Координат хэлбэрийн хавтгай хоорондын өнцөг. Онгоц хоорондын өнцөг

Хоёр өөр хавтгайн хоорондох өнцгийн хэмжээг хавтгайнуудын аль ч харьцангуй байрлалд тодорхойлж болно.

Хэрэв онгоцууд параллель байвал өчүүхэн тохиолдол. Дараа нь тэдгээрийн хоорондох өнцгийг тэгтэй тэнцүү гэж үзнэ.

Онгоцнууд огтлолцож байвал өчүүхэн бус тохиолдол. Энэ хэрэг цаашид хэлэлцэх сэдэв юм. Эхлээд бид хоёр талт өнцөг гэсэн ойлголт хэрэгтэй.

9.1 Хоёр талт өнцөг

Хоёр талт өнцөг гэдэг нь нийтлэг шулуун шугамтай хоёр хагас хавтгай (үүнийг хоёр талт өнцгийн ирмэг гэж нэрлэдэг) гэнэ. Зураг дээр. 50-д хагас хавтгайгаар үүссэн хоёр талт өнцгийг харуулсан ба; энэ хоёр өнцөгт өнцгийн ирмэг нь эдгээр хагас хавтгайд нийтлэг байдаг шулуун a шулуун байна.

Цагаан будаа. 50. Хоёр талт өнцөг

Хоёр өнцөгт өнцгийг градусаар эсвэл нэг үгээр радианаар хэмжиж болно, хоёр талт өнцгийн өнцгийн утгыг оруулна уу. Үүнийг дараах байдлаар хийнэ.

Хагас хавтгай болон үүссэн dihedral өнцгийн ирмэг дээр, бид дурын цэг M. авч үзье эдгээр хагас хавтгайд хэвтэж, ирмэг (Зураг. 51) перпендикуляр тус тус MA болон MB туяаг зурж үзье.

Цагаан будаа. 51. Шугаман хоёр талт өнцөг

Үүссэн өнцөг AMB нь хоёр талт өнцгийн шугаман өнцөг юм. " = \AMB өнцөг нь бидний хоёр талт өнцгийн өнцгийн утга юм.

Тодорхойлолт. Хоёр өнцөгт өнцгийн өнцгийн хэмжээ нь өгөгдсөн хоёр өнцөгт өнцгийн шугаман өнцгийн хэмжээ юм.

Хоёр талт өнцгийн бүх шугаман өнцгүүд хоорондоо тэнцүү байна (эцэст нь параллель шилжилтээр бие биенээсээ олж авдаг). Тиймээс энэ тодорхойлолт нь зөв юм: " утга нь хоёр талт өнцгийн ирмэг дээрх М цэгийн тодорхой сонголтоос хамаарахгүй.

9.2 Онгоц хоорондын өнцгийг тодорхойлох

Хоёр хавтгай огтлолцох үед дөрвөн хоёр талт өнцөг гарна. Хэрэв тэдгээр нь бүгд ижил хэмжээтэй (тус бүр 90) байвал онгоцыг перпендикуляр гэж нэрлэдэг; Дараа нь хавтгайн хоорондох өнцөг 90 байна.

Хэрэв бүх хоёр өнцөгт өнцөг ижил биш бол (өөрөөр хэлбэл, хоёр хурц ба мохоо хоёр байдаг) хавтгай хоорондын өнцөг нь хурц хоёр өнцөгт өнцгийн утга юм (Зураг 52).

Цагаан будаа. 52. Онгоц хоорондын өнцөг

9.3 Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Гурван асуудлыг авч үзье. Эхнийх нь энгийн, хоёр, гурав дахь нь математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын С2 түвшинд байна.

Бодлого 1. Энгийн тетраэдрийн хоёр нүүрний өнцгийг ол.

Шийдэл. ABCD нь ердийн тетраэдр байг. Харгалзах нүүрний AM ба DM медианууд, мөн DH тетраэдрийн өндрийг зурцгаая (Зураг 53).

Цагаан будаа. 53. 1-р даалгаварт

AM ба DM нь медиануудын хувьд мөн адил талт ABC болон DBC гурвалжны өндөр юм. Тиймээс " = \AMD өнцөг нь ABC ба DBC нүүрнүүдийн үүсгэсэн хоёр талт өнцгийн шугаман өнцөг юм. Бид үүнийг DHM гурвалжнаас олно:

Хариулт: arccos 1 3 .

Бодлого 2. Энгийн дөрвөлжин SABCD пирамидын (S оройтой) хажуугийн ирмэг нь суурийн талтай тэнцүү байна. K цэг нь SA ирмэгийн дунд байна. Хавтгай хоорондын өнцгийг ол

Шийдэл. BC шугам нь AD-тай параллель, улмаар ADS хавтгайтай параллель байна. Тиймээс KBC хавтгай нь ADS хавтгайг BC-тэй параллель KL шулуун шугамын дагуу огтолж байна (Зураг 54).

Цагаан будаа. 54. 2-р даалгаварт

Энэ тохиолдолд KL нь мөн AD шугамтай зэрэгцээ байх болно; тиймээс KL нь ADS гурвалжны дунд шугам, L цэг нь DS-ийн дунд цэг юм.

SO пирамидын өндрийг олъё. N-г DO-ийн дунд гэж үзье. Дараа нь LN нь DOS гурвалжны дунд шугам, тиймээс LN k SO. Энэ нь LN ABC хавтгайд перпендикуляр байна гэсэн үг юм.

N цэгээс бид перпендикуляр NM-ийг BC шулуун шугам руу буулгана. NM шулуун шугам нь налуу LM-ийн ABC хавтгай дээрх проекц болно. Гурван перпендикуляр теоремоос LM нь BC-д мөн перпендикуляр байна.

Тиймээс " = \LMN өнцөг" нь KBC ба ABC хагас хавтгайнуудын үүсгэсэн хоёр талт өнцгийн шугаман өнцөг юм. Бид энэ өнцгийг LMN гурвалжны тэгш өнцөгтөөс хайх болно.

Пирамидын ирмэгийг a-тай тэнцүү болго. Эхлээд бид пирамидын өндрийг олно.

Шийдэл. A1 K ба AB шулуунуудын огтлолцох цэгийг L гэж үзье. Дараа нь A1 KC хавтгай нь CL шулуун шугамын дагуу ABC хавтгайг огтолно (Зураг 55).

А C

Цагаан будаа. 55. 3-р асуудалд

A1 B1 K ба KBL гурвалжин нь хөл ба хурц өнцгийн хувьд тэнцүү байна. Тиймээс бусад хөл нь тэнцүү байна: A1 B1 = BL.

ACL гурвалжинг авч үзье. Үүнд BA = BC = BL. CBL өнцөг нь 120; тиймээс \BCL = 30 . Мөн \BCA = 60 . Тиймээс \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Тэгэхээр, LC? АС. Харин АС шугам нь A1 C шугамын ABC хавтгайд проекц болдог. Гурван перпендикулярын теоремоор бид LC гэж дүгнэж байна? A1 C.

Тиймээс A1 CA өнцөг нь A1 KC ба ABC хагас хавтгайнуудаас үүссэн хоёр талт өнцгийн шугаман өнцөг юм. Энэ бол хүссэн өнцөг юм. А1 АС тэгш өнцөгт гурвалжнаас бид 45-тай тэнцүү байгааг харж байна.

Энэ нийтлэл нь онгоц хоорондын өнцөг болон түүнийг хэрхэн олох тухай юм. Нэгдүгээрт, хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийн тодорхойлолтыг өгч, график дүрслэлийг үзүүлэв. Үүний дараа хоёр огтлолцох хавтгайн хоорондын өнцгийг координатын аргаар олох зарчмыг шинжилж, эдгээр хавтгайн хэвийн векторуудын мэдэгдэж буй координатыг ашиглан огтлолцох хавтгайн хоорондын өнцгийг тооцоолох томьёог олж авав. Дүгнэж хэлэхэд ердийн асуудлуудын нарийвчилсан шийдлүүдийг харуулав.

