na temo: »Zakoni velike številke»
Enako porazdeljene naključne spremenljivke
Za rešitev mnogih praktični problemi potrebno je poznati kompleks pogojev, zaradi katerih nastane rezultat kumulativnega vpliva velika količina naključni dejavniki so skoraj neodvisni od naključja. Ti pogoji so opisani v več izrekih, imenovanih pogosto ime zakon velikih števil, kjer je naključna spremenljivka k enaka 1 ali 0, odvisno od tega, ali je rezultat k-tega poskusa uspeh ali neuspeh. Tako je Sn vsota n medsebojno neodvisnih naključne spremenljivke, od katerih ima vsaka vrednosti 1 in 0 z verjetnostmi p in q.
Najenostavnejša oblika zakon velikih števil - Bernoullijev izrek, ki pravi, da če je verjetnost dogodka enaka v vseh poskusih, potem ko se število poskusov poveča, se pogostost dogodka nagiba k verjetnosti dogodka in preneha biti naključna. .
Poissonov izrek pravi, da je pogostost dogodka v seriji neodvisni testi teži k aritmetični sredini svojih verjetnosti in preneha biti naključna.
Mejni izreki teorije verjetnosti, Moivre-Laplaceov izrek pojasnjujejo naravo stabilnosti pogostosti pojavljanja dogodka. Ta narava je v tem, da je mejna porazdelitev števila pojavov dogodka z neomejenim povečanjem števila poskusov (če je verjetnost dogodka v vseh poskusih enaka) normalna porazdelitev.
Centralno mejni izrek pojasnjuje široko razširjenost zakona normalne porazdelitve. Izrek pravi, da kadarkoli naključna spremenljivka nastane kot rezultat seštevanja veliko število neodvisne naključne spremenljivke s končnimi variancami, se izkaže, da je porazdelitveni zakon te naključne spremenljivke skoraj normalen zakon.
Izrek Ljapunova pojasnjuje široko razširjenost normalnega zakona porazdelitve in pojasnjuje mehanizem njegovega nastanka. Izrek nam omogoča, da trdimo, da kadar koli naključna spremenljivka nastane kot rezultat dodajanja velikega števila neodvisnih naključnih spremenljivk, katerih variance so majhne v primerjavi z razpršenostjo vsote, se porazdelitveni zakon te naključne spremenljivke obrne skoraj normalen zakon. In ker se vedno generirajo naključne spremenljivke neskončno število razlogov in največkrat nobena od njih nima razpršenosti, primerljive z razpršenostjo same naključne spremenljivke, potem je večina naključnih spremenljivk, ki jih srečamo v praksi, podvržena normalno pravo distribucije.
Kvalitativne in kvantitativne izjave zakona velikih števil temeljijo na Čebiševljeva neenakost. Določa Zgornja meja verjetnost, da je odstopanje vrednosti naključne spremenljivke od njenega matematičnega pričakovanja večje od nekaterih dano številko. Zanimivo je, da Chebyshevljeva neenakost daje oceno verjetnosti dogodka za naključno spremenljivko, katere porazdelitev je neznana, le njena pričakovana vrednost in disperzija.
Čebiševljeva neenakost. Če ima naključna spremenljivka x varianco, potem za vsak x > 0 velja neenakost, kjer M x in D x - matematično pričakovanje in varianca slučajne spremenljivke x.
Bernoullijev izrek. Naj bo x n število uspehov v n Bernoullijevih poskusih in p verjetnost uspeha v posameznem poskusu. Potem je za vsak s > 0, .
Lyapunovov izrek. Naj bo s 1, s 2, …, s n, …– neomejeno zaporedje neodvisne naključne spremenljivke z matematičnimi pričakovanji m 1, m 2, …, m n, … in variancami s 1 2, s 2 2, …, s n 2 …. Označimo , , , .
Potem = Ф(b) - Ф(a) za poljubno realna števila a in b, kjer je Ф(x) funkcija normalne porazdelitve.
Naj bo podana diskretna naključna spremenljivka. Oglejmo si odvisnost števila uspehov Sn od števila poskusov n. Za vsak poskus se Sn poveča za 1 ali 0. To izjavo lahko zapišemo kot:
Sn = 1 +…+ n. (1,1)
Zakon velikih števil. Naj bo (k) zaporedje med seboj neodvisnih naključnih spremenljivk z enakimi porazdelitvami. Če obstaja matematično pričakovanje = M(k), potem je za katero koli > 0 za n
Z drugimi besedami, verjetnost, da se povprečje S n /n razlikuje od matematičnega pričakovanja za manj kot poljubno podano vrednost, teži k ena.
