Primeri delovanja dveh naključnih argumentov. Zakoni porazdelitve funkcij naključnih spremenljivk

Vsaka naključna spremenljivka je popolnoma določena s svojo distribucijska funkcija.

Če je x naključna spremenljivka, potem je funkcija F(x) = F x(x) = p(x< x) se imenuje distribucijska funkcija naključna spremenljivka x. Tukaj p(x<x) - verjetnost, da naključna spremenljivka x zavzame vrednost manjšo od x.

Pomembno je razumeti, da je porazdelitvena funkcija »potni list« naključne spremenljivke: vsebuje vse informacije o naključni spremenljivki in torej preučevanje naključne spremenljivke je sestavljeno iz preučevanja njene porazdelitvene funkcije, ki se pogosto preprosto imenuje distribucija.

Funkcija porazdelitve katere koli naključne spremenljivke ima naslednje lastnosti:

funkcija dveh naključni argumenti:Čevsak par možnih vrednosti naključne spremenljivke in ena možna vrednost naključne spremenljivke ustreza, potem se pokliče funkcijo dveh naključnih argumentov in napiši:

Če sta in sta diskretni neodvisni naključni spremenljivki, potem moramo za iskanje porazdelitve funkcije najti vse možne vrednosti, za kar je dovolj, da vsako možno vrednost seštejemo z vsemi možnimi vrednostmi; verjetnosti najdenih vrednosti so enake produktom verjetnosti, seštetih iz vrednosti in.

19. Zakon velikih števil. Izreki zakona velikih števil vzpostavljajo razmerje med naključjem in nujnostjo.

Zakon velikih števil je posplošeno ime za več izrekov, iz katerih izhaja, da se z neomejenim povečanjem števila testov povprečne vrednosti nagibajo k določenim konstantam.

Čebiševljeva neenakost.

Lema: Če ima naključna spremenljivka X končno pričakovanje M(X) in varianco D(X), potem je za vsak pozitivni e neenakost resnična

Čebiševljev izrek: Za dovolj veliko število neodvisnih naključnih spremenljivk X 1, X 2, X 3, ..., X n, od katerih varianca vsake ne presega istega konstantnega števila B, je za poljubno majhno število e velja naslednja neenakost:

Iz izreka sledi, da ima aritmetična sredina naključnih spremenljivk, ko se njihovo število povečuje, lastnost stabilnosti, tj. da se verjetnostno nagiba k nenaključni vrednosti, ki je aritmetična sredina matematičnih pričakovanj teh količin, tj. verjetnost odstopanja glede na absolutna vrednost aritmetična sredina naključnih spremenljivk iz aritmetične sredine njihovih matematičnih pričakovanj je manjša od e ko n neomejeno narašča, teži k 1, tj. postane skoraj gotov dogodek.

poseben primer Čebiševljevega izreka: Let v n poskusih opazimo n vrednosti naključne spremenljivke X, imeti matematično pričakovanje M(X) in varianco D(X). Dobljene vrednosti se lahko obravnavajo kot naključne spremenljivke X 1, X 2, X 3, ..., X n,. To je treba razumeti tako. Serija od n testi se izvajajo večkrat. Zato je kot rezultat i-tega testa i=l, 2, 3, ..., p, v vsaki seriji testov se bo pojavila ena ali druga vrednost naključne spremenljivke X, ni znano vnaprej. torej i-e vrednost xi naključne spremenljivke, pridobljene v i-tem testu, se naključno spreminja pri prehodu iz ene serije testov v drugo. Tako lahko vsako vrednost x i štejemo za naključno spremenljivko Xi.

Bernoullijev izrek. Bernoullijev izrek: Če je verjetnost dogodka A v vsakem od n neodvisnih poskusov konstantna in enaka p, potem je za dovolj veliko n za poljubno e>0 neenakost je res

Prehod do meje, imamo Bernoullijev izrek vzpostavlja povezavo med verjetnostjo dogodka in njegovim relativna frekvenca videz in omogoča približno napovedovanje te frekvence n testi. Iz izreka je jasno, da je razmerje t/n ima lastnost stabilnosti z neomejenim povečanjem števila testov.

Včasih (pri odločanju praktični problemi) je treba oceniti verjetnost, da odstopanje števila m pojava dogodka v n poskusih od pričakovanega rezultata pr ne bo preseglo določeno število e. Za to oceno je neenakost prepisana kot

20. Centralni mejni izreki (C.L.T.)- razred izrekov v teoriji verjetnosti, ki trdijo, da je vsota zadostna velika količinašibko odvisne naključne spremenljivke, ki imajo približno enake lestvice (noben člen ne dominira ali odločilno prispeva k vsoti), ima porazdelitev blizu normalne.

