Хэрэв l 1 ба l 2 хоёр шулуун шугам нь хавтгай дээр байрладаг бол тэдгээрийн харьцангуй байрлалын гурван өөр тохиолдол боломжтой: 1) огтлолцох (өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь нэг нийтлэг цэгтэй); 2) зэрэгцээ ба давхцахгүй байх; 3) таарах.
Эдгээр мөрүүдийг тэгшитгэлээр нь ерөнхий хэлбэрээр өгсөн бол эдгээр тохиолдлуудын аль нь тохиолдохыг хэрхэн олж мэдье.
Хэрэв l 1 ба l 2 шулуунууд ямар нэг M(x,y) цэг дээр огтлолцдог бол энэ цэгийн координатууд (12) системийн тэгшитгэлийг хоёуланг нь хангасан байх ёстой.
Тиймээс l 1 ба l 2 шугамын огтлолцлын цэгийн координатыг олохын тулд тэгшитгэлийн системийг (12) шийдэх шаардлагатай.
1) хэрэв систем (12) нь өвөрмөц шийдэлтэй бол l 1 ба l 2 шугамууд огтлолцоно;
2) хэрэв систем (12) шийдэлгүй бол l 1 ба l 2 шугамууд зэрэгцээ байна;
3) хэрэв систем (12) олон шийдэлтэй бол l 1 ба l 2 мөрүүд давхцаж байна.
Хоёр шулуун шугамын давхцах нөхцөл нь тэдгээрийн тэгшитгэлийн харгалзах коэффициентүүдийн пропорциональ байдал юм.
Жишээ 10. 3x+4y-1=0, 2x+3y-1=0 шулуунууд огтлолцдог уу?
Шийдэл: Тэгшитгэлийн системийг шийдье. 
систем нь өвөрмөц шийдэлтэй тул шугамууд огтлолцдог. Шугамануудын огтлолцох цэг нь координаттай (-1;1).
Жишээ 11. 2x-y+2=0 ба 4x-2y-1=0 шулуунууд зэрэгцээ байна уу?
Шийдэл: Тэгшитгэлийн системийг шийдье 
Энэ системд шийдэл байхгүй тул шугамууд зэрэгцээ байна.
Жишээ 12. x+y+1=0 ба 3x+3y+3=0 шулуунууд ижил үү?
Шийдэл: Коэффициент нь пропорциональ учраас тэдгээр нь давхцаж байна.
Жишээ 13. x+y-1=0, x-y+2=0 шулуунуудын огтлолцох цэг болон (2,1) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл: Өгөгдсөн хоёр шулууны огтлолцох цэгийн координатыг ол. Үүнийг хийхийн тулд бид эдгээр тэгшитгэлийг хамтдаа шийддэг. Нэмэхдээ бид олох болно: 2x+1=0, хаанаас
Эхний тэгшитгэлээс хоёр дахьыг хасвал: 2у-3=0, эндээс . Дараа нь () ба (2;1) хоёр цэгийг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бий болгоход л үлддэг.
Шаардлагатай тэгшитгэл нь байх болно 
, эсвэл хаанаас 
эсвэл x+5y-7=0
Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөгхавтгай дээрх тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг гэж нэрлэгддэг. Энэ тодорхойлолтоор бид нэг өнцгийг биш, харин хоёр зэргэлдээх өнцгийг олж авдаг. Анхан шатны геометрийн хувьд хоёр зэргэлдээ өнцгөөс, дүрмээр бол жижиг өнцгөөс сонгогддог, өөрөөр хэлбэл. хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийн хэмжээ нь нөхцөлийг хангана.
Хэрэв 
Тэгээд 
шугамын чиглэлийн векторууд ба тус тусад нь (Зураг 3.23, а), дараа нь эдгээр шугамын хоорондох өнцгийг дараах томъёогоор тооцоолно.
Шугамын хоорондох өнцгийг (3.19) тэдгээрийн нормуудын хоорондох өнцгөөр тооцоолж болно 
Тэгээд 
:
| (3.22) |
Шулуун шугамын хоорондох хурц өнцгийн утгыг олж авахын тулд та баруун талыг үнэмлэхүй утгаар авах хэрэгтэй.
Шулуунуудын перпендикуляр байдлын зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл (3.19) нь тэдгээрийн нормуудын ортогональ байх нөхцөл юм. тэдгээрийн нормуудын скаляр үржвэрийг тэгтэй тэнцүүлэх нь:
Томъёо (3.22) ашиглан бид шулуун шугамын хоорондох хурц өнцгийг (3.19) (Зураг 3.23,а), бусад тохиолдолд мохоо өнцгийг олж авна: (Зураг 3.23,6). Өөрөөр хэлбэл, (3.22) томъёог ашиглан эдгээр шугамаар тодорхойлогдсон эсрэг талын хагас хавтгайд хамаарах цэгүүд байрлах шулуунуудын хоорондох өнцгийг олно.. 3.23-т эерэг ба сөрөг хагас хавтгайг нэмэх "+" эсвэл хасах "-" тэмдгээр тэмдэглэв.
V бүлэг*. Орон зай дахь шулуун ба хавтгайн тэгшитгэл.
§ 66. Онгоцуудын давхцах ба огтлолцох нөхцөл
Хэрэв онгоц бол r 1 ба r 2 тэгшитгэлээр өгөгдсөн
А 1 X+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 ба A 2 X+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0, (1)
нийтлэг цэгтэй бол түүний координатууд (1) тэгшитгэл бүрийг хангана. Тиймээс эдгээр хавтгайн нийтлэг цэгүүдийг олохын тулд тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй
өөрөөр хэлбэл гурван үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн систем. Нөхцөл хангагдсан үед
(3)
(2) системд шийдэл байхгүй. Үнэндээ эсрэгээрээ гэж бодъё.
гэж бодъё ( X 0 ; цагт 0 , z 0) - системийн шийдэл. Дараа нь бол
дараа нь (2) системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олж авна
А 2 X 0 + B 2 цагт 0+C2 z 0 = - D 2,
мөн эхнийхээс
к(А 2 X 0 + B 2 цагт 0+C2 z 0) = - D 1 ,
Тиймээс (3) нөхцөлтэй зөрчилддөг.