Centralni mejni izrek. Naj bo (k) zaporedje med seboj neodvisnih naključnih spremenljivk z enakimi porazdelitvami. Predpostavimo, da obstajajo. Naj bo Sn = 1 +…+ n, potem za katero koli fiksno
F () - F () (1,3)
Tukaj F(x) - normalno delovanje razdeljujem. Ta izrek je oblikoval in dokazal Linlberg. Ljapunov in drugi avtorji so to dokazali že prej, pod bolj restriktivnimi pogoji. Treba si je predstavljati, da je zgornji izrek le zelo poseben primer veliko več splošni izrek, kar je tesno povezano s številnimi drugimi mejnimi izreki. Upoštevajte, da je (1.3) veliko močnejši od (1.2), saj (1.3) daje oceno za verjetnost, da je razlika večja od . Po drugi strani pa zakon velikih števil (1.2) velja tudi, če naključne spremenljivke k nimajo končne variance, zato velja za več splošni primer kot centralni limitni izrek (1.3). Zadnja dva izreka ponazorimo s primeri.
Primeri. a) Oglejmo si zaporedje neodvisnih metov simetrične kocke. Naj bo k število točk, pridobljenih med k-tim metom. Potem
M( k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3,5,
a D( k)=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2)/6-(3,5) 2 =35/12 in S n /n
je povprečno število točk, ki izhaja iz n metov.
Zakon velikih števil navaja, da je verjetno, da bo za velike n to povprečje blizu 3,5. Osrednji mejni izrek navaja verjetnost, da je |Sn - 3,5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() - Ф(- ). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф( 0)- Ф(- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.
b) Vzorčenje. Predpostavimo, da v prebivalstvo,
ki jih sestavlja N družin, ima Nk družin vsaka natanko k otrok
(k = 0, 1 ...; Nk = N). Če je družina izbrana naključno, potem je število otrok v njej naključna spremenljivka, ki ima vrednost z verjetnostjo p = N /N. Pri zaporedni izbiri si lahko ogledate vzorec velikosti n kot zbirko n neodvisnih naključnih spremenljivk ali "opazanj" 1, ..., n, ki imajo vse enako porazdelitev; S n /n je povprečje vzorca. Zakon velikih števil pravi, da za dovolj veliko naključni vzorec njegovo povprečje bo verjetno blizu , to je povprečju populacije. Osrednji mejni izrek omogoča oceno verjetne velikosti odstopanja med temi povprečji in določitev velikosti vzorca, ki je potrebna za zanesljivo oceno. V praksi, in in so običajno neznani; vendar je v večini primerov enostavno dobiti predhodno oceno in jo je vedno mogoče omejiti v zanesljive meje. Če želimo verjetnost 0,99 ali večjo, da se povprečje vzorca S n /n razlikuje od povprečja neznane populacije za manj kot 1/10, je treba velikost vzorca vzeti tako, da
Koren x enačbe F(x) - F(- x) = 0,99 je x = 2,57 ..., zato mora biti n tak, da je 2,57 ali n > 660. Natančna predhodna ocena omogoča iskanje zahtevane velikosti vzorca.
c) Poissonova porazdelitev.
Recimo, da imajo naključne spremenljivke k Poissonovo porazdelitev (p(k; )). Potem ima Sn Poissonovo porazdelitev s povprečjem in varianco enako n.
Če pišemo namesto n, sklepamo, da je za n
Seštevanje se izvaja po vseh k od 0 do . Ph-la (1.5) velja tudi na poljuben način.
Že znano je, da je po distribucijskem zakonu mogoče najti numerične značilnosti naključna spremenljivka. Iz tega sledi, da če ima več naključnih spremenljivk enake porazdelitve, potem so njihove numerične značilnosti enake.
Razmislimo n medsebojno neodvisne naključne spremenljivke X 1 , X 2 , …,Xn, ki imajo enake porazdelitve in s tem enake značilnosti (matematično pričakovanje, disperzija itd.). Najbolj zanimiva je študija numeričnih značilnosti aritmetične sredine teh količin.
Označimo aritmetično sredino obravnavanih naključnih spremenljivk z:
.
Naslednje tri določbe vzpostavljajo povezavo med numeričnimi značilnostmi aritmetične sredine in pripadajočimi značilnostmi vsake posamezne količine.
