\[(\Том(\текст(Төв ба бичээстэй өнцөг)))\]
Тодорхойлолт
Төв өнцөг нь орой нь тойргийн төвд байрлах өнцөг юм.
Орой нь тойрог дээр байрлах өнцгийг бичээстэй өнцөг гэнэ.
Тойргийн нумын градусын хэмжүүр нь түүнийг орлож буй төв өнцгийн градусын хэмжүүр юм.
Теорем
Бичигдсэн өнцгийн хэмжүүр нь түүний тулгуурласан нумын хэмжүүрийн хагастай тэнцүү байна.
Баталгаа
Бид нотлох баримтыг хоёр үе шаттайгаар явуулна: нэгдүгээрт, бичээстэй өнцгийн аль нэг тал нь диаметртэй байх тохиолдолд мэдэгдлийн үнэн зөвийг нотлох болно. \(B\) цэгийг \(ABC\) бичээстэй өнцгийн орой, \(BC\) нь тойргийн диаметр гэж үзье.
Гурвалжин \(AOB\) нь ижил өнцөгт, \(AO = OB\) , \(\өнцгийн AOC\) нь гадаад, тэгвэл \(\ өнцөг AOC = \ өнцөг OAB + \ өнцөг ABO = 2 \ өнцөг ABC \), хаана \(\өнцөг ABC = 0.5\cdot\өнцөг AOC = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
Одоо дурын бичээстэй өнцгийг авч үзье \(ABC\) . Бичсэн өнцгийн оройноос \(BD\) тойргийн диаметрийг зуръя. Хоёр боломжит тохиолдол байдаг:
1) диаметр нь өнцгийг хоёр өнцөгт хуваана \(\өнцөг ABD, \өнцөг CBD\) (тэдгээрийн хувьд дээр дурдсан теорем үнэн тул эдгээрийн нийлбэр болох анхны өнцгийн хувьд ч мөн адил байна. хоёр ба тиймээс тэдгээрийн тулгуурласан нумын нийлбэрийн хагастай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл тулгуурласан нумын хагастай тэнцүү). Цагаан будаа. 1.
2) диаметр нь өнцгийг хоёр өнцгөөр таслаагүй, тэгвэл бид дахин хоёр шинэ бичээстэй өнцөгтэй байна \(\angle ABD, \angle CBD\), тэдгээрийн тал нь диаметрийг агуулдаг тул теорем нь тэдний хувьд үнэн юм. анхны өнцгийн хувьд мөн үнэн (энэ нь эдгээр хоёр өнцгийн зөрүүтэй тэнцүү, энэ нь тэдгээрийн тулгуурласан нумын зөрүүний хагастай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, түүний тулгуурласан нумын хагастай тэнцүү байна). Цагаан будаа. 2.
Үр дагавар
1. Ижил нуманд оршдог бичээстэй өнцгүүд тэнцүү байна.
2. Хагас тойрогт хүрээлэгдсэн бичээстэй өнцөг нь тэгш өнцөг юм.
3. Бичигдсэн өнцөг нь ижил нумын дагуух төв өнцгийн хагастай тэнцүү байна.
\[(\Том(\текст(Тойрогтой шүргэгч)))\]
Тодорхойлолт
Шугаман ба тойргийн харьцангуй байрлалын гурван төрөл байдаг.
1) шулуун шугам \(a\) тойргийг хоёр цэгээр огтолж байна. Ийм шугамыг секант гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд тойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэлх зай \(d\) тойргийн радиусаас бага байна \(R\) (Зураг 3).
2) шулуун шугам \(b\) тойргийг нэг цэгээр огтолно. Ийм шулууныг шүргэгч гэж нэрлэдэг ба тэдгээрийн нийтлэг цэгийг \(B\) шүргэгч цэг гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд \(d=R\) (Зураг 4).
Теорем
1. Тойрогтой шүргэгч нь шүргэлтийн цэг рүү татсан радиустай перпендикуляр байна.
2. Тойргийн радиусын төгсгөлийг дайран өнгөрөх шулуун нь энэ радиустай перпендикуляр байвал тойрогтой шүргэнэ.
Үр дагавар
Нэг цэгээс тойрог хүртэл зурсан шүргэгч хэрчмүүд тэнцүү байна.
