3 хуудасны 2-р хуудас

Комплекс тооны алгебрийн хэлбэр.
Комплекс тоог нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах.

Бид нийлмэл тооны алгебрийн хэлбэртэй аль хэдийн танилцсан - энэ бол нийлмэл тооны алгебрийн хэлбэр юм. Бид яагаад хэлбэрийн тухай ярьж байна вэ? Баримт нь цогцолбор тоонуудын тригонометрийн болон экспоненциал хэлбэрүүд байдаг бөгөөд үүнийг дараагийн догол мөрөнд авч үзэх болно.

Нарийн төвөгтэй тоонуудтай үйлдлүүд нь тийм ч хэцүү биш бөгөөд энгийн алгебраас тийм ч их ялгаатай биш юм.

Комплекс тоонуудын нэмэх

Жишээ 1

Хоёр комплекс тоо нэмэх,

Хоёр нийлмэл тоог нэмэхийн тулд тэдгээрийн бодит болон төсөөлөл хэсгүүдийг нэмэх хэрэгтэй.

Энгийн, тийм үү? Үйлдэл нь маш тодорхой тул нэмэлт тайлбар шаарддаггүй.

Ийм энгийн аргаар та хэдэн ч гишүүний нийлбэрийг олох боломжтой: бодит хэсгүүдийг нэгтгэж, төсөөллийн хэсгүүдийг нийлбэр.

Комплекс тоонуудын хувьд нэгдүгээр ангийн дүрэм хүчинтэй байна: - Нөхцөлүүдийг дахин тохируулах нь нийлбэрийг өөрчлөхгүй.

Цогцолбор тоонуудыг хасах

Жишээ 2

Комплекс тоонуудын ялгааг ол, хэрэв :

Үйлдэл нь нэмэхтэй төстэй бөгөөд цорын ганц онцлог нь хасалтыг хаалтанд хийж, дараа нь хаалтуудыг тэмдгийн өөрчлөлттэй стандарт аргаар нээх ёстой.

Үр дүн нь төөрөгдүүлэхгүй байх ёстой, үр дүнгийн тоо нь гурван хэсэг биш, хоёр байна. Бодит хэсэг нь нэгдэл юм: . Тодорхой болгохын тулд хариултыг дараах байдлаар дахин бичиж болно: .

Хоёр дахь ялгааг тооцоолъё:

Энд жинхэнэ хэсэг нь бас нийлмэл байна:

Дутуу үг хэлэхээс зайлсхийхийн тулд би "муу" төсөөллийн хэсэгтэй богино жишээ хэлье: . Энд та хаалтгүйгээр хийх боломжгүй.

Комплекс тоонуудыг үржүүлэх

Алдарт тэгш байдлын талаар танд танилцуулах цаг болжээ.

Жишээ 3

Комплекс тоонуудын үржвэрийг олох,

Мэдээжийн хэрэг, бүтээлийг дараах байдлаар бичих ёстой.

Энэ юу санал болгож байна вэ? Олон гишүүнтийг үржүүлэх дүрмийн дагуу хаалт нээхийг гуйж байна. Та үүнийг хийх хэрэгтэй! Бүх алгебрийн үйлдлүүд танд танил, гол зүйл бол үүнийг санах явдал юм мөн болгоомжтой байгаарай.

Олон гишүүнтийг үржүүлэх сургуулийн дүрмийг давтан хэлье: Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэхийн тулд нэг олон гишүүнт гишүүн бүрийг өөр олон гишүүнт гишүүн бүрээр үржүүлэх хэрэгтэй.

Би үүнийг нарийвчлан бичих болно:

Энэ нь бүгдэд ойлгомжтой байсан гэж найдаж байна

Анхаар, дахин анхаарлаа хандуулаарай, ихэнхдээ тэмдгүүдэд алдаа гардаг.

Нийлбэрийн нэгэн адил нийлбэр тоонуудын үржвэр нь солигддог, өөрөөр хэлбэл тэгш байдал нь үнэн: .

