1970 он.

2. В.М. Вержбицкий. Тоон аргууд (шугаман алгебр ба шугаман бус тэгшитгэл). - Москва, "Ахлах сургууль"; 2000.

3. Н.С.Бахвалов, А.В.Лапин, Е.В.Чижонков. Бодлого, дасгалын тоон аргууд. - Москва, "Ахлах сургууль"; 2000.

4. Matthews, John, G., Fink, Curtis, D. Numerical methods MATLAB, 3rd edition - Moscow, "Villas"; 2001 он.

Ньютоны арга (шүргэх арга)

f(x)=0 тэгшитгэлийн язгуурыг 1 ба 2-р дериватив f’(x) ба сегмент дээр салгая. f""(x) xÎ-ийн хувьд тасралтгүй ба тогтмол тэмдэгтэй байна.

Үндэсийг боловсронгуй болгох зарим үе шатанд x n үндэст ойртох дараагийн утгыг олж авлаа гэж бодъё (сонгосон) . Дараа нь h n засварыг ашиглан дараагийн ойролцоолсон тооцоолол гарлаа гэж бодъё , язгуурын яг тодорхой утгад хүргэдэг

x = xn + hn. (1.2.3-6)

Тоолж байна h nжижиг утга учир бид f(х n + h n) -ийг Тейлорын цуврал хэлбэрээр илэрхийлж, шугаман нөхцөлөөр хязгаарлагдана.

f(x n + h n) »f(x n) + h n f’(x n). (1.2.3-7)

f(x) = f(x n + h n) = 0 гэж үзвэл f(x n) + h n f ’(x n) » 0-г олж авна.

Эндээс h n » - f(x n)/ f’(x n). Утгыг орлуулъя h n(1.2.3-6) болон язгуурын яг утгын оронд xБид өөр нэг ойролцоо дүгнэлтийг олж авдаг

Формула (1.2.3-8) нь тодорхой нөхцөлд язгуурын яг утгад нийлдэг x 1, x 2, x 3 ... ойролцоолсон дарааллыг олж авах боломжийг олгодог. x,тэр нь

Ньютоны аргын геометрийн тайлбардараах байдалтай байна
(Зураг 1.2.3-6). b сегментийн баруун төгсгөлийг анхны ойролцоолсон х 0 гэж авч, y = f(x) функцийн графикийн харгалзах B 0 цэг дээр шүргэгч байгуулъя. Шүргэгчийн х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг шинэ, илүү нарийвчлалтай x 1 ойролцоолсон байдлаар авна. Энэ процедурыг олон удаа давтах нь x 0, x 1, x 2 ойролцоох дарааллыг олж авах боломжийг олгодог. , . . ., энэ нь язгуурын яг утгыг чиглүүлдэг x.

Ньютоны аргын тооцооны томъёог (1.2.3-8) геометрийн хийцээс авч болно. Тэгэхээр тэгш өнцөгт гурвалжинд x 0 B 0 x 1 хөл байна
x 0 x 1 = x 0 V 0 /tga. Функцийн график дээр B 0 цэг байгааг харгалзан үзвэл f(x),ба гипотенуз нь В 0 цэгийн f(x) графиктай шүргэгчээр үүсгэгдэнэ.

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

Энэ томъёо нь (1.2.3-8) n-р ойролцоо утгатай давхцаж байна.

Зураг 1.2.3-6-аас харахад а цэгийг анхны ойролцоолсноор сонгох нь дараагийн x 1 ойролцооллыг үндэс тусгаарлагдсан сегментийн гадна талд байх болно гэдгийг харуулж байна. x. Энэ тохиолдолд үйл явцын нэгдэл нь баталгаатай биш юм. Ерөнхий тохиолдолд анхны ойртолтын сонголтыг дараах дүрмийн дагуу хийнэ: анхны ойролцооллыг f(x 0)×f''(x 0)>0 байх x 0 О цэгээр авна. , өөрөөр хэлбэл функцийн тэмдэг ба түүний хоёр дахь дериватив таарч байна.

Ньютоны аргын нийлэх нөхцөлийг дараах теоремоор томъёолсон болно.

Хэрэв тэгшитгэлийн үндэс нь сегмент дээр тусгаарлагдвал, ба f’(x 0) ба f’’(x) тэгээс ялгаатай бөгөөд хэзээ тэмдэгээ хадгална xО, хэрэв бид ийм цэгийг анхны ойролцоолсон байдлаар сонговол x 0 О , Юу f(x 0).f¢¢(x 0)>0 , дараа нь тэгшитгэлийн үндэс f(x)=0 ямар ч нарийвчлалтайгаар тооцоолж болно.

Ньютоны аргын алдааны тооцоог дараах илэрхийллээр тодорхойлно.

(1.2.3-11)

хамгийн бага утга хаана байна цагт

Хамгийн өндөр үнэ цэнэ цагт

Тооцооллын процесс зогсоно ,

заасан нарийвчлал хаана байна.

Нэмж дурдахад дараах илэрхийллүүд нь Ньютоны аргыг ашиглан үндсийг боловсронгуй болгоход өгөгдсөн нарийвчлалд хүрэх нөхцөл болж чадна.

Ньютоны аргын алгоритмын диаграммыг Зураг дээр үзүүлэв. 1.2.3-7.

