Комбинаторикийн асуудлууд. Шийдлийн жишээ

Комбинаторик бол дээд математикийн бие даасан салбар (тэрверийн нэг хэсэг биш) бөгөөд энэ чиглэлээр нэлээд жинтэй сурах бичгүүдийг бичсэн бөгөөд агуулга нь заримдаа хийсвэр алгебраас хялбар байдаггүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Гэсэн хэдий ч онолын мэдлэгийн багахан хэсэг нь бидэнд хангалттай байх бөгөөд энэ нийтлэлд би сэдвийн үндсийг ердийн комбинаторын асуудлуудтай хялбар хэлбэрээр шинжлэхийг хичээх болно. Та нарын олонхи нь надад туслах болно ;-)

Бид юу хийх гэж байна? Нарийн утгаараа комбинаторик гэдэг нь тодорхой багцаас хийж болох янз бүрийн хослолуудын тооцоо юм. салангидобъектууд. Объектууд нь хүн, амьтан, мөөг, ургамал, шавьж гэх мэт тусгаарлагдсан биет эсвэл амьд биетийг ойлгодог. Үүний зэрэгцээ, иж бүрдэл нь манна будаа, гагнуурын төмөр, намаг мэлхий зэргээс бүрдэхийг комбинаторик огт тоодоггүй. Эдгээр объектуудыг тоолж болох нь үндсэндээ чухал юм - тэдгээрийн гурав нь байдаг (салангид байдал)Хамгийн гол нь тэдгээрийн аль нь ч адилхан биш юм.

Бид одоо хослолуудын талаар маш их зүйлийг авч үзсэн. Хослолын хамгийн түгээмэл төрлүүд нь объектуудын сэлгэн залгалт, тэдгээрийг багцаас сонгох (хослол) ба хуваарилалт (байршуулах) юм. Энэ нь яг одоо хэрхэн болж байгааг харцгаая:

Дахин давтагдахгүйгээр солих, хослол, байршуулалт

Тодорхой бус нэр томъёоноос бүү ай, ялангуяа тэдгээрийн зарим нь үнэхээр тийм ч сайн биш байдаг. Гарчгийн сүүлээс эхэлье - юу хийдэг вэ? давталт байхгүй"? Энэ нь энэ хэсэгт бид бүрдсэн багцуудыг авч үзэх болно гэсэн үг юм янз бүрийнобъектууд. Жишээ нь, ... үгүй ​​ээ, би гагнуур, мэлхийтэй будаа өгөхгүй, илүү амттай зүйл байсан нь дээр байх болно =) Алим, лийр, гадил жимсний урд талын ширээн дээр болсон гэж төсөөлөөд үз дээ ( Хэрэв танд байгаа бол нөхцөл байдлыг бодит байдалд дуурайж болно). Бид жимсээ зүүнээс баруун тийш дараах дарааллаар байрлуулна.

алим / лийр / банана

Асуулт нэг: Тэдгээрийг хэдэн аргаар дахин зохион байгуулж болох вэ?

Нэг хослолыг дээр аль хэдийн бичсэн байгаа бөгөөд бусадтай холбоотой ямар ч асуудал байхгүй:

алим / банана / лийр
лийр / алим / банана
лийр / банана / алим
гадил / алим / лийр
гадил / лийр / алим

Нийт: 6 хослол эсвэл 6 орлуулалт.

За, боломжтой бүх тохиолдлыг жагсаахад хэцүү байсангүй, гэхдээ илүү олон объект байвал яах вэ? Дөрвөн өөр жимстэй бол хослолын тоо мэдэгдэхүйц нэмэгдэх болно!

Лавлах материалыг нээнэ үү (гарын авлагыг хэвлэхэд тохиромжтой) 2-р цэгт сэлгэлтийн тооны томьёог ол.

Ямар ч төвөг учруулахгүй - 3 объектыг янз бүрийн аргаар дахин зохион байгуулж болно.

Хоёр дахь асуулт: Та a) нэг жимс, б) хоёр жимс, в) гурван жимс, г) ядаж нэг жимс сонгох боломжтой юу?

Яагаад сонгох вэ? Тиймээс бид өмнөх цэг дээр хоолны дуршилыг нэмэгдүүлсэн - идэхийн тулд! =)

a) Нэг жимсийг гурван аргаар сонгож болно - алим, лийр, гадил жимсний аль нэгийг авна. Албан ёсны тооцоог заасны дагуу хийж байна хослолын тооны томъёо:

Энэ тохиолдолд оруулгыг дараах байдлаар ойлгох ёстой: "Та гурваас 1 жимсийг хэдэн аргаар сонгож болох вэ?"

б) Хоёр жимсний боломжит бүх хослолыг жагсаая.

алим, лийр;
алим, банана;
лийр ба банана.

Хослолын тоог ижил томъёогоор хялбархан шалгаж болно.

Бичлэгийг үүнтэй төстэй байдлаар ойлгож байна: "Та гурваас 2 жимсийг хэдэн аргаар сонгож болох вэ?"

в) Эцэст нь гурван жимс сонгох ганцхан арга бий:

Дашрамд хэлэхэд, хослолын тооны томъёо нь хоосон дээжийн хувьд утга учиртай хэвээр байна.
Ийм байдлаар та ганц ч жимс сонгох боломжгүй - үнэндээ юу ч авахгүй, тэгээд л болоо.

г) Та хэдэн аргаар авч болох вэ? ядаж нэгжимс? "Ядаж нэг" гэсэн нөхцөл нь бид 1 жимс (ямар ч) эсвэл 2 жимс эсвэл бүх 3 жимсэнд сэтгэл хангалуун байна гэсэн үг юм.
Эдгээр аргуудыг ашиглан та дор хаяж нэг жимс сонгож болно.

Танилцуулгын хичээлийг сайтар судалсан уншигчид магадлалын онол, бид аль хэдийн ямар нэг зүйлийг таамагласан. Гэхдээ нэмэх тэмдгийн утгын талаар дараа нь илүү ихийг хэлье.

Дараагийн асуултанд хариулахын тулд надад хоёр сайн дурын ажилтан хэрэгтэй байна... ...Хэн ч хүсэхгүй байгаа бол би чамайг удирдах зөвлөлд дуудъя =)

Гурав дахь асуулт: Даша, Наташа хоёрт нэг жимсийг хэдэн аргаар тарааж чадах вэ?

Хоёр жимс тараахын тулд эхлээд тэдгээрийг сонгох хэрэгтэй. Өмнөх асуултын "be" гэсэн догол мөрийн дагуу үүнийг янз бүрийн аргаар хийж болно, би тэдгээрийг дахин бичих болно:

алим, лийр;
алим, банана;
лийр ба банана.

Харин одоо хоёр дахин олон хослол байх болно. Жишээлбэл, эхний хос жимсийг авч үзье.
Та Дашаг алимаар, Наташаг лийрээр эмчилж болно;
эсвэл эсрэгээр - Даша лийр, Наташа алим авах болно.

Мөн ийм сэлгэлт нь хос жимс бүрийн хувьд боломжтой байдаг.

Бүжигт явсан оюутны бүлгийг авч үзье. Хүү, охин хоёрыг хэдэн янзаар хослуулж болох вэ?

Та 1 залууг сонгох арга замаар;
1 охиныг сонгох арга замууд.

Ингээд нэг залуу ТэгээдТа нэг охиныг сонгож болно: арга замууд.

Багц бүрээс 1 объект сонгогдсон тохиолдолд хослолыг тоолох дараах зарчим хүчинтэй байна: " бүрнэг багцаас объект хос үүсгэж болно хүн бүртэйөөр олонлогийн объект."

Өөрөөр хэлбэл, Олег 13 охины аль нэгийг бүжигт урьж болно, Евгений арван гурван охины аль нэгийг нь урьж болно, бусад залуучууд ижил төстэй сонголттой. Нийт: боломжит хосууд.

Энэ жишээнд хос үүссэн "түүх" нь хамаагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй; Гэсэн хэдий ч хэрэв бид санаачлагыг харгалзан үзвэл 13 охин бүр ямар ч хөвгүүнийг бүжигт урих боломжтой тул хослолын тоог хоёр дахин нэмэгдүүлэх шаардлагатай. Энэ бүхэн тодорхой ажлын нөхцлөөс хамаарна!

Үүнтэй төстэй зарчим нь илүү төвөгтэй хослолуудад хүчинтэй байдаг, жишээлбэл: хоёр залуу эрэгтэйг хэдэн аргаар сонгож болох вэ? Тэгээдхоёр охин КВН-д оролцох уу?

