§ 11. Тойрог дахь пропорциональ хэрчмүүд.
1. Гүүрний ферм нь тойргийн нумаар хязгаарлагддаг (Зураг 38); фермийн өндөр MK= h= 3 м; AMB-ийн нумын радиус R = 8.5 м Гүүрний AB зайны уртыг тооцоол.
2. Хагас цилиндр хэлбэртэй хонгилтой хонгилд хамгийн ойрын хананаас ижил зайд хоёр багана байрлуулах ёстой. Доод талын хонгилын өргөн нь 4 м, тавиуруудын хоорондох зай нь 2 м байвал тавиуруудын өндрийг тодорхойлно.
3. 1) Тойрог дээрх цэгээс диаметртэй перпендикуляр зурсан. Түүний уртыг диаметртэй сегментүүдийн дараах уртаар тодорхойлно: 1) 12 см ба 3 см; 2) 16 см ба 9 см, 3) 2 м ба 5 дм.
2) Диаметрийн цэгээс тойрогтой огтлолцох цэг хүртэл перпендикуляр зурсан. Диаметр нь 40 см, зурсан перпендикуляр нь диаметрийн нэг төгсгөлөөс 8 см зайд байвал энэ перпендикулярын уртыг тодорхойлно.
4. Диаметр нь сегментүүдэд хуваагдана: AC = 8 дм ба CB = 5 м, С цэгээс түүнд ийм урттай перпендикуляр CD татагдана. CD нь тэнцүү байх үед тойрогтой харьцуулахад D цэгийн байрлалыг заана уу: 1) 15 дм; 2) 2 м; 3) 23 дм.
5. DIA-хагас тойрог; CD нь AB диаметртэй перпендикуляр байна. Шаардлагатай:
1) AD = 25, CD =10 бол DB-г тодорхойлох;
2) AD: DB = 4: 9 ба CD = 30 бол AB-ийг тодорхойлно;
3) CD=3AD ба радиус бол AD-ийг тодорхойлно r;
4) AB = 50, CD = 15 бол AD-ийг тодорхойлно.
6. 1) Тойрог дээрх цэгээс 34 см-тэй тэнцүү радиусаар буулгасан перпендикуляр нь түүнийг 8:9 харьцаатай (төвөөс эхлэн) хуваана. Перпендикулярын уртыг тодорхойл.
2) BDC хөвч нь ODA радиустай перпендикуляр байна. OA = 25 см, AD = 10 см бол BC тодорхойлно.
3) Хоёр төвлөрсөн тойргоос үүссэн цагирагийн өргөн нь 8 дм; Том тойргийн жижиг тойрогтой шүргэгч хөвч нь 4 м тойргийн радиусыг тодорхойл.
7. Хэсгүүдийн харьцуулалтыг ашиглан хоёр тэнцүү бус тооны арифметик дундаж нь геометрийн дунджаас их болохыг батал.
8. 3 см ба 5 см хэрчмүүдийн хооронд дунджаар пропорциональ хэрчмийг байгуул.
9. Дараахтай тэнцүү хэрчим байгуул: √15 ; √10; √6; √3.
10.АХБ диаметр; AC хөвч; CD нь диаметртэй перпендикуляр байна. Хувьсах гүйдлийн хөвчийг тодорхойлно уу: 1) хэрэв AB = 2 м ба AD = 0.5 м; 2) хэрэв AD = 4 см, DB = 5 см бол; 3) AB=20 м, DB= 15 м бол.
11. AB диаметр; AC хөвч; AD нь түүний AB диаметр дээрх проекц юм. Шаардлагатай:
1) AB = 18 см, АС = 12 см бол AD-ийг тодорхойлно;
2) AC=12 м, AD=4 м бол радиусыг тодорхойлох;
3) АС = 24 см, DB = 7 / 9 AD бол DB-г тодорхойлно.
12. AB диаметр; AC хөвч; AD нь түүний AB диаметр дээрх проекц юм. Шаардлагатай:
1) AB = 35 см, AC = 5AD бол АС-ийг тодорхойлох;
2) радиус байгаа бол хувьсах гүйдлийг тодорхойлно rба AC=DB.
13. Тойрог дотор хоёр хөвч огтлолцоно. Нэг хөвчний сегмент нь 24 см ба 14 см; нөгөө хөвчийн сегментүүдийн нэг нь 28 см-тэй тэнцүү, түүний хоёр дахь сегментийг тодорхойл.
14. Гүүрний ферм нь тойргийн нумаар хязгаарлагддаг (Зураг 38); гүүрний урт AB = 6 м, өндөр A = 1.2 м нумын радиусыг (OM = R) тодорхойлно.
