Фурье цувралын онолоос үзэхэд энэ нь үечилсэн функцүүд болон бие даасан хувьсагчийн хэлбэлзлийн хязгаарлагдмал интервалтай функцуудтай харьцах үед хэрэглэгдэх боломжтой (учир нь функцийг үе үе өргөтгөх замаар энэ интервалыг бүх тэнхлэгт сунгаж болно). Гэсэн хэдий ч практикт үечилсэн функцууд харьцангуй ховор байдаг. Энэ нөхцөл байдал нь үечилсэн бус функцийг зохицуулах илүү ерөнхий математикийн аппаратыг бий болгохыг шаарддаг, тухайлбал Фурье интеграл ба түүн дээр суурилсан Фурье хувиргалт.
Үелэх бус функц f(t)-ийг l®?-ийн хувьд T=2l үетэй үелэхийн хязгаар гэж үзье.
2л хугацаатай үечилсэн функцийг Фурье цувралын өргөтгөлөөр илэрхийлж болно (бид түүний цогц хэлбэрийг ашиглах болно)
Коэффициентуудын илэрхийлэл нь дараах хэлбэртэй байна.
Дараахь давтамжийн тэмдэглэгээг танилцуулъя.
Фурье цувралын өргөтгөлийг (1) коэффициент (2) ба давтамжийн (3) илэрхийллийг орлуулж нэг томьёоны хэлбэрээр бичье.
2л үетэй үечилсэн функцын дискрет спектр
Спектрийн цэгүүдийн хоорондох хамгийн бага зайг хэлбэлзлийн үндсэн давтамжтай тэнцүү гэж тэмдэглэе.
мөн энэ тэмдэглэгээг (4)-д оруулна:
Энэ тэмдэглэгээнд Фурье цуврал нь функцийн интеграл нийлбэртэй төстэй байна.
T=2l®-ийн хязгаарт хүрэх үү? үечилсэн бус функцийн хувьд бид давтамжийн интервал нь хязгааргүй жижиг болж (бид үүнийг dw гэж тэмдэглэдэг), спектр тасралтгүй болохыг олж мэднэ. Математикийн үүднээс авч үзвэл энэ нь салангид олонлогийн нийлбэрийг хязгааргүй хязгаар дээрх харгалзах хувьсагчийн интегралаар солихтой тохирч байна.
Энэ илэрхийлэл нь Фурьегийн интеграл томъёо юм.
2.2 Фурье хувиргах томьёо.
Фурье интегралыг хоёр томьёоны суперпозиция хэлбэрээр илэрхийлэх нь тохиромжтой.
f(t) функцийн эхний томьёоны дагуу харьцуулж болох F(w) функцийг түүний гэж нэрлэдэг Фурье хувиргалт. Хариуд нь зурагнаас анхны функцийг олох боломжийг олгодог хоёр дахь томьёог дууддаг урвуу Фурье хувиргалт. Тогтмол коэффициент 1/2p ба экспонент дахь тэмдгийн нарийвчлал хүртэл Фурьегийн шууд ба урвуу хувиргуудын томъёоны тэгш хэмд анхаарлаа хандуулцгаая.
Бэлгэдлийн хувьд Фурьегийн шууд ба урвуу хувиргуудыг f(t)~F(w) гэж тэмдэглэнэ.
Фурьегийн тригонометрийн цувралтай аналоги хийснээр Фурьегийн дүрс (6) нь Фурье коэффициентийн аналог ((2)-ыг үзнэ үү), Фурьегийн урвуу хувирал (7) нь өргөтгөлийн аналог юм гэсэн дүгнэлтэд хүрч болно. Функцийг тригонометрийн Фурье цуврал болгон хувиргах ((1)-г үзнэ үү).
Урвуу хувиргалтын оронд үржүүлэгчийг шууд Фурьегийн хувиргалттай холбож эсвэл шууд ба урвуу хувиргалтуудад тэгш хэмт хүчин зүйл хийж болохыг анхаарна уу. Хамгийн гол нь хоёр хувиргалт хоёулаа Фурьегийн интеграл томъёог (5) үүсгэдэг, өөрөөр хэлбэл. Шууд ба урвуу хувиргалт дахь тогтмол хүчин зүйлийн үржвэр тэнцүү байх ёстой.
Хэрэглээний зорилгоор өнцгийн давтамж w биш, харин w = 2pn харьцаагаар эхнийхтэй холбоотой n давтамжийг илүү тохиромжтой гэдгийг анхаарна уу. ба Герцээр (Гц) хэмждэг. Энэ давтамжийн хувьд Фурье хувиргах томьёо дараах байдалтай байна.
Фурье хувиргалт оршин тогтнох хангалттай нөхцлийг нотлохгүйгээр томъёолъё.
- 1) f(t) - t?(-?,?);
- 2) f(t) - t?(-?,?) дээр туйлын интегралдах боломжтой;
- 3) f(t) функцийн тасалдал, хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийн тоо хязгаарлагдмал байна.
Өөр нэг хангалттай нөхцөл бол функцийг бодит тэнхлэг дээрээ квадрат интегралчлах шаардлага бөгөөд энэ нь физикийн хувьд хязгаарлагдмал дохионы чадлын шаардлагад нийцдэг.
Тиймээс Фурье хувиргалтыг ашигласнаар бид дохиог илэрхийлэх хоёр арга бий: хугацаа f(t) ба давтамж F(w).
- 2.3 Фурье хувирлын шинж чанарууд.
- 1. Шугаман чанар.
Хэрэв f(t)~F(w),g(t)~G(w),
дараа нь аf(t)+bg(t) ~aF(w)+bG(w).
Баталгаа нь интегралын шугаман шинж чанарт суурилдаг.
- 2. Паритет.
- 2.1 Хэрэв f(t) нь бодит тэгш функц ба f(t)~F(w) бол F(w) нь мөн бодит тэгш функц болно.
Нотолгоо:
Тодорхойлолт (6) болон Эйлерийн томъёог ашиглан бид олж авна
- - жигд функц.
- 2.2 Хэрэв f(t) нь сондгой бодит функц бол F(w) нь сондгой төсөөллийн функц болно.
2.3 Хэрэв f(t) нь дурын бодит функц бол F(w) нь тэгш бодит хэсэг, сондгой төсөөлөлтэй байна.
Нотолгоо:
Паритет 2-ын шинж чанарыг томъёогоор нэгтгэн дүгнэж болно.
3. Ижил төстэй байдал
Хэрэв f(t)~F(w) бол f(at)~.
- 4. Хэвийн хандлага.
- 4.1 Хэрэв f(t)~F(w) бол f(t-a)~.
Тэдгээр. хугацааны саатал нь давтамжийн муж дахь комплекс экспоненциалаар үржүүлэхтэй тохирч байна.
4.2 Хэрэв f(t)~F(w) бол ~.
Тэдгээр. давтамжийн шилжилт нь цаг хугацааны муж дахь цогц экспоненциалаар үржүүлэхтэй тохирч байна.
- 5. Хэрэв f(t)~F(w) бол
- 5.1 f’(t)~iwF(w),~
хэрэв f(t) нь n тасралтгүй деривативтай бол.
Нотолгоо:
хэрэв F(w) нь n тасралтгүй деривативтай бол.
Нотолгоо:
- 2.4 Фурье хувиргалтыг олох хамгийн чухал жишээнүүд.
тэгш өнцөгт импульс хаана байна
Үүний зэрэгцээ бид Пуассоны интеграл гэдгийг харгалзан үзсэн.