Хуудасны навигаци.

Онгоц хоорондын өнцөг - тодорхойлолт.

Хоёр огтлолцох онгоцны хоорондох өнцгийг тодорхойлоход аажмаар ойртох боломжийг олгох аргументуудыг танилцуулъя.

Бидэнд огтлолцох хоёр хавтгай ба . Эдгээр онгоцууд шулуун шугамын дагуу огтлолцдог бөгөөд бид үүнийг c үсгээр тэмдэглэдэг. c шулууны М цэгийг дайрч в шулуунд перпендикуляр хавтгай байгуулъя. Энэ тохиолдолд онгоц нь онгоцнуудтай огтлолцох ба. Онгоцуудын огтлолцох шулуун шугамыг a гэж, хавтгайн огтлолцох шулууныг b гэж тэмдэглэе. a ба b шугамууд М цэг дээр огтлолцох нь ойлгомжтой.

Огтлолцож буй a ба b шулуунуудын хоорондох өнцөг нь хавтгай өнгөрөх c шулуун дээрх М цэгийн байршлаас хамаарахгүй гэдгийг харуулахад хялбар байдаг.

c шулуунтай перпендикуляр, хавтгайгаас ялгаатай хавтгай байгуулъя. Онгоц нь хавтгай ба шулуун шугамын дагуу огтлолцсон бөгөөд бид үүнийг 1 ба b 1 гэж тус тус тэмдэглэдэг.

Хавтгай байгуулах аргаас харахад a ба b шулуунууд c шулуунтай перпендикуляр, a 1 ба b 1 шулуунууд нь c шулуунтай перпендикуляр байна. a ба 1 шулуунууд нь нэг хавтгайд оршдог ба в шулуунд перпендикуляр байдаг тул параллель байна. Үүний нэгэн адил b ба b 1 шулуунууд нь нэг хавтгайд оршдог ба в шулуунд перпендикуляр байдаг тул параллель байна. Иймээс хавтгайг хавтгайд параллель шилжүүлэх боломжтой бөгөөд үүнд a 1 шулуун нь а шулуунтай, b шулуун нь b 1 шулуунтай давхцдаг. Иймээс a 1 ба b 1 огтлолцсон хоёр шулууны хоорондох өнцөг нь a ба b шугамын огтлолцох өнцөгтэй тэнцүү байна.

Энэ нь огтлолцох хавтгайд байрлах a ба b шулуунуудын хоорондох өнцөг нь хавтгай өнгөрөх M цэгийн сонголтоос хамаарахгүй болохыг баталж байна. Тиймээс энэ өнцгийг огтлолцох хоёр хавтгайн хоорондох өнцөг гэж үзэх нь логик юм.

Одоо та хоёр огтлолцох онгоцны хоорондох өнцгийн тодорхойлолтыг дуугаар хэлэх боломжтой.

Тодорхойлолт.

Шулуун шугамаар огтлолцох хоёр хавтгайн хоорондох өнцөг ба- энэ нь в шулуунд перпендикуляр хавтгайтай огтлолцох a ба b шулуунуудын хоорондох өнцөг юм.

Хоёр онгоцны хоорондох өнцгийн тодорхойлолтыг арай өөрөөр өгч болно. Хэрэв хавтгай ба огтлолцох c шулуун дээр M цэгийг тэмдэглэж, түүгээр нь шулуун c шулуунд перпендикуляр, хавтгайд хэвтэх a ба b шулуун зураасыг зурвал a шулуунуудын хоорондох өнцгийг зурна. ба b нь ба хавтгай хоорондын өнцөг юм. Ихэвчлэн практик дээр онгоцны хоорондох өнцгийг олж авахын тулд ийм барилга байгууламжийг хийдэг.

Огтлолцож буй шугамын хоорондох өнцөг нь -ээс хэтрэхгүй тул хоёр огтлолцох хавтгайн хоорондох өнцгийн градусын хэмжүүрийг интервалаас авсан бодит тоогоор илэрхийлнэ гэсэн тодорхойлолтоос харагдана. Энэ тохиолдолд огтлолцох онгоцуудыг дуудна перпендикуляр, хэрэв тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь ерэн градус бол. Зэрэгцээ хавтгай хоорондын өнцөг нь огт тодорхойлогдоогүй эсвэл тэгтэй тэнцүү гэж тооцогддог.

Хоёр огтлолцох онгоцны хоорондох өнцгийг олох.

Ихэвчлэн огтлолцсон хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийг олохдоо эхлээд огтлолцсон шулуун шугамуудыг харахын тулд нэмэлт бүтээц хийх шаардлагатай бөгөөд тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь хүссэн өнцөгтэй тэнцүү байх ба тэгш байдлын тест ашиглан энэ өнцгийг анхны өгөгдөлтэй холбоно. тестүүд, косинусын теорем буюу өнцгийн синус, косинус ба тангенсийн тодорхойлолт. Ахлах сургуулийн геометрийн хичээлд үүнтэй төстэй асуудал гардаг.

Жишээлбэл, 2012 оны Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын C2 асуудлын шийдлийг өгье (нөхцөлийг зориудаар өөрчилсөн боловч энэ нь шийдлийн зарчимд нөлөөлөхгүй). Үүнд та огтлолцож буй хоёр онгоцны хоорондох өнцгийг олох хэрэгтэй байв.

Жишээ.

Шийдэл.

Эхлээд зураг зуръя.

Онгоц хоорондын өнцгийг “харах” нэмэлт бүтээн байгуулалтуудыг хийцгээе.

Эхлээд ABC болон BED 1 онгоцууд огтлолцох шулуун шугамыг тодорхойлъё. В цэг нь тэдний нийтлэг цэгүүдийн нэг юм. Эдгээр онгоцны хоёр дахь нийтлэг цэгийг олъё. DA ба D 1 E шугамууд нь нэг ADD 1 хавтгайд орших ба тэдгээр нь параллель биш тул огтлолцдог. Нөгөөтэйгүүр, DA шугам нь ABC хавтгайд, D 1 E шулуун нь BED 1 хавтгайд байрладаг тул DA ба D 1 E шулуунуудын огтлолцох цэг нь ABC ба BED 1 хавтгайнуудын нийтлэг цэг болно. Тиймээс DA ба D 1 E шугамыг тэдгээрийн огтлолцол хүртэл үргэлжлүүлж, тэдгээрийн огтлолцлын цэгийг F үсгээр тэмдэглэе. Дараа нь BF нь ABC ба BED 1 онгоцууд огтлолцох шулуун шугам юм.

ABC ба BED 1 хавтгайд байрлах BF шугамын нэг цэгийг дайран өнгөрч, BF шугаманд перпендикуляр хоёр шугамыг барихад л үлддэг - эдгээр шугамын хоорондох өнцөг нь тодорхойлолтоор бол тэдгээрийн хоорондох хүссэн өнцөгтэй тэнцүү байх болно. ABC ба BED 1 онгоцууд. Үүнийг хийцгээе.

Цэг A нь Е цэгийн ABC хавтгай дээрх проекц юм. M цэг дээр зөв өнцгөөр BF шугамыг огтлолцсон шулуун шугамыг зуръя. Дараа нь AM шулуун шугам нь EM шулуун шугамын ABC хавтгай дээрх проекц бөгөөд гурван перпендикулярын теорем юм.

Тиймээс ABC ба BED 1 хавтгайн хоорондох шаардлагатай өнцөг нь -тэй тэнцүү байна.

Хэрэв бид хоёр талын уртыг мэддэг бол AEM гурвалжны зөв гурвалжнаас энэ өнцгийн синус, косинус эсвэл тангенсыг (мөн өнцгийг өөрөө) тодорхойлж чадна. Нөхцөл байдлаас харахад AE уртыг олоход хялбар байдаг: E цэг нь AA 1 талыг 4-3 харьцаагаар хуваадаг тул А цэгээс тоолж, АА 1 талын урт нь 7 байвал AE = 4 байна. AM уртыг олцгооё.

Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт ABF гурвалжинг авч үзье, AM нь өндөр юм. AB = 2 нөхцөлөөр. DD 1 F ба AEF тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдлаас бид AF талын уртыг олж болно.

Пифагорын теоремыг ашиглан бид ABF гурвалжнаас олно. ABF гурвалжны талбайгаар бид AM уртыг олдог: нэг талдаа ABF гурвалжны талбай нь тэнцүү байна. , нөгөө талд , хаана .

Тиймээс, AEM гурвалжин гурвалжингаас бид байна .

Дараа нь ABC ба BED 1 онгоцуудын хоорондох шаардлагатай өнцөг тэнцүү байна (үүнийг анхаарна уу ).

Хариулт:

Зарим тохиолдолд огтлолцсон хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийг олохын тулд Oxyz-ийг тохируулж координатын аргыг ашиглах нь тохиромжтой байдаг. Энд зогсоцгооё.

Даалгаврыг өгцгөөе: огтлолцож буй хоёр хавтгай ба хоёрын хоорондох өнцгийг ол. Хүссэн өнцгийг гэж тэмдэглэе.

Өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын Oxyz системд бид огтлолцох хавтгайн хэвийн векторуудын координатыг мэддэг ба эсвэл тэдгээрийг олох боломжтой гэж бид таамаглах болно. Болъё нь хавтгайн хэвийн вектор, ба нь онгоцны хэвийн вектор юм. Бид огтлолцсон хавтгайнуудын хоорондох өнцгийг хэрхэн олохыг, эдгээр хавтгайн хэвийн векторуудын координатаар дамжуулан харуулах болно.

Хавтгай ба огтлолцох шулуун шугамыг c гэж тэмдэглэе. c шулуун дээрх M цэгээр бид c шулуунд перпендикуляр хавтгай зурна. Онгоц нь хавтгайнуудыг огтолж, a ба b шугамын дагуу, a ба b шулуунууд нь М цэг дээр огтлолцоно. Тодорхойлолтоор огтлолцох хавтгайн хоорондох өнцөг нь ба огтлолцох a ба b шулуунуудын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байна.

Хавтгайн M цэгээс хэвийн вектор ба хавтгайг зуръя. Энэ тохиолдолд вектор нь a шулуунтай перпендикуляр шулуун дээр, вектор нь b шулуунтай перпендикуляр шулуун дээр байрладаг. Тиймээс хавтгайд вектор нь а шулууны хэвийн вектор, b шулууны хэвийн вектор юм.

Огтлолцсон шугамуудын хоорондох өнцгийг олох тухай өгүүлэлд бид ердийн векторуудын координатыг ашиглан огтлолцох шугамуудын хоорондох өнцгийн косинусыг тооцоолох боломжийг олгодог томьёог хүлээн авсан. Тиймээс, a ба b шугамын хоорондох өнцгийн косинус, улмаар огтлолцох хавтгайн хоорондох өнцгийн косинусба томъёогоор олно, хаана Тэгээд онгоцуудын хэвийн векторууд ба тус тус. Дараа нь үүнийг тооцоолно .

Өмнөх жишээг координатын аргаар шийдье.

Жишээ.

Тэгш өнцөгт параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 өгөгдсөн бөгөөд үүнд AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7, Е цэг нь AA 1 талыг 4-3 харьцаагаар хувааж, А цэгээс тоолно. ABC ба BED 1 хавтгайн хоорондох өнцгийг ол.

Шийдэл.

Нэг орой дээрх тэгш өнцөгт параллелепипедийн талууд хос хосоороо перпендикуляр байдаг тул тэгш өнцөгт координатын системийг Oxyz-ийг дараах байдлаар оруулах нь тохиромжтой: эхлэлийг С оройтой зэрэгцүүлж, Ox, Oy, Oz координатын тэнхлэгүүдийг CD талуудын дагуу чиглүүлнэ. , CB болон CC 1 тус тус.

ABC болон BED 1 хавтгайнуудын хоорондох өнцгийг эдгээр хавтгайнуудын хэвийн векторуудын координатаар томъёогоор олно, энд ба нь ABC ба BED 1 хавтгайнуудын хэвийн векторууд байна. Нормал векторуудын координатыг тодорхойлъё.

Уг нийтлэлд онгоц хоорондын өнцгийг олох тухай өгүүлдэг. Тодорхойлолтыг өгсний дараа бид график дүрслэлийг өгч, уг аргыг ашиглан координатыг олох дэлгэрэнгүй аргыг авч үзэх болно. Бид ердийн векторуудын координатыг багтаасан огтлолцох хавтгайн томъёог олж авдаг.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Материал нь орон зай дахь хавтгай ба шугамын тухай өгүүлэлд өмнө нь судалж байсан өгөгдөл, ойлголтыг ашиглах болно. Нэгдүгээрт, бид огтлолцсон хоёр онгоцны хоорондох өнцгийг тодорхойлох тодорхой арга барилтай байх боломжийг олгодог үндэслэл рүү шилжих хэрэгтэй.

γ 1 ба γ 2 огтлолцох хоёр хавтгай өгөгдсөн. Тэдний огтлолцол нь c гэсэн тэмдэглэгээг авна. χ хавтгайг бүтээх нь эдгээр онгоцны огтлолцолтой холбоотой юм. χ хавтгай нь M цэгийг шулуун c шулуунаар дайран өнгөрдөг. γ 1 ба γ 2 хавтгайн огтлолцлыг χ хавтгай ашиглан хийнэ. Бид γ 1 ба χ-тэй огтлолцсон шугамын тэмдэглэгээг a шугамаар, γ 2 ба χ-ийг b шугамаар огтолж авдаг. a ба b шулуунуудын огтлолцол нь М цэгийг өгдөг болохыг бид олж мэдэв.

М цэгийн байрлал нь огтлолцох a ба b шулуунуудын хоорондох өнцөгт нөлөөлөхгүй бөгөөд M цэг нь χ хавтгай өнгөрөх c шулуун дээр байрладаг.

c шулуунд перпендикуляр χ 1 хавтгайг байгуулах шаардлагатай бөгөөд χ хавтгайгаас ялгаатай. χ 1-ийн тусламжтайгаар γ 1 ба γ 2 хавтгайн огтлолцол нь a 1 ба b 1 шугамын тэмдэглэгээг авна.

Эндээс харахад χ ба χ 1-ийг байгуулахад a ба b шугамууд c шулуунтай перпендикуляр, дараа нь a 1, b 1 нь c шулуунтай перпендикуляр байрлана. c шулууны перпендикуляр γ 1 хавтгайд a ба a 1 шулуунуудыг олбол тэдгээрийг параллель гэж үзэж болно. Үүний нэгэн адил c шулууны перпендикуляр γ 2 хавтгайд b ба b 1-ийн байрлал нь тэдгээрийн параллель байдлыг илтгэнэ. Энэ нь χ 1 хавтгайг χ руу зэрэгцээ шилжүүлэх шаардлагатай гэсэн үг бөгөөд эндээс бид a ба a 1, b ба b 1 гэсэн хоёр давхцаж буй шулуун шугамыг олж авна. Бид огтлолцох a ба b 1 шулуунуудын хоорондох өнцөг нь a ба b шулуунуудын огтлолцох өнцөгтэй тэнцүү болохыг олж мэдэв.

Доорх зургийг харцгаая.

Энэ санал нь огтлолцох a ба b шулуунуудын хооронд М цэгийн байрлалаас хамаарахгүй өнцөг, өөрөөр хэлбэл огтлолцлын цэг байгаагаар нотлогддог. Эдгээр шугамууд нь γ 1 ба γ 2 хавтгайд байрладаг. Үнэн хэрэгтээ үүссэн өнцгийг огтлолцсон хоёр онгоцны хоорондох өнцөг гэж үзэж болно.

