Төрөл ба зүйлийн тодорхойгүй байдал нь хязгаарыг шийдвэрлэх үед илчлэх шаардлагатай хамгийн түгээмэл тодорхойгүй байдал юм.
Оюутнуудад тулгардаг хязгаарлалтын асуудлуудын ихэнх нь яг ийм тодорхой бус байдлыг агуулдаг. Тэдгээрийг илчлэх, эсвэл тодорхой бус байдлаас зайлсхийхийн тулд хязгаарын тэмдгийн дор илэрхийллийн төрлийг хувиргах хэд хэдэн хиймэл аргууд байдаг. Эдгээр аргууд нь дараах байдалтай байна: хувьсагчийн хамгийн дээд хүчинд хуваагч ба хуваагчийг гишүүнээр хуваах, хосолсон илэрхийллээр үржүүлэх, квадрат тэгшитгэлийн шийдэл, үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан дараагийн бууруулах зорилгоор үржүүлэх.
Төрөл зүйлийн тодорхойгүй байдал
Жишээ 1.
n 2-той тэнцүү.Тиймээс бид тоологч ба хуваагч гишүүнийг гишүүнээр хуваана:
.
Илэрхийллийн баруун талд тайлбар бичнэ үү. Сум ба тоонууд нь орлуулалтын дараа ямар бутархай болохыг заадаг nхязгааргүй гэсэн утгатай. Энд жишээ 2-ын адил зэрэг nХуваагч нь тоологчоос илүү их байдаг бөгөөд үүний үр дүнд бүхэл хэсэг нь хязгааргүй жижиг буюу "хэт жижиг" байх хандлагатай байдаг.
Хязгааргүй хандлагатай хувьсагчтай энэ функцийн хязгаар нь -тэй тэнцүү байна.
Жишээ 2. .
Шийдэл. Энд хувьсагчийн хамгийн их хүч байна x 1-тэй тэнцүү.Тиймээс бид тоологч ба хуваагч гишүүнийг гишүүнээр хуваана x:
.
Шийдвэрийн явцын талаарх тайлбар. Тоолуур дээр бид "x"-ийг гуравдугаар зэргийн язгуур дор хөтлөх ба анхны зэрэг (1) өөрчлөгдөхгүй байхын тулд бид үүнийг үндэстэй ижил зэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл 3-аар онооно. Сум эсвэл нэмэлт тоо байхгүй байна. Энэ оруулгад оюун ухаанаараа оролдоод үзээрэй, гэхдээ өмнөх жишээтэй адилтгаж "x"-ийн оронд хязгааргүйг орлуулсны дараа тоо болон хуваагч дахь илэрхийллүүд ямар хандлагатай байгааг тодорхойл.
Хязгааргүй хандлагатай хувьсагчтай энэ функцийн хязгаар нь тэгтэй тэнцүү гэсэн хариултыг авсан.
Төрөл зүйлийн тодорхойгүй байдал
Жишээ 3.Тодорхой бус байдлыг илрүүлж, хязгаарыг ол.
Шийдэл. Тоолуур нь шоо дөрвөлжингийн зөрүү юм. Сургуулийн математикийн хичээлийн товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан үүнийг хүчин зүйлээр ангилъя.
Хуваагч нь квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх замаар үржвэрлэх болно (квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх холбоос):
Өөрчлөлтийн үр дүнд олж авсан илэрхийлэлийг бичиж, функцийн хязгаарыг олъё.
Жишээ 4.Тодорхойгүй байдлын түгжээг тайлж, хязгаарыг олоорой
Шийдэл. Хэмжилтийн хязгаарын теоремыг энд хэрэглэх боломжгүй, учир нь
Тиймээс бид бутархайг ижил байдлаар хувиргадаг: тоологч ба хуваагчийг хоёрын нэгдэлээр хуваагч руу үржүүлж, дараах байдлаар бууруулна. x+1. Теорем 1-ийн үр дүнд үндэслэн бид илэрхийлэлийг олж, үүнийг шийдэж, хүссэн хязгаараа олно.
Жишээ 5.Тодорхойгүй байдлын түгжээг тайлж, хязгаарыг олоорой
Шийдэл. Шууд утгыг орлуулах xӨгөгдсөн функцийн = 0 нь 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдалд хүргэдэг. Үүнийг илрүүлэхийн тулд бид ижил өөрчлөлтүүдийг хийж, эцэст нь хүссэн хязгаарыг олж авдаг. 
Жишээ 6.Тооцоол 
Шийдэл:Хязгаарын талаархи теоремуудыг ашиглая
Хариулт: 11
Жишээ 7.Тооцоол 
Шийдэл:Энэ жишээнд тоологч ба хуваагчийн хязгаар 0-тэй тэнцүү байна:
; 
. Тиймээс бид хуваалтын хязгаарын теоремыг хэрэглэх боломжгүй гэж хүлээн авсан.
Бутархайг тэг рүү чиглэсэн нийтлэг хүчин зүйлээр багасгахын тулд тоологч ба хуваагчийг үржвэр болгон хувацгаая, тэгэхээр теорем 3-ыг ашиглах боломжтой болгоё.