1. Matematično pričakovanje povprečja aritmetična ena sorazdeljenih medsebojno neodvisnih naključnih spremenljivk je enako matematičnemu pričakovanju vsake od vrednosti:
Dokaz. Uporaba lastnosti matematičnega pričakovanja ( stalni faktor se lahko izloči kot znak matematičnega pričakovanja; je matematično pričakovanje vsote enako vsoti matematičnih pričakovanj členov), imamo
Ob upoštevanju, da je matematično pričakovanje vsake od količin glede na pogoj enako A, dobimo
.
2. Disperzija aritmetične sredine n enako porazdeljene medsebojno neodvisne naključne spremenljivke v n krat manjše odstopanje D vsaka od količin:
Dokaz. Uporaba lastnosti disperzije (konstantni faktor lahko izločimo iz predznaka disperzije tako, da ga kvadriramo; disperzija vsote neodvisne količine enak vsoti varianc členov), imamo
Ob upoštevanju, da je disperzija vsake od količin glede na pogoj enaka D, dobimo
.
3. Povprečje standardni odklon aritmetična sredina n enako porazdeljene med seboj neodvisne naključne spremenljivke so krat manjše od standardnega odklona vsake od vrednosti:
Dokaz. Ker je , potem je standardni odklon enak
.
Splošni zaključek iz formul (7.3) in (7.4): ob upoštevanju, da disperzija in standardni odklon služita kot meri razpršenosti naključne spremenljivke, sklepamo, da ima aritmetična sredina dovolj velikega števila med seboj neodvisnih naključnih spremenljivk bistveno manjšo razpršenost kot vsaka individualna vrednost.
Naj na primeru pojasnimo pomen tega sklepa za prakso.
Primer. Običajno za merjenje nekaterih fizikalna količina opravimo več meritev, nato pa poiščemo aritmetično sredino dobljenih števil, ki jo vzamemo kot približno vrednost izmerjene vrednosti. Ob predpostavki, da so meritve opravljene pod enakimi pogoji, dokažite:
a) aritmetična sredina daje bolj zanesljiv rezultat kot posamezne meritve;
b) z večanjem števila meritev se zanesljivost tega rezultata povečuje.
rešitev. a) Znano je, da posamezne meritve dajejo različne vrednosti merjene količine. Rezultat vsake meritve je odvisen od številnih naključnih razlogov (spremembe temperature, nihanja inštrumenta itd.), ki niso vnaprej v celoti upoštevani.
Zaradi tega smo upravičeni upoštevati možne rezultate n posamezne meritve kot naključne spremenljivke X 1 , X 2 , …,Xn(indeks označuje številko meritve). Te količine imajo enako verjetnostno porazdelitev (meritve se izvajajo z isto metodo in z istimi instrumenti) in torej enake numerične značilnosti; poleg tega so med seboj neodvisni (rezultat vsake posamezne meritve ni odvisen od drugih meritev).
Kot je bilo prikazano, ima aritmetična sredina takih količin manj sipanja kot vsaka posamezna količina. Z drugimi besedami, izkaže se, da je aritmetična sredina bližja pravi pomen izmerjene količine kot rezultat ene same meritve. To pomeni, da aritmetična sredina več meritev daje bolj zanesljiv rezultat kot ena sama meritev.
b) Znano je, da se z večanjem števila posameznih slučajnih spremenljivk disperzija aritmetične sredine zmanjšuje. To pomeni, da se z večanjem števila meritev aritmetična sredina več meritev vedno manj razlikuje od prave vrednosti izmerjene vrednosti. S povečanjem števila meritev pa dobimo zanesljivejši rezultat.
Na primer, če je standardna deviacija posamezne meritve s = 6 m in je vsa izvedena n= 36 meritev, potem je standardna deviacija aritmetične sredine teh meritev samo 1 m.
.
Očitno se je aritmetična sredina več meritev, kot bi pričakovali, izkazala bližje pravi vrednosti izmerjene vrednosti kot rezultat ločene meritve.
Za rešitev številnih praktičnih problemov je potrebno poznati niz pogojev, zaradi katerih je rezultat skupnega vpliva velikega števila naključnih dejavnikov skoraj neodvisen od naključja. Ti pogoji so opisani v več izrekih, ki jih skupaj imenujemo zakon velikih števil, kjer je naključna spremenljivka k enaka 1 ali 0, odvisno od tega, ali je rezultat k-tega poskusa uspeh ali neuspeh. Tako je Sn vsota n medsebojno neodvisnih naključnih spremenljivk, od katerih ima vsaka vrednosti 1 in 0 z verjetnostmi p in q.
