Predstavljamo vam video vadnico na temo "Konstrukcija trikotnika s tremi elementi." Znali boste rešiti več primerov iz razreda konstrukcijskih problemov. Učitelj bo podrobno analiziral problem konstruiranja trikotnika s tremi elementi, spomnil pa se bo tudi na izrek o enakosti trikotnikov.
Ta tema ima široko praktična uporaba, zato si poglejmo nekaj vrst reševanja problemov. Naj vas spomnimo, da se vse konstrukcije izvajajo izključno s pomočjo šestila in ravnila.
Primer 1:
Z dvema stranicama in kotom med njima sestavi trikotnik.
Podano: Recimo, da analizirani trikotnik izgleda takole
riž. 1.1. Analiziran primer trikotnika 1
Naj bosta dana segmenta c in a, dani kot pa je
riž. 1.2. Dani elementi na primer 1
Konstrukcija:
Najprej morate odložiti kot 1
riž. 1.3. Odloženi kot 1 na primer 1
Nato ob straneh podani kot ti dve stranici s šestilom odstavimo: s šestilom izmerimo dolžino stranice A in konico šestila postavimo na vrh kota 1, z drugim delom pa naredimo zarezo na stranici kota 1. Podoben postopek naredimo s stranico z
riž. 1.4. Postavite na stran A in z na primer 1
Nato nastale zareze povežemo in dobimo želeni trikotnik ABC
riž. 1.5. Konstruiran trikotnik ABC na primer 1
Ali bo dani trikotnik enako pričakovanemu? Bo, ker so elementi nastalega trikotnika (dve stranici in kot med njima) enaki obema stranicama in kotu med njima, podanim v pogoju. Zato je po prvi lastnosti enakosti trikotnikov - - želeni.
Gradnja je končana.
Opomba:
Spomnimo se, kako narišemo kot, ki je enak danemu.
Primer 2
Od danega žarka odštej kot, ki je enak danemu. Podana sta kot A in žarek OM. Zgradite.
Konstrukcija:
riž. 2.1. Pogoj na primer 2
1. Konstruirajmo krožnico Okr(A, r = AB). Točki B in C sta presečni točki s stranicami kota A
riž. 2.2. Rešitev primera 2
1. Konstruirajmo krožnico Okr(D, r = CB). Točki E in M sta presečni točki s stranicami kota A
riž. 2.3. Rešitev primera 2
1. Kot MOE je želeni, saj 
.
Gradnja je končana.
Primer 3
Sestavi trikotnik ABC glede na znana stranka in dva sosednja kota.
Naj analizirani trikotnik izgleda takole:
riž. 3.1. Pogoj na primer 3
Potem so dani segmenti videti takole
riž. 3.2. Pogoj na primer 3
Konstrukcija:
Na ravnino narišimo kot
riž. 3.3. Rešitev na primer 3
Na stranico danega kota narišemo dolžino stranice A
riž. 3.4. Rešitev na primer 3
Nato od oglišča odmaknemo kot C. Neskupni stranici kotov γ in α se sekata v točki A
riž. 3.5. Rešitev na primer 3
Ali je sestavljeni trikotnik želeni? Je, ker sta stranica in dva sosednja kota sestavljenega trikotnika enaki stranici in kotu med njima, ki sta navedena v pogoju
Iskan po drugem kriteriju za enakost trikotnikov
Gradnja končana
Primer 4
Sestavi trikotnik z 2 krakoma
Naj analizirani trikotnik izgleda takole
riž. 4.1. Pogoj na primer 4
Znani elementi - noge
riž. 4.2. Pogoj na primer 4
Ta naloga se od prejšnjih razlikuje po tem, da je kot med stranicama mogoče določiti privzeto - 90 0
Konstrukcija:
Odložimo kot, ki je enak 90 0. To bomo storili na popolnoma enak način, kot je prikazano v primeru 2
riž. 4.3. Rešitev na primer 4
Nato na stranicah tega kota narišemo dolžine stranic A in b, podan v pogoju
riž. 4.4. Rešitev na primer 4
Posledično je dobljeni trikotnik želeni, ker sta njegovi dve strani in kot med njima enaki obema stranicama in kotu med njima, podanim v pogoju
Upoštevajte, da lahko določite kot 90 0 tako, da sestavite dve pravokotni črti. Poglejmo, kako to nalogo opraviti v dodatni primer
Dodaten primer
Obnovite pravokotnico na premico p, ki poteka skozi točko A,
Premica p in točka A, ki leži na tej premici
riž. 5.1. Pogoj za dodatni primer
Konstrukcija:
Najprej sestavimo krog poljubnega polmera s središčem v točki A
riž. 5.2. Rešitev dodatnega primera
Ta krog seka premico r v točkah K in E. Nato konstruiramo dve krožnici Okr(K, R = KE), Okr(E, R = KE). Ti krogi se sekata v točkah C in B. Dolžina NE je zahtevana,
riž. 5.3. Odgovor na dodatni primer
- Enotna zbirka digitalnih izobraževalni viri ().
