Нотолгоо:
Эхлээд дарааллын тохиолдлын теоремыг баталъя 
Ньютоны бином томъёоны дагуу:
Бид авсан гэж бодвол
Энэ тэгшитгэлээс (1) n нэмэгдэх тусам баруун талын эерэг гишүүний тоо нэмэгдэнэ. Үүнээс гадна n нэмэгдэхийн хэрээр тоо нь багасдаг тул утгууд нь багасдаг 
нэмэгдэж байна. Тиймээс дараалал 
нэмэгдэж, (2)*Бид энэ нь хязгаарлагдмал гэдгийг харуулж байна. Тэгш тэгш байдлын баруун талд байгаа хаалт бүрийг нэгээр соливол баруун тал нь нэмэгдэж, тэгш бус байдал гарч ирнэ.
Үүссэн тэгш бус байдлыг бэхжүүлж, бутархайн хуваагч дахь 3,4,5, ...-ийг 2-оор соль: Бид геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томъёог ашиглан хаалтанд байгаа нийлбэрийг олно. Тиймээс 
(3)*
Тиймээс дараалал нь дээрээс хязгаарлагдаж, (2) ба (3) тэгш бус байдал хангагдана. 
Тиймээс Вейерштрассын теорем (дараал нийлэх шалгуур) дээр үндэслэн дараалал 
monotonically нэмэгдэж, хязгаарлагдмал, энэ нь e үсгээр тэмдэглэсэн хязгаартай гэсэн үг юм. Тэдгээр. 
Хоёрдахь гайхалтай хязгаар нь x-ийн байгалийн утгуудын хувьд үнэн гэдгийг мэдэж байгаа тул бид бодит x-ийн хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг нотолж байна. 
. Хоёр тохиолдлыг авч үзье:
1. х-ийн утга бүрийг хоёр эерэг бүхэл тооны хооронд оруулъя: , энд x-ийн бүхэл хэсэг байна. => =>
Хэрэв , тэгвэл, хязгаарын дагуу 
Бидэнд байгаа
Хязгаарын оршин тогтнох шалгуур (завсрын функцийн хязгаарын тухай) дээр үндэслэсэн 
2. Let . Тэгвэл − x = t орлуулалтыг хийцгээе
Энэ хоёр тохиолдлоос харахад ийм байна 
жинхэнэ x-ийн хувьд.
Үр дагавар:
9 .) Хязгааргүй жижиг тоонуудын харьцуулалт. Хязгаарт хязгааргүй жижиг тоог тэнцүү тоогоор солих теорем, хязгааргүй жижиг тоонуудын үндсэн хэсгийн тухай теорем.
функцуудыг a( x) ба б( x) – б.м. цагт x ® x 0 .
ТОДОРХОЙЛОЛТ.
1)а( x) дуудсан -аас хязгааргүй жижиг дээд эрэмбэл б (x) Хэрэв
Бичнэ үү: a( x) = o(b( x)) .
2)а( x) Тэгээдб( x)гэж нэрлэдэг ижил дарааллын хязгааргүй жижиг тоо, Хэрэв
хаана CÎℝ ба C¹ 0 .
Бичнэ үү: a( x) = О(б( x)) .
3)а( x) Тэгээдб( x) гэж нэрлэдэг тэнцүү , Хэрэв
Бичнэ үү: a( x) ~ б( x).
4)а( x) k эрэмбийн хязгааргүй жижиг гэж нэрлэдэг
туйлын хязгааргүй жижигб( x),
хязгааргүй жижиг бола( x)Тэгээд(б( x))к ижил дараалалтай байх, өөрөөр хэлбэл. Хэрэв
хаана CÎℝ ба C¹ 0 .
ТЕОРЕМ 6 (хязгааргүй жижиг тоог тэнцүү тоогоор солих тухай).
Болъёа( x), б( x), a 1 ( x), b 1 ( x)– б.м. x дээр ® x 0 . Хэрэва( x) ~ a 1 ( x), б( x) ~ b 1 ( x),
Тэр 
Нотолгоо: А ( x) ~ a 1 ( x), б( x) ~ b 1 ( x), Дараа нь
ТЕОРЕМ 7 (хязгааргүй жижиг тооны үндсэн хэсгийн тухай).
Болъёа( x)Тэгээдб( x)– б.м. x дээр ® x 0 , баб( x)– б.м. -ээс өндөр дараалала( x).
= , a оноос хойш b( x) – a(-аас өндөр зэрэглэл) x), дараа нь, i.e. 
-аас нь тодорхой байна a( x) + б( x) ~ a( x)
10) Цэг дэх функцийн тасралтгүй байдал (эпсилон-дельта хэлээр, геометрийн хязгаар) Нэг талт тасралтгүй байдал. Интервал дахь тасралтгүй байдал, сегмент дээр. Тасралтгүй функцүүдийн шинж чанарууд.
1. Үндсэн тодорхойлолтууд
Болъё е(x) нь тухайн цэгийн зарим хөршид тодорхойлогддог x 0 .
ТОДОРХОЙЛОЛТ 1. Функц f(x) дуудсан нэг цэг дээр тасралтгүй x 0 Хэрэв тэгш байдал үнэн бол
Тэмдэглэл.
1) Теорем 5 §3-ын дагуу тэгш байдлыг (1) хэлбэрээр бичиж болно.
Нөхцөл (2) - нэг талт хязгаарын хэлээр цэг дэх функцийн тасралтгүй байдлын тодорхойлолт.
2) Тэгш байдлыг (1) мөн дараах байдлаар бичиж болно.
Тэд: "хэрэв функц нь цэг дээр тасралтгүй байвал x 0 байвал хязгаарын тэмдэг болон функцийг сольж болно."
ТОДОРХОЙЛОЛТ 2 (e-d хэлээр).
Функц f(x) дуудсан нэг цэг дээр тасралтгүй x 0 Хэрэв"e>0 $d>0 ийм, Юу
хэрэв xОU( x 0 , d) (жишээ нь | x – x 0 | < d),
дараа нь f(x)БИ ЧАМАЙГ( е(x 0), e) (жишээ нь | е(x) – е(x 0) | < e).
Болъё x, x 0 Î Д(е) (x 0 - тогтмол, x -дур зоргоороо)
гэж тэмдэглэе: Д x= x - x 0 – аргументийн өсөлт
Д е(x 0) = е(x) – е(x 0) – pointx дээрх функцийн өсөлт 0
ТОДОРХОЙЛОЛТ 3 (геометрийн).
Функц f(x) дээр дуудсан нэг цэг дээр тасралтгүй
x 0
хэрэв энэ үед аргумент дахь хязгааргүй бага өсөлт нь функцийн хязгааргүй бага өсөлттэй тохирч байвал, өөрөөр хэлбэл
Функцийг зөвшөөр е(x) нь [ интервал дээр тодорхойлогддог. x 0 ; x 0 + d) (интервал дээр ( x 0 – d; x 0 ]).
ТОДОРХОЙЛОЛТ. Функц f(x) дуудсан нэг цэг дээр тасралтгүй
x 0 баруун талд
(зүүн
), Хэрэв тэгш байдал үнэн бол
Энэ нь ойлгомжтой е(x) цэг дээр тасралтгүй байна x 0 Û е(x) цэг дээр тасралтгүй байна x 0 баруун ба зүүн.