Сүүлийн интегралыг олохыг дараах байдлаар тайлбарлаж болно. Интеграцын контур С нь цогц хавтгайд (t,w) шулуун шугам, бодит тэнхлэгтэй параллель (w нь тогтмол тоо) юм. Хаалттай давталтын скаляр функцийн интеграл нь тэг байна. Бид хязгааргүйд хаагдах C шулуун ба бодит t тэнхлэгээс бүрдэх хаалттай гогцоо үүсгэдэг. Учир нь хязгааргүй үед интеграл функц тэг болох хандлагатай бол хаалтын муруйн дагуух интегралууд тэгтэй тэнцүү байна. Энэ нь С шулуун шугамын дагуух интеграл нь эерэг чиглэлд дамжсан бодит тэнхлэгийн дагуу авсан интегралтай тэнцүү гэсэн үг юм.
2 .5 Дохионы цаг давтамжийн дүрслэлийн тодорхойгүй байдлын зарчим.
Тэгш өнцөгт импульсийн жишээг ашиглан бид хүчинтэй байдлыг харуулах болно тодорхойгүй байдлын зарчимЭнэ нь импульсийг цаг тухайд нь нутагшуулах, давтамжийн сонголтыг нэмэгдүүлэх боломжгүй юм.
5) дагуу DT цагийн домэйн дахь тэгш өнцөгт импульсийн өргөн нь 2T-тэй тэнцүү байна. Давтамжийн муж дахь төв бөмбөрцгийн зэргэлдээ тэг хоорондын зайг тэгш өнцөгт импульсийн Фурье зургийн өргөн гэж авна. Функцийн эхний тэг нь цагт байна.
Ингэснээр бид авдаг
Тиймээс импульс нь цаг хугацааны хувьд илүү их нутагшсан байх тусам түүний спектр нь илүү их тослогддог. Үүний эсрэгээр, спектрийг багасгахын тулд бид импульсийг цаг хугацаанд нь сунгах шаардлагатай болдог. Энэ зарчим нь импульсийн ямар ч хэлбэрийн хувьд хүчинтэй бөгөөд бүх нийтийнх юм.
2.6 Хувиралт ба түүний шинж чанарууд.
Convolution нь дохиог шүүх үндсэн процедур юм.
Дараах интегралаар тодорхойлогдвол h(t) функцийг үечилсэн бус f(t) ба h(t) функцүүдийн эргэлт гэж нэрлэе.
Бид энэ баримтыг бэлгэдлээр илэрхийлэх болно.
Хувиргах үйлдэл нь дараах шинж чанаруудтай.
- 1. Солих чадвар.
t-t=t’ хувьсагчийг өөрчилснөөр солих чадварын баталгааг авч болно.
- 2. Ассоциаци
Нотолгоо:
- 3. Тархалт
Энэ өмчийн баталгаа нь интегралын шугаман шинж чанараас шууд гардаг.
Сигналыг боловсруулахын тулд Фурье аргын хамгийн чухал зүйл (Фурье хувиргах томьёоны дараа) бол эргэлтийн теоремууд юм. Бид w-ийн оронд n давтамжийг ашиглах болно, учир нь Энэ дүрслэл дэх эргэлтийн теоремууд харилцан урвуу болно.
2.7 Хувиралын теоремууд
Эхний эргэлтийн теорем.
Функцийн шууд үржвэрийн Фурье хувиргалт нь хувиргалтын эргэлттэй тэнцүү байна
Нотолгоо:
Тэгвэл байг. Урвуу Фурье хувиргалтын тодорхойлолтыг ашиглан интегралчлалын дарааллыг өөрчилснөөр бид дараахь зүйлийг олж авна.
Өнцгийн давтамж w-ийн хувьд энэ теорем нь бага түгээмэл хэлбэртэй байна
Хоёр дахь эргэлтийн теорем.
Функцийн эргэлтийн Фурье хувиргалт нь хувиргалтын шууд үржвэртэй тэнцүү байна.
Нотолгоо:
Жишээлбэл, тэгш өнцөгт импульсийн эргэлтийг авч үзье
Нөхцөлөөр f(t)=0 t үед<-T и приt>T. Үүний нэгэн адил f(t-t)=0 хувьд
т-т<-T и при t-t>Т, i.e. att>t+T болон att -2T Хоёр тохиолдлыг нэгтгэснээр бид эргэлтийн илэрхийлэлийг олж авна. Тиймээс тэгш өнцөгт импульсийн эргэлт нь гурвалжин импульс байх болно (заримдаа энэ функцийг L функц гэж нэрлэдэг). Хувиралын теоремыг ашиглан бид L-функцын Фурье хувиргалтыг хялбархан гаргаж чадна Практикт физик нөхцөл байдал нь t үед тэгтэй тэнцүү функцуудтай тохирдог<0. Это приводит к тому, что бесконечные пределы заменяются конечными. f(t) ба g(t) функцүүдийн эргэлтийг ол. учир нь f(t)=0 att<0 и g(t-t)=0 при t-t<0,т.е. приt>т. f(t) ба g(t) хоёр функцийн харилцан хамаарлын тухай ойлголтыг танилцуулъя. Энд t нь интервалд (-?,?) тасралтгүй өөрчлөгддөг цагийн шилжилт юм. Чухал ойлголт бол функцийн өөртэйгөө хамаарал бөгөөд үүнийг автокорреляци гэж нэрлэдэг. Дохионы хүч ба энергийн тухай ойлголтыг авч үзье. Эдгээр ойлголтын ач холбогдлыг аливаа мэдээлэл дамжуулах нь үнэндээ эрчим хүчний дамжуулалт болдогтой холбон тайлбарладаг. f(t) дурын нийлмэл дохиог авч үзье. Агшин зуурын дохионы хүчийг p(t) тэгшитгэлээр тодорхойлно Нийт энерги нь дохио оршин тогтнох бүх хугацааны агшин зуурын чадлын интегралтай тэнцүү байна. Мөн дохионы хүчийг давтамжийн функц гэж үзэж болно. Энэ тохиолдолд агшин зуурын давтамжийн хүчийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ. Нийт дохионы энергийг томъёогоор тооцоолно Нийт дохионы энерги нь сонгосон дүрслэлээс хамаарах ёсгүй. Цаг хугацаа, давтамжийн дүрслэлээс тооцоолсон нийт энергийн утга нь таарч байх ёстой. Тиймээс баруун талыг тэгшитгэснээр бид тэгш байдлыг олж авна. Энэ тэгш байдал нь үечилсэн бус дохионы Парсевалын теоремын агуулгыг бүрдүүлдэг. "Ерөнхий функцууд" сэдвийг судлахдаа энэ теоремын хатуу нотолгоог өгөх болно. Үүний нэгэн адил, f(t) ба g(t) хоёр өөр дохионы харилцан үйлчлэлийн энергийг цаг хугацаа болон давтамжийн дүрслэлээр илэрхийлснээр бид дараахийг олж авна. Парсевалын теоремын математик утгыг олж мэдье. Математикийн үүднээс авч үзвэл интеграл нь f(t) ба g(t) функцүүдийн скаляр үржвэр бөгөөд (f,g) гэж тэмдэглэнэ. Хэмжигдэхүүнийг f(t) функцийн норм гэж нэрлээд дараах байдлаар тэмдэглэнэ. Тиймээс Парсевалын теоремоос скаляр үржвэр нь Фурьегийн хувиргалтаар өөрчлөгддөггүй, өөрөөр хэлбэл. Агшин зуурын дохионы хүчийг давтамжийн функц гэж үздэг, i.e. , нь нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн өөр нэртэй байдаг - эрчим хүчний спектр. Эрчим хүчний спектр нь спектрийн шинжилгээний үндсэн математик хэрэгсэл бөгөөд дохионы