Najenostavnejša oblika zakona velikih števil je Bernoullijev izrek, ki pravi, da če je verjetnost dogodka enaka v vseh poskusih, potem ko se število poskusov poveča, se pogostost dogodka nagiba k verjetnosti dogodka in preneha biti naključen.
Poissonov izrek navaja, da se pogostost dogodka v seriji neodvisnih poskusov nagiba k aritmetični sredini njegovih verjetnosti in preneha biti naključna.
Mejni izreki teorije verjetnosti, Moivre-Laplaceov izrek pojasnjujejo naravo stabilnosti pogostosti pojavljanja dogodka. Ta narava je v tem, da je mejna porazdelitev števila pojavov dogodka z neomejenim povečanjem števila poskusov (če je verjetnost dogodka v vseh poskusih enaka) normalna porazdelitev.
Centralni mejni izrek razloži razširjeno porazdelitev normalnega porazdelitvenega zakona. Izrek pravi, da kadar koli naključna spremenljivka nastane kot rezultat dodajanja velikega števila neodvisnih naključnih spremenljivk s končnimi variancami, se izkaže, da je porazdelitveni zakon te naključne spremenljivke skoraj normalen zakon.
Ljapunovljev izrek razloži široko razširjenost normalnega porazdelitvenega zakona in razloži mehanizem njegovega nastanka. Izrek nam omogoča, da trdimo, da kadar koli naključna spremenljivka nastane kot rezultat dodajanja velikega števila neodvisnih naključnih spremenljivk, katerih variance so majhne v primerjavi z razpršenostjo vsote, se porazdelitveni zakon te naključne spremenljivke obrne skoraj normalen zakon. In ker naključne spremenljivke vedno generira neskončno število vzrokov in največkrat nobeden od njih nima razpršenosti, primerljive z razpršenostjo same naključne spremenljivke, za večino naključnih spremenljivk, ki jih srečamo v praksi, velja normalni porazdelitveni zakon.
Kvalitativne in kvantitativne izjave zakona velikih števil temeljijo na Čebiševljeva neenakost. Določa zgornjo mejo verjetnosti, da je odstopanje vrednosti naključne spremenljivke od njenega matematičnega pričakovanja večje od določene določene številke. Zanimivo je, da Chebyshevljeva neenakost daje oceno verjetnosti dogodka za naključno spremenljivko, katere porazdelitev ni znana, znani sta samo njeno matematično pričakovanje in varianca.
Čebiševljeva neenakost. Če ima naključna spremenljivka x varianco, potem za vsak x > 0 velja naslednja neenakost, kjer M x in D x - matematično pričakovanje in varianca slučajne spremenljivke x.
Bernoullijev izrek. Naj bo x n število uspehov v n Bernoullijevih poskusih in p verjetnost uspeha v posameznem poskusu. Potem velja za vsak s > 0.
Ljapunovljev izrek. Naj bo s 1, s 2, …, s n, … neomejeno zaporedje neodvisnih naključnih spremenljivk z matematičnimi pričakovanji m 1, m 2, …, m n, … in variancami s 1 2, s 2 2, …, s n 2 …. Označimo.
Potem je = Ф(b) - Ф(a) za poljubna realna števila a in b, kjer je Ф(x) normalna porazdelitvena funkcija.
Naj bo podana diskretna naključna spremenljivka. Oglejmo si odvisnost števila uspehov Sn od števila poskusov n. Za vsak poskus se Sn poveča za 1 ali 0. To izjavo lahko zapišemo kot:
Sn = 1 +…+ n. (1,1)
Zakon velikih števil. Naj bo (k) zaporedje med seboj neodvisnih naključnih spremenljivk z enakimi porazdelitvami. Če obstaja matematično pričakovanje = M(k), potem je za katero koli > 0 za n
Z drugimi besedami, verjetnost, da se povprečje S n /n razlikuje od matematičnega pričakovanja za manj kot poljubno podano vrednost, teži k ena.