ТОДОРХОЙЛОЛТ. Функц f(x) дуудсан интервалын турш тасралтгүй e ( а; б) хэрэв энэ интервалын цэг бүрт тасралтгүй байвал.
Функц f(x) сегмент дээр тасралтгүй гэж нэрлэдэг [а; б] хэрэв интервал дээр тасралтгүй байвал (а; б) хилийн цэгүүд дээр нэг талын тасралтгүй байдалтай байна(жишээ нь цэг дээр тасралтгүй абаруун талд, цэг дээр б- зүүн).
11) Хагарлын цэгүүд, тэдгээрийн ангилал
ТОДОРХОЙЛОЛТ. Хэрэв функц f(x) x цэгийн зарим хөршид тодорхойлогддог 0 , гэхдээ энэ үед үргэлжилдэггүй е(x) x цэг дээр тасархай гэж нэрлэдэг 0 , мөн цэг нь өөрөө x 0 таслах цэг гэж нэрлэдэг функцууд f(x) .
Тэмдэглэл.
1) е(x) цэгийн бүрэн бус хөршөөр тодорхойлж болно x 0 .
Дараа нь функцийн харгалзах нэг талын тасралтгүй байдлыг авч үзье.
2) Þ цэгийн тодорхойлолтоос x 0 нь функцийн таслах цэг юм е(x) хоёр тохиолдолд:
a) U( x 0 , d)О Д(е) , Харин е(x) тэгш байдал хангагдахгүй
б) U * ( x 0 , d)О Д(е) .
Энгийн функцүүдийн хувьд зөвхөн b) тохиолдол боломжтой.
Болъё x 0 - функцийн таслах цэг е(x) .
ТОДОРХОЙЛОЛТ. x цэг 0 дуудсан таслах цэг I төрлийн хэрэв функц f(x)Энэ үед баруун болон зүүн талдаа хязгаарлагдмал хязгаартай.
Хэрэв эдгээр хязгаарууд тэнцүү бол x цэг 0 дуудсан зөөврийн таслах цэг , өөрөөр - үсрэх цэг .
ТОДОРХОЙЛОЛТ. x цэг 0 дуудсан таслах цэг II төрлийн хэрэв функцийн нэг талт хязгаарын нэгээс доошгүй бол f(x)энэ үед тэнцүү байна¥ эсвэл байхгүй.
12) Интервал дээр үргэлжилсэн функцүүдийн шинж чанарууд (Вейерштрассын теоремууд (баталгаагүй) ба Коши).
Вейерштрассын теорем
f(x) функц интервал дээр тасралтгүй байг
1)f(x) нь хязгаарлагдмал
2) f(x) интервал дээрх хамгийн бага ба хамгийн том утгыг авна
Тодорхойлолт: m=f функцийн утгыг дурын x€ D(f) хувьд m≤f(x) бол хамгийн бага нь гэнэ.
Аливаа x € D(f)-ийн хувьд m≥f(x) бол m=f функцийн утгыг хамгийн их гэж хэлнэ.
Функц нь сегментийн хэд хэдэн цэг дээр хамгийн бага/том утгыг авч болно.
f(x 3)=f(x 4)=макс
Кошигийн теорем.
f(x) функц нь хэрчим дээр тасралтгүй байх ба x нь f(a) ба f(b)-ийн хооронд агуулагдах тоо гэж үзье, тэгвэл f(x 0)= g байхаар ядаж нэг x 0 € цэг байна.
Гайхамшигтай хязгаарыг олооройХязгаарын онолыг судалдаг нэг, хоёрдугаар курсын олон оюутнуудад төдийгүй зарим багш нарт ч хэцүү байдаг.
Анхны гайхалтай хязгаарын томъёо
Эхний гайхалтай хязгаарын үр дагавар
томъёогоор бичье
1. 2. 3. 4. Гэхдээ гайхалтай хязгаарын ерөнхий томьёо нь өөрөө шалгалт, шалгалтанд хэнд ч тус болохгүй. Гол нь бодит даалгаврууд бүтээгдсэн тул дээр дурдсан томъёонд хүрэх шаардлагатай хэвээр байна. Хичээлээ тасалдаг, энэ хичээлийг гадуур суралцдаг, эсвэл багш нар нь юу тайлбарлаж байгаагаа тэр бүр ойлгодоггүй оюутнуудын ихэнх нь хамгийн энгийн жишээнүүдийг гайхалтай хязгаарт тооцож чаддаггүй. Эхний гайхалтай хязгаарын томъёоноос бид тэдгээрийн тусламжтайгаар тригонометрийн функц бүхий илэрхийлэлд тэгээр хуваагдсан тэг төрлийн тодорхойгүй байдлыг судлах боломжтой болохыг харж байна. Эхлээд эхний гайхалтай хязгаарын хэд хэдэн жишээг авч үзье, дараа нь хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг судалж үзье.
Жишээ 1. sin(7*x)/(5*x) функцийн хязгаарыг ол.
Шийдэл: Таны харж байгаагаар хязгаарын доорх функц нь эхний гайхалтай хязгаарт ойрхон байгаа боловч функцын хязгаар нь өөрөө нэгтэй тэнцүү биш байна. Хязгаарлалтын ийм төрлийн даалгаварт синус дор байгаа хувьсагчтай ижил коэффициент бүхий хувьсагчийг хуваагчаар сонгох шаардлагатай. Энэ тохиолдолд 7-оор хувааж, үржүүлнэ 
Зарим хүмүүсийн хувьд ийм нарийн ширийн зүйл нь шаардлагагүй мэт санагдах боловч хязгаарлалт хийхэд бэрхшээлтэй байдаг ихэнх оюутнуудын хувьд энэ нь дүрмийг илүү сайн ойлгож, онолын материалыг эзэмшихэд тусална.
Түүнчлэн хэрэв функцийн урвуу хэлбэр байгаа бол энэ нь бас анхны гайхалтай хязгаар юм. Гайхамшигтай хязгаар нь нэгтэй тэнцүү учраас бүх зүйл
1-р гайхалтай хязгаарын үр дагаварт ижил дүрэм хамаарна. Тиймээс, хэрэв танаас "Эхний гайхалтай хязгаар юу вэ?" гэж асуувал. Нэгж гэж эргэлзэлгүйгээр хариулах хэрэгтэй.
Жишээ 2. sin(6x)/tan(11x) функцийн хязгаарыг ол.
Шийдэл: Эцсийн үр дүнг ойлгохын тулд функцийг хэлбэрээр бичье 
Гайхамшигтай хязгаарын дүрмийг хэрэглэхийн тулд хүчин зүйлээр үржүүлж, хуваах хэрэгтэй
Дараа нь бид функцийн үржвэрийн хязгаарыг хязгаарын үржвэрээр бичнэ 
Нарийн төвөгтэй томьёогүйгээр бид тригонометрийн функцүүдийн хязгаарыг олсон. Энгийн томьёог эзэмшихийн тулд 1 гайхалтай хязгаарын үр дагавар болох 2 ба 4-ийн хязгаарыг олохыг хичээ. Бид илүү төвөгтэй асуудлуудыг авч үзэх болно.