Боловсролын уран зохиол, интернетээс нарийн төвөгтэй тоонуудын үржвэрийг тооцоолох тусгай томъёог олоход хялбар байдаг. Хэрэв та хүсвэл үүнийг ашигла, гэхдээ олон гишүүнтийг үржүүлэх арга нь илүү түгээмэл бөгөөд ойлгомжтой юм шиг санагдаж байна. Би томьёог өгөхгүй, энэ тохиолдолд таны толгойг модны үртэс дүүргэж байна гэж би бодож байна.

Комплекс тоонуудын хуваагдал

Жишээ 4

Өгөгдсөн комплекс тоо, . Хэмжилтийг ол.

Хэмжилтийг хийцгээе:

Тоо хуваах ажлыг гүйцэтгэдэг хуваагч болон хуваагчийг хуваагчийн хавсарсан илэрхийллээр үржүүлэх замаар.

Сахалтай томъёог санаж, хуваагчаа харцгаая: . Хуваагч нь аль хэдийн байгаа тул энэ тохиолдолд нэгтгэсэн илэрхийлэл нь , өөрөөр хэлбэл

Дүрмийн дагуу хуваагчийг -ээр үржүүлэх ёстой бөгөөд юу ч өөрчлөгдөхгүй тул тоологчийг ижил тоогоор үржүүлэх ёстой.

Би үүнийг нарийвчлан бичих болно:

Би "сайн" жишээг сонгосон: хэрэв та "эхнээс нь" хоёр тоог авбал хуваагдсаны үр дүнд та бараг үргэлж бутархай, .

Зарим тохиолдолд бутархайг хуваахын өмнө үүнийг хялбарчлах нь зүйтэй, жишээлбэл, тоонуудын хуваалтыг авч үзэх нь зүйтэй: . Хуваахаасаа өмнө бид шаардлагагүй хасах зүйлсээс ангижрах болно: тоологч ба хуваагч дээр бид хаалтанд байгаа хасахуудыг гаргаж, эдгээр хасахыг багасгадаг. . Асуудлыг шийдэх дуртай хүмүүсийн хувьд зөв хариулт энд байна.

Ховор тохиолдолд, гэхдээ дараахь ажил тохиолддог.

Жишээ 5

Комплекс тоо өгөгдсөн. Энэ тоог алгебрийн хэлбэрээр (өөрөөр хэлбэл маягтаар) бичнэ үү.

Техник нь адилхан - бид хуваагч ба тоологчийг илэрхийлэгчтэй нэгтгэсэн илэрхийллээр үржүүлдэг. Томьёог дахин харцгаая. Хуваагч нь аль хэдийн агуулж байгаа тул хуваагч болон хуваагчийг нэгтгэсэн илэрхийллээр үржүүлэх ёстой, өөрөөр хэлбэл:

Практикт тэд нарийн төвөгтэй тоонуудтай олон үйлдэл хийх шаардлагатай нарийн жишээг хялбархан санал болгож чадна. Сандараагүй: болгоомжтой байгаарай, ердийн алгебрийн процедур болох алгебрийн дүрмийг дагаж мөрдөж, үүнийг санаарай.

Комплекс тооны тригонометр ба экспоненциал хэлбэр

Энэ хэсэгт бид комплекс тооны тригонометрийн хэлбэрийн талаар илүү дэлгэрэнгүй ярих болно. Үзүүлэх хэлбэр нь практик даалгаварт хамаагүй бага байдаг. Би татан авч, боломжтой бол тригонометрийн хүснэгтийг хэвлэхийг санал болгож байна Математикийн томъёо, хүснэгт. Ширээ байхгүй бол хол явах боломжгүй.

Аливаа цогцолбор тоог (тэгээс бусад) тригонометрийн хэлбэрээр бичиж болно.
, энэ хаана байна комплекс тооны модуль, A - комплекс тооны аргумент. Зугтахгүй байцгаая, бүх зүйл санагдсанаас хамаагүй энгийн.