Анхны тэгшитгэлийн зүүн тал f(x) ба түүний үүсмэл f’(x) алгоритм дахь тусдаа програм хангамжийн модулиуд хэлбэрээр хийгдсэн.

Цагаан будаа. 1.2.3-7. Ньютоны аргын алгоритмын диаграм

Жишээ 1.2.3-3 x-ln(x+2) = 0 тэгшитгэлийн үндэсийг x 1 О[-1.9;-1.1] хэрчмүүд дээр тусгаарласан тохиолдолд Ньютоны аргаар боловсронгуй болго. x 2 О [-0.9;2 ].

Эхний дериватив f’(x) = 1 – 1/(x+2) нь сегмент бүр дээр тэмдэгээ хадгална.

f'(x)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f’(x)>0 үед xО [-0.9; 2].

Хоёрдахь дериватив f"(x) = 1/(x+2) 2 > 0 аль ч х.

Тиймээс нэгдэх нөхцөл хангагдсан байна. Зөвшөөрөгдөх утгын бүх мужид f""(x)>0 байгаа тул анхны ойролцоолсон үндсийг тодруулахын тулд x 1 x 0 = -1.9-г сонгоно уу (f(-1.9)×f”(-1.9)>0 тул). Бид ойролцоогоор тооцооллын дарааллыг олж авна:

Тооцооллыг үргэлжлүүлснээр бид эхний дөрвөн ойролцоо тооцооллын дараах дарааллыг олж авна: -1.9; –1.8552, -1.8421; -1.8414 . x=-1.8414 цэг дээрх f(x) функцийн утга f(-1.8414)=-0.00003-тай тэнцүү байна. .

x 2 О[-0.9;2] язгуурыг тодруулахын тулд бид эхний ойролцоололтоор 0 =2 (f(2)×f”(2)>0)-ийг сонгоно. x 0 = 2 дээр үндэслэн бид ойролцоолсон дарааллыг олж авна: 2.0;1.1817; 1.1462; 1.1461. x=1.1461 цэг дээрх f(x) функцийн утга f(1.1461)= -0.00006-тай тэнцүү байна.

Ньютоны арга нь нийлэх хурд өндөртэй боловч алхам бүрт зөвхөн функцийн утгыг төдийгүй түүний деривативыг тооцоолох шаардлагатай болдог.

Хөвчний арга

Хөвчний аргын геометрийн тайлбардараах байдалтай байна
(Зураг 1.2.3-8).

А ба В цэгүүдээр шугамын хэрчмийг зуръя.Дараагийн x 1 ойролцоололт нь хөвчний 0x тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн абсцисса юм. Шулуун шугамын сегментийн тэгшитгэлийг байгуулъя:

y=0 гэж тохируулаад x=x 1 утгыг олцгооё (дараагийн ойролцоо тооцоолол):

Үндэс - x 2-ийн дараагийн ойролцоо утгыг олж авахын тулд тооцоолох үйл явцыг давтан хийцгээе :

Манай тохиолдолд (Зураг 1.2.11) ба хөвчний аргын тооцооны томъёо нь хэлбэртэй байна

Энэ томьёо b цэгийг тогтмол цэг болгон авах үед хүчинтэй бөгөөд а цэг нь анхны ойролцоолсон цэг болж байна.

Өөр нэг тохиолдлыг авч үзье (Зураг 1.2.3-9), хэзээ .

Энэ тохиолдолд шулуун шугамын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Дараагийн ойролцоолсон x 1 үед y = 0

Дараа нь энэ тохиолдолд хөвчний аргын давтагдах томъёо нь хэлбэртэй байна

Хөвчний аргын тогтмол цэг нь f (x)∙f¢¢ (x)>0 нөхцөл хангагдсан сегментийн төгсгөл байхаар сонгогддог гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Тиймээс хэрэв а цэгийг тогтмол цэг болгон авбал , тэгвэл x 0 = b нь анхны ойролцоололтын үүрэг гүйцэтгэдэг ба эсрэгээр.

Хөвчний томъёог ашиглан f(x) = 0 тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолох хангалттай нөхцөл нь шүргэгч аргын (Ньютоны арга) адил байх бөгөөд зөвхөн анхны ойролцоо тооцооллын оронд тогтмол цэгийг сонгоно. Хөвчний арга нь Ньютоны аргын өөрчлөлт юм. Ялгаа нь Ньютоны аргын дараагийн ойролцоололт нь шүргэгчийн 0X тэнхлэгтэй огтлолцох цэг бөгөөд хөвчний аргад - хөвчний 0X тэнхлэгтэй огтлолцох цэг - ойролцоогоор өөр өөр талаас язгуурт нийлдэг. .

Хөвчний аргын алдааны тооцоог илэрхийллээр өгсөн болно

(1.2.3-15)

Хөвчний аргыг ашиглан давталтын процессыг дуусгах нөхцөл

(1.2.3-16)

М тохиолдолд 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£д.

Жишээ 1.2.3-4. 10 -4 нарийвчлалтайгаар сегмент дээр тусгаарлагдсан e x – 3x = 0 тэгшитгэлийн язгуурыг тодруул.

Конвергенцийн нөхцөлийг шалгая:

Иймд f(0)=1>0 ба f(0)*f"(0)>0 тул тогтсон цэгээр a=0-ийг сонгох ёстой бөгөөд анхны ойролцоололтоор x 0 =1-ийг авна.