Баталгаа
\(K\) цэгээс тойрог руу \(KA\) ба \(KB\) хоёр тангенс зуръя:
Энэ нь \(OA\perp KA, OB\perp KB\) нь радиустай адил гэсэн үг. Тэгш өнцөгт гурвалжин \(\гурвалжин KAO\) ба \(\гурвалжин KBO\) нь хөл ба гипотенузын хувьд тэнцүү тул \(KA=KB\) .
Үр дагавар
\(O\) тойргийн төв нь ижил цэгээс татсан хоёр шүргэгчээс үүссэн \(АКБ\) өнцгийн биссектрист байрладаг \(K\) .
\[(\Том(\текст(Өнцөгтэй холбоотой теоремууд)))\]
Секантын хоорондох өнцгийн тухай теорем
Нэг цэгээс зурсан хоёр секантын хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн зүссэн том ба жижиг нумын градусын хэмжүүрийн хагасын зөрүүтэй тэнцүү байна.
Баталгаа
Зурагт үзүүлсэн шиг хоёр секант зурсан цэгийг \(M\) гэж үзье.
Үүнийг харуулъя \(\ өнцөг DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\DAB өнцөг\) нь \(MAD\) гурвалжны гадаад өнцөг юм \(\өнцгийн DAB = \өнцгийн DMB + \өнцгийн MDA\), хаана \(\өнцгийн DMB = \өнцгийн DAB - \өнцгийн MDA\), гэхдээ \(\өнцөг DAB\) ба \(\өнцөг MDA\) нь бичээстэй байна. \(\өнцгийн DMB = \өнцгийн DAB - \өнцөг MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), энэ нь нотлох шаардлагатай байсан юм.
огтлолцох хөвч хоорондын өнцгийн тухай теорем
Хоёр огтлолцсон хөвчний хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн зүссэн нумын хэмжүүрийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна. \[\өнцгийн CMD=\dfrac12\зүүн(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\баруун)\]
Баталгаа
\(\өнцгийн BMA = \өнцгийн CMD\) босоо байдлаар.
\(AMD\) гурвалжингаас: \(\өнцгийн AMD = 180^\circ - \өнцгийн BDA - \өнцгийн CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
Гэхдээ \(\өнцгийн AMD = 180^\circ - \өнцгийн CMD\), үүнээс бид ингэж дүгнэж байна \[\ өнцөг CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ инээмсэглэх\over(CD)).\]
Хөвч ба шүргэгчийн хоорондох өнцгийн тухай теорем
Шүргэх цэгийг дайран өнгөрч буй шүргэгч ба хөвчний хоорондох өнцөг нь хөвчний дагуух нумын хэмжүүрийн хагастай тэнцүү байна.
Баталгаа
\(a\) шулуун шугамыг \(A\) цэгийн тойрогт хүргээрэй, \(AB\) нь энэ тойргийн хөвч, \(O\) нь түүний төв юм. \(OB\)-г агуулсан шугамыг \(a\) \(M\) цэг дээр огтолцгооё. Үүнийг баталцгаая \(\ өнцөг BAM = \frac12\cdot \buildrel\инээмсэглэл(AB)\).
\(\ өнцөг OAB = \альфа\) гэж тэмдэглэе. \(OA\) ба \(OB\) нь радиус тул \(OA = OB\) ба \(\ өнцөг OBA = \ өнцөг OAB = \альфа\). Тиймээс, \(\buildrel\smile\over(AB) = \өнцөг AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
\(OA\) нь шүргэгч цэг рүү татсан радиус тул \(OA\perp a\), өөрөөр хэлбэл \(\өнцөг OAM = 90^\circ\), тиймээс, \(\ өнцөг BAM = 90^\circ - \өнцөг OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
Тэнцүү хөвчтэй нумануудын тухай теорем
Тэнцүү хөвч нь хагас тойргоос бага тэнцүү нумуудыг агуулна.
Мөн эсрэгээр: тэнцүү нумууд нь ижил хөвчүүдээр хуваагддаг.
Баталгаа
1) \(AB=CD\) гэж үзье. Нумын жижиг хагас тойрог гэдгийг баталцгаая.
Тиймээс гурван тал дээр \(\өнцөг AOB=\өнцгийн COD\) . Гэхдээ учир нь \(\өнцөг AOB, \өнцөг COD\) - нумаар дэмжигдсэн төв өнцгүүд \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)үүний дагуу, тэгвэл \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) Хэрэв \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), Тэр \(\гурвалжин AOB=\гурвалжин COD\)хоёр талд \(AO=BO=CO=DO\) ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг \(\өнцөг AOB=\өнцөг COD\) . Тиймээс, мөн \(AB=CD\) .
