Хэлбэлзлийн тэгшитгэл. Механик чичиргээний үндсэн томъёо Механик тэнцвэрийн механик чичиргээ ба долгионы томъёо

БА хоёр үнэгүй хичээл аваарай SkyEng англи хэлний сургуульд!
Би өөрөө тэнд сурдаг - маш сайхан. Ахиц дэвшил гарч байна.

Аппликешн дээр та үг сурах, сонсох, дуудлагыг сургах боломжтой.

Үүнийг туршаад үзээрэй. Миний холбоосыг ашиглан хоёр хичээл үнэгүй!
дарна уу

Хэлбэлзэх хөдөлгөөн (эсвэл хэлбэлзэл)Физик, технологийн хувьд ийм төрлийн хөдөлгөөнийг (эсвэл төлөвийн өөрчлөлтийг) тодорхой хэмжээгээр давтагдах чадвартай гэж нэрлэдэг.

Синус эсвэл косинусын хуулийн дагуу үүсдэг хэлбэлзлийг гармоник гэж нэрлэдэг.

Гармоник чичиргээний тэгшитгэл:

хаана t-цаг; x-утга нь цаг хугацааны хувьд өөрчлөгдөх (координат, цэнэг, гүйдэл, emf гэх мэт); A - хэлбэлзлийн далайц - дундаж (тэг) утгаас хэлбэлзэх утгын хамгийн их хазайлт; - хэлбэлзлийн үе шат; - эхний үе шат; w - мөчлөгийн давтамж (нэгж хугацаанд фазын өөрчлөлт). Энэ хугацаанд үе шат нь .

Гармоник чичиргээний дифференциал тэгшитгэл

Маягтын тэгшитгэл:

гармоник чичиргээний дифференциал тэгшитгэл.

Тогтмол хэлбэлзлийн төрлийг гармоник цуваа гэж нэрлэгддэг гармоник хэлбэлзлийн нийлбэрээр ямар ч нарийвчлалтайгаар илэрхийлж болно.

Биеийг тэнцвэрт байдлаас (яаж ч хамаагүй) гаргаж, өөртөө үлдээсэн тохиолдолд үүсгэх хэлбэлзлийг чөлөөт (байгалийн) хэлбэлзэл гэнэ. Хэрэв байгалийн чичиргээ нь зөвхөн хагас уян харимхай хүчний нөлөөгөөр үүсдэг бол тэдгээр нь гармоник болно.

Хагас уян харимхай хүч ба үрэлтийн хүчний (энэ нь агшин зуурын хурдтай пропорциональ: ) нэгэн зэрэг үйлчилснээр үүссэн биеийн хэлбэлзлийг сулруулсан хэлбэлзэл гэнэ.

(3) тэгшитгэлийг саармагжуулсан хэлбэлзлийн дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Энд сулралтын коэффициент байна.

Хэлбэлзлийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл

Норгосон хэлбэлзлийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл (3) нь дараах хэлбэрийн хамаарал юм.

(4) тэгшитгэлийг саармагжуулсан хэлбэлзлийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Тэгшитгэл (4) нь саармагжуулсан хэлбэлзлийн далайц нь цаг хугацаанаас хамаардаг болохыг харуулж байна. Тогтмол А нь эхний нөхцлөөр тодорхойлогддог. Хэлбэлзлийн далайц багасч, ерөнхийдөө зурагт үзүүлсэн шиг харагдана. 1

будаа. 1.

Норгосны хэлбэлзлийн хугацааг (5) томъёогоор тооцоолно.

Норгосны коэффициентийн физик утга нь чийгшүүлэх коэффициент нь сулрах хугацааны эсрэг утгатай байна. Мөн амрах хугацаа нь далайц e дахин багасах хугацаа юм. Гэсэн хэдий ч сулралтын коэффициент нь унтралтыг бүрэн тодорхойлдоггүй. Ихэвчлэн хэлбэлзлийн бууралт нь уналтын бууралтаар тодорхойлогддог. Сүүлийнх нь хэлбэлзлийн далайц нь хэлбэлзлийн хугацаатай тэнцүү хугацаанд хэдэн удаа буурч байгааг харуулдаг. Өөрөөр хэлбэл, сааруулагчийн бууралтыг дараах байдлаар тодорхойлно.

Норгосны бууралтын логарифмыг логарифмын бууралт гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь тодорхой тэнцүү байна:

Хэрэв хэлбэлзлийн систем нь гадны үечилсэн хүчний нөлөөлөлд өртөх юм бол албадан хэлбэлзэл гэж нэрлэгддэг бөгөөд тэдгээр нь байгалийн уналтгүй байдаг.

Албадан хэлбэлзэл нь өөрөө хэлбэлзлээс ялгагдах ёстой. Систем дэх өөрөө хэлбэлзлийн үед тусгай механизм нь өөрийн хэлбэлзлээрээ цаг хугацааны явцад системд эрчим хүчний багахан хэсгийг "хангадаг" гэж үздэг.

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

ЖИШЭЭ 1

Гармоник хэлбэлзэл нь дараахь хуулийн дагуу явагддаг.

x = А cos(ω т + φ 0),

Хаана x- бөөмийг тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэх; А– хэлбэлзлийн далайц, ω – дугуй давтамж, φ 0 – эхний үе шат, т- цаг.

Хэлбэлзлийн үе Т = .

Хэлбэлзэх бөөмийн хурд:

υ = = – Аω нүгэл(ω т + φ 0),

хурдатгал а = = –Аω 2 cos (ω т + φ 0).

Тербеллийн хөдөлгөөнд орж буй бөөмийн кинетик энерги: Э k = =
нүгэл 2 (ω т+ φ 0).

Боломжит энерги:

Э n=
cos 2 (ω т + φ 0).

Савлуурын хэлбэлзлийн үеүүд

- хавар Т =
,

Хаана м- ачааны масс, к- хаврын хөшүүн байдлын коэффициент,

- математик Т = ,

Хаана л- түдгэлзүүлэлтийн урт, g- чөлөөт уналтын хурдатгал,

- физик Т =
,

Хаана I- дүүжлүүрийн тэнхлэгтэй харьцуулахад дүүжингийн инерцийн момент; м- дүүжингийн масс, л– түдгэлзүүлэх цэгээс массын төв хүртэлх зай.

Физик дүүжингийн багассан уртыг дараах нөхцлөөс олно. л np = ,

Тэмдэглэгээ нь физик дүүжинтэй адил байна.

Ижил давтамжтай, нэг чиглэлтэй хоёр гармоник хэлбэлзлийг нэмэхэд далайцтай ижил давтамжтай гармоник хэлбэлзлийг олж авна.

А = А 1 2 + А 2 2 + 2А 1 А 2 cos(φ 2 – φ 1)

ба эхний үе шат: φ = арктан
.

Хаана А 1 , А 2 – далайц, φ 1, φ 2 – атираат хэлбэлзлийн эхний үе шатууд.

Ижил давтамжтай харилцан перпендикуляр хэлбэлзлийг нэмэх үед үүссэн хөдөлгөөний замнал:

+ – cos (φ 2 – φ 1) = нүгэл 2 (φ 2 – φ 1).

Норгосны хэлбэлзэл нь дараахь хуулийн дагуу явагдана.

x = А 0 д - β т cos(ω т + φ 0),

β нь сааруулагч коэффициент, үлдсэн параметрүүдийн утга нь гармоник хэлбэлзэлтэй ижил байна; А 0 - анхны далайц. Хэсэг хугацааны дараа тчичиргээний далайц:

А = А 0 д - β т .

Логарифмын бууралтыг дараах байдлаар нэрлэнэ.

λ = бүртгэл
= β Т,

Хаана Т- хэлбэлзлийн хугацаа: Т = .

Тербеллийн системийн чанарын хүчин зүйлийг:

Хавтгай долгионы тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

y = y 0 учир ω( т ± ),

Хаана цагт- хэлбэлзлийн хэмжигдэхүүнийг тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэх; цагт 0 – далайц, ω – өнцгийн давтамж, т- цаг хугацаа, X- долгион тархах координат; υ - долгионы тархалтын хурд.

"+" тэмдэг нь тэнхлэгийн эсрэг тархаж буй долгионтой тохирч байна X, "-" тэмдэг нь тэнхлэгийн дагуу тархах долгионтой тохирч байна X.

Долгионы уртыг түүний орон зайн хугацаа гэж нэрлэдэг.

λ = υ Т,

Хаана υ - долгионы тархалтын хурд; Т- хэлбэлзэл тархах хугацаа.

Долгионы тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

y = y 0 cos 2π (+).

Байнгын долгионыг дараах тэгшитгэлээр тодорхойлно.

y = (2y 0cos ) cos ω т.

Байнгын долгионы далайцыг хаалтанд бичнэ. Хамгийн их далайцтай цэгүүдийг антинод гэж нэрлэдэг.

x n = n ,

тэг далайцтай цэгүүд - зангилаа,

xу = ( n + ) .

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Асуудал 20

Гармоник чичиргээний далайц нь 50 мм, хугацаа 4 секунд, эхний үе шат . a) Энэ хэлбэлзлийн тэгшитгэлийг бичнэ үү; б) тэнцвэрийн байрлалаас хэлбэлзэх цэгийн шилжилтийг ол т=0 ба цагт т= 1.5 сек; в) энэ хөдөлгөөний графикийг зур.

Шийдэл

Хэлбэлзлийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ x = а cos( т+  0).

Нөхцөл байдлын дагуу хэлбэлзлийн үе нь мэдэгдэж байна. Үүгээр бид  = дугуй давтамжийг илэрхийлж болно . Үлдсэн параметрүүд нь мэдэгдэж байна:

A) x= 0.05cos( т + ).

б) Оффсет xцагт т= 0.

x 1 = 0.05 cos = 0.05 = 0.0355 м.

At т= 1.5 сек

x 2 = 0.05 cos( 1,5 + )= 0.05 cos  = – 0.05 м.

В ) функцийн график x=0.05cos ( т + ) дараах байдалтай байна.

Хэд хэдэн цэгийн байрлалыг тодорхойлъё. Мэдэгдэж байгаа X 1 (0) ба X 2 (1.5), түүнчлэн хэлбэлзлийн үе. Тиймээс, -ээр дамжуулан т= 4 секундын утга Xдавтаж,  дараа т = 2 сек тэмдэг өөрчлөгдөнө. Хамгийн их ба хамгийн бага хооронд дунд нь 0 байна.

Асуудал 21

Цэг нь гармоник хэлбэлзэлд ордог. Хэлбэлзлийн хугацаа 2 секунд, далайц нь 50 мм, эхний үе шат нь тэг байна. Тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэх нь 25 мм байх үед тухайн цэгийн хурдыг ол.

Шийдэл

1 арга. Бид цэгийн хэлбэлзлийн тэгшитгэлийг бичнэ.

x= 0.05 cos т, учир нь  = =.

Цагийн агшин дахь хурдыг олох т:

υ = = – 0,05 cos т.

Бид нүүлгэн шилжүүлэлт 0.025 м байх цаг хугацааны агшинг олно.