Жишээ 3: Хязгаарыг тооцоол (1-cos(x))/x^2
Шийдэл: Орлуулах замаар шалгах үед бид 0/0 тодорхойгүй байна. Олон хүмүүс ийм жишээг нэг гайхалтай хязгаар хүртэл хэрхэн бууруулахаа мэдэхгүй байна. Энд тригонометрийн томъёог ашиглах хэрэгтэй 
Энэ тохиолдолд хязгаар нь тодорхой хэлбэрт шилжих болно 
Бид функцийг гайхалтай хязгаарын квадрат хүртэл бууруулж чадсан.
Жишээ 4: Хязгаарыг ол
Шийдэл: Орлуулах үед бид 0/0 танил функцийг авдаг. Гэсэн хэдий ч хувьсагч нь тэг биш харин Pi рүү чиглэдэг. Тиймээс, эхний гайхалтай хязгаарыг хэрэглэхийн тулд бид x хувьсагчд ийм өөрчлөлт хийх бөгөөд ингэснээр шинэ хувьсагч тэг болно. Үүнийг хийхийн тулд бид хуваагчийг Pi-x=y шинэ хувьсагч гэж тэмдэглэнэ 
Тиймээс өмнөх даалгаварт өгөгдсөн тригонометрийн томъёог ашиглан жишээг 1 гайхалтай хязгаар хүртэл бууруулсан байна.
Жишээ 5: Хязгаарыг тооцоолох 
Шийдэл: Эхлээд хязгаарлалтыг хэрхэн хялбарчлах нь тодорхойгүй байна. Гэхдээ жишээ байгаа болохоор хариулт байх ёстой. Хувьсагч нэгдмэл байдалд ордог нь орлуулах үед тэг хэлбэрийн шинж чанарыг хязгааргүй үржүүлдэг тул шүргэгчийг томъёогоор солих шаардлагатай. 
Үүний дараа бид шаардлагатай тодорхойгүй байдлыг 0/0 авна. Дараа нь бид хязгаарт хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийж, котангентын үечлэлийг ашиглана 
Сүүлийн орлуулалтууд нь гайхалтай хязгаарын 1-р үр дүнг ашиглах боломжийг бидэнд олгодог.
Хоёр дахь гайхалтай хязгаар нь экспоненциалтай тэнцүү байна
Энэ бол бодит хязгаарлалтын асуудлуудад хүрэхэд үргэлж хялбар байдаггүй сонгодог юм.
Тооцоололд танд хэрэгтэй болно хязгаарлалт нь хоёр дахь гайхалтай хязгаарын үр дагавар юм:
1. 
2. 
3. 
4.
Хоёр дахь гайхалтай хязгаар ба түүний үр дагаврын ачаар тэгийг тэгээр хуваах, нэгийг хязгааргүйд хуваах, хязгааргүйг хязгааргүйд хуваах, тэр ч байтугай ижил зэрэгтэй байх зэрэг тодорхойгүй байдлыг судлах боломжтой. 
Энгийн жишээнүүдээс эхэлцгээе.
Жишээ 6. Функцийн хязгаарыг ол
Шийдэл: 2 дахь гайхалтай хязгаарыг шууд хэрэглэх нь ажиллахгүй. Эхлээд та экспонентийг хаалт доторх нэр томьёоны урвуу утгатай байхаар хувиргах хэрэгтэй 
Энэ бол 2-р гайхалтай хязгаар хүртэл бууруулах арга бөгөөд үндсэндээ хязгаарын үр дүнгийн 2-р томъёог гаргах арга юм.
Жишээ 7. Функцийн хязгаарыг ол
Шийдэл: Гайхамшигтай хязгаарын 2-р дүгнэлтийн 3-р томьёоны даалгавар бидэнд байна. Тэгийг орлуулснаар 0/0 хэлбэрийн онцгой байдал гарна. Хязгаарыг дүрэм болгон нэмэгдүүлэхийн тулд бид хуваагчийг эргүүлж, хувьсагч нь логарифмынхтай ижил коэффициенттэй байна. 
Шалгалтанд үүнийг ойлгох, гүйцэтгэхэд ч хялбар байдаг. Оюутнуудын хязгаарыг тооцоолоход тулгардаг бэрхшээл нь дараах асуудлуудаас эхэлдэг.
Жишээ 8. Функцийн хязгаарыг тооцоол[(x+7)/(x-3)]^(x-2) 
Шийдэл: Бидэнд хязгааргүй байдлын 1-р төрлийн онцгой байдал бий. Хэрэв та надад итгэхгүй байгаа бол хаа сайгүй "X"-ийн оронд хязгааргүй байдлыг орлуулж, үүнийг баталгаажуулж болно. Дүрмийг бий болгохын тулд бид тоологчийг хаалтанд хуваана, үүнийг хийхийн тулд бид эхлээд залруулга хийдэг 
Илэрхийлэлийг хязгаарт орлуулж, 2 гайхалтай хязгаар болгон хувиргацгаая 
Хязгаар нь 10-ын экспоненциал чадалтай тэнцүү байна. Хаалт болон градусын аль алинд нь хувьсагчтай нэр томьёо болох тогтмолууд нь ямар ч "цаг агаар" оруулдаггүй - үүнийг санах хэрэгтэй. Хэрэв багш нар чинь "Яагаад индикаторыг хөрвүүлдэггүй юм бэ?" (х-3 дээрх энэ жишээний хувьд) дараа нь "Хувьсагч хязгааргүй байх хандлагатай байвал 100-г нэмэх юм уу 1000-ыг хасвал хязгаар нь хэвээрээ байх болно!" гэж хэлээрэй.
Энэ төрлийн хязгаарыг тооцоолох хоёр дахь арга бий. Бид дараагийн даалгавар дээр энэ тухай ярих болно.
Жишээ 9. Хязгаарыг ол 
Шийдэл: Одоо тоологч болон хуваагч дахь хувьсагчийг гаргаж аваад нэг шинж чанарыг нөгөөд шилжүүлье. Эцсийн утгыг олж авахын тулд бид гайхалтай хязгаарын 2-р үр дүнгийн томъёог ашиглана 
Жишээ 10. Функцийн хязгаарыг ол
Шийдэл: Хүн бүр өгөгдсөн хязгаарыг олох боломжгүй. Хязгаарыг 2 болгохын тулд нүгэл (3x) хувьсагч гэж төсөөлөөд үзүүлэгчийг эргүүлэх хэрэгтэй. 
Дараа нь бид индикаторыг хүч чадал гэж бичнэ 
Завсрын аргументуудыг хаалтанд тайлбарлав. Эхний болон хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг ашигласны үр дүнд бид шоо дахь экспоненциалыг олж авсан.
Жишээ 11. Функцийн хязгаарыг тооцоол sin(2*x)/ln(3*x+1)
Шийдэл: Бидэнд 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдал байна. Нэмж дурдахад функцийг гайхамшигтай хязгаарыг хоёуланг нь ашиглахын тулд хөрвүүлэх хэрэгтэй гэдгийг бид харж байна. Өмнөх математикийн хувиргалтыг хийцгээе 
Цаашилбал, хүндрэлгүйгээр хязгаар нь утгыг авна 
Хэрэв та функцуудыг хурдан бичиж, тэдгээрийг эхний эсвэл хоёр дахь гайхалтай хязгаар хүртэл бууруулж сурвал даалгавар, тест, модулиуд дээр ийм чөлөөтэй байх болно. Хязгаарыг олох өгөгдсөн аргуудыг цээжлэхэд хэцүү бол та биднээс хязгаарын тестийн цаас захиалж болно.