давтамжийн найрлагыг тодорхойлох боломжийг олгодог. Практикт дохионы чадлын спектрээс гадна далайц ба фазын спектрийг ашигладаг бөгөөд үүнийг дараах байдлаар тодорхойлно. Сигналын эрчим хүчний спектрийн нягт f(t) нь автокорреляцийн функцийн Фурье хувиргалттай тэнцүү байна. f(t) ба g(t) хөндлөн спектр дохионы нягт нь корреляцийн функцийн Фурье хувиргалттай тэнцүү байна. Хоёр мэдэгдлийг нэг болгон нэгтгэж болно: Спектрийн нягт нь корреляцийн функцийн Фурье хувиргалттай тэнцүү байна. Ерөнхий функцийн тухай ойлголтыг оруулсны дараа нотлох баримтыг дараа нь өгөх болно. Фурье хувиргалт нь тодорхой бодит хувьсагчтай функцийг холбосон хувиргалт юм. Энэ үйлдэл нь янз бүрийн дуу чимээг мэдрэх бүрт хийгддэг. Чих нь дээд математикийн холбогдох хэсгийг судалсны дараа л бидний ухамсар хийх чадвартай автомат "тооцоолол" хийдэг. Хүний сонсголын эрхтэн нь өөрчлөлтийг бий болгодог бөгөөд үүний үр дүнд дуу чимээ (хатуу, шингэн эсвэл хийн орчинд долгион хэлбэрээр тархдаг уян харимхай орчин дахь нөхцөлт хэсгүүдийн хэлбэлзлийн хөдөлгөөн) дараалсан эзлэхүүний түвшний спектр хэлбэрээр илэрхийлэгддэг. янз бүрийн өндөртэй аялгуу. Үүний дараа тархи энэ мэдээллийг танил дуу болгон хувиргадаг. Дууны долгион эсвэл бусад хэлбэлзлийн процессыг (гэрлийн цацраг, далайн түрлэгээс одны болон нарны идэвхжилийн мөчлөг хүртэл) хувиргах ажлыг мөн математикийн аргаар хийж болно. Иймээс эдгээр техникийг ашигласнаар чичиргээт процессыг синусоид бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн багц болгон, өөрөөр хэлбэл далайн давалгаа шиг минимумаас максимум руу шилжиж, дараа нь буцаж минимум руу шилждэг долгионы муруй хэлбэрээр дүрслэх замаар функцийг өргөжүүлэх боломжтой. Фурье хувиргалт нь функц нь тодорхой давтамжтай харгалзах синусоид бүрийн фаз эсвэл далайцыг тодорхойлдог хувиргалт юм. Фаз нь муруйны эхлэлийн цэгийг, далайц нь түүний өндрийг илэрхийлнэ. Фурье хувиргалт (жишээг зураг дээр үзүүлэв) нь шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарт хэрэглэгддэг маш хүчирхэг хэрэгсэл юм. Зарим тохиолдолд энэ нь гэрэл, дулааны эсвэл цахилгаан эрчим хүчний нөлөөн дор үүсэх динамик үйл явцыг дүрсэлсэн нэлээд төвөгтэй тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэрэгсэл болгон ашигладаг. Бусад тохиолдолд энэ нь нарийн төвөгтэй чичиргээний дохионы ердийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тодорхойлох боломжийг олгодог бөгөөд үүний ачаар та хими, анагаах ухаан, одон орон судлалын янз бүрийн туршилтын ажиглалтуудыг зөв тайлбарлаж чадна. Энэ аргыг анх ашигласан хүн бол Францын математикч Жан Батист Фурье юм. Дараа нь түүний нэрээр нэрлэгдсэн өөрчлөлтийг анх дулаан дамжилтын механизмыг тайлбарлахад ашигласан. Фурье насанд хүрсэн бүх насаа дулааны шинж чанарыг судлахад зарцуулсан. Тэрээр алгебрийн тэгшитгэлийн язгуурыг тодорхойлох математикийн онолд асар их хувь нэмэр оруулсан. Фурье Политехникийн сургуулийн шинжилгээний профессор, Египтологийн хүрээлэнгийн нарийн бичгийн дарга байсан бөгөөд эзэн хааны албанд алба хааж байсан бөгөөд Турин руу чиглэсэн зам барихад (түүний удирдлаган дор 80 мянга гаруй хавтгай дөрвөлжин км талбайг хамарсан) онцгой үүрэг гүйцэтгэж байв. хумхаагийн намаг хатсан). Гэсэн хэдий ч энэ бүх эрч хүчтэй үйл ажиллагаа нь эрдэмтэн математикийн шинжилгээнд оролцоход саад болоогүй юм. 1802 онд тэрээр хатуу биет дэх дулааны тархалтыг тодорхойлсон тэгшитгэлийг гаргажээ. 1807 онд эрдэмтэн энэ тэгшитгэлийг шийдэх аргыг нээсэн бөгөөд үүнийг "Фурье хувиргалт" гэж нэрлэжээ. Эрдэмтэн дулаан дамжилтын механизмыг тайлбарлахдаа математикийн аргыг ашигласан. Тооцоолоход хүндрэл учруулахгүй тохиромжтой жишээ бол нэг хэсэг нь галд дүрэгдсэн төмрийн цагирагийн дагуу дулааны энергийн тархалт юм. Туршилт хийхийн тулд Фурье энэ цагирагийн хэсгийг халуунаар халааж, нарийн элсэнд булжээ. Үүний дараа тэрээр түүний эсрэг хэсэгт температур хэмжилт хийсэн. Эхэндээ дулааны хуваарилалт жигд бус байдаг: цагирагийн нэг хэсэг нь хүйтэн, нөгөө нь халуун байдаг эдгээр бүсүүдийн хооронд огцом температурын градиент ажиглагдаж болно. Гэсэн хэдий ч дулаан нь металын бүх гадаргуу дээр тархах тусам илүү жигд болдог. Тиймээс удалгүй энэ үйл явц нь синусоид хэлбэртэй болно. Нэгдүгээрт, график нь косинус эсвэл синус функцийн өөрчлөлтийн хуулийн дагуу жигд өсч, жигд буурч байна. Долгион аажмаар тэгшилж, улмаар цагирагийн бүх гадаргуу дээр температур ижил болно. Энэ аргын зохиогч нь анхны жигд бус тархалтыг хэд хэдэн энгийн синусоидуудад бүрэн задалж болно гэж санал болгосон. Тэд тус бүр өөрийн гэсэн үе шат (анхны байрлал) болон өөрийн температурын дээд хязгаартай байх болно. Түүнээс гадна ийм бүрэлдэхүүн хэсэг бүр хамгийн багааас дээд тал руу шилжиж, цагирагийн эргэн тойронд бүхэл тоогоор хэдэн удаа эргэж байдаг. Нэг үетэй бүрэлдэхүүн хэсгийг үндсэн гармоник, хоёр ба түүнээс дээш үетэй утгыг хоёр дахь гэх мэтээр нэрлэдэг. Тиймээс температурын максимум, фаз эсвэл байрлалыг тодорхойлдог математик функцийг түгээлтийн функцийн Фурье хувиргалт гэж нэрлэдэг. Эрдэмтэн математикийн хувьд тайлбарлахад хэцүү нэг бүрэлдэхүүн хэсгийг ашиглахад хялбар хэрэгсэл болох косинус ба синусын цуваа болгон бууруулсан бөгөөд тэдгээр нь