Эзлэхүүний тоонуудын тэгш хэм. Хэрэв ижил хэсгүүд солигдох юм бол ямар ч өөрчлөлт гарахгүй гэсэн үгнээс бүрдэх шилжүүлгийн тэгш хэм.

Тэгш хэмийн тодорхойлолт;

• Тэгш хэмийн тодорхойлолт;

• Төвийн тэгш хэм;

• тэнхлэгийн тэгш хэм;

• Хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэм;

• Эргэлтийн тэгш хэм;

• Толин тусгалын тэгш хэм;

• Ижил төстэй байдлын тэгш хэм;

• ургамлын тэгш хэм;

• Амьтны тэгш хэм;

• Архитектур дахь тэгш хэм;

• Хүн тэгш хэмтэй амьтан мөн үү?

• Үг ба тоонуудын тэгш хэм;

СИМЕТРИ

• СИМЕТРИ- пропорциональ байдал, ямар нэг зүйлийн хэсгүүдийн цэг, шулуун эсвэл хавтгайн эсрэг талд байрлах ижил байдал.

• (Ожеговын тайлбар толь бичиг)

• Тиймээс, геометрийн объектыг ямар нэгэн зүйл хийж чадвал тэгш хэмтэй гэж үздэг бөгөөд дараа нь энэ нь үлдэх болно өөрчлөгдөөгүй.

ТУХАЙ ТУХАЙ ТУХАЙдуудсан зургийн тэгш хэмийн төв.

• Энэ дүрс нь цэгийн хувьд тэгш хэмтэй гэж хэлдэг ТУХАЙ, хэрэв зургийн цэг бүрийн хувьд цэгтэй харьцангуй тэгш хэмтэй цэг байвал ТУХАЙмөн энэ тоонд хамаарна. Цэг ТУХАЙдуудсан зургийн тэгш хэмийн төв.

тойрог ба параллелограмм тойргийн төв ). Хуваарь сондгой функц

Төв тэгш хэмтэй дүрсүүдийн жишээ тойрог ба параллелограмм. Тойргийн тэгш хэмийн төв нь тойргийн төв, ба параллелограммын тэгш хэмийн төв нь байна түүний диагональуудын огтлолцлын цэг. Аливаа шулуун шугам нь төв тэгш хэмтэй байдаг ( Шугамын аль ч цэг нь түүний тэгш хэмийн төв юм). Хуваарь сондгой функцгарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй.

• Тэгш хэмийн төвгүй дүрсийн жишээ юм дурын гурвалжин.

А А адуудсан зургийн тэгш хэмийн тэнхлэг.

• Энэ дүрс нь шулуун шугамын хувьд тэгш хэмтэй гэж хэлдэг А, хэрэв зургийн цэг бүрийн хувьд шулуун шугамтай харьцуулахад тэгш хэмтэй цэг байвал Амөн энэ тоонд хамаарна. Шулуун адуудсан зургийн тэгш хэмийн тэнхлэг.

Эргэлтгүй буланд тэгш хэмийн нэг тэнхлэг өнцгийн биссектрис тэгш хэмийн нэг тэнхлэг тэгш хэмийн гурван тэнхлэг тэгш хэмийн хоёр тэнхлэг, мөн дөрвөлжин байна тэгш хэмийн дөрвөн тэнхлэг y тэнхлэгтэй харьцуулахад.

Эргэлтгүй буланд тэгш хэмийн нэг тэнхлэг- түүний байрлах шулуун шугам өнцгийн биссектрис. Хоёр талт гурвалжинд бас байдаг тэгш хэмийн нэг тэнхлэг, мөн адил талт гурвалжин байна тэгш хэмийн гурван тэнхлэг. Дөрвөлжин биш тэгш өнцөгт ба ромбо нь байдаг тэгш хэмийн хоёр тэнхлэг, мөн дөрвөлжин байна тэгш хэмийн дөрвөн тэнхлэг. Тойрог нь тэдний хязгааргүй тоотой байдаг. Тэгш функцийн графикийг байгуулахдаа тэгш хэмтэй байна y тэнхлэгтэй харьцуулахад.

• Нэг тэгш хэмийн тэнхлэггүй дүрсүүд байдаг. Ийм тоо баримтууд орно параллелограмм, тэгш өнцөгтөөс бусад, масштабтай гурвалжин.

Оноо АТэгээд A1 А А AA1Тэгээд перпендикуляр Атооцдог өөртөө тэгш хэмтэй

Оноо АТэгээд A1хавтгайтай харьцангуй тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг А(тэгш хэмийн хавтгай), хэрэв хавтгай А сегментийн дундуур дамждаг AA1Тэгээд перпендикулярэнэ сегмент рүү. Онгоцны цэг бүр Атооцдог өөртөө тэгш хэмтэй. Хоёр дүрс нь хос тэгш хэмтэй цэгүүдээс бүрддэг бол хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэмтэй (эсвэл толин тусгал тэгш хэмтэй харьцангуй) гэж нэрлэгддэг. Энэ нь нэг зургийн цэг бүрийн хувьд өөр зурагт тэгш хэмтэй (харьцангуй) цэг байрладаг гэсэн үг юм.

Бие (эсвэл зураг) нь байна эргэлтийн тэгш хэм, хэрэв өнцгийг эргүүлэх үед 360º/n, энд n нь бүхэл тоо бүрэн нийцтэй

• Бие (эсвэл зураг) нь байна эргэлтийн тэгш хэм, хэрэв өнцгийг эргүүлэх үед 360º/n, энд n нь бүхэл тоо, зарим шулуун шугамын ойролцоо AB (тэгш хэмийн тэнхлэг). бүрэн нийцтэйанхны байрлалаараа.

• Радиал тэгш хэм- объект тодорхой цэг эсвэл шугамыг тойрон эргэх үед хадгалагдан үлддэг тэгш хэмийн хэлбэр. Ихэнхдээ энэ цэг нь объектын хүндийн төвтэй, өөрөөр хэлбэл тухайн цэгтэй давхцдаг огтлолцдогхязгааргүй тооны тэгш хэмийн тэнхлэг. Үүнтэй төстэй объектууд байж болно тойрог, бөмбөг, цилиндр эсвэл конус.

Толин тусгалын тэгш хэмхэнийг ч холбодог

Толин тусгалын тэгш хэмхэнийг ч холбодог объект ба түүний хавтгай толинд тусгал. Нэг дүрс (эсвэл бие) нь нийлээд толин тусгал тэгш хэмтэй дүрс (эсвэл бие) үүсгэдэг бол нөгөө дүрсийг толин тусгал тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. Тэгш хэмтэй толин тусгалтай дүрсүүд нь бүх ижил төстэй байдлын хувьд бие биенээсээ эрс ялгаатай байдаг. Толин тусгал шиг тэгш хэмтэй хоёр хавтгай дүрсийг бие биен дээрээ үргэлж нааж болно. Гэсэн хэдий ч үүнийг хийхийн тулд тэдгээрийн аль нэгийг (эсвэл хоёуланг нь) нийтлэг хавтгайгаас зайлуулах шаардлагатай.

Ижил төстэй байдлын тэгш хэм үүрлэсэн хүүхэлдэй.

• Ижил төстэй байдлын тэгш хэмЭдгээр нь өмнөх тэгш хэмийн өвөрмөц аналогууд бөгөөд цорын ганц ялгаа нь тэдгээртэй холбоотой байдаг зургийн ижил төстэй хэсгүүд болон тэдгээрийн хоорондох зайг нэгэн зэрэг багасгах буюу нэмэгдүүлэх. Ийм тэгш хэмийн хамгийн энгийн жишээ бол үүрлэсэн хүүхэлдэй.

• Заримдаа дүрс нь янз бүрийн төрлийн тэгш хэмтэй байж болно. Жишээлбэл, зарим үсэг нь эргэлтийн болон толин тусгал тэгш хэмтэй байдаг: БА, Н, М, ТУХАЙ, А.

• Хийсвэр шинж чанартай өөр олон төрлийн тэгш хэм байдаг. Жишээ нь:

• Сэргээх тэгш хэм, энэ нь ижил хэсгүүдийг сольсон тохиолдолд ямар ч өөрчлөлт гарахгүй гэсэн үг;

• Хэмжүүрийн тэгш хэмхолбогдсон томруулалтын өөрчлөлттэй. Амьгүй байгальд тэгш хэм нь юуны түрүүнд байгалийн ийм үзэгдэлд үүсдэг талстууд, үүнээс бараг бүх хатуу бодис бүрддэг. Энэ нь тэдний шинж чанарыг тодорхойлдог. Кристалуудын гоо үзэсгэлэн, төгс төгөлдөр байдлын хамгийн тод жишээ бол алдартай цасан ширхгүүд.