Теорем
Хэрэв радиус нь хөвчийг хоёр хуваасан бол түүнд перпендикуляр байна.
Эсрэг заалт нь бас үнэн юм: хэрэв радиус нь хөвчтэй перпендикуляр байвал огтлолцох цэг дээр түүнийг хоёр хуваана.
Баталгаа
1) \(AN=NB\) гэж үзье. \(OQ\perp AB\) гэдгийг баталцгаая.
\(\ гурвалжин AOB\) -ийг авч үзье: энэ нь хоёр талт, учир нь \(OA=OB\) – тойргийн радиус. Учир нь \(ON\) нь суурь руу татсан медиан бөгөөд энэ нь мөн өндөр байх тул \(ON\perp AB\) .
2) \(OQ\perp AB\) гэж үзье. \(AN=NB\) гэдгийг баталцгаая.
Үүний нэгэн адил \(\гурвалжин AOB\) нь ижил өнцөгт, \(ON\) нь өндөр, тиймээс \(ON\) нь медиан юм. Тиймээс \(AN=NB\) .
\[(\Том(\текст(Хэсгүүдийн урттай холбоотой теоремууд)))\]
Хөвчний сегментүүдийн үржвэрийн тухай теорем
Хэрэв тойргийн хоёр хөвч огтлолцож байвал нэг хөвчний сегментүүдийн үржвэр нь нөгөө хөвчний сегментүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна.
Баталгаа
\(AB\) ба \(CD\) хөвчийг \(E\) цэг дээр огтолцгооё.
\(ADE\) ба \(CBE\) гурвалжнуудыг авч үзье. Эдгээр гурвалжинд \(1\) ба \(2\) өнцгүүд нь тэнцүү, учир нь тэдгээр нь нэг нуман дээр бичигдсэн, тулгуурласан \(BD\), \(3\) ба \(4\) өнцөг нь тэнцүү байна. босоо байдлаар. \(ADE\) ба \(CBE\) гурвалжин нь ижил төстэй (гурвалжны ижил төстэй байдлын эхний шалгуур дээр үндэслэсэн).
Дараа нь \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), хаанаас \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .
Тангенс ба секантын теорем
Шүргэдэг сегментийн квадрат нь секанс ба түүний гаднах хэсгийн үржвэртэй тэнцүү байна.
Баталгаа
Шүргээг \(M\) цэгээр дамжуулж \(A\) цэгийн тойрогт хүрнэ. Секант \(M\) цэгээр дамжин \(B\) ба \(C\) цэгүүдээр тойргийг огтолж \(MB) болгоно.< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
\(MBA\) ба \(MCA\) гурвалжнуудыг авч үзье: \(\ өнцөг M\) нийтлэг, \(\өнцгийн BCA = 0.5\cdot\buildrel\инээмсэглэл(AB)\). Тангенс ба секантын хоорондох өнцгийн тухай теоремын дагуу. \(\өнцгийн BAM = 0.5\cdot\buildrel\инээмсэглэл(AB) = \өнцгийн BCA\). Тиймээс \(MBA\) ба \(MCA\) гурвалжин нь хоёр өнцгөөр ижил төстэй байна.
\(MBA\) ба \(MCA\) гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас бид: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), энэ нь \(MB\cdot MC = MA^2\) -тай тэнцэнэ.
Үр дагавар
\(O\) цэгээс зурсан зүсэлтийн үржвэр нь \(O\) цэгээс зурсан зүсэгчийн сонголтоос хамаарахгүй.
§ 1 Эсрэг теорем
Энэ хичээлээр бид аль теоремыг эсрэг гэж нэрлэдэгийг олж мэдэх, эсрэг теоремуудын жишээг өгөх, хоёр зэрэгцээ болон хөндлөн шугамаар үүссэн өнцгийн тухай теоремуудыг томьёолж, зөрчилдөөнөөр нотлох аргатай танилцах болно.
Төрөл бүрийн геометрийн дүрсийг судлахдаа тодорхойлолтыг ихэвчлэн томъёолж, теоремуудыг баталж, теоремоос гарсан үр дүнг авч үздэг. Теорем бүр нөхцөл ба дүгнэлт гэсэн хоёр хэсэгтэй.