15. AB ба CD хоёр хэрчмүүд M цэг дээр огтлолцох ба MA = 7 см, MB = 21 см,
MC = 3 см ба MD = 16 см A, B, C, D цэгүүд нэг тойрог дээр байрладаг уу?
16. Дүүжингийн урт MA = л= 1 м (Зураг 39), түүний өргөх өндөр, α өнцгөөр хазайсан үед CA = h= 10 см Б цэгийн MA-аас BC зайг ол (BC = X).
17. Төмөр замын өргөнийг шилжүүлэх б= AB байранд 1.524 м (Зураг 40) дугуйрсан; Энэ нь тодорхой болсон; тэр BC= А= 42.4 м муруйлтын радиусыг тодорхойлно OA = R.
18. AMB хөвчийг M цэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр MA сегмент 2 1/2 дахин нэмэгдэнэ. MB сегмент хэрхэн өөрчлөгдсөн бэ?
19. 1) Хоёр огтлолцсон хөвчний нэгийг нь 48 см ба 3 см-ийн хэсгүүдэд хувааж, нөгөөг нь хагасаар нь хуваасан. Хоёр дахь хөвчний уртыг тодорхойл.
2) Хоёр огтлолцсон хөвчний нэг нь 12 м ба 18 м-ийн хэсгүүдэд хуваагдаж, нөгөө нь 3: 8 харьцаатай байв. Хоёр дахь хөвчний уртыг тодорхойл.
20. Хоёр огтлолцсон хөвчний эхнийх нь 32 см, нөгөө хөвчийн хэрчмүүд тэнцүү байна.
12 см ба 16 см-ийн эхний хөвчний хэсгүүдийг тодорхойл.
21. ABC зүсэгчийг гаднах А цэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр түүний гаднах AB сегментийг 3 дахин багасгасан байна. Секантын урт хэрхэн өөрчлөгдсөн бэ?
22. ADB болон AEC нь тойрогтой огтлолцсон хоёр шулуун шугам байх ёстой: эхнийх нь D ба B цэгүүд, хоёр дахь нь E ба C цэгүүд. Шаардлагатай:
1) AD = 5 см, DB = 15 см, АС = 25 см бол AE-ийг тодорхойлох;
2) AB = 24 м, АС = 16 м, ЕС = 10 м бол BD тодорхойлох;
3) AB+AC = 50 м, AD: AE = 3:7 бол AB ба АС-ийг тодорхойлно.
23. Тойргийн радиус нь 7 см бөгөөд төвөөс 9 см зайд байгаа цэгээс тойргийг хагасаар хуваана. Энэ секантын уртыг тодорхойл.
24. MAB ба MCD нь нэг тойргийн хоёр секант юм. Шаардлагатай:
1) MV = 1 м, MD = 15 дм, CD = MA бол CD-г тодорхойлох;
2) MA = 18 см, AB = 12 см ба MC бол MD-ийг тодорхойлно: CD = 5:7;
3) AB = MS, MA = 20, CD = 11 бол AB-ийг тодорхойлно.
25. Хоёр хөвчийг хоорондоо огтлолцох хүртэл сунгана. Хэрэв хөвчүүд тэнцүү бол үүссэн өргөтгөлүүдийн уртыг тодорхойлно АТэгээд б, болон тэдгээрийн үргэлжлэл нь холбоотой байна t:p.
26. Секант ба шүргэгчийг нэг цэгээс тойрог руу татна. Секантын гадна ба дотоод сегментийг дараах тоогоор тус тус илэрхийлсэн бол шүргэгчийн уртыг тодорхойлно уу: 1) 4 ба 5; 2) 2.25 ба 1.75; 3) 1 ба 2.
27. Шүргэгч нь 20 см, ижил цэгээс зурсан хамгийн урт зүсэлт нь 50 см тойргийн радиусыг тодорхойл.
28. Секант нь гаднах сегментээсээ 2 1/4 дахин том. Нэг цэгээс татсан шүргэгчээс хэд дахин их вэ?
29. Хоёр огтлолцсон тойргийн нийтлэг хөвчийг сунгаж, үргэлжлэл дээр авсан цэгээс тэдгээрт шүргэгчийг татна. Тэд тэнцүү гэдгийг батал.
30. А өнцгийн нэг талд дараах сегментүүдийг ар араасаа байрлуулна: AB = 6 см ба ВС = 8 см; нөгөө талд нь AD = 10 см сегмент байна B, C, D цэгүүдээр тойрог зурсан. Энэ тойрогт AD шугам хүрч байгаа эсэх, хэрэв үгүй бол D цэг нь эхний (А-аас тоолох) эсвэл огтлолцлын хоёр дахь цэг байх уу гэдгийг олж мэдээрэй.
