Үнэн хэрэгтээ дүрсийн талбайг олохын тулд тодорхойгүй ба тодорхой интегралын талаар тийм ч их мэдлэг хэрэггүй. "Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох" даалгавар нь үргэлж зураг зурахтай холбоотой байдаг тул таны зураг зурах мэдлэг, ур чадвар илүү тулгамдсан асуулт байх болно. Үүнтэй холбогдуулан үндсэн үндсэн функцүүдийн графикуудын талаархи ой санамжаа сэргээж, хамгийн багаар бодоход шулуун шугам, гиперболыг бүтээх чадвартай байх нь ашигтай байдаг.
Муруй трапец гэдэг нь тэнхлэг, шулуун шугамууд болон энэ интервал дээр тэмдэг өөрчлөгддөггүй сегмент дээр үргэлжилсэн функцийн графикаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм. Энэ зургийг байрлуулахыг зөвшөөрнө үү доогуур биш x тэнхлэг:
Дараа нь муруйн трапецын талбай нь тодорхой интегралтай тоогоор тэнцүү байна. Аливаа тодорхой интеграл (байгаа) нь маш сайн геометрийн утгатай.
Геометрийн үүднээс авч үзвэл тодорхой интеграл нь AREA юм.
Өөрөөр хэлбэл, тодорхой интеграл (хэрэв байгаа бол) геометрийн хувьд тодорхой дүрсийн талбайтай тохирч байна. Жишээлбэл, тодорхой интегралыг авч үзье. Интеграл нь тэнхлэгийн дээгүүр байрлах хавтгай дээрх муруйг тодорхойлдог (хүссэн хүмүүс зураг зурах боломжтой) бөгөөд тодорхой интеграл нь өөрөө харгалзах муруйн трапецын талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна.
Жишээ 1
Энэ бол даалгаврын ердийн мэдэгдэл юм. Шийдвэрийн эхний бөгөөд хамгийн чухал зүйл бол зураг зурах явдал юм. Түүнээс гадна зургийг ЗӨВ барьсан байх ёстой.
Зураг зурахдаа би дараах дарааллыг санал болгож байна: эхлээд бүх шулуун шугамыг (хэрэв байгаа бол) барих нь дээр, зөвхөн дараа нь - парабол, гипербол, бусад функцүүдийн графикийг зурах нь дээр. Функцийн графикийг цэг тус бүрээр байгуулах нь илүү ашигтай байдаг.
Энэ асуудлын шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно.
Зургийг зурцгаая (тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог болохыг анхаарна уу):
Сегмент дээр функцийн график нь тэнхлэгээс дээш байрладаг тул:
Хариулт:
Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд "нүдээр" бид зурган дээрх эсийн тоог тоолдог - 9 орчим байх болно, энэ нь үнэн бололтой. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэсэн хариултыг авсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь тодорхой байна, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн.
Жишээ 3
Шугаман ба координатын тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.
Шийдэл: Зураг зурцгаая:
Хэрэв муруй трапец нь тэнхлэгийн доор байрладаг бол (эсвэл дор хаяж өндөргүйөгөгдсөн тэнхлэг), дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.
Энэ тохиолдолд:
Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:
1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.
2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая хэлэлцсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.
Практикт ихэнхдээ зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг тул сургуулийн хамгийн энгийн асуудлаас эхлээд илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилждэг.
Жишээ 4
, шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.
Шийдэл: Эхлээд та зургийг дуусгах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид талбайн асуудалд зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Парабола ба шулуун шугамын огтлолцох цэгүүдийг олъё. Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга нь аналитик юм. Бид тэгшитгэлийг шийддэг:
Интеграцийн доод хязгаар нь , дээд хязгаар нь .
Боломжтой бол энэ аргыг хэрэглэхгүй байх нь дээр.
Шугамыг цэгээр нь барих нь илүү ашигтай бөгөөд хурдан бөгөөд интеграцийн хязгаар нь "өөрөө" тодорхой болно. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл нарийвчилсан бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог. Мөн бид ийм жишээг авч үзэх болно.
Даалгавар руугаа буцаж орцгооё: эхлээд шулуун шугам, дараа нь парабола барих нь илүү оновчтой юм. Зураг зурцгаая:
Одоо ажлын томьёо: Хэрэв сегмент дээрх зарим тасралтгүй функц нь зарим тасралтгүй функцээс их буюу тэнцүү байвал эдгээр функцуудын графикууд болон шулуун шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг дараах томъёогоор олж болно. 