Үүнийг хийхийн тулд маягтыг бөглөж, өгөгдөл өгч, жишээ бүхий файлыг хавсаргана уу. Бид олон оюутнуудад тусалсан - бид танд ч бас тусалж чадна!
Хэд хэдэн гайхалтай хязгаарлалтууд байдаг боловч хамгийн алдартай нь эхний болон хоёр дахь гайхалтай хязгаарлалтууд юм. Эдгээр хязгаарлалтын гайхалтай зүйл бол тэдгээрийг өргөнөөр ашигладаг бөгөөд тэдгээрийн тусламжтайгаар та олон тооны асуудалд байгаа бусад хязгаарлалтуудыг олох боломжтой юм. Үүнийг бид энэ хичээлийн практик хэсэгт хийх болно. Асуудлыг эхний эсвэл хоёр дахь гайхалтай хязгаар хүртэл бууруулах замаар шийдвэрлэхийн тулд эдгээр хязгаарын утгыг агуу математикчид эртнээс гаргаж ирсэн тул тэдгээрт агуулагдах тодорхой бус байдлыг илчлэх шаардлагагүй юм.
Эхний гайхалтай хязгааррадиан хэмжигдэхүүнээр илэрхийлсэн хязгааргүй жижиг нумын синусын ижил нумын харьцааны хязгаар гэж нэрлэдэг.
Анхны гайхалтай хязгаарт байгаа асуудлуудыг шийдвэрлэхэд шилжье. Тэмдэглэл: Хэрэв хязгаарын тэмдгийн дор тригонометрийн функц байгаа бол энэ илэрхийллийг эхний гайхалтай хязгаар хүртэл бууруулж болох бараг баталгаатай шинж тэмдэг юм.
Жишээ 1.Хязгаарыг ол.
Шийдэл. Оронд нь орлуулах xтэг нь тодорхойгүй байдалд хүргэдэг:
.
Хуваарь нь синус тул илэрхийлэлийг эхний гайхалтай хязгаарт хүргэж болно. Өөрчлөлтийг эхлүүлье:
.
Хуваагч нь гурван X-ийн синус боловч тоологч нь зөвхөн нэг X-тэй бөгөөд энэ нь тоологчдоо гурван X авах шаардлагатай гэсэн үг юм. Юуны төлөө? Танилцуулах 3 x = амөн илэрхийлэлийг аваарай.
Тэгээд бид эхний гайхалтай хязгаарын өөрчлөлтөд хүрч байна:
Учир нь энэ томьёоны X-ийн оронд аль үсэг (хувьсагч) байх нь хамаагүй.
Бид X-ийг гурваар үржүүлээд шууд хуваана:
.
Анхны анзаарагдсан хязгаарын дагуу бид бутархай илэрхийллийг орлуулж байна:
Одоо бид энэ хязгаарыг эцэслэн шийдэж чадна:
.
Жишээ 2.Хязгаарыг ол.
Шийдэл. Шууд орлуулалт нь дахин "тэг тэгээр хуваагдах" тодорхойгүй байдалд хүргэдэг.
.
Анхны гайхалтай хязгаарыг авахын тулд тоологч дахь синус тэмдгийн доорхи х, хуваагч дахь зөвхөн х нь ижил коэффициенттэй байх шаардлагатай. Энэ коэффициентийг 2-той тэнцүү гэж үзье. Үүнийг хийхийн тулд бутархайтай үйлдлүүдийг хийж, х-ийн одоогийн коэффициентийг доорх байдлаар төсөөлөөд үз.
.
Жишээ 3.Хязгаарыг ол.
Шийдэл. Орлуулах үед бид "тэг тэгээр хуваасан" тодорхойгүй байдлыг дахин авна.
.
Анхны илэрхийллээс та анхны гайхалтай хязгаарыг эхний гайхалтай хязгаараар үржүүлж авч болно гэдгийг та аль хэдийн ойлгосон байх. Үүнийг хийхийн тулд бид хуваагч дахь х, хуваагч дахь синусын квадратуудыг ижил хүчин зүйл болгон задалж, х ба синусын ижил коэффициентийг авахын тулд тоологч дахь х-г 3-аар хувааж, шууд үржүүлнэ. 3-аар. Бид дараахыг авна:
.
Жишээ 4.Хязгаарыг ол.
Шийдэл. Дахин нэг удаа бид "тэг тэгээр хуваасан" тодорхойгүй байдлыг олж авна.
.
Бид эхний хоёр гайхалтай хязгаарын харьцааг олж авах боломжтой. Бид тоологч ба хуваагчийг хоёуланг нь х-д хуваана. Дараа нь синус ба xes-ийн коэффициентүүд давхцахын тулд бид дээд х-г 2-оор үржүүлж, нэн даруй 2-т хувааж, доод х-г 3-аар үржүүлж, тэр даруй 3-т хуваана. Бид дараахь зүйлийг авна.
Жишээ 5.Хязгаарыг ол.
Шийдэл. Мөн дахин "тэг тэгээр хуваагдах" тодорхойгүй байдал:
Тангенс нь синус ба косинусын харьцаа бөгөөд тэгийн косинус нь нэгтэй тэнцүү гэдгийг бид тригонометрээс санаж байна. Бид өөрчлөлтийг хийж, дараахь зүйлийг авна.
.
Жишээ 6.Хязгаарыг ол.
Шийдэл. Хязгаарын тэмдгийн доорх тригонометрийн функц нь анхны гайхалтай хязгаарыг ашиглахыг дахин санал болгож байна. Бид үүнийг синус ба косинусын харьцаагаар илэрхийлдэг.
Дээрх нийтлэлээс та ямар хязгаарлалт, юугаар хооллодогийг олж мэдэх боломжтой - энэ нь маш чухал юм. Яагаад? Та тодорхойлогч гэж юу болохыг ойлгохгүй байж, тэдгээрийг амжилттай шийдэж чадахгүй байж магадгүй бөгөөд та дериватив гэж юу болохыг огт ойлгохгүй байж магадгүй бөгөөд тэдгээрийг "А"-тай олох болно. Гэхдээ хэрэв та хязгаарлалт гэж юу болохыг ойлгохгүй байгаа бол практик даалгавруудыг шийдвэрлэхэд хэцүү байх болно. Мөн жишээ шийдэл болон миний дизайны зөвлөмжүүдтэй танилцах нь зүйтэй болов уу. Бүх мэдээллийг энгийн бөгөөд хүртээмжтэй хэлбэрээр үзүүлэв.
Мөн энэ хичээлийн зорилгоор бидэнд дараах сургалтын хэрэглэгдэхүүн хэрэгтэй болно. Гайхамшигтай хязгааруудТэгээд Тригонометрийн томъёо. Тэдгээрийг хуудаснаас олж болно. Гарын авлагыг хэвлэх нь хамгийн сайн арга юм - энэ нь илүү тохиромжтой бөгөөд үүнээс гадна та тэдгээрийг офлайн байдлаар ашиглах шаардлагатай болдог.