Холбоо БАхослолыг үржүүлэх шаардлагатайг тодорхой харуулж байна:

Уран бүтээлчдийн боломжит бүлгүүд.

Өөрөөр хэлбэл, тус бүрхос хөвгүүд (45 өвөрмөц хос) хамтран тоглох боломжтой ямар чхос охид (78 өвөрмөц хос). Хэрэв бид оролцогчдын хоорондох үүргийн хуваарилалтыг авч үзвэл бүр илүү олон хослол байх болно. ...Үнэхээр хүсч байна, гэхдээ би чамайг оюутны амьдралд дургүй болгохгүйн тулд үргэлжлүүлэхээс татгалзах болно =).

Хослолыг үржүүлэх дүрэм нь илүү олон тооны үржүүлэгчид хамаарна.

Асуудал 8

5-д хуваагддаг гурван оронтой тоо хэд вэ?

Шийдэл: тодорхой болгохын тулд энэ тоог гурван одоор тэмдэглэе: ***

IN зуу зуун газарТа аль ч тоог (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 эсвэл 9) бичиж болно. Тэг нь тохиромжгүй, учир нь энэ тохиолдолд тоо гурван оронтой байхаа больсон.

Гэхдээ дотор аравтын байр(дунд хэсэгт) та 10 цифрээс аль нэгийг нь сонгож болно: .

Нөхцөлийн дагуу тоо нь 5-д хуваагдах ёстой. 5 эсвэл 0-ээр төгссөн тоо 5-д хуваагдана. Тиймээс бид хамгийн бага ач холбогдол бүхий оронтой 2 цифрийг хангасан байна.

Нийтдээ байгаа: 5-д хуваагддаг гурван оронтой тоо.

Энэ тохиолдолд уг ажлыг дараах байдлаар тайлсан болно: "Та тоог сонгох 9 арга зуу зуун газар ТэгээдТоо сонгох 10 арга аравтын байр Тэгээд 2 арга зам нэгжийн цифр»

Эсвэл бүр энгийн: " тус бүр 9 цифрээс зуу зуун газарнэгтгэдэг тус бүртэй 10 оронтой аравтын байр мөн тус бүртэйхоёр оронтой тооноос нэгжийн цифр».

Хариулах: 180

Тэгээд одоо...

Тиймээ, Бор, Дима, Володя нарт тус бүр нэг картыг өөр өөр аргаар тарааж болох 5-р асуудлын амласан тайлбарыг би бараг мартсан. Энд үржүүлэх нь ижил утгатай: тавцангаас 3 картыг арилгах арга замууд БА тус бүртдээжийг арга замаар дахин зохион байгуул.

Одоо өөрийнхөөрөө шийдэх асуудал байна... одоо би илүү сонирхолтой зүйл гаргах болно... энэ нь блэк-ийн орос хувилбартай адил байх болтугай:

Асуудал 9

"Цэг" тоглоход 2 картын хэдэн ялалтын хослол байдаг вэ?

Мэдэхгүй хүмүүсийн хувьд: ялалтын хослол нь 10 + ACE (11 оноо) = 21 оноо бөгөөд хоёр хөзрийн ялалтын хослолыг авч үзье.

(ямар ч хос дахь картуудын дараалал хамаагүй)

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт.

Дашрамд хэлэхэд, жишээг анхдагч гэж үзэх хэрэггүй. Блэкжак бол казиног ялах боломжийг олгодог математикт суурилсан алгоритмтай бараг цорын ганц тоглоом юм. Сонирхсон хүмүүс оновчтой стратеги, тактикийн талаар маш их мэдээлэл олж авах боломжтой. Үнэн, ийм мастерууд бүх байгууллагын хар жагсаалтад маш хурдан ордог =)

Хэд хэдэн хатуу даалгавраар бүрхэгдсэн материалыг нэгтгэх цаг болжээ.

Асуудал 10

Вася гэртээ 4 мууртай.

а) муурыг өрөөний буланд хэдэн янзаар суулгаж болох вэ?
б) муурыг хэдэн аргаар зугаалж болох вэ?
в) Вася хэдэн аргаар хоёр муур (нэг нь зүүн талд, нөгөө нь баруун талд) авч чадах вэ?

Шийдье: Нэгдүгээрт, та асуудалтай холбоотой гэдгийг дахин анхаарах хэрэгтэй өөробъектууд (муур нь адилхан ихрүүд байсан ч гэсэн). Энэ бол маш чухал нөхцөл юм!

a) Муурны чимээгүй байдал. Энэхүү гүйцэтгэлийн дагуу бүх муурыг нэг дор
+ тэдний байршил чухал тул энд сэлгэлтүүд байна:
Эдгээр аргуудыг ашиглан муурыг өрөөний буланд байрлуулж болно.

Сэлгээ хийхдээ зөвхөн өөр өөр объектуудын тоо, тэдгээрийн харьцангуй байрлал чухал гэдгийг би давтан хэлье. Васягийн сэтгэлийн байдлаас хамааран тэрээр амьтдыг буйдан дээр хагас тойрог хэлбэрээр, цонхны тавцан дээр дараалан суулгаж болно. - бүх тохиолдолд 24 солих байх болно, сонирхолтой хүмүүс муурыг олон өнгийн (жишээлбэл, цагаан, хар, улаан, tabby) гэж төсөөлж, бүх боломжит хослолуудыг жагсааж болно.

б) Та муурыг хэдэн аргаар зугаалж болох вэ?

Муурууд зөвхөн хаалгаар зугаалдаг гэж үздэг бөгөөд асуулт нь амьтдын тоонд хайхрамжгүй ханддаг - 1, 2, 3 эсвэл бүх 4 муур зугаалж болно.

Бид бүх боломжит хослолуудыг тооцдог.

Эдгээр арга замаар та нэг муурыг (дөрвийн аль нэгийг) зугаалахыг зөвшөөрч болно;
хоёр муурыг зугаалах арга замууд (сонголтуудыг өөрөө жагсаах);
гурван муурыг зугаалахаар явуулах боломжтой (дөрвийн нэг нь гэртээ суудаг);
Ингэснээр та бүх муурыг суллаж чадна.

Үр дүнгийн утгыг нэгтгэн дүгнэх ёстой гэж та таамагласан байх.
муурыг зугаалгаар явуулах арга замууд.

Сонирхогчдын хувьд би асуудлын төвөгтэй хувилбарыг санал болгож байна - ямар ч дээжийн муур 10-р давхрын хаалга, цонхоор санамсаргүй байдлаар гадаа гарах боломжтой. Хослолууд мэдэгдэхүйц нэмэгдэх болно!

в) Вася хоёр муурыг хэдэн аргаар авах вэ?

Нөхцөл байдал нь зөвхөн 2 амьтныг сонгохоос гадна тэдгээрийг гар тус бүрт байрлуулах явдал юм.
Эдгээр аргаар та 2 муур авах боломжтой.

Хоёрдахь шийдэл: та аргуудыг ашиглан хоёр муур сонгож болно Тэгээдтарих арга замууд бүргарт байгаа хос:

Хариулах: a) 24, б) 15, в) 12

За, ухамсраа цэвэрлэхийн тулд хослолыг үржүүлэх талаар илүү тодорхой зүйл ... Васяг нэмж 5 мууртай болгоё =) 2 муурыг хэдэн янзаар зугаалуулж болох вэ? Тэгээд 1 муур?

Энэ нь хамт тус бүрхэд хэдэн муурыг суллаж болно бүрмуур.

Бие даасан шийдэлд зориулсан өөр нэг товчлуурын баян хуур:

Асуудал 11

Гурван зорчигч 12 давхар барилгын цахилгаан шатанд суусан байна. Хүн бүр бусдаас үл хамааран аль ч (2-р давхраас эхлэн) ижил магадлалтайгаар гарч болно. Хэдэн аргаар:

1) зорчигчид нэг давхарт бууж болно (гарах дараалал хамаагүй);
2) хоёр хүн нэг давхарт, гурав дахь нь нөгөө давхарт бууж болно;
3) хүмүүс өөр өөр давхарт гарах боломжтой;
4) зорчигчид цахилгаан шатнаас гарах боломжтой юу?

Энд тэд дахин асуудаг, би тодруулж байна: хэрэв нэг давхарт 2 эсвэл 3 хүн гарах юм бол гарах дараалал хамаагүй. БОДОХ, хослолыг нэмэх/үржүүлэхэд томьёо, дүрмийг ашигла. Хүндрэл гарсан тохиолдолд зорчигчид нэрээ хэлж, ямар хослолоор лифтнээс гарах боломжтойг таамаглах нь ашигтай байдаг. Хэрэв ямар нэг зүйл болохгүй бол бухимдах шаардлагагүй, жишээлбэл, 2-р цэг нь маш нууцлаг юм.