Одоо байгаа огтлолцох γ 1 ба γ 2 хавтгайнуудын хоорондох өнцгийг тодорхойлох руу шилжье.

Тодорхойлолт 1

γ 1 ба γ 2 огтлолцох хоёр хавтгайн хоорондох өнцөгγ 1 ба γ 2 хавтгай нь в шулуунд перпендикуляр χ хавтгайтай огтлолцох a ба b шулуунуудын огтлолцолоос үүссэн өнцгийг гэнэ.

Доорх зургийг анхаарч үзээрэй.

Шийдвэрийг өөр хэлбэрээр гаргаж болно. γ 1 ба γ 2 хавтгай огтлолцох үед c нь тэдгээрийн огтлолцсон шулуун байх үед c шулуунд перпендикуляр, γ 1 ба γ 2 хавтгайд байрлах a ба b шулууныг татах M цэгийг, дараа нь тэдгээрийн хоорондох өнцгийг тэмдэглэнэ. a ба b шугамууд нь хавтгай хоорондын өнцөг болно. Практикт энэ нь онгоцны хоорондох өнцөг үүсгэхэд хамаатай.

огтлолцох үед 90 градусаас бага утга бүхий өнцөг үүсдэг, өөрөөр хэлбэл өнцгийн градусын хэмжүүр нь энэ төрлийн интервалд (0, 90) хүчинтэй байна. Үүний зэрэгцээ эдгээр хавтгайг перпендикуляр гэж нэрлэдэг. огтлолцол дээр тэгш өнцөг үүснэ параллель хавтгай хоорондын өнцгийг тэгтэй тэнцүү гэж үзнэ.

Огтлолцох хавтгайн хоорондох өнцгийг олох ердийн арга бол нэмэлт барилга байгууламжийг гүйцэтгэх явдал юм. Энэ нь үүнийг үнэн зөв тодорхойлоход тусалдаг бөгөөд үүнийг гурвалжин, өнцгийн синус, косинусын тэгш байдал эсвэл ижил төстэй байдлын тэмдгүүдийг ашиглан хийж болно.

С 2 блокийн улсын нэгдсэн шалгалтын асуудлуудын жишээг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх талаар авч үзье.

Жишээ 1

Тэгш өнцөгт параллелепипед өгөгдсөн A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, энд A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, E цэг нь A A 1 талыг 4: 3 харьцаагаар хуваана. A B C ба B E D 1 хавтгайн хоорондох өнцгийг ол.

Шийдэл

Тодорхой болгохын тулд зураг зурах шаардлагатай. Бид үүнийг ойлгодог

Онгоц хоорондын өнцөгтэй ажиллахад илүү тохиромжтой болгохын тулд харааны дүрслэл шаардлагатай.

A B C ба B E D 1 хавтгайн огтлолцох шулуун шугамыг бид тодорхойлно. B цэг бол нийтлэг цэг юм. Өөр нэг нийтлэг уулзвар цэгийг олох хэрэгтэй. Нэг хавтгайд байрлах D A ба D 1 E шулуунуудыг авч үзье A D D 1. Тэдний байршил нь параллель байдлыг илэрхийлдэггүй;

Гэсэн хэдий ч D A шулуун шугам нь A B C хавтгайд, D 1 E нь B E D 1 хавтгайд байрладаг. Үүнээс бид шулуун шугамуудыг олж авдаг Д АТэгээд D 1 Eнийтлэг огтлолцлын цэгтэй байх ба энэ нь A B C ба B E D 1 хавтгайд нийтлэг байдаг. Шугамануудын огтлолцох цэгийг заана Д Аболон D 1 E F үсэг. Эндээс бид B F нь A B C ба B E D 1 хавтгайнуудын огтлолцох шулуун шугам гэдгийг олж мэднэ.

Доорх зургийг харцгаая.

Хариултыг олж авахын тулд B F шулуун дээр байрлах цэгийг дайран өнгөрч, түүнд перпендикуляр A B C ба B E D 1 хавтгайд байрлах шулуун шугамыг барих шаардлагатай. Дараа нь эдгээр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг A B C ба B E D 1 хавтгайн хоорондох хүссэн өнцөг гэж үзнэ.

Эндээс харахад А цэг нь Е цэгийн А хавтгай дээрх проекц юм В В. М цэг дээр зөв өнцгөөр B F шугамыг огтолж буй шулуун шугамыг зурах шаардлагатай. А М шулуун шугам нь проекц гэдгийг харж болно. A M ⊥ B F перпендикуляруудын тухай теорем дээр үндэслэн A B C хавтгай дээр E M шулуун шугамыг. Доорх зургийг анхаарч үзээрэй.

∠ A M E нь A B C ба B E D 1 хавтгайнуудын үүсгэсэн хүссэн өнцөг юм. Үүссэн A E M гурвалжнаас бид өнцгийн синус, косинус эсвэл тангенс, дараа нь хоёр тал нь мэдэгдэж байгаа тохиолдолд өнцгийг өөрөө олж болно. Нөхцөлөөр бид A E уртыг дараах байдлаар олно: A A 1 шулуун шугамыг Е цэгт 4: 3 харьцаагаар хуваана, энэ нь шулуун шугамын нийт урт нь 7 хэсэг, дараа нь A E = 4 хэсэг байна. Бид A M-г олдог.

A B F тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзэх шаардлагатай. Бидэнд A M өндөртэй тэгш өнцөгт А байна. A B = 2 нөхцөлөөс D D 1 F ба A E F гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас A F уртыг олж болно. Бид A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4 гэдгийг олж авна.

Пифагорын теоремыг ашиглан A B F гурвалжны B F талын уртыг олох шаардлагатай. Бид B F  = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 гэдгийг олж авна. A M талын уртыг A B F гурвалжны талбайгаар олно. Талбай нь S A B C = 1 2 · A B · A F ба S A B C = 1 2 · B F · A M хоёртой тэнцүү байж болно.

Бид A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5 гэдгийг олж авна.

Дараа нь бид A E M гурвалжны өнцгийн тангенсийн утгыг олж болно. Бид дараахийг авна.

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

A B C ба B E D 1 хавтгайнуудын огтлолцолоор олж авсан хүссэн өнцөг нь r c t g 5-тай тэнцүү бол хялбаршуулсаны дараа бид r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6-г авна.

Хариулт: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

О x y z координатын хавтгай ба координатын аргыг ашиглан огтлолцсон шугамуудын хоорондох өнцгийг олох зарим тохиолдлыг зааж өгсөн болно. Илүү дэлгэрэнгүй харцгаая.

Хэрэв огтлолцох γ 1 ба γ 2 хавтгайн хоорондох өнцгийг олох шаардлагатай асуудал өгөгдсөн бол бид хүссэн өнцгийг α гэж тэмдэглэнэ.

Тэгвэл өгөгдсөн координатын систем нь бидэнд огтлолцох γ 1 ба γ 2 хавтгайнуудын хэвийн векторуудын координат байгааг харуулж байна. Дараа нь бид n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z нь γ 1 хавтгайн хэвийн вектор бөгөөд n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) - гэж тэмдэглэнэ. хавтгай γ 2. Векторуудын координатын дагуу эдгээр хавтгайн хооронд байрлах өнцгийн нарийвчилсан тодорхойлолтыг авч үзье.

γ 1 ба γ 2 хавтгайнууд c үсэгтэй огтлолцох шулуун шугамыг тодорхойлох шаардлагатай. c шулуун дээр бид M цэгтэй байна түүгээр бид c-д перпендикуляр χ хавтгайг зурна. a ба b шулуунуудын дагуух χ хавтгай нь γ 1 ба γ 2 хавтгайг М цэг дээр огтолж байна. тодорхойлолтоос үзэхэд огтлолцох γ 1 ба γ 2 хавтгайн хоорондох өнцөг нь эдгээр хавтгайд хамаарах a ба b огтлолцох шулуунуудын өнцөгтэй тэнцүү байна.