Энд та зураг хаана байрлаж байгаа талаар бодох шаардлагагүй болсон - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор байгаа бөгөөд ойролцоогоор хэлэхэд аль график нь ӨНДӨР (өөр графиктай харьцуулахад), аль нь ДООР байх нь чухал юм.
Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байгаа тул үүнээс хасах шаардлагатай байна.
Дууссан шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно:
Хүссэн дүрс нь дээрх парабол, доор нь шулуун шугамаар хязгаарлагддаг.
Харгалзах томъёоны дагуу сегмент дээр:
Хариулт:
Жишээ 4
, , , шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоол.
Шийдэл: Эхлээд зураг зуръя:
Бидний олох ёстой талбайг цэнхэр өнгөөр будсан байна (нөхцөл байдлыг анхааралтай ажиглаарай - зураг хэрхэн хязгаарлагдмал байна!). Гэвч практик дээр анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж ногоон өнгөөр сүүдэрлэсэн дүрсийн талбайг олох шаардлагатай "гажиг" ихэвчлэн гардаг!
Энэ жишээ нь хоёр тодорхой интеграл ашиглан зургийн талбайг тооцоолоход бас ашигтай юм.
Үнэхээр:
1) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр шулуун шугамын график байна;
2) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр гиперболын график байна.
Талбайг нэмэх боломжтой (мөн байх ёстой) нь ойлгомжтой тул:
Энэ нийтлэлд та интеграл тооцоог ашиглан шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг хэрхэн олох талаар сурах болно. Бид тодорхой интегралын судалгааг дөнгөж дуусгаж, практик дээр олж авсан мэдлэгээ геометрийн тайлбарыг эхлүүлэх цаг болсон үед ахлах сургуульд ийм асуудлыг томъёолохтой анх удаа тулгарч байна.
Интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олох асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхэд юу шаардлагатай вэ:
- Чадварлаг зураг зурах чадвартай;
- Ньютон-Лейбницийн сайн мэддэг томьёог ашиглан тодорхой интегралыг шийдвэрлэх чадвар;
- Илүү ашигтай шийдлийн сонголтыг "харах" чадвар - жишээлбэл. Нэг эсвэл өөр тохиолдолд интеграци хийх нь хэрхэн илүү тохиромжтой болохыг ойлгож байна уу? X тэнхлэг (OX) эсвэл y тэнхлэг (OY) дагуу уу?
- За, зөв тооцоололгүй бол бид хаана байх вэ?) Үүнд бусад төрлийн интегралуудыг хэрхэн шийдвэрлэх, тоон тооцооллыг зөв хийх зэрэг орно.
Шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг тооцоолох асуудлыг шийдэх алгоритм:
1. Бид зураг зурдаг. Үүнийг алаг цаасан дээр, том хэмжээгээр хийхийг зөвлөж байна. Бид энэ функцийн нэрийг график бүрийн дээр харандаагаар гарын үсэг зурдаг. График дээр гарын үсэг зурах нь зөвхөн цаашдын тооцоо хийхэд хялбар байх үүднээс хийгддэг. Хүссэн зургийн графикийг хүлээн авсны дараа ихэнх тохиолдолд интеграцийн аль хязгаарыг ашиглах нь нэн даруй тодорхой болно. Тиймээс бид асуудлыг графикаар шийддэг. Гэсэн хэдий ч, хязгаарын утга нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байх тохиолдол гардаг. Тиймээс та нэмэлт тооцоо хийж болно, хоёр дахь алхам руу очно уу.
2. Хэрэв интеграцийн хязгаарыг тодорхой заагаагүй бол графикуудын огтлолцох цэгүүдийг олж, бидний график шийдэл аналитик шийдэлтэй давхцаж байгаа эсэхийг харна.
3. Дараа нь та зураг дээр дүн шинжилгээ хийх хэрэгтэй. Функцийн графикууд хэрхэн байрлаж байгаагаас хамааран зургийн талбайг олох янз бүрийн арга байдаг. Интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олох янз бүрийн жишээг авч үзье.
3.1.