Энэ нөхцөл байдлыг бид мэднэ 
онгоцууд зэрэгцээ байх нөхцөл бий. Тиймээс хэрэв нөхцөл (3) хангагдсан бол онгоц r 1 ба r 2 нь зэрэгцээ бөгөөд давхцдаггүй.
Системийн коэффициент ба чөлөөт нөхцлүүд (2) нөхцөлийг хангаж байгаа тохиолдолд
(4)
систем нь харагдаж байна
Системийн тэгшитгэл бүр нь ижил хавтгайг тодорхойлдог. Тиймээс (4) нөхцөл нь онгоцууд давхцах зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл юм.
Хэрэв онгоц бол r 1 ба r 2 нь параллель биш, өөрөөр хэлбэл огтлолцох юм бол
Энэ тохиолдолд тэгшитгэл (2) нь шулуун шугамын тэгшитгэл юм лонгоцны уулзварууд r 1 ба r 2. Энэ шугамын каноник тэгшитгэлийг хэрхэн олохыг үзье. Шугамын каноник тэгшитгэлийг зохиохын тулд та тодорхой цэгийн координат ба түүний чиглэлийн векторын координатыг мэдэх хэрэгтэй. А . (2) системийн аливаа шийдлийг М0 цэгийн координат болгон авч болно. Хөтөч вектор болгон А шууд лвекторуудын вектор үржвэрийг авч болно n 1 = (A 1 ; B 1 ; C 1) ба n 2 = (A 2 ; B 2 ; C 2), өөрөөр хэлбэл хавтгайн хэвийн векторууд r 1 ба r 2 .
Үнэхээр (Зураг 203), вектор [ n 1 ; n 2 ] вектор үржвэрийн тодорхойлолтоор векторуудад перпендикуляр байна n 1 ба n 2 ба тиймээс хавтгайтай параллель байна r 1 ба r 2 ба, тиймээс, шугамтай collinear лтэдгээрийн уулзварууд.
Асуудал 1. Хавтгайн огтлолцол болох шулууны каноник тэгшитгэлийг зохио
X - 2цагт + z+ 1 = 0 ба 2 X - цагт+ 3z - 2 = 0.
Учир нь n 1 = (1; - 2; 1), n 2 = (2; -1; 3), дараа нь
Өгөгдсөн шулуун дээрх дурын цэгийн координатыг тодорхойлохын тулд тэгшитгэлийн системийн дурын шийдлийг олдог
Жишээ нь: z= 0, тэгвэл бид авна
хаана X = 5 / 3 , y= 4/3. Тиймээс анхны систем нь шийдэлтэй (5/3; 4/3; 0) тул энэ шугам нь M цэгээр дамждаг (5/3; 4/3; 0).
Шулуун дээрх цэгийн координат ба түүний чиглэлийн векторын координатыг мэдсэнээр бид энэ шугамын каноник тэгшитгэлийг бичнэ.
Хэрэв А онгоц 1 бол гэдгийг анхаарна уу X+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 ба A 2 X+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0 огтлолцох тул тэдгээрийн огтлолцлын шугамыг дайран өнгөрөх аливаа хавтгайн тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичиж болно.
α (A 1 X+ B 1 y+ C 1 z+ D 1) + β(A 2 X+ B 2 y+ C 2 z+ D 2) = 0,
Энд α ба β нь зарим тоо юм.
Даалгавар 2. 3-р хавтгайн огтлолцлын шугамыг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бич x - 2цагт - z+ 4 = 0 ба X - 4цагт - 3z- 2 = 0 ба цэг M 0 (1; 1; - 2).
Эдгээр хавтгайн огтлолцлын шугамыг дайран өнгөрөх хавтгайнуудын тэгшитгэлийг байгуулъя.
α(3 x - 2цагт - z+ 4) + β( X - 4цагт - 3z - 2) = 0.
M 0 нь хүссэн хавтгайд хамаарах тул
α (3 1 - 2 1 + 2 + 4) + β(1- 4 1 + 6 -2) = 0,
тиймээс
эндээс жишээ нь α = 1, β = -7.
Онгоцны шаардлагатай тэгшитгэл нь байх болно
3x - 2цагт - z + 4 - 7 (X - 4цагт - 3z - 2) = 0,
2x - 13цагт - 10z- 9 = 0.
Би шинэ Верд файл үүсгэж, ийм сонирхолтой сэдвийг үргэлжлүүлэхээс өмнө нэг минут ч өнгөрөөгүй. Та ажлын сэтгэлийн агшинг авах хэрэгтэй, тиймээс уянгын танилцуулга байхгүй болно. Зохиолын шинжтэй алгадах болно =)
Хоёр шулуун зай нь:
1) эрлийз;
2) цэг дээр огтлолцох;
3) зэрэгцээ байх;
4) таарах.
1-р хэрэг бусад хэргүүдээс үндсэндээ ялгаатай. Нэг хавтгайд хэвтэхгүй бол хоёр шулуун огтлолцоно. Нэг гараа дээшээ өргөж, нөгөө гараа урагш сунгана - энд шугам дамжих жишээ байна. 2-4-р цэгүүдэд шулуун шугамууд хэвтэх ёстой нэг хавтгайд.
Орон зай дахь шугамуудын харьцангуй байрлалыг хэрхэн олж мэдэх вэ?
Хоёр шууд зайг авч үзье:
– цэг ба чиглэлийн вектороор тодорхойлогдсон шулуун шугам;
– цэг ба чиглэлийн вектороор тодорхойлогдсон шулуун шугам.
Илүү сайн ойлгохын тулд бүдүүвч зураг зурцгаая. 
Зураг дээр жишээ болгон огтлолцсон шулуун шугамуудыг харуулав.
Эдгээр шулуун шугамуудтай хэрхэн харьцах вэ?
Цэгүүд нь мэдэгдэж байгаа тул векторыг олоход хялбар байдаг.
Хэрэв шулуун бол эрлийз, дараа нь векторууд хавтгай биш(хичээлийг үзнэ үү Векторуудын шугаман (бус) хамаарал. Векторуудын үндэс), тиймээс тэдгээрийн координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэг биш байна. Эсвэл яг ижил зүйл бол тэг биш байх болно: 
.