Ker se številne naključne spremenljivke v aplikacijah oblikujejo pod vplivom več šibko odvisnih naključnih dejavnikov, se njihova porazdelitev šteje za normalno. V tem primeru mora biti izpolnjen pogoj, da noben od dejavnikov ni prevladujoč. Centralno mejni izreki v teh primerih je uporaba normalne porazdelitve upravičena.

Konvolucijska formula. Stabilnost normalne porazdelitve.

o Če vsak par možnih vrednosti naključnih spremenljivk X in Y ustreza eni možni vrednosti naključne spremenljivke Z, se imenuje Z funkcija dveh naključnih argumentov X in Y:

Nadaljnji primeri bodo pokazali, kako najti porazdelitev funkcije iz znanih porazdelitev členov. Ta problem se pogosto pojavlja v praksi. Na primer, če je X napaka v odčitkih merilne naprave (enakomerno porazdeljena), potem se pojavi naloga najti zakon porazdelitve vsote napak.

Primer 1. Naj X in Y- diskretne neodvisne naključne spremenljivke. Da bi sestavili porazdelitveni zakon za funkcijo Z=X+Y, je treba najti vse možne vrednosti Z in njihove verjetnosti. Z drugimi besedami, sestavi se serija porazdelitve naključne spremenljivke Z.

Primer 1. Diskretni neodvisni naključni spremenljivki X in Y, določeni s porazdelitvami

Ustvarite porazdelitev naključne spremenljivke Z=X+Y.

Možne vrednosti Z so vsota vsake možne vrednosti X z vsemi možnimi vrednostmi X.

Poiščimo verjetnost teh možnih vrednosti. Za Z=4 je dovolj, da vrednost X zavzame vrednosti x 1 =1 in vrednost Y-vrednost y 1 =3. Verjetnosti teh možnih vrednosti, kot izhaja iz teh porazdelitvenih zakonov, so enake 0,4 oziroma 0,2.

Ker sta naključni spremenljivki X in Y neodvisni, sta dogodka X=1 in Y=3 neodvisna in zato verjetnost njunega skupnega nastopa (tj. verjetnost dogodka Z=1+3=4) glede na množenje izrek je enak 0,4 0, 2=0,08.

Podobno lahko ugotovimo

Zapišimo zahtevano porazdelitev tako, da najprej seštejemo verjetnosti nezdružljivi dogodki Z=z 2 in Z=z 3. (0,32+0,12=0,44)

Kontrola: 0,08+0,44+0,48=1.

Razmislimo splošni primer:

Naj sta X in Y neodvisni naključni spremenljivki, ki zavzemata vrednosti. Označimo z,.

Z=X+H. Označimo z

Tako, - konvolucijska formula.

Primer 2. Naj sta X in Y zvezni naključni spremenljivki.

Izrek.Če sta X in Y neodvisni zvezni naključni spremenljivki, potem je tudi naključna spremenljivka Z=X+Y zvezna in je gostota porazdelitve naključne spremenljivke Z konvolucijska formula.

o Gostota porazdelitve vsote imenujemo neodvisne naključne spremenljivke sestava.

Komentiraj.Če sta možni vrednosti X in Y nenegativni, potem konvolucijska formula .

o Zakon porazdelitve verjetnosti se imenuje trajnostno , če je sestava takšnih zakonov enaka distribucijskemu zakonu (ki se na splošno razlikuje v parametrih). Normalni zakon ima lastnosti stabilnosti, tj. ima tudi sestava normalnih zakonov normalna porazdelitev, matematično pričakovanje in varianca te sestave pa sta enaki vsotam matematičnih pričakovanj oziroma varianc členov:

Zlasti, če X~N(0,1) in Y~N(0,1), potem je Z=X+Y~N(0,2).

Primer 2. Naj bodo naključne spremenljivke X 1,...,X k neodvisne in imajo eksponentna porazdelitev s parametrom λ>0, tj. .

Poiščite gostoto porazdelitve.

Če je x≤0, potem.

Če izvedemo podobno sklepanje, dobimo:

Numerične značilnosti sistema

Dve naključni spremenljivki.

Za opis sistema dveh naključnih spremenljivk se poleg matematičnih pričakovanj in varianc uporabljajo tudi druge značilnosti. Ti vključujejo kovarianco in korekcijski faktor.

o Kovarianca med naključnima spremenljivkama X in Y imenujemo število, kjer.

Za zvezni naključni spremenljivki X in Y uporabite formulo.

Pokažimo, da če sta naključni spremenljivki X in Y neodvisni, potem. Naj sta X in Y zvezni naključni spremenljivki

o Korelacijski koeficient med naključnima spremenljivkama X in Y imenujemo število.

Korelacijske lastnosti.

Lastnost 1. Absolutna vrednost korelacijskega koeficienta ne presega enote, tj. .

Lastnost 2. Da bi bilo potrebno in zadostno, da sta naključni spremenljivki X in Y povezani z linearnim razmerjem. Tisti. z verjetnostjo 1.