χ хавтгайд бид M цэгээс хэвийн векторуудыг зурж тэдгээрийг n 1 → ба n 2 → гэж тэмдэглэнэ. n 1 → вектор нь а шулуунд перпендикуляр шулуун дээр, n 2 → вектор нь b шулуунтай перпендикуляр шулуун дээр байрлана. Эндээс өгөгдсөн χ хавтгай нь n 1 →, b шулууны хувьд n 2 → тэнцүү a шулууны хэвийн вектортой болохыг олж авна. Доорх зургийг анхаарч үзээрэй.

Эндээс бид векторуудын координатыг ашиглан огтлолцох шулуунуудын өнцгийн синусыг тооцоолох томъёог олж авна. Бид a ба b шулуунуудын хоорондох өнцгийн косинус нь огтлолцох γ 1 ба γ 2 хавтгайнуудын хоорондох косинустай ижил болохыг cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 томъёоноос олж авсан. x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, энд бид n 1 → = ( n 1 x, n 1 y, n 1 z) ба n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) нь дүрслэгдсэн хавтгайнуудын векторуудын координатууд юм.

Осолдох шугамуудын хоорондох өнцгийг томъёогоор тооцоолно

α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Жишээ 2

Нөхцөлийн дагуу параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 өгөгдсөн. , Үүнд: A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, E цэг нь A A талыг 1 4: 3-т хуваана. A B C ба B E D 1 хавтгайн хоорондох өнцгийг ол.

Шийдэл

Нөхцөл байдлаас харахад түүний талууд хос перпендикуляр байна. Энэ нь C цэгт оройтой O x y z координатын систем ба координатын O x, O y, O z тэнхлэгүүдийг нэвтрүүлэх шаардлагатай гэсэн үг юм. Чиглэлийг зохих тал руу нь тохируулах шаардлагатай. Доорх зургийг анхаарч үзээрэй.

огтлолцох онгоцууд A B CТэгээд B E D 1α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n томъёогоор олдох өнцөг үүсгэ. 2 y 2 + n 2 z 2, үүнд n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) ба n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z ) нь хэвийн векторууд юм. эдгээр онгоцууд. Энэ нь координатыг тодорхойлох шаардлагатай. Зураг дээрээс бид координатын тэнхлэг O x y нь A B C хавтгайтай давхцаж байгааг харж байгаа нь k → хэвийн векторын координатууд нь n 1 → = k → = (0, 0, 1) утгатай тэнцүү байна гэсэн үг юм.

B E D 1 хавтгайн хэвийн векторыг B E → ба B D 1 → вектор үржвэр гэж авдаг бөгөөд тэдгээрийн координатууд нь B, E, D 1 туйлын цэгүүдийн координатаар олддог бөгөөд эдгээрийг нөхцлөөс хамааран тодорхойлно. асуудал.

Бид B (0, 3, 0) , D 1 (2, 0, 7) гэсэн утгыг авна. A E E A 1 = 4 3 учраас A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 цэгүүдийн координатаас E 2, 3, 4-ийг олно. Бид B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

Олсон координатыг нумын косинусаар өнцгийг тооцоолох томъёонд орлуулах шаардлагатай. Бид авдаг

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Координатын арга нь ижил төстэй үр дүнг өгдөг.

Хариулт: a r c cos 6 6 .

Одоо байгаа хавтгайнуудын тэгшитгэлийн дагуу огтлолцох хавтгайн хоорондох өнцгийг олох зорилгоор эцсийн асуудлыг авч үзнэ.

Жишээ 3

O x y z координатын системд тодорхойлогдсон 2 x - 4 y + z + 1 = 0 ба 3 y - z тэгшитгэлээр өгөгдсөн өнцгийн синус, косинус, огтлолцсон хоёр шулуунаас үүссэн өнцгийн утгыг тооцоол. - 1 = 0.

Шийдэл

A x + B y + C z + D = 0 хэлбэрийн шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийн сэдвийг судлахад A, B, C нь хэвийн векторын координаттай тэнцүү коэффициентүүд болох нь тогтоогдсон. Энэ нь n 1 → = 2, - 4, 1 ба n 2 → = 0, 3, - 1 нь өгөгдсөн шулуунуудын хэвийн векторууд гэсэн үг юм.

Хавтгайнуудын хэвийн векторуудын координатыг огтлолцох хавтгайн хүссэн өнцгийг тооцоолох томъёонд орлуулах шаардлагатай. Дараа нь бид үүнийг авдаг

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Эндээс бид өнцгийн косинус cos α = 13 210 хэлбэртэй байна. Дараа нь огтлолцох шугамуудын өнцөг нь мохоо биш юм. Тригонометрийн адилтгалд орлуулснаар бид өнцгийн синусын утга нь илэрхийлэлтэй тэнцүү болохыг олж мэднэ. Үүнийг тооцоод олъё

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13,210 = 41,210

Хариулт: sin α = 41,210, cos α = 13,210, α = a r c cos 13,210 = a r c sin 41,210.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Зорилтууд:

• Асуудлыг шийдвэрлэх янз бүрийн арга барилыг авч үзэх, эдгээр шийдлийн аргуудыг ашиглах "үр нөлөө" -д дүн шинжилгээ хийх чадварыг хөгжүүлэх;
• оюутны илүү бат бөх мэдлэг, өөртөө итгэлтэй ур чадвар дээр үндэслэн математикийн сонголтын дагуу асуудлыг шийдвэрлэх аргыг сонгох чадварыг хөгжүүлэх;
• үр дүнд хүрэхийн тулд дараалсан үе шатуудын төлөвлөгөө гаргах чадварыг хөгжүүлэх;
• хийсэн бүх алхам, тооцоог зөвтгөх чадварыг хөгжүүлэх;
• Стереометр, планиметрийн янз бүрийн сэдэв, асуудлуудыг давтаж, нэгтгэх, одоогийн асуудлыг шийдвэрлэхтэй холбоотой ердийн стереометрийн бүтэц;
• орон зайн сэтгэлгээг хөгжүүлэх.

• асуудлыг шийдвэрлэх янз бүрийн аргуудын шинжилгээ: координат-векторын арга, косинусын теоремыг хэрэглэх, гурван перпендикуляр теоремыг хэрэглэх;
• арга тус бүрийн давуу болон сул талуудыг харьцуулах;
• шоо, гурвалжин призм, ердийн зургаан өнцөгтийн шинж чанарыг давтах;
• улсын нэгдсэн шалгалтыг өгөх бэлтгэл;
• шийдвэр гаргахад бие даасан байдлыг хөгжүүлэх.

Хичээлийн тойм

Шоо хэлбэрээр ABCDA 1 B 1 C 1 D 1ирмэгтэй 1 цэг O - нүүрний төв ABCD.

a) шулуун шугамын хоорондох өнцөг А 1 ДТэгээд Б.О.;

б) цэгээс хол Бсегментийн дунд хүртэл А 1 Д.

a) цэгийн шийдэл.

Зурагт үзүүлсэн шиг шоо дөрвөлжин координатын системд оройнуудаа байрлуулцгаая. A 1 (1; 0; 1), D (1; 1; 0), B 1 (0; 0; 1), O (½; ½; 0).

Шулуун шугамын чиглэлийн векторууд А 1 ДТэгээд B 1 O:

(0; 1; -1) ба (½; ½; -1);

Бид тэдгээрийн хоорондох хүссэн өнцгийг φ томъёогоор олно:

cos∠φ = ,
эндээс ∠φ = 30° байна.

Арга 2. Бид косинусын теоремыг ашигладаг.

1) Шулуун шугам зурцгаая B 1 Cшугамтай зэрэгцээ А 1 Д. Булан CB 1 Oтаны хайж байгаа зүйл байх болно.

2) Тэгш өнцөгт гурвалжингаас BB 1 OПифагорын теоремын дагуу:

3) Гурвалжны косинусын теоремоор CB 1 Oөнцгийг тооцоол CB 1 O:

cos CB 1 O = , шаардлагатай өнцөг нь 30 ° байна.