Асуудлын хамгийн сонгодог бөгөөд энгийн хувилбар бол муруй трапецын талбайг олох шаардлагатай үед юм. Муруй трапец гэж юу вэ? Энэ нь x тэнхлэг (y = 0), шулуун шугамууд x = a, x = b ба а-аас b хүртэлх интервалд үргэлжилсэн аливаа муруйгаар хязгаарлагддаг хавтгай дүрс юм. Түүнээс гадна энэ үзүүлэлт нь сөрөг биш бөгөөд x тэнхлэгээс доогуур байрлана. Энэ тохиолдолд муруй шугаман трапецын талбай нь Ньютон-Лейбницийн томъёогоор тооцоолсон тодорхой интегралтай тэнцүү байна.Жишээ 1
y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Зураг ямар шугамаар хүрээлэгдсэн бэ? Бидэнд OX тэнхлэгээс дээгүүр байрлах y = x2 - 3x + 3 парабол байгаа бөгөөд энэ нь сөрөг биш, учир нь Энэ параболын бүх цэгүүд эерэг утгатай байна. Дараа нь x = 1 ба x = 3 шулуун шугамууд өгөгдсөн бөгөөд эдгээр нь op-amp-ийн тэнхлэгтэй параллель бөгөөд зүүн ба баруун талд байгаа зургийн хилийн шугам юм. За, у = 0, энэ нь мөн x тэнхлэг бөгөөд энэ нь зургийг доороос нь хязгаарладаг. Үр дүн нь сүүдэртэй, зүүн талын зургаас харж болно. Энэ тохиолдолд та асуудлыг даруй шийдэж болно. Бидний өмнө муруй трапецын энгийн жишээ байгаа бөгөөд дараа нь Ньютон-Лейбницийн томъёогоор шийддэг.
3.2.Өмнөх 3.1-д бид муруй трапецийг x тэнхлэгээс дээш байрлуулсан тохиолдолд судалж үзсэн. Функц нь x тэнхлэгийн доор оршдогоос бусад тохиолдолд асуудлын нөхцөл ижил байх тохиолдлыг авч үзье. Ньютон-Лейбницийн стандарт томьёонд хасах нь нэмэгддэг. Ийм асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар бид доор авч үзэх болно.
Энэ жишээнд бид OX тэнхлэгийн доороос үүссэн y = x2 + 6x + 2 парабол, x = -4, x = -1, y = 0 шулуун шугамууд байна. Энд y = 0 нь дээрээс хүссэн дүрсийг хязгаарладаг. x = -4 ба x = -1 шулуун шугамууд нь тодорхой интегралыг тооцоолох хил хязгаар юм. Дүрсийн талбайг олох асуудлыг шийдэх зарчим нь жишээний дугаар 1-тэй бараг бүрэн давхцаж байна. Ганц ялгаа нь өгөгдсөн функц эерэг биш, мөн [-4; -1]. Та эерэг биш гэж юу гэсэн үг вэ? Зургаас харахад өгөгдсөн х-ийн дотор байрлах дүрс нь зөвхөн "сөрөг" координатуудтай бөгөөд бид асуудлыг шийдвэрлэхдээ үүнийг харж, санаж байх ёстой. Бид Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан зургийн талбайг хайдаг, зөвхөн эхэнд хасах тэмдэгтэй.
Нийтлэл дуусаагүй байна.
Энэ нийтлэлд та интеграл тооцоог ашиглан шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг хэрхэн олох талаар сурах болно. Бид тодорхой интегралын судалгааг дөнгөж дуусгаж, практик дээр олж авсан мэдлэгээ геометрийн тайлбарыг эхлүүлэх цаг болсон үед ахлах сургуульд ийм асуудлыг томъёолохтой анх удаа тулгарч байна.
Интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олох асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхэд юу шаардлагатай вэ:
- Чадварлаг зураг зурах чадвартай;
- Ньютон-Лейбницийн сайн мэддэг томьёог ашиглан тодорхой интегралыг шийдвэрлэх чадвар;
- Илүү ашигтай шийдлийн сонголтыг "харах" чадвар - жишээлбэл. Нэг эсвэл өөр тохиолдолд интеграци хийх нь хэрхэн илүү тохиромжтой болохыг ойлгож байна уу? X тэнхлэг (OX) эсвэл y тэнхлэг (OY) дагуу уу?
- За, зөв тооцоололгүй бол бид хаана байх вэ?) Үүнд бусад төрлийн интегралуудыг хэрхэн шийдвэрлэх, тоон тооцооллыг зөв хийх зэрэг орно.
Шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг тооцоолох асуудлыг шийдэх алгоритм:
1. Бид зураг зурдаг. Үүнийг алаг цаасан дээр, том хэмжээгээр хийхийг зөвлөж байна. Бид энэ функцийн нэрийг график бүрийн дээр харандаагаар гарын үсэг зурдаг. График дээр гарын үсэг зурах нь зөвхөн цаашдын тооцоо хийхэд хялбар байх үүднээс хийгддэг. Хүссэн зургийн графикийг хүлээн авсны дараа ихэнх тохиолдолд интеграцийн аль хязгаарыг ашиглах нь нэн даруй тодорхой болно. Тиймээс бид асуудлыг графикаар шийддэг. Гэсэн хэдий ч, хязгаарын утга нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байх тохиолдол гардаг. Тиймээс та нэмэлт тооцоо хийж болно, хоёр дахь алхам руу очно уу.
2. Хэрэв интеграцийн хязгаарыг тодорхой заагаагүй бол графикуудын огтлолцох цэгүүдийг олж, бидний график шийдэл аналитик шийдэлтэй давхцаж байгаа эсэхийг харна.
3. Дараа нь та зураг дээр дүн шинжилгээ хийх хэрэгтэй. Функцийн графикууд хэрхэн байрлаж байгаагаас хамааран зургийн талбайг олох янз бүрийн арга байдаг. Интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олох янз бүрийн жишээг авч үзье.
3.1.
Асуудлын хамгийн сонгодог бөгөөд энгийн хувилбар бол муруй трапецын талбайг олох шаардлагатай үед юм. Муруй трапец гэж юу вэ? Энэ нь x тэнхлэг (y = 0), шулуун шугамууд x = a, x = b ба а-аас b хүртэлх интервалд үргэлжилсэн аливаа муруйгаар хязгаарлагддаг хавтгай дүрс юм. Түүнээс гадна энэ үзүүлэлт нь сөрөг биш бөгөөд x тэнхлэгээс доогуур байрлана. Энэ тохиолдолд муруй шугаман трапецын талбай нь Ньютон-Лейбницийн томъёогоор тооцоолсон тодорхой интегралтай тэнцүү байна.Жишээ 1
y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Зураг ямар шугамаар хүрээлэгдсэн бэ? Бидэнд OX тэнхлэгээс дээгүүр байрлах y = x2 - 3x + 3 парабол байгаа бөгөөд энэ нь сөрөг биш, учир нь Энэ параболын бүх цэгүүд эерэг утгатай байна. Дараа нь x = 1 ба x = 3 шулуун шугамууд өгөгдсөн бөгөөд эдгээр нь op-amp-ийн тэнхлэгтэй параллель бөгөөд зүүн ба баруун талд байгаа зургийн хилийн шугам юм. За, у = 0, энэ нь мөн x тэнхлэг бөгөөд энэ нь зургийг доороос нь хязгаарладаг. Үр дүн нь сүүдэртэй, зүүн талын зургаас харж болно. Энэ тохиолдолд та асуудлыг даруй шийдэж болно. Бидний өмнө муруй трапецын энгийн жишээ байгаа бөгөөд дараа нь Ньютон-Лейбницийн томъёогоор шийддэг.
3.2.Өмнөх 3.1-д бид муруй трапецийг x тэнхлэгээс дээш байрлуулсан тохиолдолд судалж үзсэн. Функц нь x тэнхлэгийн доор оршдогоос бусад тохиолдолд асуудлын нөхцөл ижил байх тохиолдлыг авч үзье. Ньютон-Лейбницийн стандарт томьёонд хасах нь нэмэгддэг. Ийм асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар бид доор авч үзэх болно.
Энэ жишээнд бид OX тэнхлэгийн доороос үүссэн y = x2 + 6x + 2 парабол, x = -4, x = -1, y = 0 шулуун шугамууд байна. Энд y = 0 нь дээрээс хүссэн дүрсийг хязгаарладаг. x = -4 ба x = -1 шулуун шугамууд нь тодорхой интегралыг тооцоолох хил хязгаар юм. Дүрсийн талбайг олох асуудлыг шийдэх зарчим нь жишээний дугаар 1-тэй бараг бүрэн давхцаж байна. Ганц ялгаа нь өгөгдсөн функц эерэг биш, мөн [-4; -1]. Та эерэг биш гэж юу гэсэн үг вэ? Зургаас харахад өгөгдсөн х-ийн дотор байрлах дүрс нь зөвхөн "сөрөг" координатуудтай бөгөөд бид асуудлыг шийдвэрлэхдээ үүнийг харж, санаж байх ёстой. Бид Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан зургийн талбайг хайдаг, зөвхөн эхэнд хасах тэмдэгтэй.
Нийтлэл дуусаагүй байна.
Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэИнтеграл тооцооллын хэрэглээг авч үзье. Энэ хичээлээр бид ердийн бөгөөд хамгийн нийтлэг асуудал болох тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг хэрхэн тооцоолох талаар дүн шинжилгээ хийх болно. Эцэст нь, дээд математикийн утга учрыг хайж байгаа хүмүүс үүнийг олох болтугай. Та хэзээ ч мэдэхгүй. Бодит амьдрал дээр та энгийн функцуудыг ашиглан зуслангийн талбайг ойролцоогоор тооцоолж, тодорхой интеграл ашиглан түүний талбайг олох хэрэгтэй болно.
Материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд та дараахь зүйлийг хийх ёстой.
1) Тодорхой бус интегралыг ядаж дунд түвшинд ойлгох. Тиймээс дамми нар эхлээд "Үгүй" гэсэн хичээлтэй танилцах хэрэгтэй.
2) Ньютон-Лейбницийн томьёог хэрэглэж, тодорхой интегралыг тооцоолох чадвартай байх. Тодорхой интеграл хуудаснаас та тодорхой интегралтай халуун дотно найрсаг харилцаа тогтоож болно. Шийдлийн жишээ.
Үнэн хэрэгтээ дүрсийн талбайг олохын тулд тодорхойгүй ба тодорхой интегралын талаар тийм ч их мэдлэг хэрэггүй. "Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох" даалгавар нь үргэлж зураг зурахтай холбоотой байдаг тул таны зураг зурах мэдлэг, ур чадвар илүү тулгамдсан асуулт байх болно. Үүнтэй холбогдуулан үндсэн үндсэн функцүүдийн графикуудын тухай санах ойг сэргээх, хамгийн багаар бодоход шулуун шугам, парабол, гиперболыг бүтээх чадвартай байх нь ашигтай байдаг. Үүнийг арга зүйн материал, графикийн геометрийн хувиргалтын талаархи нийтлэлийн тусламжтайгаар хийж болно (олон хүмүүсийн хувьд энэ нь зайлшгүй шаардлагатай).
Ер нь тодорхой интеграл ашиглан талбайг олох даалгаврыг хүн бүр сургуулиасаа мэддэг байсан бөгөөд бид сургуулийн сургалтын хөтөлбөрөөс нэг их цааш явахгүй. Энэ нийтлэл огт байгаагүй байж болох ч 100 тохиолдлын 99-д нь оюутан үзэн яддаг сургуульд зовж, дээд математикийн хичээлийг урам зоригтойгоор эзэмшсэн тохиолдолд ийм асуудал гардаг.
Энэхүү семинарын материалыг энгийн, дэлгэрэнгүй, хамгийн бага онолоор танилцуулсан болно.
Муруй трапецаар эхэлцгээе.
Муруй трапец гэдэг нь тэнхлэг, шулуун шугамууд болон энэ интервал дээр тэмдэг өөрчлөгддөггүй сегмент дээр үргэлжилсэн функцийн графикаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм. Энэ зургийг байрлуулахыг зөвшөөрнө үү доогуур биш x тэнхлэг:
Дараа нь муруйн трапецын талбай нь тодорхой интегралтай тоогоор тэнцүү байна. Аливаа тодорхой интеграл (байгаа) нь маш сайн геометрийн утгатай. Хичээл дээр Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээ Би тодорхой интеграл бол тоо гэж хэлсэн. Одоо бас нэг хэрэгтэй баримтыг хэлэх цаг болжээ. Геометрийн үүднээс авч үзвэл тодорхой интеграл нь AREA юм.
Өөрөөр хэлбэл, тодорхой интеграл (хэрэв байгаа бол) геометрийн хувьд тодорхой дүрсийн талбайтай тохирч байна. Жишээлбэл, тодорхой интегралыг авч үзье. Интеграл нь тэнхлэгийн дээгүүр байрлах хавтгай дээрх муруйг тодорхойлдог (хүссэн хүмүүс зураг зурах боломжтой) бөгөөд тодорхой интеграл нь өөрөө харгалзах муруйн трапецын талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна.
Жишээ 1
Энэ бол даалгаврын ердийн мэдэгдэл юм. Шийдвэрийн эхний бөгөөд хамгийн чухал зүйл бол зураг зурах явдал юм. Түүнээс гадна зургийг ЗӨВ барьсан байх ёстой.