Centralni mejni izrek. Naj bo (k) zaporedje med seboj neodvisnih naključnih spremenljivk z enakimi porazdelitvami. Predpostavimo, da obstajajo. Naj bo Sn = 1 +…+ n, potem za katero koli fiksno
F () -- F () (1,3)
Tukaj je F(x) funkcija normalne porazdelitve. Ta izrek je oblikoval in dokazal Linlberg. Ljapunov in drugi avtorji so to dokazali že prej, pod bolj restriktivnimi pogoji. Treba si je predstavljati, da je zgoraj formuliran izrek le zelo poseben primer veliko bolj splošnega izreka, ki je tesno povezan s številnimi drugimi mejnimi izreki. Upoštevajte, da je (1.3) veliko močnejši od (1.2), saj (1.3) daje oceno za verjetnost, da je razlika večja od. Po drugi strani pa je zakon velikih števil (1.2) resničen tudi, če naključne spremenljivke k nimajo končne variance, tako da velja za bolj splošen primer kot osrednji mejni izrek (1.3). Zadnja dva izreka ponazorimo s primeri.
Primeri. a) Oglejmo si zaporedje neodvisnih metov simetrične kocke. Naj bo k število točk, pridobljenih med k-tim metom. Potem
M(k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3,5,
a D(k)=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2)/6-(3,5) 2 =35/12 in S n /n
je povprečno število točk, ki izhaja iz n metov.
Zakon velikih števil navaja, da je verjetno, da bo za velike n to povprečje blizu 3,5. Centralni mejni izrek navaja verjetnost, da je |Sn -- 3,5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() -- Ф(-). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф(0)-- Ф(-- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.
b) Vzorčenje. Predpostavimo, da v splošni populaciji,
ki jih sestavlja N družin, ima Nk družin vsaka natanko k otrok
(k = 0, 1 ...; Nk = N). Če je družina izbrana naključno, potem je število otrok v njej naključna spremenljivka, ki ima vrednost z verjetnostjo p = N/N. Pri zaporedni izbiri si lahko ogledate vzorec velikosti n kot zbirko n neodvisnih naključnih spremenljivk ali "opazanj" 1, ..., n, ki imajo vse enako porazdelitev; S n /n je povprečje vzorca. Zakon velikih števil navaja, da bo za dovolj velik naključni vzorec njegova sredina verjetno blizu, to je povprečju populacije. Osrednji mejni izrek omogoča oceno verjetne velikosti neskladja med temi povprečji in določitev velikosti vzorca, ki je potrebna za zanesljivo oceno. V praksi, in in so običajno neznani; vendar je v večini primerov enostavno pridobiti predhodno oceno in jo je vedno mogoče omejiti v zanesljive meje. Če želimo verjetnost 0,99 ali večjo, da se povprečje vzorca S n /n razlikuje od povprečja neznane populacije za manj kot 1/10, je treba velikost vzorca vzeti tako, da
Koren x enačbe Ф(x) - Ф(-- x) = 0,99 je enak x = 2,57 ..., zato mora biti n tak, da je 2,57 ali n > 660. Natančna predhodna ocena omogoča iskanje zahtevane velikosti vzorca.
c) Poissonova porazdelitev.
Recimo, da imajo naključne spremenljivke k Poissonovo porazdelitev (p(k;)). Potem ima Sn Poissonovo porazdelitev s povprečjem in varianco enako n.
Če pišemo namesto n, sklepamo, da je za n
Seštevanje se izvaja po vseh k od 0 do. Ph-la (1.5) velja tudi na poljuben način.
Naj so znani standardni odkloni več med seboj neodvisnih naključnih spremenljivk. Kako najti standardni odklon vsote teh količin? Odgovor na to vprašanje daje naslednji izrek.
Izrek. Standardni odklon vsote končno število med seboj neodvisne naključne spremenljivke enake kvadratni koren iz vsote kvadratov standardnih odklonov teh količin."
Dokaz. Označimo z X vsota obravnavanih med seboj neodvisnih količin:
Varianca vsote več med seboj neodvisnih naključnih spremenljivk je enaka vsoti varianc členov (glej § 5, posledica 1), torej
ali končno
Enako porazdeljene med seboj neodvisne naključne spremenljivke
Znano je že, da je po distribucijskem zakonu mogoče najti numerične značilnosti naključne spremenljivke. Iz tega sledi, da če ima več naključnih spremenljivk enake porazdelitve, potem so njihove numerične značilnosti enake.
Razmislimo p medsebojno neodvisne naključne spremenljivke X v X v ..., Xfi, ki imajo enake porazdelitve in s tem enake značilnosti (matematično pričakovanje, disperzija itd.). Najbolj zanimiva je študija numeričnih značilnosti aritmetične sredine teh količin, kar bomo storili v tem razdelku.