Бид хаа сайгүй тэгш хэмтэй тулгардаг: байгаль, технологи, урлаг, шинжлэх ухаанд.Симметрийн тухай ойлголт нь хүний ​​​​бүтээлчлэлийн олон зуун жилийн түүхийг бүхэлд нь хамардаг. Симметрийн зарчим чухал үүрэг гүйцэтгэдэг физик-математик, хими-биологи, технологи ба архитектур, уран зураг, уран баримал, яруу найраг, хөгжим зэрэг чиглэлээр.Байгалийн хуулиуд нь мөн тэгш хэмийн зарчимд захирагддаг.

тэгш хэмийн тэнхлэг.

• Олон цэцэг нь сонирхолтой шинж чанартай байдаг: тэдгээрийг эргүүлэх боломжтой бөгөөд ингэснээр дэлбээ бүр хөршийнхөө байрлалыг эзэлдэг бөгөөд цэцэг нь өөртэйгээ нийцдэг. Энэ цэцэг бий тэгш хэмийн тэнхлэг.

• Мушгианы тэгш хэмихэнх ургамлын ишний навчны байрлалд ажиглагддаг. Ишний дагуу шураг хэлбэрээр байрлуулснаар навчнууд нь бүх чиглэлд тархаж, бие биенээ гэрлээс хамгаалдаггүй бөгөөд энэ нь ургамлын амьдралд нэн шаардлагатай байдаг.

• Хоёр талын тэгш хэмУргамлын эрхтнүүд бас байдаг, жишээлбэл, олон кактигийн иш. Ихэнхдээ ургамал судлалд олддог радиальтэгш хэмтэй зохион байгуулалттай цэцэг.

хуваах шугам.

• Амьтны тэгш хэм гэдэг нь хэмжээ, хэлбэр, тойм зэрэгтэй нийцэх, түүнчлэн эсрэг талд байрлах биеийн хэсгүүдийн харьцангуй зохицуулалтыг хэлнэ. хуваах шугам.

• Симметрийн үндсэн төрлүүд нь радиаль(радиал) - энэ нь echinoderms, coelenterates, медуз гэх мэтээр эзэмшдэг; эсвэл хоёр талын(хоёр талт) - амьтан бүр (шавж, загас, шувуу ч бай) бүрддэг гэж хэлж болно. хоёр хагасаас- баруун ба зүүн.

• Бөмбөрцөг тэгш хэмрадиолар ба нарны загасанд тохиолддог. Төвөөр нь зурсан аливаа онгоц нь амьтныг тэнцүү хагаст хуваадаг.

• Бүтцийн тэгш хэм нь түүний чиг үүргийн зохион байгуулалттай холбоотой байдаг. Тэгш хэмийн хавтгайн проекц - барилгын тэнхлэг нь ихэвчлэн гол хаалганы байршил, хөдөлгөөний гол урсгалын эхлэлийг тодорхойлдог.

• Тэгш хэмтэй системд бүх нарийн ширийн зүйл байдаг заавал хосынхоо давхар шиг, тэнхлэгийн нөгөө талд байрладаг бөгөөд үүнээс болж үүнийг зөвхөн бүхэл бүтэн хэсэг гэж үзэж болно.

• Архитектурт хамгийн түгээмэл толины тэгш хэм. Эртний Египетийн барилгууд ба эртний Грекийн сүм хийдүүд, амфитеатрууд, халуун усны газар, базиликууд, Ромчуудын ялалтын нуман хаалга, Сэргэн мандалтын үеийн ордон, сүм хийдүүд, түүнчлэн орчин үеийн архитектурын олон тооны барилгууд түүнд захирагддаг.

өргөлт

• Тэгш хэмийг илүү сайн тусгахын тулд барилга байгууламжийг байрлуулдаг өргөлт- онцгой ач холбогдолтой элементүүд (бөмбөр, хаалт, майхан, гол орц, шат, тагт, булан цонх).

• Архитектурын чимэглэлийг зохион бүтээхдээ гоёл чимэглэлийг ашигладаг - түүний элементүүдийн тэгш хэмтэй найрлагад суурилсан, шугам, өнгө, рельефээр илэрхийлсэн хэмнэлтэй давтагдах хэв маяг. Түүхийн хувьд байгалийн хэлбэр ба геометрийн дүрс гэсэн хоёр эх сурвалж дээр үндэслэн хэд хэдэн төрлийн гоёл чимэглэлийг бий болгосон.

• Гэхдээ архитектор хүн бол юуны түрүүнд зураач юм. Тиймээс хамгийн "сонгодог" хэв маягийг ч илүү их ашигладаг байсан тэгш бус байдал– цэвэр тэгш хэмээс ялгаатай хазайлт эсвэл тэгш бус байдал- зориудаар тэгш бус барилга байгууламж.

• Хүн гаднаасаа тэгш хэмтэй байдаг гэдэгт хэн ч эргэлзэхгүй: зүүн гар нь үргэлж баруун гартай таарч, хоёр гар нь яг адилхан байдаг. Гэхдээ бидний гар, чих, нүд, биеийн бусад хэсгүүдийн ижил төстэй байдал нь адилхан объект ба түүний толинд тусгах хооронд.

зөвтүүний хагас бүдүүлэг шинж чанаруудэрэгтэй хүйсийн онцлог. Зүүн хагас

Эрэгтэй, эмэгтэй хүмүүсийн нүүрний олон тооны хэмжилтүүд үүнийг харуулсан зөвтүүний хагасзүүн талтай харьцуулахад энэ нь илүү тод хөндлөн хэмжээстэй бөгөөд энэ нь нүүрийг илүү харагдуулдаг бүдүүлэг шинж чанаруудэрэгтэй хүйсийн онцлог. Зүүн хагаснүүр нь илүү тод уртын хэмжээстэй байдаг бөгөөд энэ нь үүнийг өгдөг гөлгөр шугам, эмэгтэйлэг байдал. Энэ баримт нь зураачдын өмнө нүүрнийхээ зүүн тал, эрэгтэйчүүдийн баруун талд зургаа авахуулах зонхилох хүслийг тайлбарлаж байна.

Палиндром

• Палиндром(гр-аас Palindromos - буцаж ажиллаж байгаа) нь түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тэгш хэмийг эхнээс нь дуустал, төгсгөлөөс эхэнд заасан объект юм. Жишээлбэл, хэллэг эсвэл текст.

• Өгөгдсөн скриптийн ердийн унших чиглэлийн дагуу (ихэвчлэн зүүнээс баруун тийш) уншдаг палиндромын шулуун текстийг нэрлэдэг. босоо, урвуу - ровероорэсвэл урвуу(баруунаас зүүн тийш). Зарим тоо нь тэгш хэмтэй байдаг.

ГУРАВДУГААР БҮЛЭГ

POLYhedra

V. Орон зайн дүрсүүдийн тэгш хэмийн тухай ойлголт

99. Төвийн тэгш хэм.Хэрэв нэг зургийн А цэг бүр нь О цэгийн нөгөө талд байрлах ОА шулуун дээр байрлах А цэгтэй тэнцүү зайд байрлах А цэгтэй таарч байвал хоёр дүрсийг огторгуйн зарим О цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. О цэгээс А цэгийн зайг (Зураг 114) гэж нэрлэдэг тэгш хэмийн төвтоонууд.

Орон зайд ийм тэгш хэмтэй дүрсүүдийн жишээг бид аль хэдийн харсан (§ 53), оройноос цааш олон өнцөгт өнцгийн ирмэг ба нүүрийг үргэлжлүүлснээр өгөгдсөнтэй тэгш хэмтэй олон өнцөгт өнцгийг олж авсан. Хоёр тэгш хэмтэй дүрсийг бүрдүүлдэг харгалзах сегмент ба өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байна. Гэсэн хэдий ч дүрсүүдийг бүхэлд нь тэнцүү гэж нэрлэх боломжгүй: нэг зураг дээрх хэсгүүдийн дараалал нь нөгөөгөөсөө ялгаатай тул тэдгээрийг бие биетэйгээ нэгтгэж болохгүй, үүнийг бид тэгш хэмтэй олон өнцөгт өнцгийн жишээн дээр харсан.

Зарим тохиолдолд тэгш хэмтэй дүрсүүдийг нэгтгэж болох боловч тэдгээрийн үл нийцэх хэсгүүд нь давхцах болно. Жишээ нь, О цэг дээр оройтой, OX, OY, OZ ирмэгтэй гурвалсан тэгш өнцөгт (Зураг 115) авъя.

OX"Y"Z" тэгш хэмтэй өнцгийг байгуулъя. OXYZ өнцгийг OX"Y"Z"-тэй нэгтгэж болох тул OX ирмэг нь OY"-тэй, OY ирмэг нь OX"-тэй давхцаж байна. Хэрэв бид харгалзах OX ирмэгийг OX"-тэй, OY-ийг OY"-тэй хослуулбал OZ ба OZ" ирмэгүүд нь эсрэг чиглэлд чиглэнэ.

Хэрэв тэгш хэмтэй дүрсүүд нийлээд нэг геометрийн биеийг бүрдүүлдэг бол энэ геометрийн биеийг тэгш хэмийн төвтэй гэж нэрлэдэг. Тиймээс хэрэв тухайн бие нь тэгш хэмийн төвтэй бол энэ биед хамаарах цэг бүр энэ биед хамаарах тэгш хэмтэй цэгтэй тохирно. Бидний авч үзсэн геометрийн биетүүдээс тэгш хэмийн төв нь жишээлбэл: 1) параллелепипед, 2) суурь дээрээ тэгш тооны талуудтай ердийн олон өнцөгт призмтэй байна.

Ердийн тетраэдр нь тэгш хэмийн төвгүй байдаг.

100. Хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэм.Хэрэв нэг зургийн А цэг бүр нь нөгөө зургийн А цэгтэй тохирч, AA" хэрчим нь P хавтгайд перпендикуляр байх ба огтлолцох цэг дээр хагас хуваагдсан бол орон зайн хоёр дүрсийг P хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. энэ онгоц.

Теорем. Хоёр тэгш хэмтэй дүрст харгалзах хоёр сегмент нь хоорондоо тэнцүү байна.

P хавтгайд тэгш хэмтэй хоёр дүрс өгье. Эхний зургийн А ба В хоёр цэгийг сонгоод, хоёр дахь зургийн харгалзах цэг A" ба B" байг (Зураг 116. зурагт үзүүлэв).

Цаашид С нь АА" сегментийн P хавтгайтай огтлолцох цэг, D нь BB" сегментийн ижил хавтгайтай огтлолцох цэг гэж үзье. C ба D цэгүүдийг шулуун шугамаар холбосноор бид хоёр дөрвөлжин ABDC ба A"B" DC-г олж авна. AC = A"C, BD = B"D ба
/ ACD = / A.C.D. / BDC = / "DC, зөв ​​өнцгийн хувьд, дараа нь эдгээр дөрвөлжин тэнцүү байна (энэ нь суперпозиция нь амархан шалгаж байна). Үүний үр дүнд, AB = A "B". Энэ теоремоос энэ нь нэн даруй хоёр дүрсийн харгалзах хавтгай болон хоёр талт өнцөг, тэгш хэмтэй байна гэж дагах. Хавтгай нь хоорондоо тэнцүү Гэсэн хэдий ч эдгээр хоёр дүрсийг бие биетэйгээ нэгтгэх боломжгүй бөгөөд ингэснээр тэдгээрийн харгалзах хэсгүүдийг нэгтгэх болно, учир нь нэг зураг дээрх хэсгүүдийн байрлалын дараалал нь нөгөө зурагт тохиолдох дараалалаас эсрэг байна (энэ нь § 102). Хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэмтэй хоёр дүрс нь: аливаа объект ба түүний толины тусгалтай тэгш хэмтэй дүрс;

Хэрэв ямар нэгэн геометрийн биеийг тодорхой хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэмтэй хоёр хэсэгт хувааж чадвал энэ хавтгайг энэ биеийн тэгш хэмийн хавтгай гэж нэрлэдэг.

Тэгш хэмийн хавтгайтай геометрийн биетүүд байгальд болон өдөр тутмын амьдралд маш түгээмэл байдаг. Хүн, амьтны бие нь тэгш хэмийн хавтгайтай бөгөөд үүнийг баруун ба зүүн хэсэгт хуваадаг.

Энэ жишээ нь тэгш хэмтэй дүрсүүдийг нэгтгэх боломжгүй гэдгийг ялангуяа тодорхой харуулж байна. Тиймээс баруун, зүүн гар нь тэгш хэмтэй боловч тэдгээрийг нэгтгэх боломжгүй бөгөөд энэ нь наад зах нь нэг бээлий нь баруун, зүүн гарт хоёуланд нь багтах боломжгүйгээс харагдаж байна. Олон тооны гэр ахуйн эд зүйлс тэгш хэмийн хавтгайтай байдаг: сандал, хоолны ширээ, номын тавиур, буйдан гэх мэт. Зарим нь, тухайлбал, хоолны ширээ нь нэг биш, хоёр тэгш хэмтэй байдаг (Зураг 117). .

Ихэвчлэн тэгш хэмийн хавтгайтай объектыг авч үзэхдээ бидний биеийн тэгш хэмийн хавтгай эсвэл ядаж толгой нь тухайн объектын тэгш хэмийн хавтгайтай давхцаж байхаар ийм байр суурийг баримтлахыг хичээдэг. Энэ тохиолдолд. объектын тэгш хэмт хэлбэр нь ялангуяа мэдэгдэхүйц болдог.

101. Тэнхлэгт хамаарах тэгш хэм.Хоёрдахь эрэмбийн тэгш хэмийн тэнхлэг. Хоёр дүрсийг l тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг (тэнхлэг нь шулуун шугам), хэрэв эхний зургийн А цэг бүр хоёр дахь зургийн А" цэгтэй тохирч байвал AA" хэрчим нь l тэнхлэгт перпендикуляр байна. түүнтэй огтлолцож, огтлолцох цэг дээр хагасаар хуваагдана. l тэнхлэгийг өөрөө хоёр дахь эрэмбийн тэгш хэмийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг.

Энэ тодорхойлолтоос харахад ямар ч тэнхлэгт тэгш хэмтэй хоёр геометрийн биеийг энэ тэнхлэгт перпендикуляр хавтгай огтлолцсон бол энэ хэсэгт бид тэнхлэгтэй хавтгай огтлолцох цэгийн тэгш хэмтэй хоёр хавтгай дүрсийг авна. биеийн тэгш хэм.

Эндээс нэгийг нь тэгш хэмийн тэнхлэгийн эргэн тойронд 180° эргүүлснээр тэнхлэгт тэгш хэмтэй хоёр биет бие биетэйгээ нийлж болно гэдгийг дүгнэхэд илүү хялбар болно. Үнэн хэрэгтээ, тэгш хэмийн тэнхлэгт перпендикуляр байж болох бүх хавтгайг төсөөлье.

Хоёр биеийг огтолж буй ийм хавтгай бүр нь биетүүдийн тэгш хэмийн тэнхлэгтэй нийлэх цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй дүрсүүдийг агуулдаг. Хэрэв та зүсэх онгоцыг өөрөө гулсуулж, биеийн тэгш хэмийн тэнхлэгийг тойрон 180 ° эргүүлбэл эхний зураг хоёр дахь зурагтай давхцдаг.

Энэ нь ямар ч зүсэх онгоцны хувьд үнэн юм. Биеийн бүх хэсгийг 180 ° эргүүлэх нь бүх биеийг тэгш хэмийн тэнхлэгийг тойрон 180 ° эргүүлэхтэй тэнцүү юм. Эндээс л бидний мэдэгдлийн үнэн зөвийг харж болно.

Хэрэв орон зайн дүрсийг тодорхой шулуун шугамын эргэн тойронд 180 ° эргүүлсний дараа энэ нь өөртэйгөө давхцаж байвал энэ дүрс нь хоёр дахь эрэмбийн тэгш хэмийн тэнхлэгт энэ шулуун шугамтай байна гэж бид хэлнэ.

"Хоёр дахь эрэмбийн тэгш хэмийн тэнхлэг" гэсэн нэр нь энэ тэнхлэгийг бүхэлд нь эргүүлэх үед бие нь эргэлтийн явцад анхны байрлалтай (анхны байрлалыг оруулаад) хоёр удаа давхцдагтай холбон тайлбарлаж байна. Хоёрдахь эрэмбийн тэгш хэмийн тэнхлэгтэй геометрийн биетүүдийн жишээ нь:
1) тэгш тооны хажуугийн нүүртэй ердийн пирамид; түүний тэгш хэмийн тэнхлэг нь түүний өндөр;
2) тэгш өнцөгт параллелепипед; энэ нь тэгш хэмийн гурван тэнхлэгтэй: түүний эсрэг талын нүүрний төвүүдийг холбосон шулуун шугамууд;
3) тэгш тооны хажуугийн нүүртэй ердийн призм. Түүний тэгш хэмийн тэнхлэг нь түүний эсрэг талын аль ч хосын (хажуугийн нүүр ба призмийн хоёр суурь) төвүүдийг холбосон шулуун шугам бүр юм. Призмийн хажуугийн нүүрний тоо 2 бол к, тэгвэл ийм тэгш хэмийн тэнхлэгүүдийн тоо байх болно к+ 1. Үүнээс гадна ийм призмийн тэгш хэмийн тэнхлэг нь түүний эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг холбосон шулуун шугам бүр юм. Призм нь А тэгш хэмийн ийм тэнхлэгтэй.