Хичээлийн төгсгөлд дэлгэрэнгүй тайлбар бүхий бүрэн шийдэл.

Төгсгөлийн догол мөр нь ихэвчлэн тохиолддог хослолуудад зориулагдсан болно - миний субъектив үнэлгээний дагуу комбинаторын асуудлуудын ойролцоогоор 20-30% -д:

Сэлгээ, хослол, давталттай байршуулалт

Жагсаалтад орсон хослолуудын төрлийг лавлах материалын 5-р зүйлд тусгасан болно Комбинаторикийн үндсэн томъёо, гэхдээ тэдгээрийн зарим нь эхний уншлагад тийм ч тодорхой биш байж магадгүй юм. Энэ тохиолдолд эхлээд практик жишээнүүдтэй танилцаж, дараа нь ерөнхий томъёоллыг ойлгохыг зөвлөж байна. Явцгаая:

Дахин давтагдах өөрчлөлтүүд

"Энгийн" солихтой адил давталттай сэлгэн залгалтуудад, бүх олон объектыг нэг дор, гэхдээ нэг зүйл бий: энэ багцад нэг буюу хэд хэдэн элемент (объект) давтагдана. Дараагийн стандартыг хангана уу:

Асуудал 12

K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K гэсэн үсгүүдтэй картуудыг өөрчилснөөр хэдэн өөр үсгийн хослол авах боломжтой вэ?

Шийдэл: Хэрэв бүх үсгүүд өөр байсан бол өчүүхэн томьёог ашиглах ёстой, гэхдээ санал болгож буй картуудын хувьд зарим заль мэх "сул зогсолтгүй" ажиллах нь тодорхой байна, жишээлбэл, хэрэв та хоёр картыг сольж байвал. Ямар ч үгэнд "K" үсгүүд ижил үгтэй болно. Түүнээс гадна, бие махбодийн хувьд картууд нь маш өөр байж болно: нэг нь "K" үсэгтэй дугуй хэлбэртэй, нөгөө нь "K" үсэг зурсан дөрвөлжин хэлбэртэй байж болно. Гэхдээ даалгаварын утгын дагуу ийм картууд ч гэсэн адилхан гэж үздэг, нөхцөл нь үсгийн хослолын талаар асуудаг тул.

Бүх зүйл маш энгийн - ердөө 11 карт, түүний дотор захидал:

K - 3 удаа давтана;
O - 3 удаа давтана;
L - 2 удаа давтана;
b - 1 удаа давтана;
H - 1 удаа давтагдсан;
Мөн - 1 удаа давтана.

Шалгах: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, энэ нь шалгах шаардлагатай зүйл юм.

Томъёоны дагуу давталттай солих тоо:
янз бүрийн үсгийн хослолыг авч болно. Хагас сая гаруй!

Том хүчин зүйлийн утгыг хурдан тооцоолохын тулд Excel-ийн стандарт функцийг ашиглахад тохиромжтой: дурын нүд рүү оруулна уу =БОДИТ(11)болон дарна уу Оруулна уу.

Практикт ерөнхий томьёог бичихгүй байх, үүнээс гадна нэгж хүчин зүйлийг орхих нь бүрэн зөвшөөрөгддөг.

Гэхдээ давтагдсан захидлын талаархи урьдчилсан тайлбар шаардлагатай!

Хариулах: 554400

Давталттай солих өөр нэг ердийн жишээ нь агуулахаас олж болох шатрын чулуу байрлуулах асуудалд тохиолддог. бэлэн шийдлүүдхаргалзах pdf-д. Бие даасан шийдлийн хувьд би арай бага томъёололтой даалгавар гаргаж ирэв.

Асуудал 13

Алексей спортоор хичээллэдэг бөгөөд долоо хоногт 4 өдөр - хөнгөн атлетик, 2 өдөр - хүч чадлын дасгал, 1 өдөр амардаг. Тэр өөртөө долоо хоногийн хуваарийг хэдэн аргаар гаргаж чадах вэ?

Энэ томьёо энд ажиллахгүй, учир нь энэ нь санамсаргүй солилцоог (жишээлбэл, Лхагва гарагийн хүч чадлын дасгалыг Пүрэв гарагийн хүчний дасгалуудтай солих) харгалзан үздэг. Дахин хэлэхэд - үнэндээ ижил 2 хүч чадлын бэлтгэл нь бие биенээсээ эрс ялгаатай байж болох ч даалгаврын хүрээнд (хуваарийн үүднээс) тэдгээрийг ижил элементүүд гэж үздэг.

Хичээлийн төгсгөлд хоёр мөрийн шийдэл, хариулт.

Давталттай хослолууд

Энэ төрлийн хослолын онцлог шинж чанар нь дээжийг хэд хэдэн бүлгээс авсан бөгөөд тус бүр нь ижил объектуудаас бүрддэг.

Өнөөдөр бүгд шаргуу ажилласан тул өөрийгөө сэргээх цаг болжээ.

Асуудал 14

Оюутны гуанз нь зуурмаг, бяслагны бялуу, пончикоор хийсэн хиам зардаг. Та таван бялууг хэдэн аргаар худалдаж авах вэ?

Шийдэл: давталттай хослуулах ердийн шалгуурыг нэн даруй анхаарч үзээрэй - нөхцөл байдлын дагуу энэ нь сонгоход санал болгож буй объектуудын багц биш, харин янз бүрийн төрөлобъект; худалдаанд дор хаяж таван хот-дог, 5 cheesecakes, 5 пончик байдаг гэж таамаглаж байна. Бүлэг тус бүрийн бялуу нь мэдээжийн хэрэг өөр өөр байдаг - учир нь яг ижилхэн гурилан бүтээгдэхүүнийг зөвхөн компьютер дээр дуурайлган хийх боломжтой =) Гэсэн хэдий ч бялууны физик шинж чанар нь асуудлын зорилгод тийм ч чухал биш бөгөөд халуун нохой / cheesecakes / Тэдний бүлгүүд дэх гурилан бүтээгдэхүүн нь адилхан гэж тооцогддог.

Түүвэрт юу байж болох вэ? Юуны өмнө түүвэрт яг ижил бялуу байх болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй (Бид 5 ширхэгийг сонгож байгаа бөгөөд 3 төрлийн сонголттой байдаг). Энд амт болгоны сонголтууд байдаг: 5 хот-дог, 5 cheesecakes, 5 пончик, 3 хот-дог + 2 cheesecakes, 1 хот-дог + 2 cheesecakes + 2 пончик гэх мэт.

"Ердийн" хослолуудын нэгэн адил бялууг сонгох, байрлуулах дараалал нь хамаагүй - та ердөө 5 ширхэгийг сонгоод л болоо.

Бид томъёог ашигладаг давталттай хослолын тоо:
Та энэ аргыг ашиглан 5 бялуу худалдаж авах боломжтой.

Хоолны дуршил!

Хариулах: 21

Комбинаторын олон бодлогоос ямар дүгнэлт хийж болох вэ?

Заримдаа хамгийн хэцүү зүйл бол нөхцөл байдлыг ойлгох явдал юм.

Бие даасан шийдлийн ижил төстэй жишээ:

Асуудал 15

Түрийвч нь нэлээд олон тооны 1, 2, 5, 10 рублийн зоос агуулдаг. Түрийвчнээс гурван зоосыг хэдэн аргаар гаргаж болох вэ?

Өөрийгөө хянахын тулд хэд хэдэн энгийн асуултанд хариулна уу:

1) Дээж дэх бүх зоос өөр байж болох уу?
2) Зоосны "хамгийн хямд", хамгийн "үнэтэй" хослолыг нэрлэ.

Хичээлийн төгсгөлд шийдэл ба хариултууд.

Миний хувийн туршлагаас харахад давталттай хослолууд нь практикт хамгийн ховор зочин гэдгийг би хэлж чадна, үүнийг дараах төрлийн хослолуудын талаар хэлэх боломжгүй юм.

Давталт бүхий байрлалууд

Элементүүдээс бүрдсэн олонлогоос элементүүдийг сонгох ба сонголт бүрийн элементүүдийн дараалал чухал байдаг. Бүх зүйл сайхан байх болно, гэхдээ бид анхны багцын дурын объектыг хүссэн хэмжээгээрээ сонгож болно гэсэн гэнэтийн хошигнол юм. Дүрслэлээр хэлбэл, “олон цөөрөхгүй”.