0.025 = 0.05 cos т 1 ,

Тиймээс cos  т 1 = ,  т 1 = . Бид энэ утгыг хурдны илэрхийлэл болгон орлуулна:

υ = – 0.05  гэм = – 0.05  = 0.136 м/с.

Арга 2. Хөдөлгөөний нийт энерги:

Э =
,

Хаана А– далайц,  – дугуй давтамж, м – бөөмийн масс.

Цаг мөч бүрт энэ нь тухайн цэгийн потенциал ба кинетик энергиэс бүрддэг

Э k = , Э n = , Гэхдээ к = м 2 гэсэн үг Э n =
.

Эрчим хүч хадгалагдах хуулийг бичье.

= +
,

эндээс бид дараахь зүйлийг авна. а 2  2 = υ 2 +  2 x 2 ,

υ = 
= 
= 0.136 м/с.

Асуудал 22

Материаллаг цэгийн гармоник хэлбэлзлийн далайц А= 2 см, нийт энерги Э= 3∙10 -7 J. Тэнцвэрийн байрлалаас ямар нүүлгэн шилжүүлэхэд хүч нь хэлбэлзэх цэг дээр үйлчилдэг. Ф = 2.25∙10 -5 N?

Шийдэл

Гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг цэгийн нийт энерги нь дараахтай тэнцүү байна. Э =
. (13)

Уян хатан хүчний модулийг тэнцвэрийн байрлалаас цэгүүдийг нүүлгэн шилжүүлэх замаар илэрхийлнэ xдараах байдлаар:

Ф = к х (14)

Формула (13) нь массыг агуулдаг мба дугуй давтамж  ба (14)-д – хөшүүн байдлын коэффициент к. Гэхдээ дугуй давтамж нь холбоотой мТэгээд к:

 2 = ,

эндээс к = м 2 ба F = м 2 x. илэрхийлсэн м(13) хамаарлаас  2-г бид олж авна: м 2 = , Ф = x.

Бид нүүлгэн шилжүүлэлтийн илэрхийлэлийг хаанаас авдаг x: x = .

Тоон утгыг орлуулах нь дараахь зүйлийг өгнө.

x =
= 1.5∙10 -2 м = 1.5 см.

Асуудал 23

Цэг нь ижил үе ба эхний үе шаттай хоёр хэлбэлзэлд оролцдог. Хэлбэлзлийн далайц А 1 = 3 см ба А 2 = 4 см бол үүссэн чичиргээний далайцыг ол: 1) чичиргээ нэг чиглэлд үүснэ; 2) хэлбэлзэл нь харилцан перпендикуляр байна.

Шийдэл

Хэрэв хэлбэлзэл нэг чиглэлд үүсвэл үүссэн хэлбэлзлийн далайцыг дараах байдлаар тодорхойлно.

Хаана А 1 ба А 2 – нэмсэн хэлбэлзлийн далайц,  1 ба  2 – эхний үе шатууд. Нөхцөлийн дагуу эхний үе шатууд нь адилхан бөгөөд энэ нь  2 –  1 = 0, cos 0 = 1 гэсэн үг юм.

Тиймээс:

А =
=
= А 1 +А 2 = 7 см.

Хэрэв хэлбэлзэл нь харилцан перпендикуляр байвал үүссэн хөдөлгөөний тэгшитгэл нь:

cos( 2 –  1) = нүгэл 2 ( 2 –  1).

 2 –  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0 нөхцөлөөр тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ.
=0,

эсвэл
=0,

эсвэл
.

Үүний үр дүнд хоорондын харилцаа xТэгээд цагтграфикаар дүрсэлж болно. Графикаас харахад үр дүн нь шулуун шугам дээрх цэгийн хэлбэлзэл болно М.Н. Энэ хэлбэлзлийн далайцыг дараах байдлаар тодорхойлно. =
А

= 5 см.

Асуулт 24 ТНоргосон хэлбэлзлийн үе т =4 с, логарифмын бууралтын бууралт  = 1.6, эхний үе нь тэг байна. Цэгийн шилжилт

Шийдэл

Анхдагч фазын тэгтэй саармагжуулсан хэлбэлзлийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

x = А 0 д -  т cos2 .

Тоон утгыг орлуулах анхны далайцын утга хангалтгүй байна А 0 ба сулралтын коэффициент .

Сунгах коэффициентийг логарифмын бууралтын хамаарлаас тодорхойлж болно.

 = Т.

Тиймээс  = = = 0.4 сек -1 .

Эхний далайцыг хоёр дахь нөхцлийг орлуулах замаар тодорхойлж болно.

4.5 см = А 0
cos 2 = А 0
cos = А 0
.

Эндээс бид олж мэднэ:

А 0 = 4,5∙

(см) = 7.75 см.

Хөдөлгөөний эцсийн тэгшитгэл нь:

x = 0,0775
зардал.

Асуулт 25

Математик дүүжингийн логарифмын уналтын бууралт ямар байх вэ? т = 1 мин хэлбэлзлийн далайц хоёр дахин буурсан уу? Савлуурын урт л = 1 м.

Шийдэл

Логарифмын уналтын бууралтыг =  хамаарлаас олж болно Т,

Энд  нь сулралтын коэффициент, Т- хэлбэлзлийн хугацаа. Математик дүүжингийн байгалийн дугуй давтамж:

 0 =
= 3.13 сек -1 .

Хэлбэлзлийг бууруулах коэффициентийг дараах нөхцлөөр тодорхойлж болно. А 0 = А 0 д -  т ,

т= ln2 = 0.693,

 =
= 0.0116c -1 .

 оноос хойш<<  0 , то в формуле  =
 0-тэй харьцуулахад үл тоомсорлож болох ба хэлбэлзлийн хугацааг дараах томъёогоор тодорхойлж болно. Т = = 2c.

Бид  ба-г орлоно ТЛогарифмын бууралтын илэрхийлэлд бид дараахыг авна.

 = Т= 0,0116 с -1 ∙ 2 с = 0,0232.

Асуулт 26

Унтрагаагүй хэлбэлзлийн тэгшитгэлийг хэлбэрээр өгөв x= 4 sin600  тсм.

Алсын зайд байрлах цэгийн тэнцвэрийн байрлалаас шилжилтийг ол л= чичиргээний эх үүсвэрээс 75 см, дамжин т= хэлбэлзэл эхэлснээс хойш 0.01 сек. Хэлбэлзлийн тархалтын хурд υ = 300 м/с.

Шийдэл

Өгөгдсөн эх үүсвэрээс тархах долгионы тэгшитгэлийг бичье. x= 0.04 нүгэл 600( т– ).

Тухайн газар өгөгдсөн цаг хугацааны долгионы үе шатыг бид олдог.

т– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0.0075 = 4.5,

нүгэл 4.5 = нүгэл = 1.

Тиймээс цэгийн шилжилт x= 0.04 м, өөрөөр хэлбэл. зайд л = Тухайн үед эх үүсвэрээс 75 см т= 0.01 сек хамгийн их цэгийн шилжилт.

Лавлагаа

Волкенштейн В.С.. Физикийн ерөнхий хичээлийн асуудлын цуглуулга. – Санкт-Петербург: SpetsLit, 2001.

Савельев И.В.. Ерөнхий физикийн асуулт, асуудлын цуглуулга. - М.: Наука, 1998.

(лат. далайц- хэмжээ) нь хэлбэлзэгч биеийн тэнцвэрийн байрлалаас хамгийн их хазайлт юм.

Савлуурын хувьд энэ нь бөмбөг тэнцвэрийн байрлалаас холдох хамгийн их зай юм (доорх зураг). Жижиг далайцтай хэлбэлзлийн хувьд ийм зайг нумын урт 01 эсвэл 02, түүнчлэн эдгээр сегментүүдийн уртаар авч болно.

Хэлбэлзлийн далайцыг уртын нэгжээр хэмждэг - метр, сантиметр гэх мэт хэлбэлзлийн график дээр далайцыг синусоид муруйны хамгийн их (модуль) ординат гэж тодорхойлдог (доорх зургийг үз).

Хэлбэлзлийн үе.

Хэлбэлзлийн үе- энэ нь хэлбэлзэх систем нь дур зоргоороо сонгогдсон анхны агшинд байсан төлөв рүүгээ буцах хамгийн богино хугацаа юм.

Өөрөөр хэлбэл хэлбэлзлийн үе ( Т) нь нэг бүрэн хэлбэлзэл үүсэх хугацаа юм. Жишээлбэл, доорх зурган дээр дүүжин савлуур хамгийн баруун цэгээс тэнцвэрийн цэг рүү шилжихэд шаардагдах хугацаа юм. ТУХАЙхамгийн зүүн цэг рүү, цэгээр буцах ТУХАЙдахин хамгийн баруун тийш.

Бүтэн хэлбэлзлийн хугацаанд бие нь дөрвөн далайцтай тэнцэх замыг туулдаг. Хэлбэлзлийн хугацааг цаг хугацааны нэгжээр хэмждэг - секунд, минут гэх мэт хэлбэлзлийн хугацааг сайн мэддэг хэлбэлзлийн графикаас тодорхойлж болно (доорх зургийг үз).

"Хэлбэлзлийн үе" гэсэн ойлголт нь тодорхой хугацааны дараа хэлбэлзлийн хэмжигдэхүүний утгууд яг давтагдах үед, өөрөөр хэлбэл гармоник хэлбэлзлийн хувьд хүчинтэй байдаг. Гэсэн хэдий ч энэ үзэл баримтлал нь ойролцоогоор давтагдах тоо хэмжээ, жишээлбэл, хувьд ч хамаарна саармагжуулсан хэлбэлзэл.

Хэлбэлзлийн давтамж.

Хэлбэлзлийн давтамж- энэ нь цаг хугацааны нэгжид, жишээлбэл, 1 секундэд хийгдсэн хэлбэлзлийн тоо юм.

SI давтамжийн нэгжийг нэрлэсэн герц(Гц) Германы физикч Г.Герц (1857-1894)-д хүндэтгэл үзүүлэв. Хэрэв хэлбэлзлийн давтамж ( v) тэнцүү байна 1 Гц, энэ нь секунд тутамд нэг хэлбэлзэл байдаг гэсэн үг юм. Хэлбэлзлийн давтамж ба хугацаа нь дараахь харилцаанаас хамаарна.

Хэлбэлзлийн онолд тэд мөн ойлголтыг ашигладаг мөчлөгийн, эсвэл дугуй давтамж ω . Энэ нь ердийн давтамжтай холбоотой юм vба хэлбэлзлийн үе Тхарьцаа:

.

Цикл давтамжнэг удаа гүйцэтгэсэн хэлбэлзлийн тоо юм 2πсекунд

Гармоник тэгшитгэл

Хаана X -тэнцвэрийн байрлалаас хэлбэлзэх цэгийг нүүлгэн шилжүүлэх;
т- цаг хугацаа; А,ω, φ - далайц, өнцгийн давтамж, тус тус
хэлбэлзлийн эхний үе шат; - одоогийн хэлбэлзлийн үе шат т.