Тэгэхээр зөв нь 2 к- талт призм 2-той к+1 тэнхлэг, тэгш хэм.

102. Орон зайн тэгш хэмийн янз бүрийн төрлүүдийн хоорондын хамаарал.Орон зай дахь тэгш хэмийн янз бүрийн төрлүүдийн хоорондын хамаарал байдаг - тэнхлэгийн, хавтгай ба төв - Дараах теоремоор илэрхийлэгддэг.

Теорем. Хэрэв F зураг нь P хавтгайд хамаарах F" дүрстэй тэгш хэмтэй бөгөөд P хавтгайд байрлах О цэгтэй харьцуулахад F" дүрстэй нэгэн зэрэг тэгш хэмтэй байвал F" ба F" дүрсүүд нь тэгш хэмтэй байна. О цэгийг дайран өнгөрөх тэнхлэг нь R хавтгайд перпендикуляр байна.

F зургийн А цэгийг авч үзье (Зураг 118). Энэ нь F" зургийн A" цэг ба F" зургийн А" цэгтэй тохирч байна (Зураг дээр F, F, F" дүрсийг тусгаагүй болно).

B нь AA" хэрчмийг P хавтгайтай огтлолцох цэг гэж үзье. Хавтгайг A, A" болон O цэгүүдээр дамжуулъя. Энэ хавтгай нь АА шулуун шугамыг дайран өнгөрөх тул P хавтгайд перпендикуляр байх болно" , энэ хавтгайд перпендикуляр AA"O хавтгайд бид OB-д перпендикуляр OH шулуун шугамыг зурна. Энэ OH шулуун шугам нь мөн P хавтгайд перпендикуляр байх болно. Дараа нь C нь AA ба OH шулуунуудын огтлолцох цэг байя.

AA"A" гурвалжинд BO сегмент нь AA" ба AA" талуудын дунд цэгүүдийг холбодог тул BO || A"A", харин BO_|_OH, энэ нь AA"_|_OH гэсэн утгатай O нь дунд цэгийн талууд AA", ба CO || AA", дараа нь A"C = A"C. Эндээс бид A" ба A" цэгүүд нь OH тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна гэж дүгнэж байна. Зургийн бусад бүх цэгүүдэд мөн адил байна. Энэ нь бидний теорем Энэ теоремоос нэн даруй ОН тэнхлэгийг тойруулан 180-аар эргүүлэх замаар хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэмтэй хоёр дүрсийг нэгтгэх боломжгүй болохыг баталж байна °. Гэхдээ F" ба F" дүрсүүдийг нэгтгэх боломжгүй. Энэ цэгийн хувьд тэгш хэмтэй тул F ба F" дүрсүүдийг нэгтгэх боломжгүй.

103. Дээд эрэмбийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүд.Тэгш хэмийн тэнхлэгтэй дүрс нь тэгш хэмийн тэнхлэгийг тойрон 180 ° өнцгөөр эргэлдсэний дараа өөртэйгээ зэрэгцэнэ. Гэхдээ тодорхой тэнхлэгийг тойрон 180 ° -аас бага өнцгөөр эргэлдсэний дараа зураг анхны байрлалдаа таарах тохиолдол гардаг. Тиймээс хэрэв бие нь энэ тэнхлэгийн эргэн тойронд бүрэн эргэлт хийвэл эргэлтийн явцад анхны байрлалдаа хэд хэдэн удаа таарна. Ийм эргэлтийн тэнхлэгийг дээд эрэмбийн тэгш хэмийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг бөгөөд биеийн байрлалын тоог анхны байрлалтай давхцаж байгааг тэгш хэмийн тэнхлэгийн дараалал гэж нэрлэдэг. Энэ тэнхлэг нь хоёр дахь эрэмбийн тэгш хэмийн тэнхлэгтэй давхцахгүй байж болно. Тиймээс ердийн гурвалжин пирамид нь хоёр дахь дарааллын тэгш хэмийн тэнхлэггүй, харин өндөр нь түүний хувьд гурав дахь дарааллын тэгш хэмийн тэнхлэг болдог. Үнэн хэрэгтээ энэ пирамидыг өндрийн эргэн тойронд 120 ° өнцгөөр эргүүлсний дараа энэ нь өөртэйгөө нийлдэг (Зураг 119).

Пирамид нь өндрийн эргэн тойронд эргэлдэх үед анхны байрлалтай, түүний дотор анхныхтай давхцах гурван байрлалыг эзэлж болно. Тэгш дарааллын тэгш хэмийн тэнхлэг бүр нэгэн зэрэг хоёр дахь эрэмбийн тэгш хэмийн тэнхлэг байдгийг анзаарахад хялбар байдаг.

Дээд зэрэглэлийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүдийн жишээ:

1) Зөв n-Нүүрстөрөгчийн пирамид нь тэгш хэмийн тэнхлэгтэй байдаг n--р захиалга. Энэ тэнхлэг нь пирамидын өндөр юм.

2) Зөв n- нүүрстөрөгчийн призм нь тэгш хэмийн тэнхлэгтэй n--р захиалга. Энэ тэнхлэг нь призмийн суурийн төвүүдийг холбосон шулуун шугам юм.

104. Кубын тэгш хэм.Аливаа параллелепипедийн хувьд кубын диагональуудын огтлолцох цэг нь түүний тэгш хэмийн төв юм.

Шоо нь есөн тэгш хэмийн хавтгайтай: зургаан диагональ хавтгай ба дөрвөн параллель ирмэг бүрийн дунд цэгийг дайран өнгөрдөг гурван хавтгай.

Шоо нь хоёр дахь эрэмбийн есөн тэгш хэмтэй тэнхлэгтэй: түүний эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг холбосон зургаан шулуун шугам, эсрэг талын нүүрний төвүүдийг холбосон гурван шулуун шугам (Зураг 120).

Эдгээр сүүлчийн шулуун шугамууд нь дөрөв дэх дарааллын тэгш хэмийн тэнхлэгүүд юм. Нэмж дурдахад шоо нь диагональ болох 3-р зэрэглэлийн дөрвөн тэгш хэмийн тэнхлэгтэй. Үнэн хэрэгтээ AG кубын диагональ (Зураг 120) нь AB, AD, AE ирмэгүүдтэй адил тэгш налуу байх нь ойлгомжтой бөгөөд эдгээр ирмэгүүд нь бие биендээ адилхан налуу байна. Хэрэв бид B, D, E цэгүүдийг холбовол бид ердийн гурвалжин ADBE пирамид авах бөгөөд AG кубын диагональ нь өндрийн үүрэг гүйцэтгэдэг. Энэ пирамид нь өндрийг тойрон эргүүлэхэд өөртэйгөө зэрэгцэх үед шоо бүхэлдээ анхны байрлалтайгаа зэрэгцэнэ. Эндээс харахад шоо нь өөр тэгш хэмийн тэнхлэггүй. Кубыг өөртэй нь хэр олон янзаар нэгтгэж болохыг харцгаая. Энгийн тэгш хэмийн тэнхлэгийг тойрон эргүүлэх нь куб бүхэлдээ өөртэйгөө зэрэгцсэн анхны байрлалаас өөр нэг байрлалыг өгдөг.

Гурав дахь эрэмбийн тэнхлэгийг тойрон эргэх нь ийм хоёр байрлалыг, дөрөв дэх эрэмбийн тэнхлэгийг тойрон эргүүлэх нь гурван ийм байрлалыг үүсгэдэг. Шоо нь хоёр дахь эрэмбийн зургаан тэнхлэгтэй (эдгээр нь энгийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүд), гуравдугаар эрэмбийн дөрвөн тэнхлэг, дөрөв дэх эрэмбийн гурван тэнхлэгтэй тул кубын 6 1 + 4 2 + 3 3 = 23 байрлал, Өөртэйгөө хослуулсан анхныхаас ялгаатай.

Эдгээр бүх байрлал нь бие биенээсээ, мөн кубын анхны байрлалаас ялгаатай гэдгийг шууд шалгахад хялбар байдаг. Эхлэх байрлалын хамт тэд кубыг өөртэй нь хослуулах 24 аргыг бүрдүүлдэг.

"Тэгш хэмийн цэг" - Ийм дүрс нь төв тэгш хэмтэй байдаг. Эргэлтийн тэгш хэм. Бүх хатуу бодисууд нь талстаас бүрддэг. О цэгийг тэгш хэмийн төв гэж нэрлэдэг. Байгалийн тэгш хэм. Хавтгай дүрсүүдийн тэгш хэмийн жишээ. Параллелограмм нь зөвхөн төвийн тэгш хэмтэй байдаг. Шулуун призм нь толин тусгал тэгш хэмтэй байдаг. Дээр дурдсан тэгш хэмийн төрлүүдийн жишээ.

"Геометрийн төвийн тэгш хэм" - Төв тэгш хэмийн үед аль цэг нь өөрөө болж хувирдаг. OAB гурвалжинд тэгш хэмтэй гурвалжинг зур. Параллелограмм нь тэгш хэмийн төвтэй юу? Үл хөдлөх хөрөнгө. Аль цэгүүдийг цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. ABC гурвалжинтай тэгш хэмтэй A'B'C' гурвалжинг зур. Төвийн тэгш хэмтэй шулуун шугамууд өөрөө өөрчлөгддөг.

"Төв тэгш хэм" - Төвийн тэгш хэмийн шинж чанарууд. Урлаг дахь тэгш хэм. Архитектур дахь тэгш хэмийн жишээ. Төвийн тэгш хэм нь хөдөлгөөн (изометр) юм. ГУРВАН ХЭМЖЭЭТ орон зайд гурван хэмжээст орон зай дахь төвийн тэгш хэмийг мөн бөмбөрцөг тэгш хэм гэж нэрлэдэг. Цэцэг, ургамлын тэгш хэмийн төрлүүд.

"Цэг ба шугамын тэгш хэм" - Бодоод үз! Нэг цэгийн ойролцоо дүрсийн тэгш хэм. Даалгавар. Даалгавар С1 цэгийг шулуун а-тай харьцуулахад С цэгт тэгш хэмтэй байгуул. AO = OA1. 4. Байгаль дахь тэгш хэмийн талаар ярилц. Тэнхлэгийн болон төвийн тэгш хэм. Координатын хавтгай дээрх тэгш хэм. Эдгээр үсгүүдийн аль нь тэгш хэмийн төвтэй вэ? Эдгээр дүрсүүдийн аль нь тэгш хэмийн тэнхлэгтэй вэ?

“Тэнхлэг ба төвийн тэгш хэм” - Тэд тэгш хэмийн төвтэй юу: AO = VO, AB a C цэг нь шулуун а-тай харьцуулахад өөрөө тэгш хэмтэй байна. Хэрэв О цэг нь AM сегментийн дунд байвал A ба M цэгүүдийг О цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. Төвийн тэгш хэм. Тэнхлэгийн тэгш хэм. Шулуун шугамыг дүрсийн тэгш хэмийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Сегмент, туяа, огтлолцсон хос шугам, квадрат уу?

“Тэнхлэг ба төвийн тэгш хэм” - 1) Зурагт хэдэн тэгш хэмийн тэнхлэг байдаг вэ? 7) Тэнхлэг ба төвийн тэгш хэмтэй объектыг ол. Ургамлын тэгш хэм. Геометрийн чимэглэл. Амьтны ертөнц дэх тэгш хэм. 4) Тэгш хэмийн төв ба тэнхлэгийн тэгш хэмтэй дүрсүүдийг ол. Архитектур дахь тэгш хэм. 2) Төвийн тэгш хэмгүй дүрсийг ол.

Нийт 11 илтгэл байна

Орон зайн дүрсүүдийн тэгш хэм

Германы нэрт математикч Г.Вейлийн (1885-1955) хэлснээр “Симметр бол олон зууны турш хүн төрөлхтөн эмх цэгц, гоо үзэсгэлэн, төгс төгөлдөр байдлыг ойлгож, бүтээхийг хичээсэн санаа юм”.
Архитектур, уран зураг, уран баримал гэх мэт урлагийн бүтээлүүд нь тэгш хэмийн үзэсгэлэнтэй дүр төрхийг харуулдаг.
Планиметрийн хичээл дээр хавтгай дээрх дүрсүүдийн тэгш хэмийн тухай ойлголтыг авч үзсэн. Ялангуяа төвийн болон тэнхлэгийн тэгш хэмийн тухай ойлголтыг тодорхойлсон. Орон зайн дүрсийн хувьд тэгш хэмийн тухай ойлголтыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлдог.
Эхлээд төвийн тэгш хэмийг харцгаая.
цэгийн хувьд тэгш хэмтэйО дуудсан тэгш хэмийн төв, хэрэв O нь АА сегментийн дунд цэг юм." O цэгийг өөртэйгөө тэгш хэмтэй гэж үзнэ.
А цэг бүр өөрт нь тэгш хэмтэй А цэгтэй (өгөгдсөн О цэгийн хувьд) холбогдсон орон зайн хувиргалтыг гэнэ. төвийн тэгш хэм. О цэг гэж нэрлэдэг тэгш хэмийн төв.
Ф ба Ф" гэсэн хоёр дүрсийг нэрлэдэг төв тэгш хэмтэй, тэдгээрийн аль нэгийг нөгөө рүү шилжүүлэх тэгш хэмийн хувиргалт байгаа бол.
F дүрсийг нэрлэдэг төв тэгш хэмтэй, хэрэв энэ нь өөртөө төвлөрсөн тэгш хэмтэй бол.
Жишээлбэл, параллелепипед нь диагональуудын огтлолцох цэгийн хувьд төвлөрсөн тэгш хэмтэй байдаг. Бөмбөлөг ба бөмбөрцөг нь төв дээрээ тэгш хэмтэй байна.
Ердийн олон өнцөгтүүдээс куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр нь төвлөрсөн тэгш хэмтэй байдаг. Тетраэдр нь төвийн тэгш хэмтэй дүрс биш юм.
Төв тэгш хэмийн зарим шинж чанарыг авч үзье.
Үл хөдлөх хөрөнгө 1.Хэрэв О 1, O 2 Ф дүрсийн тэгш хэмийн төвүүд, дараа нь О цэг 3, O 2-тэй харьцуулахад тэгш хэмтэй O 1 мөн энэ зургийн тэгш хэмийн төв юм.
Баталгаа.А цэгийг огторгуйн А цэг гэж үзье 2 – О-той харьцангуй тэгш хэмтэй цэг 2, А 1 – А цэгт тэгш хэмтэй цэг O 1 ба A 3-тай харьцуулахад 2 - тэгш хэмтэй цэг А O 2-тэй харьцуулахад 1 (зураг 1).

Дараа нь гурвалжин О 2 O 1 A 1 ба O 2 O 3 A 3 , O 2 O 1 A 2 ба O 2 O 3 А тэнцүү байна. Тиймээс А, А 3 тэгш хэмтэй О 3 . Тиймээс О-ийн тэгш хэм 3 нь О-д хамаарах тэгш хэмийн найрлага юм 2, O 1 ба O 2 . Иймээс энэхүү тэгш хэмийн тусламжтайгаар F дүрс нь өөрөө болж хувирдаг, өөрөөр хэлбэл. О 3 нь F дүрсийн тэгш хэмийн төв юм.

Үр дагавар.Аливаа дүрс нь тэгш хэмийн төвгүй, эсвэл нэг тэгш хэмийн төвтэй, эсвэл хязгааргүй олон тэгш хэмийн төвтэй байдаг.

Үнэхээр хэрэв О 1, O 2 Ф дүрсийн тэгш хэмийн төвүүд, дараа нь О цэг 3, O 2-тэй харьцуулахад тэгш хэмтэй O 1 мөн энэ зургийн тэгш хэмийн төв юм. Үүний нэгэн адил О цэг O 3-тай харьцуулахад 4 тэгш хэмтэй O 2 мөн Ф дүрсийн тэгш хэмийн төв гэх мэт. Иймд энэ тохиолдолд Ф дүрс нь хязгааргүй олон тэгш хэмийн төвтэй байна.

Одоо ойлголтыг авч үзье тэнхлэгийн тэгш хэм.
Орон зайн А ба А" цэгүүдийг дуудна шулуун шугамын хувьд тэгш хэмтэй а, дуудсан тэгш хэмийн тэнхлэг, шулуун бол аАА сегментийн дундуур дамждаг" ба энэ хэрчимд перпендикуляр байна. Шулуун шугамын цэг бүр аөөртөө тэгш хэмтэй гэж үздэг.
А цэг бүр өөрт нь тэгш хэмтэй (өгөгдсөн шугамтай харьцуулахад) А цэгтэй холбогдсон орон зайн хувиргалт а), дуудсан тэнхлэгийн тэгш хэм. Шулуун аЭнэ тохиолдолд үүнийг дууддаг тэгш хэмийн тэнхлэг.
Хоёр дүрсийг нэрлэдэг шулуун шугамын хувьд тэгш хэмтэй а, хэрэв энэ шугамын тэгш хэмийн хувиргалт нь тэдгээрийн аль нэгийг нөгөө рүү шилжүүлбэл.
Сансарт байгаа F дүрсийг нэрлэдэг шулуунтай харьцуулахад тэгш хэмтэй а, хэрэв энэ нь өөрөө тэгш хэмтэй бол.
Жишээлбэл, тэгш өнцөгт параллелепипед нь эсрэг талын нүүрний төвүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын хувьд тэгш хэмтэй байдаг. Зөв дугуй цилиндр нь тэнхлэгийнхээ дагуу тэгш хэмтэй, бөмбөлөг ба бөмбөрцөг нь төвийг нь дайран өнгөрөх аливаа шулуун шугамын хувьд тэгш хэмтэй байна.
Шоо нь эсрэг талын нүүрний төвүүдээр дамждаг гурван тэгш хэмийн тэнхлэгтэй, эсрэг талын ирмэгүүдийн дундуур дамждаг зургаан тэгш хэмийн тэнхлэгтэй.
Тетраэдр нь эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг дайран өнгөрдөг гурван тэгш хэмийн тэнхлэгтэй.
Октаэдр нь эсрэг талын оройгоор дамждаг тэгш хэмийн гурван тэнхлэг, эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгээр дамждаг зургаан тэгш хэмийн тэнхлэгтэй.
Икосаэдр ба додекаэдр тус бүр нь эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг дайран өнгөрдөг арван таван тэгш хэмийн тэнхлэгтэй.
Эд хөрөнгө 3.Хэрэва 1 , а 2 – Ф зургийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүд, дараа нь шулуун шугама 3, тэгш хэмтэй а 1 хамаатан садан а 2 нь мөн энэ зургийн тэгш хэмийн тэнхлэг юм.

Нотолгоо нь 1-р өмчийн нотлох баримттай төстэй.

Үл хөдлөх хөрөнгө 4.Орон зайд огтлолцсон хоёр перпендикуляр шугам нь өгөгдсөн F дүрсийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүд байвал огтлолцох цэгийг дайран өнгөрөх ба эдгээр шулуунуудын хавтгайд перпендикуляр шулуун шугам нь мөн F дүрсийн тэгш хэмийн тэнхлэг болно.
Баталгаа.О координатын тэнхлэгүүдийг авч үзье x, О y, О z. O тэнхлэгийн тэгш хэм x x, y, z) координаттай Ф зургийн цэг хүртэл ( x, –y, –z). Үүний нэгэн адил О тэнхлэгийн тэгш хэм yФ зургийн цэгийг координаттай хөрвүүлнэ ( x, –y, –z) координаттай Ф зургийн цэг хүртэл (–) x, –y, z) . Тиймээс эдгээр тэгш хэмийн найрлага нь Ф зургийн цэгийг координаттай хөрвүүлдэг ( x, y, z) координаттай Ф зургийн цэг хүртэл (–) x, –y, z). Тиймээс O тэнхлэг zнь F зургийн тэгш хэмийн тэнхлэг юм.

Үр дагавар.Сансар огторгуйн аль ч дүрс тэгш хэмийн тэнхлэгийн тэгш (тэг биш) тоотой байж болохгүй.
Үнэхээр тэгш хэмийн зарим тэнхлэгийг засъя а. Хэрэв б– тэгш хэмийн тэнхлэг, огтлолцохгүй аэсвэл зөв өнцгөөр огтлолцдоггүй бол өөр тэгш хэмийн тэнхлэг байдаг b', хувьд тэгш хэмтэй а. Хэрэв тэгш хэмийн тэнхлэг бхөндлөн азөв өнцгөөр байвал өөр тэгш хэмийн тэнхлэг байдаг b', огтлолцох цэгийг дайран өнгөрөх ба шугамын хавтгайд перпендикуляр аТэгээд б. Тиймээс тэгш хэмийн тэнхлэгээс гадна атэгш хэмийн тэнхлэг нь тэгш эсвэл хязгааргүй олон байж болно. Тиймээс тэгш хэмийн тэнхлэгүүдийн нийт тэгш (тэг биш) тоо нь боломжгүй юм.
Дээр тодорхойлсон тэгш хэмийн тэнхлэгүүдээс гадна бид бас авч үздэг тэгш хэмийн тэнхлэг n--р захиалга, n 2 .
Шулуун адуудсан тэгш хэмийн тэнхлэг n--р захиалгаФ дүрс, хэрэв Ф дүрсийг шулуун шугамын эргэн тойронд эргүүлэх үед аөнцгөөр F дүрсийг өөртэй нь хослуулсан.