Гайхалтай хязгаарын хувьд юугаараа онцлог вэ? Эдгээр хязгааруудын гайхалтай зүйл бол тэдгээрийг алдартай математикчдын агуу оюун ухаанаар нотолсон явдал бөгөөд талархалтай үр удам нь тригонометрийн функц, логарифм, хүч чадлын овоолго бүхий аймшигт хязгаараас зовох шаардлагагүй юм. Өөрөөр хэлбэл, хязгаарыг олохдоо бид онолын хувьд батлагдсан бэлэн үр дүнг ашиглах болно.
Хэд хэдэн гайхалтай хязгаарлалтууд байдаг боловч практик дээр 95% тохиолдолд хагас цагийн оюутнууд хоёр гайхалтай хязгаарлалттай байдаг. Эхний гайхалтай хязгаар, Хоёр дахь гайхалтай хязгаар. Эдгээр нь түүхэнд тогтсон нэрс бөгөөд жишээлбэл, "анхны гайхалтай хязгаар" гэж ярихдаа таазнаас авсан санамсаргүй хязгаар биш, маш тодорхой зүйлийг хэлдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
Эхний гайхалтай хязгаар
Дараах хязгаарлалтыг анхаарч үзээрэй: ("тэр" гэсэн уугуул үсгийн оронд би "альфа" грек үсгийг ашиглах болно, энэ нь материалыг танилцуулах үүднээс илүү тохиромжтой).
Хязгаарыг олох манай дүрмийн дагуу (нийтлэлийг үзнэ үү Хязгаарлалт. Шийдлийн жишээ) бид функцэд тэгийг орлуулахыг оролддог: тоологч дээр бид тэгийг авдаг (тэг-ийн синус нь тэг), хуваагч дээр ч тэг байх нь ойлгомжтой. Тиймээс бид азаар илчлэх шаардлагагүй хэлбэрийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. Математик шинжилгээний явцад дараахь зүйлийг нотолж байна.
Математикийн энэ баримтыг нэрлэдэг Эхний гайхалтай хязгаар. Би хязгаарын аналитик нотолгоо өгөхгүй, гэхдээ бид хичээл дээр түүний геометрийн утгыг авч үзэх болно. хязгааргүй жижиг функцууд.
Ихэнхдээ практик даалгаврын функцийг өөр өөрөөр зохион байгуулж болох бөгөөд энэ нь юу ч өөрчлөхгүй.
- ижил анхны гайхалтай хязгаар.
Гэхдээ та өөрөө тоологч болон хуваагчийг өөрчилж чадахгүй! Хэрэв хязгаарыг хэлбэрээр өгсөн бол ямар нэгэн зүйлийг дахин цэгцлэхгүйгээр ижил хэлбэрээр шийдвэрлэх ёстой.
Практикт зөвхөн хувьсах хэмжигдэхүүн төдийгүй энгийн функц эсвэл комплекс функц нь параметрийн үүрэг гүйцэтгэдэг. Энэ нь тэг рүү чиглэх нь л чухал юм.
Жишээ нь:
, , 
, 
Энд , , , 
, мөн бүх зүйл сайн байна - эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглах боломжтой.
Гэхдээ дараах оруулга нь тэрс үзэл юм.
Яагаад? Олон гишүүнт нь тэг рүү чиглэдэггүй тул тав руу чиглэдэг.
Дашрамд хэлэхэд хурдан асуулт: хязгаар нь юу вэ? 
? Хариултыг хичээлийн төгсгөлд олж болно.
Практикт бүх зүйл тийм ч жигд байдаггүй, оюутанд үнэгүй хязгаарлалтыг шийдэж, амархан нэвтрэх эрхийг санал болгодоггүй. Хммм... Би эдгээр мөрүүдийг бичиж байх үед маш чухал бодол санаанд орж ирэв - эцсийн эцэст "үнэгүй" математикийн тодорхойлолт, томъёог цээжээр санаж байх нь дээр, энэ нь асуулт гарч ирэх үед тест хийхэд үнэлж баршгүй тус болно. "хоёр" ба "гурав"-ын хооронд шийдэгдэх бөгөөд багш сурагчаас энгийн асуулт асуух эсвэл энгийн жишээг шийдэхийг санал болгохоор шийднэ ("магадгүй тэр юу мэддэг хэвээр байгаа юм бэ?!").
Практик жишээнүүдийг авч үзье.
Жишээ 1
Хязгаарыг ол
Хэрэв бид хязгаарт синусыг анзаарсан бол энэ нь биднийг анхны гайхалтай хязгаарыг хэрэглэх боломжийн талаар нэн даруй бодоход хүргэнэ.
Эхлээд бид 0-ийг хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд орлуулахыг оролддог (бид үүнийг оюун ухаанаар эсвэл ноорог хэлбэрээр хийдэг):
Тиймээс бид хэлбэрийн хувьд тодорхойгүй байна зааж өгөхөө мартуузайшийдвэр гаргахдаа. Хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь анхны гайхамшигтай хязгаартай төстэй боловч энэ нь яг тийм биш, энэ нь синусын доор, харин хуваагч дээр байна.
Ийм тохиолдолд бид хиймэл техник ашиглан анхны гайхалтай хязгаарыг өөрсдөө зохион байгуулах хэрэгтэй. Үндэслэл нь дараах байдалтай байж болно: "Бидэнд байгаа синус дор байгаа нь бид бас хуваагчийг авах шаардлагатай гэсэн үг юм."
Мөн үүнийг маш энгийнээр хийдэг:
Өөрөөр хэлбэл, хуваагчийг энэ тохиолдолд зохиомлоор 7-оор үржүүлж, ижил долоогоор хуваана. Одоо бидний бичлэг танил болсон.
Даалгаврыг гараар зурахдаа энгийн харандаагаар эхний гайхалтай хязгаарыг тэмдэглэхийг зөвлөж байна.
Юу болсон бэ? Үнэн хэрэгтээ бидний дугуйлсан илэрхийлэл нэгж болж хувирч, ажилдаа алга болсон: 
Одоо гурван давхар фракцаас салах л үлдлээ. 
Олон түвшний бутархайг хялбарчлахаа мартсан хүн лавлах номонд байгаа материалыг дахин сэргээнэ үү. Сургуулийн математикийн хичээлийн халуун томъёо .
Бэлэн. Эцсийн хариулт:
Хэрэв та харандааны тэмдэг ашиглахыг хүсэхгүй байгаа бол шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.
“
Эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглацгаая 
“
Жишээ 2
Хязгаарыг ол
Дахин бид хязгаарт бутархай ба синусыг харж байна. Тоолуур ба хуваарьт тэгийг орлуулахыг оролдъё:
Үнэхээр бидэнд тодорхойгүй байдал байгаа тул эхний гайхалтай хязгаарыг зохион байгуулахыг хичээх хэрэгтэй. Хичээл дээр Хязгаарлалт. Шийдлийн жишээБид тодорхойгүй байгаа үед тоо болон хуваагчийг үржүүлэх хэрэгтэй гэсэн дүрмийг авч үзсэн. Энд ижил зүйл байна, бид градусыг бүтээгдэхүүн (үржүүлэгч) хэлбэрээр илэрхийлнэ.