2-4-р тохиолдолд бидний бүтэц нэг хавтгайд "унадаг" бөгөөд векторууд хавтгай, мөн шугаман хамааралтай векторуудын холимог үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна: 
.
Алгоритмыг цааш нь өргөжүүлье. Ингэж бодъё 
Тиймээс шугамууд огтлолцдог, параллель эсвэл давхцдаг.
Хэрэв чиглэл нь вектор байвал collinear, дараа нь шугамууд зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна. Эцсийн хадаасны хувьд би дараах техникийг санал болгож байна: нэг шулуун дээрх дурын цэгийг авч, түүний координатыг хоёр дахь шугамын тэгшитгэлд орлуулах; хэрэв координатууд "тохирох" бол шугамууд давхцаж байвал шугамууд зэрэгцээ байна;
Алгоритм нь энгийн боловч практик жишээнүүд туслах болно:
Жишээ 11
Хоёр шугамын харьцангуй байрлалыг олоорой
Шийдэл: геометрийн олон асуудлын нэгэн адил шийдлийг цэг болгон томъёолох нь тохиромжтой.
1) Бид тэгшитгэлээс цэг ба чиглэлийн векторуудыг гаргаж авдаг.
2) векторыг ол:
Тиймээс векторууд нь хоорондоо уялдаатай байдаг бөгөөд энэ нь шугамууд нэг хавтгайд байрладаг бөгөөд огтлолцох, параллель эсвэл давхцах боломжтой гэсэн үг юм.
4) Чиглэлийн векторуудын коллинеар байдлыг шалгая.
Эдгээр векторуудын харгалзах координатуудаас систем үүсгэцгээе.
-аас хүн бүрТэгшитгэлээс харахад систем нь тууштай, векторуудын харгалзах координатууд нь пропорциональ, векторууд нь коллинеар байдаг.
Дүгнэлт: шугамууд нь зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна.
5) Шулуунууд нийтлэг цэгтэй эсэхийг олж мэд. Эхний мөрөнд хамаарах цэгийг авч, координатыг нь шугамын тэгшитгэлд орлъё. 
Тиймээс шугамууд нь нийтлэг цэггүй бөгөөд тэдгээр нь зэрэгцээ байхаас өөр аргагүй юм.
Хариулах:
Өөрөө шийдэх сонирхолтой жишээ:
Жишээ 12
Шугамануудын харьцангуй байрлалыг ол
Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хоёр дахь мөрөнд параметрийн хувьд үсэг байгааг анхаарна уу. Логик. Ерөнхийдөө эдгээр нь хоёр өөр мөр тул мөр бүр өөрийн гэсэн параметртэй байдаг.
Би дахин жишээнүүдийг алгасахгүй байхыг уриалж байна, миний санал болгож буй ажлууд санамсаргүй биш юм ;-)
Орон зайн шугамтай холбоотой асуудлууд
Хичээлийн эцсийн хэсэгт би орон зайн шугамтай холбоотой хамгийн олон тооны янз бүрийн асуудлыг авч үзэхийг хичээх болно. Энэ тохиолдолд түүхийн анхны дараалал ажиглагдах болно: эхлээд бид огтлолцох шугам, дараа нь огтлолцох шугамтай холбоотой асуудлуудыг авч үзэх бөгөөд төгсгөлд нь орон зайд параллель шугамын тухай ярих болно. Гэсэн хэдий ч энэ хичээлийн зарим даалгаврыг шугамын байршлын хэд хэдэн тохиолдлуудад нэг дор томъёолж болох бөгөөд үүнтэй холбогдуулан хэсгийг догол мөрөнд хуваах нь зарим талаараа дур зоргоороо байдаг гэдгийг би хэлэх ёстой. Илүү энгийн жишээнүүд байдаг, илүү төвөгтэй жишээнүүд байдаг бөгөөд хүн бүр өөрт хэрэгтэй зүйлээ олох болно гэж найдаж байна.
Хөндлөнгийн шугамууд
Шулуун шугамууд хоёулаа орших хавтгай байхгүй бол огтлолцдог гэдгийг сануулъя. Дасгал хийж байхдаа нэг мангасын асуудал санаанд орж ирсэн бөгөөд одоо би дөрвөн толгойтой лууг та бүхэнд толилуулж байгаадаа баяртай байна.
Жишээ 13
Шулуун шугамууд өгөгдсөн. Шаардлагатай:
a) шугамууд огтлолцож байгааг батлах;
б) өгөгдсөн шулуунуудад перпендикуляр цэгээр өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг олох;
в) агуулсан шулуун шугамын тэгшитгэл зохиох нийтлэг перпендикулярогтлолцох шугам;
г) шугам хоорондын зайг ол.
Шийдэл: Алхаж байгаа хүн замд эзэн болно:
a) Шулуунууд огтлолцож байгааг баталцгаая. Эдгээр шулуунуудын цэг ба чиглэлийн векторуудыг олцгооё. 
Векторыг олъё:
Тооцоолъё векторуудын холимог бүтээгдэхүүн:
Тиймээс векторууд хавтгай биш, энэ нь шугамууд огтлолцдог гэсэн үг бөгөөд энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.
Шугам дамжихын тулд баталгаажуулах алгоритм нь хамгийн богино байдаг гэдгийг хүн бүр эртнээс анзаарсан байх.
б) Цэгээр дамжин өнгөрч буй шулууны перпендикуляр шулууны тэгшитгэлийг ол. Схемийн зургийг хийцгээе: 
Өөрчлөлт хийхийн тулд би шууд нийтэлсэн ТӨЛӨӨшулуун, уулзварууд дээр бага зэрэг арчигдаж байгааг хараарай. Эрлийзжүүлэх үү? Тиймээ, ерөнхийдөө "de" шулуун шугам нь анхны шулуун шугамтай гатлах болно. Хэдийгээр бид энэ мөчийг сонирхохгүй байгаа ч бид зүгээр л перпендикуляр шугам барих хэрэгтэй, тэгээд л болоо.
Шууд "de"-ийн талаар юу мэддэг вэ? Түүнд хамаарах цэг нь мэдэгдэж байна. Хөтөч вектор хангалтгүй байна.