Nepremičnina 3.Če so naključne spremenljivke neodvisne, potem so nekorelirane, tj. r=0.

Naj sta X in Y neodvisna, potem po lastnosti matematičnega pričakovanja

o Poklicani sta dve naključni spremenljivki X in Y korelirano, če je njihov korelacijski koeficient različen od nič.

o Naključni spremenljivki X in Y se imenujeta nekoreliraniče je njihov korelacijski koeficient 0.

Komentiraj. Korelacija dveh naključnih spremenljivk implicira njuno odvisnost, odvisnost pa še ne implicira korelacije. Iz neodvisnosti dveh naključnih spremenljivk sledi, da sta nekorelirani, iz nekorelacije pa še vedno ni mogoče sklepati, da sta ti spremenljivki neodvisni.

Korelacijski koeficient označuje nagnjenost naključnih spremenljivk k linearna odvisnost. Večja kot je absolutna vrednost korelacijskega koeficienta, večja je težnja k linearni odvisnosti.

Če je vsak par možnih vrednosti naključnih spremenljivk X in Y ustreza eni možni vrednosti naključne spremenljivke Z, to Z klical funkcija dveh naključnih argumentov X in Y:

Z= j( X, Y).

Nadaljnji primeri bodo pokazali, kako najti porazdelitev funkcije Z = X + Y glede na znane porazdelitve izrazov. Ta problem se pogosto pojavlja v praksi. Na primer, če X- napaka odčitkov merilne naprave (normalno porazdeljena), Y- napaka pri zaokroževanju odčitkov na najbližjo delitev lestvice (enakomerno porazdeljena), potem se pojavi naloga - najti zakon porazdelitve vsote napak Z=X+Y.

1. Naj X in Y-diskretne neodvisne naključne spremenljivke. Da bi sestavili distribucijski zakon funkcije Z = X + Y, poiskati moramo vse možne vrednosti Z in njihove verjetnosti.

Primer 1. Diskretne neodvisne naključne spremenljivke so določene s porazdelitvami:

Ustvarite porazdelitev naključne spremenljivke Z = X+Y.

rešitev. Možne vrednosti Z obstajajo vsote vsake možne vrednosti X z vsemi možnimi vrednostmi Y:

z 1 = 1+ 3= 4; z 2 = 1+ 4= 5; z 3 = 2+ 3= 5; z 4 = 2+ 4= 6.

Poiščimo verjetnosti teh možnih vrednosti. Da bi Z= 4, je dovolj, da vrednost X dobil pomen x 1 =1 in vrednost Y- pomen l 1 = 3. Verjetnosti teh možnih vrednosti, kot izhaja iz teh porazdelitvenih zakonov, so enake 0,4 oziroma 0,2.

Argumenti X in Y sta samostojna, zato dogodki X= 1i Y= 3 so neodvisni in je zato verjetnost njihovega skupnega pojava (tj. verjetnost dogodka Z= 1+3 = 4) je po izreku množenja enako 0,4*0,2 = 0,08.

Podobno najdemo:

p(Z= 1+ 4= 5) = 0, 4* 0, 8= 0, 32;

R(Z= 2 + 3 = 5) = 0, 6* 0, 2 = 0, 12;

R(Z= 2 + 4 = 6)= 0, 6* 0, 8 = 0, 48.

Zapišimo zahtevano porazdelitev tako, da najprej seštejemo verjetnosti nezdružljivi dogodki Z = z 2 , Z = z 3 (0,32+0,12 = 0,44):

Kontrola: 0,08 + 0,44 + 0,48 = 1.

2. Naj X in Y- zvezne naključne spremenljivke. Dokazano: če X in Y neodvisna, nato gostota porazdelitve g(z) zneski Z = X + Y(pod pogojem, da je gostota vsaj enega od argumentov podana na interval() z eno formulo) je mogoče najti z enakostjo

(*)

ali z uporabo enakovredne enakosti

(**)

kje f 1 ,f 2 - porazdelitvene gostote argumentov.

Če so možne vrednosti argumentov nenegativne, potem g(z) najdemo s formulo

(***)

ali z enakovredno formulo

(****)

Imenuje se gostota porazdelitve vsote neodvisnih naključnih spremenljivk sestava.

Zakon porazdelitve verjetnosti se imenuje trajnostno,če je sestava takšnih zakonov enaka zakonu (ki se na splošno razlikuje v parametrih). Normalni zakon ima lastnost stabilnosti: sestava normalnih zakonov ima tudi normalno porazdelitev (matematično pričakovanje in varianca te sestave sta enaki vsoti matematičnih pričakovanj oziroma varianc členov). Na primer, če X in Y- neodvisne naključne spremenljivke, porazdeljene normalno z enakimi matematičnimi pričakovanji in variancami A 1 = Z, a 2 = 4, D 1 =1, D 2 = 0, 5, potem sestava teh količin (tj. gostota verjetnosti vsote Z = X+ Y) je prav tako normalno porazdeljen, matematično pričakovanje in varianca sestave pa sta enaki A = 3 + 4 = 7; D=l +0,5=1,5.