31. Нэг тойргийн AB-шүргээ ба ACD-секант байна. Шаардлагатай:
1) AB = 2 см, AD = 4 см бол CD-г тодорхойлох;
2) AC:CD = 4:5, AB = 12 см бол AD-ийг тодорхойлно;
3) AB = CD ба AC = бол AB-г тодорхойлно А.
32. 1) Дэлхийгээс 4 км өндөрт (дэлхийн радиус = 6370 км) дээш өргөгдсөн бөмбөлөгөөс (Зураг 41) хэр хол харагдах вэ?
2) Эльбрус (Кавказ) уул нь далайн түвшнээс дээш 5600 м өндөрт өргөгдсөн бөгөөд энэ уулын оройгоос хэр хол харагдах вэ?
3) М - газраас дээш А метр өндөртэй ажиглалтын цэг (Зураг 42); дэлхийн радиус R, MT= гхамгийн том харагдах зай юм. Үүнийг нотол г= √2R h+ h 2
Сэтгэгдэл.Учир нь h 2R-тэй харьцуулахад жижиг хэмжээтэй учраас 2 hүр дүнд бараг ямар ч нөлөө үзүүлэхгүй бол та ойролцоо томъёог ашиглаж болно г≈ √2R h .
33. 1) Нэг цэгээс ирж буй шүргэгч ба таслах шугамууд нь 20 см ба 40 см-тэй тэнцүү байна; Секант нь төвөөс 8 см зайд байгаа тойргийн радиусыг тодорхойлно.
2) Хэрэв тэдгээр нь тус тус 4 см ба 8 см-тэй тэнцүү бол төвөөс шүргэгч ба зүсэлт гарч ирэх цэг хүртэлх зайг тодорхойл, мөн секантыг төвөөс зайлуулна.
12 см.
34. 1) Шүргэгч ба секантыг нийтлэг цэгээс тойрог руу татсан. Шүргэгчийн урт нь секантын гаднах сегментээс 5 см их, дотоод хэрчмээс ижил хэмжээгээр бага байвал түүнийг тодорхойлно.
2) Секант ба шүргэгчийг нэг цэгээс тойрог хүртэл зурсан. Секант нь тэнцүү байна А, мөн түүний дотоод сегмент нь шүргэгчийн уртаар гаднах сегментээс их байна. Тангенсыг тодорхойл.
36. Нэг цэгээс нэг тойрог руу шүргэгч ба секант зурсан. Шүргэгч нь секантийн дотоод ба гадаад сегментээс 2 см ба 4 см-ээр их байна.
36. Нэг цэгээс тойрог руу шүргэгч ба секант зурсан. Хэрэв шүргэгч нь секантын дотоод сегментээс 20 см бага, гаднах сегментээс 8 см илүү байвал тэдгээрийн уртыг тодорхойлно.
37. 1) Секант ба шүргэгчийг нэг цэгээс тойрог руу татсан. Тэдний нийлбэр нь 30 см, секантын дотоод сегмент нь шүргэгчээс 2 см бага байна. Секанс ба шүргэгчийг тодорхойлно.
2) Секант ба шүргэгчийг нэг цэгээс тойрог хүртэл зурсан. Тэдний нийлбэр нь 15 см, секантын гаднах хэсэг нь шүргэгчээс 2 см бага байна. Секанс ба шүргэгчийг тодорхойлно.
38. AB сегментийг ВС зайд сунгасан. Тойрог диаметртэй адил AB ба AC дээр бүтээдэг. В цэг дээр АС хэрчмийг том тойрогтой огтлолцох хүртэл перпендикуляр BD татна. C цэгээс жижиг тойрог руу шүргэгч CK татагдана. CD = SC гэдгийг батал.
39. Хоёр параллель шүргэгч ба тэдгээрийг огтолж буй гурав дахь шүргэгчийг өгөгдсөн тойрог руу татав. Радиус нь гурав дахь шүргэгчийн сегментүүдийн хоорондох дундаж пропорциональ юм. Нотлох.
40. Нэг нэгнээсээ 15 дм зайтай хоёр зэрэгцээ шугам өгөгдсөн; тэдгээрийн хооронд нэг цэгээс 3 дм зайд M цэг өгөгдсөн. М цэгээр хоёр параллельтай шүргэгч тойрог зурав. Эдгээр параллелуудын аль нэг дээрх төв ба М цэгийн проекцуудын хоорондох зайг тодорхойл.