Өнцгийн давтамж

Энд ν ба T нь хэлбэлзлийн давтамж ба үе юм.

Гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэх цэгийн хурд нь

Гармоник хэлбэлзлийн үеийн хурдатгал

Далайц АНэг шулуун шугамын дагуу үүсэх ижил давтамжтай хоёр хэлбэлзлийг нэмснээр үүссэн хэлбэлзлийг томъёогоор тодорхойлно.

Хаана а 1 ба А 2 - чичиргээний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн далайц; φ 1 ба φ 2 нь тэдний эхний үе шатууд юм.

Үүссэн хэлбэлзлийн эхний үе шат φ-ийг томъёоноос олж болно

Өөр өөр боловч ижил төстэй ν 1 ба ν 2 давтамжтай нэг шулуун шугамын дагуу үүсэх хоёр хэлбэлзлийг нэмэх үед үүсэх цохилтын давтамж,

А 1 ба А 2 далайцтай, φ 1 ба φ 2 эхний үетэй харилцан перпендикуляр хоёр хэлбэлзэлд оролцож буй цэгийн траекторийн тэгшитгэл,

Хэрэв хэлбэлзлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн φ 1 ба φ 2 эхний үе шатууд ижил байвал траекторийн тэгшитгэл хэлбэрийг авна.

өөрөөр хэлбэл цэг нь шулуун шугамаар хөдөлдөг.

Хэрэв фазын зөрүү нь , тэгшитгэл
хэлбэрийг авдаг

өөрөөр хэлбэл цэг нь эллипсийн дагуу хөдөлдөг.

Материаллаг цэгийн гармоник хэлбэлзлийн дифференциал тэгшитгэл

Эсвэл,
энд m нь цэгийн масс; к-хагас уян хатан хүчний коэффициент ( к=Тω 2).

Гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэх материаллаг цэгийн нийт энерги нь

Пүрш (пүршний дүүжин) дээр дүүжлэгдсэн биеийн хэлбэлзлийн хугацаа

Хаана м- биеийн жин; к-хаврын хөшүүн байдал. Томъёо нь Хукийн хуулийг хангасан хязгаарт (биеийн масстай харьцуулахад хаврын бага масстай) уян чичиргээнд хүчинтэй.

Математик дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа

Хаана л- дүүжингийн урт; g-таталцлын хурдатгал. Физик дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа

Хаана Ж- тэнхлэгтэй харьцуулахад хэлбэлзэх биеийн инерцийн момент

эргэлзээ; А- савлуурын массын төвийн хэлбэлзлийн тэнхлэгээс зай;

Физик дүүжингийн уртыг багасгасан.

Өгөгдсөн томъёонууд нь хязгааргүй бага далайцтай тохиолдолд үнэн зөв байна. Хязгаарлагдмал далайцын хувьд эдгээр томъёо нь зөвхөн ойролцоо үр дүнг өгдөг. Илүү ихгүй далайцтай үед хугацааны утгын алдаа 1% -иас хэтрэхгүй байна.

Уян утсан дээр дүүжлэгдсэн биеийн мушгирах чичиргээний хугацаа

Хаана Ж-уян утастай давхцах тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн момент; к-уян утаснуудын хөшүүн чанар нь утсыг мушгих үед үүсэх уян моментийн утсыг мушгих өнцөгтэй харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.

Норгосон хэлбэлзлийн дифференциал тэгшитгэл
, эсвэл,

Хаана r- эсэргүүцлийн коэффициент; δ - сулралтын коэффициент: ; ω 0 - хэлбэлзлийн байгалийн өнцгийн давтамж *

Норгосны хэлбэлзлийн тэгшитгэл

Хаана A(t)-тухайн үеийн уналттай хэлбэлзлийн далайц т;ω нь тэдний өнцгийн давтамж юм.

Норгосон хэлбэлзлийн өнцгийн давтамж

О Унтраах хэлбэлзлийн далайцын хугацаанаас хамаарах хамаарал

Хаана А 0 - тухайн үеийн хэлбэлзлийн далайц т=0.

Логарифмын хэлбэлзлийн бууралт

Хаана A(t)Тэгээд A (t+T) -дараалсан хоёр хэлбэлзлийн далайцыг хугацаанд нь хугацаанд нь хуваасан.

Албадан хэлбэлзлийн дифференциал тэгшитгэл

Гадны үечилсэн хүч хаана үйлчилж байна
хэлбэлзэх материалын цэг ба шалтгаант албадан
хэлбэлзэл; F 0 -түүний далайцын утга;

Албадан хэлбэлзлийн далайц

Резонансын давтамж ба резонансын далайц Тэгээд

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 1.Хуулийн дагуу цэг нь хэлбэлздэг x(t)=,Хаана A=2Хэрэв эхний үе шатыг тодорхойлох φ-ийг үзнэ үү

x(0)= см ба X , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­
цагдаа т=0.

Шийдэл. Хөдөлгөөний тэгшитгэлийг ашиглаж тухайн үеийн шилжилтийг илэрхийлье т=0 эхний үе шатанд:

Эндээс бид эхний үе шатыг олно:

* Өмнө нь өгөгдсөн гармоник чичиргээний томъёонд ижил хэмжигдэхүүнийг ω (0 индексгүйгээр) гэж тэмдэглэсэн.

Энэ илэрхийлэлд өгөгдсөн утгуудыг орлуулъя x(0) ба Х:φ=
= . Аргументийн үнэ цэнийг хангаж байна
хоёр өнцгийн утга:

Эдгээр өнцгийн утгуудын аль нь тохирохыг шийдэхийн тулд φ
нөхцөлийг хангаж байгаа тул эхлээд олъё:

Энэ илэрхийлэлд утгыг орлуулж байна т=0 ба өөр утгууд
эхний үе шатууд ба , бид олдог

Урьдын адил А>0 ба ω>0, дараа нь зөвхөн
эхний үе шатны эхний утга хүртэл.
Тиймээс шаардлагатай эхний
үе шат

Олдсон φ утга дээр үндэслэн бид бүтээдэг
тэдгээрийг вектор диаграмм (Зураг 6.1).
Жишээ 2.Материаллаг цэг
масс Т=5 г гармоник гүйцэтгэдэг
давтамжтай хэлбэлзэл ν =0.5 Гц.
Хэлбэлзлийн далайц А=3 см.
хуваах: 1) хурдны υ цэгүүдийг мо-
цаг хугацааны офсет үед агшин x=
= 1.5 см; 2) хамгийн их хүч чадал
Нэг цэг дээр ажиллах F max; 3)
Цагаан будаа. 6.1 нийт эрчим хүч Эхэлбэлзлийн цэг
ки.

шилжилтийн анхны деривативыг авч хурдны томьёог олж авна.

Шилжилтээр хурдыг илэрхийлэхийн тулд (1) ба (2) томъёоноос цагийг хасах шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд бид хоёр тэгшитгэлийг квадрат болгож, эхнийх нь хуваагдана А 2,хоёр дахь нь A 2 ω 2 дээр нэмээд:

Эсвэл

υ-ийн сүүлчийн тэгшитгэлийг шийдсэний дараа , бид олох болно

Энэ томъёог ашиглан тооцооллыг хийсний дараа бид олж авна

Хурдны чиглэл нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй давхцаж байгаа тохиолдолд нэмэх тэмдэг тохирно. X,хасах тэмдэг - хурдны чиглэл нь тэнхлэгийн сөрөг чиглэлтэй давхцах үед X.

Гармоник хэлбэлзлийн үеийн шилжилтийг (1) тэгшитгэлээс гадна тэгшитгэлээр тодорхойлж болно.

Энэ тэгшитгэлтэй ижил шийдлийг давтвал бид ижил хариултыг авна.

2. Бид Ньютоны хоёр дахь хуулийг ашиглан нэг цэгт үйлчлэх хүчийг олно.

Хаана А -Хурдны цаг хугацааны деривативыг авах замаар олж авах цэгийн хурдатгал:

Хурдатгалын илэрхийлэлийг (3) томъёонд орлуулснаар бид олж авна

Тиймээс хүчний хамгийн их утга

Энэ тэгшитгэлд π, ν-ийн утгыг орлуулж, ТТэгээд А,бид олох болно

3. Хэлбэлзэх цэгийн нийт энерги нь цаг хугацааны аль ч агшинд тооцоолсон кинетик ба потенциал энергийн нийлбэр юм.

Нийт энергийг тооцоолох хамгийн хялбар арга бол кинетик энерги хамгийн их утгад хүрэх мөч юм. Энэ үед боломжит энерги тэг байна. Тиймээс нийт эрчим хүч Эхэлбэлзлийн цэг нь хамгийн их кинетик энергитэй тэнцүү байна

Бид хамгийн дээд хурдыг томъёогоор (2) тодорхойлно
: . Маягт дахь хурдны илэрхийлэлийг орлуулах
mulu (4), олъё

Энэ томъёонд хэмжигдэхүүнүүдийн утгыг орлуулж, тооцооллыг хийснээр бид олж авна

эсвэл µJ.

Жишээ 3. л= 1 м ба масс м 3 =400 гр масстай бэхэлсэн жижиг бөмбөлөгүүд м 1 =200 ги м 2 = 300 гр. Саваа нь хэвтээ тэнхлэгийн дагуу перпендикуляр хэлбэлздэг

саваатай дикуляр ба түүний дундуур дамжин өнгөрдөг (Зураг 6.2 дахь O цэг). Хугацаа тодорхойлох Тсаваагаар хийсэн хэлбэлзэл.

Шийдэл. Бөмбөгтэй саваа гэх мэт физик дүүжингийн хэлбэлзлийн үеийг хамаарлаар тодорхойлно.

Хаана Ж- Т -түүний масс; л С -дүүжингийн массын төвөөс тэнхлэг хүртэлх зай.

Энэ дүүжингийн инерцийн момент нь бөмбөлгүүдийн инерцийн моментуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Ж 1 ба J2ба саваа Ж 3:

Бөмбөгийг материаллаг цэг болгон авч, бид тэдгээрийн инерцийн моментийг илэрхийлнэ.

Тэнхлэг нь саваа дундуур дамждаг тул дараа нь
түүний энэ тэнхлэгт хамаарах инерцийн момент Ж 3 =
= . Үүссэн илэрхийллүүдийг орлуулах Ж 1 , J2Тэгээд
Ж 3-ыг (2) томъёонд оруулснаар бид фи-ийн инерцийн нийт моментийг олно.
статик дүүжин:

Энэ томъёог ашиглан тооцооллыг хийсний дараа бид олж мэднэ

Цагаан будаа. 6.2 Савлуурын масс нь бөмбөлгүүдийн масс ба массаас бүрдэнэ
саваа:

Зай л CДүүжингийн массын төвийг хэлбэлзлийн тэнхлэгээс бид дараахь зүйлийг үндэслэн олох болно. Хэрэв тэнхлэг Xсаваа дагуу чиглүүлж, координатын эхийг цэгтэй зэрэгцүүлнэ ТУХАЙ,дараа нь шаардлагатай зай лдүүжингийн массын төвийн координаттай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.