Теоремын нөхцөл нь өгөгдсөн зүйл, дүгнэлт нь нотлох шаардлагатай зүйл юм. Ихэнх тохиолдолд теоремын нөхцөл нь "хэрэв" гэсэн үгээр эхэлж, дүгнэлт нь "тэгвэл" гэсэн үгээр эхэлдэг. Жишээлбэл, ижил өнцөгт гурвалжны шинж чанаруудын тухай теоремыг дараах байдлаар томъёолж болно: "Хэрэв гурвалжин ижил өнцөгт байвал түүний суурийн өнцөг нь тэнцүү байна." “Хэрвээ гурвалжин ижил өнцөгт байвал” теоремын эхний хэсэг нь теоремын нөхцөл, “түүний суурийн өнцөг тэнцүү байна” гэсэн теоремын хоёрдугаар хэсэг нь теоремын дүгнэлт болно.
Нөхцөл ба дүгнэлтийг сольсон теоремыг урвуу теорем гэнэ. Тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанаруудын тухай теоремын эсрэг теорем нь дараах байдлаар сонсогдоно: "Хэрэв гурвалжны хоёр өнцөг тэнцүү бол ийм гурвалжин нь ижил өнцөгт байна."
Тэд тус бүрийг товчхон бичье:
Нөхцөл, дүгнэлт байраа сольчихсон байгааг бид харж байна.
Эдгээр мэдэгдэл бүр үнэн юм.
Асуулт гарч ирнэ: Дүгнэлттэй хамт нөхцөл нь өөрчлөгддөг мэдэгдэл үргэлж үнэн байдаг уу?
Нэг жишээ авч үзье.
Хэрэв өнцөг нь босоо байвал тэдгээр нь тэнцүү байна. Энэ бол үнэн үг бөгөөд нотлох баримттай. Эсрэг заалтыг томъёолъё: хэрэв өнцөг нь тэнцүү бол тэдгээр нь босоо байна. Энэ мэдэгдэл буруу, үүнийг няцаах жишээгээр баталгаажуулахад хялбар байдаг: хоёр зөв өнцгийг авъя (зураг харна уу), тэдгээр нь тэнцүү, гэхдээ босоо биш.
Тиймээс аль хэдийн батлагдсан мэдэгдлүүдтэй (теоремууд) эсрэг заалтууд (теоремууд) үргэлж нотлох баримт шаарддаг.
§ 2 Хоёр зэрэгцээ ба хөндлөн шугамаар үүссэн өнцгийн тухай теоремууд
Одоо батлагдсан мэдэгдлүүдийг эргэн санацгаая - хоёр шулуун шугамын параллелизмын шинж тэмдгийг илэрхийлдэг теоремууд, тэдгээрийн эсрэг теоремуудыг томьёолж, нотлох баримтаар баталгаажуулах.
Зэрэгцээ шугамын эхний шинж тэмдэг.
Хэрэв хоёр шулуун хөндлөн огтлолцох үед холбогдох өнцөг нь тэнцүү бол шугамууд параллель байна.
Эсрэг теорем:
Хэрэв хоёр зэрэгцээ шугамыг хөндлөн огтлолцсон бол огтлолцох өнцөг нь тэнцүү байна.
Энэ мэдэгдлийг баталъя.
Өгөгдсөн: a ба b зэрэгцээ шугамууд нь AB таслагчаар огтлолцсон.
Бататга: 1 ба 2-р огтлолцсон өнцөг тэнцүү байна. (зураг харна уу)
Нотолгоо:
1 ба 2 өнцгийг тэнцүү биш гэж үзье.
AB туяанаас CAB өнцгийг 2-той тэнцүү болгоё, тэгвэл CAB өнцөг ба 2 өнцөг нь АВ зүсэлтээр CA ба b шулуунуудын огтлолцол дээр хөндлөн хэвтэх өнцөг болно.
Бүтцийн хувьд эдгээр хөндлөн өнцөг нь тэнцүү бөгөөд энэ нь CA шугам нь b шугамтай параллель байна гэсэн үг юм.
a ба CA хоёр шулуун нь b шулуунтай параллель А цэгээр дамждаг болохыг бид олж мэдсэн. Энэ нь параллель шугамын аксиомтой зөрчилдөж байна: өгөгдсөн шулуун дээр хэвтээгүй цэгээр өгөгдсөнтэй параллель зөвхөн нэг шулуун дамждаг.