Нөхцөлийн дагуу шулуун шугам нь шулуун шугамуудад перпендикуляр байх ёстой бөгөөд энэ нь түүний чиглэлийн вектор нь чиглэлийн векторуудад ортогональ байна гэсэн үг юм. 9-р жишээн дээр аль хэдийн танил болсон тул вектор үржвэрийг олцгооё.
Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан "de" шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя.
Бэлэн. Зарчмын хувьд та хуваагч дахь тэмдгүүдийг өөрчилж, хариултыг маягтаар бичиж болно 
, гэхдээ ингэх шаардлагагүй.
Шалгахын тулд та цэгийн координатыг үүссэн шулуун шугамын тэгшитгэлд орлуулах хэрэгтэй бөгөөд дараа нь дараахыг ашиглана уу. векторуудын скаляр үржвэрвектор нь “pe one” болон “pe two” чиглэлийн векторуудад үнэхээр ортогональ байгаа эсэхийг шалгаарай.
Нийтлэг перпендикуляр агуулсан шулууны тэгшитгэлийг хэрхэн олох вэ?
в) Энэ асуудал илүү хэцүү байх болно. Дэмжигчдийн хувьд энэ цэгийг алгасахыг зөвлөж байна, аналитик геометрийг чин сэтгэлээсээ өрөвдөхийг би хүсмээргүй байна =) Дашрамд хэлэхэд илүү бэлтгэгдсэн уншигчид ч бас саатсан нь дээр байж болох юм, үнэндээ жишээ нь нарийн төвөгтэй байдлын хувьд жишээ юм. Өгүүллийн хамгийн сүүлд байрлуулах ёстой, гэхдээ танилцуулгын логикийн дагуу энд байрлах ёстой.
Тиймээс та хазайсан шугамуудын нийтлэг перпендикулярыг агуулсан шугамын тэгшитгэлийг олох хэрэгтэй.
- энэ нь эдгээр шугамуудыг холбосон сегмент бөгөөд эдгээр шугамтай перпендикуляр: 
Энд манай царайлаг залуу байна: - огтлолцсон шугамын нийтлэг перпендикуляр. Тэр цорын ганц. Түүнээс өөр байхгүй. Бид энэ сегментийг агуулсан шугамын тэгшитгэлийг үүсгэх хэрэгтэй.
Шууд "ам"-ын талаар юу мэддэг вэ? Түүний чиглэлийн вектор нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд өмнөх догол мөрөнд байдаг. Гэвч харамсалтай нь бид "em" шулуун шугамд хамаарах ганц цэгийг мэдэхгүй, перпендикулярын төгсгөлүүд болох цэгүүдийг ч мэдэхгүй. Энэ перпендикуляр шугам нь анхны хоёр шулууныг хаана огтлох вэ? Африкт уу, Антарктидад уу? Нөхцөл байдлын анхны хяналт, шинжилгээнээс харахад асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх нь огтхон ч тодорхойгүй байна... Гэхдээ шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг ашиглахтай холбоотой заль мэх байдаг.
Бид шийдвэрээ цэг болгон томъёолно.
1) Эхний мөрийн тэгшитгэлийг параметрийн хэлбэрээр дахин бичье. 
Гол санааг авч үзье. Бид координатыг мэдэхгүй. ГЭХДЭЭ. Хэрэв цэг нь өгөгдсөн шулуунд хамаарах бол түүний координатууд нь -тэй тохирч байвал түүнийг -ээр тэмдэглэе. Дараа нь цэгийн координатыг дараах хэлбэрээр бичнэ. 
Амьдрал сайжирч байна, нэг үл мэдэгдэх нь гурван үл мэдэгдэх зүйл биш хэвээр байна.
2) Хоёр дахь цэг дээр ижил уур хилэнг хийх ёстой. Хоёр дахь мөрийн тэгшитгэлийг параметрийн хэлбэрээр дахин бичье. 
Хэрэв цэг нь өгөгдсөн шулуунд хамаарах бол маш тодорхой утгатайТүүний координатууд нь параметрийн тэгшитгэлийг хангасан байх ёстой.
Эсвэл: 
3) Өмнө нь олдсон вектор шиг вектор нь шулуун шугамын чиглүүлэгч вектор байх болно. Хоёр цэгээс векторыг хэрхэн яаж байгуулах талаар эрт дээр үеэс ангид ярилцдаг байсан Дамми нарт зориулсан векторууд. Одоо ялгаа нь векторуудын координатууд нь үл мэдэгдэх параметрийн утгуудаар бичигдсэн байдаг. Тэгэхээр яах вэ? Векторын төгсгөлийн координатаас векторын эхлэлийн харгалзах координатыг хасахыг хэн ч хориглодоггүй.
Хоёр цэг байна: 
.
Векторыг олох нь:
4) Чиглэлийн векторууд нь коллинеар байдаг тул нэг векторыг нөгөөгөөр дамжуулан тодорхой пропорциональ коэффициент "lambda"-аар шугаман байдлаар илэрхийлнэ.
Эсвэл координатын хувьд: 
Энэ нь хамгийн энгийн зүйл болж хувирав шугаман тэгшитгэлийн системГурван үл мэдэгдэх зүйлтэй, энэ нь стандартаар шийдэгддэг, жишээлбэл, Крамерын арга. Гурав дахь тэгшитгэлээс бид "ламбда" -ыг илэрхийлж, үүнийг эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулах болно.
Тиймээс: 
, мөн бидэнд "ламбда" хэрэггүй. Параметрийн утга ижил болсон нь зүгээр л осол юм.
5) Тэнгэр бүрэн цэлмэг байна, олсон утгыг орлуулъя 
бидний оноо:
Чиглэлийн вектор нь тийм ч шаардлагагүй, учир нь түүний эсрэг тал нь аль хэдийн олдсон байдаг.
Урт удаан аялсны дараа шалгах нь үргэлж сонирхолтой байдаг.
:
Зөв тэгш байдлыг олж авна.
Тэгшитгэлд цэгийн координатыг орлуулъя 
:
Зөв тэгш байдлыг олж авна.