Цогцолбор хавтгай дээрх тоог төлөөлүүлье. Тайлбарыг тодорхой, хялбар болгохын тулд бид үүнийг координатын эхний квадратад байрлуулна, өөрөөр хэлбэл. Бид үүнд итгэдэг:

Комплекс тооны модульнийлмэл хавтгай дахь эх цэгээс харгалзах цэг хүртэлх зай. Хялбараар хэлбэл, модуль нь урт юмрадиус вектор, үүнийг зурган дээр улаанаар зааж өгсөн болно.

Комплекс тооны модулийг ихэвчлэн: эсвэл гэж тэмдэглэнэ

Пифагорын теоремыг ашиглан комплекс тооны модулийг олох томъёог гаргахад хялбар байдаг: . Энэ томъёо зөв ямар ч хувьд"а", "байх" гэсэн утгатай.

Анхаарна уу: Комплекс тооны модуль нь ойлголтын ерөнхий ойлголт юм бодит тооны модуль, цэгээс эхлэл хүртэлх зай.

Комплекс тооны аргументдуудсан буланхооронд эерэг хагас тэнхлэгбодит тэнхлэг ба эхээс харгалзах цэг хүртэл зурсан радиус вектор. Аргумент нь ганц тоогоор тодорхойлогдоогүй: .

Асууж буй зарчим нь үнэндээ ижил төстэй юм туйлын координат, туйлын радиус ба туйлын өнцөг нь цэгийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог.

Комплекс тооны аргументыг стандартаар: эсвэл гэж тэмдэглэдэг

Геометрийн үндэслэлээс бид аргументыг олох дараах томъёог олж авна.
. Анхаар!Энэ томъёо нь зөвхөн баруун талын хагас хавтгайд ажилладаг! Хэрэв комплекс тоо нь координатын 1 эсвэл 4-р квадратад ороогүй бол томъёо нь арай өөр байх болно. Бид мөн эдгээр тохиолдлуудад дүн шинжилгээ хийх болно.

Гэхдээ эхлээд нийлмэл тоонууд координатын тэнхлэг дээр байрлах хамгийн энгийн жишээг авч үзье.

Жишээ 7

Зураг зурцгаая:

Үнэн хэрэгтээ даалгавар нь аман байдаг. Тодорхой болгохын тулд би комплекс тооны тригонометрийн хэлбэрийг дахин бичих болно.

Модуль гэдгийг сайтар санаж явцгаая - урт(энэ нь үргэлж сөрөг биш), аргумент нь булан.

1) Тоог тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлье. Түүний модуль болон аргументыг олцгооё. Энэ нь ойлгомжтой. Томьёог ашиглан албан ёсны тооцоо: .
Энэ нь тодорхой байна (тоо нь бодит эерэг хагас тэнхлэг дээр шууд байрладаг). Тиймээс тригонометрийн тоо нь: .

Урвуу шалгах үйлдэл нь өдөр шиг тодорхой байна:

2) Тоог тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлье. Түүний модуль болон аргументыг олцгооё. Энэ нь ойлгомжтой. Томьёог ашиглан албан ёсны тооцоо: .
Мэдээжийн хэрэг (эсвэл 90 градус). Зураг дээр буланг улаанаар зааж өгсөн болно. Тиймээс тригонометрийн тоо нь: .

Тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтийг ашиглан тооны алгебрийн хэлбэрийг буцааж авахад хялбар байдаг (шалгалт хийх үед):

3) Тоог тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлье. Түүний модуль болон аргументыг олцгооё. Энэ нь ойлгомжтой. Томьёог ашиглан албан ёсны тооцоо: .
Мэдээжийн хэрэг (эсвэл 180 градус). Зурган дээр буланг цэнхэр өнгөөр ​​зааж өгсөн болно. Тиймээс тригонометрийн тоо нь: .

Шалгалт:

4) Мөн дөрөв дэх сонирхолтой тохиолдол. Тоог тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлье. Түүний модуль болон аргументыг олцгооё. Энэ нь ойлгомжтой. Томьёог ашиглан албан ёсны тооцоо: .