Энэ нь бидний таамаглал буруу, 1 ба 2-р өнцөг тэнцүү гэсэн үг юм.
Теорем нь батлагдсан.
§ 3 Зөрчилөөр нотлох арга
Энэ теоремыг батлахдаа бид зөрчилдөөнөөр нотлох арга гэж нэрлэгддэг үндэслэлийн аргыг ашигласан. Бид нотлох баримтыг эхлүүлэхдээ нотлохыг хүссэн зүйлийнхээ эсрэгээр таамагласан. Энэхүү таамаглалыг зөв гэж үзээд бид үндэслэлээр параллель шугамын аксиомтой зөрчилдсөн. Эндээс бид бидний таамаг үнэн биш, харин теоремийн мэдэгдэл үнэн гэж дүгнэсэн. Энэ төрлийн нотолгоог математикт ихэвчлэн ашигладаг.
Батлагдсан теоремын үр дагаварыг авч үзье.
Үр дагавар:
Хэрэв шугам нь хоёр зэрэгцээ шугамын аль нэгэнд перпендикуляр байвал нөгөөд нь мөн перпендикуляр байна.
a шулууныг b шулуунтай параллель, в шугамыг a шулуунтай перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл. өнцөг 1 = 90º.
c шугам нь а шугамыг огтолж байгаа бөгөөд энэ нь c шугам нь b шугамыг огтолж байгааг илтгэнэ.
Зэрэгцээ шугамууд хөндлөн огтлолцох үед хөндлөн өнцгүүд тэнцүү байх ба энэ нь өнцөг 1 = өнцөг 2 гэсэн үг юм.
Өнцөг 1 = 90º тул 2 өнцөг = 90º, энэ нь c шугам нь b шулуунтай перпендикуляр байна гэсэн үг юм.
Мөрдөн байцаалтын ажиллагаа нотлогдсон.
Шугамын параллелизмын хоёр дахь шалгуурын урвуу теорем:
Хэрэв хоёр зэрэгцээ шугамыг хөндлөн огтлолцсон бол харгалзах өнцөг нь тэнцүү байна.
Шугамын параллелизмын гурав дахь шалгуурын урвуу теорем:
Хэрэв хоёр зэрэгцээ шугамыг хөндлөн огтлолцсон бол нэг талт өнцгийн нийлбэр нь 180º байна.
Тиймээс энэ хичээлээр бид ямар теоремыг эсрэг гэж нэрлэдэгийг олж, хоёр зэрэгцээ ба хөндлөн шугамаар үүссэн өнцгийн тухай теоремуудыг томьёолж, судалж, мөн зөрчилдөөнөөр нотлох аргатай танилцсан.
Ашигласан уран зохиолын жагсаалт:
- Геометр. 7-9-р анги: сурах бичиг. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд / L.S. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев нар - М.: Боловсрол, 2013. - 383 х.: өвчтэй.
- Гаврилова Н.Ф. Геометрийн 7-р ангийн хичээлийн хөгжил. - М.: "VAKO", 2004, 288 х. - (Сургуулийн багшид туслах).
- Белицкая О.В. Геометр. 7-р анги. 1-р хэсэг. Туршилтууд. – Саратов: Лицей, 2014. – 64 х.