хамтдаа анхны тархалтыг өгдөг. Энэхүү шинжилгээг цагираг хэлбэртэй хатуу биетээр дамжуулан дулааны тархалтыг өөрчлөхөд ашигласнаар математикч синусоид бүрэлдэхүүн хэсгийн хугацааг нэмэгдүүлэх нь түүний хурдан сулрахад хүргэдэг гэж үзсэн. Үүнийг үндсэн ба хоёр дахь гармоникуудаас тодорхой харж болно. Сүүлд нь температур хамгийн их ба хамгийн бага утгыг нэг дамжуулалтаар хоёр удаа, эхнийх нь зөвхөн нэг удаа хүрдэг. Хоёрдахь гармоник дахь дулаанаар дамжин өнгөрөх зай нь үндсэн үеийнхээс хагас байх болно. Нэмж дурдахад, хоёр дахь налуу нь эхнийхээс хоёр дахин эгц байх болно. Иймээс илүү эрчимтэй дулааны урсгал нь хоёр дахин богино зайг туулдаг тул энэ гармоник нь үндсэн үеэс дөрөв дахин хурдан задрах болно. Дараагийнх нь энэ үйл явц илүү хурдан явагдах болно. Математикч энэ арга нь цаг хугацааны явцад температурын анхны хуваарилалтын процессыг тооцоолох боломжийг олгодог гэж үздэг. Фурье хувиргах алгоритм нь тухайн үеийн математикийн онолын үндсийг сорьсон юм. 19-р зууны эхээр Лагранж, Лаплас, Пуассон, Лежендре, Биот зэрэг алдартай эрдэмтэд түүний анхны температурын тархалтыг үндсэн гармоник ба өндөр давтамжийн хэлбэрээр бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд задалдаг гэсэн мэдэгдлийг хүлээн зөвшөөрөөгүй. Гэсэн хэдий ч Шинжлэх ухааны академи математикчийн олж авсан үр дүнг үл тоомсорлож чадаагүй бөгөөд түүнд дулаан дамжуулалтын хуулиудын онол, түүнчлэн физик туршилттай харьцуулсан шагналыг гардуулав. Фурьегийн хандлагад гол эсэргүүцэл нь тасалдалтай функцийг тасралтгүй хэд хэдэн синусоид функцүүдийн нийлбэрээр төлөөлүүлсэнтэй холбоотой байв. Эцсийн эцэст тэд шулуун ба муруй шугамыг таслахыг дүрсэлдэг. Тасралтгүй функцийг квадрат, шугаман, синусоид эсвэл экспоненциал гэх мэт тасралтгүй функцүүдийн хослолоор дүрсэлсэн ижил төстэй нөхцөл байдал эрдэмтний үеийнхэнд хэзээ ч тулгарч байгаагүй. Хэрэв математикч хэлсэн үгэндээ зөв байсан бол тригонометрийн функцийн хязгааргүй цувралын нийлбэрийг яг алхамын функц болгон бууруулах ёстой. Тухайн үед ийм мэдэгдэл хийх нь утгагүй санагдаж байсан. Гэсэн хэдий ч эргэлзээтэй байсан ч зарим судлаачид (жишээлбэл, Клод Навьер, Софи Жермен) судалгааныхаа цар хүрээг өргөжүүлж, дулааны энергийн хуваарилалтын шинжилгээнээс давсан. Үүний зэрэгцээ математикчдыг хэд хэдэн синусоид функцүүдийн нийлбэрийг тасалдсан функцын яг дүрслэл болгон бууруулж болох уу гэсэн асуултаар зовоож байв. Энэ онол нь хоёр зууны турш хөгжиж, өнөөдөр эцэст нь бүрэлдэн тогтжээ. Түүний тусламжтайгаар орон зайн эсвэл цаг хугацааны функцууд нь өөрийн давтамж, үе шат, далайцтай байдаг синусоид бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хуваагддаг. Энэ хувиргалтыг хоёр өөр математик аргаар олж авдаг. Тэдгээрийн эхнийх нь анхны функц тасралтгүй байх тохиолдолд, хоёр дахь нь олон тооны салангид өөрчлөлтүүдээр илэрхийлэгдэх тохиолдолд ашиглагддаг. Хэрэв илэрхийлэл нь салангид интервалаар тодорхойлогддог утгуудаас олдвол түүнийг салангид давтамжтай хэд хэдэн синусоид илэрхийлэлд хувааж болно - хамгийн бага, дараа нь үндсэн нэгээс хоёр, гурав дахин, гэх мэт. Энэ нийлбэрийг ихэвчлэн Фурье цуврал гэж нэрлэдэг. Хэрэв анхны илэрхийлэлд бодит тоо тус бүрийн утгыг өгсөн бол түүнийг бүх боломжит давтамжийн хэд хэдэн синусоид болгон задалж болно. Үүнийг ихэвчлэн Фурье интеграл гэж нэрлэдэг бөгөөд шийдэл нь функцийн интеграл хувиргалтыг илэрхийлдэг. Хөрвүүлэлтийг хэрхэн олж авахаас үл хамааран давтамж бүрт хоёр тоог зааж өгөх ёстой: далайц ба давтамж. Эдгээр утгууд нь нарийн төвөгтэй хувьсагчдын илэрхийлэлийн нэг онол хэлбэрээр илэрхийлэгддэг бөгөөд Фурье хувиргалт нь янз бүрийн цахилгаан хэлхээг зохион бүтээх, механик чичиргээнд дүн шинжилгээ хийх, долгионы тархалтын механизмыг судлах гэх мэт тооцоолол хийх боломжтой болсон. Өнөө үед энэ үйл явцыг судлах нь гол төлөв функцээс өөрчлөгдсөн хэлбэр рүү шилжих үр дүнтэй аргуудыг олоход чиглэгддэг. Энэ шийдлийг Фурьегийн шууд ба урвуу хувиргалт гэж нэрлэдэг. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Фурьегийн шууд хувиргалтыг хийхийн тулд та математикийн аргуудыг ашиглаж болно, эсвэл аналитик аргыг ч ашиглаж болно. Практикт ашиглахад тодорхой бэрхшээлүүд гарч ирдэг ч ихэнх интегралуудыг аль хэдийн олж, математикийн лавлах номонд оруулсан болно. Тоон аргуудыг ашиглан та хэлбэр нь туршилтын өгөгдөл дээр суурилсан илэрхийлэл эсвэл хүснэгтэд интеграл нь байхгүй, аналитик хэлбэрээр үзүүлэхэд хэцүү функцуудыг тооцоолж болно. Компьютерийн технологи гарч ирэхээс өмнө ийм хувиргалтыг тооцоолох нь маш их уйтгартай байсан бөгөөд тэдгээр нь долгионы функцийг тодорхойлсон цэгүүдийн тооноос хамаардаг олон тооны арифметик үйлдлүүдийг гараар гүйцэтгэх шаардлагатай байв. Тооцооллыг хөнгөвчлөхийн тулд өнөөдөр шинийг хэрэгжүүлэх боломжийг олгодог тусгай программууд байдаг. Тиймээс 1965 онд Жеймс Кули, Жон Туки нар "хурдан Фурье хувиргалт" гэж нэрлэгддэг программ хангамжийг бүтээжээ. Энэ нь муруйг шинжлэх үед үржүүлгийн тоог багасгах замаар тооцоолох цагийг хэмнэх боломжийг олгодог. Хурдан Фурье хувиргах арга нь муруйг олон тооны жигд түүврийн утгуудад хуваахад суурилдаг. Үүний дагуу үржүүлгийн тоог хоёр дахин бууруулж, онооны тоог ижил хэмжээгээр бууруулна. Энэ процессыг шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарт ашигладаг: физик, дохио боловсруулах, комбинаторик, магадлалын онол, криптограф, статистик, далай судлал, оптик, акустик, геометр болон бусад. Түүний хэрэглээний баялаг боломжууд нь "Фурье хувирлын шинж чанарууд" гэж нэрлэгддэг хэд хэдэн ашигтай шинж чанарууд дээр суурилдаг. Тэднийг харцгаая. 