6) Эцсийн хөвч: цэг (та үүнийг авч болно) болон чиглэлийн вектор ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг үүсгэцгээе:
Зарчмын хувьд та бүрэн координат бүхий "сайн" цэгийг сонгож болно, гэхдээ энэ нь гоо сайхны бүтээгдэхүүн юм.
Хэрхэн огтлолцох шугам хоорондын зайг олох вэ?
г) Бид луугийн дөрөв дэх толгойг таслав.
Нэгдүгээр арга. Арга ч биш, харин жижиг онцгой тохиолдол. Хөндлөн шугам хоорондын зай нь тэдгээрийн нийтлэг перпендикулярын урттай тэнцүү байна. 
.
Нийтлэг перпендикулярын туйлын цэгүүд 
Өмнөх догол мөрөнд байгаа бөгөөд даалгавар нь энгийн зүйл юм:
Хоёр дахь арга. Практикт нийтлэг перпендикулярын төгсгөл нь ихэвчлэн тодорхойгүй байдаг тул өөр аргыг ашигладаг. Зэрэгцээ хавтгайг огтлолцсон хоёр шулуун шугамаар зурж болох ба эдгээр хавтгайн хоорондох зай нь эдгээр шулуун шугамын хоорондох зайтай тэнцүү байна. Ялангуяа эдгээр хавтгайн хооронд нийтлэг перпендикуляр гарч ирдэг.
Аналитик геометрийн явцад дээр дурдсан зүйлсээс огтлолцсон шулуун шугамын хоорондох зайг олох томъёог гаргаж авсан болно. 
(бидний "нэг, хоёр" гэсэн цэгүүдийн оронд та дурын шугамын цэгүүдийг авч болно).
Векторуудын холимог бүтээгдэхүүн"a" цэг дээр аль хэдийн олдсон: 
.
Векторуудын вектор бүтээгдэхүүн"be" гэсэн догол мөрөнд: 
, түүний уртыг тооцоолъё:
Тиймээс:
Цомуудыг нэг эгнээнд бахархалтайгаар үзүүлцгээе:
Хариулах:
A) 
, энэ нь шулуун шугамууд огтлолцдог гэсэн үг бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай байсан;
б) 
;
V) 
;
G) 
Та шугам дамжих талаар өөр юу хэлэх вэ? Тэдний хооронд тодорхой өнцөг бий. Гэхдээ бид бүх нийтийн өнцгийн томъёог дараагийн догол мөрөнд авч үзэх болно.
Огтлолцсон шулуун зай нь нэг хавтгайд байх ёстой. 
Эхний бодол бол уулзварын цэг рүү бүх хүчээрээ түлхэх явдал юм. Тэгээд би тэр даруй бодлоо, яагаад өөрийгөө зөв хүслийг үгүйсгэнэ гэж?! Яг одоо түүний дээр гарцгаая!
Орон зайн шугамын огтлолцлын цэгийг хэрхэн олох вэ?
Жишээ 14
Шугамын огтлолцлын цэгийг ол
Шийдэл: Шугамын тэгшитгэлийг параметрийн хэлбэрээр дахин бичье: 
Энэ даалгаврыг энэ хичээлийн 7-р жишээнд дэлгэрэнгүй авч үзсэн (харна уу. Орон зай дахь шугамын тэгшитгэл). Дашрамд хэлэхэд би 12-р жишээнээс шулуун шугамуудыг авсан. Би худлаа хэлэхгүй, шинэ зураас гаргахаас залхуу байна.
Энэхүү шийдэл нь стандарт бөгөөд бид огтлолцсон шугамуудын нийтлэг перпендикулярын тэгшитгэлийг олох гэж оролдох үед аль хэдийн тааралдсан.
Шугамануудын огтлолцох цэг нь шугаманд хамаарах тул координатууд нь энэ шугамын параметрийн тэгшитгэлийг хангаж, тэдгээрт тохирно. маш тодорхой параметрийн утга:
Гэхдээ энэ ижил цэг нь хоёр дахь мөрөнд хамаарах тул: 
Бид харгалзах тэгшитгэлүүдийг тэгшитгэж, хялбаршуулж байна: 
Хоёр үл мэдэгдэх гурван шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авна. Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол (энэ нь жишээ №12-т батлагдсан) систем нь заавал тууштай, өвөрмөц шийдэлтэй байх ёстой. Үүнийг шийдэж болно Гауссын арга, гэхдээ бид ийм цэцэрлэгийн фетишизмд гэм нүгэл үйлдэхгүй, бид үүнийг илүү хялбар болгох болно: эхний тэгшитгэлээс бид "te тэг" -ийг илэрхийлж, хоёр, гурав дахь тэгшитгэлд орлуулна. 
Сүүлийн хоёр тэгшитгэл нь үндсэндээ ижил байсан бөгөөд тэдгээрээс харахад . Дараа нь:
Параметрийн олсон утгыг тэгшитгэлд орлъё. 
Хариулах:
Шалгахын тулд бид параметрийн олсон утгыг тэгшитгэлд орлуулна. 
Шалгах шаардлагатай ижил координатуудыг олж авсан. Нарийвчлалтай уншигчид цэгийн координатыг шугамын анхны каноник тэгшитгэл болгон сольж болно.
Дашрамд хэлэхэд, эсрэгээр нь хийх боломжтой байсан: "es zero" -оор дамжуулан цэгийг олж, "te zero" -оор шалгана уу.
Математикийн алдартай мухар сүсэгт: Шугамын огтлолцлын талаар ярилцаж байгаа газар үргэлж перпендикуляр үнэртэй байдаг.
Өгөгдсөн орон зайд перпендикуляр шугамыг хэрхэн барих вэ?
(шугам огтлолцдог)
Жишээ 15
a) Шугамантай перпендикуляр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич 
(шугам огтлолцдог).
б) Цэгээс шулуун хүртэлх зайг ол.
Анхаарна уу
: "шугам огтлолцох" заалт - ач холбогдолтой. Цэгээр дамжуулан
Та "el" шулуун шугамтай огтлолцох хязгааргүй тооны перпендикуляр шугам зурж болно. Өгөгдсөн цэгт перпендикуляр шулуун шугам татах тохиолдолд цорын ганц шийдэл гардаг хоёршулуун шугамаар өгөгдсөн (Жишээ No13, “b” цэгийг үз).