Теорем: Хэрэв хоёр зэрэгцээ шугамыг хөндлөн огтлолцсон бол огтлолцох өнцөг нь тэнцүү байна. ба A B = 2 сек байна
Баталгаа: A B CD M N 1 2 A B CD M N 1 2 K O AB ба CD шулуунууд параллель, MN тэдгээрийн секант байг. Хөндлөн өнцөг 1 ба 2 нь хоорондоо тэнцүү гэдгийг баталцгаая. 1 ба 2 нь тэнцүү биш гэж үзье. O цэгээр KF шулуун шугам татъя. Дараа нь О цэг дээр хөндлөн хэвтээд 2-той тэнцүү KON байгуулах боломжтой. Харин KON = 2 бол KF шулуун нь CD-тэй параллель байх болно. CD шулуунтай параллель О цэгээр AB ба KF хоёр шулуун шугам татагдсаныг бид олж мэдсэн. Гэхдээ ийм байж болохгүй. 1 ба 2 нь тэнцүү биш гэж үзсэн учраас бид зөрчилд хүрсэн. Тиймээс бидний таамаглал буруу бөгөөд 1 нь 2-той тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл хөндлөн өнцөг нь тэнцүү байна. Ф
Теорем: Хэрэв хоёр зэрэгцээ шугамыг хөндлөн огтлолцсон бол харгалзах өнцөг нь тэнцүү байна. ба A B = 2
Теорем: Хэрэв хоёр зэрэгцээ шугамыг хөндлөн огтлолцсон бол нэг талт өнцгийн нийлбэр нь 180 ° байна. ба A B = 180 ° -д
Баталгаа: a ба b зэрэгцээ шулуунуудыг AB зүсэлтээр огтолбол харгалзах 1 ба 2 нь тэнцүү, 2 ба 3 нь зэргэлдээ байх тул = 180° байна. 1 = 2 ба = 180 ° тэгшитгэлээс = 180 ° байна. Теорем нь батлагдсан. A B 3 1 дахь 2 a
Шийдэл: 1. X нь 2, тэгвэл 1 = (X+70°), учир нь 1 ба 2 өнцгийн нийлбэр = 180 °, учир нь тэдгээр нь зэргэлдээ байрладаг. Тэгшитгэл байгуулъя: X+ (X+70°) = 180° 2X = 110° X = 55° (2-р өнцөг) 2. 1-ийг ол. 55° + 70° = 125° 3. 1 = 3, учир нь тэдгээр нь босоо байна. 3 = 5, учир нь тэд хөндлөн хэвтэж байна. 125° 5 = 7, учир нь тэдгээр нь босоо байна. 2 = 4, учир нь тэдгээр нь босоо байна. 4 = 6, учир нь тэд хөндлөн хэвтэж байна. 55° 6 = 8, учир нь тэдгээр нь босоо байна. Бодлого 1: A B Нөхцөл: А ба В хоёр параллель шулуунууд хөндлөн С-тэй огтлолцоход аль нэг өнцөг нь нөгөөгөөсөө 70° их байвал үүссэн бүх өнцгийг ол.
Шийдэл: 1. 1= 2, учир нь тэдгээр нь босоо, энэ нь 2= 45° нь 2-той зэргэлдээ байгаа тул 3+ 2=180° гэсэн үг бөгөөд 3= 180° - 45°= 135° = 180° байна. тэд нэг талыг барьсан. 4 = 45 °. Хариулт: 4=45°; 3=135°. Бодлого 3: A B 2 Нөхцөл: А ба В хоёр зэрэгцээ шулууныг таслагч C. 1=45° бол 4 ба 3 нь хэдтэй тэнцүү болохыг ол.
Хоёр параллель шулууны хоорондох өнцгийн теоремууд ба тэдгээрийн хөндлөн огтлолын тухай видео хичээл нь теоремын бүтцийн онцлог, эсрэг теоремыг үүсгэх, нотлох жишээ, тэдгээрийн үр дагаварыг харуулсан материалуудыг агуулна. Энэхүү видео хичээлийн зорилго нь теоремын тухай ойлголтыг гүнзгийрүүлэх, түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд задлах, урвуу теоремын тухай ойлголтыг авч үзэх, өгөгдсөн теоремоос урвуу теорем байгуулах чадварыг хөгжүүлэх, теоремоос гарах үр дагавар, мэдэгдлийг батлах чадварыг хөгжүүлэх.
Видео хичээлийн хэлбэр нь материалыг үзүүлэхдээ амжилттай онцлон тэмдэглэх боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь материалыг ойлгох, санахад хялбар болгодог. Энэ видео хичээлийн сэдэв нь нарийн төвөгтэй бөгөөд чухал тул харааны хэрэглүүрийг ашиглах нь зүйтэй төдийгүй бас зүйтэй юм. Энэ нь сургалтын чанарыг сайжруулах боломжийг олгодог. Хөдөлгөөнт эффектүүд нь боловсролын материалын танилцуулгыг сайжруулж, сургалтын үйл явцыг уламжлалт болгонд ойртуулж, видео бичлэг ашиглах нь багшийг бие даасан ажлыг гүнзгийрүүлэх боломжийг олгодог.