Аргументыг хоёр аргаар бичиж болно: Эхний арга: (270 градус), үүний дагуу: . Шалгалт:

Гэсэн хэдий ч дараах дүрэм нь илүү стандарт юм. Хэрэв өнцөг нь 180 градусаас их байвал, дараа нь хасах тэмдэгтэй, өнцгийн эсрэг чиглэлтэй ("гүйлгэх") бичнэ: (хасах 90 градус), зураг дээр өнцгийг ногооноор тэмдэглэнэ. Үүнийг харахад хялбар бөгөөд ижил өнцөгтэй.

Тиймээс оруулга нь дараах хэлбэртэй байна.

Анхаар!Ямар ч тохиолдолд та косинусын паритет, синусын сондгой байдлыг ашиглаж, тэмдэглэгээг "хялбарчлах" ёсгүй.

Дашрамд хэлэхэд, тригонометрийн болон урвуу тригонометрийн функцүүдийн дүр төрх, шинж чанаруудыг хуудасны сүүлийн догол мөрүүдэд санах нь зүйтэй Үндсэн энгийн функцүүдийн график ба шинж чанарууд. Мөн төвөгтэй тоонуудыг сурахад илүү хялбар болно!

Хамгийн энгийн жишээнүүдийн загварт "модуль тэнцүү байх нь ойлгомжтой... аргумент нь тэнцүү байх нь ойлгомжтой..." гэж бичих хэрэгтэй. Энэ нь үнэхээр ойлгомжтой бөгөөд амаар шийдвэрлэхэд хялбар юм.

Илүү нийтлэг тохиолдлуудыг авч үзье. Би аль хэдийн дурдсанчлан, модульд ямар ч асуудал байхгүй, та үргэлж томъёог ашиглах хэрэгтэй. Гэхдээ аргументыг олох томъёо нь өөр байх болно, энэ нь тухайн тоо нь координатын аль улиралд байхаас хамаарна. Энэ тохиолдолд гурван сонголтыг хийх боломжтой (тэдгээрийг дэвтэртээ хуулах нь ашигтай):

1) Хэрэв (1 ба 4-р координатын улирал эсвэл баруун хагас хавтгай) бол аргументыг томъёогоор олох ёстой.

2) Хэрэв (координатын 2-р улирал) бол аргументыг томъёогоор олох ёстой .

3) Хэрэв (3-р координатын улирал) бол аргументыг томъёогоор олох ёстой .

Жишээ 8

Комплекс тоонуудыг тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлнэ: , , , .

Бэлэн томьёо байдаг тул зургийг дуусгах шаардлагагүй. Гэхдээ нэг зүйл бий: та тоог тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлэхийг хүсэх үед Ямар ч байсан зурсан нь дээр. Баримт нь зураггүй шийдлийг багш нар ихэвчлэн үгүйсгэдэг нь зураг байхгүй байх нь хасах, бүтэлгүйтэх ноцтой шалтгаан болдог.

Өө, би зуун жилийн турш гараар юу ч зураагүй, ингээд үзээрэй:

Ердийнх шигээ жаахан бохир болсон =)

Би тоонуудыг танилцуулах бөгөөд цогц хэлбэрээр эхний болон гурав дахь тоонууд нь бие даасан шийдэл байх болно.

Тоог тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлье. Түүний модуль болон аргументыг олцгооё.

Цогцолбор тоонууд нь бодит тооны олонлогийн өргөтгөл бөгөөд ихэвчлэн -ээр тэмдэглэгдсэн байдаг. Аливаа нийлмэл тоог албан ёсны нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болно, энд нь бодит тоо бөгөөд төсөөллийн нэгж юм.

Комплекс тоог , , хэлбэрээр бичихийг комплекс тооны алгебрийн хэлбэр гэнэ.

Комплекс тооны шинж чанарууд. Комплекс тооны геометрийн тайлбар.

Алгебрийн хэлбэрээр өгөгдсөн комплекс тоон дээрх үйлдлүүд:

Комплекс тоон дээр арифметик үйлдлийг гүйцэтгэх дүрмийг авч үзье.