Сэтгэгдэл. Асуудлыг 2-р аргаар шийдвэрлэхдээ гурван перпендикулярын теоремын дагуу та анзаарч болно. COB 1 = 90°, тиймээс тэгш өнцөгт ∆-аас CB 1 OМөн хүссэн өнцгийн косинусыг тооцоолоход хялбар байдаг.

b) цэгийн шийдэл.

1 арга зам. Хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёог ашиглая

Гол нь байя Э- дунд А 1 Д, дараа нь координатууд E (1; 1/2; ½), B (0; 0; 0).

BE = .

Арга 2. Пифагорын теоремын дагуу

Тэгш өнцөгтөөс ∆ B.A.E.шууд хамт B.A.E.бид олдог BE = .

Ердийн гурвалжин призм дээр ABCA 1 B 1 C 1бүх ирмэгүүд тэнцүү байна а. Шугамын хоорондох өнцгийг ол ABТэгээд А 1 С.

1 арга зам. Координатын векторын арга

Призмийг зурагт үзүүлсэн шиг байрлуулах үед тэгш өнцөгт систем дэх призмийн оройн координатууд: A (0; 0; 0), B (a; ; 0), A 1 (0; 0; a), C (0; a; 0).

Шулуун шугамын чиглэлийн векторууд А 1 СТэгээд AB:

(0; а; -а)Тэгээд (а; ; 0} ;

cos φ = ;

Арга 2. Бид косинусын теоремыг ашигладаг

Бид ∆ гэж үздэг A 1 B 1 C, аль нь A 1 B 1 || AB. Бидэнд байна

cos φ = .

(2012 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын цуглуулгаас. Математик: А.Л. Семенов, И.В. Ященко нарын засварласан шалгалтын стандарт хувилбарууд)

Ердийн зургаан өнцөгт призмд ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү бол цэгээс зайг ол Эшулуун шугам руу B 1 C 1.

1 арга зам. Координатын векторын арга

1) Зурагт үзүүлсэн шиг координатын тэнхлэгүүдийг байрлуулж, тэгш өнцөгт координатын системд призмийг байрлуул. SS 1, NEТэгээд SEхос перпендикуляр тул тэдгээрийн дагуу координатын тэнхлэгүүдийг чиглүүлэх боломжтой. Бид координатуудыг авдаг:

C 1 (0; 0; 1), E (; 0; 0), B 1 (0;1;1).

2) Шугамануудын чиглэлийн векторуудын координатыг ол 1-ээс 1 хүртэлТэгээд C 1 E:

(0;1;0), (;0;-1).

3) хоорондох өнцгийн косинусыг ол 1-ээс 1 хүртэлТэгээд C 1 E, векторуудын скаляр үржвэрийг ашиглах ба:

cos β = = 0 => β = 90° => C 1 E – шаардлагатай зай.

4)C 1 E = = 2.

Дүгнэлт: Стереометрийн асуудлыг шийдвэрлэх янз бүрийн аргын талаархи мэдлэг нь аливаа оюутны хувьд илүү тохиромжтой аргыг сонгох боломжийг олгодог. Оюутан өөрийгөө итгэлтэйгээр эзэмшиж, алдаа гаргахаас зайлсхийхэд тусалдаг, асуудлыг амжилттай шийдэж, шалгалтанд сайн оноо авахад хүргэдэг. Координатын арга нь бусад аргуудаас давуу талтай бөгөөд энэ нь стереометрийн тооцоолол, алсын хараа бага шаарддаг бөгөөд оюутнуудад илүү сайн мэддэг планиметрийн болон алгебрийн олон аналоги бүхий томьёог ашиглахад үндэслэдэг.

Хичээлийн хэлбэр нь багшийн тайлбарыг оюутнуудын урд талын хамтын ажилтай хослуулсан явдал юм.

Асуудалтай олон талтуудыг видео проектор ашиглан дэлгэцэн дээр харуулсан бөгөөд энэ нь янз бүрийн шийдлийн аргуудыг харьцуулах боломжийг олгодог.

Гэрийн даалгавар: 3-р асуудлыг өөр аргаар, жишээлбэл гурван перпендикуляр теорем ашиглан шийд .

Уран зохиол

1. Ершова А.П., Голобородко В.В. 11-р ангийн геометрийн бие даасан болон тестийн ажил. – М.: ИЛЕКСА, – 2010. – 208 х.

2. Геометр, 10-11: Боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг: үндсэн ба тусгай түвшин / L.S.Atanasyan, V.F. Бутузов, С.Б. Кадомцев нар - М.: Боловсрол, 2007. - 256 х.

3. Улсын нэгдсэн шалгалт-2012. Математик: шалгалтын стандарт сонголтууд: 10 сонголт / ed. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: Үндэсний боловсрол, 2011. – 112 х. – (USE-2012. FIPI - сургууль).

\(\blacktrianglerright\) Хоёр талт өнцөг нь хоёр хагас хавтгай ба шулуун шугамаас үүссэн өнцөг юм \(a\) нь тэдгээрийн нийтлэг хил юм.

\(\blacktrianglerright\) \(\xi\) ба \(\pi\) хавтгайн хоорондох өнцгийг олохын тулд шугаман өнцгийг (болон) олох хэрэгтэй. халуун ногоотойэсвэл шууд) \(\xi\) ба \(\pi\) хавтгайнуудын үүсгэсэн хоёр өнцөгт өнцөг:

Алхам 1: \(\xi\cap\pi=a\) (онгоцуудын огтлолцлын шугам). \(\xi\) хавтгайд бид дурын цэгийг тэмдэглэж \(F\) зурж \(FA\perp a\) ;

Алхам 2: гүйцэтгэх \(FG\perp \pi\);

Алхам 3: TTP дагуу (\(FG\) – перпендикуляр, \(FA\) – ташуу, \(AG\) – проекц) бидэнд: \(AG\perp a\) ;

Алхам 4: \(\ өнцөг FAG\) өнцгийг \(\xi\) ба \(\pi\) хавтгайнуудын үүсгэсэн хоёр талт өнцгийн шугаман өнцөг гэнэ.

Гурвалжин \(AG\) тэгш өнцөгт гэдгийг анхаарна уу.
Ийм байдлаар баригдсан \(AFG\) хавтгай нь \(\xi\) ба \(\pi\) хоёр хавтгайд перпендикуляр байгааг анхаарна уу. Тиймээс бид үүнийг өөрөөр хэлж болно: хавтгай хоорондын өнцөг\(\xi\) ба \(\pi\) нь \(\xi\) ба \(\xi\-д перпендикуляр хавтгай үүсгэдэг \(c\in \xi\) ба \(b\in\pi\) хоёр огтлолцсон шугамын хоорондох өнцөг юм. ), болон \(\pi\) .

Даалгавар 1 №2875

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалтаас илүү хэцүү

Өгөгдсөн дөрвөлжин пирамид, бүх ирмэг нь тэнцүү, суурь нь дөрвөлжин байна. \(6\cos \alpha\)-г олоорой, энд \(\альфа\) нь түүний хажуугийн хажуугийн хоорондох өнцөг юм.

\(SABCD\) ирмэг нь \(a\) -тай тэнцүү өгөгдсөн пирамид (\(S\) орой) байг. Үүний үр дүнд бүх хажуугийн нүүр нь ижил талт гурвалжин болно. \(SAD\) ба \(SCD\) нүүрний хоорондох өнцгийг олцгооё.