Видео хичээл нь сэдвээ зарласнаар эхэлдэг. Хичээлийн эхэнд теоремыг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд нь задлах нь түүний бүтэц, цаашдын судалгаа хийх боломжийг илүү сайн ойлгохын тулд авч үздэг. Теорем нь түүний нөхцөл, дүгнэлтээс бүрддэг болохыг харуулсан диаграммыг дэлгэцэн дээр харуулав. Нөхцөл ба дүгнэлтийн тухай ойлголтыг параллель шугамын тэмдгийн жишээн дээр тайлбарлаж, мэдэгдлийн хэсэг нь теоремын нөхцөл, дүгнэлт нь дүгнэлт болохыг тэмдэглэв.
Теоремын бүтцийн талаар олж авсан мэдлэгээ гүнзгийрүүлснээр оюутнуудад өгөгдсөн теоремын урвуу ойлголтыг өгдөг. Энэ нь орлуулалтын үр дүнд үүсдэг - нөхцөл нь дүгнэлт, дүгнэлт - нөхцөл болдог. Оюутнуудад өгөгдөлтэй харшлах теоремуудыг байгуулах чадварыг хөгжүүлэхийн тулд 25-р хичээлд параллель шулуунуудын шинж тэмдгүүдийн эсрэг теоремуудыг авч үздэг.
Дэлгэц нь параллель шулуунуудын тэмдгийг дүрсэлсэн эхний теоремоос урвуу теоремыг харуулна. Нөхцөл ба дүгнэлтийг сольсноор бид хэрвээ параллель шугамууд хөндлөн огтлолцсон бол энэ тохиолдолд үүссэн хөндлөн өнцөг нь тэнцүү байх болно гэсэн мэдэгдлийг олж авна. Баталгаажуулалтыг a, b шугамууд, түүнчлэн эдгээр шугамаар M ба N цэгүүдээр дамжин өнгөрөх хөндлөн огтлолыг харуулсан зураг дээр харуулав. Зураг дээр хөндлөн огтлолын ∠1 ба ∠2 өнцгийг тэмдэглэв. Тэдний тэгш байдлыг батлах шаардлагатай. Нэгдүгээрт, нотолгоо нь эдгээр өнцөг нь тэнцүү биш гэсэн таамаглалыг бий болгодог. Үүний тулд тодорхой P шулуун шугамыг M цэгээр татна. MN-тэй харьцуулахад ∠2 өнцгөөр хөндлөн орших `∠PMN өнцөг байгуулна. `∠PMN ба ∠2 өнцөг нь бүтээцээрээ тэнцүү тул MP║b байна. Дүгнэлт - цэгтэй параллель хоёр шулууныг b-ээр дамжуулна. Гэсэн хэдий ч энэ нь параллель шугамын аксиомтой тохирохгүй тул боломжгүй юм. Хийсэн таамаглал нь буруу болж, анхны мэдэгдлийн үнэн зөвийг нотолж байна. Теорем нь батлагдсан.
Дараа нь оюутнуудын анхаарлыг үндэслэл боловсруулах явцад ашигласан нотлох аргад хандуулна. Баталгаажсан нотолгоог худал гэж үзсэн нотлох баримтыг геометрийн зөрчилдөөний нотолгоо гэж нэрлэдэг. Энэ аргыг янз бүрийн геометрийн мэдэгдлийг батлахад ихэвчлэн ашигладаг. Энэ тохиолдолд хөндлөн огтлолцсон өнцгийн тэгш бус байдлыг таамаглахад үндэслэлийн явцад зөрчил гарч ирсэн бөгөөд энэ нь ийм зөрчилдөөний үнэн зөвийг үгүйсгэж байна.
Үүнтэй төстэй аргыг өмнө нь нотлох баримтад ашиглаж байсныг оюутнуудад сануулж байна. Үүний нэг жишээ бол 12-р хичээлийн гурав дахь перпендикуляр хоёр шулуун огтлолцохгүй гэсэн теоремын баталгаа, мөн параллель шулуунуудын аксиомоос 28-р хичээлийн үр дагаваруудын баталгаа юм.