Өмнөх жишээний нэгэн адил бид гайхалтай хязгаарын эргэн тойронд харандаа зурж (энд хоёр нь байна), тэдгээр нь нэгдмэл байх хандлагатай байгааг илтгэнэ.
Үнэндээ хариулт бэлэн байна:
Дараах жишээнүүдэд би Paint дээр урлаг хийхгүй, дэвтэр дээрээ шийдлийг хэрхэн зөв зурах талаар бодож байна - та аль хэдийн ойлгосон.
Жишээ 3
Хязгаарыг ол
Хязгаарлалтын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд тэгийг орлуулна.
Ил болгох шаардлагатай тодорхойгүй байдал үүссэн. Хэрэв хязгаарт шүргэгч байгаа бол үүнийг сайн мэддэг тригонометрийн томъёог ашиглан бараг үргэлж синус ба косинус болгон хувиргадаг (дашрамд хэлэхэд тэд котангенстай ижил зүйлийг хийдэг, арга зүйн материалыг үзнэ үү. Халуун тригонометрийн томъёоХуудас дээр Математикийн томъёо, хүснэгт, лавлах материал).
Энэ тохиолдолд:
Тэг косинус нь нэгтэй тэнцүү бөгөөд үүнийг арилгахад хялбар байдаг (энэ нь нэг рүү чиглэж байгааг тэмдэглэхээ мартуузай):
Тиймээс, хэрэв хязгаарт косинус нь ҮРЖҮҮЛЭГЧ юм бол түүнийг ойролцоогоор нэгж болгон хувиргах шаардлагатай бөгөөд энэ нь бүтээгдэхүүнд алга болно.
Энд бүх зүйл үржүүлэх, хуваахгүйгээр илүү хялбар болсон. Эхний гайхалтай хязгаар нь нэг болж хувирч, бүтээгдэхүүнд алга болно.
Үүний үр дүнд хязгааргүй байдлыг олж авдаг бөгөөд энэ нь тохиолддог.
Жишээ 4
Хязгаарыг ол
Тоолуур ба хуваарьт тэгийг орлуулахыг оролдъё.
Тодорхой бус байдлыг олж авна (бидний санаж байгаагаар тэг косинус нь нэгтэй тэнцүү)
Бид тригонометрийн томъёог ашигладаг. Тэмдэглэл авах! Зарим шалтгааны улмаас энэ томъёог ашиглах хязгаарлалт нь маш түгээмэл байдаг.
Тогтмол хүчин зүйлсийг хязгаарын дүрсээс цааш шилжүүлье:
Эхний гайхалтай хязгаарыг зохион байгуулъя:
Энд бид зөвхөн нэг гайхалтай хязгаарлалттай бөгөөд энэ нь нэг болж хувирч, бүтээгдэхүүнд алга болдог:
Гурван давхар бүтцээс салцгаая:
Хязгаар нь үнэхээр шийдэгдсэн тул бид үлдсэн синус тэг рүү чиглэж байгааг харуулж байна:
Жишээ 5
Хязгаарыг ол 
Энэ жишээ нь илүү төвөгтэй тул үүнийг өөрөө олж мэдээрэй.
Хувьсагчийг өөрчилснөөр зарим хязгаарыг 1-р гайхалтай хязгаар хүртэл бууруулж болно, та энэ тухай нийтлэлээс бага зэрэг уншиж болно. Хязгаарыг шийдвэрлэх аргууд.
Хоёр дахь гайхалтай хязгаар
Математик анализын онолд дараахь зүйлийг нотолсон.
Энэ баримт гэж нэрлэдэг хоёр дахь гайхалтай хязгаар.
Лавлагаа: 
иррационал тоо юм.
Параметр нь зөвхөн хувьсагч төдийгүй нарийн төвөгтэй функц байж болно. Ганц чухал зүйл бол хязгааргүйд тэмүүлдэг.
Жишээ 6
Хязгаарыг ол
Хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь зэрэгтэй байвал энэ нь та хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг хэрэгжүүлэхийг хичээх хэрэгтэй гэсэн эхний шинж тэмдэг юм.
Гэхдээ эхлээд бид үргэлжийн адил илэрхийлэлд хязгааргүй их тоог орлуулахыг хичээдэг бөгөөд үүнийг хийх зарчмыг хичээл дээр авч үзсэн болно. Хязгаарлалт. Шийдлийн жишээ.
Хэзээ гэдгийг анзаарахад амархан зэрэгийн суурь нь , илтгэгч нь байна , өөрөөр хэлбэл, хэлбэр нь тодорхойгүй байна:
Энэхүү тодорхой бус байдал нь хоёр дахь гайхалтай хязгаарын тусламжтайгаар тодорхойлогддог. Гэхдээ ихэвчлэн тохиолддог шиг хоёр дахь гайхамшигтай хязгаар нь мөнгөн таваг дээр байдаггүй бөгөөд үүнийг зохиомлоор зохион байгуулах шаардлагатай байдаг. Та дараах байдлаар тайлбарлаж болно: энэ жишээн дээр параметр нь , энэ нь бид бас индикаторыг зохион байгуулах шаардлагатай гэсэн үг юм. Үүнийг хийхийн тулд бид суурийг хүч чадалд дээшлүүлж, илэрхийлэл өөрчлөгдөхгүйн тулд бид үүнийг хүчирхэг болгон дээшлүүлнэ.
Даалгаврыг гараар хийж дуусгахад бид харандаагаар тэмдэглэнэ.
Бараг бүх зүйл бэлэн болсон, аймшигтай зэрэг нь сайхан захидал болж хувирав:
Энэ тохиолдолд бид хязгаарын дүрсийг өөрөө заагч руу шилжүүлдэг:
Жишээ 7
Хязгаарыг ол
Анхаар! Энэ төрлийн хязгаарлалт маш олон удаа тохиолддог тул энэ жишээг сайтар судалж үзээрэй.
Хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд хязгааргүй их тоог орлуулахыг оролдъё.
Үр дүн нь тодорхойгүй байдал юм. Гэхдээ хоёр дахь гайхалтай хязгаар нь маягтын тодорхойгүй байдалд хамаарна. Юу хийх вэ? Бид градусын суурийг хөрвүүлэх хэрэгтэй. Бид ингэж тайлбарлаж байна: хуваагчдаа бид бас зохион байгуулах хэрэгтэй гэсэн үг юм.
Эхний гайхалтай хязгаарлалт бол дараахь тэгш байдал юм.
\эхлэх(тэгшитгэл)\lim_(\альфа\то(0))\frac(\sin\alpha)(\альфа)=1 \төгсгөл(тэгшитгэл)
$\alpha\to(0)$-ийн хувьд бидэнд $\sin\alpha\to(0)$ байгаа тул эхний гайхалтай хязгаар нь $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхой бус байдлыг харуулж байна гэж тэд хэлэв. Ерөнхийдөө (1) томъёонд $\alpha$ хувьсагчийн оронд ямар ч илэрхийллийг синусын тэмдэг болон хуваагч хэсэгт хоёр нөхцөл хангагдсан тохиолдолд байрлуулж болно.