Зургийг бүтээхдээ би дараах дарааллыг хийхийг зөвлөж байна: эхлээд бүх шулуун шугамыг (хэрэв байгаа бол), зөвхөн дараа нь - парабол, гипербол болон бусад функцүүдийн графикийг барих нь дээр. Функцын графикийг цэгийн дагуу байгуулах нь илүү ашигтай байдаг. Тэнд та бидний хичээлд маш хэрэгтэй материалыг олж авах боломжтой - параболыг хэрхэн хурдан бүтээх вэ.
Энэ асуудлын шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно.
Зургийг зурцгаая (тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог болохыг анхаарна уу):
Би муруй трапецийг сүүдэрлэхгүй, бид ямар талбайн тухай ярьж байгаа нь тодорхой байна. Шийдэл дараах байдлаар үргэлжилнэ.
Сегмент дээр функцийн график нь тэнхлэгээс дээш байрладаг тул:
Хариулт:
Тодорхой интегралыг тооцоолох, Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэхэд бэрхшээлтэй хүмүүс 
, Тодорхой интеграл лекцээс үзнэ үү. Шийдлийн жишээ.
Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд бид зургийн эсийн тоог "нүдээр" тоолдог - 9 орчим байх болно, энэ нь үнэн юм шиг санагдаж байна. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэсэн хариултыг авсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь тодорхой байна, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн.
Жишээ 2
, , болон тэнхлэгүүдээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол
Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.
Хэрэв муруй трапец тэнхлэгийн доор байрладаг бол яах вэ?
Жишээ 3
Шугаман ба координатын тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.
Шийдэл: Зураг зурцгаая: 
Хэрэв муруй трапец нь тэнхлэгийн доор байрладаг бол (эсвэл дор хаяж өндөргүйөгөгдсөн тэнхлэг), дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.
Энэ тохиолдолд: 
Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:
1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.
2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая хэлэлцсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.
Практикт ихэнхдээ зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг тул сургуулийн хамгийн энгийн асуудлаас эхлээд илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилждэг.
Жишээ 4
, шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.
Шийдэл: Эхлээд та зургийг дуусгах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид талбайн асуудалд зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Парабола ба шулуун шугамын огтлолцох цэгүүдийг олъё. Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга нь аналитик юм. Бид тэгшитгэлийг шийддэг:
Интеграцийн доод хязгаар нь , дээд хязгаар нь .
Боломжтой бол энэ аргыг хэрэглэхгүй байх нь дээр.
Шугамыг цэгээр нь барих нь илүү ашигтай бөгөөд хурдан бөгөөд интеграцийн хязгаар нь "өөрөө" тодорхой болно. Төрөл бүрийн графикийг цэгэн байгуулах аргачлалын талаар "График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд" гэсэн туслах хэсэгт дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл нарийвчилсан бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог. Мөн бид ийм жишээг авч үзэх болно.
Даалгавар руугаа буцаж орцгооё: эхлээд шулуун шугам, дараа нь парабола барих нь илүү оновчтой юм. Зураг зурцгаая: 
Цэгцэн шугам барихдаа интеграцийн хязгаарыг ихэвчлэн "автоматаар" илрүүлдэг гэдгийг би давтан хэлье.
Одоо ажлын томьёо: Хэрэв сегмент дээрх зарим тасралтгүй функц нь зарим тасралтгүй функцээс их буюу тэнцүү байвал эдгээр функцуудын графикууд болон шулуун шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг дараах томъёогоор олж болно. 
Энд та зураг хаана байрлаж байгаа талаар бодох шаардлагагүй болсон - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор байгаа бөгөөд ойролцоогоор хэлэхэд аль график нь ӨНДӨР (өөр графиктай харьцуулахад), аль нь ДООР байх нь чухал юм.
Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байгаа тул үүнээс хасах шаардлагатай байна.
Дууссан шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно:
Хүссэн дүрс нь дээрх парабол, доор нь шулуун шугамаар хязгаарлагддаг.
Харгалзах томъёоны дагуу сегмент дээр:
Хариулт:
Үнэн хэрэгтээ доод хагас хавтгай дахь муруйн трапецын талбайн сургуулийн томъёо (энгийн жишээ № 3-ыг үзнэ үү) нь томьёоны онцгой тохиолдол юм. 
. Тэнхлэг нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог тул функцийн график байрладаг өндөргүйтэгвэл тэнхлэгүүд 
Одоо өөрийнхөө шийдлийн хэд хэдэн жишээ
Жишээ 5
Жишээ 6
, шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг ол.
Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолохтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд заримдаа инээдтэй тохиолдол гардаг. Зургийг зөв хийсэн, тооцоо зөв байсан ч анхаарал болгоомжгүй байдлаасаа болж... буруу зургийн талбай олдсон, таны даруухан үйлчлэгч хэд хэдэн удаа алдаа гаргасан. Энд бодит амьдрал дээр тохиолдсон тохиолдол байна:
Жишээ 7
, , , шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоол.
Шийдэл: Эхлээд зураг зуръя: 
...Өө, зураг нь онигоо болсон ч бүх зүйл гаргацтай байх шиг байна.
Бидний олох ёстой талбайг цэнхэр өнгөөр будсан байна (нөхцөл байдлыг анхааралтай ажиглаарай - зураг хэрхэн хязгаарлагдмал байна!). Гэвч практик дээр анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж ногоон өнгөөр сүүдэрлэсэн зургийн талбайг олох шаардлагатай "гажиг" ихэвчлэн гардаг!
Энэ жишээ нь хоёр тодорхой интеграл ашиглан зургийн талбайг тооцоолоход бас ашигтай юм. Үнэхээр:
1) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр шулуун шугамын график байна;
2) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр гиперболын график байна.
Талбайг нэмэх боломжтой (мөн байх ёстой) нь ойлгомжтой тул:
Хариулт:
Өөр нэг утга учиртай ажил руугаа орцгооё.
Жишээ 8
Шулуунаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоолох,
Тэгшитгэлүүдийг "сургууль" хэлбэрээр танилцуулж, цэг тус бүрээр нь зурцгаая. 
Зургаас харахад бидний дээд хязгаар "сайн": .
Гэхдээ доод хязгаар нь юу вэ?! Энэ бүхэл тоо биш гэдэг нь ойлгомжтой, гэхдээ энэ нь юу вэ? байж болох уу? Гэхдээ зургийг төгс нарийвчлалтай хийсэн гэсэн баталгаа хаана байна вэ, энэ нь магадгүй ... Эсвэл үндэс. Хэрэв бид графикийг буруу барьсан бол яах вэ?
Ийм тохиолдолд та нэмэлт цаг зарцуулж, аналитик байдлаар нэгтгэх хязгаарыг тодруулах хэрэгтэй.
Шулуун ба параболын огтлолцох цэгүүдийг олъё.
Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийг шийднэ. 
,
Үнэхээр, .
Цаашдын шийдэл нь өчүүхэн, гол зүйл бол орлуулалт, тэмдгүүдэд андуурч болохгүй;
Сегмент дээр 
, холбогдох томъёоны дагуу: 
Хариулт: 
За, хичээлээ дуусгахын тулд өөр хоёр хэцүү даалгаврыг авч үзье.
Жишээ 9
, , шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.
Шийдэл: Энэ дүрсийг зураг дээр дүрсэлцгээе. 
Хараал ид, би хуваарьт гарын үсэг зурахаа мартчихаж, уучлаарай, би зургийг дахин хийхийг хүсээгүй. Зурах өдөр биш товчхондоо өнөөдөр бол өдөр =)
Цэг бүрээр барихын тулд та синусоидын дүр төрхийг мэдэх хэрэгтэй (мөн ерөнхийдөө бүх үндсэн функцүүдийн графикийг мэдэх нь ашигтай байдаг), мөн синусын зарим утгыг дараахь хэсгээс олж болно. тригонометрийн хүснэгт. Зарим тохиолдолд (энэ тохиолдолд) бүдүүвч зураг зурах боломжтой бөгөөд үүн дээр график, интеграцийн хязгаарыг үндсэндээ зөв харуулах ёстой.
Энд нэгдмэл байдлын хязгаарт ямар ч асуудал байхгүй, тэд "x" нь тэгээс "pi" хүртэл өөрчлөгддөг. Цаашид шийдвэрээ гаргацгаая:
Сегмент дээр функцийн график нь тэнхлэгээс дээш байрладаг тул:
Вэбсайтад математикийн томъёог хэрхэн оруулах вэ?
Хэрэв та хэзээ нэгэн цагт вэб хуудсанд нэг юмуу хоёр математикийн томьёо нэмэх шаардлагатай бол үүнийг хийх хамгийн хялбар арга бол нийтлэлд дурдсанчлан: математикийн томъёог Wolfram Alpha-ийн автоматаар үүсгэсэн зураг хэлбэрээр сайтад хялбархан оруулдаг. . Энгийн байдлаас гадна энэ бүх нийтийн арга нь хайлтын системд сайтын харагдах байдлыг сайжруулахад тусална. Энэ нь удаан хугацаанд ажиллаж байгаа (мөн үүрд ажиллах болно гэж бодож байна), гэхдээ аль хэдийн ёс суртахууны хувьд хоцрогдсон.