1. Функцийн хувиргалт нь шугаман оператор бөгөөд зохих нормчлолтой бол нэгдмэл байна. Энэ шинж чанарыг Парсевалын теорем эсвэл ерөнхий тохиолдолд Планчерелийн теорем эсвэл Понтрягины дуализм гэж нэрлэдэг. 2. Өөрчлөлт нь буцаах боломжтой. Түүнээс гадна урвуу үр дүн нь шууд шийдэлтэй бараг ижил хэлбэртэй байна. 3. Синусоидын үндсэн илэрхийллүүд нь өөрийн гэсэн ялгаатай функцууд юм. Энэ нь ийм дүрслэл нь тогтмол хүчин зүйлээр энгийн алгебрийн хувьд өөрчлөгддөг гэсэн үг юм. 4. Хувиралын теоремын дагуу энэ процесс нь нарийн төвөгтэй үйлдлийг энгийн үржвэр болгон хувиргадаг. 5. Дискрет Фурье хувиргалтыг "хурдан" аргыг ашиглан компьютер дээр хурдан тооцоолж болно. 1. Ихэнхдээ энэ нэр томъёог тодорхой өнцгийн давтамж, далайц бүхий цогц экспоненциал илэрхийллийн нийлбэр хэлбэрээр квадрат интегралчлах илэрхийлэлийг өгдөг тасралтгүй хувиргалтыг илэрхийлэхэд ашигладаг. Энэ төрөл нь хэд хэдэн өөр хэлбэртэй байдаг бөгөөд тэдгээр нь тогтмол коэффициентоор ялгаатай байж болно. Үргэлжилсэн арга нь математикийн лавлах номноос олж болох хөрвүүлэх хүснэгтийг агуулдаг. Ерөнхий тохиолдол гэдэг нь өгөгдсөн процессыг шаардлагатай бодит хүчин чадалд хүргэж болох бутархай хувиргалт юм. 2. Үргэлжилсэн арга нь хязгаарлагдмал мужид орших янз бүрийн үечилсэн функц эсвэл илэрхийлэлд зориулж тодорхойлсон Фурье цувралын өмнөх аргачлалын ерөнхий дүгнэлт бөгөөд тэдгээрийг синусоидуудын цуваа хэлбэрээр илэрхийлдэг. 3. Дискрет Фурье хувиргалт. Энэ аргыг компьютерийн технологид шинжлэх ухааны тооцоолол, тоон дохио боловсруулахад ашигладаг. Энэ төрлийн тооцоог хийхийн тулд тасралтгүй Фурье интегралын оронд салангид олонлогийн бие даасан цэг, үечилсэн эсвэл хязгаарлагдмал талбайг тодорхойлдог функцтэй байх шаардлагатай. Энэ тохиолдолд дохионы хувиргалтыг синусоидуудын нийлбэрээр илэрхийлнэ. Үүний зэрэгцээ "хурдан" аргыг ашиглах нь аливаа практик асуудлыг шийдвэрлэх салангид шийдлүүдийг ашиглах боломжийг олгодог. 4. Цонхтой Фурье хувиргалт нь сонгодог аргын ерөнхий хэлбэр юм. Стандарт шийдлээс ялгаатай нь өгөгдсөн хувьсагчийн оршин тогтнох бүх хүрээг хамарсан тохиолдолд анхны хувьсагч (хугацаа) хадгалагдсан тохиолдолд зөвхөн орон нутгийн давтамжийн тархалт онцгой сонирхол татдаг. 5. Хоёр хэмжээст Фурье хувиргалт. Энэ аргыг хоёр хэмжээст өгөгдлийн массивтай ажиллахад ашигладаг. Энэ тохиолдолд хувиргалтыг эхлээд нэг чиглэлд, дараа нь нөгөө чиглэлд хийнэ. Өнөөдөр Фурьегийн арга нь шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарт баттай нотлогдсон. Жишээлбэл, 1962 онд ДНХ-ийн давхар мушгиа хэлбэрийг Фурьегийн шинжилгээг ашиглан ДНХ-ийн утаснуудын талстуудад анхаарлаа хандуулж, үүний үр дүнд цацрагийн дифракцийн үр дүнд олж авсан дүрсийг хальсан дээр тэмдэглэв. Энэ зураг нь өгөгдсөн болор бүтцэд Фурье хувиргалтыг ашиглах үед далайцын утгын талаарх мэдээллийг өгсөн. ДНХ-ийн дифракцийн зургийг ижил төстэй химийн бүтцийг шинжлэх замаар олж авсан зурагтай харьцуулах замаар фазын өгөгдлийг олж авсан. Үүний үр дүнд биологичид болор бүтцийг сэргээсэн - анхны функц. Фурье хувиргалт нь сансар огторгуй, хагас дамжуулагч ба плазмын физик, богино долгионы акустик, далай судлал, радар, сейсмологи, эмнэлгийн үзлэгт асар их үүрэг гүйцэтгэдэг. Фурье хувиргалт гэх мэт гайхалтай математикийн хэрэгсэл байдгийг хүн бүр мэддэг гэдэгт би итгэдэг. Гэсэн хэдий ч яагаад ч юм их дээд сургуулиудад маш муу заадаг тул энэ өөрчлөлт хэрхэн явагддаг, үүнийг хэрхэн зөв ашиглах ёстойг харьцангуй цөөн хүн ойлгодог. Үүний зэрэгцээ энэхүү өөрчлөлтийн математик нь гайхалтай үзэсгэлэнтэй, энгийн бөгөөд гоёмсог юм. Би хүн бүрийг Фурье хувиргалт болон аналог дохиог тооцооллын боловсруулалтад хэрхэн үр дүнтэйгээр тоон дохио болгон хувиргах тухай сэдвийн талаар бага зэрэг илүү ихийг мэдэхийг урьж байна. Нарийн төвөгтэй томъёо болон Matlab ашиглахгүйгээр би дараах асуултуудад хариулахыг хичээх болно. Уншигч интеграл гэж юу болох, нийлмэл тоо (түүний модуль ба аргумент гэх мэт), функцүүдийн эргэлт, мөн Диракын дельта ямар үүрэг гүйцэтгэдэг талаар дор хаяж "гар"-ын санааг ойлгодог гэсэн таамаглалыг үндэслэнэ. байна. Хэрэв та мэдэхгүй бол асуудалгүй, дээрх холбоосыг уншина уу. Энэ текстийн туршид "функцийн бүтээгдэхүүн" гэж би "цэгээр үржүүлэх" гэсэн үг юм. Ердийн Фурье хувиргалт нь нэрнээс нь харахад нэг функцийг нөгөө функц болгон хувиргадаг, өөрөөр хэлбэл бодит x(t) хувьсагчийн функц бүрийг өөрийнхтэй холбодог зүйл гэдгээс эхлэх хэрэгтэй болов уу. спектр эсвэл Фурье дүрс y (w): Хэрэв бид аналоги өгвөл утгын хувьд ижил төстэй хувиргалтын жишээ нь, жишээлбэл, ялгах, функцийг түүний дериватив болгон хувиргах явдал байж болно. Өөрөөр хэлбэл, Фурьегийн хувиргалт нь үндсэндээ дериватив авахтай ижил үйлдэл бөгөөд үүнийг функц дээр гурвалжин "таг" зурах замаар ихэвчлэн ижил төстэй байдлаар