Хэмжигдэхүүний утгыг орлуулах м 1 , м 2 , м, лмөн тооцоо хийсний дараа бид олдог

Томъёо (1) ашиглан бид физик дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацааг олж авна.

Жишээ 4.Физик дүүжин бол саваа юм
урт л= 1 м ба масс 3 Т 1 -тайтүүний нэг үзүүрт бэхлэгдсэн байна
цагирагны диаметр ба жин Т 1 . Хэвтээ тэнхлэг Оз

дүүжин нь түүнд перпендикуляр саваа дундуур дамждаг (Зураг 6.3). Хугацаа тодорхойлох Тийм дүүжингийн хэлбэлзэл.

Шийдэл. Физик дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацааг томъёогоор тодорхойлно

(1)

Хаана Ж-хэлбэлзлийн тэнхлэгтэй харьцуулахад дүүжингийн инерцийн момент; Т -түүний масс; л C - дүүжингийн массын төвөөс хэлбэлзлийн тэнхлэг хүртэлх зай.

Дүүжингийн инерцийн момент нь савааны инерцийн моментуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Ж 1 ба цагираг Ж 2:

Тэнхлэгтэй харьцуулахад бариулын инерцийн момент,
саваа болон өнгөрөх перпендикуляр
түүний массын төвөөр дамжуулан хэлбэр нь тодорхойлогдоно.
le . Энэ тохиолдолд t= 3Т 1 ба

Бид цагирагны инерцийн моментийг ашиглан олох болно
Штайнерын теорем гэж нэрлэдэг.
Хаана Ж-про-той харьцуулахад инерцийн момент
дурын тэнхлэг; J 0 --тэй харьцуулахад инерцийн момент
массын төвөөр дамжин өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад
өгөгдсөн тэнхлэгтэй зэрэгцээ; А -зай
заасан тэнхлэгүүдийн хооронд. Энэ маягтыг ашиглаж байна
цагираг руу луус, бид авах

Орлуулах илэрхийлэл Ж 1 ба Ж 2-т томьёо (2) дээр бид эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад дүүжингийн инерцийн моментийг олно.

Зай л Cдүүжин тэнхлэгээс түүний массын төв хүртэл тэнцүү байна

Томъёонд (1) илэрхийллийг орлуулах Ж, л s ба дүүжингийн массын хувьд бид түүний хэлбэлзлийн үеийг олно.

Энэ томъёог ашиглан тооцоолсны дараа бид олж авна Т=2.17 сек.

Жишээ 5.Нэг чиглэлийн хоёр хэлбэлзэл нэмэгддэг
тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэнэ; x 2 =
=, хаана А 1 = 1 см, А 2 =2 см, с, с, ω =
= . 1. Хэлбэлзлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн φ 1 ба φ 2 эхний үе шатуудыг тодорхойлно.

Бания. 2. Далайцыг ол Аба үүссэн хэлбэлзлийн эхний үе шат φ. Үүссэн чичиргээний тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл. 1. Гармоник чичиргээний тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Асуудлын мэдэгдэлд заасан тэгшитгэлийг ижил хэлбэрт шилжүүлье.

(2) илэрхийлэлийг тэгш байдал (1)-тэй харьцуулснаар бид эхний болон хоёр дахь хэлбэлзлийн эхний үе шатуудыг олно.

Баяр баясгалантай.

2. Далайцыг тодорхойлох АҮүссэн хэлбэлзлийн хувьд танилцуулсан вектор диаграмыг ашиглахад тохиромжтой будаа. 6.4. Косинусын теоремын дагуу бид олж авна

хэлбэлзлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн фазын зөрүү хаана байна.
оноос хойш, дараа нь, олсон орлуулах
φ 2 ба φ 1-ийн утгууд нь рад байна.

Утгыг орлуулж үзье А 1 , А 2 ба томъёо (3) болон
Тооцооллыг хийцгээе:

A= 2.65 см.

Үүссэн хэлбэлзлийн эхний фазын тангенс φ тодорхойлогдоно
lim шууд fig. 6.4: , -аас
тиймээ эхний үе шат

Утгыг орлуулж үзье А 1 , А 2 , φ 1, φ 2 ба тооцооллыг гүйцэтгэнэ:

Нэмэгдсэн хэлбэлзлийн өнцгийн давтамж ижил тул
тэгвэл үүссэн хэлбэлзэл нь ижил давтамжтай ω байна. Энэ
үүссэн чичиргээний тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичих боломжийг бидэнд олгодог
, Хаана А=2.65 см, , рад.

Жишээ 6.Материаллаг цэг нь харилцан перпендикуляр хоёр гармоник хэлбэлзэлд нэгэн зэрэг оролцдог бөгөөд тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

Хаана а 1 = 1 см, А 2 =2 см, . Цэгийн траекторийн тэгшитгэлийг ол
ки. Хуваарийн дагуу траекторийг байгуулж, зааж өгнө үү
цэгийн хөдөлгөөний чиглэл.

Шийдэл. Нэг цэгийн траекторийн тэгшитгэлийг олохын тулд бид цаг хугацааг хасдаг төгөгдсөн тэгшитгэлээс (1) ба (2). Үүнийг хийхийн тулд ашиглана уу

Томьёог ашиглацгаая. Энэ тохиолдолд
, Тийм учраас

Томъёоны дагуу (1) , дараа нь траекторийн тэгшитгэл
ри

Үүссэн илэрхийлэл нь тэнхлэг нь тэнхлэгтэй давхцаж буй параболын тэгшитгэл юм Өө.(1) ба (2) тэгшитгэлээс харахад координатын тэнхлэгийн дагуу цэгийн шилжилт хязгаарлагдмал бөгөөд тэнхлэгийн дагуу -1-ээс +1 см хооронд хэлбэлздэг. Өөтэнхлэгийн дагуу -2-оос +2 см хүртэл байна Өө.

Траекторийг байгуулахын тулд утгыг олохын тулд (3) тэгшитгэлийг ашиглана у,хэд хэдэн утгын мужид харгалзах X,см нөхцөлийг хангаж, хүснэгт үүсгэнэ үү:

Нэг цэгийн хөдөлгөөний чиглэлийг зааж өгөхийн тулд бид түүний байрлал цаг хугацааны явцад хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг хянах болно. Эхний мөчид т=0 цэгийн координат тэнцүү байна x(0)=1 см ба y(0)=2 см, жишээлбэл, цаг хугацааны дараа т 1 =l s үед цэгүүдийн координатууд өөрчлөгдөж тэнцүү болно X(1)= -1 см, y(т )=0. Цаг хугацааны эхний ба дараагийн (ойр) мөчид цэгүүдийн байрлалыг мэдэж, траекторийн дагуу цэгийн хөдөлгөөний чиглэлийг зааж өгч болно. Зураг дээр. 6.5 Хөдөлгөөний энэ чиглэлийг сумаар (цэгээс Агарал үүсэл). Хормын дараа т 2 = 2 секундын хэлбэлзлийн цэг нь цэгт хүрнэ D,энэ нь эсрэг чиглэлд шилжих болно.

Гармоник хэлбэлзлийн кинематик

6.1. Цэгийн хэлбэлзлийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
Энд ω=π s -1, τ=0.2 сек байна. Хугацаа тодорхойлох Тба эхний үе шат φ
эргэлзээ.

6.2. Хугацаа тодорхойлох Т,Тэгшитгэлээр өгөгдсөн хэлбэлзлийн v давтамж ба эхний үе φ, энд ω=2.5π s -1,
τ=0.4 сек.

6.3.
Хаана А x(0)=2см ба
; 2) x(0) = см ба ; 3) x(0)=2см ба ; 4)
x(0)= ба . -ын вектор диаграммыг байгуул
мөч т=0.

6.4. Хуулийн дагуу цэг нь хэлбэлздэг,
Хаана А=4 см-ийн эхний үе шатыг тодорхойлно уу: 1) x(0)=2см ба
; 2) x(0)= см ба ; 3) X(0)= см ба ;
4) x(0)= см ба . -ын вектор диаграммыг байгуул
мөч т=0.

6.5. Цэг нь хуулийн дагуу хэлбэлздэг,
Хаана А=2 см; ; φ= π/4 рад. Хараат байдлын графикийг бүтээх
цаг хугацаанаас: 1) нүүлгэн шилжүүлэлт x(t); 2) хурд; 3) хурдатгал

6.6. Цэг нь далайцтай хэлбэлздэг А=4 см ба үе T=2 сек.Эдгээр хэлбэлзлийн тэгшитгэлийг бичнэ үү
мөч т=0 офсет x(0)=0Мөн . Үе шатыг тодорхойлох
цаг хугацааны хоёр агшинд: 1) нүүлгэн шилжүүлэх үед x= 1 см ба;
2) хурд = -6 см/с үед ба x<0.

6.7. Цэг нь T=6 секундын хугацаанд цагийн зүүний эсрэг тойргийн эргэн тойронд жигд хөдөлдөг. Диаметр гтойрог нь 20 см тэнхлэг дээрх цэгийн проекцын хөдөлгөөний тэгшитгэлийг бич X,Тойргийн төвийг дайран өнгөрөх, хэрэв цаг хугацааны агшинд тэнхлэг дээрх проекцийг анхдагчаар авсан бол Xтэгтэй тэнцүү. Офсетийг олох X,агшин зуурын цэгийн проекцын хурд ба хурдатгал t= 1сек.

6.8. Далайцтай гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг цэгийн хурд ба хурдатгалын хамгийн их утгыг тодорхойлох A= 3см ба өнцгийн давтамж

6.9. Хуулийн дагуу цэг нь хэлбэлздэг, хаана A =
=5 см; . Цагийн агшин дахь цэгийн хурдатгалыг тодорхойлох,
түүний хурд = 8 см/с байх үед.

6.10. Цэг нь гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг. Хамгийн агуу
хазайлт x m ah цэг нь 10 см, хамгийн их хурд =
=20 см/с. Хэлбэлзлийн өнцгийн давтамж ω ба цэгийн хамгийн их хурдатгалыг ол.

6.11. Гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэх цэгийн хамгийн дээд хурд нь 10 см/с, хамгийн их хурдатгал =
= 100 см/с 2 . Хэлбэлзлийн өнцгийн давтамж ω, тэдгээрийн үеийг ол Т
ба далайц А.Эхний үеийг тэгтэй тэнцүү авч хэлбэлзлийн тэгшитгэлийг бич.

6.12. Хуулийн дагуу цэг нь хэлбэлздэг. Хэзээ нэгэн цагт нүүлгэн шилжүүлэлт X 1 цэг нь 5 см-тэй тэнцүү болж хэлбэлзлийн үе шат хоёр дахин нэмэгдэхэд х-ийн шилжилт 8 см-тэй тэнцүү болсон Аэргэлзээ.