Označimo aritmetično sredino obravnavanih naključnih spremenljivk z X:
Naslednje tri določbe vzpostavljajo povezavo med numeričnimi značilnostmi aritmetične sredine X in ustrezne značilnosti vsake posamezne količine.
1. Matematično pričakovanje aritmetične sredine enako porazdeljenih med seboj neodvisnih naključnih spremenljivk je enako matematičnemu pričakovanju a vsake od spremenljivk:
Dokaz. Z uporabo lastnosti matematičnega pričakovanja (konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka matematičnega pričakovanja; matematično pričakovanje vsote je enako vsoti matematičnih pričakovanj členov) imamo
Ob upoštevanju, da je matematično pričakovanje vsake od količin glede na pogoj enako A, dobimo
2. Disperzija aritmetične sredine n enako porazdeljenih med seboj neodvisnih slučajnih spremenljivk je n-krat manjša od disperzije D vsake od spremenljivk.:
Dokaz. Z uporabo lastnosti disperzije (konstantni faktor lahko izvzamemo iz predznaka disperzije tako, da ga kvadriramo; disperzija vsote neodvisnih količin je enaka vsoti disperzij členov) imamo
§ 9. Enako porazdeljene med seboj neodvisne naključne spremenljivke 97
Ob upoštevanju, da je disperzija vsake od količin po pogoju enaka D, dobimo
3. Standardni odklon aritmetične sredine n enako porazdeljenih med seboj neodvisnih naključnih
vrednosti so 4n-krat manjše od standardnega odklona a vsake od vrednosti:
Dokaz. Ker D(X) = D/n nato standardni odklon X enako
Splošni sklep iz formul (*) in (**): ob upoštevanju, da disperzija in standardni odklon služita kot meri disperzije naključne spremenljivke, sklepamo, da ima aritmetična sredina dovolj velikega števila med seboj neodvisnih naključnih spremenljivk
bistveno manj razpršitve kot vsaka posamezna vrednost.
Naj na primeru pojasnimo pomen tega sklepa za prakso.
Primer. Običajno se za merjenje določene fizikalne količine izvede več meritev, nato pa se poišče aritmetična sredina dobljenih števil, ki se vzame kot približna vrednost izmerjene količine. Ob predpostavki, da so meritve opravljene pod enakimi pogoji, dokažite:
- a) aritmetična sredina daje bolj zanesljiv rezultat kot posamezne meritve;
- b) z večanjem števila meritev se zanesljivost tega rezultata povečuje.
Rešitev, a) Znano je, da posamezne meritve dajejo neenake vrednosti merjene količine. Rezultat vsake meritve je odvisen od številnih naključnih razlogov (spremembe temperature, nihanja inštrumenta itd.), ki jih ni mogoče v celoti upoštevati vnaprej.
Zato imamo pravico upoštevati možne rezultate p posamezne meritve kot naključne spremenljivke X v X 2,..., X str(indeks označuje številko meritve). Te količine imajo enakomerna porazdelitev verjetnosti (meritve se izvajajo z isto metodologijo in enakimi instrumenti), torej enake numerične značilnosti; poleg tega so med seboj neodvisni (rezultat vsake posamezne meritve ni odvisen od drugih meritev).
Vemo že, da ima aritmetična sredina takih količin manjšo disperzijo kot vsaka posamezna količina. Z drugimi besedami, izkaže se, da je aritmetična sredina bližja pravi vrednosti izmerjene vrednosti kot rezultat ločene meritve. To pomeni, da aritmetična sredina več meritev daje rezultat več primerov kot ena sama meritev.
b) Vemo že, da se z večanjem števila posameznih slučajnih spremenljivk disperzija aritmetične sredine zmanjšuje. To pomeni, da se z večanjem števila meritev aritmetična sredina več meritev vedno manj razlikuje od prave vrednosti izmerjene vrednosti. Tako s povečanjem števila meritev dobimo zanesljivejši rezultat.
Na primer, če je standardna deviacija posamezne meritve a = 6 m in skupno p= 36 meritev, potem je standardna deviacija aritmetične sredine teh meritev samo 1 m.
Vidimo, da se je aritmetična sredina več meritev, kot bi pričakovali, izkazala bližje pravi vrednosti izmerjene vrednosti kot rezultat ločene meritve.