тэмдэглэдэг. Бодит тоонуудын хувьд ч мөн адил тодорхойлж болох ялгахаас ялгаатай нь Фурье хувиргалт нь илүү ерөнхий комплекс тоонуудтай үргэлж "ажилдаг". Үүнээс болж нийлмэл тоо нь нэг биш, харин бодит тоонуудтай ажилладаг график дээрх хоёр координатаар тодорхойлогддог тул энэхүү хувиргалтын үр дүнг харуулахтай холбоотой асуудал байнга гардаг. Дүрмээр бол нийлмэл тоонуудыг модуль ба аргумент хэлбэрээр илэрхийлж, тэдгээрийг хоёр тусдаа график хэлбэрээр тусад нь зурах нь хамгийн тохиромжтой. Энэ тохиолдолд нарийн төвөгтэй утгын аргументийн графикийг ихэвчлэн "фазын спектр" гэж нэрлэдэг бөгөөд модулийн графикийг ихэвчлэн "далайцын спектр" гэж нэрлэдэг. Далайцын спектр нь ихэвчлэн илүү сонирхолтой байдаг тул спектрийн "фазын" хэсгийг ихэвчлэн алгасдаг. Энэ нийтлэлд бид "далайц" зүйлд анхаарлаа хандуулах болно, гэхдээ графын дутуу фазын хэсэг байдгийг мартаж болохгүй. Нэмж дурдахад, нийлмэл утгын ердийн модулийн оронд түүний аравтын логарифмыг 10-аар үржүүлсэн үр дүн нь логарифм график бөгөөд утгыг децибелээр (дБ) харуулдаг. Логарифмын график дээрх тийм ч сөрөг биш тоонууд (-20 дБ ба түүнээс бага) "хэвийн" график дээрх бараг тэг тоотой тохирч байгааг анхаарна уу. Тиймээс ийм график дээрх янз бүрийн спектрийн урт, өргөн "сүүл" нь "ердийн" координатаар харагдах үед бараг алга болдог. Ийм хачирхалтай дүрслэлийн тав тухтай байдал нь янз бүрийн функцүүдийн Фурьегийн зургийг ихэвчлэн өөр хоорондоо үржүүлэх шаардлагатай байдагтай холбоотой юм. Фурье нийлмэл утгатай зургуудыг цэгээр ингэж үржүүлснээр тэдгээрийн фазын спектрүүд нэмэгдэж, далайцын спектрүүд нь үрждэг. Эхнийх нь хийхэд хялбар байдаг бол хоёр дахь нь харьцангуй хэцүү байдаг. Гэсэн хэдий ч далайцын логарифмууд далайцыг үржүүлэхэд нэмэгддэг тул логарифм далайцын графикийг фазын график шиг зүгээр л цэгийн дагуу нэмж болно. Нэмж дурдахад практик асуудлуудад дохионы "далайц" -аар биш харин түүний "хүч" (далайцын квадрат) -аар ажиллах нь илүү тохиромжтой байдаг. Логарифмын масштабаар графикууд (далайц ба хүч) хоёулаа ижил харагддаг бөгөөд зөвхөн коэффициентээр ялгаатай байдаг - чадлын график дээрх бүх утгууд далайцын хуваарьтай харьцуулахад яг хоёр дахин их байна. Үүний дагуу эрчим хүчний хуваарилалтыг давтамжаар (децибелээр) зурахын тулд та юуг ч квадрат болгож болохгүй, харин аравтын логарифмыг тооцоод 20-оор үржүүлнэ. Та уйдаж байна уу? Жаахан хүлээгээрэй, бид удахгүй графикийг хэрхэн тайлбарлах талаар тайлбарласан уйтгартай хэсгийг дуусгах болно :). Гэхдээ үүнээс өмнө нэг маш чухал зүйлийг ойлгох хэрэгтэй: дээрх бүх спектрийн графикуудыг зарим хязгаарлагдмал утгын хязгаарт (ялангуяа эерэг тоо) зориулж зурсан боловч эдгээр бүх графикууд үнэндээ нэмэх ба хасах хязгааргүй хэвээр байна. Графикууд нь графикийн зарим "хамгийн утга учиртай" хэсгийг дүрсэлсэн байдаг бөгөөд энэ нь ихэвчлэн параметрийн сөрөг утгуудын хувьд толин тусгал болдог бөгөөд илүү том хэмжээгээр үзэхэд тодорхой алхамаар үе үе давтагддаг. График дээр юу зурж байгааг шийдсэний дараа Фурье хувиргалт болон түүний шинж чанарууд руу буцъя. Энэ өөрчлөлтийг тодорхойлох хэд хэдэн янзын арга байдаг бөгөөд тэдгээр нь жижиг нарийн ширийн зүйлсээр ялгаатай (өөр өөр хэвийн байдал). Жишээлбэл, манай их дээд сургуулиудад зарим шалтгааны улмаас спектрийг өнцгийн давтамжаар (секундэд радиан) тодорхойлдог Фурье хувиргалтыг хэвийн болгох аргыг ихэвчлэн ашигладаг. Би ердийн давтамж (герц) -ийн хувьд спектрийг тодорхойлдог барууны илүү тохиромжтой томъёог ашиглах болно. Энэ тохиолдолд Фурьегийн шууд ба урвуу хувиргалтыг зүүн талд байгаа томьёогоор тодорхойлдог бөгөөд энэ хувиргалтын зарим шинж чанарыг баруун талд байгаа долоон цэгийн жагсаалтаар тодорхойлно. Эдгээр шинж чанаруудын эхнийх нь шугаман чанар юм. Хэрэв бид функцүүдийн шугаман хослолыг авбал энэ хослолын Фурье хувиргалт нь эдгээр функцүүдийн Фурье зургийн шугаман хослол байх болно. Энэ шинж чанар нь нарийн төвөгтэй функцууд болон тэдгээрийн Фурье дүрсийг илүү энгийн болгон багасгах боломжийг олгодог. Жишээлбэл, f давтамж ба далайц a-тай синусоид функцийн Фурье хувиргалт нь f ба -f цэгт байрлах, a/2 коэффициенттэй хоёр дельта функцийн хослол юм. Хэрэв бид өөр өөр давтамжтай синусоидуудын багцын нийлбэрээс бүрдэх функцийг авбал шугаман байдлын шинж чанарын дагуу энэ функцийн Фурье хувиргалт нь харгалзах дельта функцүүдийн багцаас бүрдэнэ. Энэ нь "хэрэв функцийн спектрт f давтамж нь a далайцтай тохирч байвал анхны функцийг синусоидуудын нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болно" гэсэн зарчмын дагуу спектрийн талаар гэнэн боловч харааны тайлбарыг өгөх боломжийг олгодог. f давтамж ба далайц 2а-тай синусоид." Хатуухан хэлэхэд энэ тайлбар нь буруу, учир нь дельта функц ба график дээрх цэг нь огт өөр зүйл боловч бид дараа нь үзэх болно, дискрет Фурье хувиргалтын хувьд энэ нь үнэнээс тийм ч хол байх болно. Фурье хувирлын хоёр дахь шинж чанар нь дохионы цаг хугацааны шилжилтээс далайцын спектрийн бие даасан байдал юм. Хэрэв бид функцийг x тэнхлэгийн дагуу зүүн эсвэл баруун тийш шилжүүлбэл зөвхөн фазын спектр өөрчлөгдөнө. Гурав дахь шинж чанар нь анхны функцийг цагийн тэнхлэг (x) дагуу сунгах (шахах) нь түүний Фурье дүрсийг давтамжийн