6.13. Хуулийн дагуу цэг нь хэлбэлздэг.
Хэзээ нэгэн цагт нүүлгэн шилжүүлэлт Xцэг нь 5 см, түүний хурд
= 20 см/с ба хурдатгал = -80 см/с 2. Далайцыг ол А, өнцгийн давтамж ω, үе Тцаг хугацааны авч үзэх мөчид хэлбэлзэл ба фаз.

Чичиргээ нэмэх

6.14. Далайцтай ижил хугацааны хоёр ижил чиглэсэн гармоник хэлбэлзэл А 1 =10 см ба А 2 =6 см-ийн нийлбэр нь далайцтай нэг чичиргээ A= 14 см нэмсэн хэлбэлзлийн фазын зөрүүг ол.

6.15. Ижил шулуун шугамын дагуу чиглэсэн, далайц, үе нь ижил хоёр гармоник хэлбэлзэл нь ижил далайцтай нэг хэлбэлзэл болно. Нэмэгдсэн хэлбэлзлийн фазын зөрүүг ол.

6.16. Далайцыг тодорхойлох Аба эхний үе шат f үр дүн
хоёр чичиргээ нэмэгдэхэд үүсдэг хэлбэлзэлтэй чичиргээ
ижил чиглэл, хугацаа: ба
, Хаана А 1 =А 2 =1 см; ω=π s -1 ; τ=0.5 сек. Үүссэн чичиргээний тэгшитгэлийг ол.

6.17. Цэг нь тэнцүү чиглэсэн хоёр хэлбэлзэлд оролцдог: ба , хаана А 1 = 1 см; А 2 =2 см; ω=
= 1 сек -1 . Далайцыг тодорхойлох Аүүссэн чичиргээ,
түүний давтамж v ба эхний үе шат φ. Энэ хөдөлгөөний тэгшитгэлийг ол.

6.18. Нэгийн хоёр гармоник хэлбэлзлийг нэмсэн
тэнцүү хугацаанд хаанчлах болно Т 1 =Т 2 =1.5 с ба далайц
А 1 =А 2 = 2см. Хэлбэлзлийн эхний үе шатууд ба. Далайцыг тодорхойлох Аба үүссэн хэлбэлзлийн эхний үе шат φ. Түүний тэгшитгэлийг олж, масштабаар нь байгуул
далайц нэмэх вектор диаграм.

6.19. Ижил чиглэлийн ижил үетэй гурван гармоник хэлбэлзлийг нэмсэн T 1 =T 2 =T 3 =2ба далайцтай А 1 =А 2 =А 3 =3 см хэлбэлзлийн эхний үе шатууд φ 1 =0, φ 2 =π/3, φ 3 =2π/3. Далайц нэмэх вектор диаграммыг байгуул. Зургаас далайцыг тодорхойл Аба үүссэн хэлбэлзлийн эхний үе шат φ. Түүний тэгшитгэлийг ол.

6.20. Ижил хоёр гармоник хэлбэлзэл
давтамж ба ижил чиглэл: ба x 2 =
= . Тухайн агшинд вектор диаграммыг зур
цаг хугацаа т=0. Далайцыг аналитик аргаар тодорхойлно Аболон анхны
үүссэн хэлбэлзлийн φ үе шат. хойшлуул Аба вектор дээрх φ
диаграм. Үүссэн чичиргээний тэгшитгэлийг ол (косинусаар тригонометрийн хэлбэрээр). Хоёрын асуудлыг шийд
тохиолдол: 1) А 1 = 1см, φ 1 =π/3; А 2 =2 см, φ 2 =5π/6; 2) A 1 = 1 см,
φ 1 =2π/3; А 2 =1 см, φ 2 =7π/6.

6.21. Хоёр тохируулагч нэгэн зэрэг дуугарна. Тэдний хэлбэлзлийн ν 1 ба ν 2 давтамж нь тус тус 440 ба 440.5 Гц байна. Хугацаа тодорхойлох Тцохидог.

6.22. Хоёр харилцан перпендикуляр хэлбэлзэл нэмэгдэж,
тэгшитгэлээр илэрхийлсэн ба , энд
А 1 =2 см, А 2 =1 см, , τ=0.5 с. Траекторын тэгшитгэлийг ол
мөн цэгийн хөдөлгөөний чиглэлийг харуулан барьж байгуулна.

6.23. Нэг цэг нь харилцан перпендикуляр чиглэлд үүсэх хоёр гармоник хэлбэлзлийг нэгэн зэрэг гүйцэтгэдэг.
тэгшитгэлээр илэрхийлсэн ба ,
Хаана А 1 = 4 см, А 1 =8 см, , τ=1 с. Цэгийн траекторийн тэгшитгэлийг олж, түүний хөдөлгөөний графикийг байгуул.

6.24. Нэг цэг нь тэгшитгэлээр илэрхийлсэн харилцан перпендикуляр чиглэлд тохиолддог ижил давтамжтай хоёр гармоник хэлбэлзлийг нэгэн зэрэг гүйцэтгэдэг: 1) ба

Цэгийн траекторийн тэгшитгэлийг (найман тохиолдолд) олж, масштабын дагуу байгуулж, хөдөлгөөний чиглэлийг заана уу. Зөвшөөрөх: A=2см, А 1 =3 см, А 2 = 1 см; φ 1 =π/2, φ 2 =π.

6.25 . Энэ цэг нь тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэх хоёр перпендикуляр хэлбэлзэлд нэгэн зэрэг оролцдог.
, Хаана А 1 = 2 см, А 2 =1 см траекторийн тэгшитгэлийг ол
оноож, хөдөлгөөний чиглэлийг заана.

6.26. Нэг цэг нь харилцан перпендикуляр чиглэлд үүсэх хоёр гармоник хэлбэлзлийг нэгэн зэрэг гүйцэтгэдэг.
ба тэгшитгэлээр илэрхийлсэн ба , хаана А 1 =
=0.5 см; А 2 =2 см цэгийн траекторийн тэгшитгэлийг олоод байгуул
түүний хөдөлгөөний чиглэлийг заана.

6.27. Цэгийн хөдөлгөөнийг ба тэгшитгэлээр тодорхойлно у=
=, хаана А 1 =10 см, А 2 =5 см, ω=2 с -1, τ=π/4 с. Хай
Цагийн агшин дахь цэгийн траектор ба хурдны тэгшитгэл т=0.5 сек.

6.28. Материаллаг цэг нь тэгшитгэлээр илэрхийлэгдсэн харилцан перпендикуляр хоёр хэлбэлзэлд нэгэн зэрэг оролцдог.
ба , хаана А 1 =2 см, А 2 = 1 см
траекторийн тэгшитгэл ба түүнийг байгуулах.

6.29. Уг цэг нь тэгшитгэлээр тодорхойлсон харилцан перпендикуляр чиглэлд үүсэх хоёр гармоник хэлбэлзэлд нэгэн зэрэг оролцдог: 1) ба

Цэгийн траекторийн тэгшитгэлийг олж, масштабын дагуу байгуулж, хөдөлгөөний чиглэлийг заана уу. Зөвшөөрөх: А=2 см; А 1 =zсм.

6.30. Цэг нь харилцан перпендикуляр хоёр чиглэлд нэгэн зэрэг оролцдог
тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэх тэнхлэгийн чичиргээ ба

y=A 2нүгэл 0.5ω т, Хаана А 1 = 2 см, А 2 =3 см цэгийн траекторийн тэгшитгэлийг олоод хөдөлгөөний чиглэлийг заана.

6.31. Осциллографын дэлгэц дээрх гэрэлтэгч цэгийн шилжилт нь харилцан перпендикуляр хоёр хэлбэлзлийг нэмсний үр дүн бөгөөд эдгээрийг тэгшитгэлээр дүрсэлсэн болно: 1) x=Aнүгэл 3 ω тТэгээд цагт=Анүгэл 2ω т; 2) x=Aгэм 3ω тТэгээд y=А cos 2ω т; 3) x=Aгэм 3ω тба y = А cos ω т.

График нэмэх аргыг ашиглан масштабыг ажиглан дэлгэцэн дээрх гэрэлтдэг цэгийн траекторийг байгуул. Зөвшөөрөх А=4 см.

Гармоник хэлбэлзлийн динамик. Савлуурууд

6.32. Масстай материаллаг цэг Т=50 г хэлбэлзэлд өртөж, тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна x=A cos ω т,Хаана А= 10 см, ω=5 с -1. Хүчийг ол F,цэг дээр ажиллах, хоёр тохиолдолд: 1) үе шат ω байх үед т=π/3; 2) цэгийн хамгийн их шилжилтийн байрлалд.

6.33. Материаллаг цэгийн масстай хэлбэлзэл Т=0.1 г тэгшитгэлийн дагуу үүснэ X=А cos ω т,Хаана А=5 см; ω=20 сек -1 . Сэргээх хүч F макс ба кинетик энергийн хамгийн их утгыг тодорхойлно Тм аа.

6.34. Сэргээх хүчийг ол Фодоогоор т=1 сек ба бүрэн энерги Эхуулийн дагуу хэлбэлзэх материаллаг цэг x=A cos ω т, Хаана A = 20 см; ω=2π/3 сек -1. Жин Тматериалын цэг нь 10 г-тай тэнцүү байна.

6.35. Материалын цэгийн хэлбэлзэл нь тэгшитгэлийн дагуу үүсдэг x=A cos ω т,Хаана А=8 см, ω=π/6 с -1. Сэргээх хүч байгаа үед Фанх удаа -5 мН-ийн утгад хүрч, цэгийн боломжит энерги P 100 мкЖ-тэй тэнцэв. Энэ мөчийг цаг тухайд нь олоорой тба түүний харгалзах үе шат ω т.

6.36. Жинтэй м=250 гр, пүршнээс дүүжлэгдсэн, цэгтэй босоо хэлбэлзэлтэй T= 1-тай.Хатуу байдлыг тодорхойлох кбулаг шанд.

6.37. Спираль пүршнээс жин өлгөөтэй байсан тул пүршийг сунгахад хүргэв x=9хугацаа ямар байхыг харна уу ТЖаахан доошлуулаад суллахад жин нь хэлбэлздэг үү?

6.38. Пүршнээс дүүжлэгдсэн жин нь далайцтай босоо хэлбэлздэг А=4 см-ийн нийт энергийг тодорхойлно Эжингийн чичиргээ, хэрэв хатуу байдал кпүрш нь 1 кН/м.

6.39. Математикийн хоёр дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацааны харьцаа 1.5 бол тэдгээрийн уртын харьцааг ол.

6.40. l= 1м цахилгаан шатанд суурилуулсан. Цахилгаан шат нь хурдатгалаар дээшилдэг А=2.5 м/с 2. Хугацаа тодорхойлох Тдүүжин хэлбэлзэл.

6.41. Нимгэн саваа урттай төгсгөлд л= 30 см-ийн ижил жинг төгсгөл болгонд нэгээр нь тогтооно. Жинтэй саваа савааны аль нэг үзүүрээс d=10 см байрласан цэгийг дайран өнгөрөх хэвтээ тэнхлэгийг тойрон хэлбэлзэнэ. Багассан уртыг тодорхойлох Лба хугацаа Тийм физик савлуурын хэлбэлзэл. Савааны массыг үл тоомсорло.

6.42. Савааны урт дээр л=30 см, хоёр ижил жинг тогтооно: нэг нь бариулын дунд, нөгөө нь түүний төгсгөлийн аль нэгэнд. Жинтэй саваа нь савааны чөлөөт үзүүрээр дамжин өнгөрөх хэвтээ тэнхлэгийн эргэн тойронд хэлбэлздэг. Багассан уртыг тодорхойлох Лба хугацаа Тийм системийн чичиргээ. Савааны массыг үл тоомсорло.

6.43. Урт саваагаар холбогдсон гурван жингийн систем л=30 см (Зураг 6.6), зургийн хавтгайд перпендикуляр О цэгийг дайран өнгөрөх хэвтээ тэнхлэгийг тойрон хэлбэлзэнэ. Хугацаа олох Тсистемийн чичиргээ. Савааны массыг үл тоомсорлож, ачааллыг материаллаг цэг гэж үзэх;

6.44. Хананд хэвтээ чиглүүлсэн хадаас дээр өлгөгдсөн нимгэн цагираг нь хананд параллель хавтгайд хэлбэлздэг. Радиус Рцагираг нь 30 см байна Тцагирагны чичиргээ.

6.45. Радиустай нэгэн төрлийн диск Р=30 см нь дискний цилиндр гадаргуугийн генераторуудын аль нэгээр дамжин өнгөрөх хэвтээ тэнхлэгийг тойрон хэлбэлздэг. Ямар хугацаа вэ Ттүүний эргэлзээ?

6.46. Дискний радиус R =Дискний хавтгайд перпендикуляр радиусын аль нэгний дундыг дайран өнгөрөх хэвтээ тэнхлэгийг тойрон 24 см хэлбэлздэг. Багассан уртыг тодорхойлох Лба хугацаа Тийм дүүжингийн хэлбэлзэл.

6.47. Радиустай нимгэн нэгэн төрлийн дискнээс Р= 20 см, радиустай тойрог шиг харагдах хэсгийг хайчилж авав r=Зурагт үзүүлсэн шиг 10 см. 6.7. Дискний үлдсэн хэсэг нь хэвтээ O тэнхлэгтэй харьцуулахад хэлбэлздэг бөгөөд энэ нь дискний цилиндр гадаргуугийн генераторуудын аль нэгтэй давхцдаг. Хугацаа олох Тийм дүүжингийн хэлбэлзэл.

6.48. Математик дүүжин урт л 1 =40 см ба урттай нимгэн шулуун саваа хэлбэртэй физик дүүжин л 2 =60 см ижил хэвтээ тэнхлэгт синхрон хэлбэлзэлтэй байна. Зайг тодорхойлох Ачичиргээний тэнхлэгээс савааны массын төв.

6.49. Урт нимгэн шулуун саваа хэлбэртэй физик дүүжин л=120 см зайд байгаа цэгээр саваатай перпендикуляр өнгөрөх хэвтээ тэнхлэгийн эргэн тойронд хэлбэлздэг. Асаваагийн массын төвөөс. Ямар үнээр Ахугацаа Тхэлбэлзэл хамгийн бага ач холбогдолтой юу?

6.50. Ттүүнд хавсаргасан масстай жижиг бөмбөгтэй Т.Саваа дээрх О цэгийг дайран өнгөрөх хэвтээ тэнхлэгийг тойрон савлуур хэлбэлздэг. Хугацаа тодорхойлох Т a тохиолдолд дүүжингийн гармоник хэлбэлзэл, б, в, d Зураг дээр үзүүлэв. 6.8. Урт лсавааны урт нь 1 м. Бөмбөгийг материаллаг цэг гэж үзье.

6.51. Физик дүүжин нь масстай нимгэн нэгэн төрлийн саваа юм Ттүүнд хавсаргасан хоёр жижиг масстай бөмбөгтэй Тба 2 Т. Савлуур нь нэг цэгээр дамжин өнгөрөх хэвтээ тэнхлэгийг тойрон хэлбэлздэг ТУХАЙсаваа дээр. Дүүжингийн гармоник хэлбэлзлийн ν давтамжийг тохиолдлуудад тодорхойл а, б, в, г,Зурагт үзүүлэв. 6.9. Урт лбариулын урт нь 1 м. Бөмбөгийг материаллаг цэгүүд гэж үзнэ.

6.52. Биеийн жин Т=4 кг, хэвтээ тэнхлэгт бэхлэгдсэн, үетэй хэлбэлзэлтэй Т 1 =0.8 сек. Энэ тэнхлэг дээр дискийг тэнхлэг нь биеийн чичиргээний тэнхлэгтэй давхцаж байх үед уг хугацаа Т 2 хэлбэлзэл нь 1.2 секундтэй тэнцэв. Радиус Рдиск нь 20 см, түүний масс нь биеийн масстай тэнцүү байна. Инерцийн моментийг ол Жчичиргээний тэнхлэгтэй харьцуулахад бие.

6.53. Массын гидрометр Т=50 гр, хоолойн диаметртэй г= 1 см, усанд хөвдөг. Гидрометрийг усанд бага зэрэг дүрж, дараа нь өөртөө үлдээсэн бөгөөд үүний үр дүнд гармоник чичиргээ хийж эхлэв. Хугацаа олох Тэдгээр хэлбэлзэл.

6.54. U хэлбэрийн хоолойд, хоёр үзүүрийг нь онгойлгож, хөндлөн огтлолтой С=0.4 см 2 мөнгөн усны массыг хурдан хийнэ Т=200 гр хугацааг тодорхойлно Тхоолой дахь мөнгөн усны чичиргээ.

6.55. Хөндлөн огтлол нь бүхэл бүтэн уртын дагуу тогтмол байдаг хавдсан гуалиныг босоо байдлаар усанд дүрж, зөвхөн багахан хэсэг нь (урттай нь харьцуулахад) усны дээгүүр байна. Хугацаа Тлогны чичиргээ 5 секунд байна. Уртыг тодорхойлох лбүртгэлүүд

Норгосон хэлбэлзэл

6.56. Цаг хугацаа өнгөрөхөд дүүжингийн суларсан хэлбэлзлийн далайц t 1=5 минут хагасаар буурсан. Хэр удаан t2,Эхний мөчөөс эхлэн тоолоход далайц найм дахин буурах уу?

6.57. Тухайн үед т=8 мин, дүүжингийн саармагжуулсан хэлбэлзлийн далайц 3 дахин багассан. Норгосны коэффициент δ-ийг тодорхойлно .

6.58. Урттай савлуурын хэлбэлзлийн далайц l=Нэг удаад 1 м т=10 минут хагасаар буурсан. Θ хэлбэлзлийн логарифмын бууралтыг тодорхойл.

6.59. Савлуурын Θ хэлбэлзлийн логарифмын бууралт 0.003 байна. Тоог тодорхойл Ндалайцыг хоёр дахин багасгахын тулд дүүжин хийх ёстой нийт хэлбэлзэл.

6.60. Жингийн масс Т=500 г ороомог пүршний хөшүүн к=20 Н/м бөгөөд тодорхой орчинд уян харимхай чичиргээг гүйцэтгэдэг. Хэлбэлзлийн логарифмын бууралт Θ=0.004. Тоог тодорхойл Нхэлбэлзлийн далайц багасахын тулд жингийн хийх ёстой бүрэн хэлбэлзэл n=2 удаа. Хэр удаан тэнэ бууралт гарах уу?

6.61. Биеийн жин Т=5 г чийгшүүлсэн хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг. Цаг хугацаа өнгөрөхөд t= 50-аад онд бие нь эрчим хүчнийхээ 60 хувийг алддаг. Чирэх коэффициентийг тодорхойлох б.

6.62. Хугацаа тодорхойлох Тбууруулсан хэлбэлзэл, хэрэв хугацаа T 0системийн байгалийн хэлбэлзэл 1 с-тэй тэнцүү ба хэлбэлзлийн логарифмын бууралт Θ = 0.628 байна.

6.64. Биеийн жин Т=1 кг нь татах коэффициент бүхий наалдамхай орчинд байна б=0.05 кг/с. Хөшүүн байдлын хоёр ижил булаг ашиглаж байна к=50 Н/м бие бүр тэнцвэрийн байрлалд баригдсан, пүрш нь хэв гажилтгүй (Зураг 6.10). Бие нь тэнцвэрийн байрлалаасаа шилжсэн ба

гаргасан. Тодорхойлно: 1) сулралтын коэффициент δ ; 2) хэлбэлзлийн давтамж ν; 3) хэлбэлзлийн логарифмын бууралт Θ; 4) тоо Нхэлбэлзэл, үүний дараа далайц e дахин буурах болно.

Албадан чичиргээ. Резонанс

6.65. Цахилгаан моторын таталцлын нөлөөн дор түүнийг суурилуулсан консолын цацраг нь нугалж байна. h=1 мм. Ямар хурдаар nМоторын арматурт резонансын аюул бий юу?

6.66. Машины жин Т=80 т нь дөрвөн булагтай. Хатуу байдал кбулаг бүрийн булаг 500 кН/м. Хэрвээ урттай бол төмөр замын үений цохилтоос болж машин ямар хурдтайгаар хүчтэй савлаж эхлэх вэ лтөмөр зам 12.8 м?

6.67. Осцилляторын систем нь ν=1000 Гц давтамжтай саармагжуулсан хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг. Резонансын давтамж ν pe з =998 Гц бол байгалийн хэлбэлзлийн ν 0 давтамжийг тодорхойл.

6.68. Резонансын давтамж нь δ=400 с -1 сааруулагч коэффициентээр тодорхойлогддог системийн байгалийн хэлбэлзлийн ν 0 =l kHz давтамжаас хэр их ялгаатай болохыг тодорхойл.

6.69. Байгалийн давтамж ν 0 =10 кГц-ээс Δν=2 Гц-ээр бага давтамжтайгаар резонанс ажиглагдах тербеллийн системийн Θ хэлбэлзлийн логарифмын бууралтыг тодорхойл.

6.70. Хугацаа ТПүршний дүүжингийн 0 байгалийн хэлбэлзэл 0.55 сек-тэй тэнцүү байна. Наалдамхай орчинд, хугацаа Тижил дүүжин 0.56 сек-тэй тэнцэв. Хэлбэлзлийн резонансын ν pe давтамжийг тодорхойлно.

6.71. Хаврын дүүжин (хөшүүн байдал кпүрш нь 10 Н/м, масс Т 100 г-тэй тэнцэх ачаалал) татах коэффициент бүхий наалдамхай орчинд албадан чичиргээг гүйцэтгэдэг r=2·10 -2 кг/с. Норгосны коэффициент δ ба резонансын далайцыг тодорхойлно Абууруулах, хэрэв хөдөлгөгч хүчний далайцын утга Ф 0 =10 мН.