- Mentor matematike ().
- Št. 285, 288. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Poznyak E. G., Yudina I. I. uredil Tikhonov A. N. Geometrija razredi 7-9. M.: Razsvetljenje. 2010
- Zgradite enakokraki trikotnik vzdolž stranice in vogala nasproti baze.
- Zgradite pravokotni trikotnik s hipotenuzo in ostrim kotom
- Sestavi trikotnik s pomočjo kota, nadmorske višine in simetrale, narisanih iz oglišča danega kota.
Trikotnik zgradimo s stranico in dvema sosednjima kotoma - navodila za sestavo.
Trikotnik je geometrijski lik, ki nastane pri povezovanju s segmenti tri točke, ki ne pripadajo isti liniji. Enolično ga definira niz treh podatkov: tri stranice, dve stranici in kot med njima ali stranica in dva sosednja kota.
Na primer, poskusimo sestaviti trikotnik s stranico in dvema sosednjima kotoma?
Gradnja trikotnika
Najprej se segment nariše na ravni črti, enaka dolžini dana stran. Konci segmenta so označeni s točkama A in B.
Če želite sestaviti trikotnik, morate narisati dane kote iz točk A in B. Če so podane vrednosti kotov, uporabite kotomer za konstrukcijo:
- Spodnjo vrstico kotomerja poravnamo vzdolž ravne črte;
- Referenčna točka je nastavljena na točko A za prvi kot in na točko B za drugi;
- Nato odložimo vrednosti kotov. Piki postavimo poleg ustrezne razdelitve lestvice in ju označimo z M in N;
- Točki A in M, B in N povežemo z ravnimi črtami, ki bodo tretje in zadnje oglišče trikotnika C.
Tako sta na tej strani in dve podani sosednji koti je zgrajen trikotnik.
Grafični kot
Za sestavo trikotnika z dano stranico in dvema danima sosednjima kotoma so koti pogosto določeni grafično. Naloga postane bolj zapletena, saj morate zgraditi kot, ki je po velikosti enak danemu grafičnemu kotu.
Vrednost grafično določenega kota lahko izmerite s kotomerjem in pridobite vrednosti sosednjih kotov, nato pa z metodo, opisano v prejšnjem odstavku, sestavite trikotnik.
Uporabljamo kompas
Za drugo metodo konstruiranja kota, ki po velikosti ustreza danemu, boste potrebovali kompas:
- S šestilom s poljubno rešitvijo nariši krog s središčem v izhodišče kotiček. Označimo presečišča kroga in strani kota z M in N;
- Zdaj pa se vrnimo k segmentu AB, enaka straniželeni trikotnik. Brez spreminjanja rešitve narišite krog iz točke A in označite točko njegovega presečišča z segmentom AB - dobimo točko M1;
- Nazaj na podani kot. Postavite nogo kompasa v točko M in naredite raztopino enako MN;
- Zdaj, ne da bi spremenili kot kompasa, narišite krog iz točke M1, dokler se ne seka s prvim krogom - dobimo točko N1;
- Povežite ravni točki A in N1. Kot M1AN1 bo enak danemu;
- Konstruiramo tudi drugi kot v točki B. Sečišče stranic konstruiranih kotov bo manjkajoče oglišče C.
