Өөр өөр суурьтай логарифмын нийлбэрийн жишээ. Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Бид бүгд бага сургуулиасаа тэгшитгэлийг мэддэг. Тэнд бид хамгийн энгийн жишээг шийдэж сурсан бөгөөд тэд дээд математикт ч гэсэн хэрэглээгээ олдог гэдгийг хүлээн зөвшөөрөх ёстой. Тэгшитгэл, түүний дотор квадрат тэгшитгэлийн хувьд бүх зүйл энгийн байдаг. Хэрэв та энэ сэдвээр асуудалтай байгаа бол бид танд үүнийг хянаж үзэхийг зөвлөж байна.

Магадгүй та аль хэдийн логарифмыг давсан байх. Гэсэн хэдий ч мэдэхгүй байгаа хүмүүст энэ нь юу болохыг хэлэх нь чухал гэж бид үзэж байна. Логарифм нь логарифмын тэмдгийн баруун талд байгаа тоог гаргахын тулд суурийг өсгөх ёстой хүчин чадалтай тэнцүү байна. Бүх зүйл танд тодорхой болох жишээг хэлье.

Хэрэв та 3-ыг 4-р зэрэглэл рүү өсгөвөл 81 болно. Одоо тоонуудыг аналогиар орлуулж, логарифм хэрхэн шийдэгддэгийг эцэст нь ойлгох болно. Одоо хэлэлцсэн хоёр ойлголтыг нэгтгэх л үлдлээ. Эхэндээ нөхцөл байдал маш төвөгтэй мэт санагдах боловч нарийвчилсан үзлэгээр жин нь байрандаа ордог. Энэхүү богино өгүүллийн дараа танд Улсын нэгдсэн шалгалтын энэ хэсэгт асуудал гарахгүй гэдэгт бид итгэлтэй байна.

Өнөөдөр ийм бүтцийг шийдэх олон арга бий. Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаврын хувьд хамгийн энгийн, хамгийн үр дүнтэй, хамгийн тохиромжтойг бид танд хэлэх болно. Логарифм тэгшитгэлийг шийдэхдээ хамгийн энгийн жишээнээс эхлэх хэрэгтэй. Хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэлүүд нь функц ба нэг хувьсагчаас бүрдэнэ.

Аргумент дотор x байгааг анхаарах нь чухал. A ба b нь тоо байх ёстой. Энэ тохиолдолд та функцийг тоогоор нэг зэрэглэлээр илэрхийлж болно. Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна.

Мэдээжийн хэрэг, энэ аргыг ашиглан логарифмын тэгшитгэлийг шийдэх нь таныг зөв хариулт руу хөтөлнө. Энэ тохиолдолд оюутнуудын дийлэнх олонхийн асуудал нь юунаас гаралтай, хаанаас ирснийг ойлгохгүй байх явдал юм. Үүний үр дүнд та алдаагаа тэвчиж, хүссэн оноогоо авахгүй байх ёстой. Хэрэв та үсгүүдийг холих юм бол хамгийн доромжилсон алдаа болно. Тэгшитгэлийг ийм байдлаар шийдэхийн тулд ойлгоход хэцүү тул та энэхүү стандарт сургуулийн томъёог цээжлэх хэрэгтэй.

Үүнийг хялбар болгохын тулд та өөр аргыг ашиглаж болно - каноник хэлбэр. Санаа нь маш энгийн. Асуудалд анхаарлаа хандуулаарай. А үсэг нь функц эсвэл хувьсагч биш харин тоо гэдгийг санаарай. A нь нэгтэй тэнцүү биш, тэгээс их. b-д хязгаарлалт байхгүй. Одоо бүх томъёоноос нэгийг нь санацгаая. B-г дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Үүнээс үзэхэд логарифм бүхий бүх анхны тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Одоо бид логарифмуудыг хаяж болно. Үүний үр дүнд бид өмнө нь үзсэн энгийн загвар юм.

Энэхүү томьёоны тав тухтай байдал нь үүнийг зөвхөн хамгийн энгийн загварт төдийгүй олон янзын тохиолдолд ашиглах боломжтойд оршино.

OOF-ийн талаар санаа зовох хэрэггүй!

Олон туршлагатай математикчид бид тодорхойлолтын талбарт анхаарлаа хандуулаагүйг анзаарах болно. Дүрэм нь F(x) нь заавал 0-ээс их байх ёстой гэсэн баримтад хүргэдэг. Үгүй ээ, бид энэ цэгийг алдаагүй. Одоо бид каноник хэлбэрийн өөр нэг ноцтой давуу талыг ярьж байна.

Энд нэмэлт үндэс байхгүй болно. Хэрэв хувьсагч зөвхөн нэг газар гарч ирэх юм бол хамрах хүрээ шаардлагагүй. Энэ нь автоматаар хийгддэг. Энэ дүгнэлтийг батлахын тулд хэд хэдэн энгийн жишээг шийдэж үзээрэй.

Өөр өөр суурьтай логарифм тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ

Эдгээр нь аль хэдийн нарийн төвөгтэй логарифмын тэгшитгэлүүд бөгөөд тэдгээрийг шийдвэрлэх арга нь онцгой байх ёстой. Энд алдартай каноник хэлбэрээр өөрсдийгөө хязгаарлах нь ховор байдаг. Нарийвчилсан түүхээ эхэлцгээе. Бид дараах бүтээн байгуулалттай.

Бутархай хэсэгт анхаарлаа хандуулаарай. Энэ нь логарифмыг агуулдаг. Хэрэв та үүнийг даалгавар дээр харвал нэг сонирхолтой заль мэхийг санах нь зүйтэй.

Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Логарифм бүрийг тохиромжтой суурьтай хоёр логарифмын категори хэлбэрээр илэрхийлж болно. Мөн энэ томьёо нь энэ жишээнд хамаарах онцгой тохиолдолтой (бид c=b бол гэсэн үг).

Энэ бол бидний жишээн дээрх яг л бутархай юм. Тиймээс.

Үндсэндээ бид бутархай хэсгийг эргүүлж, илүү тохиромжтой илэрхийлэлтэй болсон. Энэ алгоритмыг санаарай!

Одоо логарифмын тэгшитгэлд өөр суурь агуулаагүй байх шаардлагатай. Суурийг бутархайгаар илэрхийлье.

Математикт үндсэн суурь дээр үндэслэн зэрэг гаргаж болох дүрэм байдаг. Дараах барилгын үр дүн.

Бидний илэрхийлэлийг каноник хэлбэрт шилжүүлж, энгийн аргаар шийдвэрлэхэд юу саад болж байна вэ? Энэ тийм ч энгийн зүйл биш. Логарифмын өмнө бутархай байх ёсгүй. Энэ байдлыг засъя! Бутархай хэсгийг зэрэг болгон ашиглахыг зөвшөөрдөг.

Тус тусад нь.

Хэрэв суурь нь ижил байвал бид логарифмуудыг хасч, илэрхийлэлүүдийг өөрсдөө тэнцүүлж болно. Ингэснээр нөхцөл байдал өмнөхөөсөө хамаагүй хялбар болно. Бидний хүн нэг бүр 8, бүр 7-р ангидаа яаж шийдэхээ мэддэг байсан энгийн тэгшитгэл л үлдэх болно. Та тооцоогоо өөрөө хийж болно.

Бид энэ логарифм тэгшитгэлийн цорын ганц үнэн язгуурыг олж авсан. Логарифм тэгшитгэлийг шийдэх жишээнүүд маш энгийн, тийм үү? Одоо та Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлдэж, тэнцэх хамгийн төвөгтэй ажлуудыг бие даан шийдвэрлэх боломжтой болно.

Үр дүн нь юу вэ?

Аливаа логарифмын тэгшитгэлийн хувьд бид нэг чухал дүрмийн дагуу ажилладаг. Илэрхийлэлийг аль болох энгийн хэлбэрт оруулах арга замаар ажиллах шаардлагатай байна. Энэ тохиолдолд та зөвхөн даалгаврыг зөв шийдэхээс гадна хамгийн энгийн бөгөөд хамгийн логик аргаар хийх боломжтой болно. Математикчид яг ийм байдлаар ажилладаг.

Ялангуяа энэ тохиолдолд хэцүү замыг хайхыг бид хатуу зөвлөхгүй. Аливаа илэрхийлэлийг өөрчлөх боломжийг танд олгох хэд хэдэн энгийн дүрмийг санаарай. Жишээлбэл, хоёр, гурван логарифмыг ижил суурь болгон бууруулж эсвэл суурийн хүчийг гаргаж, үүн дээр ялах.

Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь байнгын дадлага шаарддаг гэдгийг санах нь зүйтэй. Аажмаар та илүү нарийн төвөгтэй бүтэц рүү шилжих бөгөөд энэ нь таныг Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх хувилбаруудыг итгэлтэйгээр шийдвэрлэхэд хүргэх болно. Шалгалтандаа сайн бэлдэж, амжилт хүсье!

b (b > 0) тооны логарифм нь a суурь (a > 0, a ≠ 1)– b-ийг авахын тулд а тоог өсгөх ёстой илтгэгч.

b-ийн суурь 10 логарифмыг ингэж бичиж болно бүртгэл(б), мөн e суурийн логарифм (натурал логарифм) байна ln(b).

Логарифмын асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг:

Логарифмын шинж чанарууд

Дөрвөн үндсэн байдаг логарифмын шинж чанарууд.

a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0 байг.

Property 1. Бүтээгдэхүүний логарифм

Бүтээгдэхүүний логарифмлогарифмын нийлбэртэй тэнцүү:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Property 2. Хэсгийн логарифм

Хэсгийн логарифмлогарифмын зөрүүтэй тэнцүү:

log a (x / y) = log a x – log a y

Property 3. Чадлын логарифм

Зэрэглэлийн логарифмхүч ба логарифмын үржвэртэй тэнцүү:

Хэрэв логарифмын суурь хүчин чадалд байвал өөр томьёо хэрэглэнэ.

Property 4. Үндэсийн логарифм

Чадлын n-р үндэс нь 1/n-ийн чадалтай тэнцүү тул энэ шинж чанарыг чадлын логарифмын шинж чанараас авч болно.

Нэг суурийн логарифмаас өөр суурийн логарифм руу хөрвүүлэх томъёо

Энэ томъёог логарифмын янз бүрийн даалгавруудыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг.

Онцгой тохиолдол:

Логарифмуудыг харьцуулах (тэгш бус байдал)

Ижил суурьтай логарифмын дор f(x) ба g(x) гэсэн 2 функцтэй байх ба тэдгээрийн хооронд тэгш бус байдлын тэмдэг байна:

Тэдгээрийг харьцуулахын тулд эхлээд a логарифмын суурийг харах хэрэгтэй.

Хэрэв a > 0 бол f(x) > g(x) > 0 байна
Хэрэв 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Логарифмын тусламжтайгаар асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ: жишээ

Логарифмын асуудалМатематикийн улсын нэгдсэн шалгалтад 11-р ангийн 5, 7-р даалгаварт багтсан тул та манай вэбсайтаас тохирох хэсгүүдээс шийдлүүдтэй даалгавруудыг олох боломжтой. Мөн логарифм бүхий даалгавруудыг математикийн даалгаврын банкнаас олж болно. Та бүх жишээг сайтаас хайж олох боломжтой.

Логарифм гэж юу вэ

Логарифмыг сургуулийн математикийн хичээлд үргэлж хэцүү сэдэв гэж үздэг. Логарифмын талаар олон янзын тодорхойлолт байдаг ч зарим нэг шалтгааны улмаас ихэнх сурах бичгүүдэд тэдгээрийн хамгийн төвөгтэй, амжилтгүй хэсгийг ашигладаг.

Бид логарифмыг энгийн бөгөөд тодорхой тодорхойлох болно. Үүнийг хийхийн тулд хүснэгт үүсгэцгээе:

Тэгэхээр бид хоёр эрх мэдэлтэй.

Логарифм - шинж чанар, томъёо, хэрхэн шийдвэрлэх

Хэрэв та доод шугамаас тоог авбал энэ тоог авахын тулд хоёрыг өсгөх шаардлагатай хүчийг хялбархан олох боломжтой. Жишээлбэл, 16-г авахын тулд та хоёрыг дөрөв дэх хүчийг нэмэгдүүлэх хэрэгтэй. Мөн 64-ийг авахын тулд хоёрыг зургаа дахь зэрэглэлд хүргэх хэрэгтэй. Үүнийг хүснэгтээс харж болно.

Тэгээд одоо - үнэндээ логарифмын тодорхойлолт:

х аргументийн суурь a нь х тоог авахын тулд а тоог өсгөх ёстой хүч юм.

Тэмдэглэл: log a x = b, энд a нь суурь, x нь аргумент, b нь логарифм нь бодитой тэнцүү байна.

Жишээ нь, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (8-ын суурь 2 логарифм нь 2 3 = 8 учраас гурван). Үүнтэй ижил амжилтаар 2 64 = 6 бүртгэл, учир нь 2 6 = 64.

Өгөгдсөн суурь хүртэлх тооны логарифмийг олох үйлдлийг гэнэ. Тиймээс, хүснэгтэндээ шинэ мөр нэмье:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
бүртгэл 2 2 = 1	бүртгэл 2 4 = 2	бүртгэл 2 8 = 3	бүртгэл 2 16 = 4	бүртгэл 2 32 = 5	бүртгэл 2 64 = 6

Харамсалтай нь бүх логарифмыг тийм ч хялбар тооцоолж чаддаггүй. Жишээлбэл, лог 2-г олохыг хичээ 5. Хүснэгтэнд 5-ын тоо байхгүй, гэхдээ логик нь логарифм нь интервал дээр хаа нэгтээ хэвтэхийг заадаг. Учир нь 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Ийм тоонуудыг иррациональ гэж нэрлэдэг: аравтын бутархайн дараах тоог хязгааргүй бичиж болно, хэзээ ч давтагдахгүй. Хэрэв логарифм нь иррациональ болж хувирвал үүнийг орхих нь дээр: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Логарифм нь хоёр хувьсагчтай (суурь ба аргумент) илэрхийлэл гэдгийг ойлгох нь чухал. Эхэндээ олон хүмүүс үндэслэл нь хаана байна, маргаан нь хаана байгааг андуурдаг. Ядаргаатай үл ойлголцол гарахаас зайлсхийхийн тулд зургийг хараарай.

Бидний өмнө логарифмын тодорхойлолтоос өөр зүйл байхгүй. Санаж байна уу: логарифм бол хүч юм, аргументыг олж авахын тулд суурь нь баригдсан байх ёстой. Энэ нь хүч чадалд өргөгдсөн суурь юм - энэ нь зурган дээр улаанаар тодорсон байна. Суурь нь үргэлж доод талд байдаг нь харагдаж байна! Би оюутнууддаа энэ гайхалтай дүрмийг эхний хичээл дээр хэлдэг бөгөөд ямар ч төөрөгдөл гардаггүй.

Логарифмыг хэрхэн тоолох вэ

Бид тодорхойлолтыг олж мэдсэн - логарифмыг хэрхэн тоолохыг сурах л үлдлээ. "лог" тэмдгийг арилгах. Эхлээд бид тодорхойлолтоос хоёр чухал баримт гарч ирснийг тэмдэглэж байна.

Аргумент ба суурь нь үргэлж тэгээс их байх ёстой. Энэ нь логарифмын тодорхойлолтыг багасгасан рационал илтгэгчээр градусын тодорхойлолтоос үүдэлтэй.
Суурь нь нэгээс өөр байх ёстой, учир нь аль ч зэрэг нь нэг хэвээр байна. Үүнээс болоод “хоёрыг авахын тулд ямар эрх мэдэлд хүрэх ёстой вэ” гэдэг асуулт утгагүй болж байна. Ийм зэрэглэл байхгүй!

Ийм хязгаарлалт гэж нэрлэдэг хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээ(ОДЗ). Логарифмын ODZ нь дараах байдалтай байна: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

b тоонд (логарифмын утга) хязгаарлалт байхгүй гэдгийг анхаарна уу. Жишээлбэл, логарифм нь сөрөг байж магадгүй: log 2 0.5 = −1, учир нь 0.5 = 2 −1.

Гэсэн хэдий ч одоо бид логарифмын VA-г мэдэх шаардлагагүй зөвхөн тоон илэрхийллүүдийг авч үзэх болно. Асуудлыг зохиогчид бүх хязгаарлалтыг аль хэдийн харгалзан үзсэн болно. Гэхдээ логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдал гарч ирэхэд DL-ийн шаардлага заавал байх болно. Эцсийн эцэст, үндэслэл, аргумент нь дээрх хязгаарлалттай заавал нийцэхгүй маш хүчтэй бүтэцтэй байж болно.

Одоо логарифмыг тооцоолох ерөнхий схемийг харцгаая. Энэ нь гурван алхамаас бүрдэнэ:

a суурь ба аргумент x-ийг боломжит хамгийн бага суурь нь нэгээс их байхаар илэрхийл. Замдаа аравтын бутархайг арилгах нь дээр;
b хувьсагчийн тэгшитгэлийг шийд: x = a b ;
Үүний үр дүнд b тоо нь хариулт болно.

Ингээд л болоо! Хэрэв логарифм нь үндэслэлгүй болж хувирвал энэ нь эхний шатанд аль хэдийн харагдах болно. Суурь нь нэгээс их байх шаардлага нь маш чухал: энэ нь алдаа гарах магадлалыг бууруулж, тооцооллыг ихээхэн хялбаршуулдаг. Аравтын бутархайн хувьд ч мөн адил: хэрэв та тэдгээрийг нэн даруй энгийн болгон хөрвүүлбэл цөөн тооны алдаа гарах болно.

Тодорхой жишээнүүдийг ашиглан энэ схем хэрхэн ажилладагийг харцгаая.

Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 5 25

Суурь ба аргументыг тавын хүчин гэж төсөөлье: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Тэгшитгэл үүсгэж, шийдье:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Бид хариулт авсан: 2.

Даалгавар. Логарифмыг тооцоолох:

Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 4 64

Суурь ба аргументыг хоёрын зэрэглэлээр төсөөлье: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
Тэгшитгэл үүсгэж, шийдье:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Бид хариулт авсан: 3.

Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 16 1

Суурь ба аргументыг хоёрын зэрэглэлээр төсөөлье: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
Тэгшитгэл үүсгэж, шийдье:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Бид хариулт авсан: 0.

Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 7 14

Суурь ба аргументыг долоон хүчин гэж төсөөлье: 7 = 7 1 ; 7 1 тул 14-ийг долоон зэрэглэлээр илэрхийлэх боломжгүй< 14 < 7 2 ;
Өмнөх догол мөрөөс харахад логарифмыг тооцохгүй;
Хариулт нь өөрчлөлтгүй: log 7 14.

Сүүлийн жишээн дээрх жижиг тэмдэглэл. Тоо нь өөр тооны яг хүчин чадал биш гэдэгт яаж итгэлтэй байх вэ? Энэ нь маш энгийн - зүгээр л үндсэн хүчин зүйлд оруулаарай. Хэрэв өргөтгөл нь дор хаяж хоёр өөр хүчин зүйлтэй бол тоо нь яг тодорхой хүч биш юм.

Даалгавар. Тоонууд яг хүчинтэй эсэхийг олж мэд: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - яг зэрэг, учир нь зөвхөн нэг үржүүлэгч байдаг;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - 3 ба 2 гэсэн хоёр хүчин зүйл байдаг тул энэ нь яг хүч биш юм;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - яг зэрэг;
35 = 7 · 5 - дахин тодорхой хүч биш;
14 = 7 · 2 - дахин нарийн зэрэг биш;

Анхдагч тоонууд нь үргэлж өөрсдийнхөө яг хүч байдаг гэдгийг анхаарна уу.

Аравтын логарифм

Зарим логарифм нь маш түгээмэл тул тусгай нэр, тэмдэгтэй байдаг.

аргументийн х нь 10-ын суурьтай логарифм, өөрөөр хэлбэл. X тоог авахын тулд 10-ын тоог өсгөх ёстой хүч. Тэмдэглэл: lg x.

Жишээлбэл, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - гэх мэт.

Одооноос эхлэн сурах бичигт “Find lg 0.01” гэх мэт хэллэг гарч ирэхэд энэ нь үсгийн алдаа биш гэдгийг мэдэж аваарай. Энэ бол аравтын бутархай логарифм юм. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та энэ тэмдэглэгээг сайн мэдэхгүй бол та үүнийг үргэлж дахин бичиж болно:
log x = log 10 x

Энгийн логарифмын хувьд үнэн бүх зүйл аравтын бутархай логарифмын хувьд ч үнэн байдаг.

Байгалийн логарифм

Өөр өөрийн гэсэн тэмдэглэгээтэй өөр логарифм байдаг. Зарим талаараа энэ нь аравтын тооноос ч илүү чухал юм. Бид байгалийн логарифмын тухай ярьж байна.

аргументийн х нь e-ийн суурийн логарифм, i.e. х тоог авахын тулд e тоог өсгөх ёстой хүч. Тэмдэглэл: ln x.

Олон хүмүүс асуух болно: e тоо юу вэ? Энэ бол утгагүй тоо; Би зөвхөн эхний тоонуудыг өгөх болно:
e = 2.718281828459…

Энэ тоо юу вэ, яагаад хэрэгтэй байгаа талаар бид дэлгэрэнгүй ярихгүй. Зөвхөн e нь натурал логарифмын суурь гэдгийг санаарай.
ln x = log e x

Тиймээс ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - гэх мэт. Нөгөө талаас ln 2 бол иррационал тоо юм. Ерөнхийдөө аливаа рационал тооны натурал логарифм нь иррациональ юм. Мэдээжийн хэрэг, нэгээс бусад нь: ln 1 = 0.

Натурал логарифмын хувьд энгийн логарифмын хувьд үнэн байх бүх дүрэм хүчинтэй байна.

Мөн үзнэ үү:

Логарифм. Логарифмын шинж чанарууд (логарифмын хүч).

Тоог логарифм хэлбэрээр хэрхэн илэрхийлэх вэ?

Бид логарифмын тодорхойлолтыг ашигладаг.

Логарифм гэдэг нь логарифмын тэмдгийн доорх тоог гаргахын тулд суурийг өсгөх ёстой илтгэгч юм.

Иймд тодорхой c тоог логарифм болгон a суурь болгон илэрхийлэхийн тулд логарифмын тэмдгийн доор логарифмын суурьтай ижил суурьтай зэрэглэлийг тавьж, энэ c тоог илтгэгч болгон бичих хэрэгтэй.

Ямар ч тоог логарифм хэлбэрээр илэрхийлж болно - эерэг, сөрөг, бүхэл тоо, бутархай, оновчтой, иррационал:

Туршилт эсвэл шалгалтын стресстэй нөхцөлд a ба c-г төөрөгдүүлэхгүйн тулд та дараах цээжлэх дүрмийг ашиглаж болно.

доор байгаа нь доошоо, дээр байгаа нь дээшээ.

Жишээлбэл, та 2-ын тоог 3-ын суурьтай логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх хэрэгтэй.

Бидэнд 2 ба 3 гэсэн хоёр тоо байна. Эдгээр тоонууд нь суурь ба илтгэгч бөгөөд бид логарифмын тэмдгийн дор бичнэ. Эдгээр тоонуудын алийг нь чадлын суурь, аль нь дээш, экспонент хүртэл бичих ёстойг тодорхойлоход л үлддэг.

Логарифмын тэмдэглэгээний 3-р суурь нь доод талд байгаа бөгөөд энэ нь бид хоёрыг 3-ын суурь дээр логарифм хэлбэрээр илэрхийлэхэд бид мөн 3-ыг суурь руу нь буулгана гэсэн үг юм.

2 нь гурваас өндөр. Хоёр зэрэглэлийн тэмдэглэгээнд бид гурвын дээр, өөрөөр хэлбэл экспонент болгон бичдэг.

Логарифм. Элсэлтийн түвшин.

Логарифм

Логарифмэерэг тоо бдээр суурилсан а, Хаана a > 0, a ≠ 1, тоог өсгөх ёстой илтгэгч гэж нэрлэдэг аавах б.

Логарифмын тодорхойлолтдараах байдлаар товчхон бичиж болно.

Энэ тэгш байдал нь хүчинтэй байна b > 0, a > 0, a ≠ 1.Үүнийг ихэвчлэн дууддаг логарифмын ижилсэл.
Тооны логарифмийг олох үйлдлийг гэнэ логарифмээр.

Логарифмын шинж чанарууд:

Бүтээгдэхүүний логарифм:

Хэмжилтийн логарифм:

Логарифмын суурийг орлуулах:

Зэрэглэлийн логарифм:

Үндэс логарифм:

Эрчим хүчний суурьтай логарифм:

Аравтын болон натурал логарифм.

Аравтын логарифмтоонууд энэ тооны логарифмыг 10-ын суурь болгон дуудаж lg гэж бичнэ б
Байгалийн логарифмтоонуудыг тухайн тооны суурьтай харьцуулсан логарифм гэж нэрлэдэг д, Хаана д- ойролцоогоор 2.7-той тэнцүү иррационал тоо. Үүний зэрэгцээ тэд ln гэж бичдэг б.

Алгебр ба геометрийн бусад тэмдэглэл

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифмууд нь яг энгийн тоо биш тул энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.

Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - тэдгээргүйгээр логарифмын ноцтой асуудлыг шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: log a x ба log a y. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x − log a y = log a (x: y).

Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!

Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Бүртгэл 6 4 + бүртгэл 6 9.

Логарифм нь ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 2 48 − log 2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 3 135 − log 3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэсэн олон туршилтууд байдаг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлүүдийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөлтгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооны хэмжээг эрс багасгах болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур. , өөрөөр хэлбэл Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно.

Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ

Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 7 49 6 .

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
бүртгэл 7 49 6 = 6 бүртгэл 7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваагч нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг тэнцүү зэрэгтэй: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Бидэнд:

Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 учраас бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний хариу нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифм лог a x-г өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тохируулбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 5 16 log 2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг болохыг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:

Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг.

Энэ тохиолдолд дараах томъёонууд бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: .

Үнэн хэрэгтээ, b тоог ийм зэрэгт аваачвал, энэ түвшний b тоо нь а тоог өгдөг бол юу болох вэ? Энэ нь зөв: үр дүн нь ижил тоо юм. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн үүнд гацдаг.

Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log 25 64 = log 5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ нь Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.

log a a = 1 байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
log a 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь 0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: log а xболон бүртгэл а y. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

бүртгэл а x+ бүртгэл а y=лог а (x · y);
бүртгэл а x- бүртгэл а y=лог а (x : y).

Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийн бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Бүртгэл 6 4 + бүртгэл 6 9.

Логарифм нь ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 2 48 − log 2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 3 135 − log 3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно. а > 0, а ≠ 1, x> 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр хэрэглэж сур, i.e. Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 7 49 6 .

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
бүртгэл 7 49 6 = 6 бүртгэл 7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
[Зургийн тайлбар]

[Зургийн тайлбар]

Шинэ суурь руу шилжих

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифмын бүртгэлийг өгье а x. Дараа нь дурын тооны хувьд втиймэрхүү в> 0 ба в≠ 1, тэгш байдал нь үнэн:
[Зургийн тайлбар]
Ялангуяа, хэрэв бид тавьсан бол в = x, бид авах:
[Зургийн тайлбар]

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 5 16 log 2 25.

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:

[Зургийн тайлбар]

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

[Зургийн тайлбар]

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

[Зургийн тайлбар]

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёонууд бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд тоо nаргумент дахь зэрэглэлийн үзүүлэлт болдог. Тоо nюу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: үндсэн логарифмын таних тэмдэг.

Уг нь тоо гарвал яах бол бтоо ийм хүч хүртэл нэмэгдүүлэх бэнэ хүчинд тоог өгдөг а? Энэ нь зөв: та ижил дугаарыг авах болно а. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн үүнд гацдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
[Зургийн тайлбар]

[Зургийн тайлбар]

Мэдэхгүй хүн байвал Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан шүү :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

бүртгэл а а= 1 нь логарифмын нэгж юм. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: дурын суурь руу логарифм аэнэ суурь нь нэгтэй тэнцүү байна.
бүртгэл а 1 = 0 нь логарифмын тэг юм. Суурь аюу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь а 0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ видеогоор би логарифм тэгшитгэлийн тухай урт цуврал хичээлүүдийг эхлүүлж байна. Одоо танд гурван жишээ байна, үүний үндсэн дээр бид хамгийн энгийн асуудлыг шийдэж сурах болно. эгэл биетэн.

log 0.5 (3x − 1) = −3

бүртгэл (x + 3) = 3 + 2 бүртгэл 5

Хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэл нь дараах байдалтай байгааг сануулъя.

log a f (x) = b

Энэ тохиолдолд x хувьсагч зөвхөн аргумент дотор, өөрөөр хэлбэл зөвхөн f (x) функцэд байх нь чухал юм. Мөн a, b тоонууд нь зүгээр л тоо бөгөөд ямар ч тохиолдолд x хувьсагчийг агуулсан функцүүд биш юм.

Шийдвэрлэх үндсэн аргууд

Ийм бүтцийг шийдэх олон арга бий. Жишээлбэл, сургуулийн ихэнх багш нар ийм аргыг санал болгодог: Томъёог ашиглан f (x) функцийг нэн даруй илэрхийл f ( x) = a b . Өөрөөр хэлбэл, та хамгийн энгийн бүтээн байгуулалттай тулгарвал нэмэлт үйлдэл, хийцгүйгээр шууд шийдэл рүү шилжиж болно.

Тийм ээ, мэдээжийн хэрэг, шийдвэр зөв байх болно. Гэсэн хэдий ч энэ томьёоны асуудал нь ихэнх оюутнуудад байдаг ойлгохгүй байна, энэ нь хаанаас гаралтай, яагаад бид а үсгийг б үсэг болгон өсгөдөг вэ?

Үүний үр дүнд, жишээ нь, эдгээр үсгүүдийг солих үед би маш ядаргаатай алдааг олж хардаг. Энэ томъёог нэг бол ойлгох ёстой, эсвэл гацсан байх ёстой бөгөөд хоёр дахь арга нь шалгалт, шалгалт гэх мэт хамгийн тохиромжгүй, хамгийн чухал мөчүүдэд алдаа гаргахад хүргэдэг.

Тийм ч учраас би бүх оюутнууддаа сургуулийн стандарт томъёоноос татгалзаж, логарифм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд хоёр дахь аргыг ашиглахыг санал болгож байна. каноник хэлбэр.

Каноник хэлбэрийн цаад санаа нь энгийн. Асуудлаа дахин харцгаая: зүүн талд бид log a байгаа бөгөөд a үсгээр бид тоо гэсэн үг бөгөөд ямар ч тохиолдолд x хувьсагчийг агуулсан функц байна. Тиймээс энэ үсэг нь логарифмын суурь дээр тавигдсан бүх хязгаарлалтад хамаарна. тухайлбал:

1 ≠ a > 0

Нөгөө талаас, ижил тэгшитгэлээс бид логарифм нь b тоотой тэнцүү байх ёстой бөгөөд энэ үсэгт ямар ч хязгаарлалт байхгүй, учир нь энэ нь эерэг ба сөрөг аль аль нь ямар ч утгыг авч болно. Энэ бүхэн f(x) функц ямар утгыг авахаас хамаарна.

Энд бид дурын b тоог a-ийн суурьтай b-ийн зэрэглэлийн логарифм хэлбэрээр илэрхийлж болно гэсэн гайхалтай дүрмийг санаж байна.

b = log a a b

Энэ томъёог хэрхэн санах вэ? Тийм ээ, маш энгийн. Дараах бүтцийг бичье.

b = b 1 = b log a a

Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд бидний эхэнд бичсэн бүх хязгаарлалтууд гарч ирдэг. Одоо логарифмын үндсэн шинж чанарыг ашиглаж, үржүүлэгч b-ийг a-ийн зэрэгтэй танилцуулъя. Бид авах:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Үүний үр дүнд анхны тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичих болно.

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Ингээд л болоо. Шинэ функц нь логарифм агуулаагүй бөгөөд стандарт алгебрийн арга техникийг ашиглан шийдвэрлэх боломжтой.

Мэдээжийн хэрэг, хэн нэгэн одоо эсэргүүцэх болно: яагаад ямар нэгэн каноник томъёо гаргах шаардлагатай байсан, анхны загвараас эцсийн томъёо руу нэн даруй шилжих боломжтой байсан бол яагаад шаардлагагүй нэмэлт хоёр алхам хийх ёстой гэж? Тийм ээ, ихэнх оюутнууд энэ томъёог хаанаас ирснийг ойлгодоггүй бөгөөд үүний үр дүнд үүнийг хэрэглэхдээ байнга алдаа гаргадаг.

Гэхдээ гурван алхамаас бүрдэх энэхүү үйлдлийн дараалал нь эцсийн томъёо хаанаас ирснийг ойлгохгүй байсан ч анхны логарифмын тэгшитгэлийг шийдэх боломжийг танд олгоно. Дашрамд хэлэхэд энэ оруулгыг каноник томъёо гэж нэрлэдэг:

log a f (x) = log a a b

Каноник хэлбэрийн тав тухтай байдал нь өнөөдрийн бидний авч үзэж байгаа хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэлийг төдийгүй маш өргөн ангиллын логарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болох явдал юм.

Шийдлийн жишээ

Одоо бодит жишээнүүдийг харцгаая. Тиймээс, шийдье:

log 0.5 (3x − 1) = −3

Үүнийг дараах байдлаар дахин бичье.

log 0.5 (3x − 1) = log 0.5 0.5 −3

Олон оюутнууд яарч, анхны асуудлаас бидэнд ирсэн хүч рүү 0.5 тоог нэн даруй өсгөхийг хичээдэг. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв та ийм асуудлыг шийдвэрлэхэд аль хэдийн сайн бэлтгэгдсэн бол та энэ алхамыг нэн даруй хийж болно.

Гэсэн хэдий ч, хэрэв та энэ сэдвийг дөнгөж судалж эхэлж байгаа бол доромжилсон алдаа гаргахгүйн тулд хаашаа ч яарахгүй байх нь дээр. Тиймээс бид каноник хэлбэртэй байна. Бидэнд:

3x − 1 = 0.5 −3

Энэ нь логарифмын тэгшитгэл байхаа больсон, харин x хувьсагчийн хувьд шугаман байна. Үүнийг шийдэхийн тулд эхлээд 0.5-ыг −3-ын зэрэглэлээр авч үзье. 0.5 нь 1/2 гэдгийг анхаарна уу.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бүх аравтын бутархайг энгийн бутархай болгон хөрвүүлнэ.

Бид дахин бичиж, авна:

3x − 1 = 8
3х = 9
x = 3

Ингээд л бид хариултаа авлаа. Эхний асуудал шийдэгдлээ.

Хоёр дахь даалгавар

Хоёр дахь даалгавар руугаа орцгооё:

Бидний харж байгаагаар энэ тэгшитгэл нь хамгийн энгийн байхаа больсон. Зөвхөн зүүн талд ялгаа байгаа учраас нэг суурьтай нэг логарифм байхгүй бол.

Тиймээс энэ ялгааг ямар нэгэн байдлаар арилгах хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд бүх зүйл маш энгийн байдаг. Суурьуудыг нарийвчлан авч үзье: зүүн талд язгуурын доорх тоо байна:

Ерөнхий зөвлөмж: бүх логарифмын тэгшитгэлд радикалуудаас салахыг хичээ, өөрөөр хэлбэл үндэс бүхий оруулгуудаас ангижруулж, чадлын функцууд руу шилжихийг хичээ, учир нь эдгээр хүчнүүдийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс амархан гаргаж авдаг бөгөөд эцэст нь ийм байдаг. оруулга нь тооцооллыг ихээхэн хялбарчилж, хурдасгадаг. Үүнийг ингэж бичье.

Одоо логарифмын гайхалтай шинж чанарыг эргэн санацгаая: хүчийг аргументаас ч, үндсэн дээр ч гаргаж болно. Үндэслэл байгаа тохиолдолд дараахь зүйл тохиолддог.

log a k b = 1/k лога б

Өөрөөр хэлбэл, үндсэн хүчинд байсан тоог урагшлуулж, нэгэн зэрэг урвуу, өөрөөр хэлбэл энэ нь эсрэг тоо болж хувирдаг. Манай тохиолдолд суурь зэрэг нь 1/2 байсан. Тиймээс бид үүнийг 2/1 гэж гаргаж болно. Бид авах:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Анхаарна уу: ямар ч тохиолдолд та энэ алхамд логарифмаас салж болохгүй. 4-5-р ангийн математик, үйлдлүүдийн дарааллыг санаарай: эхлээд үржүүлэх, дараа нь нэмэх, хасах үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Энэ тохиолдолд бид ижил элементүүдийн аль нэгийг 10 элементээс хасна.

9 бүртгэл 5 x = 18
log 5 x = 2

Одоо бидний тэгшитгэл байх ёстой шигээ харагдаж байна. Энэ бол хамгийн энгийн бүтэц бөгөөд бид үүнийг каноник хэлбэрийг ашиглан шийддэг.

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Ингээд л болоо. Хоёр дахь асуудал шийдэгдсэн.

Гурав дахь жишээ

Гурав дахь даалгавар руугаа орцгооё:

бүртгэл (x + 3) = 3 + 2 бүртгэл 5

Дараах томъёог танд сануулъя.

log b = log 10 b

Хэрэв та ямар нэг шалтгааны улмаас b тэмдэглэгээнд андуурч байвал бүх тооцоог хийхдээ log 10 b гэж бичиж болно. Та бусадтай адил аравтын бутархай логарифмтай ажиллах боломжтой: хүчийг авах, lg 10 хэлбэрээр дурын тоог нэмэх, төлөөлөх.

Энэ нь бидний хичээлийн эхэнд бичсэн хамгийн энгийн зүйл биш тул асуудлыг шийдэхийн тулд эдгээр шинж чанаруудыг ашиглах болно.

Нэгдүгээрт, lg 5-ын өмнөх 2-р хүчин зүйлийг нэмж, 5-р суурийн хүч болж болохыг анхаарна уу. Үүнээс гадна 3-р чөлөөт нэр томъёог логарифм хэлбэрээр илэрхийлж болно - үүнийг бидний тэмдэглэгээнээс харахад маш хялбар байдаг.

Өөрийгөө шүүнэ үү: дурын тоог 10-р суурьтай лог хэлбэрээр илэрхийлж болно:

3 = бүртгэл 10 10 3 = бүртгэл 10 3

Хүлээн авсан өөрчлөлтүүдийг харгалзан анхны асуудлыг дахин бичье.

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
бүртгэл (x - 3) = бүртгэл 25,000

Бидний өмнө дахин каноник хэлбэр байгаа бөгөөд бид үүнийг хувиргах үе шатыг давалгүйгээр олж авсан, өөрөөр хэлбэл хамгийн энгийн логарифмын тэгшитгэл хаана ч гарч ирээгүй.

Хичээлийн эхэнд би яг энэ тухай ярьсан. Каноник хэлбэр нь ихэнх сургуулийн багш нарын өгдөг сургуулийн стандарт томъёоноос илүү өргөн хүрээний асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг олгодог.

За ингээд бид аравтын бутархай логарифмын тэмдгээс салж, энгийн шугаман бүтцийг олж авна.

x + 3 = 25,000
x = 24,997

Бүгд! Асуудал шийдэгдсэн.

Хамрах хүрээний талаархи тэмдэглэл

Энд би тодорхойлолтын хамрах хүрээний талаар чухал тэмдэглэл хийхийг хүсч байна. "Бид логарифм бүхий илэрхийллийг шийдэхдээ f (x) аргумент тэгээс их байх ёстой гэдгийг санах ёстой!" гэж хэлэх оюутнууд, багш нар байх нь гарцаагүй. Үүнтэй холбогдуулан логик асуулт гарч ирнэ: яагаад бид авч үзсэн асуудлын аль нэгэнд энэ тэгш бус байдлыг хангахыг шаардаагүй юм бэ?

Санаа зоволтгүй. Эдгээр тохиолдолд нэмэлт үндэс гарч ирэхгүй. Мөн энэ нь шийдлийг хурдасгах боломжийг олгодог өөр нэг гайхалтай арга юм. Хэрэв асуудалд x хувьсагч зөвхөн нэг газарт (эсвэл нэг логарифмын нэг аргумент дээр) тохиолдож, харин манай тохиолдолд өөр хаана ч х хувьсагч гарч ирэхгүй бол тодорхойлолтын мужийг бичнэ үү. шаардлагагүй, учир нь энэ нь автоматаар хийгдэх болно.

Өөрийгөө дүгнэ: эхний тэгшитгэлд бид 3x − 1, өөрөөр хэлбэл аргумент нь 8-тай тэнцүү байх ёстой. Энэ нь автоматаар 3x − 1 нь тэгээс их байх болно гэсэн үг юм.

Үүнтэй ижил амжилтаар бид хоёр дахь тохиолдолд x нь 5 2-тэй тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл энэ нь тэгээс их байх ёстой гэж бичиж болно. Гурав дахь тохиолдолд, x + 3 = 25,000, өөрөөр хэлбэл дахин тэгээс их байх нь ойлгомжтой. Өөрөөр хэлбэл, хамрах хүрээ автоматаар хангагдана, гэхдээ зөвхөн нэг л логарифмын аргументад x тохиолдвол л болно.

Хамгийн энгийн асуудлыг шийдэхийн тулд үүнийг л мэдэх хэрэгтэй. Зөвхөн энэ дүрэм нь хувиргах дүрмийн хамт маш өргөн хүрээний асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг танд олгоно.

Гэхдээ шударга байцгаая: энэ техникийг эцэст нь ойлгохын тулд логарифмын тэгшитгэлийн каноник хэлбэрийг хэрхэн ашиглах талаар сурахын тулд зөвхөн нэг видео хичээл үзэх нь хангалтгүй юм. Тиймээс яг одоо энэ видео хичээлд хавсаргасан бие даасан шийдлүүдийн хувилбаруудыг татаж аваад эдгээр хоёр бие даасан ажлын дор хаяж нэгийг нь шийдэж эхлээрэй.

Энэ нь танд хэдхэн минут болно. Гэхдээ ийм сургалтын үр нөлөө нь энэ видео хичээлийг үзсэнээс хамаагүй өндөр байх болно.

Энэ хичээл нь логарифм тэгшитгэлийг ойлгоход тусална гэж найдаж байна. Каноник хэлбэрийг ашигла, логарифмтай ажиллах дүрмийг ашиглан илэрхийллийг хялбарчлаарай - тэгвэл та ямар ч бэрхшээлээс айхгүй байх болно. Энэ бол өнөөдрийн надад байгаа зүйл.

Тодорхойлолтын хүрээг харгалзан үзэх

Одоо логарифмын функцийн тодорхойлолтын муж, энэ нь логарифмын тэгшитгэлийн шийдэлд хэрхэн нөлөөлдөг талаар ярилцъя. Маягтын бүтцийг авч үзье

log a f (x) = b

Ийм илэрхийллийг хамгийн энгийн гэж нэрлэдэг - энэ нь зөвхөн нэг функцийг агуулдаг бөгөөд a ба b тоонууд нь зөвхөн тоо бөгөөд ямар ч тохиолдолд x хувьсагчаас хамаарах функц биш юм. Үүнийг маш энгийнээр шийдэж болно. Та зүгээр л томъёог ашиглах хэрэгтэй:

b = log a a b

Энэ томьёо нь логарифмын гол шинж чанаруудын нэг бөгөөд бидний анхны илэрхийлэлд орлуулах үед бид дараахь зүйлийг олж авна.

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Энэ бол сургуулийн сурах бичгүүдээс сайн мэддэг томъёо юм. Олон оюутнууд асуулт асуух байх: анхны илэрхийлэлд f (x) функц нь лог тэмдгийн доор байгаа тул дараахь хязгаарлалтуудыг тавьсан болно.

f(x) > 0

Сөрөг тооны логарифм байхгүй тул энэ хязгаарлалт хамаарна. Тэгэхээр энэ хязгаарлалтын үр дүнд хариултын шалгалтыг нэвтрүүлэх шаардлагатай болов уу? Магадгүй тэдгээрийг эх сурвалжид оруулах шаардлагатай болов уу?

Үгүй ээ, хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэлд нэмэлт шалгалт хийх шаардлагагүй. Тэгээд энд яагаад. Бидний эцсийн томъёог харна уу:

f (x) = a b

Үнэн хэрэгтээ a тоо нь ямар ч тохиолдолд 0-ээс их байдаг - энэ шаардлагыг логарифмоор бас тавьдаг. a тоо нь суурь юм. Энэ тохиолдолд b тоонд хязгаарлалт тавьдаггүй. Гэхдээ энэ нь хамаагүй, учир нь бид ямар ч хүчин чадалд эерэг тоог өсгөхөөс үл хамааран гаралт дээр эерэг тоог авах болно. Тиймээс f (x) > 0 гэсэн шаардлага автоматаар хангагдана.

Жинхэнэ шалгах ёстой зүйл бол бүртгэлийн тэмдгийн доорх функцийн домэйн юм. Нилээд төвөгтэй бүтэцтэй байж болох бөгөөд шийдлийн явцад та тэдгээрийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Харцгаая.

Эхний даалгавар:

Эхний алхам: баруун талд байгаа бутархайг хөрвүүлэх. Бид авах:

Бид логарифмын тэмдгээс салж, ердийн иррационал тэгшитгэлийг авна.

Хоёрдахь үндэс нь тэгээс бага тул олж авсан үндэсүүдээс зөвхөн эхнийх нь л тохирно. Ганц хариулт нь 9-ийн тоо байх болно. Ингээд л асуудал шийдэгдлээ. Логарифмын тэмдгийн доорх илэрхийлэл 0-ээс их байгаа эсэхийг шалгахын тулд нэмэлт шалгалт хийх шаардлагагүй, учир нь энэ нь зүгээр л 0-ээс их биш, харин тэгшитгэлийн нөхцөлийн дагуу 2-той тэнцүү байна. Иймээс шаардлага "тэгээс их байна" ” автоматаар хангагдсан байна.

Хоёр дахь даалгавар руугаа орцгооё:

Энд бүх зүйл адилхан. Бид гурвалсан хэсгийг сольж барилгын ажлыг дахин бичнэ.

Бид логарифмын тэмдгүүдээс салж, иррационал тэгшитгэлийг олж авдаг.

Бид хязгаарлалтыг харгалзан хоёр талыг квадрат болгож, дараахь зүйлийг авна.

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Бид үүссэн тэгшитгэлийг дискриминантаар шийднэ.

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Гэхдээ x = −6 нь бидэнд тохирохгүй, учир нь бид энэ тоог тэгш бус байдалд орлуулах юм бол бид дараахь зүйлийг авна.

−6 + 4 = −2 < 0

Манай тохиолдолд 0-ээс их эсвэл онцгой тохиолдолд тэнцүү байх шаардлагатай. Гэхдээ x = −1 бидэнд тохирно:

−1 + 4 = 3 > 0

Манай тохиолдолд цорын ганц хариулт нь x = −1 байх болно. Энэ бол шийдэл. Тооцооллынхоо хамгийн эхэнд буцаж орцгооё.

Энэ хичээлээс авсан гол зүйл бол энгийн логарифм тэгшитгэл дэх функцийн хязгаарлалтыг шалгах шаардлагагүй юм. Учир нь шийдлийн явцад бүх хязгаарлалтууд автоматаар хангагдана.

Гэсэн хэдий ч энэ нь та шалгахаа бүрэн мартаж болно гэсэн үг биш юм. Логарифмын тэгшитгэл дээр ажиллах явцад энэ нь зөв талдаа өөрийн гэсэн хязгаарлалт, шаардлага бүхий иррационал тэгшитгэл болж хувирч магадгүй бөгөөд үүнийг бид өнөөдөр хоёр өөр жишээн дээр үзсэн.

Иймэрхүү асуудлыг чөлөөтэй шийдэж, хэрүүл маргаанд үндэс байгаа бол болгоомжтой байгаарай.

Өөр өөр суурьтай логарифм тэгшитгэл

Бид логарифмын тэгшитгэлийг үргэлжлүүлэн судалж, илүү төвөгтэй бүтцийг шийдвэрлэх моод болсон өөр хоёр сонирхолтой аргыг авч үзье. Гэхдээ эхлээд хамгийн энгийн асуудлууд хэрхэн шийдэгддэгийг санацгаая.

log a f (x) = b

Энэ оруулгад a, b нь тоонууд бөгөөд f (x) функцэд х хувьсагч байх ёстой бөгөөд зөвхөн тэнд, өөрөөр хэлбэл х зөвхөн аргумент дотор байх ёстой. Бид ийм логарифм тэгшитгэлийг каноник хэлбэрийг ашиглан хувиргах болно. Үүнийг хийхийн тулд анхаарна уу

b = log a a b

Түүнээс гадна, a b нь аргумент юм. Энэ илэрхийллийг дараах байдлаар дахин бичье.

log a f (x) = log a a b

Энэ нь яг л бидний хүрэхийг хичээж байгаа бөгөөд ингэснээр зүүн, баруун аль алинд нь a үндэслэх логарифм байдаг. Энэ тохиолдолд бид дүрсээр хэлбэл бүртгэлийн тэмдгүүдийг таслаж, математикийн үүднээс бид аргументуудыг зүгээр л адилтгаж байна гэж хэлж болно.

f (x) = a b

Үүний үр дүнд бид шийдвэрлэхэд илүү хялбар шинэ илэрхийлэл авах болно. Өнөөдрийн тулгамдсан асуудалдаа энэ дүрмийг хэрэгжүүлцгээе.

Тиймээс, анхны загвар:

Юуны өмнө, баруун талд хуваагч нь лог гэсэн бутархай байгааг тэмдэглэж байна. Ийм илэрхийлэлийг хараад логарифмын гайхалтай шинж чанарыг санах нь зүйтэй.

Энэ нь орос хэл рүү хөрвүүлбэл дурын логарифмыг ямар ч суурьтай c-тэй хоёр логарифмын категороор илэрхийлж болно гэсэн үг. Мэдээж 0< с ≠ 1.

Тэгэхээр: c хувьсагч хувьсагчтай тэнцүү байх үед энэ томьёо нь нэг гайхалтай онцгой тохиолдолтой б. Энэ тохиолдолд бид дараахь төрлийн барилга байгууламжийг авна.

Энэ бол бидний тэгшитгэлийн баруун талд байгаа тэмдгээс харахад яг ийм бүтэц юм. Энэ бүтцийг log a b -ээр орлуулъя, бид дараахь зүйлийг авна.

Өөрөөр хэлбэл, анхны даалгавартай харьцуулахад бид аргумент болон логарифмын суурийг сольсон. Үүний оронд бид бутархайг буцаах ёстой байсан.

Дараах дүрмийн дагуу ямар ч зэрэглэлийг сууриас гаргаж болно гэдгийг санацгаая.

Өөрөөр хэлбэл суурийн хүч болох k коэффициентийг урвуу бутархайгаар илэрхийлнэ. Үүнийг урвуу бутархай хэлбэрээр үзүүлье:

Бутархай хүчин зүйлийг урд нь үлдээж болохгүй, учир нь энэ тохиолдолд бид энэ тэмдэглэгээг каноник хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй болно (эцсийн эцэст каноник хэлбэрээр хоёр дахь логарифмын өмнө нэмэлт хүчин зүйл байхгүй). Тиймээс аргумент дээр 1/4 бутархайг хүч болгон нэмье.

Одоо бид үндэс нь ижил (мөн бидний суурь үнэхээр адилхан) аргументуудыг тэгшитгээд бичнэ:

x + 5 = 1

x = −4

Ингээд л болоо. Бид эхний логарифм тэгшитгэлийн хариултыг авсан. Анхаарна уу: анхны асуудалд x хувьсагч зөвхөн нэг лог дээр гарч ирэх бөгөөд энэ нь түүний аргумент дээр гарч ирнэ. Тиймээс домэйныг шалгах шаардлагагүй бөгөөд бидний тоо x = −4 бол хариулт юм.

Одоо хоёр дахь илэрхийлэл рүү шилжье:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

Энд бид ердийн логарифмуудаас гадна log f (x) -тэй ажиллах шаардлагатай болно. Ийм тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ? Бэлтгэлгүй оюутны хувьд энэ нь хэцүү ажил мэт санагдаж болох ч үнэн хэрэгтээ бүх зүйлийг энгийн аргаар шийдэж болно.

lg 2 log 2 гэсэн нэр томьёог сайтар ажиглаарай 7. Энэ талаар бид юу хэлж чадах вэ? log болон lg-ийн үндэс ба аргументууд нь ижил бөгөөд энэ нь зарим санааг өгөх ёстой. Логарифмын тэмдгийн дор хүчийг хэрхэн гаргаж авдагийг дахин санацгаая.

log a b n = nlog a b

Өөрөөр хэлбэл, аргумент дахь b-ийн хүч нь логийн өмнө хүчин зүйл болдог. Энэ томьёог lg 2 log 2 илэрхийлэлд хэрэглэцгээе. lg 2-оос бүү ай - энэ бол хамгийн түгээмэл илэрхийлэл юм. Та үүнийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

Бусад логарифмд хамаарах бүх дүрэм үүнд хүчинтэй байна. Ялангуяа урд талын хүчин зүйлийг аргументийн зэрэгт нэмж болно. Үүнийг бичье:

Маш олон удаа оюутнууд энэ үйлдлийг шууд хардаггүй, учир нь нэг гуалиныг нөгөөгийн тэмдгийн дор оруулах нь тийм ч сайн биш юм. Үнэн хэрэгтээ энэ талаар гэмт хэргийн шинжтэй зүйл байхгүй. Үүнээс гадна, хэрэв та чухал дүрмийг санаж байвал тооцоолоход хялбар томъёог олж авна.

Энэ томъёог тодорхойлолт болон түүний шинж чанаруудын нэг гэж үзэж болно. Ямар ч тохиолдолд, хэрэв та логарифмын тэгшитгэлийг хөрвүүлж байгаа бол ямар ч тооны логийн дүрслэлийг мэддэг шиг энэ томъёог мэдэж байх ёстой.

Даалгавар руугаа буцаж орцгооё. Тэнцүү тэмдгийн баруун талд байгаа эхний гишүүн нь lg 7-тэй тэнцүү байх болно гэдгийг харгалзан бид үүнийг дахин бичсэн. Бидэнд:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

lg 7-г зүүн тийш шилжүүлье, бид дараахь зүйлийг авна.

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

Бид ижил суурьтай тул зүүн талд байгаа илэрхийллүүдийг хасна.

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Одоо бид олж авсан тэгшитгэлээ нарийвчлан авч үзье. Энэ нь бараг каноник хэлбэр боловч баруун талд -3 гэсэн хүчин зүйл байдаг. Үүнийг зөв lg аргумент дээр нэмье:

log 8 = log (x + 4) −3

Бидний өмнө логарифмын тэгшитгэлийн каноник хэлбэр байгаа тул бид lg тэмдгүүдийг хасч, аргументуудыг тэгшитгэдэг.

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0.5

Ингээд л болоо! Бид хоёр дахь логарифмын тэгшитгэлийг шийдсэн. Энэ тохиолдолд нэмэлт шалгалт хийх шаардлагагүй, учир нь анхны бодлогод x нь зөвхөн нэг аргументтай байсан.

Энэ хичээлийн гол санааг дахин жагсаацгаая.

Логарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан энэ хуудсан дээрх бүх хичээлүүдэд заасан гол томъёо бол каноник хэлбэр юм. Сургуулийн ихэнх сурах бичиг танд ийм асуудлыг өөрөөр шийдэхийг заадаг тул бүү ай. Энэхүү хэрэгсэл нь маш үр дүнтэй ажилладаг бөгөөд бидний хичээлийн эхэнд судалж байсан хамгийн энгийн асуудлуудаас хамаагүй өргөн хүрээний асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг танд олгоно.

Нэмж дурдахад логарифмын тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд үндсэн шинж чанаруудыг мэдэх нь ашигтай байх болно. Тухайлбал:

Нэг суурь руу шилжих томъёо ба бүртгэлийг буцаах онцгой тохиолдол (энэ нь эхний асуудалд бидэнд маш хэрэгтэй байсан);
Логарифмын тэмдгээс хүчийг нэмэх, хасах томъёо. Энд олон оюутнууд гацаж, авч, танилцуулсан зэрэг нь өөрөө log f (x) агуулж болохыг олж хардаггүй. Үүнд буруудах зүйл байхгүй. Бид нэг логийг нөгөөгийн тэмдгийн дагуу нэвтрүүлж, нэгэн зэрэг асуудлын шийдлийг ихээхэн хялбарчилж болох бөгөөд энэ нь хоёр дахь тохиолдолд ажиглагдаж байна.

Эцэст нь хэлэхэд, би эдгээр тохиолдлуудад тодорхойлолтын домэйныг шалгах шаардлагагүй гэдгийг нэмж хэлмээр байна, учир нь хаа сайгүй x хувьсагч нь логийн зөвхөн нэг тэмдэгт байдаг бөгөөд нэгэн зэрэг түүний аргумент дотор байдаг. Үүний үр дүнд хамрах хүрээний бүх шаардлагыг автоматаар биелүүлдэг.

Хувьсах суурьтай холбоотой асуудлууд

Өнөөдөр бид логарифмын тэгшитгэлийг авч үзэх болно, энэ нь олон оюутнуудын хувьд бүрэн шийдэгдэхгүй бол стандарт бус мэт санагддаг. Бид тоон дээр биш, хувьсагч, тэр ч байтугай функц дээр суурилсан илэрхийллийн тухай ярьж байна. Бид ийм бүтээн байгуулалтыг стандарт техник, тухайлбал каноник хэлбэрээр шийдэх болно.

Эхлээд энгийн тоон дээр тулгуурлан хамгийн энгийн асуудлыг хэрхэн шийддэгийг санацгаая. Тиймээс хамгийн энгийн бүтээн байгуулалт гэж нэрлэдэг

log a f (x) = b

Ийм асуудлыг шийдэхийн тулд бид дараахь томъёог ашиглаж болно.

b = log a a b

Бид анхны илэрхийлэлээ дахин бичиж аваад:

log a f (x) = log a a b

Дараа нь бид аргументуудыг тэнцүүлж, өөрөөр хэлбэл:

f (x) = a b

Тиймээс бид бүртгэлийн тэмдгийг арилгаж, ердийн асуудлыг шийддэг. Энэ тохиолдолд уусмалаас олж авсан үндэс нь анхны логарифмын тэгшитгэлийн үндэс болно. Нэмж дурдахад, зүүн ба баруун хоёр нь ижил суурьтай ижил логарифмд байгаа бичлэгийг яг каноник хэлбэр гэж нэрлэдэг. Ийм дээд амжилтыг бид өнөөдрийн загварыг багасгахыг хичээх болно. За, явцгаая.

Эхний даалгавар:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

1-ийг log x − 2 (x − 2) 1-ээр солино. Аргумент дээр бидний ажиглаж буй зэрэг нь тэнцүү тэмдгийн баруун талд байрлах b тоо юм. Ингээд илэрхийллээ дахин бичье. Бид авах:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Бид юу харж байна вэ? Бидний өмнө логарифмын тэгшитгэлийн каноник хэлбэр байгаа тул бид аргументуудыг аюулгүйгээр тэнцүүлж чадна. Бид авах:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Гэхдээ шийдэл үүгээр дуусахгүй, учир нь энэ тэгшитгэл нь анхныхтай тэнцүү биш юм. Эцсийн эцэст, үүссэн бүтээц нь бүхэл тоон мөрөнд тодорхойлогдсон функцүүдээс бүрддэг бөгөөд бидний анхны логарифмууд хаа сайгүй, үргэлж тодорхойлогддоггүй.

Тиймээс бид тодорхойлолтын домэйныг тусад нь бичих ёстой. Үсээ салгахгүй, эхлээд бүх шаардлагыг бичье.

Нэгдүгээрт, логарифм бүрийн аргумент 0-ээс их байх ёстой:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Хоёрдугаарт, суурь нь зөвхөн 0-ээс их байхаас гадна 1-ээс ялгаатай байх ёстой.

x − 2 ≠ 1

Үүний үр дүнд бид системийг олж авна:

Гэхдээ бүү ай: логарифмын тэгшитгэлийг боловсруулахдаа ийм системийг ихээхэн хялбарчилж болно.

Өөрийгөө шүүж үзээрэй: нэг талаас бид квадрат функц нь тэгээс их байх ёстой, нөгөө талаас энэ квадрат функц нь тодорхой шугаман илэрхийлэлтэй тэнцэх бөгөөд энэ нь тэгээс их байх шаардлагатай.

Энэ тохиолдолд бид x − 2 > 0 байхыг шаардах юм бол 2x 2 − 13x + 18 > 0 гэсэн шаардлага автоматаар хангагдах тул квадрат функцийг агуулсан тэгш бус байдлыг аюулгүйгээр таслаж болно. Тиймээс манай системд агуулагдах илэрхийллийн тоо гурав болж буурах болно.

Мэдээжийн хэрэг, бид шугаман тэгш бус байдлыг хялбархан гаталж болно, өөрөөр хэлбэл x − 2 > 0-ийг гаталж, 2x 2 − 13x + 18 > 0 байхыг шаардаж болно. Гэхдээ хамгийн энгийн шугаман тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь илүү хурдан бөгөөд илүү хурдан гэдгийг та хүлээн зөвшөөрөх ёстой. Энэ бүхэл бүтэн системийг шийдсэний үр дүнд бид ижил үндэстэй болсон нөхцөлд ч квадратаас илүү энгийн.

Ерөнхийдөө аль болох оновчтой тооцоо хийхийг хичээ. Логарифмын тэгшитгэлийн хувьд хамгийн хэцүү тэгш бус байдлыг хас.

Системээ дахин бичье:

Энд гурван илэрхийллийн систем байгаа бөгөөд тэдгээрийн хоёрыг нь бид аль хэдийн авч үзсэн. Квадрат тэгшитгэлийг тусад нь бичээд шийдье.

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Бидний өмнө жижигрүүлсэн квадрат гурвалж байгаа тул Виетийн томъёог ашиглаж болно. Бид авах:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Одоо бид систем рүүгээ буцаж очоод x = 2 нь бидэнд тохирохгүй байгааг олж мэдье, учир нь бид x нь 2-оос их байхыг шаарддаг.

Гэхдээ x = 5 нь бидэнд төгс тохирно: 5 тоо нь 2-оос их, үүнтэй зэрэгцэн 5 нь 3-тай тэнцүү биш юм. Тиймээс энэ системийн цорын ганц шийдэл нь x = 5 байх болно.

Энэ бол ODZ-ийг харгалзан үзэхэд асуудал шийдэгдсэн. Хоёр дахь тэгшитгэл рүү шилжье. Илүү сонирхолтой, мэдээлэл сайтай тооцооллыг энд хүлээж байна:

Эхний алхам: сүүлчийн удаа шиг бид энэ асуудлыг бүхэлд нь каноник хэлбэрт оруулдаг. Үүнийг хийхийн тулд бид 9-ийн тоог дараах байдлаар бичиж болно.

Үндэс суурь нь хөндөгдөөгүй байж болох ч аргументыг өөрчлөх нь дээр. Рационал илтгэгчтэй язгуураас хүч рүү шилжье. Ингээд бичье:

Би том логарифмын тэгшитгэлээ бүхэлд нь дахин бичихгүй, харин аргументуудыг нэн даруй тэгшитгэе.

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Бидний өмнө шинээр бууруулсан квадрат гурвалж байгаа тул Виетийн томьёог ашиглаад бичье.

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Тиймээс бид үндсийг авсан боловч анхны логарифмын тэгшитгэлд тохирно гэдэгт хэн ч баталгаа өгөөгүй. Эцсийн эцэст, бүртгэлийн тэмдгүүд нь нэмэлт хязгаарлалт тавьдаг (энд бид системийг бичих ёстой байсан, гэхдээ бүхэл бүтэн бүтцийн төвөгтэй байдлаас шалтгаалан би тодорхойлолтын домэйныг тусад нь тооцоолохоор шийдсэн).

Юуны өмнө аргументууд 0-ээс их байх ёстой гэдгийг санаарай, тухайлбал:

Эдгээр нь тодорхойлолтын хүрээнд тавигдах шаардлага юм.

Системийн эхний хоёр илэрхийллийг бие биетэйгээ адилтгаж байгаа тул тэдгээрийн аль нэгийг нь хасаж болно гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе. Эхнийхийг нь хасъя, учир нь энэ нь хоёр дахь нь илүү заналхийлж байна.

Нэмж дурдахад, хоёр ба гурав дахь тэгш бус байдлын шийдэл нь ижил олонлог байх болно гэдгийг анхаарна уу (хэрэв энэ тоо өөрөө тэгээс их бол зарим тооны шоо тэгээс их байна; үүнтэй адил гуравдугаар зэргийн язгууртай бол эдгээр тэгш бус байдал нь бүрэн аналоги тул бид хөндлөн гарч болно).

Гэхдээ гурав дахь тэгш бус байдлын хувьд энэ нь ажиллахгүй болно. Хоёр хэсгийг шоо болгон өсгөх замаар зүүн талд байгаа радикал шинж тэмдгийг арилгацгаая. Бид авах:

Тиймээс бид дараах шаардлагыг хүлээн авна.

− 2 ≠ x > −3

Манай язгууруудын аль нь: x 1 = −3 эсвэл x 2 = −1 эдгээр шаардлагыг хангаж байна вэ? Мэдээжийн хэрэг, зөвхөн x = −1, учир нь x = −3 нь эхний тэгш бус байдлыг хангахгүй (бидний тэгш бус байдал хатуу учраас). Тиймээс, бидний асуудал руу буцаж ирэхэд бид нэг язгуурыг олж авна: x = −1. Ингээд л асуудал шийдэгдлээ.

Дахин нэг удаа энэ ажлын гол санаанууд:

Каноник хэлбэрийг ашиглан логарифм тэгшитгэлийг чөлөөтэй хэрэглэж, шийдээрэй. Анхны бодлогоос log a f (x) = b гэх мэт бүтэц рүү шууд шилжихийн оронд ийм тэмдэглэгээ хийдэг оюутнууд хаа нэгтээ яаран, тооцооллын завсрын үе шатыг алгасаж байгаа хүмүүсээс хамаагүй бага алдаа гаргадаг;
Логарифмд хувьсах суурь гарч ирмэгц асуудал хамгийн энгийн байхаа болино. Тиймээс үүнийг шийдвэрлэхдээ тодорхойлолтын домэйныг харгалзан үзэх шаардлагатай: аргументууд нь тэгээс их байх ёстой бөгөөд суурь нь зөвхөн 0-ээс их байх ёстой, гэхдээ тэдгээр нь 1-тэй тэнцүү байх ёсгүй.

Эцсийн шаардлагыг эцсийн хариултуудад янз бүрийн аргаар хэрэглэж болно. Жишээлбэл, та тодорхойлолтын домэйны бүх шаардлагыг агуулсан системийг бүхэлд нь шийдэж чадна. Нөгөөтэйгүүр, та эхлээд асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь тодорхойлолтын хүрээг санаж, систем хэлбэрээр тусад нь боловсруулж, үүссэн үндэс дээр хэрэглэж болно.

Тодорхой логарифм тэгшитгэлийг шийдэхдээ ямар аргыг сонгох нь таны сонголт юм. Ямар ч тохиолдолд хариулт нь адилхан байх болно.