2-р эрэмбийн тэгш хэмийн тэнхлэг нь зүгээр л тэгш хэмийн тэнхлэг болох нь тодорхой байна.
Жишээлбэл, зөв n-нүүрстөрөгчийн пирамид, дээд ба суурийн төвийг дайран өнгөрөх шулуун шугам нь тэгш хэмийн тэнхлэг юм. n--р захиалга.
Ердийн олон өнцөгтүүд ямар тэгш хэмийн тэнхлэгтэй болохыг олж мэдье.
Шоо нь эсрэг талын нүүрний төвүүдийг дайран өнгөрөх 4-р дарааллын гурван тэгш хэмийн тэнхлэг, эсрэг талын оройгоор дамжин өнгөрөх 3-р зэрэглэлийн дөрвөн тэгш хэмийн тэнхлэг, эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг дайран өнгөрөх 2-р зэрэглэлийн зургаан тэгш хэмийн тэнхлэгтэй.
Тетраэдр нь эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг дайран өнгөрдөг хоёр дахь эрэмбийн тэгш хэмийн гурван тэнхлэгтэй.
Икосаэдр нь эсрэг талын оройгоор дамждаг 5-р эрэмбийн зургаан тэгш хэмийн тэнхлэгтэй; Эсрэг талын төвүүдийг дайран өнгөрөх 3-р эрэмбийн арван тэгш хэмийн тэнхлэг, эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг дайран өнгөрч буй 2-р эрэмбийн арван таван тэгш хэмийн тэнхлэгүүд.
Додекаэдр нь эсрэг талын нүүрний төвүүдийг дайран өнгөрдөг 5-р эрэмбийн зургаан тэгш хэмийн тэнхлэгтэй; Эсрэг оройгуудыг дайран өнгөрөх 3-р эрэмбийн арван тэгш хэмийн тэнхлэг, эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг дайран өнгөрөх 2-р эрэмбийн арван таван тэгш хэмийн тэнхлэг.
Үзэл баримтлалыг авч үзье толины тэгш хэм.
Орон зайн А ба А" цэгүүдийг дуудна хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэмтэй, эсвэл өөрөөр хэлбэл, тэгш хэмтэй толин тусгал, хэрвээ энэ хавтгай нь АА" хэрчмийн дундуур дайран өнгөрч, түүнд перпендикуляр байвал. Хавтгайн цэг бүрийг өөртөө тэгш хэмтэй гэж үзнэ.
А цэг бүр өөрт нь тэгш хэмтэй (өгөгдсөн хавтгайтай харьцуулахад) А цэгтэй холбогдсон орон зайн хувиргалтыг гэнэ. толины тэгш хэм. Онгоц гэж нэрлэдэг тэгш хэмийн хавтгай.
Хоёр дүрсийг нэрлэдэг тэгш хэмтэй толин тусгалХэрэв энэ хавтгайд хамаарах тэгш хэмийн хувиргалт нь тэдгээрийн аль нэгийг нөгөө рүү хувиргавал хавтгайтай харьцуулахад.
Сансарт байгаа F дүрсийг нэрлэдэг тэгш хэмтэй толин тусгал, хэрэв энэ нь өөртөө тэгш хэмтэй толин тусгал байвал.
Жишээлбэл, тэгш өнцөгт параллелепипед нь тэгш хэмийн тэнхлэгээр дамжин өнгөрч буй хавтгайд тэгш хэмтэй, эсрэг талын хосуудын аль нэгэнд параллель байна. Цилиндр нь тэнхлэгээ дайран өнгөрөх аливаа хавтгайтай харьцуулахад толин тусгал тэгш хэмтэй байдаг.
Ердийн олон талтуудын дотроос шоо ба октаэдр тус бүр есөн тэгш хэмийн хавтгайтай байдаг. Тетраэдр нь зургаан тэгш хэмийн хавтгайтай. Икосаэдр ба додекаэдр тус бүр нь эсрэг талын ирмэгүүдээр дамждаг тэгш хэмийн арван таван хавтгайтай.
Эд хөрөнгө 5.Зэрэгцээ хавтгайд хамаарах хоёр толин тусгал тэгш хэмийн найрлага нь эдгээр хавтгайд перпендикуляр вектор руу параллель орчуулга бөгөөд эдгээр хавтгайн хоорондох зайнаас хоёр дахин их хэмжээтэй тэнцүү байна.
Үр дагавар.Зэрэгцээ тээвэрлэлтийг хоёр толин тусгал тэгш хэмийн найрлага гэж үзэж болно.
Үл хөдлөх хөрөнгө 6.Шулуун шугамаар огтлолцсон хавтгайтай харьцуулахад хоёр толин тусгал тэгш хэмийн найрлага нь эдгээр хавтгайн хоорондох хоёр талт өнцгөөс хоёр дахин их өнцгөөр энэ шулууныг тойрон эргэхийг хэлнэ. Ялангуяа тэнхлэгийн тэгш хэм нь перпендикуляр хавтгайнуудын хоёр толин тусгал тэгш хэмийн найрлага юм.
Үр дагавар.Эргэлтийг хоёр толин тусгал тэгш хэмийн найрлага гэж үзэж болно.
Үл хөдлөх хөрөнгө 7.Төвийн тэгш хэмийг гурван толин тусгал тэгш хэмийн найрлагаар илэрхийлж болно.
Энэ шинж чанарыг координатын аргаар баталъя. А цэгийг үзье орон зайд координатууд байдаг ( x, y, z). Координатын хавтгайд хамаарах толин тусгал тэгш хэм нь харгалзах координатын тэмдгийг өөрчилдөг. Жишээ нь, O хавтгайд хамаарах толин тусгал тэгш хэм xyцэгийг координатаар хөрвүүлнэ ( x, y, z) координаттай цэг хүртэл ( x, y, –z). Координатын хавтгайд хамаарах гурван толин тусгал тэгш хэмийн найрлага нь цэгийг координаттай хөрвүүлдэг ( x, y, z) координаттай цэг хүртэл (- x, –y, –z), анхны А цэгтэй төвлөрсөн тэгш хэмтэй байна.
F дүрсийг өөрчилдөг хөдөлгөөнүүд нь найрлагатай харьцуулахад бүлэг үүсгэдэг. гэж нэрлэдэг тэгш хэмийн бүлэг F тоо
Кубын тэгш хэмийн бүлгийн дарааллыг олъё.
Шоо руу шилжүүлэх аливаа хөдөлгөөн нь шоогийн төвийг байрандаа үлдээж, нүүрний төвүүдийг нүүрний төв рүү, ирмэгүүдийн дундыг ирмэгүүдийн дунд, оройг орой руу шилжүүлдэг нь тодорхой байна.
Тиймээс, шоо дөрвөлжингийн хөдөлгөөнийг тодорхойлохын тулд нүүрний төв, энэ нүүрний ирмэгийн дунд хэсэг, ирмэгийн орой хаашаа явж байгааг тодорхойлоход хангалттай.
Кубыг тетраэдр болгон хуваахыг авч үзье, тэдгээрийн орой нь кубын төв, нүүрний төв, энэ нүүрний ирмэгийн дунд хэсэг, ирмэгийн орой юм. Ийм 48 тетраэдр байдаг тул өгөгдсөн тетраэдр нь аль тетраэдр рүү хөрвүүлэгдсэнээр бүрэн тодорхойлогддог тул кубын тэгш хэмийн бүлгийн дараалал 48-тай тэнцүү байна.
Тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр зэрэг тэгш хэмийн бүлгүүдийн дарааллыг ижил төстэй байдлаар олж болно.
S нэгж тойргийн тэгш хэмийн бүлгийг олъё 1 . Энэ бүлгийг O(2) гэж тэмдэглэсэн. Энэ бол хязгааргүй топологийн бүлэг юм. Нэгж тойргийг нэг модулийн цогц тоонуудын бүлэг гэж төсөөлье. Байгалийн эпиморфизм байдаг p:O(2) --> S 1 , энэ нь O(2) бүлгийн u элементийг S дахь u(1) элементтэй холбодог 1 . Энэхүү зураглалын цөм нь Z бүлэг юм 2 , Ox тэнхлэгтэй харьцуулахад нэгж тойргийн тэгш хэмээр үүсгэгдсэн. Тиймээс O(2)/Z 2S 1 . Түүнээс гадна, хэрэв бид бүлгийн бүтцийг харгалзахгүй бол O(2) ба шууд бүтээгдэхүүн S-ийн гомеоморфизм байна. 1 ба Z 2.
Үүний нэгэн адил хоёр хэмжээст бөмбөрцгийн тэгш хэмийн бүлэг С 2 O(3) гэж тэмдэглэсэн бөгөөд түүний хувьд O(3)/O(2) S изоморфизм байна. 2 .
n хэмжээст бөмбөрцгийн тэгш хэмийн бүлгүүд нь орчин үеийн топологийн салбаруудад чухал үүрэг гүйцэтгэдэг: олон талт онол, шилэн орон зайн онол гэх мэт.
Байгалийн тэгш хэмийн хамгийн гайхалтай илрэлүүдийн нэг бол талстууд юм. Талстуудын шинж чанарыг тэдгээрийн геометрийн бүтцийн онцлог, ялангуяа болор тор дахь атомуудын тэгш хэмтэй зохион байгуулалтаар тодорхойлдог. Талстуудын гадаад хэлбэр нь тэдний дотоод тэгш хэмийн үр дагавар юм.
Талст дахь атомууд тогтмол, тогтмол, тэгш хэмтэй зохион байгуулалттай байдаг гэсэн анхны тодорхой бус таамаглалууд нь атомын тухай ойлголт тодорхойгүй байсан бөгөөд туршилтын нотолгоо байхгүй байсан тэр үед янз бүрийн байгалийн эрдэмтдийн бүтээлүүдэд аль хэдийн илэрхийлэгдсэн байдаг. бодисын атомын бүтэц. Талстуудын гаднах тэгш хэмтэй хэлбэр нь талстуудын дотоод бүтэц нь тэгш хэмтэй, тогтмол байх ёстой гэсэн санааг өөрийн эрхгүй дэвшүүлсэн. Талстуудын гадаад хэлбэрийн тэгш хэмийн хуулиуд 19-р зууны дунд үеэс бүрэн тогтоогдсон бөгөөд энэ зууны эцэс гэхэд талст дахь атомын бүтэц хамаарах тэгш хэмийн хуулиудыг тодорхой бөгөөд үнэн зөв гаргажээ.
Кристалуудын бүтцийн математикийн онолыг үндэслэгч нь Оросын нэрт математикч, талстографч - Евграф Степанович Федоров (1853-1919) юм. Математик, хими, геологи, эрдэс судлал, петрографи, уул уурхай - Е.С.Федоров эдгээр салбар бүрт ихээхэн хувь нэмэр оруулсан. 1890 онд тэрээр болор бүтэц дэх тэгш хэмийн элементүүдийг хослуулах боломжтой бүх геометрийн хуулиудыг, өөрөөр хэлбэл, талст доторх бөөмсийн тэгш хэмийг математикийн аргаар гаргаж авсан. Ийм хуулийн тоо хязгаарлагдмал болсон. Федоров сансрын тэгш хэмийн 230 бүлэг байдгийг харуулсан бөгөөд хожим нь эрдэмтний хүндэтгэлд Федоров гэж нэрлэгдсэн. Энэ бол рентген туяаг нээхээс 10 жилийн өмнө буюу болор тор байдаг гэдгийг нотлохоос 27 жилийн өмнө хийсэн асар том хүчин чармайлт байв. Федоровын 230 бүлэг оршин тогтнох нь орчин үеийн бүтцийн талстографийн хамгийн чухал геометрийн хуулиудын нэг юм. "Тоо томшгүй олон талст тогтоцыг бүхэлд нь" нэг геометрийн схемийн дагуу авчирч чадсан Е.С.Федоровын асар том шинжлэх ухаан нь Д.И Кристаллуудын хаант улс” бол хөдлөшгүй дурсгал бөгөөд сонгодог Федоровын талстографийн оргил юм” гэж академич А.В. Шубников.

Уран зохиол
1. Хадамард Ж. Анхан шатны геометр. II хэсэг. Стереометр. - 3 дахь хэвлэл. – М.: Учпэдгиз, 1958 он.
2. Weil G. Symmetry. - М.: Наука, 1968.
3. Wigner E. Симметрийн судалгаа. - М.: Мир, 1971.
4. Gardner M. Энэ баруун, зүүн ертөнц. - М.: Мир, 1967.
5. Gilde V. Толин тусгал ертөнц. - М.: Мир, 1982.
6. Kompaneets A.S. Микро болон макро ертөнц дэх тэгш хэм. - М.: Наука, 1978.
7. Парамонова И.М. Математик дахь тэгш хэм. - М.: МТСНМО, 2000 он.
8. Перепелкин Д.И. Анхан шатны геометрийн курс. II хэсэг. Орон зай дахь геометр. – М.-Л.: Улсын хэвлэлийн газар. техник-онолын уран зохиол, 1949 он.
9. Сонин А.С. Төгс төгөлдөр байдлын тухай ойлголт (тэгш хэм, тэгш бус, тэгш хэмгүй, тэгш бус байдал). - М .: Мэдлэг, 1987.
10. Тарасов Л.В. Энэ гайхалтай тэгш хэмтэй ертөнц. – М.: Боловсрол, 1982 он.
11. Симметрийн хэв маяг. - М.: Мир, 1980.
12. Шафрановский I.I. Байгалийн тэгш хэм. - 2-р хэвлэл. - Л.; 1985 он.
13. Шубников А.В., Копцик В.А. Шинжлэх ухаан, урлаг дахь тэгш хэм. - М.: Наука, 1972.