A) Шийдэл: Бид үл мэдэгдэх мөрийг -ээр тэмдэглэнэ. Схемийн зургийг хийцгээе:
Шулуун шугамын талаар юу мэддэг вэ? Нөхцөлийн дагуу оноо өгдөг. Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бүрдүүлэхийн тулд чиглэлийн векторыг олох шаардлагатай. Вектор нь ийм векторын хувьд нэлээд тохиромжтой тул бид үүнийг шийдвэрлэх болно. Илүү нарийн, векторын үл мэдэгдэх төгсгөлийг хүзүүгээр нь авъя.
1) "el" шулуун шугамын тэгшитгэлээс түүний чиглэлийн векторыг гаргаж аваад, тэгшитгэлийг параметрийн хэлбэрээр дахин бичье. 
Хичээлийн үеэр ид шидтэн гурав дахь удаагаа малгайнаасаа цагаан хун гаргаж ирнэ гэж олон хүн таамаглаж байсан. Үл мэдэгдэх координаттай цэгийг авч үзье. Цэг нь бол түүний координатууд нь "el" шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг хангадаг бөгөөд тэдгээр нь тодорхой параметрийн утгатай тохирч байна. 
Эсвэл нэг мөрөнд:
2) Нөхцөлийн дагуу шугамууд перпендикуляр байх ёстой тул тэдгээрийн чиглэлийн векторууд ортогональ байна. Хэрэв векторууд нь ортогональ бол тэдгээрийн цэгийн бүтээгдэхүүнтэгтэй тэнцүү: 
Юу болсон бэ? Нэг үл мэдэгдэх хамгийн энгийн шугаман тэгшитгэл: 
3) Параметрийн утга мэдэгдэж байгаа тул цэгийг олъё:
Мөн чиглэлийн вектор:
.
4) Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бүтээцгээе 
:
Пропорцын хуваагч нь бутархай болж хувирсан бөгөөд энэ нь бутархайгаас салах нь зөв үед яг ийм тохиолдол юм. Би зүгээр л -2-оор үржүүлнэ: 
Хариулах: 
Анхаарна уу
: шийдлийн илүү нарийн төгсгөлийг дараах байдлаар албан ёсоор гаргасан: цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя. 
. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв вектор нь шулуун шугамын чиглүүлэгч вектор бол коллинеар вектор нь мөн энэ шулуун шугамын чиглүүлэх вектор байх болно.
Баталгаажуулалт нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ.
1) шулууны чиглэлийн векторуудын ортогональ байдлыг шалгах;
2) бид цэгийн координатыг шугам бүрийн тэгшитгэлд орлуулж, тэдгээр нь тэнд, тэнд хоёуланд нь "тохирох" ёстой.
Ердийн үйлдлүүдийн талаар олон зүйл яригдаж байсан тул би ноорог шалгаж үзсэн.
Дашрамд хэлэхэд би өөр нэг цэгийг мартсан - "el" шулуун шугамтай харьцуулахад "en" цэгтэй тэгш хэмтэй "zyu" цэгийг барих. Гэсэн хэдий ч нийтлэлээс олж болох сайн "хавтгай аналог" байдаг Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд. Энд цорын ганц ялгаа нь нэмэлт "Z" координатад байх болно.
Орон зайн цэгээс шулуун хүртэлх зайг хэрхэн олох вэ?
б) Шийдэл: Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг олъё.
Нэгдүгээр арга. Энэ зай нь перпендикулярын урттай яг тэнцүү байна: . Шийдэл нь ойлгомжтой: хэрэв цэгүүд нь мэдэгдэж байгаа бол 
, Тэр нь:
Хоёр дахь арга. Практик асуудлуудад перпендикулярын суурь нь ихэвчлэн битүүмжилсэн нууц байдаг тул бэлэн томъёог ашиглах нь илүү оновчтой байдаг.
Нэг цэгээс шугам хүртэлх зайг дараах томъёогоор илэрхийлнэ. 
, “el” шулуун шугамын чиглүүлэх вектор хаана байна, ба – үнэгүйөгөгдсөн шулуунд хамаарах цэг.
1) Шугамын тэгшитгэлээс 
Бид чиглэлийн вектор ба хамгийн хүртээмжтэй цэгийг гаргаж авдаг.
2) Цэг нь нөхцөлөөс мэдэгдэж байгаа тул векторыг хурцална уу:
3) Олъё вектор бүтээгдэхүүнба түүний уртыг тооцоолох: 
4) Чиглүүлэгч векторын уртыг тооцоол.
5) Тиймээс цэгээс шулуун хүртэлх зай:
Дашрамд хэлэхэд, сүүлчийн тэгш бус байдал нь тэдний хэвийн векторууд параллель биш байгааг харуулж байна.
Хэрэв шугамууд зэрэгцээ байвал системд шийдэл байхгүй болно. Аналитик байдлаар энэ нь иймэрхүү харагдах болно.
Гэхдээ хэрэв бүх гурван бутархай тэнцүү бол шугамууд бие биетэйгээ давхцаж байгаа тул систем нь хязгааргүй тооны шийдлүүдтэй байдаг.
Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөгхоёр томъёог ашиглан олж болно.
Хэрэв шулуун шугамыг ерөнхий тэгшитгэлээр өгвөл тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь хэвийн векторуудын хоорондох өнцөгтэй давхцдаг. Өмнөх лекцийн (6.9) томъёог ашиглан тооцоолно. Бидний хувьд энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.
. (7.7)
Зэрэгцээ шугамын нөхцөл:
;
Перпендикуляр байдлын нөхцөл:
.
Хэрэв шугамыг өнцгийн коэффициент бүхий тэгшитгэлээр өгвөл:
Тэгээд 
,
Дараа нь тэдгээрийн хоорондох өнцгийн тангенсыг дараах томъёогоор тодорхойлно.
. (7.8)
Зэрэгцээ нөхцөл:
Перпендикуляр байдлын нөхцөл:
.
Жишээ 7.4. Шугамын огтлолцлын цэгийг ол 
Тэгээд 
ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг.
Шийдэл д. Крамерын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийдэж шугамын огтлолцлын цэгийг олъё.