41. Радиустай тойрог дотор rөндөр ба суурийн нийлбэр нь тойргийн диаметртэй тэнцүү тэгш өнцөгт гурвалжинг бичжээ. Өндөрийг тодорхойлох.
42. Адил өнцөгт гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг тодорхойл: 1) суурь нь 16 см, өндөр нь 4 см бол; 2) хажуу тал нь 12 дм, өндөр нь 9 дм; 3) хажуу тал нь 15 м, суурь нь 18 м бол.
43. Тэгш өнцөгт гурвалжинд суурь нь 48 дм, тал нь 30 дм байна. Хязгаарлагдсан ба бичээстэй тойргийн радиус, тэдгээрийн төвүүдийн хоорондох зайг тодорхойл.
44. Радиус нь r, энэ нумын хөвч нь тэнцүү байна А. Давхар нумын хөвчийг тодорхойл.
45. Тойргийн радиус нь 8 дм; AB хөвч нь 12 дм. А цэгээр шүргэгч татагдах ба В цэгээс шүргэгчтэй параллель BC хөвч байна. Онгоцны шүргэгч ба хөвч хоорондын зайг тодорхойл.
46. А цэгийг MN шугамаас хол зайд устгасан -тай. Өгөгдсөн радиус rтойрог нь А цэгийг дайран MN шулуунд хүрэхээр дүрслэгдсэн байна. Хүлээн авсан шүргэх цэг ба өгөгдсөн А цэгийн хоорондох зайг тодорхойл.
Теорем 111. 1) Тойргийн аль ч цэгээс диаметр рүү татсан перпендикуляр нь диаметрийн хэсгүүдийн хооронд дунджаар пропорциональ байна. Энэ перпендикулярыг заримдаа ординат гэж нэрлэдэг.
2) Диаметрийн төгсгөлийг тойрог дээрх цэгтэй холбосон хөвч нь голч ба хөвчтэй зэргэлдээх сегментийн хооронд дунджаар пропорциональ байна.
Өгсөн. Тойргийн зарим С цэгээс перпендикуляр CD-г AB диаметр хүртэл буулгая (Зураг 169).
Та 1) AD/CD = CD/DB, мөн 2) AD/AC = AC/AB гэдгийг батлах хэрэгтэй.
Баталгаа. С цэгийг AB диаметрийн төгсгөлүүдтэй холбоно, тэгвэл С цэг дээр ACB зөв өнцөг үүснэ, CD сегмент нь баруун өнцгийн оройноос гипотенуз руу унасан перпендикуляр байна.
Теорем 100-д үндэслэн дараахь пропорциональ байна.
Теорем 101 пропорц дээр үндэслэсэн:
AD/AC = AC/AB, DB/CB = CB/AB (1)
Үр дагавар. Хөвчний квадратуудыг харгалзах диаметртэй сегмент гэж үздэг.
Баталгаа. Пропорциональ (1)-ээс тэнцүү байна:
AC 2 = AB AD, CB 2 = AB BD
Эндээс бид хуваах замаар олдог:
AC 2 /CB 2 = AD/DB.
Теорем 112. Огтлолцсон хөвчний хэсгүүд нь хоорондоо урвуу пропорциональ байна.
AB ба CD огтлолцсон хоёр хөвч өгөгдсөн (Зураг 170).
Үүнийг нотлох шаардлагатай
өөрөөр хэлбэл эхний хөвчний том хэсэг нь хоёр дахь хөвчийн жижиг хэсэг нь эхний хэсгийн жижиг хэсэгтэй адил хоёр дахь хөвчийн том хэсэг юм..
Баталгаа. А цэгийг С, В цэгийг D-тэй холбоно, тэгвэл ижил төстэй хоёр гурвалжин ACE ба DBE үүснэ, учир нь Е цэгийн өнцөг нь босоо тэнхлэгтэй тэнцүү, ∠CAB = ∠CDB нь CB нумын төгсгөлүүд дээр тулгуурладаг тул ∠ACD. = ∠ABD нумын төгсгөлүүд дээр тулгуурласан A.D.
ACE ба DBE гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас харахад пропорц нь дараах байдалтай байна.
BE/DE = CE/AE (a)
(a) пропорцоос тэгш байдал дараах байдалтай байна.
BE · AE = DE · CE
нэг хөвчний сегментүүдийн үржвэр нь өөр хөвчний сегментүүдийн үржвэртэй тэнцүү болохыг харуулж байна.