-ээс эхэлье нэгийн логарифмын шинж чанарууд. Түүний томъёолол нь дараах байдалтай байна: нэгдлийн логарифм нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, log a 1=0ямар ч a>0, a≠1. Баталгаажуулах нь тийм ч хэцүү биш: дээрх a>0 ба a≠1 нөхцлийг хангасан аль ч тохиолдолд a 0 =1 байх тул нотлох ёстой a 1=0 тэгшитгэл нь логарифмын тодорхойлолтоос шууд гарч ирнэ.

Харгалзан авч буй үл хөдлөх хөрөнгийн хэрэглээний жишээг өгье: log 3 1=0, log1=0 ба .

Дараагийн үл хөдлөх хөрөнгө рүү шилжье: суурьтай тэнцүү тооны логарифм нь нэгтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл, log a a=1 a>0, a≠1 хувьд. Үнэн хэрэгтээ дурын а-д a 1 =a тул логарифмын тодорхойлолтоор a a=1 болно.

Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах жишээ нь log 5 5=1, log 5.6 5.6 ба lne=1 тэнцүү байна.

Жишээлбэл, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ба .

Хоёр эерэг тооны үржвэрийн логарифм x ба y нь эдгээр тоонуудын логарифмын үржвэртэй тэнцүү байна. log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1 . Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг баталъя. Зэрэглэлийн шинж чанараас шалтгаалан a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, мөн үндсэн логарифмын адилтгалаар лог a x =x ба log a y =y байх тул a log a x ·a log a y =x·y болно. Ийнхүү лог a x+log a y =x·y байх бөгөөд үүнээс логарифмын тодорхойлолтоор нотлогдож буй тэгш байдал гарч ирнэ.

Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг ашиглах жишээг үзүүлье: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ба .

Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг x 1 , x 2 , …, x n эерэг тоонуудын төгсгөлтэй n тооны үржвэрт ерөнхийлж болно. log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Энэ тэгш байдлыг асуудалгүйгээр баталж болно.

Жишээлбэл, бүтээгдэхүүний натурал логарифмыг 4, e, ба тоонуудын гурван натурал логарифмын нийлбэрээр сольж болно.

Хоёр эерэг тооны хэсгийн логарифм x ба y нь эдгээр тоонуудын логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна. Хэсгийн логарифмын шинж чанар нь a>0, a≠1, x ба y нь зарим эерэг тоонууд байх хэлбэрийн томьёотой тохирч байна. Бүтээгдэхүүний логарифмын томъёоны адилаар энэ томьёоны хүчинтэй байдал нотлогдсон: оноос хойш , дараа нь логарифмын тодорхойлолтоор.

Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах жишээ энд байна. .

Дараа нь үргэлжлүүлье чадлын логарифмын шинж чанар. Зэрэглэлийн логарифм нь энэ зэргийн суурийн индекс ба модулийн логарифмын үржвэртэй тэнцүү байна. Хүчний логарифмын энэ шинж чанарыг томъёогоор бичье. log a b p =p·log a |b|, энд a>0, a≠1, b ба p нь b p зэрэг нь утга учиртай, b p >0 байх тоо юм.

Эхлээд бид энэ шинж чанарыг эерэгээр баталж байна b. Үндсэн логарифмын ижилсэл нь b тоог a log a b , дараа нь b p =(a log a b) p хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог ба үр дүнгийн илэрхийлэл нь чадлын шинж чанараас шалтгаалан p·log a b -тэй тэнцүү байна. Ингээд бид b p =a p·log a b тэгшитгэлд хүрч, логарифмын тодорхойлолтоор log a b p =p·log a b гэж дүгнэж байна.

Энэ өмчийг сөрөг талаас нь нотлох хэвээр байна b. Энд бид сөрөг b-ийн хувьд log a b p илэрхийлэл нь зөвхөн тэгш илтгэгч p (учир нь b p зэрэгийн утга тэгээс их байх ёстой, эс тэгвээс логарифм утгагүй болно) утга учиртай болохыг тэмдэглэж байна, энэ тохиолдолд b p =|b| х. Дараа нь b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, хаанаас log a b p =p·log a |b| .

Жишээ нь, ба ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Энэ нь өмнөх өмчөөс үүдэлтэй язгуураас авсан логарифмын шинж чанар: n-р язгуурын логарифм нь 1/n бутархайг радикал илэрхийллийн логарифмын үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, , энд a>0, a≠1, n нь нэгээс их натурал тоо, b>0.

Нотолгоо нь аливаа эерэг b-ийн хувьд хүчинтэй тэгш байдал (харна уу) ба чадлын логарифмын шинж чанар дээр суурилдаг. .

Энэ өмчийг ашиглах жишээ энд байна: .

Одоо баталъя шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёотөрлийн . Үүнийг хийхийн тулд тэгш байдлын log c b=log a b·log c a-ийн үнэн зөвийг батлахад хангалттай. Үндсэн логарифмын таних тэмдэг нь b тоог a log a b, дараа нь log c b=log c a log a b гэж илэрхийлэх боломжийг олгодог. Зэрэглэлийн логарифмын шинж чанарыг ашиглахад хэвээр байна: log c a log a b =log a b log c a. Энэ нь log c b=log a b·log c a тэнцүү болохыг баталж байгаа нь логарифмын шинэ суурьт шилжих томьёо мөн батлагдсан гэсэн үг.

Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах хэд хэдэн жишээг үзүүлье: ба .

Шинэ суурь руу шилжих томъёо нь "тохиромжтой" суурьтай логарифмуудтай ажиллахад шилжих боломжийг олгодог. Жишээлбэл, логарифмын хүснэгтээс логарифмын утгыг тооцоолохын тулд натурал буюу аравтын логарифм руу шилжихэд ашиглаж болно. Шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёо нь зарим тохиолдолд бусад суурьтай зарим логарифмын утгууд мэдэгдэж байгаа тохиолдолд өгөгдсөн логарифмын утгыг олох боломжийг олгодог.

Маягтын c=b-ийн шинэ логарифмын суурь руу шилжих томьёоны онцгой тохиолдлыг ихэвчлэн ашигладаг . Энэ нь log a b ба log b a – болохыг харуулж байна. Жишээ нь, .

Томъёог бас ихэвчлэн ашигладаг , энэ нь логарифмын утгыг олоход тохиромжтой. Бидний үгсийг батлахын тулд бид үүнийг маягтын логарифмын утгыг тооцоолоход хэрхэн ашиглаж болохыг харуулах болно. Бидэнд байна . Томьёог батлахын тулд a логарифмын шинэ суурь руу шилжих томъёог ашиглахад хангалттай. .

Логарифмын харьцуулалтын шинж чанарыг батлахад л үлддэг.

Аливаа эерэг тоонуудын хувьд b 1 ба b 2, b 1 гэдгийг баталцгаая log a b 2, a>1-ийн хувьд – тэгш бус байдлын log a b 1

Эцэст нь логарифмын хамгийн сүүлийн жагсаасан шинж чанарыг батлахад л үлдлээ. Түүний эхний хэсгийн нотолгоогоор хязгаарлъя, өөрөөр хэлбэл, хэрэв 1 >1, a 2 >1, a 1 гэдгийг батлах болно. 1 нь үнэн log a 1 b>log a 2 b . Логарифмын энэ өмчийн үлдсэн мэдэгдлүүдийг ижил төстэй зарчмын дагуу нотолж байна.

Эсрэг аргыг хэрэглэцгээе. 1 >1, 2 >1 ба 1 гэж бодъё 1 нь үнэн log a 1 b≤log a 2 b . Логарифмын шинж чанарууд дээр үндэслэн эдгээр тэгш бус байдлыг дахин бичиж болно Тэгээд тус тус ба тэдгээрээс log b a 1 ≤log b a 2 ба log b a 1 ≥log b a 2 байна. Дараа нь ижил суурьтай зэрэглэлийн шинж чанарын дагуу b log b a 1 ≥b log b a 2 ба b log b a 1 ≥b log b a 2 тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл a 1 ≥a 2 байна. Тиймээс бид 1 гэсэн нөхцөлтэй зөрчилдсөн

Лавлагаа.

Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. болон бусад алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Ерөнхий боловсролын байгууллагын 10-11-р ангийн сурах бичиг.

Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага).

Өөр өөр суурьтай логарифмын нийлбэрийн жишээ. Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх - Эцсийн хичээл

OOF-ийн талаар санаа зовох хэрэггүй!

Өөр өөр суурьтай логарифм тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ

Үр дүн нь юу вэ?

Логарифмын шинж чанарууд

Property 1. Бүтээгдэхүүний логарифм

Property 2. Хэсгийн логарифм

Property 3. Чадлын логарифм

Property 4. Үндэсийн логарифм

Нэг суурийн логарифмаас өөр суурийн логарифм руу хөрвүүлэх томъёо

Логарифмуудыг харьцуулах (тэгш бус байдал)

Логарифмын тусламжтайгаар асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ: жишээ

Логарифм гэж юу вэ

Логарифм - шинж чанар, томъёо, хэрхэн шийдвэрлэх

Логарифмыг хэрхэн тоолох вэ

Аравтын логарифм

Байгалийн логарифм

Логарифм. Логарифмын шинж чанарууд (логарифмын хүч).

Логарифм. Элсэлтийн түвшин.

Логарифм

Аравтын болон натурал логарифм.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифм нэмэх, хасах

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ

Шинэ суурь руу шилжих

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Логарифм нэмэх, хасах

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Шинэ суурь руу шилжих

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Шийдвэрлэх үндсэн аргууд

Шийдлийн жишээ

Хоёр дахь даалгавар

Гурав дахь жишээ

Хамрах хүрээний талаархи тэмдэглэл

Тодорхойлолтын хүрээг харгалзан үзэх

Өөр өөр суурьтай логарифм тэгшитгэл

Хувьсах суурьтай холбоотой асуудлууд