Хэрэв α = a + bi, β = c + di гэсэн хоёр цогц тоо өгөгдсөн бол

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (арван нэгэн)

Энэ нь хоёр эрэмбэлэгдсэн бодит тооны хосыг нэмэх, хасах үйлдлүүдийн тодорхойлолтоос үүдэлтэй (1 ба (3) томъёог үзнэ үү). Бид нийлмэл тоог нэмэх, хасах дүрмийг хүлээн авсан: хоёр нийлмэл тоог нэмэхийн тулд тэдгээрийн бодит хэсгүүдийг тусад нь нэмж, үүний дагуу тэдгээрийн төсөөллийн хэсгүүдийг тусад нь нэмэх ёстой; Нэг нийлмэл тооноос өөр тоог хасахын тулд тэдгээрийн бодит болон төсөөллийн хэсгүүдийг тус тус хасах шаардлагатай.

– α = – a – bi тоог α = a + bi тооны эсрэг тоо гэнэ. Эдгээр хоёр тооны нийлбэр нь тэг байна: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

Нарийн төвөгтэй тоог үржүүлэх дүрмийг олж авахын тулд бид (6) томъёог ашиглана, өөрөөр хэлбэл i2 = -1 гэсэн баримт. Энэ хамаарлыг харгалзан үзвэл (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, i.e.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Энэ томьёо (2) томьёотой тохирч байгаа бөгөөд дараалсан хос бодит тоонуудын үржүүлгийг тодорхойлсон.

Хоёр нийлмэл нийлмэл тооны нийлбэр ба үржвэр нь бодит тоо гэдгийг анхаарна уу. Үнэхээр α = a + bi, = a – bi бол α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a, i.e.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

Хоёр цогц тоог алгебрийн хэлбэрээр хуваахдаа тухайн хуваалтыг мөн ижил төрлийн тоогоор илэрхийлнэ, тухайлбал α/β = u + vi, энд u, v R. Комплекс тоог хуваах дүрмийг гаргая. . α = a + bi, β = c + di тоонуудыг өгье, β ≠ 0, өөрөөр хэлбэл c2 + d2 ≠ 0. Сүүлчийн тэгш бус байдал нь c ба d нь нэгэн зэрэг алга болохгүй гэсэн үг юм (c = 0 үед тохиолдол хасагдана). , d = 0). Томъёо (12) ба тэгшитгэлийн хоёр дахь (13)-ийг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олно.

Иймд хоёр комплекс тооны харьцааг дараах томъёогоор тодорхойлно.

(4) томъёонд харгалзах.

β = c + di тооны үр дүнгийн томъёог ашиглан та түүний урвуу тоог β-1 = 1/β олох боломжтой. (14) томъёонд a = 1, b = 0 гэж үзвэл бид олж авна

Энэ томьёо нь өгөгдсөн нийлмэл тооны урвуу тоог тэгээс өөр тодорхойлно; энэ тоо бас төвөгтэй.

Жишээ нь: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Алгебрийн хэлбэрийн комплекс тоон дээрх үйлдлүүд.

55. Комплекс тооны аргумент. Комплекс тоо бичих тригонометрийн хэлбэр (үүсмэл).

Arg.com.numbers. – бодит X тэнхлэгийн эерэг чиглэл ба өгөгдсөн тоог илэрхийлэх векторын хооронд.

Тригон томъёо. Тоо: ,

14.3 Хязгааргүй цэгийг комплекс хувьсагчийн функцийн ганц цэг болгон

Удиртгал

Шалгалт эсвэл модулийн гэрчилгээ олгох онолын болон практик хэсгүүдэд бэлтгэхэд цаг хугацаа, хүчин чармайлтыг зөв хуваарилах нь нэлээд хэцүү байдаг, ялангуяа хичээлийн үеэр үргэлж хангалттай цаг байдаггүй. Практикаас харахад хүн бүр үүнийг даван туулж чаддаггүй. Үүний үр дүнд шалгалтын явцад зарим оюутнууд асуудлыг зөв шийдвэрлэдэг боловч хамгийн энгийн онолын асуултуудад хариулахад хүндрэлтэй байдаг бол зарим нь теоремыг томьёолж чаддаг ч хэрэгжүүлж чаддаггүй.