\(CH\perp SD\) хийцгээе. Учир нь \(\ гурвалжин SAD = \ гурвалжин SCD \), тэгвэл \(AH\) нь \(\ гурвалжин SAD\) -ын өндөр байх болно. Тиймээс, тодорхойлолтоор \(\өнцөг AHC=\альфа\) нь \(SAD\) ба \(SCD\) нүүрний хоорондох хоёр талт өнцгийн шугаман өнцөг юм.
Суурь нь квадрат тул \(AC=a\sqrt2\) . Түүнчлэн \(CH=AH\) нь \(a\ талтай тэгш талт гурвалжны өндөр) учир \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) гэдгийг анхаарна уу.
Дараа нь \(\ гурвалжин AHC\) косинусын теоремоор: \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Хариулт: -2

Даалгавар 2 №2876

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалтаас илүү хэцүү

\(\pi_1\) ба \(\pi_2\) онгоцууд косинус нь \(0.2\)-тэй тэнцүү өнцгөөр огтлолцоно. \(\pi_2\) ба \(\pi_3\) хавтгайнууд зөв өнцгөөр огтлолцох ба \(\pi_1\) ба \(\pi_2\) хавтгайн огтлолцлын шугам нь тэгш өнцөгтийн огтлолцлын шугамтай параллель байна. онгоц \(\pi_2\) ба \(\ pi_3\) . \(\pi_1\) ба \(\pi_3\) хавтгайн хоорондох өнцгийн синусыг ол.

\(\pi_1\) ба \(\pi_2\)-ийн огтлолцох шугамыг шулуун \(a\), \(\pi_2\) ба \(\pi_3\)-ийн огтлолцох шугамыг шулуун гэж үзье. шугам \(b\), мөн огтлолцох шугам \(\pi_3\) ба \(\pi_1\) – шулуун шугам \(c\) . \(a\зэрэгцээ b\) тул \(c\зэрэгцээ a\зэрэгцээ b\) ("Орон зай дахь геометр" онолын лавлах хэсгийн теоремын дагуу \(\баруун сум\) "Стереометрийн танилцуулга, параллелизм").

\(A\in a, B\in b\) цэгүүдийг тэмдэглэж \(AB\perp a, AB\perp b\) (энэ нь \(a\зэрэгцээ b\) -ээс хойш боломжтой). \(C\in c\) гэж тэмдэглэе, ингэснээр \(BC\perp c\) , тиймээс \(BC\perp b\) . Дараа нь \(AC\perp c\) болон \(AC\perp a\) .
Үнэхээр \(AB\perp b, BC\perp b\) тул \(b\) нь \(ABC\) хавтгайд перпендикуляр байна. \(c\зэрэгцээ a\зэрэгцээ b\) тул \(a\) ба \(c\) шугамууд нь \(ABC\) хавтгайд перпендикуляр, тиймээс энэ хавтгайн аль ч шулуунд, ялангуяа , шугам \ (AC\) .

Үүнийг дагадаг \(\ өнцөг BAC=\ өнцөг (\pi_1, \pi_2)\), \(\өнцөг ABC=\өнцөг (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\ өнцөг BCA=\ өнцөг (\pi_3, \pi_1)\). \(\гурвалжин ABC\) нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй болох нь харагдаж байна \[\sin \өнцөг BCA=\cos \өнцөг BAC=0.2.\]

Хариулт: 0.2

Даалгавар 3 №2877

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалтаас илүү хэцүү

Өгөгдсөн шулуун шугамууд \(a, b, c\) нэг цэгт огтлолцох бөгөөд тэдгээрийн аль нэг хоёрын хоорондох өнцөг нь \(60^\circ\) -тэй тэнцүү байна. \(\cos^(-1)\alpha\)-г олох ба энд \(\альфа\) нь \(a\) ба \(c\) шугамаар үүсгэгдсэн хавтгай ба \( шугамаар үүссэн хавтгайн хоорондох өнцөг юм. b\ ) ба \(c\) . Хариултаа градусаар өгнө үү.

Шулуунуудыг \(O\) цэг дээр огтолцгооё. Аль ч хоёрын хоорондох өнцөг нь \(60^\circ\) тэнцүү тул гурван шулуун нь нэг хавтгайд хэвтэж болохгүй. \(a\) шугамын \(A\) цэгийг тэмдэглээд \(AB\perp b\) болон \(AC\perp c\) зуръя. Дараа нь \(\гурвалжин AOB=\гурвалжин AOC\)гипотенуз ба хурц өнцгийн дагуу тэгш өнцөгт хэлбэртэй. Тиймээс \(OB=OC\) ба \(AB=AC\) .
\(AH\perp (BOC)\) хийцгээе. Дараа нь теоремоор гурван перпендикулярын тухай \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . \(AB=AC\) тул \(\гурвалжин AHB=\гурвалжин AHC\)гипотенуз ба хөлний дагуу тэгш өнцөгт хэлбэртэй. Тиймээс \(HB=HC\) . Энэ нь \(OH\) ​​нь \(BOC\) өнцгийн биссектрис гэсэн үг (\(H\) цэг нь өнцгийн талуудаас ижил зайд байрладаг).

Ийм байдлаар бид \(a\) ба \(c\) шугамаар үүсгэсэн хавтгай, \(b\) ба \(c) шулуунаас үүссэн хавтгайн хоёр өнцөгт өнцгийн шугаман өнцгийг мөн байгуулсныг анхаарна уу. \) . Энэ нь \(ACH\) өнцөг юм.

Энэ өнцгийг олъё. Бид \(A\) цэгийг дур зоргоороо сонгосон тул \(OA=2\) байхаар сонгоцгооё. Дараа нь тэгш өнцөгт хэлбэрээр \(\ гурвалжин AOC\): \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]\(OH\) ​​нь биссектриса тул \(\өнцөг HOC=30^\circ\) , тэгэхээр тэгш өнцөгт \(\гурвалжин HOC\) : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\]Дараа нь тэгш өнцөгт \(\ гурвалжин ACH\) -аас: \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Хариулт: 3

Даалгавар 4 №2910

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалтаас илүү хэцүү

\(\pi_1\) ба \(\pi_2\) хавтгайнууд \(M\) ба \(N\) цэгүүд байрлах \(l\) шулууны дагуу огтлолцоно. \(MA\) ба \(MB\) хэсгүүд нь \(l\) шулуунд перпендикуляр бөгөөд \(\pi_1\) ба \(\pi_2\) ба \(MN = 15) хавтгайд оршдог. \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . \(3\cos\alpha\) -г ол, энд \(\альфа\) нь \(\pi_1\) ба \(\pi_2\) хавтгайн хоорондох өнцөг юм.

\(AMN\) гурвалжин нь тэгш өнцөгт, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), эндээс \ \(BMN\) гурвалжин нь тэгш өнцөгт, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) бөгөөд үүнээс \(AMB\) гурвалжны косинусын теоремыг бичнэ: \ Дараа нь \ Хавтгайнуудын хоорондох \(\альфа\) өнцөг нь хурц өнцөг бөгөөд \(\ өнцөг AMB\) нь мохоо болж хувирсан тул \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Дараа нь \

Хариулт: 1.25

Даалгавар 5 №2911

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалтаас илүү хэцүү

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) параллелепипед, \(ABCD\) тал нь \(a\) дөрвөлжин, \(M\) цэг нь \(A_1\) цэгээс хавтгайд унасан перпендикулярын суурь \ ((ABCD)\) , үүнээс гадна \(M\) нь \(ABCD\) квадратын диагональуудын огтлолцох цэг юм. Энэ нь мэдэгдэж байна \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). \((ABCD)\) ба \((AA_1B_1B)\) хавтгайн хоорондох өнцгийг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.

Зурагт үзүүлсэн шиг \(AB\) -д перпендикуляр \(MN\) байгуулъя.