Na ta način je s šestilom sestavljen trikotnik s stranico in dvema podanima sosednjima kotoma s šestilom.
Njihovo bistvo je zgraditi kateri koli geometrijski predmet v skladu s katerim koli zadostnim nizom začetnih pogojev, pri čemer imata pri roki le šestilo in ravnilo. Razmislimo splošna shema za opravljanje naslednjih nalog:
Analiza naloge.
Ta del vključuje vzpostavitev povezave med elementi, ki jih je treba zgraditi, in začetnimi pogoji problema. Po zaključku te točke bi morali imeti načrt za rešitev našega problema.
Gradnja.
Tukaj izvajamo gradnjo po načrtu, ki smo ga pripravili zgoraj.
Dokaz.
Tu dokažemo, da figura, ki smo jo sestavili, dejansko izpolnjuje začetne pogoje problema.
Študij.
Tu ugotovimo, pod katerimi podatki ima problem eno rešitev, pod katerimi jih je več in pod katerimi ni nobene.
Nato bomo preučili probleme konstruiranja trikotnikov z različnimi tremi elementi. Tukaj ne bomo upoštevali elementarne konstrukcije, kot so segment, kot itd. Do zdaj bi že morali imeti te veščine.
Sestavljanje trikotnika z uporabo dveh stranic in kota med njima
Primer 1
Sestavimo trikotnik, če imamo dve stranici in kot med tema stranicama.
Analiza.
Naj imamo podana odseka $AB$ in $AC$ ter kot $α$. Sestaviti moramo trikotnik $ABC$ s kotom $C$, ki je enak $α$.
Naredimo gradbeni načrt:
- Če vzamemo $AB$ za eno od stranic kota, od njega odštejemo kot $BAM$, ki je enak kotu $α$.
- Na premico $AM$ narišemo odsek $AC$.
- Povežimo točki $B$ in $C$.
Gradnja.
Izdelajmo risbo po zgornjem načrtu (slika 1).
Dokaz.
Študij.
Ker je vsota kotov trikotnika $180^\circ$. To pomeni, da če je kot α večji ali enak $180^\circ$, problem ne bo imel rešitev.
Sicer pa obstaja rešitev. Ker je premica $a$ poljubna premica, bodo takšni trikotniki neskončno število. Ker pa so vsi med seboj enaki po prvem znaku, bomo domnevali, da je rešitev tega problema edinstvena.
Sestavljanje trikotnika s tremi stranicami
Primer 2
Sestavimo trikotnik, če imamo tri stranice.
Analiza.
Naj imamo podane odseke $AB$ ter $AC$ in $BC$. Sestaviti moramo trikotnik $ABC$.
Naredimo gradbeni načrt:
- Narišimo premico $a$ in na njej zgradimo odsek $AB$.
- Sestavimo $2$ kroga: prvega s središčem $A$ in polmerom $AC$, drugega pa s središčem $B$ in polmerom $BC$.
- Povežimo eno izmed presečišč krožnic (ki bo točka $C$) s točkama $A$ in $B$.
Gradnja.
Izdelajmo risbo po zgornjem načrtu (slika 2).
Dokaz.
Iz konstrukcije je razvidno, da vse začetni pogoji dokončana.
Študij.
Iz neenakosti trikotnika vemo, da mora biti katera koli stranica manjša od vsote drugih dveh. Posledično, če taka neenakost ni izpolnjena za prvotne tri segmente, problem ne bo imel rešitve.
Ker imajo krogi iz konstrukcije dve presečni točki, lahko sestavimo dva takšna trikotnika. Ker pa sta si po tretjem kriteriju enaka, bomo predpostavili, da je rešitev tega problema edinstvena.
Sestavljanje trikotnika s stranico in dvema sosednjima kotoma
Primer 3
Sestavimo trikotnik, če imamo eno stranico in nanjo priležna kota $α$ in $β$.
Analiza.
Naj nam je dan odsek $BC$ ter kota $α$ in $β$. Sestaviti moramo trikotnik $ABC$, kjer je $∠B=α$ in $∠C=β$.