"Цогц хувьсагчийн функцүүдийн онол" (TFCP) хичээлийн шалгалтанд бэлтгэх эдгээр удирдамж нь энэхүү зөрчилдөөнийг шийдвэрлэх оролдлого бөгөөд хичээлийн онолын болон практик материалыг нэгэн зэрэг давтахыг баталгаажуулах оролдлого юм. "Практикгүй онол үхсэн, онолгүй практик нь харалган" гэсэн зарчмыг удирдан чиглүүлдэг бөгөөд эдгээр нь тухайн хичээлийн онолын заалтуудыг тодорхойлолт, томъёоллын түвшинд багтаасан бөгөөд өгөгдсөн онолын байр суурь тус бүрийн хэрэглээг харуулсан жишээнүүдийг агуулдаг. түүнийг цээжлэх, ойлгох.

Санал болгож буй арга зүйн зөвлөмжийн зорилго нь сурагчийг шалгалтанд анхан шатны түвшинд бэлтгэхэд нь туслах явдал юм. Өөрөөр хэлбэл, TFKP курсын хичээлд хэрэглэгддэг, гэрийн даалгавар хийх, шалгалтанд бэлтгэхэд шаардлагатай гол санааг агуулсан өргөтгөсөн ажлын гарын авлагыг эмхэтгэсэн. Оюутнуудын бие даасан ажлаас гадна энэхүү цахим боловсролын хэвлэлийг цахим самбар ашиглан интерактив хэлбэрээр хичээл явуулах эсвэл зайны сургалтын системд байрлуулахад ашиглаж болно.

Энэхүү бүтээл нь сурах бичиг, лекцийн тэмдэглэлийг орлохгүй гэдгийг анхаарна уу. Материалыг гүнзгийрүүлэн судлахын тулд MSTU-ийн нийтэлсэн холбогдох хэсгүүдэд хандахыг зөвлөж байна. Н.Э. Бауманы үндсэн сурах бичиг.

Гарын авлагын төгсгөлд санал болгож буй уран зохиолын жагсаалт, текстэд онцолсон бүх зүйлийг багтаасан сэдвийн индекс байна. тод налуунөхцөл. Индекс нь эдгээр нэр томъёог хатуу тодорхойлсон эсвэл тайлбарласан хэсгүүдийн гипер холбоосуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийн хэрэглээг харуулах жишээнүүд байдаг.

Энэхүү гарын авлага нь МУБИС-ийн бүх факультетийн 2-р курсын оюутнуудад зориулагдсан болно. Н.Э. Бауман.

1. Комплекс тоо бичих алгебрийн хэлбэр

z = x + iy хэлбэрийн тэмдэглэгээ, энд x,y нь бодит тоо, i нь төсөөллийн нэгж (өөрөөр хэлбэл i 2 = − 1)

z цогцолбор тоог бичих алгебрийн хэлбэр гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд х-г нийлмэл тооны бодит хэсэг гэж нэрлээд Re z (x = Re z), y-г комплекс тооны төсөөллийн хэсэг гэж нэрлээд Im z (y = Im z) гэж тэмдэглэнэ.

Жишээ. z = 4− 3i цогц тоо нь бодит Rez = 4 хэсэг ба Imz = − 3 төсөөлөлтэй байна.

2. Цогцолбор тооны хавтгай

IN нийлмэл хувьсагчийн функцүүдийн онолыг авч үздэгкомплекс тооны хавтгай, z, w гэх мэт нийлмэл тоог тэмдэглэсэн үсгээр эсвэл үсгээр тэмдэглэдэг.

Нарийн төвөгтэй хавтгайн хэвтээ тэнхлэгийг нэрлэдэг бодит тэнхлэг, z = x + 0i = x бодит тоонууд дээр байрлана.

Нарийн төвөгтэй хавтгайн босоо тэнхлэгийг төсөөллийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг;

3. Нийлмэл нийлмэл тоо

z = x + iy ба z = x − iy тоонуудыг дуудна нарийн төвөгтэй коньюгат. Нарийн төвөгтэй хавтгайд тэдгээр нь бодит тэнхлэгтэй тэгш хэмтэй цэгүүдтэй тохирч байна.