\(ABCD\) нь \(a\) ба \(MN\perp AB\) ба \(BC\perp AB\) талтай квадрат тул \(MN\параллель BC\) . \(M\) нь дөрвөлжингийн диагональуудын огтлолцлын цэг тул \(M\) нь \(AC\)-ийн дунд байх тул \(MN\) нь дунд шугам ба \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) нь \(A_1N\) хавтгайд \((ABCD)\) проекц бөгөөд \(MN\) нь \(AB\) перпендикуляр, тэгвэл гурван перпендикуляр теоремоор \ (A_1N\) нь \(AB \) -д перпендикуляр байх ба \((ABCD)\) ба \((AA_1B_1B)\) хавтгайн хоорондох өнцөг нь \(\ өнцөг A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \өнцөг A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Баруун сум\qquad\өнцөг A_1NM = 60^(\circ)\]

Хариулт: 60

Даалгавар 6 №1854

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалтаас илүү хэцүү

Талбайд \(ABCD\) : \(O\) – диагональуудын огтлолцох цэг; \(S\) – квадратын хавтгайд оршдоггүй, \(SO \perp ABC\) . \(SO = 5\) ба \(AB = 10\) бол \(ASD\) ба \(ABC\) хавтгайн хоорондох өнцгийг ол.

\(\гурвалжин SAO\) ба \(\гурвалжин SDO\) тэгш өнцөгтүүд нь хоёр талдаа тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн хоорондох өнцөг (\(SO \perp ABC\) \(\Баруун сум\) \(\өнцгийн SOA = \өнцгийн SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , учир нь \(O\) – квадратын диагональуудын огтлолцох цэг, \(SO\) – нийтлэг тал) \(\Баруун сум\) \(AS = SD\) \(\Баруун сум\) \(\гурвалжин ASD\ ) – ижил хажуу тал. \(K\) цэг нь \(AD\)-ийн дунд хэсэг, дараа нь \(SK\) нь \(\triangle ASD\), \(OK\) нь гурвалжны өндөр \( AOD\) \(\ Баруун сум\) хавтгай \(SOK\) \(ASD\) ба \(ABC\) \(\Баруун сум\) \(\ өнцөг SKO\) хавтгайд перпендикуляр байна – хүссэн хэмжээтэй тэнцүү шугаман өнцөг хоёр талт өнцөг.

\(\ гурвалжин SKO\) дотор: \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Баруун сум\) \(\гурвалжин SOK\) – тэгш өнцөгт тэгш өнцөгт гурвалжин \(\Баруун сум\) \(\өнцөг SKO = 45^\circ\) .

Хариулт: 45

Даалгавар 7 №1855

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалтаас илүү хэцүү

Талбайд \(ABCD\) : \(O\) – диагональуудын огтлолцох цэг; \(S\) – квадратын хавтгайд оршдоггүй, \(SO \perp ABC\) . \(SO = 5\) ба \(AB = 10\) бол \(ASD\) ба \(BSC\) хавтгайн хоорондох өнцгийг ол.

\(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) болон \(\triangle SOC\) тэгш өнцөгтүүд нь хоёр талдаа тэнцүү ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг (\(SO \perp ABC) \) \(\Баруун сум\) \(\өнцгийн SOA = \өнцгийн SOD = \өнцгийн SOB = \өнцгийн SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), учир нь \(O\) – квадратын диагональуудын огтлолцох цэг, \(SO\) – нийтлэг тал) \(\Баруун сум\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Баруун сум\) \( \triangle ASD\) ба \(\triangle BSC\) нь ижил өнцөгт байна. \(K\) цэг нь \(AD\)-ийн дунд хэсэг, дараа нь \(SK\) нь \(\triangle ASD\), \(OK\) нь гурвалжны өндөр \( AOD\) \(\ Баруун сум\) хавтгай \(SOK\) нь \(ASD\) хавтгайд перпендикуляр байна. \(L\) цэг нь \(BC\)-ийн дунд, \(SL\) нь \(\гурвалжин BSC\), \(OL\) нь гурвалжны өндөр \( BOC\) \(\ Rightarrow\) хавтгай \(SOL\) (өөрөөр хэлбэл \(SOK\)) хавтгайд перпендикуляр байна \(BSC\) . Тиймээс бид \(\ өнцөг KSL\) нь хүссэн хоёр талт өнцөгтэй тэнцэх шугаман өнцөг гэдгийг олж авна.

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Баруун сум\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – Пифагорын теоремыг ашиглан олж болох ижил тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Үүнийг анзаарч болно \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Баруун сум\) гурвалжны хувьд \(\гурвалжин KSL\) Пифагорын урвуу теорем нь \(\Баруун тал\) \(\гурвалжин KSL\) - зөв гурвалжин \(\Баруун сум\) \(\ өнцөг KSL = 90 байна. ^\ circ\).

Хариулт: 90

Оюутнуудыг математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх нь дүрмээр бол үндсэн томъёог, тэр дундаа онгоцны хоорондох өнцгийг тодорхойлох боломжийг олгодог томъёог давтахаас эхэлдэг. Сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт геометрийн энэ хэсгийг хангалттай нарийвчлан тусгасан байдаг ч олон төгсөгчид үндсэн материалыг давтах шаардлагатай болдог. Онгоцны хоорондох өнцгийг хэрхэн олохыг ойлгосноор ахлах сургуулийн сурагчид асуудлыг шийдвэрлэхдээ зөв хариултыг хурдан тооцоолж, улсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцсэний үр дүнд зохих оноо авах боломжтой болно.

Үндсэн нюансууд

Хоёр өнцөгт өнцгийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултад хүндрэл учруулахгүйн тулд Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавруудыг даван туулахад туслах шийдлийн алгоритмыг дагаж мөрдөхийг зөвлөж байна.

Эхлээд та онгоцууд огтлолцох шулуун шугамыг тодорхойлох хэрэгтэй.

Дараа нь та энэ шулуун дээрх цэгийг сонгоод хоёр перпендикуляр зурах хэрэгтэй.

Дараагийн алхам бол перпендикуляруудын үүсгэсэн хоёр талт өнцгийн тригонометрийн функцийг олох явдал юм. Үүнийг хийх хамгийн тохиромжтой арга бол өнцөг нь нэг хэсэг болох үүссэн гурвалжны тусламжтайгаар юм.

Хариулт нь өнцгийн утга эсвэл түүний тригонометрийн функц байх болно.

Школковотой шалгалтанд бэлтгэх нь таны амжилтанд хүрэх түлхүүр юм

Улсын нэгдсэн шалгалт өгөхийн өмнөхөн хичээлийн үеэр олон сургуулийн сурагчид 2 хавтгай хоорондын өнцгийг тооцоолох боломжийг олгодог тодорхойлолт, томъёог олох асуудалтай тулгардаг. Сургуулийн сурах бичиг шаардлагатай үед тэр бүр гарт байдаггүй. Шаардлагатай томьёо, тэдгээрийн зөв хэрэглээний жишээг олохын тулд, тэр дундаа интернетээс онгоц хоорондын өнцгийг онлайнаар олохын тулд заримдаа та маш их цаг зарцуулах хэрэгтэй болдог.

Школково математикийн портал нь улсын шалгалтанд бэлтгэх шинэ аргыг санал болгож байна. Манай вэбсайт дээрх хичээлүүд нь оюутнуудад хамгийн хэцүү хэсгийг олж тогтоох, мэдлэгийн цоорхойг нөхөхөд тусална.

Бид шаардлагатай бүх материалыг бэлтгэж, тодорхой танилцуулсан. Үндсэн тодорхойлолт, томъёог "Онолын мэдээлэл" хэсэгт үзүүлэв.

Материалыг илүү сайн ойлгохын тулд бид зохих дасгалуудыг хийхийг санал болгож байна. "Каталог" хэсэгт янз бүрийн нарийн төвөгтэй даалгавруудын том сонголтыг, жишээлбэл, дээр харуулав. Бүх даалгавар нь зөв хариултыг олох нарийвчилсан алгоритмыг агуулдаг. Сайт дээрх дасгалын жагсаалтыг байнга нэмж, шинэчилж байдаг.

Оюутнууд хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийг олох шаардлагатай асуудлыг шийдвэрлэх дадлага хийх явцдаа ямар ч ажлыг онлайнаар "Дуртай" болгон хадгалах боломжтой. Үүний ачаар тэд шаардлагатай тооны удаад буцаж ирж, сургуулийн багш эсвэл багштай шийдвэрлэх явцын талаар ярилцах боломжтой болно.