Тэгш хэм нь зохицол, дэг журамтай холбоотой байдаг. Мөн сайн шалтгаантай. Учир нь тэгш хэм гэж юу вэ гэсэн асуултын хариулт нь эртний Грек хэлнээс шууд орчуулга хэлбэрээр байдаг. Тэгээд энэ нь пропорциональ, хувиршгүй гэсэн үг юм байна. Мөн байршлын хатуу тодорхойлолтоос илүү эмх цэгцтэй юу байж болох вэ? Хэмжээтэй яг таарч байгаа зүйлээс илүү зохицолтой гэж юу байж болох вэ?

Янз бүрийн шинжлэх ухаанд тэгш хэм гэж юу гэсэн үг вэ?

Биологи.Үүний тэгш хэмийн чухал бүрэлдэхүүн хэсэг бол амьтан, ургамал хэсгүүдийг тогтмол зохион байгуулдаг явдал юм. Түүнээс гадна энэ шинжлэх ухаанд хатуу тэгш хэм байдаггүй. Үргэлж тэгш бус байдал байдаг. Бүхэл бүтэн хэсгүүд нь туйлын нарийвчлалтай давхцдаггүй гэдгийг хүлээн зөвшөөрдөг.

Физик.Биеийн систем ба түүний өөрчлөлтийг тэгшитгэл ашиглан дүрсэлдэг. Эдгээр нь тэгш хэмтэй бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг агуулдаг бөгөөд энэ нь бүхэл бүтэн шийдлийг хялбаршуулдаг. Энэ нь хадгалагдсан хэмжигдэхүүнийг хайх замаар хийгддэг.

Математик.Тэнд тэгш хэм гэж юу болохыг үндсэндээ тайлбарладаг. Түүнээс гадна геометрт илүү их ач холбогдол өгдөг. Энд тэгш хэм нь дүрс, биетээр харуулах чадвар юм. Нарийн утгаараа энэ нь зүгээр л толин тусгал дүрс дээр бууж ирдэг.

Өөр өөр толь бичгүүд тэгш хэмийг хэрхэн тодорхойлдог вэ?

Тэдний алийг нь ч харсан пропорциональ гэдэг үг хаа сайгүй гарч ирнэ. Далд нэгдмэл байдал, тэгш байдал гэх мэт тайлбарыг харж болно. Өөрөөр хэлбэл, тэгш хэмтэй гэдэг нь ижил утгатай. Энэ нь бас уйтгартай, өөр зүйл байхгүй гэж хэлдэг;

Ожеговын толь бичигт тэгш хэм гэж юу вэ гэж асуухад аль хэдийн цэг, шулуун эсвэл хавтгайтай харьцуулахад хэсгүүдийн байрлалын ижил байдлын талаар ярьдаг.

Ушаковын толь бичигт пропорциональ байдал, мөн бүхэл бүтэн хоёр хэсгийн бие биетэйгээ бүрэн нийцэх талаар дурдсан байдаг.

Бид хэзээ тэгш бус байдлын тухай ярих вэ?

“А” угтвар нь үндсэн нэрийн утгыг үгүйсгэдэг. Тиймээс тэгш бус байдал нь элементүүдийн зохион байгуулалт нь тодорхой хэв маягт тохирохгүй гэсэн үг юм. Үүнд хувиршгүй байдал гэж байдаггүй.

Энэ нэр томъёо нь нэг зүйлийн хоёр тал нь бүрэн ижил биш тохиолдолд хэрэглэгддэг. Ихэнхдээ тэд огт ижил төстэй байдаггүй.

Амьд байгальд тэгш бус байдал чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Түүнээс гадна энэ нь ашигтай, хор хөнөөлтэй байж болно. Жишээлбэл, зүрх нь цээжний зүүн хагаст байрладаг. Үүний улмаас зүүн уушигны хэмжээ мэдэгдэхүйц бага байдаг. Гэхдээ энэ нь зайлшгүй шаардлагатай.

Төв ба тэнхлэгийн тэгш хэмийн тухай

Математикийн хувьд дараахь төрлүүдийг ялгадаг.

• төв, өөрөөр хэлбэл нэг цэгтэй харьцуулахад хийсэн;
• шулуун шугамын ойролцоо ажиглагдсан тэнхлэгийн;
• гайхалтай, энэ нь тусгал дээр суурилдаг;
• шилжүүлгийн тэгш хэм.

Тэгш хэмийн тэнхлэг ба төв гэж юу вэ? Энэ бол биеийн аль ч цэг нь өөр цэгийг олох боломжтой цэг эсвэл шугам юм. Түүгээр ч зогсохгүй эхээс үүссэн зайг тэнхлэг эсвэл тэгш хэмийн төвөөр хагасаар хуваана. Эдгээр цэгүүдийг хөдөлгөхөд тэдгээр нь ижил замналыг дүрсэлдэг.

Тэгш хэмийн төвийг олох шаардлагатай тохиолдолд та дараах байдлаар ажиллах хэрэгтэй. Хэрэв хоёр дүрс байгаа бол тэдгээрийн ижил цэгүүдийг олж, сегменттэй холбоно уу. Дараа нь хагасаар хуваа. Зөвхөн нэг зураг байгаа тохиолдолд түүний шинж чанарын талаархи мэдлэг тус болно. Ихэнхдээ энэ төв нь диагональ эсвэл өндрийн огтлолцох цэгтэй давхцдаг.

Ямар хэлбэрүүд тэгш хэмтэй байдаг вэ?

Геометрийн дүрс нь тэнхлэгийн болон төвийн тэгш хэмтэй байж болно. Гэхдээ энэ нь зайлшгүй нөхцөл биш, үүнийг огт эзэмшдэггүй олон объект байдаг. Жишээлбэл, параллелограмм нь төвтэй, харин тэнхлэгтэй байдаггүй. Харин тэгш өнцөгт бус трапец болон гурвалжинд тэгш хэм огт байхгүй.

Хэрэв төвийн тэгш хэмийг авч үзвэл үүнийг агуулсан маш олон тоо байдаг. Эдгээр нь хэрчм ба тойрог, параллелограмм ба хоёр талдаа хуваагддаг олон талтай бүх энгийн олон өнцөгтүүд юм.

Сегментийн тэгш хэмийн төв (мөн тойрог) нь түүний төв бөгөөд параллелограммын хувьд диагональуудын огтлолцолтой давхцдаг. Энгийн олон өнцөгтүүдийн хувьд энэ цэг нь зургийн төвтэй давхцдаг.

Хэрэв зурган дээр шулуун шугам зурж, түүний дагуу нугалж болох бөгөөд хоёр тал нь давхцаж байвал энэ нь (шулуун шугам) тэгш хэмийн тэнхлэг болно. Сонирхолтой нь янз бүрийн хэлбэрийн тэгш хэмийн хэдэн тэнхлэгтэй байх явдал юм.

Жишээлбэл, хурц буюу мохоо өнцөг нь зөвхөн нэг тэнхлэгтэй байдаг бөгөөд энэ нь түүний биссектриса юм.

Хэрэв та ижил өнцөгт гурвалжин дахь тэнхлэгийг олох шаардлагатай бол өндрийг нь суурь руу нь зурах хэрэгтэй. Шугам нь тэгш хэмийн тэнхлэг байх болно. Бас нэг л. Мөн тэгш талт нэгд нэг дор гурав байх болно. Үүнээс гадна гурвалжин нь өндрийн огтлолцлын цэгтэй харьцуулахад төв тэгш хэмтэй байдаг.

Тойрог нь хязгааргүй олон тэгш хэмийн тэнхлэгтэй байж болно. Төвийг нь дайран өнгөрөх аливаа шулуун шугам энэ үүргийг гүйцэтгэж чадна.

Тэгш өнцөгт ба ромб хоёр тэгш хэмийн тэнхлэгтэй. Эхнийх нь хажуугийн дундуур дамжин өнгөрч, хоёр дахь нь диагональуудтай давхцдаг.

Квадрат нь өмнөх хоёр дүрсийг нэгтгэсэн бөгөөд нэг дор 4 тэгш хэмийн тэнхлэгтэй байна. Эдгээр нь ромб ба тэгш өнцөгттэй адил юм.