4. Алгебрийн хэлбэрээр нийлмэл тоо бүхий үйлдлүүд

4.1 Комплекс тоонуудын нэмэх

Иймд i 2 = − 1 гэдгийг харгалзан нийлмэл тоог үржүүлэх үйлдэл нь алгебрийн биномуудыг үржүүлэхтэй төстэй юм.

Хичээлийн төлөвлөгөө.

1. Зохион байгуулалтын мөч.

2. Материалын танилцуулга.

3. Гэрийн даалгавар.

4. Хичээлийг дүгнэх.

Хичээлийн үеэр

I. Зохион байгуулалтын мөч.

II. Материалын танилцуулга.

Урам зориг.

Бодит тоонуудын багцыг өргөтгөх нь бодит тоон дээр шинэ тоо (төсөөл) нэмэхээс бүрдэнэ. Эдгээр тоонуудын танилцуулга нь бодит тооны олонлог дахь сөрөг тооны үндсийг гаргаж авах боломжгүй байгаатай холбоотой юм.

Комплекс тооны тухай ойлголтын танилцуулга.

Бодит тоог нөхөхөд ашигладаг төсөөллийн тоонууд нь энэ хэлбэрээр бичигдсэн байдаг би, Хаана бинь төсөөллийн нэгж бөгөөд i 2 = - 1.

Үүний үндсэн дээр бид комплекс тооны дараах тодорхойлолтыг олж авна.

Тодорхойлолт. Комплекс тоо нь хэлбэрийн илэрхийлэл юм a+bi, Хаана аТэгээд б- бодит тоо. Энэ тохиолдолд дараахь нөхцлийг хангасан болно.

a) Хоёр комплекс тоо a 1 + b 1 iТэгээд a 2 + b 2 iзөвхөн хэрэв л бол тэнцүү a 1 = a 2, b 1 = b 2.

б) Комплекс тоонуудын нэмэгдлийг дараах дүрмээр тодорхойлно.

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

в) Комплекс тоонуудын үржвэрийг дараах дүрмээр тодорхойлно.

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Комплекс тооны алгебрийн хэлбэр.

Комплекс тоог маягтаар бичих a+biнийлмэл тооны алгебрийн хэлбэр гэж нэрлэгддэг, энд А- бодит хэсэг, бинь төсөөллийн хэсэг бөгөөд б- бодит тоо.

Цогцолбор тоо a+biХэрэв түүний бодит ба төсөөлөл хэсгүүд нь тэгтэй тэнцүү бол тэгтэй тэнцүү гэж үзнэ. a = b = 0

Цогцолбор тоо a+biцагт b = 0бодит тоотой ижил гэж үздэг а: a + 0i = a.

Цогцолбор тоо a+biцагт a = 0цэвэр төсөөлөл гэж нэрлэдэг ба тэмдэглэсэн байна би: 0 + би = би.

Хоёр комплекс тоо z = a + biТэгээд = a – bi, зөвхөн төсөөллийн хэсгийн тэмдгээр л ялгаатайг коньюгат гэнэ.

Алгебрийн хэлбэрийн комплекс тоон дээрх үйлдлүүд.

Комплекс тоон дээр та дараах үйлдлүүдийг алгебрийн хэлбэрээр хийж болно.

1) Нэмэлт.

Тодорхойлолт. Комплекс тоонуудын нийлбэр z 1 = a 1 + b 1 iТэгээд z 2 = a 2 + b 2 iнийлмэл тоо гэж нэрлэдэг z, бодит хэсэг нь бодит хэсгүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна z 1Тэгээд z 2, мөн төсөөллийн хэсэг нь тоонуудын төсөөллийн хэсгүүдийн нийлбэр юм z 1Тэгээд z 2, тэр бол z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Тоонууд z 1Тэгээд z 2нэр томъёо гэж нэрлэдэг.

Комплекс тоог нэмэх нь дараахь шинж чанартай байдаг.