хуваарь (w) дагуу пропорциональ шахаж (сунгадаг) юм. Ялангуяа хязгаарлагдмал хугацаатай дохионы спектр нь үргэлж хязгааргүй өргөн бөгөөд эсрэгээр хязгааргүй өргөнтэй спектр нь үргэлж хязгааргүй үргэлжлэх дохиотой тохирч байдаг. Дөрөв, тав дахь шинж чанарууд нь магадгүй хамгийн ашигтай нь юм. Эдгээр нь функцүүдийн эргэлтийг Фурьегийн дүрсийг цэгээр үржүүлэх, мөн эсрэгээр нь функцүүдийн цэгээр үржүүлэхийг Фурье зургийн эргэлт хүртэл бууруулах боломжтой болгодог. Энэ нь хэр тохиромжтой болохыг би жаахан цааш харуулах болно. Зургаа дахь шинж чанар нь Фурье зургийн тэгш хэмийн тухай өгүүлдэг. Ялангуяа энэ шинж чанараас харахад бодит үнэ цэнэтэй функцийн Фурье хувиргалтанд (жишээлбэл, ямар ч "бодит" дохио) далайцын спектр нь үргэлж тэгш функц, фазын спектр (хэрэв -pi мужид хүргэсэн бол) байдаг. ...pi) нь сондгой юм. Ийм учраас спектрийн сөрөг хэсгийг спектрийн график дээр бараг хэзээ ч зурдаггүй - бодит үнэ цэнэтэй дохионы хувьд энэ нь шинэ мэдээлэл өгдөггүй (гэхдээ би давтан хэлье, энэ нь тэг биш юм). Эцэст нь, сүүлийн долоо дахь шинж чанар нь Фурье хувиргалт нь дохионы "эрч хүчийг" хадгалдаг гэж хэлдэг. Энэ нь зөвхөн хязгаарлагдмал үргэлжлэх хугацаатай, энерги нь хязгаарлагдмал дохионы хувьд утга учиртай бөгөөд хязгааргүй дээрх ийм дохионы спектр нь тэг рүү хурдан ойртож байгааг харуулж байна. Энэ шинж чанараас болж спектрийн графикууд нь ихэвчлэн энергийн арслангийн хувийг агуулдаг дохионы "үндсэн" хэсгийг л дүрсэлдэг - графикийн үлдсэн хэсэг нь зүгээр л тэг рүү чиглэдэг (гэхдээ дахин тэг биш). Эдгээр 7 шинж чанарыг ашиглан тасралтгүй дохиог тоонуудын дараалал болгон хувиргах боломжийг олгодог дохионы "тоонжуулах" математикийг харцгаая. Үүнийг хийхийн тулд бид "Dirac сам" гэж нэрлэгддэг функцийг авах хэрэгтэй. Дирак сам нь ердөө л тэгээс эхэлж T алхамыг үргэлжлүүлэх нэгдмэл коэффициент бүхий дельта функцуудын үечилсэн дараалал юм. Сигналыг дижитал болгохын тулд T-г аль болох бага тоогоор сонгоно.<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации: Үргэлжилсэн функцийн оронд ийм үржүүлгийн дараа тодорхой өндөртэй дельта импульсийн дарааллыг олж авна. Түүнээс гадна Фурье хувирлын 5-р шинж чанарын дагуу үүссэн салангид дохионы спектр нь Диракийн харгалзах самтай анхны спектрийн эргэлт юм. Эргэлтийн шинж чанарт үндэслэн анхны дохионы спектрийг давтамжийн тэнхлэгийн дагуу 1/Т алхамаар хязгааргүй олон удаа "хуулбарлаж", дараа нь нэгтгэн дүгнэдэг гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг. Хэрэв анхны спектр хязгаарлагдмал өргөнтэй байсан бөгөөд бид хангалттай өндөр түүвэрлэлтийн давтамж ашигласан бол анхны спектрийн хуулбарууд давхцахгүй, тиймээс бие биетэйгээ нийлдэггүй гэдгийг анхаарна уу. Ийм "нурсан" спектрээс анхны хувилбарыг нь сэргээхэд хялбар байх болно гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг - тэгийн бүсэд спектрийн бүрэлдэхүүн хэсгийг авч, нэмэлт хуулбарыг хязгааргүй "таслахад" хангалттай байх болно. Үүнийг хийх хамгийн энгийн арга бол спектрийг -1/2T...1/2T мужид T-тэй тэнцүү тэгш өнцөгт функцээр үржүүлэх бөгөөд энэ мужаас гадуур тэг болно. Ийм Фурье хувиргалт нь sinc(Tx) функцтэй тохирч байгаа бөгөөд 4-р шинж чанарын дагуу ийм үржүүлэх нь sinc(Tx) функцтэй дельта функцуудын анхны дарааллын эргэлттэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, Фурье хувиргалтыг ашигласнаар бид хамгийн багадаа хоёр удаа түүвэрлэлтийн давтамжийг ашиглах тохиолдолд (спектр дэх сөрөг давтамжууд байгаа тул) цаг хугацааны түүвэрлэсэн дохионоос анхны дохиог хялбархан сэргээх арга замтай болно. анхны дохионд байгаа хамгийн их давтамжаас өндөр байна. Энэ үр дүнг олон нийтэд мэддэг бөгөөд үүнийг "Котельников/Шэннон-Никвист теорем" гэж нэрлэдэг. Гэсэн хэдий ч одоо анзаарахад хялбар байдаг тул (нотлох баримтыг ойлгох) энэ үр дүн нь өргөн тархсан буруу ойлголтоос үл хамааран дараахь зүйлийг тодорхойлдог. хангалттай, гэхдээ үгүй шаардлагатайанхны дохиог сэргээх нөхцөл. Бидэнд хэрэгтэй зүйл бол дохиог түүвэрлэсний дараа биднийг сонирхож буй спектрийн хэсэг нь хоорондоо давхцахгүй байх, хэрэв дохио нь хангалттай нарийн зурвастай бол (спектрийн тэгээс бусад хэсгийн жижиг "өргөнтэй") байх явдал юм. Дараа нь энэ үр дүнд ихэвчлэн дохионы хамгийн их давтамжаас хоёр дахин бага түүвэрлэлтийн давтамжтайгаар хүрч болно. Энэ аргыг "дутуу дээж авах" (дэд дээж авах, зурвасын дээж авах) гэж нэрлэдэг бөгөөд бүх төрлийн радио дохиог боловсруулахад нэлээд өргөн хэрэглэгддэг. Жишээлбэл, хэрэв бид 88-аас 108 МГц давтамжийн зурваст ажилладаг FM радиог авбал түүнийг дижитал болгохын тулд Котельниковын теоремоор тооцсон 216 МГц-ийн оронд ердөө 43.5 МГц давтамжтай ADC ашиглаж болно. Гэхдээ энэ тохиолдолд танд өндөр чанартай ADC, сайн шүүлтүүр хэрэгтэй болно. Доод эрэмбийн давтамжтай өндөр давтамжийн "давхардал" нь дохионы түүврийн шууд шинж чанар бөгөөд үр дүнг эргэлт буцалтгүй "гэмтдэг" гэдгийг тэмдэглэе. Тиймээс, хэрэв дохио нь зарчмын хувьд өндөр дарааллын давтамжийг агуулж байвал (өөрөөр хэлбэл бараг үргэлж) аналог шүүлтүүрийг ADC-ийн урд байрлуулж, анхны дохион дахь шаардлагагүй бүх зүйлийг шууд "тасалж" (түүний дээж авснаас хойш). Үүнийг хийхэд хэтэрхий оройтсон байх болно). Аналог