Теорем 113. Тойргийн гаднах нэг цэгээс зурсан хоёр зүсэлт нь тэдгээрийн гаднах хэсгүүдтэй урвуу пропорциональ байна.
А цэгээс авсан AB ба AC хоёр секант өгөгдсөн (Зураг 171).
Үүнийг нотлох шаардлагатай
өөрөөр хэлбэл, эхний секант нь хоёр дахь нь гаднах хэсэг нь эхний секантын гаднах хэсэгтэй холбоотой байдаг шиг.
Баталгаа. D цэгийг C, B цэгийг E цэгүүдтэй холбоно.
Хоёр гурвалжин ∠ABE болон ∠ADC нь ижил төстэй, учир нь А өнцөг нь нийтлэг, B = C нь ижил DE нумын төгсгөлүүдээр бэхлэгдсэн тул ∠ADC = ∠AEB байна.
ADC ба ABE гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас үзэхэд пропорц нь дараах байдалтай байна.
AC/AB = AD/AE (CHD).
Үүнээс ижил харьцаа нь тэгш байдлыг дагаж мөрддөг
AC · AE = AB · AD
гэдгийг харуулж байна секант ба түүний гаднах сегментийн үржвэр нь өөр секант ба түүний сегментийн үржвэртэй тэнцүү байна(хэрэв секантууд ижил цэгээс гарвал).
Теорем 114. Шүргэх нь бүхэлдээ секант ба түүний гаднах хэсгийн хооронд дунджаар пропорциональ байна.
Шүргэгчийн AB ба секантын BC өгөгдсөн (Зураг 172).
Үүнийг нотлох шаардлагатай
Баталгаа. А цэгийг C ба D цэгүүдтэй холбоно.
ABC ба ABD гурвалжин нь ижил төстэй, учир нь B өнцөг нийтлэг, ∠BAD = ∠ACD, тиймээс ∠CAB = ∠ADB.
BC/AB = AB/BD (CHD).
Энэ харьцаанаас тэгш байдал дараах байдалтай байна.
AB 2 = BC BD
гэдгийг харуулж байна шүргэгчийн квадрат нь секант ба түүний гадна хэсгийн үржвэртэй тэнцүү байна.
Цикл дөрвөлжингийн талуудын шинж чанар
Теорем 115. Тойрог дотор бичсэн дөрвөн өнцөгтийн диагональуудын үржвэр нь эсрэг талын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Птолемейгийн теорем гэгддэг энэхүү таамаглал МЭ 2-р зуунд Птолемейгийн "Алагесте" бүтээлд анх удаа гарчээ.
Цикл дөрвөлжин ABCD өгөгдсөн (Зураг 173), AC ба BD диагональуудыг зурсан.
Бид AC · BD = AB · CD + BC · AD гэдгийг батлах хэрэгтэй.
Баталгаа. EBC өнцөг нь ABD өнцөгтэй тэнцүү байхаар BE шулуун зуръя. ABD ба BEC хоёр гурвалжин нь ижил төстэй, учир нь ∠ABD = ∠CBE бүтэцтэй, ∠ADB = ∠BCE нь ижил AB нуман дээр тулгуурладаг тул,
Эдгээр гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас хамааран харьцаа дараах байдалтай байна.
BC/BD = EC/AD (a)
ABE ба BCD гурвалжин нь төстэй, учир нь ∠ABE = ∠DBC хийц, ∠BAE = ∠BDC нь BC нумаар дэмжигддэг тул,
∠BEA = ∠BCD.
Эдгээр гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас хамааран харьцаа дараах байдалтай байна.
AB/BD = AE/CD (б)
(a) ба (b) пропорцуудаас тэгшитгэл гарч ирнэ.
BC AD = BD EC
AB · CD = BD · AE
Эдгээр тэгш байдлыг нэмбэл бид:
МЭӨ AD + AB CD = BD EC + BD AE = BD (EC + AE)
EC + AE = AC тул
Б.Д · AC = BC · AD + AB · CD (CHT).
Теорем 116. Аливаа мөчлөгт дөрвөн өнцөгт диагональ нь диагональуудын төгсгөлд тулгуурласан талуудын үржвэрийн нийлбэр юм.
Цикл дөрвөлжин ABCD өгөгдсөн (Зураг 174), AC ба BD диагональуудыг зурсан.
Үүнийг нотлох шаардлагатай
BD/AC = (AD DC + AB BC) / (BC CD + AD AB)
Баталгаа. a) В цэгээс бид DC-тэй тэнцүү BE нум зурж, E цэгийг A, B, D цэгүүдтэй холбоно.