Хэрэв та сайт дээрээ математикийн томьёо байнга ашигладаг бол MathML, LaTeX эсвэл ASCIIMathML тэмдэглэгээг ашиглан вэб хөтчүүдэд математик тэмдэглэгээг харуулдаг тусгай JavaScript номын сан болох MathJax-г ашиглахыг зөвлөж байна.
MathJax-г ашиглаж эхлэх хоёр арга бий: (1) энгийн код ашиглан та MathJax скриптийг өөрийн вэбсайт руу хурдан холбох боломжтой бөгөөд энэ нь зөв цагт алсын серверээс автоматаар ачаалагдах болно (серверүүдийн жагсаалт); (2) MathJax скриптийг алсын серверээс сервертээ татаж аваад сайтынхаа бүх хуудсанд холбоно уу. Хоёрдахь арга нь илүү төвөгтэй бөгөөд цаг хугацаа их шаарддаг - таны сайтын хуудсуудыг ачааллыг хурдасгах бөгөөд хэрэв эх MathJax сервер ямар нэг шалтгаанаар түр ажиллахгүй бол энэ нь таны сайтад ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй. Эдгээр давуу талуудыг үл харгалзан би илүү хялбар, хурдан бөгөөд техникийн ур чадвар шаарддаггүй тул эхний аргыг сонгосон. Миний жишээг дагаж, ердөө 5 минутын дотор та MathJax-ийн бүх боломжуудыг сайт дээрээ ашиглах боломжтой болно.
Та MathJax номын сангийн скриптийг алсын серверээс MathJax-ийн үндсэн вэбсайтаас эсвэл баримт бичгийн хуудаснаас авсан хоёр кодын сонголтыг ашиглан холбож болно.
Эдгээр кодын сонголтуудын аль нэгийг таны вэб хуудасны код руу хуулж, шошгоны хооронд болон шошгоны дараа шууд буулгах шаардлагатай. Эхний хувилбарын дагуу MathJax илүү хурдан ачаалж, хуудсыг бага удаашруулдаг. Гэхдээ хоёр дахь сонголт нь MathJax-ийн хамгийн сүүлийн хувилбаруудыг автоматаар хянаж, ачаалдаг. Хэрэв та эхний кодыг оруулбал үүнийг үе үе шинэчлэх шаардлагатай болно. Хэрэв та хоёр дахь кодыг оруулбал хуудаснууд илүү удаан ачаалах боловч MathJax-ийн шинэчлэлтийг байнга хянах шаардлагагүй болно.
MathJax-г холбох хамгийн хялбар арга бол Blogger эсвэл WordPress дээр: сайтын хяналтын самбарт гуравдагч этгээдийн JavaScript код оруулах зориулалттай виджет нэмж, дээр дурдсан татаж авах кодын эхний эсвэл хоёр дахь хувилбарыг хуулж, виджетийг ойртуулна уу. Загварын эхэнд (дашрамд хэлэхэд, энэ нь огт шаардлагагүй, учир нь MathJax скрипт асинхроноор ачаалагдсан байдаг). Ингээд л болоо. Одоо MathML, LaTeX, ASCIIMathML-ийн тэмдэглэгээний синтаксийг сурснаар та сайтынхаа вэб хуудсанд математикийн томьёо оруулахад бэлэн боллоо.
Аливаа фрактал нь тодорхой дүрмийн дагуу бүтээгдсэн бөгөөд үүнийг хязгааргүй олон удаа тогтмол хэрэглэдэг. Ийм цаг бүрийг давталт гэж нэрлэдэг.
Менгер хөвөнг бүтээх давталтын алгоритм нь маш энгийн: 1-р талтай анхны шоо нь нүүртэйгээ параллель хавтгайгаар хуваагдаж 27 тэнцүү шоо болж хуваагдана. Үүнээс нэг төв шоо, түүнтэй зэргэлдээх 6 кубыг нүүрний дагуу гаргаж авдаг. Үр дүн нь үлдсэн 20 жижиг шооноос бүрдсэн багц юм. Эдгээр шоо тус бүртэй ижил зүйлийг хийснээр бид 400 жижиг шооноос бүрдэх багцыг авна. Энэ үйл явцыг эцэс төгсгөлгүй үргэлжлүүлснээр бид Menger хөвөн авдаг.