1º. Солих чадвар: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Нийгэмлэг: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Цогцолбор тоо –а –бинийлмэл тооны эсрэг тоо гэж нэрлэдэг z = a + bi. Цогцолбор тоо, нийлмэл тооны эсрэг z, тэмдэглэсэн -z. Комплекс тоонуудын нийлбэр zТэгээд -zтэгтэй тэнцүү: z + (-z) = 0

Жишээ 1: Нэмэлтийг гүйцэтгэнэ (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Хасах.

Тодорхойлолт.Комплекс тооноос хасах z 1нийлмэл тоо z 2 z,Юу z + z 2 = z 1.

Теорем. Комплекс тоонуудын ялгаа нь байдаг бөгөөд өвөрмөц юм.

Жишээ 2: Хасах үйлдлийг гүйцэтгэнэ (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Үржүүлэх.

Тодорхойлолт. Комплекс тоонуудын үржвэр z 1 =a 1 +b 1 iТэгээд z 2 =a 2 +b 2 iнийлмэл тоо гэж нэрлэдэг zтэгшитгэлээр тодорхойлогддог: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Тоонууд z 1Тэгээд z 2хүчин зүйл гэж нэрлэдэг.

Комплекс тоог үржүүлэх нь дараахь шинж чанартай байдаг.

1º. Солих чадвар: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Нийгэмлэг: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Нэмэлттэй харьцуулахад үржүүлгийн тархалт:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- бодит тоо.

Практикт нийлбэрийг нийлбэрээр үржүүлж, бодит болон төсөөллийн хэсгүүдийг салгах дүрмийн дагуу нийлмэл тоог үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэдэг.

Дараах жишээнд бид нийлмэл тоог дүрмээр, нийлбэрийг нийлбэрээр үржүүлэх гэсэн хоёр аргаар авч үзэх болно.

Жишээ 3: Үржүүлэх үйлдлийг хий (2 + 3i) (5 – 7i).

1 арга. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.

Арга 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) хэлтэс.

Тодорхойлолт. Комплекс тоог хуваах z 1комплекс тоо руу z 2, ийм цогц тоог олно гэсэн үг z, Юу z · z 2 = z 1.

Теорем.Комплекс тоонуудын категори нь байгаа бөгөөд хэрэв байгаа бол өвөрмөц байна z 2 ≠ 0 + 0i.

Практикт нийлмэл тоонуудын хуваагчийг хуваагч болон хуваагчаар үржүүлэх замаар олдог.

Болъё z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Дараа нь

.

Дараах жишээнд бид хуваах үйлдлийг хуваагчтай нэгтгэсэн тоогоор томьёо болон үржүүлэх дүрмийг ашиглан гүйцэтгэнэ.

Жишээ 4. Хэсэлтийг ол .

5) Эерэг бүхэл бүтэн хүчийг өсгөх.

a) Төсөөллийн нэгжийн хүч.

Тэгш эрхийг ашиглах i 2 = -1, төсөөллийн нэгжийн эерэг бүхэл тоог тодорхойлоход хялбар байдаг. Бидэнд байгаа:

би 3 = би 2 би = -i,

би 4 = би 2 би 2 = 1,

би 5 = би 4 би = би,

би 6 = би 4 би 2 = -1,

би 7 = би 5 би 2 = -i,

би 8 = би 6 би 2 = 1гэх мэт.

Энэ нь градусын утгыг харуулж байна би н, Хаана n– эерэг бүхэл тоо, индикатор нэмэгдэх тусам үе үе давтагдана 4 .

Тиймээс тоог нэмэгдүүлэх биэерэг бүхэл хүчинд бид илтгэгчийг хуваах ёстой 4 болон барих биилтгэгч нь хуваагдлын үлдэгдэлтэй тэнцүү зэрэгт.

Жишээ 5: Тооцоол: (би 36 + би 17) би 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

б) Комплекс тоог эерэг бүхэл тоо болгон өсгөх нь ижил цогцолбор хүчин зүйлийг үржүүлэх онцгой тохиолдол тул биномийг харгалзах зэрэгт өсгөх дүрмийн дагуу хийгддэг.

Жишээ 6: Тооцоол: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.