Цикл дөрвөлжин ABED-ийн хувьд тэгш байдал нь:
AE · BD = AD · BE + AB · DE.
BE = CD хийцээр, DE = BC, ◡DE = ◡DC + ◡CE ба ◡BC = ◡BE + ◡CE тул.
BE ба DE-г утгуудаар нь орлуулснаар бид тэгш эрхтэй болно:
AE · BD = AD · CD + AB · BC (a)
б) А цэгээс AF нумыг ВС нумантай тэнцүү хойшлуулж, F цэгийг A, D, C цэгүүдтэй холбосноор бид AFCD дөрвөлжингийн тэгшитгэлтэй болно:
AC · DF = AF · CD + AD · CF
Энэ тэгшитгэлд AF = BC хийцээр, CF = AB (◡CF = ◡BC + ◡BF ба ◡AB = ◡AF + ◡BF = ◡BC + ◡BF-ийн хувьд)
AF ба CF-ийн утгыг утгаараа орлуулснаар бид тэгш байдлыг олж авна.
AC DF = BC CD + AD AB (b)
(a) ба (b) тэгшитгэлд AE ба DF сегментүүд тэнцүү байна, учир нь
◡ADE = AD + DE = ◡AD + ◡BC = ◡AD + ◡AF = ◡DAF
(a) ба (b) тэгшитгэлийг салгаснаар бид дараахь зүйлийг олно.
МЭӨ/МЭ = (МЭ C D + AB · МЭӨ) / (BC · CD + AD · AB)(CHTD).
ABC гурвалжин тэгш өнцөгт хэлбэртэй (Зураг 11), C = 90°, CD нь AB-д перпендикуляр, BD ба DA нь ВС ба АС хөлүүдийн AB гипотенуз дээрх проекцууд юм. Теоремууд: 1) баруун өнцгийн оройгоос гипотенуз хүртэл зурсан өндөр нь гипотенуз руу чиглэсэн хөлний проекцуудын хоорондох дундаж пропорциональ утга, өөрөөр хэлбэл. ; 2) хөл тус бүр нь гипотенуз ба энэ хөлний гипотенуз дээрх проекцын хоорондох дундаж пропорциональ утга, өөрөөр хэлбэл, .
Пифагорын теорем. Гипотенузын квадрат нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.
|
|
Теорем. Дотор авсан цэгээр дамжуулан бол
тойрог, диаметр болон дурын хөвч зурсан,
дараа нь диаметртэй сегментүүдийн уртын үржвэр тэнцүү байна
гэхдээ хөвчний сегментүүдийн уртын үржвэрт, өөрөөр хэлбэл. (Зураг 12).
|
Үр дагавар. Осолцож буй хөвчүүдийн сегментүүдийн уртын бүтээгдэхүүнүүд тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.
Теорем. Хэрэв тойргийн гаднах цэгээс шүргэгч ба секантыг зурсан бол бүхэл секант ба түүний гаднах хэсгийн үржвэр нь шүргэгчийн квадраттай тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. (Зураг 13).
|
Тодорхойлолт. Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн синус нь энэ өнцгийн эсрэг талын хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа, косинус нь зэргэлдээх хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа, тангенс нь эсрэг талын хөлийг зэргэлдээхтэй харьцуулсан харьцаа, котангенс юм. зэргэлдээх хөлний эсрэг талын харьцаа.
Тойргийн гаднах А цэгээс шүргэгч ба секант зурсан. А цэгээс шүргэх цэг хүртэлх зай нь 16 см, харин А цэгээс тойрогтой огтлолцох цэгүүдийн аль нэг нь 32 см бөгөөд хэрвээ зүсэгч төвөөсөө 5 см зайтай байвал тойргийн радиусыг ол.
|
Зураг дээр. 14 AB – төв O бүхий тойрогтой шүргэгч, AD – секант. OK нь DC-д перпендикуляр, AB = 16 см, AD = 32 см, OK = 5 см шүргэгч ба секантын тухай теоремоор эсвэл тойрог дотор огтлолцох хөвчүүдийн тухай теоремыг харна уу, гэхдээ DK = KC , тиймээс EP нь хөвч DC перпендикуляр диаметр юм. Бид авах болно. Энэ тэгшитгэлд бид EK-ийг , KR-ийг , DK-г 12-оор сольж, бид дараахийг авна: OE = 13 см – шаардлагатай радиус.
104. Тэгш өнцөгтийн талууд 30 ба 40 см зайг ол
тэгш өнцөгтийн оройноос энэ оройгоор дамждаггүй диагональ хүртэл.