6.72. Бие нь татах коэффициент бүхий орчинд албадан хэлбэлзэл гүйцэтгэдэг r= 1г/с. Унтралтыг бага гэж үзвэл резонансын далайц бол хөдөлгөгч хүчний далайцын утгыг тодорхойлно. А res =0.5 см ба байгалийн хэлбэлзлийн ν 0 давтамж 10 Гц байна.

6.73. ν 1 =400 Гц ба ν 2 =600 Гц давтамжийн албадан гармоник хэлбэлзлийн далайц тэнцүү байна. ν pe h резонансын давтамжийг тодорхойлно. Норгосны үл тоомсорлох.

6.74. Ороомог пүршний хөшүүн байдлыг хангах k= 10Н/м массын жинг түдгэлзүүлсэн Т=10 г ба бүхэл системийг наалдамхай орчинд дүрнэ. Татах коэффициентийг авч байна б 0.1 кг/с-тэй тэнцүү, тодорхойлно: 1) байгалийн хэлбэлзлийн давтамж ν 0; 2) резонансын давтамж ν pe з; 3) резонансын далайц Ахэрвээ хөдөлгөгч хүч гармоник хууль ба түүний далайцын утгын дагуу өөрчлөгдвөл зүснэ F 0 ==0,02 Н; 4) хүчний нөлөөн дор резонансын далайцын статик шилжилтийн харьцаа F 0.

6.75. Хэрэв хөдөлгөгч хүчний өөрчлөлтийн давтамж нь резонансын давтамжаас их байвал албадан хэлбэлзлийн далайц нь резонансын далайцаас хэдэн удаа бага байх вэ: 1) 10%? 2) хоёр удаа? Норгосны коэффициент δ хоёр тохиолдолд 0.1 ω 0 (ω 0 нь байгалийн хэлбэлзлийн өнцгийн давтамж) -тай тэнцүү байна.

§ 6. МЕХАНИК чичиргээҮндсэн томъёо

Гармоник тэгшитгэл

Хаана X -тэнцвэрийн байрлалаас хэлбэлзэх цэгийг нүүлгэн шилжүүлэх; т- цаг хугацаа; А,ω, φ - далайц, өнцгийн давтамж, хэлбэлзлийн эхний үе шат; т.

- одоогийн хэлбэлзлийн үе шат

Өнцгийн давтамж

Энд ν ба T нь хэлбэлзлийн давтамж ба үе юм.

Гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэх цэгийн хурд нь

Гармоник хэлбэлзлийн үеийн хурдатгал АДалайц

Хаана а 1 Нэг шулуун шугамын дагуу үүсэх ижил давтамжтай хоёр хэлбэлзлийг нэмснээр үүссэн хэлбэлзлийг томъёогоор тодорхойлно. А 2 - Тэгээд

чичиргээний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн далайц; φ 1 ба φ 2 нь тэдний эхний үе шатууд юм.

Үүссэн хэлбэлзлийн эхний үе шат φ-ийг томъёоноос олж болно

Өөр өөр боловч ижил төстэй ν 1 ба ν 2 давтамжтай нэг шулуун шугамын дагуу үүсэх хоёр хэлбэлзлийг нэмэх үед үүсэх цохилтын давтамж,

А 1 ба А 2 далайцтай, φ 1 ба φ 2 эхний үетэй харилцан перпендикуляр хоёр хэлбэлзэлд оролцож буй цэгийн траекторийн тэгшитгэл,

Хэрэв хэлбэлзлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн φ 1 ба φ 2 эхний үе шатууд ижил байвал траекторийн тэгшитгэл хэлбэрийг авна.

өөрөөр хэлбэл цэг нь шулуун шугамаар хөдөлдөг.

Хэрэв фазын зөрүү нь байвал тэгшитгэл хэлбэрийг авна

өөрөөр хэлбэл цэг нь эллипсийн дагуу хөдөлдөг.

Материаллаг цэгийн гармоник хэлбэлзлийн дифференциал тэгшитгэл к- Эсвэл m нь цэгийн масс; к=Тω 2).

хагас уян хатан хүчний коэффициент (

Гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэх материаллаг цэгийн нийт энерги нь

Хаана мПүрш (пүршний дүүжин) дээр дүүжлэгдсэн биеийн хэлбэлзлийн хугацаа к- - биеийн жин;

хаврын хөшүүн байдал.

Хаана лТомъёо нь Хукийн хуулийг хангасан хязгаарт (биеийн масстай харьцуулахад хаврын бага масстай) уян чичиргээнд хүчинтэй. g- Математик дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа

Хаана Ж- дүүжингийн урт;

таталцлын хурдатгал. Физик дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа А- тэнхлэгтэй харьцуулахад хэлбэлзэх биеийн инерцийн момент

эргэлзээ;

- савлуурын массын төвийн хэлбэлзлийн тэнхлэгээс зай;

Физик дүүжингийн уртыг багасгасан.

Хаана Ж- Өгөгдсөн томъёонууд нь хязгааргүй бага далайцтай тохиолдолд үнэн зөв байна. Хязгаарлагдмал далайцын хувьд эдгээр томъёо нь зөвхөн ойролцоо үр дүнг өгдөг. Илүү ихгүй далайцтай үед хугацааны утгын алдаа 1% -иас хэтрэхгүй байна. к- Уян утсан дээр дүүжлэгдсэн биеийн мушгирах чичиргээний хугацаа

уян утастай давхцах тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн момент;

Хаана rуян утаснуудын хөшүүн чанар нь утсыг мушгих үед үүсэх уян моментийн утсыг мушгих өнцөгтэй харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна. - Норгосон хэлбэлзлийн дифференциал тэгшитгэл, эсвэл,

- эсэргүүцлийн коэффициент; δ

Хаана сулралтын коэффициент: ; ω 0 - хэлбэлзлийн байгалийн өнцгийн давтамж *- тухайн үеийн уналттай хэлбэлзлийн далайц т;ω нь тэдний өнцгийн давтамж юм.

Норгосон хэлбэлзлийн өнцгийн давтамж

О Унтраах хэлбэлзлийн далайцын хугацаанаас хамаарах хамаарал

Хаана А 0 - тухайн үеийн хэлбэлзлийн далайц т=0.

Логарифмын хэлбэлзлийн бууралт

Хаана сулралтын коэффициент: ; ω 0 - хэлбэлзлийн байгалийн өнцгийн давтамж *Нэг шулуун шугамын дагуу үүсэх ижил давтамжтай хоёр хэлбэлзлийг нэмснээр үүссэн хэлбэлзлийг томъёогоор тодорхойлно. A(t+T)- дараалсан хоёр хэлбэлзлийн далайцыг хугацаанд нь хугацаанд нь хуваасан.

Албадан хэлбэлзлийн дифференциал тэгшитгэл

хэлбэлзэж буй материалын цэг дээр үйлчилж, албадан хэлбэлзлийг үүсгэдэг гадаад тогтмол хүч хаана байна; Ф 0 - түүний далайцын утга;

Албадан хэлбэлзлийн далайц

Резонансын давтамж ба резонансын далайц ба

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 1.Хуулийн дагуу цэг нь хэлбэлздэг x(t)= , Хаана A=2Хэрэв эхний үе шатыг тодорхойлох φ-ийг үзнэ үү

x(0)= см ба X , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента т=0.

Шийдэл. Хөдөлгөөний тэгшитгэлийг ашиглаж тухайн үеийн шилжилтийг илэрхийлье т=0 эхний үе шатанд:

Эндээс бид эхний үе шатыг олно:

* Өмнө нь өгөгдсөн гармоник чичиргээний томъёонд ижил хэмжигдэхүүнийг ω (0 индексгүйгээр) гэж тэмдэглэсэн.

Энэ илэрхийлэлд өгөгдсөн утгуудыг орлуулъя x(0) ба Х:φ= = .

Аргументийн утгыг хоёр өнцгийн утгаар хангана.

φ өнцгийн эдгээр утгуудын аль нь нөхцөлийг хангаж байгааг шийдэхийн тулд эхлээд бид дараахь зүйлийг олно. тЭнэ илэрхийлэлд утгыг орлуулж байна

Т =0 ба эхний үе шатуудын утгуудыг ээлжлэн олно Аүргэлжийн адил

>0 ба ω>0 байвал эхний фазын эхний утга л нөхцөлийг хангана. Тиймээс хүссэн эхний үе шат Олдсон φ утгыг ашиглан бид вектор диаграммыг байгуулна (Зураг 6.1).Жишээ 2. ТМасстай материаллаг цэг ν =5 г давтамжтай гармоник хэлбэлзэл гүйцэтгэдэг А=0.5 Гц. Хэлбэлзлийн далайц =3 см-ийг тодорхойлно: 1) υ хурд x=нүүлгэн шилжүүлэх үед цэгүүд Э= 1.5 см; 2) цэг дээр үйлчлэх хамгийн их хүч F max; 3) Зураг. 6.1 нийт эрчим хүч

хэлбэлзлийн цэг.

шилжилтийн анхны деривативыг авч хурдны томьёог олж авна. А 2 , Шилжилтээр хурдыг илэрхийлэхийн тулд (1) ба (2) томъёоноос цагийг хасах шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд бид хоёр тэгшитгэлийг квадрат болгож, эхнийх нь хуваагдана

хоёр дахь нь A 2 ω 2 дээр нэмээд: , бид олох болно

υ-ийн сүүлчийн тэгшитгэлийг шийдсэний дараа

Энэ томъёог ашиглан тооцооллыг хийсний дараа бид олж авна X,Хурдны чиглэл нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй давхцаж байгаа тохиолдолд нэмэх тэмдэг тохирно. X.

хасах тэмдэг - хурдны чиглэл нь тэнхлэгийн сөрөг чиглэлтэй давхцах үед

Гармоник хэлбэлзлийн үеийн шилжилтийг (1) тэгшитгэлээс гадна тэгшитгэлээр тодорхойлж болно.

2. Бид Ньютоны хоёр дахь хуулийг ашиглан нэг цэгт үйлчлэх хүчийг олно.

Хаана А -Хурдны цаг хугацааны деривативыг авах замаар олж авах цэгийн хурдатгал:

Хурдатгалын илэрхийлэлийг (3) томъёонд орлуулснаар бид олж авна

Тиймээс хүчний хамгийн их утга

Энэ тэгшитгэлд π, ν-ийн утгыг орлуулж, ТНэг шулуун шугамын дагуу үүсэх ижил давтамжтай хоёр хэлбэлзлийг нэмснээр үүссэн хэлбэлзлийг томъёогоор тодорхойлно. А,бид олох болно

3. Хэлбэлзэх цэгийн нийт энерги нь цаг хугацааны аль ч агшинд тооцоолсон кинетик ба потенциал энергийн нийлбэр юм.