, 
,
,
Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг бид тэдгээрийн хэвийн вектор (2, 5) ба (5, –2) хоорондын өнцөг гэж тодорхойлдог. (7.7) томъёоны дагуу бид:
.
Энэ хариулт юу хэлэх вэ? Шулуун шугамууд перпендикуляр, учир нь .
Жишээ 7.5. Ямар параметрийн утгууд дээр аТэгээд бшулуун ба 
: А) огтлолцох, б) зэрэгцээ байна, В) таарч байна уу?
Шийдэл д. Хэрэв нөхцөл хангагдсан бол хоёр шугам огтлолцоно. Манай тохиолдолд
.
Хэрэв шугамууд зэрэгцээ байна 
, өөрөөр хэлбэл
.
Эцэст нь хэлэхэд, хоёр шулуун шугам давхцаж байна 
, өөрөөр хэлбэл Хэрэв 
.
Жишээ 7.6. Нэг цэг ба шугам өгөгдсөн 
. Шугамын тэгшитгэлийг бич Л 1 ба Л 2 цэгээр дамжин өнгөрөх А, ба .
Шийдэл д. Схемийн зураг зурцгаая.
Цагаан будаа. 7.6
Анхны шулуун шугамын налуу Лтэнцүү байна к= –2. Тиймээс нөхцөлөөр 
. (7.4) томъёог ашиглан бид шулуун шугамын тэгшитгэлийг олно Л 1:
, эсвэл 
.
Түүнээс хойш 
. Дараа нь шугамын тэгшитгэл Л 2 нь дараах байдлаар харагдах болно.
, эсвэл 
.
7.4. Хоёрдахь эрэмбийн муруйны тодорхойлолт
Тодорхойлолт 7.1.Хоёр дахь эрэмбийн муруйодоогийн координаттай харьцуулахад хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шугам юм. Ерөнхийдөө энэ тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.
бүх тоо хаана байна А, IN, ХАМТ, гэх мэт. нь бодит тоо бөгөөд үүнээс гадна тоонуудын ядаж нэг нь юм А, IN, ХАМТ- тэгээс ялгаатай.
Декартын координатын системийг нэвтрүүлэхээс өмнө бүх муруйг тухайн муруйны геометрийн шинж чанарт үндэслэн амаар тайлбарласан. Тиймээс тойргийн тодорхойлолтыг дараах байдлаар уншина.
Тодорхойлолт 7.2. Тойрог – Энэ нь төв гэж нэрлэгддэг өгөгдсөн цэгээс ижил зайд орших хавтгай дээрх цэгүүдийн байрлал юм.
Тойргийн тэгшитгэл, цэг дээр төвлөрсөн ( А,б) ба радиус РДекартын координатын системд таны сургууль дээр хүлээн авсан зүйл дараах байдалтай байна.
Хэрэв бид хаалтуудыг нээвэл бид (7.9) тэгшитгэлтэй төстэй тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд үүнд одоогийн координатын үржвэрийг агуулсан нэр томъёо байхгүй бөгөөд хамгийн дээд зэрэглэлийн коэффициентүүд хоорондоо тэнцүү байна.
Хоёрдахь эрэмбийн бүх тэгшитгэлийн гаралт нь шулуун шугамын тэгшитгэлийн гарал үүсэлтэй төстэй бөгөөд ижил алгоритмын дагуу явагдана.
Параболын тэгшитгэлийг түүний тодорхойлолт дээр үндэслэн гаргая.
7.5. Каноник параболын тэгшитгэл
Тодорхойлолт 7.3. Парабола нь тухайн цэгээс ижил зайд орших хавтгайн цэгүүдийн байрлал юм Ф, дуудсан анхаарлаа төвлөрүүл, мөн энэ мөрийг нэрлэдэг захирал.
Фокусаас чиглүүлэлт хүртэлх зайг -ээр тэмдэглэе х. Энэ хэмжээг нэрлэдэг параметрпарабол.
1. Х тэнхлэгийг фокусыг дайран өнгөрч, чиглүүрт перпендикуляр, чиглүүлэлтээс фокус руу эерэг чиглэлтэй байхаар байрлуулъя.
2. Энэ перпендикулярын голд координатын эхийг байрлуул. Дараа нь цэгийн координатууд байх болно Ф(х/2, 0) ба директрисын тэгшитгэл: 
.
3. Параболын одоогийн цэгийг ав М(x, y).
4. Параболын тодорхойлолтоор бол зай МНцэгээс Мчиглүүлэлт хүртэлх зай нь түүний зайтай тэнцүү байна МФфокусаас: М.Ф.= М.Н. Зургаас (Зураг 7.7) харж болно, цэгийн координат Н(–х/2, y). Өмнөх лекцийн 1-р цэгээс хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёогоор эдгээр зайг олъё.
, 
.
Эдгээр илэрхийллийн баруун талыг тэнцүүлж, тэгш байдлын хоёр талыг квадрат болгосноор бид дараахь зүйлийг олж авна.
,
эсвэл агшилтын дараа
. (7.11)
(7.11) тэгшитгэлийг дуудна каноник параболын тэгшитгэл. Зөвхөн муруй дээр хэвтэж буй цэгүүд үүнийг хангах болно, үлдсэн хэсэг нь үүнийг хангахгүй. Түүний графикийн хэлбэрийг каноник тэгшитгэлээр судалъя.
Учир нь yтэгш чадал, дараа нь тэнхлэгт орсон байна Өөтэгш хэмийн тэнхлэг байх болно, i.e. нэг утга Xхоёр утгатай тохирно Ю- эерэг ба сөрөг. Учир нь баруун тал нь сөрөг биш цагт, дараа нь зүүн талд нь бас. Учир нь r- фокус ба чиглүүлэлтийн хоорондох зай үргэлж тэгээс их байдаг X. Хэрэв X=0, тэгвэл цагт=0, өөрөөр хэлбэл. парабола эхийг дайран өнгөрдөг. Хязгааргүй өсөлттэй xүнэмлэхүй үнэ цэнэ цагтмөн хязгааргүй нэмэгдэх болно.
(7.11) тэгшитгэлээр тодорхойлсон параболын графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 7.7.