Х 1 ба x 2 нь гурвалсан гишүүний үндэс болох томьёог ашиглан тоологч дахь квадрат гурвалжийг өргөжүүлье. Үржүүлэгчид болон хуваагчийг хийсний дараа бутархайг (x-2) бууруулж, теорем 3-ыг хэрэгжүүлнэ.
Хариулт:
Жишээ 8.Тооцоол
Шийдэл:Тоолуур ба хуваагч нь хязгааргүй байх хандлагатай байгаа тул теорем 3-ыг шууд хэрэглэх үед бид тодорхойгүй байдлыг илэрхийлдэг илэрхийлэлийг олж авна. Энэ төрлийн тодорхойгүй байдлаас ангижрахын тулд тоологч ба хуваагчийг аргументийн хамгийн дээд хүчээр хуваах хэрэгтэй. Энэ жишээнд та хуваах хэрэгтэй X:
Хариулт:
Жишээ 9.Тооцоол 
Шийдэл: x 3:
Хариулт: 2
Жишээ 10.Тооцоол 
Шийдэл:Тоолуур ба хуваагч нь хязгааргүй хандлагатай байх үед. Тоолуур ба хуваагчийг аргументийн хамгийн дээд хүчээр хуваацгаая, i.e. x 5:
= 
Бутархайн хуваагч нь 1, хуваагч нь 0, тиймээс бутархай нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг.
Хариулт:
Жишээ 11.Тооцоол
Шийдэл:Тоолуур ба хуваагч нь хязгааргүй хандлагатай байх үед. Тоолуур ба хуваагчийг аргументийн хамгийн дээд хүчээр хуваацгаая, i.e. x 7:
Хариулт: 0
Дериватив.
y = f(x) функцын x аргументтай холбоотой деривативаргументийн өсөлт тэг болох хандлагатай байх үед y-ийн аргументийн x-ийн өсөлтийн харьцааны хязгаар гэж нэрлэдэг: . Хэрэв энэ хязгаар хязгаарлагдмал бол функц у = f(x) x дээр дифференциалагдах боломжтой гэж хэлдэг. Хэрэв энэ хязгаар байгаа бол тэд функц гэж хэлдэг у = f(x)х цэг дээр хязгааргүй дериватив байна.
Үндсэн үндсэн функцүүдийн деривативууд:
1. (const)=0 9. 
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
Ялгах дүрэм:
а) 
V) 
Жишээ 1.Функцийн деривативыг ол 
Шийдэл:Хэрэв хоёр дахь гишүүний деривативыг бутархайг ялгах дүрмийг ашиглан олвол эхний гишүүн нь нарийн төвөгтэй функц бөгөөд деривативыг дараах томъёогоор олно.
, Хаана 
, Дараа нь
Шийдвэрлэхдээ дараах томъёог ашигласан: 1,2,10,a,c,d.
Хариулт:
Жишээ 21.Функцийн деривативыг ол 
Шийдэл:Хоёр нэр томьёо нь нийлмэл функцууд бөгөөд эхнийх нь , , хоёр дахь нь , дараа нь
Хариулт: 
Дериватив програмууд.
1. Хурд ба хурдатгал
s(t) функцийг тайлбарлая байр суурь t цаг хугацааны зарим координатын систем дэх объект. Тэгвэл s(t) функцийн эхний дериватив агшин зуур байна хурдобъект:
v=s′=f′(t)
s(t) функцийн хоёр дахь дериватив нь агшин зуурыг илэрхийлнэ хурдатгалобъект:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Тангенсийн тэгшитгэл
y−y0=f′(x0)(x−x0),
Энд (x0,y0) шүргэгч цэгийн координат, f′(x0) нь шүргэгч цэг дээрх f(x) функцийн деривативын утга.
3. Хэвийн тэгшитгэл
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
Энд (x0,y0) нь нормаль зурсан цэгийн координат, f′(x0) нь энэ цэг дэх f(x) функцийн деривативын утга юм.
4. Өсөх, багасгах функцууд
Хэрэв f′(x0)>0 бол функц x0 цэг дээр нэмэгдэнэ. Доорх зурагт функц нь x-ээр нэмэгдэж байна
Хэрэв f'(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Функцийн локал экстремум
f(x) функц байна орон нутгийн дээд хэмжээ x1 цэг дээр хэрэв x1 цэгийн хөрш байгаа бол энэ хөршөөс бүх x-ийн хувьд f(x1)≥f(x) тэгш бус байдал биелнэ.
Үүнтэй адилаар f(x) функц байна орон нутгийн доод хэмжээ x2 цэг дээр хэрэв x2 цэгийн хөрш байгаа бол энэ хөршөөс бүх x-ийн хувьд f(x2)≤f(x) тэгш бус байдал биелнэ.
6. Чухал цэгүүд
x0 цэг байна чухал цэг f(x) функц, хэрэв түүн дэх f′(x0) дериватив тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй бол.
7. Экстремум байгаагийн эхний хангалттай шинж тэмдэг
Хэрэв f(x) функц нь зарим (a,x1] интервалд бүх x-ийн хувьд (f′(x)>0) нэмэгдэж (f′(x)) буурвал (f′(x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) интервалаас бүх x-ийн хувьд)