- Синусын тэмдгийн доор болон хуваагч дахь илэрхийллүүд нэгэн зэрэг тэг рүү чиглэдэг, i.e. $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал байна.
- Синусын тэмдгийн доор болон хуваагч дахь илэрхийллүүд ижил байна.
Эхний гайхалтай хязгаарын үр дүнг ихэвчлэн ашигладаг:
\begin(тэгшитгэл) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \төгсгөл(тэгшитгэл) \эхлэх(тэгшитгэл) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \төгсгөл(тэгшитгэл) \эхлэх(тэгшитгэл) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \төгсгөл(тэгшитгэл)
Арван нэгэн жишээг энэ хуудсан дээр шийдсэн. Жишээ №1 нь (2)-(4) томъёоны нотолгоонд зориулагдсан болно. 2, 3, 4, 5-р жишээнүүдэд дэлгэрэнгүй тайлбар бүхий шийдлүүд багтсан болно. Өмнөх жишээнүүдэд дэлгэрэнгүй тайлбарыг өгсөн тул 6-10 дугаар жишээнүүд нь бараг ямар ч тайлбаргүй шийдлүүдийг агуулдаг. Шийдэл нь олж болох зарим тригонометрийн томъёог ашигладаг.
$\frac (0) (0)$ тодорхойгүй байдалтай тригонометрийн функцууд байгаа нь эхний гайхалтай хязгаарыг хэрэглэх гэсэн үг биш гэдгийг анхаарна уу. Заримдаа энгийн тригонометрийн хувиргалт хангалттай байдаг - жишээлбэл, үзнэ үү.
Жишээ №1
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha) гэдгийг батал. (\альфа)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\альфа)=1$.
a) $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ тул:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Учир нь $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ ба $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, Тэр нь:
$$ \lim_(\альфа\то(0))\фрак(\син(\альфа))(\альфа\кос(\альфа)) =\фрак(\displaystyle\lim_(\альфа\то(0)) \ frac (\ sin (\ альфа)) (\ альфа)) (\ displaystyle \ lim_ (\ альфа \ to (0)) \ cos (\ альфа)) =\ frac (1) (1) =1. $$
b) $\alpha=\sin(y)$ өөрчлөлтийг хийцгээе. $\sin(0)=0$ тул $\alpha\to(0)$ нөхцөлөөс бидэнд $y\to(0)$ байна. Нэмж дурдахад $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$ байх 0-ийн хөрш байдаг тул:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ тэнцүү байх нь батлагдсан.
в) $\alpha=\tg(y)$ орлуулгыг хийцгээе. $\tg(0)=0$ тул $\alpha\to(0)$ болон $y\to(0)$ нөхцөлүүд тэнцүү байна. Нэмж дурдахад $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ байх 0-ийн хөрш байдаг тул a) цэгийн үр дүнд үндэслэн бид дараах байдалтай байна:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ тэнцүү байх нь батлагдсан.
a), b), c) тэгшитгэлийг ихэвчлэн эхний гайхалтай хязгаартай хамт ашигладаг.
Жишээ №2
Хязгаарыг тооцоолох $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.
Учир нь $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ ба $\lim_( x) \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, i.e. мөн бутархайн хүртэгч ба хуваагч нэгэн зэрэг тэг рүү чиглэх хандлагатай байгаа бол энд бид $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна, өөрөөр хэлбэл. хийсэн. Нэмж дурдахад, синус тэмдгийн дор болон хуваагч дахь илэрхийллүүд давхцаж байгаа нь тодорхой байна (өөрөөр хэлбэл, сэтгэл хангалуун байна):
Тиймээс хуудасны эхэнд дурдсан хоёр нөхцөл хангагдсан болно. Үүнээс үзэхэд томъёог хэрэглэх боломжтой, өөрөөр хэлбэл. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\баруун))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.
Хариулах: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\баруун))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
Жишээ №3
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$-г олоорой.
$\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ ба $\lim_(x\to(0))x=0$ тул бид $\frac хэлбэрийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. (0 )(0)$, i.e. хийсэн. Гэсэн хэдий ч синус тэмдгийн дор болон хуваагч дахь илэрхийлэл нь давхцдаггүй. Энд та хуваагч дахь илэрхийллийг хүссэн хэлбэрт оруулах хэрэгтэй. Бид хуваарьт байхын тулд $9x$ илэрхийлэл хэрэгтэй, тэгвэл энэ нь үнэн болно. Үндсэндээ бид хуваарьт 9$-ын хүчин зүйл дутагдаж байна, үүнийг оруулахад тийм ч хэцүү биш—зүгээр л хуваагч дахь илэрхийллийг $9$-оор үржүүл. Мэдээжийн хэрэг, үржүүлэлтийг 9 доллараар нөхөхийн тулд та нэн даруй 9 доллараар хуваах хэрэгтэй болно.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9х))(9х)$$
Одоо хуваагч болон синусын тэмдгийн доорх илэрхийлэл давхцаж байна. $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ хязгаарын хоёр нөхцөл хангагдсан. Тиймээс $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Мөн энэ нь:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Хариулах: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Жишээ № 4
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$-г олоорой.
$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ ба $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ байх тул энд бид маягтын тодорхой бус байдалтай тулгарч байна. $\frac(0)(0)$. Гэсэн хэдий ч анхны гайхалтай хязгаарын хэлбэрийг зөрчиж байна. $\sin(5x)$ агуулсан тоологч нь $5x$ хуваагчийг шаарддаг. Энэ тохиолдолд хамгийн хялбар арга бол тоологчийг $5x$-д хувааж, нэн даруй $5x$-оор үржүүлэх явдал юм. Нэмж хэлэхэд, бид хуваагчтай ижил төстэй үйлдлийг гүйцэтгэх бөгөөд $\tg(8x)$-г $8x$-оор үржүүлж, хуваах болно:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
$x$-оор багасгаж, тогтмол $\frac(5)(8)$-г хязгаарын тэмдгийн гадуур авбал бид дараахыг авна:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ нь эхний гайхалтай хязгаарт тавигдах шаардлагыг бүрэн хангаж байгааг анхаарна уу. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$-г олохын тулд дараах томъёог хэрэглэнэ.
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to) (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Хариулах: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Жишээ №5
$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$-г олоорой.
Учир нь $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ ($\cos(0)=1$) ба $\ гэдгийг санаарай. lim_(x\to(0))x^2=0$, тэгвэл бид $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. Гэсэн хэдий ч, эхний гайхалтай хязгаарыг хэрэглэхийн тулд та тоологч дахь косинусаас салж, синус (томьёог хэрэглэхийн тулд) эсвэл шүргэгч (томьёог хэрэглэхийн тулд) руу шилжих хэрэгтэй. Үүнийг дараах хувиргалтаар хийж болно.
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Хязгаар руугаа буцъя:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\баруун) $$
$\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ бутархай нь эхний гайхалтай хязгаарт шаардлагатай хэлбэрт аль хэдийн ойрхон байна. $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ бутархайтай бага зэрэг ажиллаж, үүнийг эхний гайхалтай хязгаарт тохируулъя (тоологч ба синусын доорх илэрхийллүүд тохирох ёстойг анхаарна уу):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\баруун)^2$$
Хэлэлцэж буй хязгаар руу буцъя:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\баруун)^2\баруун)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\баруун)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
Хариулах: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Жишээ № 6
$\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ хязгаарыг ол.