Цагаан будаа. 7.7 Зураг. 7.8
Параболын тэгш хэмийн тэнхлэгийг фокусын тэнхлэг гэж нэрлэдэг, учир нь анхаарлаа түүнд хандуулдаг. Хэрэв параболын фокусын тэнхлэгийг ординатын тэнхлэг болгон авбал түүний тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.
.
Түүний зургийг Зураг дээр үзүүлэв. 7.8. Энэ тохиолдолд анхаарал төвлөрөх цэг дээр байх болно Ф(0, х/2) ба директорын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна цагт = –r/2.
Тиймээс бид параболыг судалж, түүний тэгшитгэлийг олж, гарал үүсэлтэй харьцуулахад боломжит байршлыг харуулав.
Хэрэв параболын орой нь цэг хүртэл шилжсэн бол 
, дараа нь каноник тэгшитгэл дараах байдлаар харагдах болно.
.
Бид үлдсэн хоёр дахь эрэмбийн муруйн гарал үүслийг авч үзэхгүй. Сонирхсон хүмүүс бүх тооцоог санал болгож буй ном зохиолоос олж болно.
Тэдний тодорхойлолт, тэгшитгэлээр өөрсдийгөө хязгаарлая.
Хэрэв l 1 ба l 2 хоёр шулуун шугам нь хавтгай дээр байрладаг бол тэдгээрийн харьцангуй байрлалын гурван өөр тохиолдол боломжтой: 1) огтлолцох (өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь нэг нийтлэг цэгтэй); 2) зэрэгцээ ба давхцахгүй байх; 3) таарах.
Эдгээр мөрүүдийг тэгшитгэлээр нь ерөнхий хэлбэрээр өгсөн бол эдгээр тохиолдлуудын аль нь тохиолдохыг хэрхэн олж мэдье.
Хэрэв l 1 ба l 2 шулуунууд ямар нэг M(x,y) цэг дээр огтлолцдог бол энэ цэгийн координатууд (12) системийн тэгшитгэлийг хоёуланг нь хангасан байх ёстой.
Тиймээс l 1 ба l 2 шугамын огтлолцлын цэгийн координатыг олохын тулд тэгшитгэлийн системийг (12) шийдэх шаардлагатай.
1) хэрэв систем (12) нь өвөрмөц шийдэлтэй бол l 1 ба l 2 шугамууд огтлолцоно;
2) хэрэв систем (12) шийдэлгүй бол l 1 ба l 2 шугамууд зэрэгцээ байна;
3) хэрэв систем (12) олон шийдэлтэй бол l 1 ба l 2 мөрүүд давхцаж байна.
Хоёр шулуун шугамын давхцах нөхцөл нь тэдгээрийн тэгшитгэлийн харгалзах коэффициентүүдийн пропорциональ байдал юм.
Жишээ 10. 3x+4y-1=0, 2x+3y-1=0 шулуунууд огтлолцдог уу?
Шийдэл: Тэгшитгэлийн системийг шийдье. 
систем нь өвөрмөц шийдэлтэй тул шугамууд огтлолцдог. Шугамануудын огтлолцох цэг нь координаттай (-1;1).
Жишээ 11. 2x-y+2=0 ба 4x-2y-1=0 шулуунууд зэрэгцээ байна уу?
Шийдэл: Тэгшитгэлийн системийг шийдье 
Энэ системд шийдэл байхгүй тул шугамууд зэрэгцээ байна.
Жишээ 12. x+y+1=0 ба 3x+3y+3=0 шулуунууд ижил үү?
Шийдэл: Коэффициент нь пропорциональ учраас тэдгээр нь давхцаж байна.
Жишээ 13. x+y-1=0, x-y+2=0 шулуунуудын огтлолцох цэг болон (2,1) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл: Өгөгдсөн хоёр шулууны огтлолцох цэгийн координатыг ол. Үүнийг хийхийн тулд бид эдгээр тэгшитгэлийг хамтдаа шийддэг. Нэмэхдээ бид олох болно: 2x+1=0, хаанаас
Эхний тэгшитгэлээс хоёр дахьыг хасвал: 2у-3=0, эндээс . Дараа нь () ба (2;1) хоёр цэгийг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бий болгоход л үлддэг.
Шаардлагатай тэгшитгэл нь байх болно 
, эсвэл хаанаас 
эсвэл x+5y-7=0
Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөгхавтгай дээрх тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг гэж нэрлэгддэг. Энэ тодорхойлолтоор бид нэг өнцгийг биш, харин хоёр зэргэлдээх өнцгийг олж авдаг. Анхан шатны геометрийн хувьд хоёр зэргэлдээ өнцгөөс, дүрмээр бол жижиг өнцгөөс сонгогддог, өөрөөр хэлбэл. хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийн хэмжээ нь нөхцөлийг хангана.
Хэрэв 
Тэгээд 
шугамын чиглэлийн векторууд ба тус тусад нь (Зураг 3.23, а), дараа нь эдгээр шугамын хоорондох өнцгийг дараах томъёогоор тооцоолно.
Шугамын хоорондох өнцгийг (3.19) тэдгээрийн нормуудын хоорондох өнцгөөр тооцоолж болно 
Тэгээд 
:
| (3.22) |
Шулуун шугамын хоорондох хурц өнцгийн утгыг олж авахын тулд та баруун талыг үнэмлэхүй утгаар авах хэрэгтэй.
Шулуунуудын перпендикуляр байдлын зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл (3.19) нь тэдгээрийн нормуудын ортогональ байх нөхцөл юм. тэдгээрийн нормуудын скаляр үржвэрийг тэгтэй тэнцүүлэх нь:
Томъёо (3.22) ашиглан бид шулуун шугамын хоорондох хурц өнцгийг (3.19) (Зураг 3.23,а), бусад тохиолдолд мохоо өнцгийг олж авна: (Зураг 3.23,6). Өөрөөр хэлбэл, (3.22) томъёог ашиглан эдгээр шугамаар тодорхойлогдсон эсрэг талын хагас хавтгайд хамаарах цэгүүд байрлах шулуунуудын хоорондох өнцгийг олно.. 3.23-т эерэг ба сөрөг хагас хавтгайг нэмэх "+" эсвэл хасах "-" тэмдгээр тэмдэглэв.