105. Ромбын периметр нь нэг диагональ нь нөгөөгөөсөө урт
1 дм. Ромбын диагональуудыг тооцоол.
Тойрог дээр 36 ба 48 мм урттай зэрэгцээ хөвчийг төвийн эсрэг талд зурсан бөгөөд тэдгээрийн хоорондох зай нь 42 мм байна. Тойргийн радиусыг тооцоол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны хөлүүд нь 5:6 харьцаатай, гипотенуз нь 122 см өндөрт таслагдсан хэсгүүдийг ол.
Нэг цэгээс тойрог руу татсан шүргэгч ба секант нь харилцан перпендикуляр байна. Шүргэх нь 12, секантын дотоод хэсэг 10. Тойргийн радиусыг ол.
Төвөөс 25 см-ийн зайд орших нэг цэгээс 7 см радиустай тойрог руу хоёр шүргэгчийг татав.
Хоёр төвтэй тойргийн үүсгэсэн цагирагийн өргөн нь 8 дм, жижиг тойргийн шүргэгч нь 4 м тойргийн радиусыг ол.
Тойргийн радиус нь төвөөс хол зайд 7 см байна
9 см-ийн зайтай, тойрог замаар тэнцүү хэсгүүдэд хуваагдахын тулд секант зурсан. Энэ секантын уртыг ол.
Тойрогтой шүргэгч нь 20 см, ижил цэгээс зурсан хамгийн урт зүсэлт нь 50 см радиусыг ол.
Шүргэгч ба секантыг нэг цэгээс тойрог руу зурсан бөгөөд түүний урт нь a бөгөөд түүний дотоод сегмент нь шүргэгчийн уртаар гаднах сегментээс их байна. Шүргэгчийн уртыг ол.
R радиустай тойрогт ижил өнцөгт гурвалжинг бичсэн бөгөөд түүний өндөр ба суурийн нийлбэр нь тойргийн диаметртэй тэнцүү байна. Гурвалжны өндрийг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжинд суурь ба тал нь тус тус 48 ба 30 инч байна. Хязгаарлагдмал, бичээстэй тойргийн радиус, тэдгээрийн төвүүдийн хоорондох зайг тооцоол.
Өгөгдсөн тойргийн гаднах А цэгээс авсан АС-ийг эхлээд авч үзье (Зураг 288). Үүнтэй ижил цэгээс бид шүргэгч AT зурдаг. Бид А цэг ба тойргийн гаднах хэсэгтэй хамгийн ойр огтлолцох цэгийн хоорондох сегментийг секант гэж нэрлэх болно (Зураг 288-д AB сегмент), харин огтлолцлын хоёр цэгээс илүү алслагдсан AC сегментийг энгийнээр хэлнэ. секант. А цэгээс шүргэгч цэг хүртэлх шүргэгч сегментийг мөн товчоор шүргэгч гэж нэрлэдэг. Тэгвэл шударга байна
Теорем. Секантын үржвэр ба түүний гаднах хэсэг нь шүргэгчийн квадраттай тэнцүү байна.
Баталгаа. Цэгүүдийг холбоно. ACT ба BT A гурвалжин нь ижил төстэй, учир нь А орой дээрх өнцөг нийтлэг, ACT өнцөг нь тэнцүү, учир нь хоёулаа ижил нумын ТВ-ийн хагасаар хэмжигддэг. Тиймээс эндээс бид шаардлагатай үр дүнг авна:
Шүргэх нь ижил цэгээс татсан зүсэлт ба түүний гаднах хэсгийн хоорондох геометрийн дундажтай тэнцүү байна.
Үр дагавар. Өгөгдсөн А цэгээр татсан аливаа секантын хувьд түүний урт ба гадаад хэсгийн үржвэр тогтмол байна.
Одоо дотоод цэг дээр огтлолцох хөвчийг авч үзье. Энэ мэдэгдэл үнэн:
Хэрэв хоёр хөвч огтлолцсон бол нэг хөвчний сегментүүдийн үржвэр нь нөгөө хөвчний сегментүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна (хөвчийг огтлолцох цэгээр хуваасан сегментийг хэлнэ).
Тиймээс, Зураг дээр. 289 хөвч AB ба CD нь M цэг дээр огтлолцдог ба бид өөрөөр хэлбэл,
Өгөгдсөн M цэгийн хувьд түүнийг дайран өнгөрөх ямар ч хөвчийг хуваах сегментүүдийн үржвэр тогтмол байна.
Үүнийг батлахын тулд бид MBC ба MAD гурвалжин ижил төстэй болохыг тэмдэглэж байна: CMV ба DMA өнцөг нь босоо, MAD ба MCB өнцөг нь нэг нуман дээр байрладаг. Эндээс бид олдог
Q.E.D.