Өөр нэг баталгаатай үр дүн нь хэрэв шугам нь аль нэгэнд нь перпендикуляр байвал аль алинд нь перпендикуляр байна. Зураг дээр a ба b шулуун шугамууд ба тэдгээрт перпендикуляр c шулуун шугамыг харуулав. c шулуун шугамын перпендикуляр байдал нь түүгээр үүссэн өнцөг нь 90°-тай тэнцүү байна гэсэн үг. a ба b-ийн параллелизм ба тэдгээрийн в шугамтай огтлолцох нь в шугамыг b огтлолцохыг хэлнэ. b шулуунтай үүсгэсэн ∠2 өнцөг нь ∠1 өнцөгт хөндлөн байна. Нөхцөл байдлын дагуу шугамууд зэрэгцээ байгаа тул эдгээр өнцөг нь тэнцүү байна. Үүний дагуу ∠2 өнцөг нь мөн 90 ° -тай тэнцүү байх болно. Энэ нь c шугам b шулуунтай перпендикуляр байна гэсэн үг юм. Харж байгаа теорем нь батлагдсан.
Дараа нь бид параллель шугамын хоёр дахь шалгуурын эсрэг теоремыг батална. Эсрэг теорем нь хэрэв хоёр шулуун параллель байвал үүссэн харгалзах өнцгүүд тэнцүү байна гэж заасан. Баталгаажуулалт нь секант c ба параллель a ба b шугамыг барихаас эхэлдэг. Энэ тохиолдолд үүссэн өнцгийг зураг дээр тэмдэглэв. ∠1 ба ∠2 гэж нэрлэгддэг харгалзах хос өнцгүүд, мөн ∠1 өнцөгтэй хөндлөн орших ∠3 гэж тэмдэглэгдсэн өнцөг байдаг. a ба b-ийн параллелизм нь хөндлөн хэвтэх ∠3=∠1 тэгш байдлыг илэрхийлнэ. ∠3, ∠2 нь босоо байна гэж үзвэл тэдгээр нь бас тэнцүү байна. Ийм тэгш байдлын үр дагавар нь ∠1=∠2 гэсэн мэдэгдэл юм. Харж байгаа теорем нь батлагдсан.
Энэ хичээлээр нотлогдох сүүлчийн теорем бол параллель шугамын сүүлчийн тестийн урвуу юм. Түүний бичвэрт хэрвээ хөндлөн шугамууд зэрэгцээ шугамаар дамжих юм бол үүссэн нэг талт өнцгийн нийлбэр нь 180 ° -тай тэнцүү байна гэж заасан байдаг. Баталгаажуулалтын явцыг c секантыг огтолж буй a ба b шугамыг харуулсан зурагт үзүүлэв. Нэг талт өнцгийн нийлбэр нь 180°, өөрөөр хэлбэл ∠4+∠1 = 180° байх болно гэдгийг батлах шаардлагатай. a ба b шулуунуудын параллель байдлаас харгалзах ∠1 ба ∠2 өнцгүүдийн тэгш байдал гарч ирнэ. ∠4, ∠2 өнцгүүдийн зэргэлдээ байдал нь тэдгээрийн нийлбэр нь 180 ° хүртэл байна гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд өнцөгүүд ∠1= ∠2 - энэ нь ∠4 өнцөгт нэмсэн ∠1 нь 180° болно гэсэн үг юм. Теорем нь батлагдсан.
Урвуу теоремууд хэрхэн үүсч, нотлогддогийг илүү гүнзгий ойлгохын тулд хэрэв теорем батлагдсан бөгөөд үнэн бол энэ нь урвуу теорем бас үнэн болно гэсэн үг биш гэдгийг тусад нь тэмдэглэв. Үүнийг ойлгохын тулд энгийн жишээг үзүүлэв. Бүх босоо өнцөг тэнцүү гэсэн теорем байдаг. Эсрэг теорем нь бүх тэгш өнцөгтүүд босоо байх шиг сонсогдож байгаа нь үнэн биш юм. Эцсийн эцэст та босоо биш хоёр тэнцүү өнцгийг барьж болно. Үүнийг үзүүлсэн зургаас харж болно.
"Хоёр параллель ба хөндлөн шугамаар үүссэн өнцгийн теоремууд" видео хичээл нь багшийн геометрийн хичээлд ашиглаж болохуйц, урвуу теорем, үр дүнгийн талаархи санааг амжилттай бүрдүүлж чаддаг үзүүлэнгийн хэрэгсэл юм. материалыг бие даан судлахад тэдгээрийн нотолгоо, зайн сургалтын сургалтанд хэрэг болно.