Энэ хэзээ тохиолддог вэ? Ердийн жишээ бол хэд хэдэн диск бүхий хосолсон түгжээ боловч технологийн хөгжлийн улмаас түүний дижитал удамшлыг авч үзэх нь илүү хамааралтай юм.

Асуудал 16

Хэдэн дөрвөн оронтой ПИН код байдаг вэ?

Шийдэл: үнэндээ асуудлыг шийдэхийн тулд комбинаторикийн дүрмийн мэдлэг хангалттай: ПИН кодын эхний цифрийг сонгох боломжтой. Тэгээдарга замууд - ПИН кодын хоёр дахь цифр Тэгээдолон талаараа - гуравдугаарт Тэгээдижил тоо - дөрөв дэх. Тиймээс хослолыг үржүүлэх дүрмийн дагуу дөрвөн оронтой пин кодыг дараах байдлаар бүрдүүлж болно.

Тэгээд одоо томъёог ашиглаж байна. Нөхцөлийн дагуу бидэнд дугаарыг санал болгож, тэдгээрээс дугаарыг сонгож, цэгцэлдэг тодорхой дарааллаар, харин түүвэр дэх тоонууд давтагдаж болно (өөрөөр хэлбэл эх олонлогийн аль ч цифрийг дурын хэдэн удаа ашиглаж болно). Дахин давтагдах байршлын тооны томъёоны дагуу:

Хариулах: 10000

Энд юу бодогддог вэ... ... АТМ гурав дахь удаагаа ПИН код оруулах оролдлого бүтэлгүйтсэний дараа картыг "идсэн" бол санамсаргүй байдлаар авах магадлал маш бага байдаг.

Комбинаторик нь практик утгагүй гэж хэн хэлсэн бэ? Сайтын бүх уншигчдад зориулсан танин мэдэхүйн даалгавар:

Асуудал 17

Улсын стандартын дагуу автомашины улсын дугаар нь 3 тоо, 3 үсгээс бүрдэнэ. Энэ тохиолдолд гурван тэгтэй тоог хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй бөгөөд үсгийг A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X багцаас сонгоно. (зөвхөн кирилл үсэг нь латин үсэгтэй давхцаж байгаа үсгийг ашигладаг).

Тухайн бүс нутагт хэдэн өөр улсын дугаар үүсгэж болох вэ?

Дашрамд хэлэхэд тэд тийм ч олон биш. Томоохон бүс нутагт ийм тоо хэмжээ хангалтгүй байдаг тул тэдний хувьд RUS бичээсийн хэд хэдэн код байдаг.

Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна. Комбинаторикийн дүрмийг ашиглахаа бүү мартаарай ;-) ...Би онцгой зүйл гэдгийг харуулахыг хүссэн боловч онцгой биш байсан =) Би Википедиа руу харлаа - тайлбаргүй ч гэсэн тооцоолол байдаг. Хэдийгээр боловсролын зорилгоор үүнийг цөөхөн хүн шийдсэн байх.

Бидний сэтгэл хөдөлгөм хичээл дуусч, эцэст нь би та цагаа дэмий үрээгүй гэдгийг хэлмээр байна - учир нь комбинаторикийн томъёо нь өөр нэг чухал практик хэрэглээг олж авдаг: тэдгээр нь янз бүрийн асуудлуудад байдаг. магадлалын онол,
болон дотор магадлалын сонгодог тодорхойлолттой холбоотой асуудлууд- ялангуяа ихэвчлэн =)

Идэвхтэй оролцсон та бүхэндээ баярлалаа, удахгүй уулзацгаая!

Шийдэл ба хариултууд:

Даалгавар 2: Шийдэл: 4 картын бүх боломжит шилжүүлгийн тоог ол:

Тэгтэй картыг 1-р байранд байрлуулахад тоо нь гурван оронтой болох тул эдгээр хослолыг хасах хэрэгтэй. Тэгийг 1-р байранд оруулаарай, дараа нь доод цифрүүдийн үлдсэн 3 цифрийг янз бүрийн аргаар дахин байрлуулж болно.

Анхаарна уу : учир нь Цөөн хэдэн карт байгаа тул энд бүх сонголтыг жагсаахад хялбар байдаг:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Тиймээс, санал болгож буй багцаас бид дараахь зүйлийг хийж болно.
24 – 6 = 18 дөрвөн оронтой тоо
Хариулах : 18

Даалгавар 4: Шийдэл: арга замаар та 36 картаас 3 карт сонгох боломжтой.
Хариулах : 7140

Даалгавар 6: Шийдэл: арга замууд.
Өөр нэг шийдэл : бүлгээс хоёр хүнийг сонгох арга замууд болон
2) "Хамгийн хямд" багц нь 3 рублийн зоос, хамгийн "үнэтэй" нь 3 арван рублийн зоос агуулдаг.

Асуудал 17: Шийдэл: Эдгээр аргуудыг ашиглан та машины дугаарын дижитал хослолыг үүсгэж болох бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг (000) хасах хэрэгтэй: .
Эдгээр аргуудыг ашиглан та автомашины дугаарын үсгийн хослолыг үүсгэж болно.
Үржүүлэх хослолын дүрмийн дагуу нийт дүнг гаргаж болно.
машины дугаар
(тус бүрдижитал хослолыг хослуулсан тус бүртэйүсгийн хослол).
Хариулах : 1726272

2017-2018 Математикийн сургалтын ажил 11-р анги

Сонголт 2 (үндсэн)

Даалгавар бүрийн хариулт нь эцсийн аравтын бутархай, бүхэл тоо эсвэл тооны дараалал юм. Ажлын текстийн хариултын талбарт даалгавруудын хариултыг бичиж, дараа нь холбогдох даалгаврын дугаарын баруун талд байгаа 1-р хариултын маягт руу шилжүүлнэ. Хэрэв хариулт нь тоонуудын дараалал байвал 1-р хариултын маягтанд энэ дарааллыг бичнэ үүхоосон зай, таслал болон бусад нэмэлт тэмдэгт байхгүй. Тоо, хасах тэмдэг, таслал бүрийг тусдаа хайрцагт бичнэ. Хэмжилтийн нэгжийг бичих шаардлагагүй.

1

Хариулт: _________________.

2 . Илэрхийллийн утгыг ол:

Хариулт: _________________.

3 . Сургуулийн хувьд нийт сурагчдын 51 хувийг охид эзэлдэг. Энэ сургуульд хөвгүүдийнхээс 8-аар илүү бол хэдэн охин байдаг вэ?

Хариулт: _________________.

4 . Гурван тооны гармоник дундажА , б Тэгээд-тай, томъёогоор тооцоолно Тоонуудын гармоник дундажийг ол

Хариулт: _________________.

5. Тооцоолох:

Хариулт: _________________.

6 . Институтын эрэгтэйчүүдийн дотуур байранд нэг өрөөнд гурваас илүүгүй хүн байрлуулах боломжтой. Хотоос гадуурх 79 оюутныг багтаахын тулд хамгийн бага өрөөнд хэдэн өрөө шаардлагатай вэ?

Хариулт: _________________.

7 .Тэгшитгэлийн язгуурыг ол

Хариулт: _________________.

8 . Орон сууц нь хоёр өрөө, гал тогоо, коридор, угаалгын өрөөнөөс бүрдэнэ (зураг харна уу). Эхний өрөөний хэмжээ 4 м 4 м, хоёр дахь өрөө нь 4 м 3,5 м, гал тогооны өрөөний хэмжээ 4 м х 3,5 м, угаалгын өрөө нь 1,5 м х 2 м хэмжээтэй коридорын талбайг ол. Хариултаа квадрат метрээр өгнө үү.

Хариулт: _________________.

9 . Хэмжигдэхүүн ба тэдгээрийн боломжит утгуудын хоорондын захидал харилцааг тогтооно: эхний баганын элемент бүрийн хувьд хоёр дахь баганаас харгалзах элементийг сонгоно.

ҮНЭ ЦЭНЭ ҮНЭ ЦЭНЭ

A) цээжний шүүгээний хэмжээ 1) 0.75 л

B) Каспийн тэнгис дэх усны хэмжээ 2) 78200 км 3

C) ryazhenka багцын эзэлхүүн 3) 96 л

D) төмөр замын вагоны эзэлхүүн 4) 90 м 3

Хүснэгтэнд утгад тохирох үсэг бүрийн доор түүний боломжит утгын тоог заана уу.