$\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ ба $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$ тул Бид $\frac(0)(0)$ тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. Анхны гайхалтай хязгаарын тусламжтайгаар үүнийг тодруулцгаая. Үүнийг хийхийн тулд косинусаас синус руу шилжье. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$ тул:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Өгөгдсөн хязгаарт синус руу шилжихэд бид дараахь зүйлийг авна.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\) frac(\sin(3x))(3x)\баруун)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\баруун)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\зүүн(\frac(\sin(3x))(3x)\баруун)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Хариулах: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Жишээ № 7
$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ хязгаарыг $\alpha\neq-д хамааруулан тооцоол. \ бета$.
Дэлгэрэнгүй тайлбарыг өмнө нь өгсөн боловч энд $\frac(0)(0)$ тодорхойгүй байдал байгааг энд зүгээр л тэмдэглэж байна. Томъёог ашиглан косинусаас синус руу шилжье
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\альфа-\бета)(2).$$
Энэ томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ бета(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\альфа+\бета) )(2)\баруун)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\альфа-\бета)(2)\баруун))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\баруун))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\альфа-\бета)(2)\баруун))(x)\баруун)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\баруун))(x\cdot\frac(\альфа+\бета)(2))\cdot\frac(\альфа+\бета)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\баруун))(x\cdot\frac(\альфа-\бета)(2))\cdot\frac(\alpha- \бета)(2)\баруун)=\\ =-\frac((\альфа+\бета)\cdot(\альфа-\бета))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\баруун))(x\cdot\frac(\альфа+бета)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\альфа-\бета)(2)\баруун))(x\cdot\frac(\альфа-\бета)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\бета^2-\альфа^2)(2). $$
Хариулах: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ альфа^2)(2)$.
Жишээ № 8
$\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ хязгаарыг ол.
$\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ ($\sin(0)=\tg(0)=0$) ба $\ гэдгийг санаарай. lim_(x\to(0))x^3=0$, тэгвэл энд бид $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. Үүнийг дараах байдлаар задалъя.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\баруун))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\баруун)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\баруун) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$
Хариулах: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Жишээ № 9
$\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$ хязгаарыг ол.
Учир нь $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ ба $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x -) 3)(2)=0$, тэгвэл $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал байна. Өргөтгөхөөс өмнө шинэ хувьсагч тэг болох хандлагатай байхаар хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийх нь тохиромжтой (томьёонд $\alpha \to 0$ хувьсагч байгааг анхаарна уу). Хамгийн хялбар арга бол $t=x-3$ хувьсагчийг нэвтрүүлэх явдал юм. Гэсэн хэдий ч, цаашдын өөрчлөлтийг хийхэд хялбар байх үүднээс (энэ үр ашгийг доор өгөгдсөн шийдлийн явцад харж болно) дараах орлуулалтыг хийх нь зүйтэй: $t=\frac(x-3)(2)$. Энэ тохиолдолд хоёуланг нь солих боломжтой гэдгийг би тэмдэглэж байна, зөвхөн хоёр дахь орлуулалт нь бутархайтай бага ажиллах боломжийг олгоно. $x\to(3)$, дараа нь $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\баруун| =\left|\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin) (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Хариулах: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Жишээ № 10
Хязгаарыг олох $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.
Дахин нэг удаа бид $\frac(0)(0)$ тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. Өргөтгөл рүү орохын өмнө хувьсагчийн өөрчлөлтийг шинэ хувьсагч тэг болох хандлагатай байхаар хийх нь тохиромжтой (томьёонд хувьсагч нь $\alpha\to(0)$ байна гэдгийг анхаарна уу). Хамгийн хялбар арга бол $t=\frac(\pi)(2)-x$ хувьсагчийг нэвтрүүлэх явдал юм. $x\to\frac(\pi)(2)$ тул $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\баруун))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\баруун)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
Хариулах: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\баруун)^2) =\frac(1)(2)$.
Жишээ № 11
Хязгаарыг олох $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
Энэ тохиолдолд бид эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглах шаардлагагүй. Эхний болон хоёр дахь хязгаар нь зөвхөн тригонометрийн функц, тоонуудыг агуулна гэдгийг анхаарна уу. Ихэнхдээ ийм төрлийн жишээн дээр хязгаарын тэмдгийн доор байрлах илэрхийллийг хялбарчлах боломжтой байдаг. Түүнчлэн, дээр дурдсан зарим хүчин зүйлийг хялбарчилж, бууруулсны дараа тодорхойгүй байдал арилдаг. Би энэ жишээг зөвхөн нэг зорилгын үүднээс өгсөн: хязгаарын тэмдгийн дор тригонометрийн функцууд байгаа нь эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглах шаардлагагүй гэдгийг харуулах.
$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ тул ($\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) ба $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ ($\cos\frac(\pi)(2)=0$ гэдгийг сануулъя), тэгвэл бид $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг шийдвэрлэх. Гэсэн хэдий ч энэ нь бид эхний гайхамшигтай хязгаарыг ашиглах шаардлагатай гэсэн үг биш юм. Тодорхой бус байдлыг илчлэхийн тулд $\cos^2x=1-\sin^2x$ гэдгийг анхаарч үзэхэд хангалттай.
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Демидовичийн шийдлийн номонд (No 475) ижил төстэй шийдэл байдаг. Хоёрдахь хязгаарын хувьд энэ хэсгийн өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил бидэнд $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал бий. Яагаад үүсдэг вэ? Энэ нь $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ ба $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$ байдгаас үүсдэг. Бид эдгээр утгуудыг тоологч ба хуваагч дахь илэрхийллийг хувиргахад ашигладаг. Бидний үйл ажиллагааны зорилго бол нийлбэрийг тоологч ба хуваагч дахь үржвэр болгон бичих явдал юм. Дашрамд хэлэхэд, ихэвчлэн ижил төрлийн дотор энэ нь шинэ хувьсагч тэг хандлагатай байдлаар хийсэн хувьсагч өөрчлөх нь тохиромжтой байдаг (жишээ нь, жишээ нь № 9, № 10 энэ хуудасны үзнэ үү). Гэсэн хэдий ч, энэ жишээнд солих нь утгагүй боловч хэрэв хүсвэл $t=x-\frac(2\pi)(3)$ хувьсагчийг солих нь хэрэгжүүлэхэд хялбар байдаг.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\баруун )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\баруун))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\баруун))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac) (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3) ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\баруун)\cdot\left( -\frac(1)(2)\баруун)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
Таны харж байгаагаар бид эхний гайхалтай хязгаарыг хэрэглэх шаардлагагүй байсан. Мэдээжийн хэрэг, хэрэв та хүсвэл үүнийг хийж болно (доорх тэмдэглэлийг үзнэ үү), гэхдээ энэ нь шаардлагагүй юм.
Эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглах шийдэл нь юу вэ? харуулах\нуух
Эхний гайхалтай хязгаарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\баруун))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ баруун))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\ frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\баруун) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\баруун)\cdot\left(-\frac(1)(2)\баруун)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Хариулах: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