төхөөрөмжүүдийн хувьд эдгээр шүүлтүүрүүдийн шинж чанар нь тийм ч тохиромжтой биш тул дохионы зарим "гэмтэл" хэвээр байгаа бөгөөд практик дээр спектрийн хамгийн өндөр давтамж нь дүрмээр бол найдваргүй байдаг. Энэ асуудлыг багасгахын тулд дохиог ихэвчлэн хэт түүвэрлэж, оролтын аналог шүүлтүүрийг бага зурвасын өргөнтэй болгож, ADC-ийн онолын хувьд боломжтой давтамжийн хязгаарын зөвхөн доод хэсгийг ашигладаг. Дашрамд хэлэхэд, өөр нэг нийтлэг буруу ойлголт бол DAC гаралтын дохиог "алхам" -аар зурах явдал юм. "Алхамууд" нь T өргөн ба 1 өндөртэй тэгш өнцөгт функц бүхий дээж авсан дохионы дарааллын эргэлттэй тохирч байна. Энэхүү хувиргалттай дохионы спектрийг энэ тэгш өнцөгт функцийн Фурье дүрсээр үржүүлдэг бөгөөд ижил төстэй тэгш өнцөгт функцийн хувьд энэ нь дахин sinc(w), "сунгасан" байх тусам харгалзах тэгш өнцөгтийн өргөн бага байх болно. Ийм "DAC" бүхий дээж авсан дохионы спектрийг энэ спектрээр цэгээр үржүүлнэ. Энэ тохиолдолд спектрийн "нэмэлт хуулбар" бүхий шаардлагагүй өндөр давтамжууд бүрэн таслагдахгүй, харин спектрийн "ашигтай" хэсгийн дээд хэсэг нь эсрэгээрээ сулардаг. Практик дээр мэдээжийн хэрэг хэн ч үүнийг хийдэггүй. DAC-г бий болгох олон янзын арга байдаг, гэхдээ жингийн төрлийн DAC-тай хамгийн ойрхон утгаараа ч DAC дахь тэгш өнцөгт импульс нь эсрэгээрээ аль болох богино байхаар сонгосон (дельтагийн бодит дараалалд ойртож). функцууд) спектрийн ашигтай хэсгийг шаардлагагүй дарахаас зайлсхийхийн тулд. Үүссэн өргөн зурвасын дохионы "илүүдэл" давтамж нь дохиог аналог нам дамжуулалтын шүүлтүүрээр дамжуулснаар бараг үргэлж цуцлагддаг бөгөөд ингэснээр хөрвүүлэгчийн "дотор" эсвэл ялангуяа түүний гаралт дээр "дижитал алхам" байхгүй болно. Гэсэн хэдий ч, Фурьегийн хувиргалт руу буцаж орцгооё. Урьдчилан түүвэрлэсэн дохионы дараалалд хэрэглэсэн дээр дурдсан Фурье хувиргалтыг Discrete Time Furier Transform (DTFT) гэж нэрлэдэг. Ийм хувиргалтаар олж авсан спектр нь үргэлж 1/T-үе үетэй байдаг тул DTFT спектр нь dt = сегмент дэх утгаараа бүрэн тодорхойлогддог. = (1/2p)s(t)H(w") exp(-j(w-w")t) dw"dt = (1/2p)H(w") dw"s(t) exp(-j(w-w")t) dt = = (1/2p)H(w") S(w-w") dw" = (1/2p) H(w) * S(w). (4.29) Тиймээс, Координат хэлбэрээр функцүүдийн үржвэрийг давтамжийн дүрслэлд эдгээр функцүүдийн Фурье зургийг эргүүлж харуулна.өнцгийн давтамжийг ашиглах үед s(t) ба h(t) функцүүдийн Фурьегийн шууд ба урвуу хувиргалтын тэгш бус байдлыг харгалзан хэвийн болгох коэффициенттэй (1/2p) .
9. Хувиралтын деривативхоёр функц s"(t) = d/dt. (4.26) ба (4.28) илэрхийлэлийг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна. s"(t) = jw = (jw X(w)) Y(w) = X(w) (jw Y(w). s"(t) = x"(t) * y(t) = x(t) * y"(t). Энэ илэрхийлэл нь дохионы деривативыг тооцоолохын зэрэгцээ түүнийг жигдрүүлэх функцийн дериватив (жишээ нь, Гауссын) жингийн функцээр нэгэн зэрэг тэгшитгэх боломжийг олгодог.
10. Хүч чадлын спектр.
Ерөнхий хэлбэрээр дохионы хүчний цагийн функцийг дараах илэрхийллээр тодорхойлно. w(t) = s(t) s * (t) = |s(t)| 2. Үүний дагуу спектрийн эрчим хүчний нягтрал нь s(t) s * (t) бүтээгдэхүүний Фурье хувиргалттай тэнцүү бөгөөд энэ нь эдгээр функцүүдийн Фурьегийн зургийг эргүүлэх замаар спектрийн дүрслэлд харагдах болно. W(f) = S(f) * S * (f) =S(f) S * (f-v) dv. (4.30) Гэхдээ f давтамжийн одоогийн бүх утгын хувьд энэ илэрхийллийн баруун талын интеграл нь S(f)·S * (f) бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна, учир нь шилжилтийн бүх утгын хувьд v ≠ 0 байна. S(f) ба S * (f-v) гармоникуудын ортогональ байдалд тэдгээрийн үржвэрүүдийн утгууд тэгтэй тэнцүү байна. Эндээс: W(f) = S(f) * S * (f) = |S(f)| 2. (4.31) Эрчим хүчний спектр нь бодит, сөрөг бус тэгш функц бөгөөд үүнийг ихэвчлэн энергийн спектр гэж нэрлэдэг. Эрчим хүчний спектр нь дохионы спектрийн модулийн квадратын хувьд давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тухай фазын мэдээллийг агуулдаггүй тул эрчим хүчний спектрээс дохиог сэргээн босгох боломжгүй юм. Энэ нь өөр өөр фазын шинж чанартай дохио нь ижил чадлын спектртэй байж болно гэсэн үг юм. Ялангуяа дохионы шилжилт нь түүний эрчим хүчний спектрт нөлөөлдөггүй. Давтамжийн муж дахь дохионы харилцан үйлчлэлийн чадлын функцүүдийн хувьд бид дохионы харилцан үйлчлэлийн чадлын давтамжийн спектртэй байна. W xy (f) = X(f) Y*(f), W yx (f) = Y(f) X*(f), W xy (f) = W* yx (f). X(t) ба y(t) функц хоёулаа бодит байсан ч дохионы харилцан үйлчлэлийн чадлын функцүүд нь нарийн төвөгтэй бөгөөд Re нь тэгш, Im нь сондгой функц юм. Тиймээс харилцан үйлчлэлийн чадлын функцуудыг нэгтгэх үед дохионы харилцан үйлчлэлийн нийт энергийг зөвхөн спектрийн бодит хэсгээр тодорхойлно. X(f) Y*(f) df. Парсевалын тэгшитгэлээс үзэхэд Фурье хувиргалттай холбоотой дохионы скаляр үржвэр ба норм нь өөрчлөгддөггүй. áx(t),y(t)ñ = áX(f),Y(f)ñ, ||x(t)|| 2 = ||X(f)|| 2. Спектрүүдийг дугуй давтамжаар (w-ээр) дүрслэхдээ өгөгдсөн тэгшитгэлийн баруун тал нь 1/2p хүчин зүйлийг агуулсан байх ёстой гэдгийг мартаж болохгүй.
Математик Фурье хувиргалт
Түүхэн суурь
Дулаан дамжилтын шинжилгээ
Шинжилгээний мөн чанар
Орчин үеийн хүмүүст зориулсан сорилт
200 жилийн түүх
Өнөөдөр Фурьегийн хувирал
Фурье хувиргалтыг ашиглах
Фурье хувиргалтын төрлүүд
Дүгнэлт