Хариулт:

10 . Орос хэлний олимпиадад оролцогчид гурван үзэгчдийн суудалд суудаг. Эхний хоёрт тус бүр 130 хүн байгаа бол үлдсэнийг нь өөр байрны нөөц танхимд аваачдаг. Тооцоолоход нийт 400 гаруй оролцогч байсан. Санамсаргүй түүврийн аргаар сонгогдсон оролцогч чөлөөт ангид уралдаан бичсэн байх магадлалыг ол.

Хариулт: _________________.

11 . Зураг дээр гурван өдрийн турш тодорхой хотод атмосферийн даралтын утгын графикийг харуулав. Долоо хоногийн өдрүүд, цагийг хэвтээ байдлаар, атмосферийн даралтын утгыг мөнгөн усны миллиметрээр босоо байдлаар зааж өгсөн болно. Лхагва гаригийн 12 цагт атмосферийн даралтыг ол. Хариултаа мөнгөн усны миллиметрээр илэрхийлнэ үү.

Хариулт: ____________.

Хариулт: _________________.

13. 1-р ирмэгтэй ердийн зургаан өнцөгт пирамидыг 1-р ирмэгтэй ердийн зургаан өнцөгт призм дээр наасан бөгөөд ингэснээр суурийн ирмэгүүд нь давхцаж байна. Үүссэн олон өнцөгт нь хэдэн нүүртэй вэ (үл үзэгдэх ирмэгийг зурагт харуулаагүй) вэ?

Хариулт: _________________.

14. Зурагт функцийн графикийг харуулав ОнооА, Б, C, ДТэгээдЭтэнхлэгт тохируулнаX дөрвөн интервал. График ашиглан интервал бүрийг функцийн шинж чанар эсвэл түүний деривативтай тааруулна уу.

ФУНКЦ БУЮУ ҮҮСГЭЛИЙН ШИНЖИЙН ИНТЕРВАЛ

A) (A; B) 1) функц нь "–" тэмдгийг "+" болгож өөрчилдөг.

B) (B; C) 2) дериватив тэмдэг нь “–”-ээс “+” болж өөрчлөгддөг.

B) (C;Д) 3) дериватив тэмдэг нь "+"-ээс "-" болж өөрчлөгддөг.

G) (Д; E) 4) функц нь эерэг ба нэмэгдэж байна

Хүснэгтэнд үсэг бүрийн доор тохирох тоог заана уу.

Хариулт: _________________.

16 . Энгийн дөрвөлжин призм хэлбэртэй хоёр хайрцаг өгөгдсөн. Эхний хайрцаг нь хоёр дахьоос дөрөв хагас дахин бага, хоёр дахь нь эхнийхээс гурав дахин нарийхан байна. Эхний хайрцгийн эзэлхүүн хоёр дахь хайрцагны эзэлхүүнээс хэд дахин их вэ?

Хариулт: _________________.

17. Зүүн баганад байгаа дөрвөн тэгш бус байдал тус бүр нь баруун баганад байгаа шийдлүүдийн аль нэгтэй тохирч байна. Тэгш бус байдал ба тэдгээрийн шийдлүүдийн хоорондын уялдаа холбоог бий болгох.

Тэгш бус байдлын шийдлүүд

A)

B)

IN)

G)

Хариултад өгөгдсөн хүснэгтэд тохирох шийдлийн дугаарыг үсэг бүрийн доор оруулна уу.

Хариулт:

Өгөгдсөн нөхцлийн дагуу үнэн байх мэдэгдлийг сонгоно уу.

1) Нэрлэсэн багуудаас Канадын баг медалийн тоогоор хоёрдугаар байр эзэлсэн.

2) Нэрлэсэн багуудын дунд тэнцүү тооны медаль хүртсэн гурван баг байна.

3) Германы баг Оросын багаас илүү медаль авсан.

4) Оросын баг бусад гурван багаас илүү медаль авсан.

Хариултдаа зөв мэдэгдлийн тоог өсөх дарааллаар зааж өгнө үү.

Хариулт: _________________.

19 . Хосуудгурван оронтой тооА 3 тооноос бүрдэнэ; 4; 8; 9, ахосуудгурван оронтой тооIN - 6 тооноос; 7; 8; 9. Энэ нь мэдэгдэж байнаIN = 2 А. Дугаарыг нь олооройА. Хариултдаа 3489-ээс бусад аль нэг ийм тоог зааж өгнө үү.

Хариулт: _________________.

20 . Тэгш өнцөгт нь хоёр шулуун зүсэлтээр дөрвөн жижиг тэгш өнцөгт хуваагдана. Тэдгээрийн гурвынх нь зүүн дээд талаас эхлээд цагийн зүүний дагуу периметр нь 17, 15, 18. Дөрөв дэх тэгш өнцөгтийн периметрийг ол.

15

?

18

Би Хабрахабрын уншигчдад DataGenetics вэбсайтаас олсон "100 хоригдол оргосон оньсого" нийтлэлийн орчуулгыг санал болгож байна. Энэ нийтлэлтэй холбоотой аливаа алдааг хувийн мессежээр илгээнэ үү.

Асуудлын дагуу шоронд 100 хоригдол байгаа бөгөөд тус бүр нь 1-ээс 100 хүртэлх хувийн дугаартай бөгөөд шоронгийн дарга хоригдлуудад суллагдах боломж олгохоор шийдэж, өөрийн зохион бүтээсэн тестийг давахыг санал болгодог. Хэрэв бүх хоригдлууд амжилтанд хүрвэл тэд эрх чөлөөтэй, ядаж нэг нь бүтэлгүйтвэл бүгд үхнэ.

Даалгавар

Тэмцээн эхэлж, шоронгийн дарга хоригдлуудыг нэг нэгээр нь хайрцагтай өрөөнд аваачиж, хоригдлуудад хоригдлын дугаар бүхий тэмдэг бүхий хайрцаг олох ёстойг хэлэв. Хоригдлууд хайрцаг нээх замаар дугаараа олох гэж оролддог. Хүн бүр 50 хүртэлх хайрцаг нээх эрхтэй; хэрэв хоригдол тус бүр өөрийн дугаараа олсон бол хоригдлууд суллагдах бөгөөд ядаж нэг нь 50 оролдлогоор дугаараа олохгүй бол бүх хоригдлууд үхнэ.

Хоригдлууд суллагдахын тулд БҮХ хоригдлууд шалгалтанд тэнцэх ёстой.

Тэгвэл хоригдлууд өршөөлд хамрагдах боломж хэр байна вэ?

• Хоригдол хайрцгийг онгойлгож, тэмдгийг шалгасны дараа хайрцагт буцааж хийж, тагийг нь дахин таглана;
• Хавтанг хаа сайгүй өөрчлөх боломжгүй;
• Шалгалт эхэлмэгц хоригдлууд бие биедээ сэжүүр үлдээх эсвэл өөр хоорондоо ямар нэгэн байдлаар харилцах боломжгүй;
• Шалгалт эхлэхээс өмнө хоригдлууд стратегийн талаар ярилцахыг зөвшөөрдөг.

Хоригдлуудын хувьд оновчтой стратеги юу вэ?

Нэмэлт асуулт:

Хэрэв хамт хоригдож байгаа хүн (шинжилгээнд оролцогч биш) шалгалт эхлэхээс өмнө нууц өрөөнд орох боломжтой бол бүх хайрцагт байгаа бүх тэмдгийг шалгаж, (заавал биш боловч шаардлагатай биш) хоёр хайрцагнаас хоёр тэмдгийг солино уу ( Энэ тохиолдолд найз нь үйлдлийнхээ үр дүнг хоригдлуудад мэдэгдэх), хоригдлуудын аврах боломжийг нэмэгдүүлэхийн тулд ямар стратеги баримтлах ёстой вэ?

Шийдэл нь магадлал багатай юу?

Нэг хоригдлын магадлал 50:50 байна. Нийтдээ 100 хайрцаг байдаг бөгөөд тэр тэмдгийг хайж олохын тулд 50 хүртэл хайрцаг нээж чаддаг. Хэрвээ тэр хайрцгуудыг санамсаргүй байдлаар онгойлгож, бүх хайрцгийн талыг онгойлговол тэр хайрцагнуудын нээлттэй хагаст өөрийн тэмдгийг олох эсвэл хаалттай 50 хайрцагт түүний тэмдэг үлдэх болно. Түүний амжилтанд хүрэх магадлал ½ байна.

Хоёр хоригдол авъя. Хэрэв хоёулаа хайрцгийг санамсаргүй байдлаар сонговол тус бүрийн боломж ½, хоёуланд нь ½x½=¼ байх болно.
(хоёр хоригдлын хувьд дөрвийн нэг тохиолдолд амжилтанд хүрэх болно).

Гурван хоригдлын хувьд магадлал нь ½ × ½ × ½ = ⅛ байна.

100 хоригдлын хувьд магадлал нь: ½ × ½ × … ½ × ½ (100 дахин үржүүлсэн).

Энэ тэнцүү байна

Pr ≈ 0.000000000000000000000000000000008

Энэ бол маш бага боломж гэсэн үг. Ийм нөхцөлд бүх хоригдлууд үхэх магадлалтай.

Гайхалтай хариулт

Бүх 100 хоригдолд 30% -иас дээш! Тийм ээ, энэ нь хоёр хоригдолд хайрцгийг санамсаргүй байдлаар онгойлгох боломжоос ч илүү юм. Гэхдээ энэ нь яаж боломжтой вэ?

Хоригдол бүрийн хувьд нэг нь 50% -иас хэтрэхгүй байх нь тодорхой байна (эцсийн эцэст хоригдлуудын хооронд харилцах ямар ч боломжгүй). Гэхдээ мэдээлэл нь хайрцган доторх ялтсуудын зохион байгуулалтанд хадгалагддаг гэдгийг мартаж болохгүй. Өрөөнд хоригдол нэг бүрчлэн очих хооронд хэн ч тэмдгийг хольдоггүй тул бид энэ мэдээллийг ашиглах боломжтой.

Шийдэл

Стратеги нь маш хялбар юм. Эхний хоригдол хувцсан дээрээ бичсэн дугаартай хайрцгийг онгойлгоно. Жишээлбэл, 78 дугаартай хоригдол 78 дугаартай хайрцгийг онгойлгож байна. Хэрэв тэр хайрцаг доторх тэмдэг дээрээс дугаараа олвол гайхалтай! Үгүй бол тэр "өөрийн" хайрцагт байгаа тавган дээрх дугаарыг хараад дараа нь энэ дугаартай хайрцгийг нээнэ. Хоёр дахь хайрцгийг онгойлгоод энэ хайрцагны доторх хавтангийн дугаарыг хараад энэ дугаартай гурав дахь хайрцгийг нээнэ. Дараа нь бид энэ стратегийг үлдсэн хайрцагт шилжүүлнэ. Тодорхой болгохын тулд зургийг харна уу:

Эцсийн эцэст хоригдол дугаараа олох эсвэл 50 хайрцагны хязгаарт хүрэх болно. Өнгөц харахад энэ нь зүгээр л нэг хайрцгийг санамсаргүй байдлаар сонгохтой харьцуулахад утгагүй мэт санагдаж байна (мөн нэг хоригдлын хувьд тийм), гэхдээ 100 хоригдол бүгд ижил хайрцаг ашиглах тул энэ нь утгагүй юм.

Математикийн энэ асуудлын гоо үзэсгэлэн нь зөвхөн үр дүнг мэдэх төдийгүй ойлгох явдал юм Яагаадэнэ стратеги ажилладаг.

Тэгэхээр стратеги яагаад ажилладаг вэ?

Хэрэв та энэ талаар бодох юм бол хайрцагнууд нь хаалттай дугуй гинжийг үүсгэдэг. Нэг хайрцаг нь зөвхөн нэг гинжин хэлхээний нэг хэсэг байж болно, учир нь хайрцаг дотор дараагийнх руу зөвхөн нэг заагч байдаг бөгөөд үүний дагуу өмнөх хайрцагт өгөгдсөн хайрцагт зөвхөн нэг заагч байдаг (программистууд холбогдсон жагсаалтын аналогийг харж болно) .

Хэрвээ хайрцаг нь өөр рүүгээ чиглээгүй бол (хайрцагны тоо нь түүний доторх хавтангийн тоотой тэнцүү) гинжин хэлхээнд байх болно. Зарим гинж нь хоёр хайрцагнаас бүрдэх боломжтой, зарим нь илүү урт байдаг.

Бүх хоригдлууд хувцастайгаа ижил дугаартай хайрцгаар эхэлдэг тул тодорхойлолтоор нь тэдний тэмдгийг агуулсан гинж дээр байрлуулсан байдаг (тэр хайрцаг руу чиглэсэн ганц тэмдэг байдаг).

Энэ гинжин хэлхээний дагуух хайрцгуудыг судалснаар тэд эцэст нь тэмдэгээ олох болно.

Тэд 50 нүүдлээр тэмдэгээ олох уу гэдэг ганцхан асуулт хэвээр байна.

Гинжний урт

Хэрэв хамгийн урт гинжний урт нь 50 хайрцагаас бага бол бүх хоригдлууд шалгалтыг давах болно!

Энэ талаар түр бод. Хавтангийн аль ч загварт 50 хайрцагаас урт гинж байж болно (бидэнд ердөө 100 хайрцаг байгаа тул нэг гинж 50-аас урт байвал бусад нь 50-аас богино байх болно) .

Урт гинж бүхий зохион байгуулалтын боломж

Бага зэрэг математик

l урттай гинжний хувьд хайрцагнууд нь энэ гинжний гадна байх магадлал дараах байдалтай тэнцүү байна.

Энэ цуглуулгад (l-1) тоо байна! тэмдэг байрлуулах арга замууд.

Үлдсэн тэмдгүүдийг (100-л) байрлуулж болно! арга замууд (гинжний урт нь 50-аас хэтрэхгүй гэдгийг бүү мартаарай).

Үүнийг харгалзан яг l урттай гинжийг агуулсан сэлгэцийн тоо: (>50)

Тэмдгийг цэгцлэх 100(!) арга байдаг тул l урттай гинж байх магадлал 1/л-тэй тэнцүү байна. Дашрамд хэлэхэд, энэ үр дүн нь хайрцагны тооноос хамаарахгүй.

Бидний мэдэж байгаагаар 50-аас дээш урттай гинж байгаа цорын ганц сонголт байж болох тул амжилтанд хүрэх магадлалыг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Үр дүн

Бүх хоригдлууд шинж тэмдгийг олж, шалгалтанд тэнцэх магадлал 31.18% байна.

Доорх нь l урттай бүх гинжний магадлалыг (y тэнхлэг дээр) харуулсан график юм (x тэнхлэг дээр). Улаан өнгө нь бүх "бүтэлгүйтлийг" илэрхийлдэг (энд өгөгдсөн муруй нь ердөө 1/л график юм). Ногоон нь "амжилт" гэсэн үг (хамгийн их уртыг тодорхойлох хэд хэдэн арга байдаг тул графикийн энэ хэсэгт тооцоолол нь арай илүү төвөгтэй байдаг.<50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.

Гармоник дугаар (нийтлэлийн энэ хэсэг нь инээдмийн хүмүүст зориулагдсан)

Хэрэв 100а хайрцагны оронд дурын олон тооны хайрцаг байгаа бол хязгаарыг тооцоолъё (нийт 2n хайрцагтай гэж үзье).

Эйлер-Машерони тогтмол нь гармоник цувааны хэсэгчилсэн нийлбэр ба тооны натурал логарифмын зөрүүний хязгаар гэж тодорхойлогдсон тогтмол юм.

Хоригдлуудын тоо нэмэгдэхийн хэрээр харгалзагч хоригдлуудад бүх хайрцагны талыг онгойлгохыг зөвшөөрвөл аврагдах магадлал 30.685% болно.

(Хэрэв та хоригдлууд хайрцгийг санамсаргүй таамаглахаар шийдсэн бол хоригдлуудын тоо нэмэгдэх тусам аврагдах магадлал тэг болно!)

Нэмэлт асуулт

Одоо бид шийдлийг аль хэдийн мэдэж байгаа тул энд хийх стратеги нь энгийн: тэр бүх шинж тэмдгийг судалж, хамгийн урт хайрцагны гинжийг олох ёстой. Хэрэв хамгийн урт гинж нь 50-аас бага бол тэр ялтсуудыг огт өөрчлөх шаардлагагүй, хамгийн урт гинж нь 50-аас урт болохгүй. Гэсэн хэдий ч, хэрэв тэр 50 хайрцагнаас урт гинж олдвол гинжийг хоёр богино гинж болгон хуваахын тулд тэр гинжнээс хоёр хайрцагны агуулгыг солиход л хангалттай.

Энэхүү стратегийн үр дүнд урт гинж байхгүй бөгөөд бүх хоригдлууд өөрсдийн тэмдэг, авралыг олох баталгаатай болно. Тиймээс, хоёр тэмдгийг сольсноор бид авралын магадлалыг 100% хүртэл бууруулдаг!

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн (эсвэл энгийн хайрцагны) эзэлхүүн нь түүний урт, өргөн, өндрийн үржвэртэй тэнцүү гэдгийг санаарай. Хэрэв таны хайрцаг тэгш өнцөгт эсвэл дөрвөлжин хэлбэртэй бол түүний урт, өргөн, өндөр зэргийг мэдэхэд л хангалттай. Эзлэхүүнийг авахын тулд хэмжилтийн үр дүнг үржүүлэх шаардлагатай. Тооцооллын томъёог товчилсон хэлбэрээр ихэвчлэн дараах байдлаар үзүүлэв: V = L x W x H.
Жишээ бодлого: "Хэрэв хайрцагны урт 10 см, өргөн нь 4 см, өндөр нь 5 см бол түүний эзлэхүүн хэд вэ?"
V = L x W x H
V = 10 см х 4 см х 5 см
V = 200 см 3
Хайрцагны "өндөр"-ийг "гүн" гэж нэрлэж болно. Жишээлбэл, асуудал нь "Хайрцагны урт нь 10 см, өргөн нь 4 см, гүн нь 5 см" гэсэн мэдээллийг агуулж болно.

2
Хайрцагны уртыг хэмжинэ. Хэрэв та хайрцгийг дээрээс харвал энэ нь таны нүдний өмнө тэгш өнцөгт хэлбэрээр гарч ирнэ. Хайрцагны урт нь энэ тэгш өнцөгтийн хамгийн урт тал байх болно. Энэ талын хэмжилтийн үр дүнг "урт" параметрийн утга болгон тэмдэглэнэ.
Хэмжилт хийхдээ жигд хэмжилтийн нэгжийг ашиглахаа мартуузай. Хэрэв та нэг талыг нь сантиметрээр хэмжсэн бол нөгөө талыг нь бас сантиметрээр хэмжих шаардлагатай.

3
Хайрцагны өргөнийг хэмжинэ. Хайрцагны өргөнийг дээрээс нь харагдах тэгш өнцөгтийн нөгөө, богино талыг төлөөлнө. Хэрэв та урт, өргөнөөр хэмжсэн хайрцагны хажуу талыг нүдээр холбовол тэдгээр нь "L" үсэг хэлбэрээр гарч ирнэ. Сүүлийн хэмжилтийг "өргөн" гэж тэмдэглэ.
Өргөн нь үргэлж хайрцагны богино тал юм.

4
Хайрцагны өндрийг хэмжинэ. Энэ бол таны хэмжиж амжаагүй сүүлийн параметр юм. Энэ нь хайрцагны дээд ирмэгээс доод тал хүртэлх зайг илэрхийлнэ. Энэ хэмжилтийг "өндөр" гэж тэмдэглэ.
Хайрцагыг аль талд нь байрлуулахаас хамааран "урт", "өргөн" эсвэл "өндөр" гэж тэмдэглэсэн тодорхой талууд өөр байж болно. Гэсэн хэдий ч энэ нь хамаагүй, танд гурван өөр талаас хэмжилт хийх хэрэгтэй.

5
Гурван хэмжилтийн үр дүнг хамтдаа үржүүлнэ. Өмнө дурьдсанчлан эзлэхүүнийг тооцоолох томъёо нь дараах байдалтай байна: V = Урт x Өргөн x Өндөр; Тиймээс эзлэхүүнийг олж авахын тулд та бүх гурван талыг үржүүлэхэд л хангалттай. Хүлээн авсан утгууд нь яг ямар утгатай болохыг мартаж болохгүйн тулд тооцоололд ашигласан хэмжлийн нэгжийг зааж өгөх хэрэгтэй.

6
Эзлэхүүний хэмжилтийн нэгжийг тодорхойлохдоо "3" гурав дахь хүчийг зааж өгөхөө мартуузай. Тооцоолсон эзэлхүүн нь тоон илэрхийлэлтэй боловч зөв хэмжих нэгжгүйгээр таны тооцоо утгагүй болно. Эзлэхүүний нэгжийг зөв тусгахын тулд тэдгээрийг куб хэлбэрээр зааж өгөх ёстой. Жишээлбэл, хэрэв бүх талыг сантиметрээр хэмжсэн бол эзэлхүүний нэгжийг "см3" гэж харуулах болно.
Жишээ бодлого: "Хэрэв хайрцгийн урт 2 м, өргөн нь 1 м, өндөр нь 3 м бол түүний эзлэхүүн хэд вэ?"
V = L x W x H
V = 2 м х 1 м х 4 м
V = 8 м3
Тайлбар: Куб эзэлхүүний нэгжийг зааж өгснөөр эдгээр шоогийн хэд нь хайрцаг дотор байрлаж болохыг ойлгох боломжтой болно. Хэрэв бид өмнөх жишээнд хандвал энэ нь хайрцагт найман шоо метр багтана гэсэн үг юм.

Бусад хэлбэрийн хайрцагны эзэлхүүнийг тооцоолох

Цилиндрийн эзэлхүүнийг тодорхойлно. Цилиндр нь хоёр төгсгөлд дугуй хэлбэртэй дугуй хоолой юм. Цилиндрийн эзэлхүүнийг тодорхойлохын тулд томъёог ашиглана: V = π x r 2 x h, энд π = 3.14, r нь цилиндрийн дугуй талын радиус, h нь түүний өндөр юм.
Конус эсвэл дугуй суурьтай пирамидын эзэлхүүнийг тодорхойлохын тулд ижил томъёог ашигладаг боловч 1/3-аар үржүүлнэ. Өөрөөр хэлбэл конусын эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолно: V = 1/3 (π x r 2 x h)

2
Пирамидын эзлэхүүнийг тодорхойл. Пирамид нь хавтгай суурьтай, талууд нь дээд талдаа нэг цэгт нийлдэг дүрс юм. Пирамидын эзэлхүүнийг тодорхойлохын тулд та түүний суурийн талбай ба өндрийн бүтээгдэхүүний 1/3-ийг авах хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, тооцоолох томъёо нь дараах байдалтай байна: Пирамидын эзэлхүүн = 1/3 (Суурийн талбай x Өндөр).
Ихэнх тохиолдолд пирамидууд нь дөрвөлжин эсвэл тэгш өнцөгт суурьтай байдаг. Ийм нөхцөлд суурийн талбайг суурийн уртыг өргөнөөр үржүүлэх замаар тооцоолно.

Нарийн төвөгтэй хэлбэрийн хайрцагны эзэлхүүнийг тодорхойлохын тулд түүний бие даасан хэсгүүдийн эзлэхүүнийг нэмнэ. Жишээлбэл, "L" үсэг шиг хэлбэртэй хайрцагны эзэлхүүнийг хэмжих шаардлагатай байж магадгүй юм. Ингэснээр хайрцгийг хэмжих тал илүү их байх болно. Хэрэв та энэ хайрцгийг хоёр хэсэгт хуваавал эдгээр хоёр хэсгийн эзэлхүүнийг стандарт аргаар хэмжиж, дараа нь үүссэн утгыг нэмж болно. L хэлбэрийн хайрцагны хувьд урт хэсэг нь тусдаа урт тэгш өнцөгт хайрцаг, богино хэсгийг дөрвөлжин (эсвэл бараг дөрвөлжин) хайрцагтай хавсаргасан гэж үзэж болно.
Хэрэв таны хайрцаг маш нарийн төвөгтэй хэлбэртэй бол ямар ч хэлбэрийн объектын эзлэхүүнийг тодорхойлох олон арга байдаг гэдгийг мэдэж аваарай.

Комбинаторын асуудлууд

1 . Катя, Маша, Ира нар бөмбөгөөр тоглож байна. Тэд тус бүр нэг удаа бөмбөгийг найз болгон руу шидэх ёстой. Охид бүр хэдэн удаа бөмбөг шидэх ёстой вэ? Бөмбөгийг хэдэн удаа шидэх вэ? Тоглолтонд дараах хүмүүс оролцсон бол бөмбөгийг хэдэн удаа шидэхийг тодорхойл: дөрвөн хүүхэд; таван хүүхэд.

2 . Гурван фасад, хоёр дээврийг ижил хэлбэртэй, гэхдээ өөр өөр өнгөөр ​​​​будсан: фасадууд нь шар, хөх, улаан, дээвэр нь цэнхэр, улаан өнгөтэй. Ямар байшин барьж болох вэ? Нийт хэдэн хослол байдаг вэ?