Naredimo gradbeni načrt:
- Narišimo premico $a$ in na njej zgradimo odsek $BC$.
- Sestavimo kot $∠ K=α$ pri oglišču $B$ na stranico $BC$.
- Sestavimo kot $∠ M=β$ pri oglišču $C$ na stranico $BC$.
- Povežimo presečišče (to bo točka $A$) žarkov $∠ K$ in $∠ M$ s točkama $C$ in $B$,
Gradnja.
Izdelajmo risbo po zgornjem načrtu (slika 3).
Dokaz.
Iz konstrukcije je razvidno, da so izpolnjeni vsi začetni pogoji.
Študij.
Ker je vsota kotov trikotnika enaka $180^\circ$, potem če $α+β≥180^\circ$ problem ne bo imel rešitve.
Sicer pa obstaja rešitev. Ker lahko sestavimo kote z obeh stranic, lahko sestavimo dva taka trikotnika. Ker pa sta si po drugem kriteriju enaka, bomo predpostavili, da je rešitev tega problema edinstvena.
Na koncu razmislite o problemu, katerega rešitev vodi do konstrukcije trikotnika s stranico in dvema kotoma:
Na drugi strani reke (sl. 72) je viden miljnik A. Brez prečkanja reke je potrebno ugotoviti razdaljo do nje z mejnika IN na tej obali.
Naredimo to. Merimo od točke IN poljubna razdalja v ravni liniji sonce in na njegovih koncih IN in Z Izmerimo kota 1 in 2 (slika 73). Če zdaj izmerimo razdaljo na priročnem območju DE, enaka sonce, in zgradite kote na njegovih koncih A in b(risba 74), enaka kotom 1 in 2, potem na presečišču njunih stranic dobimo tretje oglišče F trikotnik DEF. Preprosto je preveriti, da je trikotnik DEF enaka trikotniku ABC; res, če si predstavljamo, da je trikotnik DEF nadgrajeno ABC torej tista stran DE sovpadala s svojo enako stranjo sonce, nato ug. A bo sovpadal s kotom 1, kotom b – s kotom 2, in stran DF bo šel na stran VA, in stran E.F. na strani SA. Ker se dve črti lahko sekata le v eni točki, potem je vrh F mora sovpadati z vrhom A. Torej razdalja DF enaki zahtevani razdalji VA.
Problem, kot vidimo, ima samo eno rešitev. Na splošno lahko z uporabo stranice in dveh kotov, ki mejita na to stran, sestavimo samo en trikotnik; Na istih mestih ne more biti drugih trikotnikov z isto stranico in enakima dvema kotoma, ki mejita nanjo. Vse trikotnike, ki imajo eno enako stranico in dva enaka kota na istih mestih, lahko spravimo v popolno sovpadanje s superpozicijo. To pomeni, da je to znak, po katerem se lahko vzpostavi popolna enakost trikotniki.
Skupaj s prej uveljavljenimi znaki enakosti trikotnikov poznamo sedaj naslednje tri:
Trikotniki:
na treh straneh;
na obeh straneh in v kotu med njima;
na strani in na dveh straneh.
Zaradi jedrnatosti bomo te tri primere enakosti trikotnikov nadalje označili takole:
na tri strani: SSS;
na dveh stranicah in kot med njima: SUS;
vzdolž strani in dveh vogalov: USU.
Aplikacije
14. Ugotoviti razdaljo do točke A na drugi strani reke od točke IN na tem bregu (sl. 5) izmerite neko črto v ravni liniji sonce, potem na točki IN sestavite kot, ki je enak ABC, na drugi strani sonce, in v bistvu Z- na enak način, kot enak DIA Točkovna razdalja D presečišče stranic obeh stranic kotov do točke IN enaki zahtevani razdalji AB. Zakaj?
Rešitev: Trikotniki ABC in BDC enako na eni strani ( sonce) in dva kota (ang. DCB= ug. DIA; ug. DBC= ug. ABC.) Zato, AB= ВD, kot strani, ki ležijo v enaki trikotniki proti enakim kotom.