Хэрэв өгөгдсөн M цэг төвөөс l зайд оршдог бол түүний дундуур диаметрийг зурж, хөвчүүдийн аль нэг гэж үзвэл диаметрийн сегментүүдийн үржвэр, тиймээс бусад хөвчний үржвэр тэнцүү болохыг олж мэднэ. М-ээр дамжин өнгөрөх хамгийн бага хагас хөвчний квадрат руу (заасан диаметртэй перпендикуляр).
Хөвчний сегментүүдийн үржвэрийн тогтмол байдлын тухай теорем ба секант ба түүний гадаад хэсгийн үржвэрийн тогтмол байдлын тухай теорем нь ижил мэдэгдлийн хоёр тохиолдол юм тойргийн дотоод цэг. Одоо бид мөчлөгийн дөрвөн өнцөгтийг ялгах өөр нэг шинж чанарыг тодорхойлж болно:
Аливаа мөчлөгт дөрвөн өнцөгтийн хувьд диагональуудыг огтлолцох цэгээр нь хуваасан бүтээгдэхүүнүүд тэнцүү байна.
Диагональууд нь тойргийн хөвч байх тул нөхцөлийн хэрэгцээ нь тодорхой юм. Энэ нөхцөл нь бас хангалттай гэдгийг харуулж болно.
Үл хөдлөх хөрөнгө 1 . Хэрэв тойргийн AB ба CD хөвчүүд S цэг дээр огтлолцвол AS BS = CS DS, өөрөөр хэлбэл DS/BS = AS/CS болно.
Баталгаа. Эхлээд ASD болон CSB гурвалжин ижил төстэй гэдгийг баталцгаая.
DCB ба DAB бичээстэй өнцгүүд нь ижил нумаар оршдог мэт тэнцүү байна.
ASD болон BSC өнцгүүд нь босоо тэнхлэгтэй тэнцүү байна.
Заасан өнцгүүдийн тэгш байдлаас харахад ASD ба CSB гурвалжин ижил төстэй байна. Гурвалжны ижил төстэй байдлаас пропорцийг дагадаг
DS/BS = AS/CS, эсвэл AS BS = CS DS,
Q.E.D.
Өмч 2. Хэрэв P цэгээс тойрог руу A, B, C, D цэгүүдээр тойргийг огтлолцсон хоёр секант зурвал AP/CP = DP/BP болно.
Баталгаа. Р цэгт хамгийн ойр байгаа тойрогтой секантын огтлолцлын цэгийг А ба С гэж үзье. Гурвалжин PAD ба ПХБ нь ижил төстэй. Тэдгээр нь P орой дээр нийтлэг өнцөгтэй бөгөөд B ба D өнцөг нь бичээстэй тэнцүү бөгөөд нэг нуман дээр байрладаг. Гурвалжингийн ижил төстэй байдлаас харахад AP/CP = DP/BP харьцаа гарч ирдэг бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай байна.
Гурвалжны өнцгийн биссектрисын шинж чанар
Гурвалжны өнцгийн биссектриса нь эсрэг талыг нөгөө хоёр талтай пропорциональ хэсгүүдэд хуваадаг.
Баталгаа. CD-г ABC гурвалжны биссектриса гэж үзье. Хэрэв ABC гурвалжин нь AB суурьтай тэгш өнцөгт байвал биссектрисагийн заасан шинж чанар нь тодорхой байна, учир нь энэ тохиолдолд биссектриса нь мөн медиан болно. АС нь BC-тэй тэнцүү биш байх ерөнхий тохиолдлыг авч үзье. А ба В оройноос AF ба BE перпендикуляруудыг CD шулуун дээр буулгая. ACF ба VSE тэгш өнцөгт гурвалжнууд нь C орой дээр ижил хурц өнцөгтэй тул ижил төстэй байна.
Гурвалжны ижил төстэй байдлаас харахад талуудын пропорциональ байдал дараах байдалтай байна: AC/BC = AF/BE. ADF ба BDE тэгш өнцөгт гурвалжин нь мөн адил. Тэдний D орой дээрх өнцөг нь босоо өнцөгтэй тэнцүү байна. Ижил төстэй байдлаас үзвэл: AF/BE = AD/BD. Энэ тэгшитгэлийг өмнөхтэй харьцуулж үзвэл бид: AC/BC = AD/BD эсвэл AC/AD = BC/BD, өөрөөр хэлбэл AD ба BD нь AC ба BC талуудтай пропорциональ байна.