Нийт энергийг тооцоолох хамгийн хялбар арга бол кинетик энерги хамгийн их утгад хүрэх мөч юм. Энэ үед боломжит энерги тэг байна. Тиймээс нийт эрчим хүч Эхэлбэлзлийн цэг нь хамгийн их кинетик энергитэй тэнцүү байна

Бид хамгийн их хурдыг томъёогоор (2) тодорхойлно, тохиргоо: . Хурдны илэрхийлэлийг (4) томъёонд орлуулснаар бид олно

Энэ томъёонд хэмжигдэхүүнүүдийн утгыг орлуулж, тооцооллыг хийснээр бид олж авна

эсвэл µJ.

Жишээ 3.Нимгэн саваа урттай төгсгөлд л= 1 м ба масс м 3 =400 гр масстай бэхэлсэн жижиг бөмбөлөгүүд м 1 =200 гр Нэг шулуун шугамын дагуу үүсэх ижил давтамжтай хоёр хэлбэлзлийг нэмснээр үүссэн хэлбэлзлийг томъёогоор тодорхойлно. м 2 = 300 гр. Саваа нь хэвтээ тэнхлэгийн дагуу перпендикуляр хэлбэлздэг

саваатай дикуляр ба түүний дундуур дамжин өнгөрдөг (Зураг 6.2 дахь O цэг). Хугацаа тодорхойлох Тсаваагаар хийсэн хэлбэлзэл.

Шийдэл. Бөмбөгтэй саваа гэх мэт физик дүүжингийн хэлбэлзлийн үеийг хамаарлаар тодорхойлно.

Хаана Ж- Т -түүний масс; л ХАМТ - дүүжингийн массын төвөөс тэнхлэг хүртэлх зай.

Энэ дүүжингийн инерцийн момент нь бөмбөлгүүдийн инерцийн моментуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Ж 1 ба Ж 2 ба саваа Ж 3:

Бөмбөгийг материаллаг цэг болгон авч, бид тэдгээрийн инерцийн моментийг илэрхийлнэ.

Тэнхлэг нь бариулын дундуур дамждаг тул энэ тэнхлэгтэй харьцуулахад түүний инерцийн момент Ж 3 = = . Үүссэн илэрхийллүүдийг орлуулах Ж 1 , Ж 2 Тэгээд Ж 3-т (2) томъёонд бид физик дүүжингийн нийт инерцийн моментийг олно.

Энэ томъёог ашиглан тооцооллыг хийсний дараа бид олж мэднэ

Цагаан будаа. 6.2 Савлуурын масс нь бөмбөлгүүдийн масс ба саваагийн массаас бүрдэнэ.

Зай л ХАМТ Дүүжингийн массын төвийг хэлбэлзлийн тэнхлэгээс бид дараахь зүйлийг үндэслэн олох болно. Хэрэв тэнхлэг Xсаваа дагуу чиглүүлж, координатын эхийг цэгтэй зэрэгцүүлнэ ТУХАЙ,дараа нь шаардлагатай зай лдүүжингийн массын төвийн координаттай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.

Хэмжигдэхүүний утгыг орлуулах м 1 , м 2 , м, лмөн тооцоо хийсний дараа бид олдог

Томъёо (1) ашиглан бид физик дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацааг олж авна.

Жишээ 4.Физик дүүжин бол урт саваа юм л= 1 м ба масс 3 Т 1 -тайтүүний нэг үзүүрт диаметр ба масстай цагирагаар бэхлэгдсэн байна Т 1 . Хэвтээ тэнхлэг Оз

дүүжин нь түүнд перпендикуляр саваа дундуур дамждаг (Зураг 6.3). Хугацаа тодорхойлох Тийм дүүжингийн хэлбэлзэл.

Шийдэл. Физик дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацааг томъёогоор тодорхойлно

Хаана Ж- хэлбэлзлийн тэнхлэгтэй харьцуулахад дүүжингийн инерцийн момент; Т -түүний масс; л C - дүүжингийн массын төвөөс хэлбэлзлийн тэнхлэг хүртэлх зай.

Дүүжингийн инерцийн момент нь савааны инерцийн моментуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Ж 1 ба цагираг Ж 2:

Саваатай перпендикуляр тэнхлэгтэй харьцуулахад саваагийн инерцийн момент, түүний массын төвийг дайран өнгөрөх нь томьёогоор тодорхойлогдоно. Энэ тохиолдолд t= 3Т 1 ба

Бид цагирагны инерцийн моментийг Стейнерийн теоремыг ашиглан олдог Ж- дурын тэнхлэгийн инерцийн момент; Ж 0 - өгөгдсөн тэнхлэгтэй параллель массын төвөөр дамжин өнгөрөх тэнхлэгийн инерцийн момент; А -заасан тэнхлэгүүдийн хоорондох зай. Энэ томъёог цагирагт хэрэглэснээр бид олж авна

Орлуулах илэрхийлэл Ж 1 ба Ж 2-т томьёо (2) дээр бид эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад дүүжингийн инерцийн моментийг олно.

Зай л ХАМТ дүүжин тэнхлэгээс түүний массын төв хүртэл тэнцүү байна

Томъёонд (1) илэрхийллийг орлуулах Ж, л s ба дүүжингийн массын хувьд бид түүний хэлбэлзлийн үеийг олно.

Энэ томъёог ашиглан тооцоолсны дараа бид олж авна Т=2.17 сек.

Жишээ 5.Тэгшитгэлээр илэрхийлсэн ижил чиглэлийн хоёр хэлбэлзлийг нэмсэн; X 2 = =, хаана А 1 = 1 см, А 2 =2 см, с, с, ω = =. 1. Хэлбэлзлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн φ 1 ба φ 2 эхний үе шатуудыг тодорхойлно.

Бания. 2. Далайцыг ол Аба үүссэн хэлбэлзлийн эхний үе шат φ. Үүссэн чичиргээний тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл. 1. Гармоник чичиргээний тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Асуудлын мэдэгдэлд заасан тэгшитгэлийг ижил хэлбэрт шилжүүлье.

(2) илэрхийлэлийг тэгш байдал (1)-тэй харьцуулснаар бид эхний болон хоёр дахь хэлбэлзлийн эхний үе шатуудыг олно.

Баяр баясгалантай.

2. Далайцыг тодорхойлох АҮүссэн хэлбэлзлийн хувьд танилцуулсан вектор диаграмыг ашиглахад тохиромжтой будаа. 6.4. Косинусын теоремын дагуу бид олж авна

хэлбэлзлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн фазын зөрүү хаана байна. Үүнээс хойш φ 2 ба φ 1-ийн олсон утгыг орлуулснаар бид рад болно.

Утгыг орлуулж үзье А 1 , А 2 (3) томъёонд оруулаад тооцооллыг хийнэ:

А= 2.65 см.

Үүссэн хэлбэлзлийн эхний фазын φ тангенсыг Зураг дээр шууд тодорхойлъё. 6.4: , эхний үе шат хаанаас ирдэг

Утгыг орлуулж үзье А 1 , А 2 , φ 1, φ 2 ба тооцооллыг гүйцэтгэнэ:

Нэмэгдсэн хэлбэлзлийн өнцгийн давтамжууд ижил байх тул үүссэн хэлбэлзэл нь ижил давтамжтай ω байна. Энэ нь бидэнд үүссэн хэлбэлзлийн тэгшитгэлийг , хаана хэлбэрээр бичих боломжийг олгодог А=2.65 см, , рад.

Жишээ 6.Материаллаг цэг нь харилцан перпендикуляр хоёр гармоник хэлбэлзэлд нэгэн зэрэг оролцдог бөгөөд тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

Хаана а 1 = 1 см, А 2 =2 см, . Цэгийн траекторийн тэгшитгэлийг ол. Хуваарийн дагуу траекторийг байгуулж, цэгийн хөдөлгөөний чиглэлийг заана уу.

Шийдэл. Нэг цэгийн траекторийн тэгшитгэлийг олохын тулд бид цаг хугацааг хасдаг төгөгдсөн тэгшитгэлээс (1) ба (2). Үүнийг хийхийн тулд ашиглана уу

Томьёог ашиглацгаая. Иймээс энэ тохиолдолд

Томъёоны дагуу (1) , дараа нь траекторийн тэгшитгэл

Үүссэн илэрхийлэл нь тэнхлэг нь тэнхлэгтэй давхцаж буй параболын тэгшитгэл юм Өө.(1) ба (2) тэгшитгэлээс харахад координатын тэнхлэгийн дагуу цэгийн шилжилт хязгаарлагдмал бөгөөд тэнхлэгийн дагуу -1-ээс +1 см хооронд хэлбэлздэг. Өөтэнхлэгийн дагуу -2-оос +2 см хүртэл байна Өө.

Траекторийг байгуулахын тулд утгыг олохын тулд (3) тэгшитгэлийг ашиглана у,хэд хэдэн утгын мужид харгалзах X,см нөхцөлийг хангаж, хүснэгт үүсгэнэ үү:

Координатын тэнхлэгүүдийг зурж, масштабыг сонгосны дараа бид үүнийг хавтгай дээр зурна xOyоноо олсон. Тэдгээрийг гөлгөр муруйгаар холбосноор бид хөдөлгөөний (1) ба (2) тэгшитгэлийн дагуу хэлбэлзэж буй цэгийн траекторийг олж авна (Зураг 6.5).

Нэг цэгийн хөдөлгөөний чиглэлийг зааж өгөхийн тулд бид түүний байрлал цаг хугацааны явцад хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг хянах болно. Эхний мөчид т=0 цэгийн координат тэнцүү байна x(0)=1 см ба y(0)=2 см, жишээлбэл, цаг хугацааны дараа т 1 =l s үед цэгүүдийн координатууд өөрчлөгдөж тэнцүү болно X(1)= -1 см, y(т )=0. Цаг хугацааны эхний ба дараагийн (ойр) мөчид цэгүүдийн байрлалыг мэдэж, траекторийн дагуу цэгийн хөдөлгөөний чиглэлийг зааж өгч болно. АЗураг дээр. 6.5 Хөдөлгөөний энэ чиглэлийг сумаар (цэгээс тгарал үүсэл). Хормын дараа D, 2 = 2 секундын хэлбэлзлийн цэг нь цэгт хүрнэ

энэ нь эсрэг чиглэлд шилжих болно.

Даалгаврууд

6.1. Гармоник хэлбэлзлийн кинематик ТЦэгийн хэлбэлзлийн тэгшитгэл нь ω=π s -1, τ=0.2 сек хэлбэртэй байна. Хугацаа тодорхойлох

6.2. ба хэлбэлзлийн эхний үе шат φ. Т,Хугацаа тодорхойлох

6.3. ω=2.5π s -1, τ=0.4 с байх тэгшитгэлээр өгөгдсөн v давтамж ба хэлбэлзлийн эхний үе φ. А x(0)=2Хуулийн дагуу цэг нь хэлбэлздэг, хаана т=0.

6.4. см ба; 2) x(0) = см ба ; А 3) x(0)=2см ба ; 4) x(0)= ба . Тухайн агшинд вектор диаграммыг байгуул= 2 Хуулийн дагуу цэг нь хэлбэлздэг, хаана x=4 см-ийн эхний үе шатыг тодорхойлно уу: 1) X x(0) xсм ба; 2) т=0.