3 . Цэнхэр, шар, улаан гэсэн ижил хэлбэртэй гурван байшингийн фасад, цэнхэр, шар, улаан гэсэн гурван дээвэртэй. Ямар байшин барьж болох вэ? Нийт хэдэн хослол байдаг вэ?

4 . Туг дээрх загвар нь тойрог, дөрвөлжин, гурвалжин, од хэлбэртэй байх ба ногоон, улаан өнгөтэй байж болно. Хэдэн өөр туг байж болох вэ?

5. Сургуулийн гуанзанд мах, котлет, загасыг үдийн хоолонд хоёрдугаар хоол болгон бэлтгэсэн. Амттаны хувьд - зайрмаг, жимс, бялуу. Та нэг үндсэн хоол, нэг амттан курс сонгож болно. Үдийн хоолны хэдэн өөр сонголт байдаг вэ?

6. Сургуулийн гуанзанд өдрийн хоолондоо мах, цагаан хоолны шөлтэй шөл, хоёрдугаар хоолонд мах, котлет, загас, амттандаа зайрмаг, жимс, бялуу хийж өгдөг байв. Гурван удаагийн хоолонд хэдэн өөр сонголт байдаг вэ?

7. Гурван сурагчийг хэдэн янзаар сандал дээр дараалан суулгаж болох вэ? Боломжит бүх тохиолдлыг бич.

8 . Дөрөв (таван) хүн дараалан хэдэн янзаар зогсож чадах вэ?

9 . Гурван зам толгодыг өөр өөр талаас өгсөж, орой дээр нь нийлдэг. Ууланд өгсөх, уруудах олон маршрут үүсгэ. Хэрэв та өөр өөр замаар дээш доош явах шаардлагатай бол ижил асуудлыг шийдээрэй.

10 . Акуловогоос Рыбница хүртэл гурван зам, Рыбницагаас Китово хүртэл дөрвөн зам байдаг. Та Рыбницагаар дамжуулан Акулово-оос Китово хүртэл хэдэн замаар явах боломжтой вэ?

11 . Үгийг гийгүүлэгчээр эхэлж, эгшигээр төгссөн бол задгай гэж нэрлэдэг. “a”, “b”, “c”, “d”, “e”, “i”, “o” үсгээр хэдэн задгай хоёр үсэгтэй үе бичих боломжтой вэ? Эдгээр үеийг бич.

12. 4 цамц, 4 банзал байвал цамц, банзалаас хэдэн өөр костюм хийж болох вэ?

13. Петя сургуульд явахдаа заримдаа нэг буюу хэд хэдэн найзтайгаа уулздаг: Вася, Леня, Толя. Боломжит бүх тохиолдлуудыг жагсаа.

14 . 7 ба 4 тоог ашиглан хоёр оронтой байж болох бүх тоог бич.

15 . Миша худалдаж авахаар төлөвлөж байсан: харандаа, захирагч, дэвтэр, дэвтэр. Өнөөдөр тэр зөвхөн хоёр өөр зүйл худалдаж авсан. Дэлгүүрт шаардлагатай бүх сургалтын хэрэглэгдэхүүн байгаа гэж үзвэл Миша юу худалдаж авч чадах вэ?

16 . Дөрвөн хүн гар барив.

17 Нийт хэдэн гар барилт болсон бэ?

18 . 0 цифр агуулаагүй хоёр оронтой тоо хэд вэ?

19 . 1 ба 2 тооноос гаргаж болох гурван оронтой бүх боломжит тоог бич.

20 . 1 ба 2-ын цифрүүдээс бүрдэх боломжтой бүх гурван оронтой тоог бич.

21 . 2, 8, 5 тоонуудыг ашигладаг бүх боломжит хоёр оронтой тоог бич.

22 . 3, 7, 1-ийн тоог ашиглан ямар гурван оронтой тоо бичиж болох вэ, энэ тоо нь ижил оронтой байх ёсгүй вэ? Ийм тоо хэд вэ?

23 . 1, 2, 4, 6 цифрүүдээс нэгээс олон оронтой тоо хэрэглэхгүй бол хэдэн оронтой тоо гаргаж болох вэ? Эдгээр тоон хэд нь тэгш байх вэ? Хэдэн сондгой вэ?

24 . Машинд таван суудал байна. Хэрэв хоёр нь л жолоочийн суудалд суувал таван хүн энэ машинд хэдэн янзаар суух вэ?

25. Ангид 5 ганц ширээ байдаг. Шинээр ирсэн хоёр (гурван) сурагчийг хэдэн янзаар суулгаж болох вэ?

26 . И.Крыловын “Квартет” үлгэрийг санаарай.

Муухай сармагчин, илжиг, ямаа, баавгай баавгай нар Квартет тоглож эхлэв. Тэд нум цохиж, тулалддаг, гэхдээ ямар ч утгагүй. “Ах нар аа, зогсоо! - Сармагчин хашгирав. - Хүлээгээрэй! Хөгжим яаж явах ёстой вэ? Чи ингэж суудаггүй." Эдгээр хөгжимчид хэдэн янзаар суухыг оролдож болох вэ? Энэ нь тэдний тоглолтын чанарыг сайжруулж чадах болов уу?

27 . Охид, хөвгүүд дараалсан суудалд, хөвгүүд сондгой, охид тэгш тоотой суудалд сууна. Үүнийг хэдэн аргаар хийж болох вэ гэвэл:

a) 6 суудалд 3 хүү, 3 охин;

б) 10 суудалд 5 хүү, 5 охин сууж байна уу?

28 . Хоосон даамын самбар дээр та хар, цагаан гэсэн хоёр даам байрлуулах хэрэгтэй. Тэд самбарт хэдэн өөр байр суурь эзэлж чадах вэ?

29. Машины дугаарыг хоёр үсгийн дараа хоёр тооноос бүрдүүлээрэй, жишээ нь AB-53. Хэрэв та 5 үсэг, 6 тоо хэрэглэвэл хэдэн өөр тоо гаргаж чадах вэ?

30 . Машины дугаар нь гурван үсэг, дөрвөн тооноос бүрдэнэ. Хэдэн өөр улсын дугаар байдаг вэ (Орос цагаан толгойн 29 үсгээс гурван үсэг авсан)?

31 . Номын сан, хадгаламжийн банк, шуудангийн газар очиж, гутлаа засах шаардлагатай байсан гэж бодъё. Хамгийн богино замыг сонгохын тулд та бүх боломжит хувилбаруудыг авч үзэх хэрэгтэй. Номын сан, хадгаламж, шуудан, гутлын газар хоорондоо хол зайд байрладаг бол хэдэн маршрут байж болох вэ?

32. Номын сан, хадгаламжийн банк, шуудангийн газар очиж, гутлаа засах шаардлагатай байсан гэж бодъё. Хамгийн богино замыг сонгохын тулд та бүх боломжит хувилбаруудыг авч үзэх хэрэгтэй. Номын сан, шуудангийн газар ойрхон атлаа хадгаламжийн банк, гуталчин хоёроос хол зайтай байвал боломжийн хэр олон маршрут байдаг вэ?

33. Тэргэнцэрт зорчиж буй зорчигчдын дунд дөрвөн сэтгүүлийн талаар халуун яриа өрнөв. Хүн бүр хоёр сэтгүүл захиалж, хоёр сэтгүүлийн боломжит хослолыг нэг хүн захиалсан нь тогтоогдсон. Энэ бүлэгт хэдэн хүн байсан бэ?

34 . Зөвхөн өнгөөрөө ялгаатай таван шоо байдаг: 2 улаан, 1 цагаан, 2 хар. А ба В хайрцагт хоёр хайрцаг, А-д 2 шоо, В-д 3 хайрцаг байна. Эдгээр шоо А, В хайрцагт хэдэн янзаар байрлуулж болох вэ?

35. Цар-Эцэгт залуужуулах алим авчрахын тулд Иван Царевич ид шидийн цэцэрлэгт хүрэх цорын ганц үнэн замыг олох ёстой. Иван Царевич гурван замын салаа дээр хөгшин хэрээтэй уулзаж, түүнээс дараах зөвлөгөөг сонсов.

1) одоо зөв замаар яв;

2) дараагийн салаа дээр зөв замаар явахгүй байх;

3) гурав дахь салаа дээр зүүн замаар бүү яв.

Хажуугаар нь ниссэн тагтаа Иван Царевичт хэрээгийн зөвлөгөөний зөвхөн нэг нь зөв бөгөөд өөр өөр замаар явах шаардлагатай гэж шивнэв. Манай баатар даалгавраа биелүүлж, ид шидийн цэцэрлэгт хүрээлэнд оров. Тэр ямар замаар явсан бэ?