Primer 2. Neodvisne naključne spremenljivke X in Y so podane z gostoto porazdelitve:

f(x)= ;

f(l)= .

Poiščite sestavo teh zakonov, tj. gostoto porazdelitve naključne spremenljivke Z = X+Y.

rešitev. Možne vrednosti argumentov so nenegativne, zato bomo uporabili formulo (***).

Upoštevajte to tukaj z 0 ker Z=X+Y in po pogoju možne vrednosti X in Y nenegativno.

Hi kvadrat porazdelitev

Naj X i(jaz = 1, 2, ..., str) so normalne neodvisne naključne spremenljivke, matematično pričakovanje vsake od njih pa je enako nič, standardni odklon pa je enak ena. Nato vsota kvadratov teh količin

porazdeljeno po zakonu hi kvadrat z k = n stopnje svobode; če so te količine povezane z enim linearnim razmerjem, na primer , nato število prostostnih stopinj k=n- 1.

Gostota te porazdelitve

kje - funkcija gama; zlasti,

(n+ 1)=n!.

To kaže, da je porazdelitev hi kvadrat določena z enim parametrom - številom prostostnih stopenj k.

Z večanjem števila svobodnih stopenj se porazdelitev počasi približuje normalni.

Distribucija študentov

Naj Z je normalna naključna spremenljivka in M(Z) = 0, s( Z)= 1, a V- neodvisno od Z količino, ki se v skladu z zakonom razdeli k stopnje svobode. Nato vrednost

ima distribucijo, imenovano t- distribucija ali Student distribucija (psevdonim angleškega statistika W. Gosseta), z k stopnje svobode.

Torej, razmerje normaliziranega normalne velikosti Za kvadratni koren iz neodvisne naključne spremenljivke, porazdeljene po zakonu hi-kvadrat z k prostostnih stopenj, deljenih s k, razdeljen po Študentski zakon z k stopnje svobode.

Ko se število prostostnih stopinj poveča, se Studentova porazdelitev hitro približa normalni. Več informacij o tej porazdelitvi so navedeni spodaj (glej poglavje XVI, § 16).

§ 15. Razdelitev F Fischer - Snedecor

če U in V-neodvisne naključne spremenljivke, porazdeljene po zakonu s prostostnimi stopnjami k 1 in k 2 , potem vrednost

ima distribucijo, imenovano distribucija F Fischer-Snedecor s prostostnimi stopnjami k 1 in k 2 (včasih označeno z V 2).

Gostota te porazdelitve

Vidimo, da je distribucija F je določen z dvema parametroma - številom prostostnih stopinj. Dodatne informacije o tej distribuciji so podane spodaj (glej poglavje XIX, odstavek 8).

Naloge

1. Poiščite matematično pričakovanje in varianco naključne spremenljivke X, poznavanje njegove porazdelitvene gostote:

A) za druge vrednosti x;

b) f(x)= 1/ 2l pri A- l x a+l, f(x)= 0 za druge vrednosti X.

Rep. a)M(X)= 0, D(X) = l/2; b) M(X)= a, D(X)= l 2 / 3.

2. Naključna spremenljivka X normalno porazdeljena. Matematično pričakovanje in standardni odklon te vrednosti sta enaka 6 oziroma 2. Poiščite verjetnost, da je rezultat testa X bo prevzel vrednost v intervalu (4,8).

Rep. 0,6826.

3. Naključna spremenljivka je normalno porazdeljena. Standardni odklon te vrednosti je 0,4. Poiščite verjetnost, da bo odstopanje naključne spremenljivke od njenega matematičnega pričakovanja v absolutni vrednosti manjše od 0,3.

Rep. 0,5468.

4. Možne so naključne merilne napake normalno pravo s povprečjem kvadratno odstopanje s=1 mm in matematično pričakovanje A= 0. Poiščite verjetnost, da pri dveh neodvisnih opazovanjih napaka vsaj enega ne bo presegla absolutne vrednosti 1,28 mm.

Rep. 0,96.

5. Valji, izdelani z avtomatskim strojem, veljajo za standardne, če odstopanje premera valja od konstrukcijske velikosti ne presega 2 mm. Naključna odstopanja premeri valjev upoštevajo normalni zakon s standardnim odklonom s = 1,6 mm in matematičnim pričakovanjem a = 0. Kolikšen odstotek standardnih valjev proizvede stroj?

Rep. Približno 79 %.

6. Diskretna naključna spremenljivka X je podana z distribucijskim zakonom: